A moebius függvény értéktáblázata. Möbius szalag

Szinte mindenki tudja, hogyan néz ki a végtelen szimbólum, amely egy fordított nyolcasra emlékeztet. Ezt a jelet "lemniscate"-nek is nevezik, ami az ógörögül szalagot jelent. Képzelje el, hogy a végtelen szimbólum nagyon hasonlít egy valós matematikai ábrához. Ismerje meg a Moebius Stripet!

Mi az a Möbius-szalag?

a Mobius-szalag(vagy más néven Mobius hurok, Mobius csík és még Mobius gyűrű is) a matematika egyik leghíresebb felülete. A Möbius hurok egy felülettel és egy éllel rendelkező hurok.

Hogy megértsük, mi forog kockán, és hogyan lehet, vegyen egy lapot, vágjunk le egy téglalap alakú csíkot, és a végeinek összekapcsolása pillanatában csavarjuk el az egyiket 180 fokkal, majd kössük össze. Az alábbi kép segít kitalálni, hogyan készítsünk Mobius csíkot.

Mi olyan figyelemre méltó a Möbius-szalagban?

a Mobius-szalag- példa egy nem tájolható egyoldali felületre, amelynek egyik éle a szokásos háromdimenziós euklideszi térben. A legtöbb objektum tájolható, két oldala van, például egy papírlap.

Hogy lehet akkor egy Möbius csík nem tájolható, egyoldalas felület - mondod, mert a papírnak, amiből készült, két oldala van. És megpróbálsz venni egy jelölőt és kitölteni a szalag egyik oldalát színnel, a végén eltalálod a kiindulási helyzetet, és az egész szalagot teljesen átfestik, ami megerősíti, hogy csak az egyik oldala van.

Elhinni, hogy a Möbius huroknak csak egy éle van - megszakítás nélkül csúsztassa végig az ujját a szalag egyik szélén, és ugyanúgy, mint a színezésnél, eltalálja azt a pontot, ahonnan elindult. Elképesztő, nem?

A Möbius-sáv és sok más érdekes objektum tanulmányozása foglalkozik - topológia, a matematikának egy ága, amely egy tárgy állandó alakváltozása - nyújtása, összenyomása, hajlítása során - az integritás megsértése nélkül tárja fel a változatlan tulajdonságait.

August Möbius felfedezése

Egy német matematikust ismernek el ennek a szokatlan szalagnak az "atyjának". August Ferdinand Möbius, Gauss tanítványa, aki nem egy geometriáról írt munkát, de főként egy egyoldalú felület felfedezésével vált híressé 1858-ban.

Meglepő az a tény, hogy ugyanabban az 1858-ban egy egy felületű szalagot fedezett fel Gauss egy másik tanítványa - egy tehetséges matematikus. Johann Listing, aki megalkotta a "topológia" kifejezést, és számos alapvető művet írt a matematikának erről az ágáról. A szokatlan szalag azonban mégis Möbius nevéről kapta a nevét.

A közhiedelem szerint a „végtelen hurok” modell prototípusa August Möbius professzor szobalánya által rosszul varrt szalag volt.

Tulajdonképpen, a szalagot régen fedezték fel ben ókori világ. Az egyik megerősítés egy ókori római mozaik, amely Franciaországban, Arles város múzeumában található, ugyanazzal a csavart szalaggal. Orpheuszt ábrázolja, amint hárfa hangjaival varázsolja el az állatokat. A háttérben ismételten egy csavart szalaggal díszített dísz látható.

A Möbius-szalag "varázslata".

A Möbius szalag két oldalának látszólagos jelenléte ellenére valójában csak egy oldala van, és nem fog működni a szalag két színben való színezése.
Ha egy vonalat rajzol a hurok teljes hosszában tollal vagy ceruzával anélkül, hogy levenné a kezét a lapról, akkor a ceruza végül megáll azon a ponton, ahonnan elkezdte rajzolni a vonalat;
A szalag átvágása során figyelemreméltó élményekben lehet részünk, ami egy felnőttet és egy gyereket egyaránt meglephet.

Először ragasszuk fel a Möbius csíkot a korábban leírtak szerint. Ezután a teljes hosszában pontosan a közepén vágjuk, az alábbiak szerint:

Az eredmény igencsak meg fog lepődni, mert a várakozásokkal ellentétben nem két szalagdarab, és még csak nem is két különálló kör marad a kezedben, hanem egy másik, még hosszabb szalag. Ez már nem egy 180 fokkal csavart Mobius szalag lesz, hanem egy 360 fokban elforgatható szalag.

Most egy másik kísérletet hajtunk végre - egy másik Mobius hurkot készítünk, majd megmérjük a szalag szélességének 1/3-át, és levágjuk ezen a vonalon. Az eredmény még jobban lenyűgözi - két különálló, különböző méretű szalag marad a kezedben, összekapcsolva, akár egy láncban: egy kis szalag és egy hosszabb második.

A kisebb Möbius szalag az eredeti sávszélesség 1/3-a, L hosszúságú és 180 fokkal elforgatva lesz. A második hosszabb szalag szintén 1/3 széles lesz, mint az eredeti, de 2L hosszú és 360 fokban elforgatható.

Folytathatja a kísérletet tovább, a kapott szalagokat még keskenyebbre vágva, az eredményt maga is látni fogja.

Miért van szükségünk Mobius hurokra? Alkalmazás

A Möbius-szalag egyáltalán nem egy elvont figura, csak matematikai célokra van szükség, a mindennapi életben is alkalmazásra talált. Ennek az övnek az elve szerint a repülőtéren egy öv működik, amely a bőröndöket mozgatja a csomagtérből. Ez a kialakítás lehetővé teszi a hosszabb élettartamot az egyenletes kopás miatt. August Möbius felfedezését széles körben használják a szerszámgépiparban. A kialakítást hosszabb rögzítési időre használják filmre, valamint olyan nyomtatókra, amelyek szalagot használnak a nyomtatáshoz.

A Möbius hurok láthatóságának köszönhetően egyre több új felfedezést tesz lehetővé a modern tudósok számára. A hurok csodálatos tulajdonságainak felfedezése óta új szabadalmaztatott találmányok hulláma söpört végig a világon. Például a Mobius-módszerrel feltekercselt ferromágneses szalagból készült mágneses magok tulajdonságainak jelentős javulása.

N. Tesla szabadalmat kapott egy többfázisú váltóáramú rendszerre, amely a generátor tekercseinek tekercselését Mobius hurokhoz hasonlóan használja.

Richard Davis amerikai tudós egy nem reaktív Moebius ellenállást tervezett, amely képes csillapítani a reaktív (kapacitív és induktív) ellenállást anélkül, hogy elektromágneses interferenciát okozna.

Mobius szalag - széles mező az inspirációhoz

Nehéz felmérni a Möbius-hurok felfedezésének jelentőségét, amely nemcsak tudósokat, hanem írókat és művészeket is megihletett.

A Möbius-szalag leghíresebb alkotása Maurits Escher holland grafikusművész Moebius Strip II, Vörös hangyák vagy vörös hangyák című képe. A képen hangyák láthatók, amint a Moebius hurkon felmásznak mindkét oldalon, valójában csak egy oldala van. A hangyák végtelen hurokban kúsznak egymás után ugyanazon a felületen.

A művész matematikai cikkekből, munkákból merítette ötleteit, mélyen lenyűgözte a geometria. Ezzel kapcsolatban litográfiái és metszetei gyakran tartalmaznak különféle geometriai formákat, fraktálokat, lenyűgöző optikai csalódásokat.

A Möbius hurok iránt ez idáig nagyon alacsony az érdeklődés. magas szint, még a sportolók is bemutatták az azonos nevű műrepülő figurát.

Armin Deutsch tudományos-fantasztikus író Möbius Strip alkotása alapján nem egy filmet készítettek. Mobius hurok formájában rengeteg ékszer, cipő, szobor és sok más tárgy és forma jön létre.

A Möbius-szalag nyomot hagyott a gyártásban, a tervezésben, a művészetben, a tudományban, az irodalomban és az építészetben.

Sok ember elméjét aggasztotta a DNS-molekula és a Möbius-hurok alakjának hasonlósága. Volt egy hipotézis, amelyet Navasin szovjet citológus terjesztett elő, hogy a forma gyűrű kromoszóma szerkezetében hasonló a Möbius-sávhoz. A tudósnak ezt az elképzelését az a tény váltotta ki, hogy a gyűrű kromoszóma szaporodva, egy hosszabb gyűrűvé válik, mint a legelején, vagy két kis gyűrűvé, de mintha egy egymásba fűzött láncban lenne, ami nagyon emlékeztet a fentebb a Möbius-szalaggal végzett kísérletekre.

2015-ben Európából és az Egyesült Államokból származó tudósok egy csoportja pöröghetett fény a Möbius-gyűrűben. A tudományos kísérlet során a tudósok optikai lencséket és strukturált fényt használtak - egy fókuszált lézersugarat előre meghatározott intenzitással és polarizációval a mozgás minden pontján. Ennek eredményeként világos Möbius csíkokat kaptunk.

Van egy másik nagyobb elmélet is. Az univerzum egy hatalmas Mobius hurok. Einstein ragaszkodott ehhez az elképzeléshez. Azt javasolta, hogy az univerzum bezárult, és űrhajó, amely egy bizonyos pontból indul és folyamatosan egyenesen repül, térben és időben ugyanabba a pontba tér vissza, ahonnan a mozgása elkezdődött.

Egyelőre ezek csak hipotézisek, amelyeknek támogatói és ellenzői egyaránt vannak. Ki tudja, milyen felfedezés vezeti majd a tudósokat egy olyan egyszerű objektumhoz, mint a Möbius-sáv.

Önkormányzati költségvetés oktatási intézmény középiskola az egyén elmélyült tanulmányozásával

tételekkel. Terbuny

a Mobius-szalag

Készítette: Chepurina Anna Vitalievna,

10. osztályos tanuló

Vezető: Kirikova M.A,

első matektanár

minősítési kategória

s.Terbuny

2015

Bevezetés…………………………………………………………………………………………………. ......3

Történeti hivatkozás ……………………………………………4

A Möbius-szalag a topológia új tudományának kezdete...................................5

Möbius-csík készítése …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

Kísérletek a Möbius-szalaggal ................................................ .. .................. kilenc

A Möbius-sáv topológiai tulajdonságai ………………………..11

Möbius-szalagtételek………………………………………… .12

Trükkök a Mobius szalaggal………………………………………………………………………………………………………………………

A Möbius szalag alkalmazása……………………………………………..16

Következtetés................................................. ..............................................23

Hivatkozások listája .................................................. .................................. .25

Függelék

Bevezetés

Korunkban releváns a szokatlan figurák különféle tulajdonságainak és nem szabványos alkalmazásainak tanulmányozása.

Hallottál már a Möbius szalagról? Hogyan készíthető, hogyan kapcsolódik a matematikához és hol alkalmazzák az életben.

E munka során arra a következtetésre jutottam, hogy bár a Möbius-sávot a XΙX. században fedezték fel, a XX. században és a XXΙ. A Möbius szalag csodálatos tulajdonságait a főzés, technológia, fizika, festészet, építészet, ékszerek és bizsuipar területén használták és használják. Számos író és művész munkáját inspirálta.

A Möbius-szalag iránti érdeklődés ma sem lankadt el. 2006 szeptemberében Moszkvában került sor a Művészi Matematika Fesztiváljára. Nagy sikerrel fogadták egy Tokió város professzorának előadását.

Nagyon érdekelt, felkeltett ez a téma. Tanulmányoztam a szakirodalmat, majd magam készítettem a Möbius-szalagot, majd kutattam, kísérleteztem, tanulmányoztam varázslatos, rendkívüli tulajdonságait.

A Möbius-csík egy papírdarab, amelynek egyik végét fél fordulattal (azaz 180 fokkal) elfordítják, és a másik végére ragasztják. Emberek milliói a világ minden részén nem is tudják, hogy minden nap használják a Möbius-szalagot.

Cél : mondd el és mutasd meg az osztálytársaknak, hogy úgy néz ki, mint egy egyszerű elforgatott szalag

fél fordulat ragasztott végekkel, sok mindent tartalmazhat

meglepetéseket.

Tanulmányi tárgy: Möbius szalag.

Feladatok: azonosítani és elemezni a témával kapcsolatos forrásokat és szakirodalmat;

megismerkedjen a Möbius-sáv kialakulásának történetével;

megtanulják, hogyan kell Möbius csíkot készíteni;

tanulmányozza a Möbius-sáv különféle tulajdonságait;

A témán dolgozva a következőket használtam mód: elemzés, szintézis,

megfigyelés, kísérlet, összehasonlítás és szociológiai felmérés.

FEJEZET én

"Möbius-szalag - egy új tudomány kezdete"

1. 1. Történelmi háttér

A titokzatos és híres Möbius-szalagot 1858-ban találta fel egy német geométer.August Ferdinand Möbius . Azt mondják, hogy egy szobalány segített Möbiusnak kinyitni a "levelét", amikor egy hosszú szalag végeit rosszul varrta össze. Hét évig várt munkája elbírálására, és várakozás nélkül közzétette annak eredményét.

Möbiusszal egy időben ezt a levelet K. F. Gauss másik tanítványa találta fel -Johann Benedict Listing, a Göttingeni Egyetem professzora. Művét három évvel korábban, mint Möbius adta ki, 1862-ben. A. F. Möbius Schulpfort városában született. Egy ideig K. Gauss irányítása alatt csillagászatot tanult. 1818-ban kezdett független csillagászati megfigyeléseket végezni a pleisenburgi obszervatóriumban. igazgatója lett. Akkoriban a matematikát nem támogatták, és a csillagászat elég pénzt adott ahhoz, hogy ne gondoljon rájuk, és hagyott időt a saját elmélkedésekre. Möbius 1816-tól a lipcsei egyetem professzoraként először vezette be a projektív geometriát, a koordinátarendszert és az analitikai kutatási módszereket; megállapította az egyoldalú felületek (Möbius-csíkok), poliéderek létezését, amelyekre az "éltörvény" nem alkalmazható, és amelyeknek nincs térfogatuk. Möbius a geometriai transzformációk elméletének, valamint a topológiának az egyik megalapítója. Fontos eredményeket ért el a számelméletben (a Möbius-függvény), és korának egyik legnagyobb geométere lett.

1.2. Möbius-szalag - a topológia új tudományának kezdete

Attól a pillanattól kezdve, hogy A. F. Möbius német matematikus felfedezte egy csodálatos egyoldalas papírlap létezését, a matematikának egy teljesen új ága, az úgynevezett topológia kezdett kialakulni. A "topológia" kifejezés a matematika két ágára utalhat. Az egyik topológiát, amelynek őse Poincaré volt, sokáig kombinatorikusnak nevezték. A másik, amelynek eredete a német tudós, Georg Cantor volt, az általános vagy halmazelméleti nevet kapta.

A kombinatorikus topológia a geometria egyik ága. A „geometria” egy görög szó, oroszra fordítva azt jelenti, hogy „felmérés”, („geo” - görögül - föld és "metreo" - mérték) az ábrák tulajdonságait vizsgálja. Mint minden tudomány, a geometria is szakaszokra oszlik.

1. Planimetria (latin szó, "planum" - felület + geometria), a geometriának egy olyan szakasza, amely a síkon lévő alakzatok tulajdonságait vizsgálja (háromszög, négyzet, kör, kör stb.)

2. Sztereometria (görögül "sztereók" - tér + metrika) - a geometria olyan része, amely a térben lévő alakzatok tulajdonságait vizsgálja (golyó, kocka, paralelepipedon stb.)

3. A topológia (görögül "toposz" - hely, terület + logika) a modern geometria egyik "legfiatalabb" szakasza, amely olyan alakzatok tulajdonságait vizsgálja, amelyek nem változnak, ha hajlítják, nyújtják, összenyomják, de nem ragasztják és ne szakadjon, azaz ne változzon deformációkkal. Példa a topológiai objektumokra: az I és H betűk, vékony, hosszú léggömbök.

A kombinatorikus topológia tulajdonságokat vizsgál geometriai formák, amelyek változatlanok maradnak egy-egy és folyamatos leképezés esetén. Hosszú idő A topológiát az élettől távoli tudománynak tekintették, amelynek célja csak az "emberi elme dicsőítése". De korunkban kiderült, hogy ez a legközvetlenebbül kapcsolódik az univerzum szerkezetének magyarázatához.

Az általános topológia a halmazelmélethez kapcsolódik, és a matematika alapja. Ez axiomatikus elmélet, amelyet olyan fogalmak feltárására terveztek, mint a "határ", "konvergencia", "folytonosság" stb. A topológiai tér axiomatikájának alapjait Felix Hausdorff fektette le, és Pavel Szergejevics Aleksandrov orosz matematikus fejezte be.

1.3. Hogyan készül a Möbius szalag?

● A Möbius szalag az egyik (matematikai meglepetés) A Möbius szalag elkészítéséhez vegyünk egy téglalap alakú AB csíkotCD, csavarja el 180 fokkal és ragassza fel a szemközti oldalakat AB ésCD, azaz tehát A és pontCés pontokat Dés V.

Lásd kb. tizenegy.

● A papírcsíkok formái és méretei a Möbius-szalaghoz.

A csík legyen keskeny és hosszú, a lehető legnagyobb hosszúság-szélesség aránnyal. Négyzet alakú lapból nem lehet Möbius-csíkot csinálni. Ez igaz, de nem szabad alábecsülni azt a tényt, hogy a méretkorlátozások számítanak, ha a papír nem gyűrődhet. Ha nem tilos a papírt gyűrni, akkor a Möbius csík nem csak négyzetből, hanem tetszőleges méretű téglalapból is ragasztható - a ragasztott oldalak akár akárhányszor hosszabbak is lehetnek, mint a nem ragasztottak.

● Dörzsárazási felület.

Mivel fontos a papír gyűrődésének követelménye, nézzük meg, mi a matematikai jelentése.

Könnyen érthető, hogy a ráncosodás tilalma nagyban korlátozza a

a papírlap kezelésének képessége. Például egy papírlapot gyűrődés nélkül lehet csőbe vagy félbehajtani, de négybe nem. A papírlapból kúpot készíthetsz anélkül, hogy ráncosítanád, de gömböt, de még egy darabot sem: nyomj egy papírlapot a földgömbhöz, és biztosan megjelennek a ráncok. Mint látható, nem minden formát lehet adni egy papírlapnak. Lásd kb. 2.

A papírlapból hajlítással, de nem összetörve készíthető felületeket a matematikusok kihajtható felületeknek nevezik. A matematikában a fejleszthető felületeket különbözőképpen definiálják: a metamatematikai nyelvben hiányoznak a „papír”, „gyűrődik”, „készít” szavak. Létezik egész elmélet telepíthető felületek, amelyek eredményei között szerepel kielégítő válasz arra a kérdésre, hogy mik lehetnek; a matematikusok ezt "osztályozásnak" nevezik (a válasz Leonardo Eulernek köszönhető). Kísérleti tényként csak a fejleszthető felületek néhány tulajdonságát mutassuk be.

Lásd kb. 3

1. A fejleszthető felület minden olyan A pontján keresztül, amely nem fekszik a határán, áthalad egy, a felületen fekvő szegmens, amely nem végződik A-val. Vagyis minden pont a fejleszthető felülethez kapcsolódhat (egy görbe, de nem gyűrött papírlap) úgy, hogy a felvett pont mindkét oldalán bizonyos távolságra a felülethez csatlakozzon. Az ilyen szegmenst a felület generatrixának nevezzük (egyetértünk abban, hogy ez a név csak a szegmensekre vonatkozik maximális hossza teljes egészében a felszínen fekszenek, vagyis olyan szegmensekre, amelyek nem tartalmaznak nagy szegmenseket ezzel a tulajdonsággal).

2. Ha két különböző generátor halad át egy A ponton, amely nem a felület határán fekszik, és A nem egyiknek a vége, akkor az A-t körülvevő felület egy kellően kis darabja lapos. Ebben az esetben az A pontot laposnak nevezzük.

3. Ha az A pont, amely nem a felület határán fekszik, valamilyen generatrix vége, mondjuk,de , akkor az A pont szomszédsága a következőképpen van elrendezve: az egyetlen generátor, amelyik nem végződik benne, átmegy az A ponton, mondjukb . Ez a generatrix a felületet két részre osztja. A generatrix másik oldalánb , amellyel a generatrix találhatóa , a generatrixhoz b szomszédos lapos darab, a másik oldalonb , tetszőlegesen az A pontból, vannak nem lapos pontok. Az A pontot ebben a helyzetben félig laposnak nevezzük.

Hangsúlyozzuk, hogy ha a felület egy pontja nem határvonal és nem sík, akkor az egyetlen generatrix megy át rajta, amelyik nem ér véget, és ennek a generatrixnak a végei a felület határán fekszenek.

●Példák: A hengerbe vagy kúpba tekert papírlapon nincsenek lapos (vagy félig lapos) pontok. Egy henger esetében a generátorok párhuzamos szegmensek családját alkotják, a kúp esetében pedig egy pontból kilépő szegmenscsaládot. A generátorok bonyolultabb elrendezése is lehetséges.

Lásd kb. 4.

Például egy előhívó felület generatricáit és síkpontjait mutatja az ábra (amelyen a felület lapos papírlappá van kihajtva): a vékony vonalak generátorok, a kitöltött területek pedig lapos pontokból állnak.

A síkpontok területének határán fekvő pontok vagy a teljes felület határvonalai, vagy félig laposak. Ha a felület papír sokszögből (mondjuk egy téglalapból) áll, akkor a lapos pontok egy vagy több sík sokszöget alkotnak, amelyek mindegyikének csúcsai vannak a felület határán, oldalai pedig vagy a határon fekszenek, vagy félig lapos pontok.

2. FEJEZET

2.1. Kísérletek a Möbius-csíkkal

Mindannyiunknak van egy intuitív elképzelése arról, hogy mi a „felület”. Egy papírlap felülete, tantermi falak felülete, felülete a földgömb mindenki számára ismert. Lehet valami titokzatos egy ilyen hétköznapi koncepcióban? Igen, erre talán példa a Möbius-szalag. Tulajdonságainak tanulmányozására több kísérletet végeztem (két csoportra osztottam) egyedül.

én kísérletek csoportja

Tapasztalat száma 1. Megszoktuk, hogy minden felület, amellyel

van tokunk (papírlap, bicikli vagy röplabda kamera) -

két oldal.

A Möbius csíkot anélkül kezdtem el festeni, hogy megfordítottam volna.

Eredmény . A Möbius szalag teljesen át van festve.

„Ha valaki úgy dönt, hogy csak az egyik oldalát festi

a Moebius csík felületére, azonnal merítse az egészet egy vödör festékbe, írja Richard Courant és Herbert Robins egy kiválóban

könyv Mi a matematika?

2. számú tapasztalat. Csináltam egy pókot és egy legyet papírból, és elküldtem „sétálni”.

egy közönséges gyűrűt, de megtiltotta nekik, hogy átmásszanak a határokon.

Eredmény. A pók nem tudott hozzájutni a légyhöz.

Tapasztalat No. 3. Ezeket a pókokat és repülőket csak a Möbius sávon küldtem. ÉS

megtiltotta nekik a határátlépést.

Eredmény.Szegény legyet megeszik, persze hacsak nem szaladgál a pók.

gyorsabban!

4-es számú tapasztalat. Csináltam egy kis embert papírból, és elküldtem, hogy utazzon végig a Möbius-sávon.

Eredmény. A kis ember visszatér a kiindulóponthoz, ahol találkozna tükörképével.

II kísérletek csoportja

a Möbius-szalag levágásával kapcsolatos, az eredményeket a táblázat tartalmazza

tapasztalat

Tapasztalat leírása

Eredmény

A közepén egy egyszerű gyűrűt vágtam.

Két egyszerű gyűrűt kaptam, egyforma hosszú, kétszer szélesebb, két szegéllyel.

A Möbius csíkot a közepén vágták le.

1 db gyűrűt kaptam, aminek a hossza kétszer olyan, a szélessége kétszer keskenyebb, csavarva 1 teljes fordulattal, egy szegéllyel.

Möbius sávszélesség

5 cm-re vágjuk hosszában 1 cm távolságra a szélétől.

Két egymáshoz kapcsolt gyűrűt kaptam: 1) Mobius csík - hossza = az eredeti hossza, szélessége 3 cm; 2) szélessége 1 cm, hossza az eredeti kétszerese, két teljes fordulattal csavarva, két szegéllyel.

Möbius sávszélesség

5 cm-re vágjuk hosszában 2 cm távolságra a szélétől.

Két gyűrűt kaptam egymáshoz kapcsolva: 1) a gyűrű egy 1 cm széles Möbius csík, hossza = az eredeti hossza; 2) gyűrű - 2 cm széles, kétszer olyan hosszú, mint az eredeti, egyenként két teljes fordulattal csavarva, két szegéllyel.

Möbius csík 5 cm széles, hosszában vágva 3 cm távolságra, a szélétől.

Két egymáshoz kapcsolt gyűrűt kaptam: 1) a gyűrű egy Möbius csík, melynek szélessége

1 cm azonos hosszúságú; 2) egy gyűrű - 2 cm széles, hossza kétszer akkora, mint az eredeti, két teljes fordulattal csavarva.

A 10. osztályos tanulókkal végzett szociológiai felmérés eredményei.

Kérdések

Igen

Nem

Hallott

1. Tudod, mi az a topológia?

2. Tudod mi az a Mobius szalag?

3. Tudod Mobius szalag tulajdonságai?

A 10. osztályos tanulóknak csak 5%-a tudja, mi az a topológia. A diákok 30%-a tudja, mi az a Möbius-szalag, 20%-a hallott már róla. 50%-nak fogalma sincs a Möbius szalagról. A hallgatók 25%-a ismeri a szalag tulajdonságait, 10%-a hallott már róluk, 65%-a nem tud semmit a Möbius szalag tulajdonságairól.

2.2 A Möbius-sáv topológiai tulajdonságai

A kísérletek eredményei alapján a Möbius-sáv alábbi topológiai tulajdonságait tudjuk megfogalmazni, matematikai meglepetésekkel kapcsolatban.

Az egyoldalúság a Möbius-sáv topológiai tulajdonsága, amely csak rá jellemző.

Folytonosság - a Möbius szalag bármely pontja csatlakoztatható

bármely más ponttal. Nincsenek hiányosságok – a folytonosság teljes.

Topológiai szempontból a kört nem lehet megkülönböztetni a négyzettől,

mert törés nélkül könnyen átalakíthatók egyikből a másikba

folytonosság.

Csatlakozás – a gyűrű kettévágásához két vágás szükséges. Ami a Möbius szalagot illeti, a csatlakozások száma a szalag menetszámának változásától függően cserélődik: ha egy menetet duplán csatlakoztatnak, ha két menetet egyszerűen csatlakoztatnak, ha három duplán, stb. De osztani a négyzetet két részre vágjuk, csak egy vágásra van szükségünk. Az összeköttetést általában a Betti-számmal becsülik meg, vagy néha az Euler-karakterisztikát használják.

4. A tájékozódás a Möbius sávból hiányzó tulajdonság. Tehát, ha az ember a Möbius-sáv összes kanyarulatán keresztül tudna utazni, akkor visszatérne a kiindulóponthoz, de a tükörképévé változna.

5. A "kromatikus szám" a felületre rajzolható területek maximális száma úgy, hogy mindegyiknek közös határa legyen az összes többivel. Egy Möbius-szalag kromatikus száma hat.

6. Tételek a Möbius-szalagról

1. Tétel: λ ≥ π/2

A bizonyítás bonyolultsága miatt nem veszem figyelembe munkám során.

2. Tétel: λ ≤ √3

Ez a tétel egyszerűbb, mint az előző: bizonyításához elegendő elmagyarázni, hogyan lehet Möbius-csíkot ragasztani olyan szalagból, amelynek hossza √3-nál nagyobb. Először tegyük fel, hogy a hossza pontosan √3. Ezután két szabályos háromszög helyezhető erre a csíkra. Hajtsa be a csíkot ezen háromszögek oldalai mentén, váltakozva a hajtás irányával. Az AB és CD csíkok élei egy vonalba kerülnek, az A pont a D ponthoz, a B pont pedig a C ponthoz lesz igazítva. Kapunk egy Möbius csíkot, melynek élei össze vannak vágva (lásd 1.2. )

Ebben a konstrukcióban megsértették a fő szabályt - ne gyűrje össze a papírt. De könnyen érthető, hogy ha a szalag hossza legalább egy kicsivel több √3-nál, akkor a generatrix mentén kialakuló csavarodás helyettesíthető egy keskeny szakaszon előállított hajlítással. Egyszóval nem félünk az egyenes szakasz mentén történő töréstől: azt egy közeli kanyarral pótolhatjuk. (Javíthatatlan papírgyűrődés akkor következik be, amikor két hajtásvonal metszi egymást, vagyis amikor a lap zsebkendőszerűen összehajt – mindezt mindennapi tapasztalatból tudjuk.). Felépítése a következőképpen képzelhető el: három egyforma szabályos háromszög ABC, A"B"C", A"B"C párhuzamosan fekszik egymással, a megfelelő csúcsok a megfelelő csúcsok felett vannak; az AB és az A"B", a B"C" és a B"C", a C"A" és a CA oldalak át vannak hidalva. A ragasztási vonal az egyik háromszög mediánja mentén fut.

Miért nem találjuk λ pontosabban?

Amíg a probléma nincs megoldva, nehéz megmondani, hogy miért nem sikerült megoldani. Mindazonáltal a különféle megoldatlan feladatokban néha lehetséges a közös nehézségek nyomon követése, a matematikai térképen úgymond nehéz helyek megjelölése, ami néha lehetővé teszi egy-egy probléma megoldásának sikerét vagy kudarcát előre jelezni.

3. Tétel. Egy π/2-nél nagyobb hosszúságú szalagból összeragasztható egy önmetszéspontú Möbius csík.

Ez így történik. Vegyünk egy kellően nagy páratlan n-t és konstruáljuk meg szabályos n-gon 1 átmérőjű körbe írva. Ezután tekintsünk a kör középpontját tartalmazó n háromszöget, amelyek mindegyikét egy n-szög (n=7) egy oldala és két átlója határolja. Ezek a háromszögek lefedik n-szögünket, egyes helyeit - többször is. Most rögzítsük egymáshoz ezt az n háromszöget, ami után a bal szélső háromszög felét levágjuk a hosszú medián mentén, és rögzítjük a jobb szélső háromszöghöz. Az eredmény egy téglalap alakú szalag, amelynek hosszúságának és szélességének aránya nagyobb, mint π/2, és π/2-re hajlik, miközben n ∞-re hajlamos (a szalag szélessége 1-re, a hossza pedig π/2-re). Ezt a csíkot egymás után hajtogatjuk az összes ráhúzott vonal mentén, váltakozva a hajtás irányaival. Ugyanakkor az AB és a CD szegmensek majdnem egybeesnek - csak néhány réteg hajtogatott papír lesz közöttük. Ezzel a „majdnem egyezéssel” az A pont D-vel, a B pedig C-vel lesz egy vonalban, tehát ha „átvezethetnénk a szalagot önmagán” és ragaszthatnánk |AB| |CD|-vel Möbius szalag lenne. Ha egy kicsit tovább tartjuk a szalagot, akkor a ráncok elkerülhetők, akárcsak a 2. Tétel bizonyításakor. Kaptunk egy Möbius csíkot, melynek széleit több réteg papír választja el egymástól, lásd az 1.3. mellékletet. De vissza a Möbius-szalaghoz. Az 1. tétel, amint láttuk, tulajdonképpen az önmetsző szalagokra vonatkozik. Nem valószínű, hogy a nem saját metszésponti feltétel nem befolyásolja λ-t; ez a hatás azonban nem vehető figyelembe, mivel a matematika nem rendelkezik elegendő technikai eszközzel az önmetszéspontok tanulmányozására. háromdimenziós tér. Éppen ellenkezőleg, igen valószínű, hogy a 2. Tétel nem javítható. Végtére is, ennek javítása azt jelenti, hogy ki kell dolgozni a szalag új dizájnját. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az optimális konstrukciók lehetnek egyszerűek és harmonikusak is, ez a 2. Tétel bizonyítása alapján készült konstrukció. Természetes az a feltételezés, hogy ha létezne jobb konstrukció, akkor - ennyi év múlva - megtalálható lenne!

Ezért számíthatunk arra, hogy λ = √3.

Trükkök Mobius szalaggal

A csomókötés problémája

Hogyan kössünk csomót egy sálra anélkül, hogy elengednénk a végeit? Ezt így is meg lehet csinálni. Tedd a sálat az asztalra. Tedd keresztbe a karjaidat a mellkasodon. Továbbra is ebben a helyzetben tartva hajoljon le az asztalhoz, és mindkét kezével felváltva vegye meg a sál egyik végét. A kezek szétválasztása után a sál közepén magától kijön egy csomó. Topológiai terminológiát használva azt mondhatjuk, hogy a néző keze, teste és sála zárt ívet alkot, „háromlevelű” csomó formájában. A kezek széttárásakor a csomó csak a kézről a zsebkendőre mozog.

Egyik kezével kössön csomót a sálba, a sál végét tartsa a kezében. A válasz erre a rejtvényre M. Gardner Matematikai csodák és rejtélyek című könyvében található.

Topológia szempontjából a mellény egy kétoldali felületnek tekinthető, három nem összefüggő éllel, amelyek mindegyike egy közönséges zárt görbe. A gombos mellény kétoldalas felület, négy éllel.

Titokzatos hurok.

Egy mellényt viselő nézőt hurokra húznak a karjára, majd felkérik, hogy feküdjön le hüvelykujj a mellény alsó zsebében. Most megkérheti a jelenlévőket, hogy távolítsák el a hurkot a kezéből anélkül, hogy kihúznák az ujját a mellényzsebéből. A megoldás a következő: a hurkot be kell húzni az ujjú mellény nyílásába, át kell dobni a néző fején, ki kell húzni a hüvely második nyílásán keresztül, és át kell helyezni a második kar alá. Ezen műveletek eredményeként a hurok a mellény alá kerül, és körülveszi a mellkast. Engedje le, amíg ki nem tűnik a mellény alól, majd engedje le a padlóra.

A mellény kifordítása anélkül, hogy levenné a személyről.

A mellény tulajdonosának össze kell kulcsolnia az ujjait a háta mögött. Másoknak kifelé kell fordítaniuk a mellényt anélkül, hogy elválassza viselőjének kezét. Ennek az élménynek a demonstrálásához ki kell gombolni a mellényt és le kell húzni a viselője háta mögötti kezeit. A mellény lógni fog a levegőben, de persze nem jön le, mert összekulcsolódik a keze. Most meg kell vennie a mellény bal felét, és próbálja meg ne gyűrni a mellényt, és a lehető legmesszebb tolja a jobb karfuratba. Ezután vegye be a jobb karfuratot, és illessze be ugyanabba a karfuratba, ugyanabba az irányba. Marad a mellény kiegyenesítése és a tulajdonosra húzása. A mellény kifordítva lesz. Ezt a trükköt végrehajtottuk és videóra vettük az osztálytársakkal. A Moebius Strip bemutatója tartalmazza.

2.3. A Möbius Strip alkalmazása

∞ A Washington DC-ben található Történeti és Technológiai Múzeum bejáratánál egy félfordulatú acélszalag lassan forog egy talapzaton. 1967-ben, amikor Brazíliában nemzetközi matematikai kongresszust tartottak, a szervezők egy ötcentavos emlékbélyeget bocsátottak ki. Möbius csík volt rajta. A több mint két méter magas emlékmű és az apró bélyeg is August Ferdinand Möbius német matematikus és csillagász eredeti emlékműve.

Lásd az 5. mellékletet.

A Szabadalmi Hivatal számos találmányt regisztrált ugyanazon az egyoldali felületen.

∞ A Möbius szalagot számos olyan találmányban használják, amelyeket az egyoldalas felületek tulajdonságainak alapos tanulmányozása ihletett. A Möbius szalag formájú szállítószalag szalag kétszer olyan hosszú működést tesz lehetővé, mert a lemez teljes felülete egyenletesen kopik. 1923-ban szabadalmat adtak ki Lee de Force feltalálónak, aki azt javasolta, hogy hangot rögzítsenek filmszalagon anélkül, hogy mindkét oldalról egyszerre cserélnék tekercseket. Feltalálták a magnóhoz való kazettákat, ahol a szalagot összecsavarják és gyűrűvé ragasztják, miközben lehetővé válik mindkét oldalról egyszerre információ rögzítése vagy leolvasása, ami megduplázza a kazetta kapacitását és ennek megfelelően a lejátszási időt. A mátrixnyomtatókban a tintaszalag Möbius csík formájában volt az eltarthatóság növelése érdekében. Ez kézzelfogható megtakarítást jelent. A Möbius szalagot a kerékpár- és röplabdakamrában használják.

∞ A közelmúltban egy másik felhasználást találtak neki - rugó szerepét kezdte játszani, de a rugók különlegesek. Tudniillik a felhúzott rugó az ellenkező irányba működik. A Möbius szalag minden törvénytől eltérően nem változtatja meg a működési irányt, mint a két stabil pozíciójú mechanizmusok. Egy ilyen rugó felbecsülhetetlen értékű lehet az óraszerkezetes játékokban - nem csavarható úgy, mint egy normál - egyfajta örökmozgó.

Lásd kb. 6.

∞ 1971-ben az uráli feltaláló, Chesnokov P.N. egy Möbius-szalag formájú szűrőt alkalmazott.

∞ A Möbius csíkot főzéshez használják, hogy érdekes és étvágygerjesztő megjelenést kölcsönözzenek a zsemlének, szárítónak, kefének. És különféle ételek, erőszerkezetek (keverő) főzésére és díszítésére szolgáló eszközök gyártásában is.

Lásd kb. 7.

∞ A Möbius szalag segítségével egész remekművek születnek.

A Möbius-szalag ihletet adott a szobrokhoz, ill grafikai művészet. Escher egyike volt azoknak a művészeknek, akik különösen kedvelték ezt, és több litográfiáját is ennek a matematikai objektumnak szentelte. Az egyik híres hangyákat ábrázol egy Möbius-szalag felületén.

Lásd a 9. mellékletet.

∞ A Möbius-szalag a science fictionben is visszatérő, például Arthur C. Clarke „A sötétség fala” című novellájában. Néha a sci-fi történetek azt sugallják, hogy univerzumunk valami általános Möbius-szalag lehet. A szerző történetében A.J. Deutsch, a bostoni metró új vonalat épít, aminek az útvonala annyira zavarossá válik, hogy Mobius sávvá változik, ami után a vonatok elkezdenek eltűnni ezen a vonalon.

∞ Van egy olyan hipotézis, hogy maga a DNS-hélix is a Möbius-csík töredéke, és csak ezért genetikai kód olyan nehéz megfejteni és megérteni. Ráadásul egy ilyen szerkezet egészen logikusan megmagyarázza a biológiai halál kezdetének okát: a spirál magára zárul, és megtörténik az önpusztítás.

10. számú melléklet.

∞ A Möbius-szalagot nemcsak a matematikusok, hanem a bűvészek is kedvelték

A Möbius szalagot több mint 100 éve használják trükkök bemutatására és szórakoztatásra. A lap elképesztő tulajdonságai még a cirkuszban is megmutatkoztak, ahol fényes szalagokat függesztettek fel, Möbius csíkok formájában összeragasztva. A bűvész rágyújtott egy cigarettára, és megérintette az égő végét középső vonal minden szalag, amely kálium-nitrátból készült. A tüzes ösvény az első szalagot egy hosszabbra, a másodikat pedig két szalagra változtatta, amelyeket egymásba fűztek. (Ebben az esetben a bűvész a Möbius-csíkot nem középen, hanem a szélessége egyharmadnyira vágta le).

∞ A fizikusok azt mondják, hogy minden optikai törvények a Möbius-szalag tulajdonságain alapulnak, konkrétan a tükörben való tükröződés egyfajta időbeli, rövid távú, századmásodpercekig tartó átvitel, mert magunk előtt látunk... ugye, a tükörkettőnk .

∞Van egy hipotézis, miszerint Univerzumunk valószínűleg ugyanabban a Möbius-sávban záródik, a relativitáselmélet szerint minél nagyobb a tömeg, annál nagyobb a tér görbülete. Ez az elmélet teljes mértékben megerősíti azt a feltételezést, hogy a folyamatosan egyenesen repülő űrhajó visszatérhet a kiindulási pontra, ez megerősíti az Univerzum korlátlanságát és végességét.

Lásd kb. tizenegy.

∞ A Möbius-szalag iránti érdeklődés ma sem lankadt el. 2006 szeptemberében Moszkvában került sor a Művészi Matematika Fesztiváljára. Jin Akiyama tokiói professzor beszédét nagy sikerrel fogadták. Előadása egy illuzionista műsorra emlékeztetett, ahol helyet kapott a Möbius-szalag ("Möbius-szalag és módosításai" papírral készült alkotás).

SPORT

Kézi bővítő "Robur"

Lásd kb. 12 .

Az egyikminden iskolai testnevelő tanár kedvenc dolgai, amelyek szerintüksaját kifejezése „nem vonatozikcsak a kéz izmai, deés az agyizom." Carpal expander fromStudio Art. Lebedev megismétli a Möbius-szalag formáját. Kiváló stresszoldóvégtelen éscsak egy hasznos módja annak, hogy elfoglalja a kezeit.

PARFÜM

Bugatti parfüm

Lásd kb. 13

VállalatBugattinemcsak ultradrága autók gyártását indította el (modellVeyron1,3 millió euróba kerül), hanem ... szeszes italokat is. minden kristályból készült és valódi arannyal borított palack szokatlan Mobius csík formájában készül, amelynek csak az egyik oldala van. parfüm áraBugatti3500 euró.

Parfüm Loewe Quzas, Kvíz, Kvíz

Lásd kb. tizennégy .

2011 őszén jelent meg az illat lila változata, melynek palackját Mobius szalag, a természetben a szenvedélyek körforgásának szimbóluma tekerte körül. A kompozíció gazdagságát az ázsiai narancs, bergamott, piros bogyók frissessége adja, magnólia, frézia és narancsszirmok virágszívével folytatódik, és érzéki kasmírfa, arany borostyán és vetiver kompozícióval zárul.

Parfüm UFO Limited Edition, Kenzo

Lásd kb. 15 .

Aroma bemutatóKenzo2009-ben Ron Arad munkáiból rendezett retrospektív kiállításon (RonArad) a párizsi Pompidou Központban. Ez a művész és építész alkotta meg a palack kozmikus dizájnját Möbius-szalag formájában. Úgy tervezték, hogy pontosan illeszkedjen a tenyerébe.AzonosítatlanIllatTárgy, vagy azonosítatlan aromás tárgy, 180 példányra korlátozódik, és 188 dollárba kerül.

BÚTOR

Möbius asztal

Lásd kb. 16

Egyfelületű asztal a kényelmes álláshoz, üléshez és fekvéshez.

Könyvespolc Infinity

Lásd kb. 17 .

A tervező, Job Kelevius megtörte a formát, amikor megtervezte Infiniti könyvespolcát. A Lemniscate matematikai koncepcióját és a Moebius-szalaghoz hasonlót használva a tervező a végtelen fizikai elképzelését testesítette meg az Infinity polcon. Ez azt jelenti, hogy ha elolvasta az összes könyvet ezen a polcon, gondolja úgy, hogy megértette az irodalom végtelenségét.

Möbius kanapé

Lásd kb. tizennyolc.

A "Dupla szék – dupla élvezet" mottó alatt született, kanapészékMoebiusKettőskarosszéktervező készítetteGaeCserVandeWyerBelgiumból, és egy friss látásmódot hoz a bútorok szerelmeseinek.

LOGÓK

Woolmark cég logója

Lásd kb. 19.

A logó 1964-ben készült egy tervpályázat eredményeként. zsűritagFrancoGrignaninem tudott ellenállni, és álnéven bújva felajánlotta a saját verziójátFrancescoHárem. Ez a logó egy Möbius csíkra hasonlít, és a cég örökkévalóságának és rugalmasságának szimbóluma.

Újrahasznosítás szimbólum

Lásd kb. húsz.

Az újrahasznosítás nemzetközi szimbóluma a Möbius szalag.Újrahasznosítás (egyéb kifejezések: újrahasznosítás, hulladék újrahasznosítás,újrahasznosítás és újrafeldolgozás)- a termelési hulladék vagy szemét újrafelhasználása vagy visszahelyezése a forgalomba. A leggyakoribb másodlagos, harmadlagos és T. e) Anyagok, például üveg, papír, alumínium, aszfalt, vas, textil és különféle típusú műanyagok feldolgozása. Az ókor óta használják is mezőgazdaság szerves mezőgazdasági és háztartási hulladék.

Matematika szimbólum

Lásd kb. 21 .

A Möbius-csíkot a modern matematika szimbólumának tekintik, hiszen ő adott lendületet az új matematikai kutatásoknak.

RUHÁK ÉS CIPŐK

Cipők

Lásd kb. 22.

2003-ban alapította Ram Dee Koolhaas építész és Galahad Clark cipészEgyesültMezteleninnovatív designer cipők gyártására specializálódott. A cég egyik legsikeresebb fejlesztése a cipőMobius , amelyet August Möbius geométerről és az egyoldalú felületről alkotott elképzeléséről kaptak. A cipő ötlete a következő: a cipő bőr felsőrésze és a talpa egyetlen szalag, meghatározott módon csavarva.

Moebius sál

Lásd kb. 23.

Érdekesség a 21. század gardróbjaiban megjelenő Moebius sál. Mobius sálat magad is készíthetsz, ha a sál végeit egy fordulattal meg kell kötni.

FESTMÉNY

Falfirkálás

Lásd kb. 24.

Modern Möbius csíkot festenek egy falra Prágában, Csehországban.   A szalagon kétféle jármű mozog: tankok és útépítő berendezések A modern civilizáció jelképe: rombolunk-építünk-rombolunk-építünk..

ÉPÍTÉSZET

könyvtár épülete

Lásd kb. 25.

Jelenleg egy kazahsztáni Möbius-sáv formájú könyvtár építésének projektje folyik.

Az épület ívei Möbius sávot alkotnak, így a belső tér átmegy a külsőbe és fordítva; hasonlóképpen a falak tetővé válnak, és a tető visszaváltozik falakká. A természetes fény a külső héj geometriai nyílásain keresztül jut be a belső folyosókba, gyönyörűen megvilágított tereket hozva létre, amelyek ideálisak az olvasáshoz.

látnivalók

Lásd kb. 26.

A "hullámvasút" látványossága egy Mobius szalag formájára hasonlít. Moszkvában van a világ legnagyobb fordított hullámvasútja, ahol az ember egy felfüggesztett székben ül, és a lábai a levegőben vannak. Sebesség - 81 km / h, magasság 30 m. A magasság a külföldi analógokhoz képest kicsi, de ez több mint kifizetődő a rengeteg spirál, gyűrű és halott hurok miatt.

film tekercs

Lásd kb. 27.

1923-ban szabadalmat adtak ki Lee de Force feltalálónak, aki javasolta a hang rögzítését filmre tekercscsere nélkül, mindkét oldalról egyszerre.

Kazetta

Lásd kb. 28.

Feltalálták a magnóhoz való kazettákat, ahol a szalagot összecsavarják és gyűrűvé ragasztják, miközben lehetővé válik mindkét oldalról egyszerre információ rögzítése vagy leolvasása, ami növeli a kazetta kapacitását és ennek megfelelően a lejátszási időt.

Toyota MOB autó

Lásd kb. 29.

A Möbius Bollidot Jorge Marti Vidal spanyol tervező tervezte, és ötvözi a Möbius szalag szépségét és rejtélyét. A karosszéria egyedi formája jó aerodinamikát biztosít a versenyautó számára

Mátrix nyomtató

Lásd kb. harminc.

Sok mátrixnyomtatóban a tintaszalag Möbius-szalag formájú is van, hogy növelje erőforrásait.

Möbius ellenállás

Lásd kb. 31.

Ez egy újonnan feltalált elektronikus elem, amelynek nincs saját induktivitása.

csiszolószalag

Lásd kb. 32.

1969-ben Gubaidullin szovjet feltaláló egy végtelenített csiszolószalagot javasolt Möbius szalag formájában.

Következtetés

A Möbius-csík az első egyoldalú felület, amelyet egy tudós fedezett fel. Később a matematikusok többet fedeztek fel egész sor egyoldalú felületek. De

ez - a legelső, amely a geometria egész irányának alapjait fektette le, még mindig felkelti a tudósok, feltalálók, művészek és mi, diákok figyelmét. nagyon érdekelt nyilvános ingatlanok Möbius szalag:

A Moebius csíknak egy éle, egy oldala van

A Möbius-sáv egy topológiai objektum. Mint minden topológiai alakzat, ez sem változtat a tulajdonságain mindaddig, amíg ki nem vágják, szét nem szakítják, vagy egyes darabjait össze nem ragasztják.

A Möbius-sáv egyik éle és egyik oldala nem kapcsolódik a térbeli helyzetéhez, nem kapcsolódik a távolság fogalmaihoz.

A Möbius-szalag számos felhasználási területe van a főzésben, a mérnöki munkában, a fizikában, a festészetben, az építészetben, az ékszertervezésben és az univerzum tulajdonságainak tanulmányozásában. Számos író és művész munkáját inspirálta.

1. Először emlékezzünk meg a fontos számelméleti Möbiou-függvény definíciójáról

1, ha n = 1

µ (n)=0, ha létezik p prímszám, p2 n (-1)k, ha n = p1 … pk k különböző prímtényező szorzata.

Bizonyítsuk be a Möbius-függvény fő tulajdonságát:

1. tétel.

♦ Ha n = 1, akkor az egyetlen osztó d = 1 és (1) igaz, mert µ (1) = 1. Legyen most n > 1. Az alakban ábrázoljuk

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

ahol pi , i 1, k prímszámok, si a hatványaik. Ha d osztója n-nek, akkor d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

ahol 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Ha valamely i 1, k esetén di > 1, akkor µ (d) = 0. Ezért az (1)-ben csak azokat a d-ket kell figyelembe vennünk, amelyekre di ≤ 1, i 1, k . Mindegyik ilyen osztó

az r különbözõ szorzata prímszámok, ahol r 1, k , és hozzájárulása az összeghez

(1) egyenlő (-1)r-rel, és összesen k van. Így kapunk


	µ (d) = 1 −	K + (−1) k	0. ♦



	2. tétel (Möbius inverziós képlet). Legyen f(n) és g(n) a természetes függvénye
igazi érv. Aztán az egyenlőség
			∑f(d)

akkor és csak akkor igaz, ha az egyenlőség igaz
			∑µ (d)g(
			∑µ (d)g(

♦ Legyen (2) igaz bármely n-re. Azután

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d'dn

Behelyettesítve a (3) jobb oldalába, megkapjuk

∑µ (d)g(	) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )

		d'

A jobb oldali kettős összegzést minden d, d′ páron végrehajtjuk úgy, hogy d d′ n . Ha d′-t választunk, akkor d átfut d n ′ összes osztóján. Ily módon

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

n > d′

De az (1) szerint van ∑

µ (d′ ) =

n = d′

Így létrejön a (3) egyenlőség. Legyen most (3) érvényes bármely n-re. Azután

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - osztója n-nek és a kettős összeg

n d'

át kell írni mint

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d′ )

d′′

n d′

d′′

Az (1) szerint az utolsó összeg d′′ = n esetén egységgé alakul, más esetekben

teák ez nulla. Ez bizonyítja (2). ♦ 2. Tekintsük a Möbius-inverzió alkalmazását.

Legyen adott egy s betűből álló A ábécé. Az adott ábécében sn n hosszúságú szó található. Minden szóhoz w0 = a1 a2 … egy n - 1 szó definiálható

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1, egymást ciklikus eltolódásokkal kapjuk. Az összes sn szó halmazán bevezetünk egy ekvivalencia-relációt: két szót ekvivalensnek nyilvánítunk, ha az egyiket ciklikus eltolással kapjuk. Arra leszünk kíváncsiak, hogy hány osztályban van pontosan n szó. Ilyen probléma merül fel a kódok szinkronizálásának elméletében.

Egy w szót degeneráltnak nevezünk, ha a w-t tartalmazó ekvivalenciaosztály n-nél kevesebb szóból áll. Periodikusnak nevezzük w-t, ha létezik olyan u szó és m természetes szám, amelyre w = u u … u (m-szer).

3. Tétel. Egy w szó akkor és csak akkor periodikus, ha degenerált.

mint u tudjuk venni a 1 a 2 … a p , és m =

♦ Nyilvánvaló, hogy ha w periodikus, akkor degenerált. Legyen w degenerált. Legyen p a legkisebb egész szám, amelyre w = wp . Aztán ha

w = a1 a2 … an , akkor wp = a1+p a2+p … an+p (modulo n indexek). Ezért azt kapjuk, hogy n p. (Könnyen belátható, hogy p n). ♦ Háttérkép

jelentős az M(d) szempontjából – a d szót tartalmazó négyzetek száma. Az előzőből megvan

dn. Így a képlet∑ dM(d) = s n . d n

Alkalmazzuk a Möbius inverziós képletet a g(n) = sn, f(d) = dM(d) esetre. Akkor kapunk

nM(n) = ∑ µ(d)s n d n

∑µ (d)sn d

Így M(n) a számunkra érdekes szám. Ha n = p prímszám, akkor

− s)

Létezik a Möbius-inverzió multiplikatív változata. Becsületes

4. Tétel. Legyen f(n) és g(n) egy természetes argumentumhoz kapcsolódó függvény

fárasztó

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

És fordítva, az (5)-ből a (4) következik.

A Möbius-inverziós képlet segítségével megoldható a gyakorlatban fontos probléma, hogy véges téren hány fix fokú irreducibilis polinomok száma. Legyen GF(q) q elemből álló mező, m pedig természetes szám. Aztán a számra

Φ m (q) irreducibilis polinomok a GF(q) mező felett, megkapjuk a képletet

Adjunk egy táblázatot a Φ m (2) függvény több első értékéről.


Φm(2)

5. § Az állandó személyek és alkalmazásuk a felsorolásra

1. Számos kombinatorikus probléma megoldására állandókat használnak. Tekintsünk egy számmátrixot

A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m

Az A mátrix állandóját (jelölés - per A) az egyenlőség határozza meg

per A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K , jn )
(j1 ,K , jn )

ahol az összegzést m elem 1, 2, m összes n-permutációján végezzük. Más szóval, egy mátrix állandója egyenlő az egyes sorokból és különböző oszlopokból egyenként vett elemek szorzatainak összegével.

Az (1) képlet magában foglalja a permanens néhány nyilvánvaló tulajdonságát, hasonlóan a négyzetmátrixok determinánsához.

1. Ha az egyik sor(n × m)-A (n ≤ m) mátrix nullákból áll, ekkor per A = 0. n = m esetén ugyanez igaz az oszlopokra is.

2. Ha az A mátrix egyik sorának összes elemét megszorozzuk valamilyen számmal, akkor a permanens A értéke megszorozzuk ugyanennyivel.

3. Az állandó nem változik, ha sorait és oszlopait átrendezi.

Jelölje Aij-vel az A-ból az i-edik sor és a j-edik oszlop törlésével kapott mátrixot.

4. Az i-edik sorban lévő állandó bővítésének képlete érvényes A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + cél per cél (2).

így az állandók számos tulajdonsága hasonló a determinánsokéhoz.

A det(A B) = detA detB determinánsok fő tulajdonsága azonban nem áll fenn állandókra, és ez a körülmény nagymértékben megnehezíti a számításukat.


Például,


	2, per


Azonban 4 = per		≠ per

Tekintsük a permanens fogalmának egyik legfontosabb alkalmazását kombinatorikus problémákban.

dachas. Legyen X = (x1 , xm ) véges halmaz, X1 , … , Xn pedig részhalmazok rendszere

Ebben az esetben az xi elemről azt mondjuk, hogy az Xi halmazt képviseli. Számos alkalmazott probléma megoldása során felmerül a különböző képviselők rendszerének megtalálása. Tekintsük a következő kódolási problémát. Legyen valami mondat, pl. rendezett szókészlet valamilyen ábécében. Ezt a mondatot úgy kell kódolni, hogy minden szó egy betűhöz legyen társítva, és ennek a betűnek a szó részének kell lennie, és a különböző betűknek különböző szavaknak kell megfelelniük.

Példa: Az a bc ab d abe c de cd e mondat abecd-ként kódolható. Ugyanakkor az ab ab bc abc bcd mondat nem kódolható így, mivel az első négy szó összesen csak három betűt tartalmaz.

X1 , … , Xn halmazok rendszerére definiáljuk előfordulási mátrix A = (aij ), i = 1, n ,


	1 ha xi
a ij =
	0 egyébként.
Becsületes
1. Tétel. Legyen A = (aij ), i =		(n ≤ m) előfordulási mátrix
1. Tétel. Legyen A = (aij ), i =		(n ≤ m) előfordulási mátrix

X1 , … , Xn halmazok, ahol Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Aztán a rendszerek számához

az X1 , … , Xn halmazok R(X1 , … , Xn ) személyes képviselői

R(X1 , … , Xn ) = per A

♦ Valóban, mivel az A mátrixban az aij = 1 elem, ha xj Xi és aij = 0 ,

ha xj

K, xi

) X elemei különböző elő-

Xi , majd a készlet (xi

beszállítók X1 , … , Xn

akkor és csak akkor, ha a1i

K ,a ni

rendőrök a1i

K ,a ni

Az A mátrix különböző oszlopaiban vannak. Adja össze a számokat

a1i ,K ,a ni

az 1, 2, ... , m elemek összes n-permutációján. Akkor kapunk százat

másrészt az X1 , … , Xn különböző reprezentánsok rendszereinek száma, másrészt a per-

mátrix A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Következmény. X1 , … , Xn különböző reprezentatív rendszere akkor és csak akkor létezik, ha a megfelelő mátrixra az A előfordulás teljesül:

Mivel az (1) képletben m(m - 1) ... (m - n +1) tag van, a definíció alapján a permanens kiszámítása nehézkes. Erre a célra egy általános képletet adunk.

2. Az А = (aij ), i, j = 1, n négyzetes numerikus mátrixok figyelembevételére szorítkozunk.

Ekkor per A = ∑

(i1 ,K ,in )

ahol az összeg kiterjed az összes i1 , … , elemi permutációra

1, 2, …, n. Alkalmazzuk a befogadás-kizárás képletet az A mátrix állandójának kiszámítására. Minden i1 , … , in halmazhoz a1i 1 ,K ,a ni n-nek megfelelő súlyt rendelünk.

Tehát az állandó A azoknak a halmazoknak a súlyainak összege, amelyek megfelelnek a permutációknak. Vezessünk be n P1 , … , Pn tulajdonságot az összes i1 , i2 , … , 1, 2, … , n gyűjtemény halmazán, ahol a Pi tulajdonság azt jelenti, hogy az i1 , … , in gyűjteménynek nincs i eleme. Így a permanens A azon i1 , … halmazok súlyainak összege, amelyek nem rendelkeznek a P1 , … , Pn tulajdonságokkal. Meg kell határozni a k tulajdonságú halmazok W(Pi 1 ,K , Pi k ) súlyainak összegét

Pi 1 ,K , Pi k . Megvan az összes i1 , … , ik halmaz W(0) súlyainak összege.
W(0) = ∑		K , a ni	= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
i1 ,K ,in

W(N(Pi )) =		a1i ,K , a ni		= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)

	≠i

ahol az A mátrix eleme feletti ^ jel azt jelenti, hogy ezt az elemet ki kell hagyni. Hasonlóképpen sij (i< j) имеем


W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Most a befogadás-kizárás képlet segítségével megkapjuk a Raiser képletet az állandó A-hoz:


per A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +

+ (− 1)s	∑∏n
+ (− 1)s	∑∏n	(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L + a kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Az állandó számítását a Raiser képlet szerint úgy is meg lehet szervezni, hogy az szükséges

(2n - 1)(n - 4) szorzás és (2n - 2)(n + 1) összeadás. Bár ez az érték gyorsan növekszik n-nel, ez a képlet adja a legtöbbet hatékony módszerállandó számítások.

3. Tisztázzuk most a (0, 1)-mátrix állandójának nullával való egyenlőségének feltételeit. Egy négyzetmátrix esetére szorítkozunk.

2. Tétel. Legyen A = (aij ), i, j = 1, n n rendű (0, 1)-mátrix. Azután

per A= 0 akkor és csak akkor, ha A-nak van s × t nullákból álló részmátrixa, ahol s + t = n + 1.

♦ Legyen ilyen nulla részmátrix A-ban. Mivel az állandó nem változik a sorok és oszlopok permutációitól, feltételezhetjük, hogy ez az almátrix a bal alsó sarokban található, pl.

ahol O - (s × t) nullák mátrixa, a B részmátrix mérete (n - s) × t. Az állandó A bármely tagjának tartalmaznia kell egy-egy elemet az első t oszlopból. Ezért ha keres pozitív kifejezésállandó, akkor ezen oszlopok elemeinek páronként különböző sorokba kell tartozniuk 1, 2, …, n - s számokkal. Azonban n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Legyen most per A = 0. A tételt n-en indukcióval igazoljuk. n = 1 esetén az állítás nyilvánvaló (A = (0)). Legyen érvényes minden n-nél kisebb rendelésre. Ha A egy n-rendű nulla mátrix, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha A nem nulla mátrix, akkor legyen aij = 1. Írjuk fel A felosztását az i sorba:

per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Mivel per А = 0, akkor per Аij = 0. De Аij mérete (n - 1) × (n - 1), és az indukciós hipotézis szerint létezik egy méretű nullákból álló almátrix

s1 × t1 és s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Rendezd át a sorokat és oszlopokat úgy, hogy ez a nulla részmátrix a bal alsó sarokban legyen:


A→B=

ahol О - s1 × t1 méretű nulla részmátrix, s1 + t1 = n, С - mérete (n - s1 ) × t1, D -

mérete s1 × (n - t) . Ezért a С és D mátrixok négyzetek, sorrendjük (t1 × t1 ), illetve (s1 × s1 ). Az állandó definíciója szerint per B = per A és

per B = per C per D, tehát per A = 0-ból az következik, hogy vagy per C = 0 vagy per D = 0.

Legyen per C = 0. Az induktív hipotézis szerint C-nek nulla méretű részmátrixa van

u × v, ahol u + v = t1 + 1. Legyen az i1 , … , iu számú sorokban és a j1 , … , jv számokkal rendelkező oszlopokban. Tekintsünk egy sorokból álló B részmátrixot

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n és j1 , … , jv oszlopok. Ez egy null részmátrix, amelynek mérete (u + n - t1 ) × v,

ahol u + n - t1 + v = n + +1. Tehát a B mátrix egy s × t méretű nulla részmátrixot tartalmaz, ahol s + t = n + 1. Mivel az A és B mátrixok a sorok és oszlopok permutációjában különböznek, a tétel bizonyítást nyert. ♦

Tekintsük most az A mátrix egy fontos esetét. Jelölje A(k, n) az n × n 0,1 elemű mátrixot, ahol minden sorra és minden oszlopra k egyes (k > 0).

3. Tétel. Bármely A(k, n) mátrixra van per A(k, n) > 0.

♦ Tegyük fel ennek ellenkezőjét, hogy per A(k, n) = 0. Ekkor a 2. Tétel szerint létezik nulla

s × t méretű részmátrix, ahol s + t = n + 1. Ekkor az A(k, n) mátrix sorait és oszlopait átrendezve megkapjuk a mátrixot

ahol O a nulla (s × t) mátrix.

Számoljuk meg az 1-esek számát a B és D mátrixokban. Mivel A(k, n) minden sorban és oszlopban k 1-es van, pontosan k 1 van B minden oszlopában és D minden sorában.

egységek. Összesen n k egység van A(k, n-ben), tehát nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Így

zom, n ≥ t + s, ami lehetetlen, mert s + t = n + 1

az állítás érvényessége. ♦ Hasonlóképpen bebizonyosodik

3a. Tétel. Legyen A egy n × m (n≤ m) méretű (0,1)-mátrix. Ekkor perA = 0 akkor és csak akkor, ha s × t méretű nulla részmátrixot tartalmaz, ahol s+t=m+1.

4. Tekintsük most a szóban forgó kérdések alkalmazását egy szélességi fok felépítésére.

ón négyzetek. latin (n × m)-téglalap az X=(x1 ,…,xm ) halmaz felett

X elemeinek (n × m)-mátrixának nevezzük, amelyben minden sor X n-permutációja, minden oszlop pedig az X halmaz m-permutációja. n=m esetén a latin téglalapot ún. Latin tér.

Nyilvánvaló, hogy n=1 esetén a latin 1 × m-es téglalapok száma egyenlő m!-vel. n=2 esetén az első sor kiválasztása után bármely permutáció másodiknak tekinthető.

innováció, amely ellentmond a kiválasztottnak. Az ilyen permutációk száma Dm , tehát a szám 2× m -

latin téglalapok egyenlő m-vel! Dm.

Természetes kérdés vetődik fel a latin négyzetek induktív konstrukciójával kapcsolatban. Készítsünk egy latin (n × m)-téglalapot (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

Becsületes

4. Tétel. Minden latin (n × m) -téglalap n

♦ Legyen X=(x1 ,…,xm ) és L-Latin (n × m)-téglalap X elemekkel. Tekintsünk egy olyan A1 ,… ,Am halmazt, ahol Ai az i-edik oszlop elemei. Latin téglalap L. Legyen A - az A1 ,… ,Am halmazrendszer beesési mátrixa. Mérete m × m , és az A mátrix minden sora pontosan n darabot tartalmaz, mert Ai = n, i = 1, m . Minden xi X elem legfeljebb m-szer jelenhet meg az L oszlopban, különben lenne olyan sor, amelyben ez az elem kétszer fordul elő. Az elemek teljes száma

L egyenlő m n-nel, így minden xi X elem pontosan n-szer jelenik meg az oszlopokban. Ez azt jelenti, hogy az A mátrix minden oszlopa pontosan n darabot tartalmaz. Tekintsük most azt az A mátrixot, amelyet úgy kapunk, hogy minden 1-et nullára cserélünk, és minden nullát 1-gyel helyettesítünk.

Az A mátrix az X1 , … , Xn halmazok rendszerének előfordulási mátrixa, ahol Xi = X\Ai ,

i = 1, m . Minden sorban és minden oszlopban m-n egyet tartalmaz. tétel szerint

> 0. Legyen ai1

… egy mi

≠ 0. Ekkor van xi X1 ,K , xi

Xm és minden elem

xi ,K , xi

páronként eltérőek. Vonal

xi ,K , xi

az (n + 1)-ediknek tekinthető

a latin (n × m)-téglalapra L. Ezt az eljárást folytatva megkapjuk a latin

ég tér. ♦

Jelölje l n - az n-es rendű latin négyzetek számát az X = (1, 2, ... , n) halmaz elemeivel, amelyben az első oszlop és az első sor elemei természetes sorrendben vannak. Itt van egy táblázat az l n szám számos ismert értékével:

5. Valós, nem negatív elemekkel rendelkező A = (aij ) n × n mátrixot ún. kétszeresen sztochasztikus, ha

μ( n) minden természetes számra van definiálva nés értékeket vesz fel a szám felbomlásának természetétől függően n az elsődleges tényezők közé:

μ( n) = 1 ha n négyzetmentes (azaz egyetlen prímszám négyzetével sem osztható) és a felosztás n páros számú tényező;
μ( n) = − 1 ha n négyzetektől és bomlástól mentes n prímtényezőkbe páratlan számú tényezőből áll;
μ( n) = 0, ha n nem mentes a négyzetektől.

Definíció szerint μ(1) = 1 is feltételezhető.

Tulajdonságok és alkalmazások

A Möbius-függvény multiplikatív: bármilyen relatív prímszámra aÉs b egyenlőség μ( ab) = μ( a)μ( b) .

A Möbius-függvény értékeinek összege egy egész szám minden osztóján n, nem egyenlő eggyel, egyenlő nullával

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Ebből különösen az következik, hogy bármely nem üres véges halmaz esetén a páratlan számú elemből álló különböző részhalmazok száma megegyezik a páros számú elemből álló különböző részhalmazok számával - ez a tény a bizonyíték.

A Möbius-függvény a Mertens-függvényhez kapcsolódik a reláció révén

A Mertens-függvény viszont szorosan összefügg a Riemann-zéta-függvény nulláinak problémájával, lásd a Mertens-sejtés cikkét.

Möbius inverzió

Az első Möbius inverziós képlet

Aritmetikai függvényekhez fÉs g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d \| n

ha, és csak akkor ha

A második Möbius-inverziós képlet

Valós értékű függvényekhez f(x) És g(x) címen meghatározott,

ha, és csak akkor ha

Itt az összeget a következőképpen értelmezzük.

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "Mobius függvény" más szótárakban:

A μ(n) Möbius-függvény a számelméletben és a kombinatorikában használt multiplikatív aritmetikai függvény, amelyet Möbius német matematikusról neveztek el, aki először 1831-ben vette figyelembe. Tartalom 1 Definíció 2 Tulajdonságok és alkalmazások ... Wikipédia

Az átalakítások típusa bekapcsolva összetett sík(szürke) és a Riemann-gömb (fekete) Tartalom 1 Definíció 2 Algebrai tulajdonságok ... Wikipédia

Tört lineáris függvény olyan alakú függvény, ahol z = (z1,...,zn) komplex vagy valós változók, ai,b,ci,d komplex vagy valós együtthatók. A "lineáris törtfüggvény" kifejezést gyakran használják a transzformáció speciális esetére ... ... Wikipédia

A Möbius sorozat egy függvénysor, amelynek alakja Ezt a sorozatot Möbius vizsgálta, és talált egy inverziós képletet erre a sorozatra: ahol μ (s) a Möbius függvény ... Wikipédia

AZ ORVOSI KUTATÁS MÓDSZEREI - І. Általános elvek orvosi kutatás. Ismereteink gyarapodása, elmélyülése, a klinika egyre több technikai felszereltsége, a fizika, a kémia és a technika legújabb vívmányainak felhasználására épül, a módszerek ezzel járó bonyolítása ... ... Nagy Orvosi Enciklopédia

A szülés során kialakuló kóros állapot, amelyet a gyermek szöveteinek és szerveinek károsodása jellemez, általában működési zavarokkal együtt. Az R. kialakulására hajlamosító tényezők ún. helytelenek ... ... Orvosi Enciklopédia