FERMAT VELIKA TEOREMA - izjava Pjera Ferma (francuskog pravnika i honorarnog matematičara) da Diofantova jednačina X n + Y n = Z n, sa eksponentom n>2, gde je n = ceo broj, nema rešenja u cijeli brojevi pozitivni brojevi. Autorski tekst: "Nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke, ili bi-kvadrat na dva bi-kvadrata, ili općenito stepen veći od dva na dva stepena s istim eksponentom."

"Fermat i njegova teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pjer je došao do ove teoreme 29. marta 1636. godine. I nakon nekih 29 godina, umro je. Ali tu je sve počelo. Uostalom, bogati njemački matematičar po imenu Wolfskel zavještao je sto hiljada maraka onome koji iznese potpuni dokaz Fermatove teoreme! Ali uzbuđenje oko teoreme bilo je povezano ne samo s tim, već i sa profesionalnim matematičkim uzbuđenjem. Sam Fermat je nagovestio matematičkoj zajednici da je znao dokaz – neposredno pre svoje smrti, 1665. godine, ostavio je sledeći zapis na marginama knjige Diofant Aleksandrijski „Aritmetika“: „Imam veoma neverovatan dokaz, ali je prevelik za postavljanje na polja."

Upravo je taj nagovještaj (plus, naravno, novčana nagrada) natjerao matematičare da neuspješno potroše svoje najbolje godine(Prema proračunima američkih naučnika, samo profesionalni matematičari su na to ukupno potrošili 543 godine).

U nekom trenutku (1901. godine) rad na Fermatovoj teoremi stekao je sumnjivu slavu "rad srodnog potrazi za vječnim motorom" (postojao je čak i pogrdni izraz - "fermatisti"). I iznenada, 23. juna 1993. godine, na matematičkoj konferenciji o teoriji brojeva u Kembridžu, engleski profesor matematike sa Univerziteta Princeton (Nju Džersi, SAD) Endru Vajls je objavio da je konačno dokazao Fermata!

Dokaz, međutim, nije bio samo komplikovan, već i očigledno pogrešan, kako su Wilesa istakle njegove kolege. Ali profesor Wiles je čitavog života sanjao da dokaže teoremu, pa nije iznenađujuće što je u maju 1994. naučnoj zajednici predstavio novu, poboljšanu verziju dokaza. U njemu nije bilo harmonije, lepote, a i dalje je bilo veoma komplikovano - činjenica da su matematičari čitavu godinu (!) analizirali ovaj dokaz da bi shvatili nije li pogrešan, govori sama za sebe!

Ali na kraju se pokazalo da je Wilesov dokaz tačan. Ali matematičari nisu oprostili Pierreu Fermau sam njegov nagovještaj u Aritmetici, i, zapravo, počeli su ga smatrati lažovom. Zapravo, prva osoba koja je dovela u pitanje Fermatov moralni integritet bio je lično Andrew Wiles, koji je primijetio da "Fermat nije mogao imati takav dokaz. Ovo je dokaz iz dvadesetog vijeka." Tada je, među ostalim naučnicima, ojačalo mišljenje da Fermat "ne može dokazati svoju teoremu na drugi način, a Fermat je nije mogao dokazati na način na koji je išao Wiles, iz objektivnih razloga."

U stvari, Fermat bi to, naravno, mogao dokazati, a malo kasnije će ovaj dokaz ponovo kreirati analitičari Nove analitičke enciklopedije. Ali - koji su to "objektivni razlozi"?
Zapravo, postoji samo jedan takav razlog: u onim godinama kada je Fermat živeo, Tanijamina pretpostavka se nije mogla pojaviti, na kojoj je Andrew Wiles izgradio svoj dokaz, jer su modularne funkcije na kojima funkcioniše Taniyamina pretpostavka otkrivene tek krajem 19. veka. .

Kako je sam Wiles dokazao teoremu? Pitanje nije prazno - ovo je važno za razumijevanje kako bi sam Fermat mogao dokazati svoju teoremu. Wiles je svoj dokaz izgradio na dokazu Tanijamine pretpostavke koju je 1955. iznio 28-godišnji japanski matematičar Yutaka Taniyama.

Pretpostavka zvuči ovako: "svaka eliptična kriva odgovara određenom modularnom obliku." Odavno poznate eliptične krive imaju dvodimenzionalni oblik (nalaze se na ravni), dok modularne funkcije imaju četverodimenzionalni oblik. Odnosno, Taniyamina hipoteza kombinirala je potpuno različite koncepte - jednostavne ravne krivulje i nezamislive četverodimenzionalne forme. Sama činjenica povezivanja različitodimenzionalnih figura u hipotezi naučnicima se činila apsurdnom, zbog čega joj 1955. godine nije pridavan nikakav značaj.

Međutim, u jesen 1984. godine, "Taniyamina hipoteza" je iznenada ponovo zapamćena, i ne samo zapamćena, već je njen mogući dokaz povezan sa dokazom Fermatove teoreme! To je uradio matematičar iz Saarbrikena Gerhard Frej, koji je obavestio naučnu zajednicu da "ako bi iko mogao da dokaže Tanijaminu pretpostavku, onda će Fermatova poslednja teorema biti dokazana."

Šta je Frey uradio? Pretvorio je Fermatovu jednačinu u kubnu, a zatim je skrenuo pažnju da eliptična kriva koja se dobije pretvaranjem Fermatove jednačine u kubnu ne može biti modularna. Međutim, Taniyamina pretpostavka navodi da svaka eliptična kriva može biti modularna! U skladu s tim, eliptična kriva konstruirana iz Fermatove jednadžbe ne može postojati, što znači da ne može postojati cjelovita rješenja i Fermatova teorema, što znači da je istinita. Pa, 1993. godine, Andrew Wiles je jednostavno dokazao Tanijaminu pretpostavku, a time i Fermatov teorem.

Međutim, Fermatova teorema se može dokazati mnogo jednostavnije, na osnovu iste multidimenzionalnosti na kojoj su operirali i Taniyama i Frey.

Za početak, obratimo pažnju na uslov koji je odredio sam Pierre Fermat - n>2. Zašto je ovaj uslov bio neophodan? Da, samo zbog činjenice da za n=2 obična Pitagorina teorema X 2 +Y 2 =Z 2 postaje poseban slučaj Fermaove teoreme, koja ima beskonačan broj cjelobrojnih rješenja - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 i tako dalje. Dakle, Pitagorina teorema je izuzetak od Fermaove teoreme.

Ali zašto tačno u slučaju n=2 dolazi do takvog izuzetka? Sve dolazi na svoje mjesto ako vidite odnos između stepena (n=2) i dimenzije same figure. Pitagorin trougao je dvodimenzionalna figura. Nije iznenađujuće da se Z (odnosno hipotenuza) može izraziti u terminima kateta (X i Y), koji mogu biti cijeli brojevi. Veličina ugla (90) omogućava da se hipotenuza smatra vektorom, a krakovi su vektori koji se nalaze na osi i dolaze iz početka. Shodno tome, moguće je izraziti dvodimenzionalni vektor koji ne leži ni na jednoj osi u terminima vektora koji leže na njima.

Sada, ako idemo na treću dimenziju, a time i na n=3, da bismo izrazili 3d vektor, neće biti dovoljno informacija o dva vektora, pa će stoga biti moguće izraziti Z u Fermatovoj jednačini u terminima najmanje tri člana (tri vektora koja leže, respektivno, na tri ose koordinatnog sistema).

Ako je n=4, onda bi trebalo biti 4 člana, ako je n=5, onda bi trebalo biti 5 članova, itd. U ovom slučaju će biti više nego dovoljno cjelovitih rješenja. Na primjer, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 i tako dalje (možete odabrati druge primjere za n=3, n=4 i tako dalje).

Šta iz svega toga slijedi? Iz ovoga slijedi da Fermatova teorema zaista nema cjelovita rješenja za n>2 - ali samo zato što je sama jednadžba netačna! Sa istim uspjehom, mogao bi se pokušati izraziti volumen paralelepipeda kroz dužine njegove dvije ivice - naravno, to je nemoguće (cijela rješenja nikada neće biti pronađena), ali samo zato što se pronalazi volumen paralelepipeda , morate znati dužine sve tri njegove ivice.

Kada su poznatog matematičara Dejvida Gilberta upitali šta je sada najvažniji zadatak nauke, on je odgovorio „uhvatiti muvu na suprotnoj strani meseca“. Na razumno pitanje "kome to treba?" odgovorio je ovako: "To nikome nije potrebno. Ali razmislite o tome koliko važnih i složenih zadataka trebate riješiti da biste to ostvarili."

Drugim riječima, Fermat (prije svega pravnik!) je odsvirao duhovitu pravnu šalu na cijeli matematički svijet, na osnovu netačne formulacije problema. On je, naime, predložio da matematičari nađu odgovor zašto muva ne može da živi na drugoj strani Meseca, a na marginama Aritmetike je samo hteo da napiše da na Mesecu jednostavno nema vazduha, tj. ne može postojati cjelobrojna rješenja njegove teoreme za n>2 samo zato što svaka vrijednost n mora odgovarati određenom broju članova na lijevoj strani njegove jednačine.

Ali je li to bila samo šala? Ne sve. Fermatov genij je upravo u tome što je on zapravo prvi uvideo odnos između stepena i dimenzije matematičke figure – odnosno, što je apsolutno ekvivalentno broju članova na levoj strani jednačine. Smisao njegove čuvene teoreme bio je upravo u tome da ne samo gura matematički svijet na ideju ovog odnosa, ali i na pokretanje dokaza postojanja ovog odnosa - intuitivno razumljivog, ali još ne matematički potkrijepljenog.

Fermat je, kao nitko drugi, shvatio da je uspostavljanje odnosa između naizgled različitih objekata izuzetno plodno ne samo u matematici, već iu svakoj nauci. Takav odnos ukazuje na neki duboki princip koji leži u osnovi oba objekta i omogućava dublje razumijevanje istih.

Na primjer, u početku su fizičari smatrali elektricitet i magnetizam potpuno nepovezanim fenomenima, a u 19. stoljeću teoretičari i eksperimentatori su shvatili da su elektricitet i magnetizam usko povezani. Rezultat je bio dublje razumijevanje elektriciteta i magnetizma. Električne struje generirati magnetna polja, a magneti mogu inducirati elektricitet u provodnicima u blizini magneta. To je dovelo do izuma dinamo i električnih motora. Na kraju je otkriveno da je svjetlost rezultat koordinisanih harmonijskih oscilacija magnetskog i električnog polja.

Matematika Fermatovog vremena sastojala se od ostrva znanja u moru neznanja. Geometri su proučavali oblike na jednom ostrvu, a matematičari su proučavali verovatnoću i slučajnost na drugom ostrvu. Jezik geometrije bio je veoma različit od jezika teorije verovatnoće, a algebarska terminologija bila je strana onima koji su govorili samo o statistici. Nažalost, matematika našeg vremena se sastoji od približno istih ostrva.

Farma je prva shvatila da su sva ova ostrva međusobno povezana. I njegova poznata teorema - Fermatova VELIKA TEOREMA - odlična je potvrda toga.

Za cijele brojeve n veće od 2, jednačina x n + y n = z n nema rješenja različita od nule u prirodnim brojevima.

Vjerovatno se sjećate iz školskih dana Pitagorina teorema: kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata kateta. Možda se sećate i klasičnog pravouglog trokuta sa stranicama čije su dužine povezane kao 3:4:5. Pitagorina teorema za njega izgleda ovako:

Ovo je primjer rješavanja generalizirane Pitagorine jednadžbe u cijelim brojevima koji nisu nula za n= 2. Fermatova posljednja teorema (takođe nazvana "Fermatova posljednja teorema" i "Fermatova posljednja teorema") je izjava da, za vrijednosti n> 2 jednačine oblika x n + y n = z n nemaju rješenja različita od nule u prirodnim brojevima.

Istorija Fermatove poslednje teoreme je veoma zabavna i poučna, i to ne samo za matematičare. Pierre de Fermat je doprinio razvoju različitih oblasti matematike, ali je glavni dio njegovog naučnog naslijeđa objavljen tek posthumno. Činjenica je da je matematika za Fermata bila nešto poput hobija, a ne profesionalnog zanimanja. Dopisivao se sa vodećim matematičarima svog vremena, ali nije nastojao da objavi svoj rad. Fermaovi naučni radovi uglavnom se nalaze u obliku privatne korespondencije i fragmentarnih bilješki, često na marginama raznih knjiga. Nalazi se na marginama (drugog toma starogrčke aritmetike od Diofanta. - Bilješka. prevodilac) ubrzo nakon smrti matematičara, potomci su otkrili formulaciju poznate teoreme i postscript:

« Našao sam zaista divan dokaz za to, ali ove margine su mu preuske.».

Nažalost, Fermat se, očigledno, nikada nije potrudio da zapiše „čudesan dokaz“ koji je pronašao, a potomci su ga bezuspešno tražili više od tri veka. Od cjelokupnog Fermatovog različitog naučnog naslijeđa, koje sadrži mnogo iznenađujućih izjava, Velika teorema je bila ta koja se tvrdoglavo opirala rješenju.

Ko nije prihvatio dokaz Fermatove posljednje teoreme - sve uzalud! Drugi veliki francuski matematičar, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), nazvao je Ferma "hvalisavom", a engleski matematičar John Wallis (John Wallis, 1616-1703) ga je nazvao "prokletim Francuzom". Sam Fermat je ipak ostavio za sobom dokaz svoje teoreme za slučaj n= 4. Sa dokazom za n= 3 rešio je veliki švajcarsko-ruski matematičar 18. veka Leonard Ojler (1707–83), nakon čega, pošto nije uspeo da pronađe dokaze za n> 4, u šali ponudio da pretraži Fermatovu kuću kako bi pronašao ključ izgubljenih dokaza. U 19. veku, nove metode teorije brojeva omogućile su da se tvrdnja dokaže za mnoge cele brojeve unutar 200, ali, opet, ne za sve.

Za ovaj zadatak 1908. godine ustanovljena je nagrada od 100.000 DM. Nagradni fond zavještan je njemačkom industrijalcu Paulu Wolfskehlu, koji se, prema legendi, spremao da izvrši samoubistvo, ali ga je Fermatova posljednja teorema toliko zanijela da je promijenio mišljenje o smrti. Sa pojavom sabiranja mašina, a zatim i kompjutera, traka vrednosti n počeo da raste sve više i više - do 617 do početka Drugog svetskog rata, do 4001 1954. godine, do 125.000 1976. godine. Krajem 20. vijeka, najmoćniji kompjuteri vojnih laboratorija u Los Alamosu (Novi Meksiko, SAD) programirani su za rješavanje Fermatovog problema u pozadini (slično kao screen saver mod personalnog računara). Tako je bilo moguće pokazati da je teorema tačna za nevjerovatno velike vrijednosti x, y, z I n, ali to ne može poslužiti kao rigorozan dokaz, budući da je bilo koja od sljedećih vrijednosti n ili trojke prirodni brojevi može opovrgnuti teoremu u cjelini.

Konačno, 1994. godine, engleski matematičar Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, r. 1953.), dok je radio na Princetonu, objavio je dokaz Fermatove posljednje teoreme, koji se, nakon nekih modifikacija, smatrao iscrpnim. Dokaz je zauzeo više od sto stranica časopisa i bio je zasnovan na korištenju modernog aparata više matematike, koji nije bio razvijen u Fermatovoj eri. Pa šta je onda Fermat mislio ostavljajući poruku na marginama knjige da je pronašao dokaz? Većina matematičara sa kojima sam razgovarao na ovu temu istakla je da je tokom vekova bilo više nego dovoljno netačnih dokaza Fermatove poslednje teoreme, i da je verovatno da je sam Fermat pronašao sličan dokaz, ali nije uspeo da vidi grešku u to. Međutim, moguće je da još uvijek postoji neki kratak i elegantan dokaz Fermatove posljednje teoreme, koji još nitko nije pronašao. Sa sigurnošću se može reći samo jedno: danas sigurno znamo da je teorema tačna. Mislim da bi se većina matematičara bezrezervno složila sa Endrjuom Vajlsom, koji je o svom dokazu primetio: "Sada je moj um konačno miran."

Prije mnogo godina dobio sam pismo iz Taškenta od Valerija Muratova, sudeći po rukopisu, čovjeka adolescencija, koji je tada živio u Komunističkoj ulici u kući broj 31. Tip je bio odlučan: "Odmah na stvar. Koliko ćete mi platiti za dokazivanje Fermaove teoreme? Odgovara mi najmanje 500 rubalja. novac..."

Nevjerovatan paradoks: malo ljudi zna ko je Fermat, kada je živio i šta je radio. Ipak manje ljudi može čak opisati svoju veliku teoremu u najopštijim terminima. Ali svi znaju da postoji neka vrsta Fermaove teoreme, oko čijeg se dokazivanja matematičari cijelog svijeta bore više od 300 godina, ali to ne mogu dokazati!

Mnogo je ambicioznih ljudi, a sama svijest da postoji nešto što drugi ne mogu učiniti, dodatno podstiče njihovu ambiciju. Stoga su hiljade (!) dokaza Velike teoreme stigle i stigle na akademije, naučne institute, pa čak i u redakcije novina širom svijeta – rekord bez presedana i nikad oboren rekord pseudonaučnog amaterskog izvođenja. Postoji čak i izraz: "fermatisti", odnosno ljudi opsjednuti željom da dokažu Veliku teoremu, koji su profesionalne matematičare potpuno iscrpili zahtjevima da procijene svoj rad. Čuveni njemački matematičar Edmund Landau čak je pripremio standard, prema kojem je odgovorio: "Postoji greška na stranici u vašem dokazu Fermatove teoreme...", a njegovi diplomirani studenti su zapisali broj stranice. A u ljeto 1994. novine širom svijeta izvještavaju nešto potpuno senzacionalno: Velika teorema je dokazana!

Dakle, ko je Fermat, šta je suština problema i da li je on zaista rešen? Pierre Fermat rođen je 1601. godine u porodici kožara, bogatog i cijenjenog čovjeka - služio je kao drugi konzul u svom rodnom gradu Beaumontu - ovo je nešto kao pomoćnik gradonačelnika. Pjer je prvo studirao kod franjevačkih redovnika, zatim na Pravnom fakultetu u Toulouseu, gdje se potom bavio advokaturom. Međutim, Fermatov opseg interesovanja je otišao daleko od jurisprudencije. Posebno ga je zanimala klasična filologija, poznati su njegovi komentari na tekstove antičkih autora. A druga strast je matematika.

U 17. veku, kao i mnogo godina kasnije, nije postojala takva profesija: matematičar. Stoga su svi veliki matematičari tog vremena bili matematičari na pola radnog vremena: Rene Descartes je služio vojsku, Francois Viet je bio advokat, Francesco Cavalieri je bio monah. naučni časopisi tada nije, a klasik nauke Pjer Ferma za života nije objavio ni jedno naučno delo. Postojao je prilično uzak krug "amatera" koji su za njih rješavali razne zanimljive probleme i pisali jedni drugima pisma o tome, ponekad se svađajući (kao Fermat sa Descartesom), ali su, u osnovi, ostali istomišljenici. Oni su postali osnivači nove matematike, sijači blistavih sjemenki, iz kojih je počelo rasti, jačati i granati se moćno drvo modernog matematičkog znanja.

Dakle, Fermat je bio isti "amater". U Toulouseu, gdje je živio 34 godine, svi su ga poznavali, prije svega, kao savjetnika Istražne komore i iskusnog advokata. Sa 30 godina se oženio, dobio tri sina i dvije ćerke, ponekad je išao na službena putovanja, a na jednom od njih iznenada je preminuo u 63. godini. Sve! Život ovog čovjeka, suvremenika Tri mušketira, iznenađujuće je bez događaja i lišen avantura. Avanture su pale na udio njegove Velike teoreme. Nećemo govoriti o cjelokupnom Fermatovom matematičkom naslijeđu, a teško je o njemu govoriti na popularan način. Vjerujte mi na riječ: ovo naslijeđe je veliko i raznoliko. Tvrdnja da je Velika teorema vrhunac njegovog rada je vrlo diskutabilna. Samo što je sudbina Velike teoreme iznenađujuće zanimljiva, a ogroman svijet ljudi neupućenih u misterije matematike oduvijek je bio zainteresiran ne za samu teoremu, već za sve oko nje...

Korijene cijele ove priče treba tražiti u antici, koju je Fermat toliko volio. Otprilike u 3. veku u Aleksandriji je živeo grčki matematičar Diofant, naučnik koji je razmišljao na originalan način, razmišljajući van okvira i izražavajući svoje misli van okvira. Od 13 tomova njegove Aritmetike do nas je došlo samo 6. Taman kada je Fermatu bilo 20 godina, izašao je novi prijevod njegovih djela. Ferma je jako volio Diofanta, a ovi spisi su mu bili referentna knjiga. Na svojim poljima, Fermat je zapisao svoju Veliku teoremu, koja u svom najjednostavnijem modernom obliku izgleda ovako: jednačina Xn + Yn = Zn nema rješenja u cijelim brojevima za n - više od 2. (Za n = 2 rješenje je očigledno : Z2 + 42 = 52 ). Na istom mjestu, na marginama Diofantovog sveska, Fermat dodaje: "Otkrio sam ovaj zaista divan dokaz, ali su mu ove margine preuske."

Na prvi pogled, sitnica je jednostavna, ali kada su drugi matematičari počeli dokazivati ​​ovu "jednostavnu" teoremu, nikome nije uspjelo sto godina. Konačno, veliki Leonhard Euler je to dokazao za n = 4, a zatim nakon 20 (!) godina - za n = 3. I opet je posao zastao na mnogo godina. Sljedeća pobjeda pripada Nijemcu Peteru Dirichletu (1805–1859) i Francuzu Andrienu Legendreu (1752–1833), koji su priznali da je Fermat bio u pravu za n = 5. Zatim je Francuz Gabriel Lamet (1795–1870) učinio isto za n = 7. Konačno, sredinom prošlog veka, Nemac Ernst Kumer (1810-1893) je dokazao Veliku teoremu za sve vrednosti n manje od ili jednake 100. Štaviše, dokazao je to koristeći metode koje su mogle nisu bili poznati Fermatu, što je dodatno ojačalo veo misterije oko Velike teoreme.

Tako se ispostavilo da su Fermatovu teoremu dokazivali "komad po dio", ali niko nije uspio "potpuno". Novi pokušaji dokazivanja doveli su samo do kvantitativnog povećanja vrijednosti n. Svi su shvatili da je, nakon što je potrošio ponor rada, moguće dokazati Veliku teoremu za proizvoljno veliki broj n, ali Fermat je govorio o bilo kojoj vrijednosti od toga veći od 2! Upravo u ovoj razlici između "proizvoljno velikog" i "bilo kojeg" koncentrisalo se cijelo značenje problema.

Međutim, treba napomenuti da pokušaji dokazivanja Fermgove teoreme nisu bili samo neka vrsta matematičke igre, rješenje složenog rebusa. U toku ovih dokaza otvarali su se novi matematički horizonti, nastajali i rešavali problemi koji su postali nove grane matematičkog stabla. Veliki njemački matematičar David Hilbert (1862-1943) naveo je Veliku teoremu kao primjer "kakvog stimulativnog efekta na nauku može imati poseban i naizgled beznačajan problem". Isti Kummer, radeći na Fermatovoj teoremi, sam je dokazao teoreme koje su činile temelj teorije brojeva, algebre i teorije funkcija. Dakle, dokazivanje Velike teoreme nije sport, već prava nauka.

Vrijeme je prolazilo, a elektronika je priskočila u pomoć profesionalnim "fsrmatntima". Elektronski mozgovi novih metoda nisu mogli biti izmišljeni, ali su imali brzinu. Otprilike početkom 80-ih, Fermatova teorema je dokazana uz pomoć kompjutera za n manje od ili jednako 5500. Postepeno je ova cifra narasla na 100.000, ali su svi shvatili da je takvo "akumuliranje" stvar čiste tehnologije, dajući ništa ni umu ni srcu. Nisu mogli da zauzmu tvrđavu Velike teoreme "na glavu" i počeli su da traže zaobilazne manevre.

Sredinom osamdesetih, mladi matematičar G. Filettings dokazao je takozvanu "Mordellovu pretpostavku", koja je, inače, 61 godinu bila i "nedostupna" bilo kome od matematičara. Pojavila se nada da bi sada, da tako kažem, "napad sa boka", Fermatova teorema mogla biti riješena. Međutim, tada se ništa nije dogodilo. 1986. godine, njemački matematičar Gerhard Frei predložio je novu metodu dokaza u Essescheu. Ne obavezujem se da to striktno objašnjavam, ali ne matematičkim, već općenito ljudskim jezikom, zvuči otprilike ovako: ako smo uvjereni da je dokaz neke druge teoreme indirektan, na neki način transformiran dokaz Fermatove teoreme, onda ćemo, dakle, dokazati Veliku teoremu. Godinu dana kasnije, Amerikanac Kenneth Ribet sa Berkeleya pokazao je da je Frey bio u pravu i, zaista, jedan dokaz se mogao svesti na drugi. Mnogi matematičari su slijedili ovaj put. različite zemlje mir. Učinili smo mnogo da dokažemo Veliku teoremu Viktora Aleksandroviča Kolivanova. Zadrhtale su tri stotine godina stare zidine neosvojive tvrđave. Matematičari su shvatili da to neće dugo trajati.

U ljeto 1993., u drevnom Kembridžu, na Institutu za matematičke nauke Isaac Newton, okupilo se 75 najistaknutijih svjetskih matematičara da razgovaraju o svojim problemima. Među njima je bio i američki profesor Andrew Wiles sa Univerziteta Princeton, istaknuti specijalista za teoriju brojeva. Svi su znali da je on radio na Velikoj teoremi dugi niz godina. Wiles je održao tri prezentacije, a na posljednjoj, 23. juna 1993., na samom kraju, okrenuvši se od table, sa smiješkom je rekao:

Valjda necu nastaviti...

Najprije je zavladala mrtva tišina, a zatim aplauz. Oni koji su sjedili u dvorani bili su dovoljno kvalifikovani da shvate: Fermatova posljednja teorema je dokazana! U svakom slučaju, niko od prisutnih nije našao greške u gornjem dokazu. Zamjenik direktora Newton instituta, Peter Goddard, rekao je novinarima:

“Većina stručnjaka nije mislila da će to otkriti do kraja života. Ovo je jedno od najvećih dostignuća matematike našeg veka...

Prošlo je nekoliko mjeseci, nije bilo komentara ili demantija. Istina, Wiles nije objavio svoj dokaz, već je samo poslao takozvane otiske svog rada veoma uskom krugu svojih kolega, što, naravno, onemogućava matematičarima da komentarišu ovu naučnu senzaciju, a razumem i akademika Ludviga Dmitrijeviča Fadejeva, ko je rekao:

- Mogu reći da se senzacija desila kada svojim očima vidim dokaz.

Faddeev vjeruje da je vjerovatnoća da će Wiles pobijediti vrlo velika.

“Moj otac, poznati specijalista za teoriju brojeva, bio je, na primjer, siguran da će teorema biti dokazana, ali ne elementarnim sredstvima”, dodao je.

Drugi naš akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bio je skeptičan po pitanju vesti i smatra da dokaz Velike teoreme uopšte nije stvarni matematički problem. Po svojim naučnim interesovanjima, Maslov, predsednik Saveta za primenjenu matematiku, daleko je od "fermatičara", a kada kaže da je kompletno rešenje Velike teoreme samo od sportskog interesa, može se razumeti. Međutim, usuđujem se primijetiti da je koncept relevantnosti u bilo kojoj nauci varijabilan. Prije 90 godina, Rutherfordu je, vjerovatno, također rečeno: "Pa, dobro, dobro, teorija radioaktivnog raspada... Pa šta? Kakva je korist od toga?.."

Rad na dokazu Velike teoreme već je dao mnogo matematike, a može se nadati da će dati još.

“Ono što je Wiles uradio pomaknut će matematičare u druga područja,” rekao je Peter Goddard. - Dapače, ovo ne zatvara jednu od linija razmišljanja, već otvara nova pitanja na koja će biti potreban odgovor...

Profesor Moskovskog državnog univerziteta Mihail Iljič Zelikin mi je ovako objasnio trenutnu situaciju:

Niko ne vidi greške u Wilesovom radu. Ali da bi ovaj rad postao naučna činjenica, potrebno je da nekoliko uglednih matematičara samostalno ponovi ovaj dokaz i potvrdi njegovu tačnost. Ovo je neophodan uslov za priznanje Wilesovog rada od strane matematičke zajednice...

Koliko će to trajati za ovo?

Ovo pitanje sam postavio jednom od naših vodećih stručnjaka iz oblasti teorije brojeva, doktoru fizičko-matematičkih nauka Alekseju Nikolajeviču Paršinu.

Andrew Wiles ima dosta vremena pred sobom...

Činjenica je da je 13. septembra 1907. godine njemački matematičar P. Wolfskel, koji je, za razliku od velike većine matematičara, bio bogat čovjek, oporučio 100 hiljada maraka onome ko će dokazati Veliku teoremu u narednih 100 godina. Početkom veka kamate od zaveštanog iznosa išle su u blagajnu čuvenog Univerziteta Getgangent. Ovim novcem su pozivani vodeći matematičari da drže predavanja i izvode naučni rad. U to vrijeme David Hilbert, kojeg sam već spomenuo, bio je predsjednik komisije za dodjelu nagrada. Nije želio da plati premiju.

„Na svu sreću“, rekao je veliki matematičar, „izgleda da nemamo matematičara, osim mene, koji bi bio u stanju da uradi ovaj zadatak, ali nikada se neću usuditi da ubijem gusku koja za nas nosi zlatna jaja. ”

Do roka - 2007. godine, koju je odredio Wolfskel, ostalo je nekoliko godina, a čini mi se da se nad "Hilbertovom kokošom" nadvila ozbiljna opasnost. Ali ne radi se zapravo o nagradi. Radi se o radoznalosti misli i ljudskoj istrajnosti. Borili su se više od tri stotine godina, ali su to ipak dokazali!

I dalje. Za mene je najzanimljivije u cijeloj ovoj priči: kako je sam Fermat dokazao svoju Veliku teoremu? Uostalom, svi današnji matematički trikovi bili su mu nepoznati. I da li je to uopšte dokazao? Uostalom, postoji verzija za koju se činilo da je dokazao, ali je sam pronašao grešku, pa stoga nije poslao dokaze drugim matematičarima, već je zaboravio precrtati unos na marginama Diofantovog toma. Stoga mi se čini da se dokaz Velike teoreme, očito, dogodio, ali je tajna Fermatove teoreme ostala i malo je vjerovatno da ćemo je ikada otkriti...

Možda je Fermat tada pogrešio, ali nije pogrešio kada je napisao: „Možda će mi potomci biti zahvalni što sam mu pokazao da stari nisu sve znali, a to može da prodre u svest onih koji će doći posle mene. baklja njegovim sinovima..."

Malo je vjerovatno da je prošla barem jedna godina života naše redakcije, a da nije dobila dobrih desetak dokaza Fermatove teoreme. Sada, nakon “pobjede” nad njom, tok je splasnuo, ali nije presušio.

Naravno, da se ne osuši u potpunosti, objavljujemo ovaj članak. I to ne u svoju odbranu - da smo, kažu, zato ćutali, sami nismo još sazreli da razgovaramo o tako složenim problemima.

Ali ako vam se članak zaista čini kompliciranim, odmah pogledajte njegov kraj. Morat ćete osjetiti da su se strasti privremeno smirile, nauka nije gotova, a uskoro će u uredništvo biti poslani novi dokazi novih teorema.

Čini se da 20. vijek nije bio uzaludan. Prvo, ljudi su na trenutak stvorili drugo Sunce detonacijom hidrogenske bombe. Zatim su hodali po Mjesecu i konačno dokazali ozloglašenu Fermatovu teoremu. Od ova tri čuda, prva dva su svima na usnama, jer su izazvala ogromna društvene posledice. Naprotiv, treće čudo izgleda kao još jedna naučna igračka - u rangu sa teorijom relativnosti, kvantna mehanika i Gödelov teorem o nepotpunosti aritmetike. Međutim, relativnost i kvanti doveli su fizičare do toga hidrogenska bomba, a istraživanja matematičara ispunila su naš svijet kompjuterima. Hoće li se ovaj niz čuda nastaviti iu 21. vijeku? Da li je moguće pratiti vezu između narednih naučnih igračaka i revolucija u našem svakodnevnom životu? Da li nam ova veza omogućava da napravimo uspješna predviđanja? Pokušajmo ovo razumjeti na primjeru Fermatove teoreme.

Napomenimo za početak da je rođena mnogo kasnije od svog prirodnog termina. Na kraju krajeva, prvi poseban slučaj Fermatove teoreme je Pitagorina jednačina X 2 + Y 2 = Z 2 , koja povezuje dužine stranica pravouglog trougla. Dokazavši ovu formulu prije dvadeset pet stoljeća, Pitagora se odmah zapitao: postoji li mnogo trouglova u prirodi u kojima i katete i hipotenuza imaju cijeli broj? Izgleda da su Egipćani poznavali samo jedan takav trougao - sa stranicama (3, 4, 5). Ali nije teško pronaći druge opcije: na primjer (5, 12, 13) , (7, 24, 25) ili (8, 15, 17) . U svim ovim slučajevima, dužina hipotenuze ima oblik (A 2 + B 2), gdje su A i B koprosti brojevi različite parnosti. U ovom slučaju, dužine krakova su jednake (A 2 - B 2) i 2AB.

Primjećujući ove odnose, Pitagora je lako dokazao da je bilo koja trojka brojeva (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) rješenje jednadžbe X 2 + Y 2 \u003d Z 2 i postavlja pravougaonik sa međusobno jednostavnim dužinama stranica. Takođe se vidi da je broj različitih trojki ove vrste beskonačan. Ali da li sva rješenja Pitagorine jednadžbe imaju ovaj oblik? Pitagora nije bio u stanju dokazati ili opovrgnuti takvu hipotezu i ostavio je ovaj problem potomstvu, a da nije skrenuo pažnju na njega. Ko želi da istakne svoje neuspehe? Izgleda da je nakon ovoga problem cijelih brojeva pravokutnih trouglova ležalo u zaboravu sedam vekova - sve dok se u Aleksandriji nije pojavio novi matematički genije po imenu Diofant.

Malo znamo o njemu, ali je jasno da nije bio nimalo nalik Pitagori. Osjećao se kao kralj u geometriji, pa čak i izvan nje - bilo u muzici, astronomiji ili politici. Prva aritmetička veza između dužina stranica harmonične harfe, prvi model svemira iz koncentričnih sfera koje nose planete i zvijezde, sa Zemljom u centru, i konačno, prva republika naučnika u italijanskom gradu Crotone - ovo su Pitagorina lična dostignuća. Što bi Diofant mogao suprotstaviti takvim uspjesima - skromni istraživač velikog Muzeja, koji je odavno prestao biti ponos gradske gomile?

Samo jedno: bolje razumijevanje antički svijet brojeva, čije zakone Pitagora, Euklid i Arhimed jedva da su imali vremena da osete. Imajte na umu da Diofant još nije savladao pozicionu notaciju velikih brojeva, ali je znao šta su negativni brojevi i vjerovatno je proveo mnogo sati razmišljajući o tome zašto je proizvod dva negativna broja pozitivan. Svijet cijelih brojeva je prvi put otkriven Diofantu kao poseban univerzum, različit od svijeta zvijezda, segmenata ili poliedara. Glavno zanimanje naučnika ovog svijeta je rješavanje jednačina, pravi majstor pronalazi sva moguća rješenja i dokazuje da drugih rješenja nema. Ovo je uradio Diofant kvadratna jednačina Pitagora, a onda je pomislio: da li barem jedno rješenje ima sličnu kubnu jednačinu X 3 + Y 3 = Z 3?

Diofant nije uspio pronaći takvo rješenje, a neuspješan je i njegov pokušaj da dokaže da rješenja nema. Stoga je, sastavljajući rezultate svog rada u knjizi "Aritmetika" (to je bio prvi svjetski udžbenik iz teorije brojeva), Diofant detaljno analizirao Pitagorinu jednačinu, ali nijednom nije nagovijestio moguće generalizacije ove jednačine. Ali mogao je: na kraju krajeva, Diofant je bio taj koji je prvi predložio notaciju za potencije cijelih brojeva! Ali avaj: koncept „knjige zadataka“ bio je stran helenskoj nauci i pedagogiji, a objavljivanje spiskova neriješenih problema smatralo se nepristojnim zanimanjem (samo je Sokrat postupio drugačije). Ako ne možete riješiti problem - umuknite! Diofant je utihnuo, a ta se tišina otegla četrnaest vekova - sve do nastupanja Novog doba, kada je ponovo oživelo interesovanje za proces ljudskog mišljenja.

Ko nije ni o čemu maštao na prelazu iz 16. u 17. vijek! Neumorni kalkulator Kepler pokušao je da pogodi vezu između udaljenosti od Sunca do planeta. Pitagora nije uspio. Keplerov uspjeh je došao nakon što je naučio kako integrirati polinome i druge jednostavne funkcije. Naprotiv, sanjar Descartes nije volio duge proračune, ali je on prvi predstavio sve tačke ravni ili prostora kao skupove brojeva. Ovaj drski model svodi svaki geometrijski problem o figurama na neki algebarski problem o jednadžbama - i obrnuto. Na primjer, cjelobrojna rješenja Pitagorine jednadžbe odgovaraju cjelobrojnim točkama na površini konusa. Površina koja odgovara kubičnoj jednadžbi X 3 + Y 3 = Z 3 izgleda komplikovanije, njena geometrijska svojstva nisu ništa sugerisala Pierreu Fermau, i on je morao da prokrči nove puteve kroz divljinu celih brojeva.

Godine 1636. Diofantova knjiga, upravo prevedena na latinski sa grčkog originala, pala je u ruke mladom advokatu iz Tuluza, slučajno preživjela u nekom vizantijskom arhivu i koju je u Italiju donio jedan od rimskih bjegunaca u vrijeme turskih propast. Čitajući elegantnu raspravu o Pitagorinoj jednadžbi, Fermat je pomislio: da li je moguće pronaći takvo rješenje koje se sastoji od tri kvadratna broja? Ne postoje mali brojevi ove vrste: to je lako provjeriti nabrajanjem. Šta je sa velikim odlukama? Bez kompjutera, Fermat ne bi mogao da izvede numerički eksperiment. Ali je primijetio da se za svako "veliko" rješenje jednačine X 4 + Y 4 = Z 4 može konstruirati manje rješenje. Dakle, zbir četvrtih stepena dva cela broja nikada nije jednak istom stepenu trećeg broja! Šta je sa zbirom dvije kocke?

Inspirisan uspehom za stepen 4, Fermat je pokušao da modifikuje "metod spuštanja" za stepen 3 - i uspeo je. Ispostavilo se da je nemoguće sastaviti dvije male kocke od onih pojedinačnih kockica u koje se raspala velika kocka s cijelim brojem dužine ivice. Trijumfalni Fermat je napravio kratku bilješku na marginama Diofantove knjige i poslao pismo u Pariz s detaljnim izvještajem o svom otkriću. Ali nije dobio odgovor - iako su obično prestonički matematičari brzo reagovali na sledeći uspeh svog usamljenog kolege rivala u Tuluzu. Šta je ovde?

Naprosto: sredinom 17. veka aritmetika je izašla iz mode. Veliki uspjesi talijanskih algebraista 16. vijeka (kada su riješene polinomske jednačine stupnjeva 3 i 4) nisu postali početak opšte naučne revolucije, jer nisu dopuštali rješavanje novih svijetlih problema u susjednim oblastima nauke. E sad, kada bi Kepler mogao da pogodi orbite planeta koristeći čistu aritmetiku... Ali nažalost, ovo je zahtevalo matematičku analizu. To znači da se mora razvijati - do potpunog trijumfa matematičkih metoda u prirodnim naukama! Ali analiza izrasta iz geometrije, dok aritmetika ostaje polje igre besposlenih pravnika i drugih zaljubljenika u vječnu nauku o brojevima i brojkama.

Dakle, Fermatovi aritmetički uspjesi su se pokazali neblagovremenim i ostali su necijenjeni. To ga nije uznemirilo: za slavu matematičara prvi put su mu otkrivene činjenice diferencijalnog računa, analitičke geometrije i teorije vjerovatnoće. Sva ova Fermatova otkrića odmah su ušla u zlatni fond nove evropske nauke, dok je teorija brojeva izbledela u pozadinu narednih sto godina - sve dok je nije oživeo Ojler.

Ovaj "kralj matematičara" 18. veka bio je šampion u svim primenama analize, ali nije zanemario ni aritmetiku, jer su nove metode analize dovele do neočekivanih činjenica o brojevima. Ko bi rekao da je beskonačan zbir inverznih kvadrata (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) jednak π 2 /6? Ko je od Helena mogao predvidjeti da će slični nizovi omogućiti dokazivanje iracionalnosti broja π?

Takvi uspjesi natjerali su Eulera da pažljivo pročita preživjele Fermatove rukopise (na sreću, sin velikog Francuza ih je uspio objaviti). Istina, dokaz "velike teoreme" za stepen 3 nije sačuvan, ali ga je Euler lako obnovio samo pokazavši na "metodu spuštanja", i odmah pokušao da ovu metodu prenese na sljedeći prost stepen - 5.

Nije ga bilo! U Ojlerovom rezonovanju pojavilo se kompleksni brojevi, što je Fermat uspio ne primijetiti (tako je uobičajeno mnoštvo otkrivača). Ali faktorizacija kompleksnih cijelih brojeva je delikatna stvar. Čak ni Ojler to nije u potpunosti razumeo i ostavio je "Fermatov problem" po strani, žureći da završi svoje glavno delo - udžbenik "Principi analize", koji je trebalo da pomogne svakom talentovanom mladiću da se izjednači sa Lajbnicom i Euler. Izdavanje udžbenika završeno je u Sankt Peterburgu 1770. godine. Ali Ojler se nije vraćao na Fermaovu teoremu, jer je bio siguran da nova naučna omladina neće zaboraviti sve što su njegove ruke i um dotakli.

Tako se i dogodilo: Francuz Adrien Legendre postao je Ojlerov nasljednik u teoriji brojeva. Krajem 18. veka završio je dokaz Fermaove teoreme za stepen 5 - i iako nije uspeo za velike proste stepene, sastavio je još jedan udžbenik iz teorije brojeva. Neka njeni mladi čitaoci nadmaše autora na isti način na koji su čitaoci Matematičkih principa prirodne filozofije nadmašili velikog Njutna! Legendre nije bio ravan Njutnu ili Ojleru, ali među njegovim čitaocima su bila dva genija: Carl Gauss i Evariste Galois.

Tako visoku koncentraciju genija pogodila je Francuska revolucija, koja je proglasila državni kult razuma. Nakon toga, svaki talentovani naučnik se osećao kao Kolumbo ili Aleksandar Veliki, sposoban da otkrije ili osvoji novi svet. Mnogima je to pošlo za rukom, jer u XIX vijeku naučni i tehnički napredak postao glavni pokretač evolucije čovječanstva, a toga su bili svjesni svi razumni vladari (počev od Napoleona).

Gaus je po karakteru bio blizak Kolumbu. Ali on (kao Njutn) nije znao kako da zaokupi maštu vladara ili studenata lepim govorima, pa je stoga svoje ambicije ograničio na sferu naučnih pojmova. Ovde je mogao da radi šta je hteo. Na primjer, drevni problem trisekcije ugla iz nekog razloga ne može se riješiti šestarom i ravnalom. Uz pomoć kompleksnih brojeva koji prikazuju tačke ravni, Gauss prevodi ovaj problem na jezik algebre - i dobija opštu teoriju izvodljivosti određenih geometrijskih konstrukcija. Tako se u isto vrijeme pojavio rigorozan dokaz nemogućnosti konstruiranja pravilnog 7- ili 9-kuta sa šestarom i ravnalom, te takav način konstruiranja pravilnog 17-kuta, što su učinili najmudriji geometri Helade ne sanjati.

Naravno, takav uspjeh nije uzalud: treba izmišljati nove koncepte koji odražavaju suštinu stvari. Newton je uveo tri takva koncepta: fluks (derivacija), tečnost (integral) i snaga serije. Bili su dovoljni za stvaranje matematičke analize i prve naučni model fizički svijet, uključujući mehaniku i astronomiju. Gauss je također predstavio tri nova koncepta: vektorski prostor, polje i prsten. Iz njih je izrasla nova algebra koja je podredila grčku aritmetiku i teoriju numeričkih funkcija koju je stvorio Newton. Ostalo je samo da se logika koju je stvorio Aristotel podredi algebri: tada bi bilo moguće, uz pomoć proračuna, dokazati izvodljivost ili neizvodljivost bilo koje naučne tvrdnje iz datog skupa aksioma! Na primjer, da li Fermatova teorema proizlazi iz aksioma aritmetike ili Euklidov postulat o paralelnim linijama proizlazi iz drugih aksioma planimetrije?

Gauss nije imao vremena da ostvari ovaj drski san - iako je daleko odmaknuo i pretpostavio mogućnost postojanja egzotičnih (nekomutativnih) algebri. Samo je odvažni Rus Nikolaj Lobačevski uspeo da izgradi prvu neeuklidsku geometriju, a prvom nekomutativnom algebrom (Teorijom grupa) rukovodio je Francuz Evariste Galoa. I tek mnogo kasnije od Gaussove smrti - 1872. - mladi Nijemac Felix Klein pretpostavio je da se raznolikost mogućih geometrija može dovesti u korespondenciju jedan-na-jedan sa raznolikošću mogućih algebri. Jednostavno rečeno, svaka geometrija je definirana svojom grupom simetrije – dok opća algebra proučava sve moguće grupe i njihova svojstva.

Ali takvo razumijevanje geometrije i algebre došlo je mnogo kasnije, a napad na Fermatovu teoremu nastavljen je za vrijeme Gaussovog života. On je sam zanemario Fermatov teorem iz principa: nije kraljev posao rješavati pojedinačne probleme koji se ne uklapaju u svijetle naučna teorija! Ali Gaussovi učenici, naoružani njegovom novom algebrom i klasičnom analizom Newtona i Eulera, zaključili su drugačije. Prvo je Peter Dirichlet dokazao Fermatov teorem za stepen 7 koristeći prsten kompleksnih cijelih brojeva generiran korijenima ovog stepena jedinice. Zatim je Ernst Kummer proširio Dirichletovu metodu na SVE jednostavne moći(!) - tako mu se učinilo brzopleto, i on je trijumfovao. Ali ubrzo je došlo do otrežnjenja: dokaz prolazi besprijekorno samo ako se svaki element prstena jedinstveno razloži na proste faktore! Za obične cijele brojeve ova je činjenica već bila poznata Euklidu, ali je samo Gauss dao njen rigorozan dokaz. Ali šta je sa cijelim kompleksnim brojevima?

Prema „principu najvećeg nestašluka“, može i TREBA da dođe do dvosmislene faktorizacije! Čim je Kummer naučio kako izračunati stepen dvosmislenosti metodama matematičke analize, otkrio je ovaj prljavi trik u ringu za stepen 23. Gauss nije imao vremena da nauči o ovoj verziji egzotične komutativne algebre, ali su Gaussovi učenici razvili nova lijepa teorija ideala umjesto još jednog prljavog trika. Istina, to nije puno pomoglo u rješavanju Fermatovog problema: samo je njegova prirodna složenost postala jasnija.

Tokom 19. stoljeća, ovaj drevni idol zahtijevao je sve više žrtava od svojih obožavatelja u obliku novih složenih teorija. Nije iznenađujuće da su se do početka 20. vijeka vjernici obeshrabrili i pobunili, odbacivši svog nekadašnjeg idola. Riječ "fermatist" postala je pežorativni izraz među profesionalnim matematičarima. I premda je za potpuni dokaz Fermatove teoreme dodijeljena značajna nagrada, ali su njeni podnosioci bili uglavnom samouvjerene neznalice. Najjači matematičari tog vremena - Poincaré i Hilbert - prkosno su izbjegavali ovu temu.

Godine 1900. Hilbert nije uključio Fermatovu teoremu na listu od dvadeset tri glavna problema s kojima se suočava matematika dvadesetog vijeka. Istina, on je u njihove serije uključio i opći problem rješivosti Diofantovih jednačina. Nagovještaj je bio jasan: slijedite primjer Gausa i Galoisa, stvarajte opće teorije novih matematičkih objekata! Onda će jednog lijepog (ali ne unaprijed predvidljivog) dana stari iver ispasti sam.

Tako je postupio veliki romantičar Henri Poincaré. Zanemarujući mnoge "vječne" probleme, cijeli je život proučavao SIMMETRIJE određenih predmeta matematike ili fizike: bilo funkcije kompleksne varijable, bilo putanje kretanja nebeskih tijela, bilo algebarske krive ili glatke mnogostrukosti (ovo su višedimenzionalne generalizacije zakrivljenih linije). Motiv njegovih postupaka bio je jednostavan: ako dva različita objekta imaju slične simetrije, to znači da između njih postoji unutrašnji odnos, koji još nismo u stanju da shvatimo! Na primjer, svaka od dvodimenzionalnih geometrija (Euklid, Lobačevski ili Riman) ima svoju vlastitu grupu simetrije, koja djeluje na ravninu. Ali tačke ravni su kompleksni brojevi: na taj način djelovanje bilo kojeg geometrijska grupa se prenosi u bezgranični svijet složenih funkcija. Moguće je i potrebno proučavati najsimetričniju od ovih funkcija: AUTOMORFNE (koje podležu Euklidskoj grupi) i MODULARNE (koje podležu grupi Lobačevskog)!

U ravni postoje i eliptične krive. One nemaju nikakve veze sa elipsom, već su date jednadžbama oblika Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX i stoga se sijeku s bilo kojom pravom u tri boda. Ova činjenica nam omogućava da uvedemo množenje među tačkama eliptičke krive - da je pretvorimo u grupu. Algebarska struktura ove grupe odražava geometrijska svojstva krive; možda je jedinstveno određena njenom grupom? Ovo pitanje vrijedi proučiti, jer se za neke krivulje grupa koja nas zanima ispada modularna, odnosno povezana je s geometrijom Lobačevskog ...

Tako je razmišljao Poincaré, zavodeći matematičku mladež Evrope, ali početkom 20. veka ta iskušenja nisu dovela do svetlih teorema ili hipoteza. Sa Hilbertovim pozivom ispalo je drugačije: proučavati opšta rješenja Diofantovih jednačina s cjelobrojnim koeficijentima! Godine 1922. mladi Amerikanac Lewis Mordell povezao je mnoga rješenja takve jednačine (ovo je - vektorski prostor određene dimenzije) sa geometrijskim rodom kompleksne krive date ovom jednačinom. Mordell je došao do zaključka da ako je stepen jednačine dovoljno velik (više od dva), onda se dimenzija prostora rješenja izražava u terminima roda krive, pa je stoga ova dimenzija KONAČNA. Naprotiv – na stepen 2, Pitagorina jednačina ima BESKRAJNU DIMENZIONALNU porodicu rješenja!

Naravno, Mordel je uvidio vezu svoje hipoteze sa Fermatovom teoremom. Ako postane poznato da je za svaki stepen n > 2 prostor čitavih rješenja Fermatove jednadžbe konačno dimenzionalan, to će pomoći da se dokaže da takvih rješenja uopće nema! Ali Mordel nije vidio način da dokaže svoju hipotezu - i iako je živio dug život, nije čekao transformaciju ove hipoteze u Faltingsovu teoremu. To se dogodilo 1983. godine, u sasvim drugoj eri, nakon velikih uspjeha algebarske topologije mnogostrukosti.

Poincaré je ovu nauku stvorio kao slučajno: htio je znati šta su trodimenzionalne mnogostrukosti. Na kraju krajeva, Riemann je shvatio strukturu svih zatvorenih površina i dobio vrlo jednostavan odgovor! Ako nema takvog odgovora u trodimenzionalnom ili višedimenzionalnom slučaju, onda morate smisliti sistem algebarskih invarijanti mnogostrukosti koji određuje njegovu geometrijsku strukturu. Najbolje je da takve invarijante budu elementi nekih grupa - komutativnih ili nekomutativnih.

Koliko god čudno izgledalo, ovaj drski Poincaréov plan je uspio: sproveden je od 1950. do 1970. zahvaljujući naporima velikog broja geometara i algebraista. Do 1950. bilo je tiho nagomilavanje raznih metoda za klasifikaciju mnogostrukosti, a nakon ovog datuma izgledalo je da se nakupila kritična masa ljudi i ideja i dogodila se eksplozija, uporediva sa izumom matematičke analize u 17. veku. Ali analitička revolucija je trajala vek i po, kreativne biografiječetiri generacije matematičara - od Newtona i Leibniza do Fouriera i Cauchyja. Naprotiv, topološka revolucija dvadesetog veka bila je u roku od dvadeset godina - zahvaljujući veliki broj svojim članovima. Istovremeno, nastala je velika generacija samouvjerenih mladih matematičara, koji su iznenada ostali bez posla u svojoj istorijskoj domovini.

Sedamdesetih su pohrlili u susjedna područja matematike i teorijske fizike. Mnogi su stvorili svoje naučne škole na desetinama univerziteta u Evropi i Americi. Između ovih centara i dalje kruži mnogo učenika različitih uzrasta i nacionalnosti, različitih sposobnosti i sklonosti, i svi žele da se proslave po nekom otkriću. U ovom pandemonijumu su konačno dokazane Mordellova pretpostavka i Fermatova teorema.

Međutim, prva lasta, nesvjesna svoje sudbine, odrasla je u Japanu u gladnim i nezaposlenim poslijeratnim godinama. Lastavica se zvala Yutaka Taniyama. Godine 1955. ovaj heroj je napunio 28 godina i odlučio je (zajedno sa prijateljima Goro Shimura i Takauji Tamagawa) da oživi matematička istraživanja u Japanu. Gdje početi? Naravno, uz prevazilaženje izolacije od stranih kolega! Tako su 1955. godine trojica mladih Japanaca bili domaćini prve međunarodne konferencije o algebri i teoriji brojeva u Tokiju. Očigledno je bilo lakše to učiniti u Japanu kojeg su preodgojili Amerikanci nego u Rusiji koju je zamrznuo Staljin...

Među počasnim gostima bila su i dva heroja iz Francuske: Andre Weil i Jean-Pierre Serre. Ovdje su Japanci imali veliku sreću: Weyl je bio priznati šef francuskih algebraista i član Burbakijeve grupe, a mladi Serre je igrao sličnu ulogu među topolozima. U žustrim razgovorima s njima, japanskoj omladini su pucale glave, topili su im se mozgovi, ali su se na kraju iskristalisale takve ideje i planovi koji su se teško mogli roditi u drugačijem okruženju.

Jednog dana, Taniyama se obratio Weilu s pitanjem o eliptičnim krivuljama i modularnim funkcijama. Francuz u početku nije ništa razumio: Tanijama nije bio majstor u govoru engleskog. Tada je suština stvari postala jasna, ali Taniyama nije uspio dati tačnu formulaciju svojim nadama. Sve što je Weil mogao odgovoriti mladom Japancu bilo je da će, ako bude imao veliku sreću u smislu inspiracije, iz njegovih nejasnih hipoteza izrasti nešto razumno. Ali dok je nada za to slaba!

Očigledno, Weil nije primijetio nebesku vatru u Tanijaminom pogledu. I došlo je do vatre: čini se da se na trenutak nesalomiva misao pokojnog Poincaréa preselila u Japance! Taniyama je povjerovao da je svaka eliptička kriva generirana modularnim funkcijama – tačnije, "uniformizirana je modularnom formom". Avaj, ova tačna formulacija nastala je mnogo kasnije - u Tanijaminim razgovorima sa svojim prijateljem Šimurom. A onda je Tanijama izvršio samoubistvo u napadu depresije... Njegova hipoteza je ostala bez vlasnika: nije bilo jasno kako to dokazati ni gdje testirati, pa je zato dugo niko nije shvaćao ozbiljno. Prvi odgovor stigao je tek tridesetak godina kasnije - skoro kao u Fermatovo doba!

Led je pukao 1983. godine, kada je dvadesetsedmogodišnji Nemac Gerd Faltings objavio celom svetu: Mordellova pretpostavka je dokazana! Matematičari su bili na oprezu, ali Faltings je bio pravi Nemac: nije bilo praznina u njegovom dugom i komplikovanom dokazu. Samo što je došlo vrijeme, činjenice i koncepti su se nakupili - i sada je jedan talentovani algebraista, oslanjajući se na rezultate deset drugih algebraista, uspio riješiti problem koji je na majstora čekao šezdeset godina. Ovo nije neuobičajeno u matematici 20. veka. Vrijedi se prisjetiti problema sekularnog kontinuuma u teoriji skupova, Burnsideove dvije pretpostavke u teoriji grupa ili Poincaréove pretpostavke u topologiji. Konačno, u teoriji brojeva, došlo je vrijeme za žetvu starih usjeva... Koji će vrh biti sljedeći u nizu osvojenih matematičara? Hoće li se srušiti Eulerov problem, Riemannova hipoteza ili Fermatova teorema? Bilo bi dobro!

A sada, dvije godine nakon otkrića Faltingsa, u Njemačkoj se pojavio još jedan nadahnuti matematičar. Njegovo ime je bilo Gerhard Frey i tvrdio je nešto čudno: da je Fermatova teorema IZVODILA iz Tanijamine pretpostavke! Nažalost, Freyjev stil izražavanja misli više je podsjećao na nesretnog Tanijamu nego na njegovog jasnog sunarodnjaka Faltingsa. U Nemačkoj Freja niko nije razumeo, a on je otišao u inostranstvo - u slavni grad Prinston, gde su se posle Ajnštajna navikli da nema takvih posetilaca. Nije ni čudo da je Barry Mazur, svestrani topolog, jedan od heroja nedavnog napada na glatke razvodnike, napravio svoje gnijezdo tamo. A uz Mazura je odrastao i student - Ken Ribet, podjednako iskusan u zamršenostima topologije i algebre, ali se ipak ni na koji način ne veliča.

Kada je prvi put čuo Freyeve govore, Ribet je odlučio da je to glupost i skoro naučna fantastika (vjerovatno je Weil na isti način reagirao na Taniyamina otkrića). Ali Ribet nije mogao zaboraviti ovu "fantaziju" i povremeno joj se vraćao psihički. Šest mjeseci kasnije, Ribet je vjerovao da postoji nešto razumno u Freyevim fantazijama, a godinu dana kasnije odlučio je da bi i sam mogao gotovo dokazati Freyovu čudnu hipotezu. Ali neke "rupe" su ostale, a Ribet je odlučio da se ispovjedi svom šefu Mazuru. Pažljivo je slušao učenika i mirno odgovorio: „Da, sve si uradio! Ovdje trebate primijeniti transformaciju F, ovdje - koristite leme B i K, i sve će poprimiti besprijekoran oblik! Tako je Ribet napravio skok iz tame u besmrtnost, koristeći katapult u liku Freya i Mazura. Iskreno rečeno, sve njih - zajedno sa pokojnim Tanijamom - treba smatrati dokazima Fermatove posljednje teoreme.

Ali ovdje je problem: oni su svoju izjavu izveli iz hipoteze Taniyame, koja sama po sebi nije dokazana! Šta ako je nevjerna? Matematičari odavno znaju da „sve proizlazi iz laži“, ako je Taniyamina pretpostavka pogrešna, onda je besprijekorno Ribetovo rezonovanje bezvrijedno! Hitno moramo dokazati (ili opovrgnuti) Taniyaminu pretpostavku - inače će neko poput Faltingsa dokazati Fermatov teorem na drugačiji način. On će postati heroj!

Malo je vjerovatno da ćemo ikada saznati koliko je mladih ili iskusnih algebraista skočilo na Fermatovu teoremu nakon uspjeha Faltingsa ili nakon pobjede Ribeta 1986. godine. Svi su se trudili da rade u tajnosti, kako u slučaju neuspjeha ne bi bili svrstani u zajednicu „lutaka“-fermatista. Poznato je da je najuspješniji od svih - Andrew Wiles iz Cambridgea - okus pobjede osjetio tek početkom 1993. godine. Ovo nije toliko obradovalo koliko je uplašilo Wilesa: šta ako je njegov dokaz Tanijamine pretpostavke pokazao grešku ili prazninu? Tada mu je propala naučna reputacija! Morate pažljivo zapisati dokaz (ali to će biti mnogo desetina stranica!) i ostaviti ga na šest mjeseci ili godinu dana, da biste ga kasnije mogli hladnokrvno i pedantno ponovo pročitati... Ali šta ako neko objavljuje svoj dokaz za to vrijeme? o nevolji...

Ipak, Wiles je smislio dvostruki način da brzo testira svoj dokaz. Prvo, trebate vjerovati nekom od svojih pouzdanih prijatelja i kolega i ispričati mu cijeli tok rasuđivanja. Izvana, sve greške su vidljivije! Drugo, potrebno je pametnim studentima i diplomiranim studentima pročitati poseban kurs na ovu temu: ovi pametni ljudi neće propustiti nijednu grešku predavača! Samo im nemojte reći krajnji cilj kursa do posljednjeg trenutka - inače će cijeli svijet znati za to! I naravno, takvu publiku treba tražiti daleko od Kembridža - bolje je čak ni ne u Engleskoj, već u Americi ... Šta može biti bolje od dalekog Princetona?

Wiles je tamo otišao u proljeće 1993. godine. Njegov strpljivi prijatelj Niklas Katz, nakon što je slušao Wilesov dugi izvještaj, pronašao je niz praznina u njemu, ali sve su se lako ispravile. Ali diplomirani studenti s Prinstona ubrzo su pobjegli sa Wilesovog specijalnog kursa, ne želeći slijediti hirovite misli predavača, koji ih vodi neznano kuda. Nakon takvog (ne posebno dubokog) pregleda njegovog rada, Wiles je odlučio da je vrijeme da svijetu otkrije veliko čudo.

U junu 1993. održana je još jedna konferencija u Kembridžu, posvećena "Iwasawa teoriji" - popularnom dijelu teorije brojeva. Wiles je odlučio da na njemu ispriča svoj dokaz Taniyamine pretpostavke, ne objavljujući glavni rezultat do samog kraja. Izvještaj je trajao dugo, ali uspješno, postepeno su počeli stizati novinari koji su nešto osjetili. Konačno je udario grom: Fermatova teorema je dokazana! Opšte veselje nije bilo zasjenjeno nikakvim sumnjama: čini se da je sve jasno... Ali dva mjeseca kasnije, Katz je, pročitavši konačni tekst Wilesa, primijetio još jednu prazninu u njemu. Određena tranzicija u rasuđivanju oslanjala se na "Ojlerov sistem" - ali ono što je Wiles izgradio nije bio takav sistem!

Wiles je provjerio usko grlo i shvatio da je ovdje pogriješio. Još gore: nije jasno kako zamijeniti pogrešno zaključivanje! Nakon toga uslijedili su najmračniji mjeseci Wilesovog života. Prethodno je slobodno sintetizirao dokaz bez presedana iz materijala koji je pri ruci. Sada je vezan za uski i jasan zadatak - bez sigurnosti da on ima rješenje i da će ga moći pronaći u dogledno vrijeme. Nedavno, Frey nije mogao odoljeti istoj borbi - a sada je njegovo ime bilo zaklonjeno imenom sretnika Ribeta, iako se Freyeva nagađanja pokazala tačnom. A šta će se desiti sa MOJOM pretpostavkom i MOJIM imenom?

Ovaj težak rad trajao je tačno godinu dana. U septembru 1994. Wiles je bio spreman priznati poraz i prepustiti Taniyama hipotezu sretnijim nasljednicima. Donijevši takvu odluku, počeo je polako ponovo čitati svoj dokaz - od početka do kraja, slušajući ritam rasuđivanja, ponovno doživljavajući zadovoljstvo uspješnih otkrića. Došavši do "prokletog" mjesta, Wiles, međutim, mentalno nije čuo lažnu notu. Da li je tok njegovog rasuđivanja i dalje bio besprijekoran, a greška je nastala samo u VERBALNOM opisu mentalne slike? Ako ovdje nema „Ojlerovog sistema“, šta se onda ovdje krije?

Odjednom mi je pala na pamet jednostavna misao: "Ojlerov sistem" ne funkcioniše tamo gde je Iwasawa teorija primenljiva. Zašto ovu teoriju ne primijeniti direktno – na sreću, bliska je i poznata i samom Wilesu? I zašto ovaj pristup nije isprobao od samog početka, nego se zanio tuđom vizijom problema? Wiles se više nije mogao sjetiti ovih detalja - i postalo je beskorisno. Izveo je potrebno rezonovanje u okviru Iwasawa teorije i sve se ispostavilo za pola sata! Time je - sa zakašnjenjem od godinu dana - zatvorena posljednja praznina u dokazu Tanijamine pretpostavke. Konačni tekst je dat na milost i nemilost grupi recenzenata najpoznatijeg matematičkog časopisa, koji su godinu dana kasnije izjavili da sada nema grešaka. Tako je 1995. godine posljednja Fermatova pretpostavka umrla u dobi od trista šezdeset godina, pretvorivši se u dokazanu teoremu koja će neminovno ući u udžbenike teorije brojeva.

Sumirajući trovekovnu galamu oko Fermaove teoreme, moramo izvući čudan zaključak: ovaj herojski ep se nije mogao dogoditi! Zaista, Pitagorina teorema izražava jednostavnu i važnu vezu između vizuelnih prirodnih objekata - dužine segmenata. Ali isto se ne može reći za Fermatovu teoremu. Više liči na kulturnu nadgradnju na naučnom supstratu – kao na dostignuće sjeverni pol Zemlja ili let na Mjesec. Podsjetimo, oba ova podviga pisci su opevali mnogo prije nego što su ostvareni - još u antičko doba, nakon pojave Euklidovih "Elemenata", ali prije pojave Diofantove "Aritmetike". Dakle, tada je postojala javna potreba za intelektualnim podvizima ove vrste - barem imaginarne! Ranije je Helenima bilo dosta Homerovih pesama, kao što je sto godina pre Ferma, Francuzima bilo dosta religioznih strasti. Ali onda su se religiozne strasti smirile - i nauka je stala pored njih.

U Rusiji su takvi procesi počeli prije sto pedeset godina, kada je Turgenjev stavio Jevgenija Bazarova u ravan s Jevgenijem Onjeginom. Istina, pisac Turgenjev je slabo razumio motive postupaka naučnika Bazarova i nije se usudio da ih pjeva, ali to su ubrzo učinili naučnik Ivan Sechenov i prosvećeni novinar Jules Verne. Spontanoj naučnoj i tehnološkoj revoluciji potrebna je kulturna ljuska da bi prodrla u umove većine ljudi, a tu dolazi prvo naučna fantastika, a potom naučnopopularna literatura (uključujući časopis "Znanje je moć").

Istovremeno, konkretna naučna tema uopšte nije bitna za širu javnost, a nije ni od velike važnosti ni za heroje-izvođače. Dakle, čuvši za postizanje Sjevernog pola od strane Pearyja i Cooka, Amundsen je odmah promijenio cilj svoje već pripremljene ekspedicije - i ubrzo stigao do Južnog pola, ispred Scotta za mjesec dana. Kasnije, uspješan obilazak Zemlje Jurija Gagarina primorao je predsjednika Kennedyja da promijeni nekadašnji cilj američkog svemirskog programa u skuplji, ali daleko impresivniji: spuštanje ljudi na Mjesec.

Još ranije, pronicljivi Hilbert, kao odgovor na naivno pitanje studenata: „Rješenje koje naučni zadatak bi sada bilo najkorisnije? - odgovorio u šali: "Uhvati muvu na suprotnoj strani mjeseca!" Na zbunjeno pitanje: "Zašto je to potrebno?" - nakon čega slijedi jasan odgovor: „OVO nikome ne treba! Ali razmislite o tome naučne metode i tehnička sredstva koja ćemo morati razviti da riješimo takav problem - i koliko ćemo još lijepih problema riješiti na tom putu!

Upravo to se dogodilo sa Fermaovom teoremom. Euler je to mogao previdjeti.

U ovom slučaju bi neki drugi problem postao idol matematičara - možda i iz teorije brojeva. Na primjer, Eratostenov problem: konačan ili beskonačan skup primarni brojevi-blizanci (kao što su 11 i 13, 17 i 19 i tako dalje)? Ili Ojlerov problem: da li je svaki paran broj zbir dva prosta broja? Ili: postoji li algebarski odnos između brojeva π i e? Ova tri problema još nisu rešena, iako su se matematičari u 20. veku približili razumevanju njihove suštine. Ali i ovo stoljeće je iznjedrilo mnoge nove, ništa manje zanimljive probleme, posebno na ukrštanju matematike s fizikom i drugim granama prirodnih nauka.

Hilbert je još 1900. godine izdvojio jednu od njih: stvoriti kompletan sistem aksioma matematičke fizike! Stotinu godina kasnije, ovaj problem je daleko od rješenja, makar samo zato što arsenal matematičkih sredstava fizike stalno raste, a nemaju sva rigorozno opravdanje. Ali nakon 1970. teorijska fizika se podijelila na dvije grane. Jedan (klasični) još od vremena Njutna modelira i predviđa STABILNE procese, drugi (novorođeni) pokušava da formalizuje interakciju NESTABILNIH procesa i načine njihove kontrole. Jasno je da se ove dvije grane fizike moraju aksiomatizirati odvojeno.

Prvi od njih će se verovatno rešiti za dvadeset-pedeset godina...

A šta nedostaje drugoj grani fizike - onoj koja je zadužena za sve vrste evolucije (uključujući neobične fraktale i čudne atraktore, ekologiju biocenoza i Gumiljovljevu teoriju strasti)? Ovo teško da ćemo uskoro shvatiti. Ali obožavanje naučnika novom idolu već je postalo masovna pojava. Vjerovatno će se ovdje odvijati ep, uporediv s trovjekovnom biografijom Fermaove teoreme. Tako se na razmeđu različitih nauka rađaju novi idoli - slični religioznim, ali složeniji i dinamičniji...

Očigledno, čovjek ne može ostati ličnost, a da s vremena na vrijeme ne ruši stare idole i ne stvara nove - u bolu i sa radošću! Pjer Ferma je imao sreću da je u sudbonosnom trenutku bio blizu žarišta rođenja novog idola - i uspeo je da ostavi trag svoje ličnosti na novorođenčetu. Na takvoj sudbini se može pozavidjeti i nije grijeh oponašati je.

Sergej Smirnov
"Znanje je moć"