Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Moskva Državni univerzitet Instrumentacija i informatika Filijala Sergijev Posad

Sažetak na temu:

Newtonove interpolacijske formule

Završila: Brevchik Taisiya Yurievna

Student 2. godine EF-2 grupe

1. Uvod

2. Njutnova prva interpolaciona formula

3. Newtonova druga interpolaciona formula

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Interpolacija, interpolacija - u računarskoj matematici, način pronalaženja međuvrijednosti veličine iz postojećeg diskretnog skupa poznatih vrijednosti.

Mnogi od onih koji se bave naučnim i inženjerskim proračunima često moraju da rade sa skupovima vrednosti dobijenim empirijski ili slučajnim uzorkovanjem. U pravilu, na osnovu ovih skupova potrebno je konstruirati funkciju na koju bi ostale dobivene vrijednosti mogle pasti s velikom točnošću. Takav zadatak se naziva aproksimacija. Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj kriva konstruisane funkcije prolazi tačno kroz dostupne tačke podataka.

Postoji i problem blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji nekih složena funkcija druga, jednostavnija funkcija. Ako je određena funkcija previše složena za produktivne proračune, možete pokušati izračunati njenu vrijednost u nekoliko tačaka i od njih izgraditi, odnosno interpolirati, jednostavniju funkciju.

Naravno, upotreba pojednostavljene funkcije ne dozvoljava vam da dobijete iste točne rezultate kao što bi dala originalna funkcija. Ali u nekim klasama problema, dobitak u jednostavnosti i brzini proračuna može nadmašiti rezultirajuću grešku u rezultatima.

Treba spomenuti i potpuno drugačiju vrstu matematičke interpolacije, poznatu kao "interpolacija operatora".

Klasični radovi na interpolaciji operatora uključuju Riesz-Thorinov teorem i Marcinkiewiczovu teoremu, koji su osnova za mnoge druge radove.

Razmotrimo sistem nepodudarnih tačaka () iz određene oblasti. Neka su vrijednosti funkcije poznate samo u ovim točkama:

Problem interpolacije je pronaći takvu funkciju iz date klase funkcija koja

Tačke se nazivaju interpolacijski čvorovi, a njihova ukupnost se naziva interpolaciona mreža.

Parovi se nazivaju tačke podataka ili bazne tačke.

Razlika između "susednih" vrednosti je korak interpolacione mreže. Može biti i varijabilna i konstantna.

Funkcija je interpolirajuća funkcija ili interpolant.

1. Njutnova prva interpolaciona formula

1. Opis zadatka. Neka su vrijednosti za jednako raspoređene vrijednosti nezavisne varijable date za funkciju: , gdje je - korak interpolacije. Potrebno je odabrati najviše polinom stepena, uzimajući vrijednosti u tačkama

Uslovi (1) su ekvivalentni

Newtonov interpolacijski polinom izgleda kao:

Lako je vidjeti da polinom (2) u potpunosti zadovoljava zahtjeve problema. Zaista, prvo, stepen polinoma nije veći, i drugo,

Imajte na umu da se na , formula (2) pretvara u Taylorov niz za funkciju:

Za praktična upotreba Njutnova interpolaciona formula (2) obično se piše u donekle transformisanom obliku. Da bismo to učinili, uvodimo novu varijablu prema formuli; onda dobijamo:

gdje predstavlja broj koraka potrebno da se dođe do tačke, dolazi iz tačke. Ovo je konačni izgled Njutnova formula za interpolaciju.

Formulu (3) je korisno koristiti za interpolaciju funkcije u blizini početne vrijednosti , gdje je mala apsolutna vrijednost.

Ako je data neograničena tablica vrijednosti funkcije, tada broj u interpolacijskoj formuli (3) može biti bilo koji broj. U praksi se u ovom slučaju broj bira tako da razlika bude konstantna sa datim stepenom tačnosti. Bilo koja tabelarna vrijednost argumenta može se uzeti kao početna vrijednost.

Ako je tablica vrijednosti funkcije konačna, onda je broj ograničen, odnosno: ne može biti više broja vrijednosti funkcije, smanjene za jedan.

Imajte na umu da je prilikom primjene prve Newtonove interpolacijske formule zgodno koristiti horizontalnu tablicu razlika, od tada željene vrijednosti Funkcionalne razlike su u odgovarajućoj horizontalnoj liniji tabele.

2. Primjer. Koraknite korak, konstruirajte Njutnov interpolacijski polinom za funkciju datu u tabeli

Rezultirajući polinom omogućava predviđanje. Dovoljna tačnost se postiže kada se rešava interpolacioni problem, na primer, . Tačnost pada kada se rešava problem ekstrapolacije, na primer, .

2. Newtonova druga interpolaciona formula

Njutnova prva interpolaciona formula je praktično nezgodna za interpolaciju funkcije u blizini čvorova tabele. U ovom slučaju obično je tako .

Opis zadatka . Neka imamo niz vrijednosti funkcije

za ekvidistantne vrijednosti argumenta, gdje je korak interpolacije. Konstruišemo polinom sledećeg oblika:

ili, koristeći generalizovanu snagu, dobijamo:

Tada, kada je jednakost zadovoljena, dobijamo

Zamijenimo ove vrijednosti u formulu (1). onda, konačno, Njutnova druga interpolaciona formula izgleda kao:

Hajde da uvedemo prikladniju notaciju za formulu (2). Neka onda

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (2) dobijamo:

Ovo je normalan izgled Njutnova druga interpolaciona formula. Za približno izračunavanje vrijednosti funkcije pretpostavlja se:

I prva i druga formula Njutnove interpolacije mogu se koristiti za ekstrapolaciju funkcije, tj. za pronalaženje vrijednosti funkcije za vrijednosti argumenata koje se nalaze izvan tablice.

Ako je i blizu, onda je korisno koristiti Njutnovu prvu interpolacionu formulu, a zatim. Ako je i blizu, onda je prikladnije koristiti drugu formulu za interpolaciju Newtona, štoviše.

Stoga se Njutnova prva interpolaciona formula obično koristi za naprijed interpolacija I ekstrapolirajući nazad, i Njutnova druga interpolaciona formula, naprotiv, za interpolacija nazad I ekstrapolacija naprijed.

Imajte na umu da je operacija ekstrapolacije, općenito govoreći, manje tačna od operacije interpolacije u užem smislu riječi.

Primjer. Koraknite korak, konstruirajte Njutnov interpolacijski polinom za funkciju datu u tabeli

Zaključak

interpolacija Newtonova ekstrapolacija formula

U računarskoj matematici, interpolacija funkcija igra bitnu ulogu, tj. konstrukcija date funkcije druge (u pravilu, jednostavnije), čije se vrijednosti poklapaju sa vrijednostima date funkcije u određenom broju tačaka. Štaviše, interpolacija ima i praktični i teorijski značaj. U praksi se često javlja problem restauracije kontinuirana funkcija prema njegovim tabličnim vrijednostima, na primjer, dobijenim tokom nekog eksperimenta. Za izračunavanje mnogih funkcija, pokazalo se da je efikasno aproksimirati ih polinomima ili razlomkom racionalnih funkcija. Teorija interpolacije se koristi u konstrukciji i proučavanju kvadraturnih formula za numeričku integraciju, za dobijanje metoda za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi.

Bibliografija

1. V.V. Ivanov. Računarske metode. Referentni priručnik. Izdavačka kuća "Naukova dumka". Kijev. 1986.

2. N.S. Bakhvalov, N.P. Židkov, G.M. Kobelkov. Numeričke metode. Izdavačka kuća "Laboratorij osnovnih znanja". 2003.

3. I.S. Berezin, N.P. Zhidkov. Metode proračuna. Ed. FizMatLit. Moskva. 1962.

4. K. De Bor. Praktični vodič za spline. Izdavačka kuća "Radio i komunikacije". Moskva. 1985.

5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Moler. Mašinske metode matematičkih proračuna. Izdavačka kuća "Mir". Moskva. 1980.

Hostirano na Allbest.ru

...

Slični dokumenti

Primjena prve i druge Newtonove interpolacijske formule. Pronalaženje vrijednosti funkcije u tačkama koje nisu tabelarne. Korištenje Newtonove formule za tačke koje nisu jednako udaljene. Pronalaženje vrijednosti funkcije korištenjem Aitkenove interpolacijske sheme.

laboratorijski rad, dodano 14.10.2013


Johann Carl Friedrich Gauss je najveći matematičar svih vremena. Gausove interpolacijske formule koje daju približan izraz za funkciju y=f(x) koristeći interpolaciju. Područja primjene Gaussovih formula. Glavni nedostaci Newtonovih interpolacijskih formula.

test, dodano 12.06.2014


Interpolacija funkcije u tački koja leži u blizini sredine intervala. Interpolacijske formule Gausove. Stirlingova formula kao aritmetička sredina Gaussovih interpolacijskih formula. Kubični spline funkcionira kao matematički model tanak štap.

prezentacija, dodano 18.04.2013


Kontinuirana i tačkasta aproksimacija. Interpolacijski polinomi Lagrangea i Newtona. Globalna interpolaciona greška, kvadratna zavisnost. Metoda najmanjeg kvadrata. Izbor empirijskih formula. Komadična konstantna i komadno linearna interpolacija.

seminarski rad, dodan 14.03.2014


Metode akorda i iteracija, Njutnovo pravilo. Interpolacijske formule Lagrangea, Newtona i Hermitea. Tačkasta kvadratna aproksimacija funkcije. Numerička diferencijacija i integracija. Numeričko rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi.

kurs predavanja, dodato 11.02.2012


Implementacija interpolacije korištenjem Newtonovog polinoma. Prečišćavanje vrijednosti korijena na datom intervalu za tri iteracije i pronalaženje greške u proračunu. Primjena metoda Newtona, Sampsona i Eulera u rješavanju problema. Izračunavanje derivacije funkcije.

kontrolni rad, dodano 02.06.2011


U računarskoj matematici, interpolacija funkcija igra bitnu ulogu. Lagrangeova formula. Interpolacija prema Aitken šemi. Newtonove interpolacijske formule za ekvidistantne čvorove. Newtonova formula s podijeljenim razlikama. Spline interpolacija.

kontrolni rad, dodano 05.01.2011


Izračunavanje derivacije po definiciji, korištenjem konačnih razlika i na osnovu prve Newtonove interpolacijske formule. Lagrangeov interpolacijski polinom i njihova primjena u numerička diferencijacija. Runge-Kutta metoda (četvrti red).

sažetak, dodan 06.03.2011


Kíntsí víznítsí íríznih okryadkív. Propadanje između kíntsevy trgovaca i funkcija. Diskretna i kontinuirana analiza. Razumijevanje podjele maloprodaje. Njutnova formula za interpolaciju. Poređenje formula Lagrangea i Newtona. Interpolacija za čvorove jednake udaljenosti.

test, dodano 06.02.2014


Pronalaženje Lagrangeovih i Newtonovih interpolacijskih polinoma koji prolaze kroz četiri točke date funkcije, upoređujući njihove reprezentacije snage. Rješavanje nelinearnog diferencijalna jednadžba Ojlerova metoda. Rješenje sistema algebarskih jednačina.

Njutnova prva interpolaciona formula je praktično nezgodna za interpolaciju funkcije u blizini čvorova tabele. U ovom slučaju obično je tako .

Opis zadatka . Neka imamo niz vrijednosti funkcije

za ekvidistantne vrijednosti argumenta, gdje je korak interpolacije. Konstruišemo polinom sledećeg oblika:

ili, koristeći generalizovanu snagu, dobijamo:

Tada, kada je jednakost zadovoljena, dobijamo

Zamijenimo ove vrijednosti u formulu (1). onda, konačno, Njutnova druga interpolaciona formula izgleda kao:

Hajde da uvedemo prikladniju notaciju za formulu (2). Neka onda

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (2) dobijamo:

Ovo je normalan izgled Njutnova druga interpolaciona formula. Za približno izračunavanje vrijednosti funkcije pretpostavlja se:

I prva i druga formula Njutnove interpolacije mogu se koristiti za ekstrapolaciju funkcije, tj. za pronalaženje vrijednosti funkcije za vrijednosti argumenata koje se nalaze izvan tablice.

Ako je i blizu, onda je korisno koristiti Njutnovu prvu interpolacionu formulu, a zatim. Ako je i blizu, onda je prikladnije koristiti drugu formulu za interpolaciju Newtona, štoviše.

Stoga se Njutnova prva interpolaciona formula obično koristi za naprijed interpolacija I ekstrapolirajući nazad, i Njutnova druga interpolaciona formula, naprotiv, za interpolacija nazad I ekstrapolacija naprijed.

Imajte na umu da je operacija ekstrapolacije, općenito govoreći, manje tačna od operacije interpolacije u užem smislu riječi.

Primjer. Koraknite korak, konstruirajte Njutnov interpolacijski polinom za funkciju datu u tabeli

Rješenje. Sastavljamo tabelu razlika (tabela 1). Kako su razlike trećeg reda praktično konstantne, u formuli (3) postavljamo Prihvativši, imat ćemo:

Ovo je željeni Njutnov interpolacioni polinom.

Tabela 1

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

anotacija

Objašnjenje seminarski rad"Interpolacija funkcije jedne varijable Newtonovom metodom" sadrži uvod, analizu zadatka sa opisom ulaznih i izlaznih podataka, pregled literarnih izvora, opis matematičkog modela i metoda računske matematike, objašnjenja algoritam, tekst programa, uputstva. Prilikom izučavanja discipline „Informatika“ za pisanje seminarskog rada korišćeni su različiti književni izvori koji su navedeni u ovom dokumentu. Ovaj kurs predstavlja program koji se koristi za interpolaciju tabelarne funkcije zadane Newtonovom metodom. Koristio je metod strukturiranog programiranja da olakša pisanje i otklanjanje grešaka u programu, kao i da poveća njegovu vidljivost i čitljivost. Svrha pisanja ovog rada bila je sticanje i konsolidacija praktičnih vještina u razvoju algoritama različitim metodama. Prikazani program je implementiran u programskom jeziku Pascal. Objašnjenje sadrži 25 listova koji sadrže dvije slike, tekst programa i opis programa i algoritma.

Uvod

Analiza posla

Matematički model problema

Programiranje funkcije Newtonove formule

Pregled literature

Razvoj programa prema šemi algoritma

Upute za korištenje programa

Tekst programa

Početni podaci i rezultat rješavanja test slučaja

Zaključak

Spisak korištenih izvora

Uvod

Savremeni razvoj fizika i tehnologija je usko povezana sa upotrebom elektronskih računara (računara). Trenutno su kompjuteri postali uobičajena oprema mnogih instituta i dizajnerskih biroa. To je omogućilo prelazak sa najjednostavnijih proračuna i evaluacija različitih struktura ili procesa na novu fazu rada - detaljne matematičko modeliranje(računarski eksperiment), što značajno smanjuje potrebu za eksperimentima punog opsega, au nekim slučajevima ih može zamijeniti.

Složeni računski problemi koji nastaju u proučavanju fizičkih i tehničkih problema mogu se podijeliti na niz elementarnih, kao što su izračunavanje integrala, rješavanje diferencijalne jednačine itd. Mnogi elementarni problemi su jednostavni i dobro proučeni. Za ove probleme su već razvijene numeričke metode rješavanja, a često postoje standardni programi za njihovo rješavanje na računaru. Postoje i prilično složeni elementarni zadaci; Metode za rješavanje takvih problema sada se intenzivno razvijaju.

U tom smislu, savremeni specijalista sa više obrazovanje mora imati ne samo visoki nivo obuka u profilu svoje specijalnosti, ali i da dobro poznaju matematičke metode rješavanje inženjerskih problema, fokusiranje na upotrebu računarska nauka, praktično savladaju principe rada na računaru.

Analiza posla

Kao ulazni podaci korišteni su:

1. Broj čvorova.

2. Tabelarne vrijednosti funkcije.

Izlazni podaci, tj. rezultat programa je:

1. Vrijednosti tablično definirane funkcije u međuvrijednostima.

2. Polinomski graf.

Matematički model problema

Prilikom izvođenja nastavnog rada odabran je sljedeći matematički model:

Interpolacija i aproksimacija funkcija.

1. Izjava o problemu.

Jedan od glavnih problema numeričke analize je problem interpolacije funkcije. Često je potrebno restaurirati

za sve vrijednosti na segmentu ako su njegove vrijednosti poznate u nekom konačnom broju tačaka ovog segmenta. Ove vrijednosti se mogu naći kao rezultat promatranja (mjerenja) u nekom prirodnom eksperimentu, ili kao rezultat proračuna. Osim toga, može se ispostaviti da je funkcija data formulom i da je izračunavanje njenih vrijednosti pomoću ove formule vrlo naporno, stoga je poželjno imati jednostavniju (manje napornu za izračunavanje) formulu za funkciju koji bi omogućio pronalaženje približne vrijednosti razmatrane funkcije sa potrebnom tačnošću u bilo kojoj tački na segmentu. Kao rezultat, javlja se sljedeći matematički problem.

Neka i 'segment

mreža sa

a njegovi čvorovi sadrže vrijednosti funkcije

, jednako .

Potrebno je izgraditi interpolant - funkciju

, što se poklapa s funkcijom u čvorovima mreže: .

Glavna svrha interpolacije je dobiti brz (ekonomičan) algoritam za izračunavanje vrijednosti

za vrijednosti koje nisu sadržane u tabeli podataka.

2. Interpolacija prema Newtonu

Dato je tabličnoj funkciji:

i
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Tačke sa koordinatama

nazivaju se čvorne tačke ili čvorovi.

Broj čvorova u funkciji tablice je N=n+1.

Potrebno je pronaći vrijednost ove funkcije u međutački, npr.

, i . Za rješavanje problema koristi se interpolacijski polinom.

Interpolacijski polinom prema Newtonovoj formuli ima oblik:

gdje je n stepen polinoma,

Njutnova formula za interpolaciju omogućava vam da izrazite interpolacioni polinom

kroz vrijednost u jednom od čvorova i kroz podijeljene razlike funkcije izgrađene preko čvorova.

Prvo dajemo potrebne informacije o podijeljenim razlikama.

Pusti u čvorove

,

vrijednosti funkcije su poznate

. Pretpostavimo da među točkama , , Nema onih koji se podudaraju. Podijeljene razlike prvog reda su odnosi , , .

Razmotrićemo podijeljene razlike sastavljene od susjednih čvorova, tj. izraza

Prilično uobičajena metoda interpolacije je Newtonova metoda. Interpolacijski polinom za ovu metodu je:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Problem je pronaći koeficijente a i polinoma P n (x). Koeficijenti se nalaze iz jednačine:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

omogućavajući zapisivanje sistema:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

Koristimo metodu konačnih razlika. Ako su čvorovi x i dati u pravilnim intervalima h, tj.

x i+1 - x i = h,

onda u opštem slučaju x i = x 0 + i×h, gde je i = 1, 2, ..., n. Posljednji izraz nam omogućava da jednačinu koju treba riješiti dovedemo u oblik

y 1 \u003d a 0 + a 1 × h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

odakle za koeficijente dobijamo

gdje je Du 0 prva konačna razlika.

Nastavljajući proračune, dobijamo:

gdje je D 2 y 0 druga konačna razlika, što je razlika razlika. Koeficijent a i može se predstaviti kao:

Dodavanjem pronađenih vrijednosti koeficijenata a i vrijednostima za P n (x), dobijamo Newtonov interpolacijski polinom:

Hajde da transformišemo formulu, za koju uvodimo novu varijablu, gde je q broj koraka potrebnih da se dođe do tačke x, krećući se od tačke x0. Nakon transformacije dobijamo:

Rezultirajuća formula je poznata kao Newtonova prva interpolaciona formula ili Newtonova formula za interpolaciju naprijed. Korisno je koristiti ga za interpolaciju funkcije y = f(x) u blizini početne vrijednosti x – x 0 , gdje je q mala apsolutna vrijednost.

Ako interpolacijski polinom zapišemo kao:

onda na sličan način možete dobiti drugu Newtonovu interpolacijsku formulu, ili Newtonovu formulu za interpolaciju "unazad":

Obično se koristi za interpolaciju funkcije blizu kraja tabele.

Prilikom proučavanja ove teme, mora se imati na umu da se interpolacijski polinomi podudaraju datu funkciju f(x) na interpolacijskim čvorovima, iu drugim tačkama, u opštem slučaju, će se razlikovati. Naznačena greška nam daje grešku metode. Greška metode interpolacije određena je preostalim članom, koji je isti za Lagrangeove i Newtonove formule i koji omogućava da se dobije sljedeća procjena apsolutne greške:

Ako se interpolacija provodi istim korakom, tada se mijenja formula za preostali član. Konkretno, kada se interpoliraju "naprijed" i "nazad" prema Newtonovoj formuli, izraz za R(x) se donekle razlikuje jedan od drugog.

Analizirajući rezultirajuću formulu, može se vidjeti da je greška R(x) do konstante proizvod dva faktora, od kojih jedan, f (n+1) (x), gdje se x nalazi unutar , zavisi od svojstva funkcije f(x) i ne mogu se regulirati, ali veličina druge,

određena isključivo izborom interpolacijskih čvorova.

Ako je raspored ovih čvorova neuspješan, gornja granica modula |R(x)| može biti prilično velika. Stoga se javlja problem najracionalnijeg izbora interpolacijskih čvorova x i (za dati broj čvorova n) tako da polinom P n+1 (x) ima najmanju vrijednost.

Predavanje 4

1. Konačne razlike
2. Prva interpolaciona formula
Newton
3. Druga interpolaciona formula
Newton
4. Interpolacijske greške

Konačne razlike 1. reda

Ako je interpolirana funkcija y = f(x) definirana u
ekvidistantni čvorovi, tako da je xi = x0 + i∙h, gdje je h korak tablice, i
i = 0, 1, … n, tada se formule mogu koristiti za interpolaciju
Newton koristeći konačne razlike.
Konačna razlika prvog reda je razlika yi
= yi+1 - yi, gdje
yi+1= f(xi+h) i yi = f(xi). Za datu funkciju
tabelarno na (n+1) čvorovima, i = 0, 1, 2, …, n, konačne razlike
prvi red se može izračunati u tačkama 0, 1, 2,…, n - 1:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.

Konačne razlike viših redova

Koristeći konačne razlike prvog reda, može se
dobiti konačne razlike drugog reda 2yi = yi+1 - yi:
2 y 0 y1 y 0 ;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 y n 2 y n 1 y n 2 .
Konačne razlike k-tog reda u čvoru sa brojem i mogu
izračunati kroz razlike (k-1)-ti red:
k yi k 1yi 1k 1yi
Bilo koje konačne razlike mogu se izračunati kroz vrijednosti
funkcije u interpolacijskim čvorovima, na primjer:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0 .

Tablica konačnih razlika

x
y
Δy
∆2y
∆3y
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3h
y3

Po veličini konačnih razlika, može se
uradi
izlaz
o
stepeni
interpolacija
polinom,
opisivati
tabelarno
dato
funkcija.
Ako
za
stolovi
od
podjednako raspoređeni
čvorovi
final
razlike k-tog reda su konstantne ili
onda su srazmjerne datoj grešci
funkcija može biti predstavljena polinomom
k-ti stepen.

Konačne razlike i stepen polinoma

Razmotrimo, na primjer, tablicu konačnih razlika za
polinom y = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2g
0.08
3g
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
x
y
1.0
Konačne razlike trećeg reda su nula, i sve
konačne razlike drugog reda su iste i jednake su 0,08. Ovo
kaže da funkcija data u tabeli može biti
biti predstavljen polinomom 2. stepena (očekivani rezultat,
s obzirom na to kako se dobija tabela).

Neka je funkcija y = f(x) definirana na n+1 ekvidistantnih čvorova xi , i = 0, 1,
2,…n sa korakom h. Potrebno je pronaći interpolacijski polinom Pn(x)
stepen n koji zadovoljava uslov:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …,n .
Potražićemo interpolacijski polinom u obliku:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
gdje su ai, i = 0, 1, 2,…n nepoznati koeficijenti koji ne zavise od čvorova
interpolacija. Nađimo ove koeficijente iz uslova interpolacije.
Neka je x = x0, tada je Pn(x0) = y0 = a0. Prema tome, a0 = y0.
Neka je x = x1, tada je Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), odakle
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Neka je sada x = x2, onda:
Pn (x 2) y 2 a0 a1(x 2 -x 0) a2 (x 2 -x 0)(x 2 -x1) y 0
y 0
2h a2 2h2.
h
Izražavajući a2 iz ovog izraza, dobijamo:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2h2
2h2
2h2
2h2

Njutnova prva interpolaciona formula

Nastavljajući zamjene, može se dobiti izraz za bilo koji
koeficijent sa brojem i:
i y 0
ai
,
ja! zdravo
i 0,1,...,n.
Zamjena pronađenih vrijednosti koeficijenata u originalni izraz,
dobijamo Njutnovu prvu interpolacionu formulu:
y0
2 y0
n y 0
Pn (x) y0
(xx0)
(xx0)(xx1) ...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!hn
Formula pokazuje da koristi gornji red tabele
konačne razlike (slajd 4). Formula je također
sukcesivno povećavajući stepen polinoma dok dodajete
uzastopni uslovi. Ovo vam omogućava da precizirate rezultat bez
preračunavanje termina koji su već uzeti u obzir.

Njutnova prva interpolaciona formula

Njutnova prva interpolaciona formula može se napisati kao
kompaktniji i lakši za implementacija softvera formu.
Označavanje
q
xx0
,
h
x x 0 qh
i izvođenje jednostavnih transformacija oblika:
x x1 x x 0 h
q1;
h
h
x xn
xx2
q n 1,
q2;.....;
h
h
dobijamo Njutnovu prvu interpolacionu formulu, izraženu
u odnosu na nepoznato q:
n y 0
2 y0
q(q 1)...(q n 1).
q(q1) ...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!

10. Njutnova prva interpolaciona formula

Konačne razlike višeg reda korištene u formuli
Newton, obično imaju veliku grešku povezanu s greškama
zaokruživanje pri oduzimanju bliskih vrijednosti. Dakle, relevantno
termini formule takođe imaju veliku grešku. Da se minimizira
njihov doprinos sumi, odnosno da konačni rezultat, potrebno je izvršiti
stanje |q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
između prva dva čvora tabele: x0< x < x1. По этой причине
naziva se interpolacija pomoću prve Newtonove formule
interpolacija na početku tabele ili interpolacija naprijed.

interpolacija Njutnova prva formula za interpolaciju uzima
sljedeći pogled:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q1)
.
2

11. Primjer korištenja prve Newtonove interpolacijske formule

kao u primjeru na slajdu 6. Potrebno je pronaći približan
vrijednost funkcije u tački x = 1,1 kvadratno
interpolacija Njutnovom prvom formulom.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2g 3g
0.08 0
0.08 0
0.08
Korak tabele h = 0,2
q = (x – x0)/h = 0,5
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Rezultat se poklapa
polinomska vrijednost
y = x2 – 3x + 2, od čega
sto je primljeno

12. Šema proračunskog algoritma za prvu Njutnovu interpolacionu formulu

13. Njutnova druga interpolaciona formula

Njutnova druga formula ima slična svojstva
u odnosu na desnu stranu tabele. Da biste ga izgradili, koristite
polinom oblika:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
gdje su ai, i = 0, 1, 2, … n koeficijenti neovisni o interpolacijskim čvorovima.
Da bismo odredili koeficijente ai, mi ćemo naizmjenično
zamjenski interpolacijski čvorovi. Za x = xn Pn(xn) = yn, dakle,
a0 = yn.
Za x = xn-1 imamo Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
gdje
a1
yn 1 yn yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h

14. Njutnova druga interpolaciona formula

Nastavljajući zamjene, dobijamo izraze za sve koeficijente
polinoma i druge Newtonove interpolacijske formule:
n y 0
yn 1
2 yn 2
Pn(x)yn
(xxn)
(xxn)(xxn 1)
(xxn)...(xx1).
2
n
1!h
2!h
n!h
Formula pokazuje da koristi donju dijagonalu tabele
konačne razlike (slajd 4). Kao u prvoj Newtonovoj formuli, zbrajanje
uzastopni termini dovode do sukcesivnog povećanja stepena
polinom, koji vam omogućava da precizirate rezultat bez ponovnog izračunavanja
uzeti u obzir uslove.
Uvođenjem oznake: q
x xn
,
h
x xn hq
i nakon jednostavnih transformacija dobijamo drugu interpolaciju
Newtonova formula izražena s obzirom na zamjensku varijablu q:
n y 0
2 yn 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q1) ...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!

15. Newtonova druga interpolaciona formula

Iz istih razloga kao u slučaju prve Newtonove formule, for
da bi se smanjila računska greška, neophodno je da uslov
|q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
zadnja dva čvora tabele: xn-1< x < xn. По этой причине
naziva se interpolacija pomoću druge Newtonove formule
interpolacija na kraju tabele ili interpolacija unazad.
Za posebne slučajeve linearnog (n=1) i kvadratnog (n=2)
interpolacija Njutnova druga formula za interpolaciju uzima
sljedeći pogled:
P1 (x) y n y n 1q
2 y n 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q1)
2!

16. Primjer korištenja druge Newtonove interpolacijske formule

Neka je interpolirana funkcija f(x) data istom tablicom,
kao u primjeru na slajdu 11. Potrebno je pronaći približan
vrijednost funkcije u tački x = 1,7 po kvadratu
interpolacija drugom Newtonovom formulom.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2g 3g
0.08 0
0.08 0
0.08
Korak tabele h = 0,2
q = (x – xn)/h = -0,5
Rezultat se poklapa
polinomska vrijednost
y = x2 - 3x + 2, od
primljeno
sto
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2

17. Šema algoritma proračuna prema drugoj formuli Njutnove interpolacije

18. Interpolacijske greške

Interpolirajuća funkcija u tačkama između
interpolacijski čvorovi zamjenjuju interpolaciju
funkcija otprilike:
f(x) = F(x) + R(x), gdje je R(x) greška
interpolacija.
Za procjenu greške potrebno je imati
treba imati neke informacije o tome
interpolirana funkcija f(x). Pretvarajmo se to
f(x) je definirana na segmentu koji sadrži sve
čvorovi xi, a za x koji pripada , ima sve
derivati ​​f"(x), f""(x), … f(n+1)(x) do (n+1)th
narudžba uključena.

19. Interpolacijske greške

Onda

20. Odabir interpolacijskih čvorova po Lagrangeovoj formuli

Za fiksni stepen polinoma:
x*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x
Uz uzastopno povećanje stepena
polinom
x*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
x

21. Praktična procjena greške interpolacije po Lagrangeovoj formuli

U praksi, evaluacija maksimalna vrijednost izvod (n+1)-og
red Mn+1 kada se koristi Lagrangeova formula je rijetko moguć,
i stoga koristite približnu procjenu greške
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
gdje je n broj korištenih čvorova.
Iz gornje formule slijedi procjena greške
neophodna je interpolacija Lagrangeovim polinomom n-tog stepena
dodatno izračunati vrijednost polinoma (n+1)-tog stepena. Ako
data je dozvoljena interpolaciona greška, potrebno je sabrati sve
novih čvorova, povećavajte stepen polinoma do modula
razlika između zadnje dvije vrijednosti polinoma |Ln+1(x)-Ln(x)| ne
postaje manja od postavljene vrijednosti.

22. Šema interpolacionog algoritma prema Lagrangeovoj formuli sa zadatom tačnošću

23. Procjena grešaka u Newtonovim interpolacijskim formulama

Za interpolaciju
poprimiti sljedeći oblik.
Njutnova prva formula:
R n (x) h
n 1
formule
Newton
procjene
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
Njutnova druga formula:
R n (x) h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
greške

24. Praktična procjena grešaka u Newtonovim interpolacijskim formulama

Kada se koriste Newtonove interpolacijske formule, količina
f(n+1)(ξ) može se približno procijeniti iz vrijednosti konačnih razlika:
f
(n 1)
n 1
Δy0
() n 1
h
iu ovom slučaju formule za procjenu greške dobijaju sljedeće
pogled:
Njutnova prva formula:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
Njutnova druga formula:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!

25. Interpolacija po Newtonovim formulama sa zadatom tačnošću

Poređenje ovih formula sa formulama
Newton, to se može vidjeti za procjenu
greške polinomske interpolacije
n-ti stepen, morate uzeti dodatni čvor
i izračunaj član (n+1)-ti stepen.
Ako je dozvoljena greška postavljena
interpolacije ε, onda je potrebno sukcesivno
dodati nove čvorove i, shodno tome,
novi uslovi, povećanje stepena
interpolacijski polinom do
sve dok sljedeći član ne postane manji od ε.