Primjer 3: Koristeći autofilter, odaberite studente koji uče u grupi br. 5433 sa prezimenom koje počinje na slovo C.

Sekvenciranje

1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 3.

2. Prezime.

3. Odaberite stavku sa listeFilteri teksta → Prilagođeni filter. U prozoru koji se pojavi Prilagođeni automatski filter odaberite kriterij odabira koji počinje sa , u polje nasuprot unesite željeno slovo (provjerite da li je izgled na ruskom). Pritisnite OK.

4. Otvorite padajuću listu u koloni broj grupe.

5. Odaberite željeni broj.

Filtriranje zapisa u bazi podataka sa naprednim filterom

Napredni filter omogućava vam da tražite redove koristeći složenije kriterije od prilagođenih automatskih filtera. Napredni filter koristi interval kriterijuma za filtriranje podataka.

Kada koristite napredni filter, imena kolona na kojima su navedeni uslovi kopiraju se ispod izvorne tabele. Kriterijumi odabira se unose ispod naziva kolona. Nakon primjene filtera, na ekranu se mogu prikazati samo oni redovi koji ispunjavaju navedene kriterije, a filtrirani podaci se mogu kopirati na drugi list ili u drugu oblast na istom radnom listu.

Primjer 4: Odaberite sve učenike iz grupe # 5433 čiji je GPA veći ili jednak 4,5.

Sekvenciranje

1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 4.

2. Kopirajte nazive kolona Broj grupe i prosječan rezultat

na područje ispod originalne tabele. Upišite tražene kriterije odabira ispod naziva kolona (Sl. 32)

Rice. 32. Excel prozor sa naprednim filterom

2. Na kartici Podaci na traci sa alatkama Sortiranje

i filter odaberite Napredno. Pojavit će se dijaloški okvir (slika 33) u kojem su specificirani rasponi podataka.

Rice. 33. Prozor naprednog filtera

U polju za unos originalni raspon specificira interval koji sadrži izvornu bazu podataka. U našem slučaju se bira raspon ćelija od A1 do I9.

U polju za unos Raspon uslova odabire se interval ćelija na radnom listu koji sadrži tražene kriterije (C12:D13).

U polje za unos Stavite rezultat u opseg označava interval u kojem se kopiraju redovi koji zadovoljavaju kriterije

teorije. U našem slučaju, ćelija je naznačena ispod područja kriterija, na primjer A16. Ovo polje je dostupno samo kada je odabrano radio dugme. Kopirajte rezultat na drugu lokaciju.

Polje za potvrdu Samo jedinstveni zapisi je dizajniran da prikaže samo redove koji se ne ponavljaju.

Rezultirajuća tabela koja zadovoljava kriterijume filtriranja prikazana je na sl. 34.

Rice. 34. Excel prozor sa rezultatima filtriranja

1. Kreirajte vlastitu bazu podataka, broj zapisa u kojoj mora biti najmanje 15, a broj stupaca mora biti najmanje 6. Na primjer, baza podataka Spisak klijenata (Sl. 35).

2. Primijenite tri autofiltra na bazu podataka (na odvojenim listovima). Broj kriterijuma mora biti najmanje dva.

3. Primijenite tri napredna filtera na zapise baze podataka, od kojih svaki sadrži najmanje dva kriterija. Postavite sve napredne filtere na jedan list ispod originalne tabele.

Rice. 35. Excel prozor sa bazom podataka Lista kupaca

LAB #5

Numerička diferencijacija i jednostavna analiza funkcija

Svrha rada: Istražiti funkciju do ekstrema, naučiti odrediti kritičnu tačku.

Iz predmeta matematike poznato je da derivatna formula općenito izgleda ovako:

f "(x)= lim
∆x0

gdje je Δx prirast argumenta; x je broj koji teži nuli. Uz pomoć derivacije možete odrediti kritične točke funkcije - minimume, maksimume ili infleksije. Ako je vrijednost derivacije funkcije pri bilo kojoj vrijednosti x jednaka nuli, tada pri ovoj vrijednosti x funkcija ima kritičnu tačku.

Primjer 1: Funkcija f x = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x 5;5. Istražite ponašanje funkcije f(x) .

Sekvenciranje

1. Neka je Δx = 0,00001. U ćeliju A1 upisati: šDx=Ÿ (Sl. 36). Odaberite slovo D, kliknite desnom tipkom miša na odabrano slovo, odaberite Format Cells. Na kartici Font izaberite font za simbol. Slovo D će postati grčko slovo Ẑŭ. Poravnanje u ćeliji se može izvršiti udesno. U ćeliju B1 unesite vrijednost 0,00001.

2. U ćelijama od A2 do F2 uredite zaglavlje za tabelu, kao što je prikazano na sl. 36.

3. Kolona A, počevši od trećeg reda, će sadržavati x vrijednosti. U ćelije A3 do A13 unesite vrijednosti od -5 do 5.

4. U ćeliju B3 upišite formulu =A3^2+2*A3-3 i proširite je na konačnu vrijednost x (do 13. reda).

5. Da biste odredili derivaciju funkcije i izračunali njene vrijednosti u datom intervalu, potrebno je napraviti međuproizvod

tačne proračune. U ćeliju C3 unesite formulu za zbir argumenta x i njegovog prirasta Δx. Formula je: =A3+$B$1. Proširite njegovu vrijednost na konačnu vrijednost argumenta x.

Rice. 36. Excel prozor sa proučavanjem ponašanja funkcije

6. U ćeliju D3 upišite formulu =C3^2+2*C3-3, koja izračunava vrijednost funkcije f iz argumenta x Δx. Protegnite rezultirajuću vrijednost do krajnje vrijednosti argumenta.

7. U ćeliju E3 upisati formulu izvoda (1), s obzirom da su vrijednosti f x u B3, a vrijednosti f x + Δx u D3.

Formula će izgledati ovako: =(D3-B3)/$B$1.

8. Odrediti ponašanje funkcije na datom intervalu (povećava, opada ili postoji kritična tačka). Da biste to učinili, morate napisati formulu u ćeliju F3 kako biste odredili ponašanje funkcije. Formula sadrži tri uslova:

		f" (x)< 0	- funkcija se smanjuje;
		f" (x) > 0	- funkcija se povećava;
		f"(x)=0	– postoji kritična tačka* .

9. Konstruisati grafove za vrednosti fx i f"(x). Grafikon (slika 37) pokazuje da ako je vrednost izvoda funkcije nula, onda funkcija ima kritičnu tačku na ovom mestu.

* Zbog prevelike greške u proračunu, vrijednost f "(x) možda neće biti jednaka 0. Ali je ipak potrebno opisati ovu situaciju.

Rice. 37. Dijagram proučavanja ponašanja funkcije

Zadaci za samostalan rad

Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Istražite ponašanje funkcije f(x) . Izgradite grafikone.

			2x2						X [ 4 ;4 ]
								X [ 5 ;5 ]
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)=x					X [ 2 ;3 ]
				x 2 + 7

LAB #6

Konstrukcija tangente na graf funkcije

Svrha rada: Savladati računanje vrijednosti ​​jednadžbe tangente na graf funkcije u tački x0.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f(x) u tački

Primjer 1: Funkcija y = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x [ 5; pet ] . Konstruirajte tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 1.

Slijed:

1. Razlikujte ovu funkciju numerički (vidi Laboratorijski rad br. 5). Tabela početnih podataka prikazana je na sl. 38.

Rice. 38. Tabela početnih podataka

2. Odredite lokaciju u tabeli x , x 0 , f (x 0 ) i f "(x 0 ). Očigledno, x će biti vrijednosti iz

kolona A, počevši od trećeg reda (slika 38). Ako je x 0 = 1, tada će ćelija A9 djelovati kao x 0 . Prema tome, vrijednost funkcije f u tački x 0 nalazi se u ćeliji B9, a vrijednost f" (x 0 )

- u ćeliji E9.

3. U koloni F izračunava se jednadžba tangente na graf funkcije f(x). Prilikom izračunavanja jednačine (1) potrebno je da se vrijednosti x 0, f (x 0) i f" (x 0) ne mijenjaju. Stoga, pismeno

Da biste adresirali ćelije A9, B9 i E9, morate koristiti apsolutne reference na ove ćelije. Ćelije se fiksiraju pomoću znaka š$Ÿ. Ćelije će izgledati ovako: $A$9, $B$9 i $E$9.

Rice. 39. Grafikon funkcije f(x) i tangente na graf u tački x=1

Zadaci za samostalan rad

Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Izračunajte jednadžbu tangente. Konstruirajte tangentu na graf funkcije u dati poen.

			2x2						X [ 4 ;4 ] , x0 = 1
								X [ 5 ;5 ] , x0
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0
	f(x)=x					X [ 2 ;3 ], x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. Funkcije i formule Excel 2007. Korisnička biblioteka / E. A. Vedeneeva. - Sankt Peterburg: Peter, 2008. - 384 str.

2. Sviridova, M. Yu. Spreadsheets Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 str.

3. Serogodsky, V. V. Grafovi, proračuni i analiza podataka

in Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Nauka i tehnologija, 2009. - 336 str.

Poznato je da se numeričkim aproksimativnim metodama derivacija funkcije u datoj tački može izračunati pomoću formule konačne razlike. Izraz za izračunavanje derivacije funkcije jedne varijable u tački x k zapisan u konačnim razlikama ima oblik

gdje je Δh vrlo mala konačna vrijednost.

Uz dovoljno male vrijednosti Δx, moguće je dobiti vrijednost derivacije funkcije u tački s prihvatljivom točnošću. Da bismo izračunali izvod u MS Excel-u, koristićemo gornju formulu. Razmotrite tehnologiju za izračunavanje derivata koristeći primjer.

Primjer 1.18 Pronađite izvod funkcije y = 2x 3 + x 2 u tački x = 3. Imajte na umu da je derivacija smanjene funkcije u tački x = 3, izračunata analitičkom metodom, 60 - ova vrijednost će nam trebati za provjeru rezultata dobivenog izračunavanjem numeričke metode.

Zadatak izračunavanja derivata u procesoru proračunskih tablica može se riješiti na dva načina.

Rješenje na prvi način

Unesemo formulu desne strane date funkcionalne zavisnosti u ćeliju radnog lista, na primjer, u ćeliju B2, kao što je prikazano na slici, praveći referencu na ćeliju u kojoj će se nalaziti vrijednost x, npr. A2,

2*A2 ^ 3+A2 ^ 2.

Postavimo susjedstvo tačke x=3 dovoljno male veličine, na primjer, vrijednost na lijevoj strani xk =2,9999999, a vrijednost na desnoj strani xk +1 =3,00000001, i unesite ove vrijednosti u ćeliju A2 i A3, respektivno. U ćeliju C2 unesite formulu za izračunavanje izvoda = (B3-B2) / (A3-A2).

Kao rezultat proračuna, približna vrijednost izvoda će biti prikazana u ćeliji C2 datu funkciju u tački x=3, čija je vrijednost 60, što odgovara rezultatu dobijenom analitički (slika 1.24).

Rešenje na drugi način

Unesemo zadatu vrijednost argumenta jednaku 3 u ćeliju radnog lista A2, u ćeliju B2 ćemo naznačiti dovoljno mali inkrement argumenta - (1E - 9), u ćeliju C2 ćemo unijeti formulu za izračunavanje derivata

=(2*(A2+B2) ^ 3+(A2+B2) ^ 2-(2*A2 ^ 3+A2 ^ 2))/B2.

Nakon pritiska na tipku dobijamo rezultat obračuna 60.0000.

Kao što vidite, rezultat je isti kao kod prve metode. Navedena druga metoda je poželjnija u slučajevima kada je potrebno izgraditi tablicu vrijednosti funkcije derivacije za date vrijednosti argumenta.

Izračunavanje lokalnih ekstrema funkcije

Podsjetimo da funkcija Y=f(x) ima ekstrem na vrijednosti x = x k ako je izvod funkcije u ovoj tački jednak nuli.

Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu [a, b] i ima unutar ovog segmenta lokalni ekstrem, možete ga pronaći pomoću Excel dodatka Solve.

Razmotrimo redoslijed pronalaženja ekstrema funkcije koristeći primjer

Primjer 1.19 Zadana je neodvojiva funkcija y \u003d x 2 + x + 2. Potrebno je pronaći njen ekstrem (minimalna vrijednost) na intervalu [-2; 2].

Rješenje

U ćeliju A3 radnog lista unesite bilo koji broj koji pripada datom segmentu, ova ćelija će sadržavati vrijednost x.

U ćeliju B3 unesite formulu koja određuje dato funkcionalna zavisnost. Umjesto varijable x u ovoj formuli, trebalo bi da postoji referenca na ćeliju A3: =A3^2+A3+2.

Izvršimo naredbu menija Servis/Traži rješenje.

U dijaloškom okviru koji se otvori Traži rješenje, u polju Postavi ciljnu ćeliju navedite adresu ćelije koja sadrži formulu (B3), postavite prekidač Minimalna vrijednost, u polju Promjena ćelija navedite adresu ćelije koja sadrži varijablu x-A3.

Dodajmo dva ograničenja odgovarajućem polju: A3 >= - 2 i A3<=2 (рис. 1.25).

Kliknite na dugme Parametri i u dijaloškom okviru za pretraživanje parametara rješenja koji se otvori postavite relativnu grešku u proračunu i ograničeni broj iteracija.

Kliknite na dugme Pokreni. U ćeliji A3 će se izračunati vrijednost argumenta x funkcije pri kojoj ona uzima minimalnu vrijednost, a u ćeliji B3 - minimalnu vrijednost funkcije.

Kao rezultat proračuna u ćeliji A3 dobiće se vrijednost nezavisne varijable pri kojoj funkcija zauzima najmanju vrijednost -0,5, au ćeliji B3 - minimalnu vrijednost jednaku 1,75.

Napravimo graf date funkcije i uvjerimo se da je rješenje jednadžbe pronađeno, zar ne.

Bilješka. U konkretnom slučaju, prilikom pronalaženja lokalnog ekstremuma pomoću razmatrane tehnologije, možete dobiti vrijednost koja nije ekstrem, već jednostavno minimum ili maksimum funkcije u datom rasponu argumenta.

Stoga je potrebna dodatna verifikacija, tj. izračunavanje derivacije funkcije u pronađenoj tački.

Koristeći gornju tehnologiju za numerički proračun izvoda funkcije u datoj tački, provjeravamo da li je pronađena tačka x = -0,5 tačka ekstrema funkcije y = x 2 + x + 2. Rješenje je prikazano na slici .

Kao što vidite, izvod u pronađenoj tački jednak je nuli, stoga je pronađena vrijednost funkcije njena ekstremna vrijednost.

Primjer 1.20 Potrebno je pronaći vrijednosti argumenta u rasponu [-1; 1] za koju funkcija y = x 2 + x + 2 ima ekstreme.

Rješenje

Tabelarno prikazujemo datu funkciju sa korakom od 0,2.

Koristeći drugu od gore navedenih metoda za izračunavanje derivacije, izračunavamo vrijednosti funkcije y = f (x + dx).

Izračunajmo vrijednosti derivacije za svaku tabelarnu vrijednost argumenta.

Analizirajući dobijene vrijednosti izvoda funkcije u tačkama, nalazimo da derivacija mijenja predznak u intervalu vrijednosti argumenta (-0,6; -0,4), dakle, u ovome postoji tačka ekstrema interval. Osim toga, imajte na umu da se predznak derivacije mijenja iz minusa u plus, stoga je tačka ekstrema minimum funkcije.

Alat za nanošenje Odabir parametara ili Traži rješenja za rješavanje jednačine Y(x) = 0

s obzirom na x, izračunavamo tačnu vrijednost argumenta pri kojoj originalna funkcija uzima dodatnu vrijednost (-0,5) (slika 1.26).

Dobivena vrijednost derivacije proučavane funkcije u tačka x \u003d -0,5 je nula, stoga u ovom trenutku funkcija ima ekstrem.

Numerička diferencijacija

Odjeljak br. 5

Problem približnog izračuna derivacije može nastati u slučajevima kada je analitički izraz za proučavanu funkciju nepoznat. Funkcija se može specificirati u tabeli, ili je poznat samo graf funkcije, dobijen, na primjer, kao rezultat očitavanja senzora parametara procesa.

Ponekad je prilikom rješavanja određenih problema na računaru, zbog glomaznosti proračuna, pogodnije izračunati derivate numeričkom metodom nego analitičkom. U ovom slučaju, naravno, potrebno je opravdati primijenjenu numeričku metodu, odnosno osigurati da je greška numeričke metode u prihvatljivim granicama.

Jedna od efikasnih metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi je metoda razlike, kada se umjesto željene funkcije razmatra tablica njenih vrijednosti u određenim tačkama, dok se derivati ​​približno zamjenjuju formulama razlike.

Neka je poznat graf funkcije y = f(X) na segmentu [ ali,b].Možete napraviti graf derivacije funkcije, pamteći njeno geometrijsko značenje. Iskoristimo činjenicu da je derivacija funkcije u tački X jednaka tangenti ugla nagiba na x-osu tangente na njen graf u ovoj tački.

Ako x = x 0 , nađi at 0 = f(x 0) koristeći graf i zatim nacrtajte tangentu AB na graf funkcije u tački ( X 0 , y 0) (slika 5.1). Nacrtajte liniju paralelnu sa tangentom AB, kroz tačku (-1, 0) i pronađite tačku at 1 njegov presek sa y-osom. Zatim vrijednost at 1 je jednako tangenti nagiba tangente na x-osu, tj. derivaciji funkcije f(x) u tački X 0:

at 1 = = tg α = f ¢ ( x 0), i tačka M 0 (X 0 , at 1) pripada grafu derivacije.

Da biste izgradili graf derivacije, potrebno je podijeliti segment [ ali,b] na nekoliko dijelova sa tačkama x i, zatim grafički konstruirajte vrijednost derivacije za svaku tačku i povežite dobijene tačke glatkom krivom koristeći obrasce.

Na sl. 5.2 prikazuje konstrukciju pet tačaka M 1, M 2 ,... , M 5 i graf derivacije.

Algoritam za konstruisanje grafa derivacije:

1. Gradimo tangentu na graf funkcije at= f(x)u trenutku ( X 1 ,f(x 1)); iz tačke (-1, 0) paralelne sa tangentom u tački ( X 1 ,f(x 1)) nacrtajte pravu liniju dok se ne ukrsti sa y-osom; ova tačka preseka daje vrednost derivacije f ¢ ( X 1) Izgradnja tačke M 1 (X 1 , f ¢ ( X 1)).

2. Slično konstruišemo preostale tačke M 2 ,M 3 , M 4 i M 5 .

3. Povežite tačke M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 glatka kriva.

M 4

Dobivena kriva je graf derivacije.

Preciznost grafičke metode za određivanje derivata je niska. Dajemo opis ove metode samo u obrazovne svrhe.

Komentar. Ako u algoritmu za konstruisanje grafa derivacije, umjesto tačke (-1, 0), uzmemo tačku ( -l,0), gdje l> 0, tada će graf biti iscrtan na drugoj skali duž y-ose.

5 . 2 .Formule razlike

ali) Formule razlike za obične derivate

Formule razlike za približno izračunavanje izvoda sugerira sama definicija izvoda. Neka vrijednosti funkcije budu u tačkama x i označeno sa y i:

y i= f(x i),x i = a+ ih,i = 0, 1, ... , n; h=

Razmatramo slučaj ujednačene raspodjele tačaka na intervalu [ a, b]. Za aproksimativno izračunavanje derivata u tačkama x i možete koristiti sljedeće formule razlike , ili diferencijalne derivate .

Budući da je granica relacije (5.1) at h® 0 je jednako desnom izvodu u tački x i, onda se ova relacija ponekad naziva prava razlika derivat u tački x i.Iz sličnog razloga se zove relacija (5.2). lijeva razlika derivat u tački x i Poziva se relacija (5.3). derivat centralne razlike u tački x i.

Procijenimo grešku formula razlike (5.1)–(5.3), pod pretpostavkom da je funkcija f(x) se širi u Tejlorov niz u blizini tačke x i:

f(x)= f(x i)+ . (5.4)

Postavljanje u (5.4) X= x i+ h ili x = x i- h, dobijamo

Direktnom zamjenom proširenja (5.5) i (5.6) u formulu (5.10), možemo dobiti ovisnost između drugog izvoda funkcije i formula razlike za izvod drugog reda .

Kako Excel može pomoći u izračunavanju derivacije funkcije? Ako je funkcija zadana jednadžbom, tada će vam Excel nakon analitičkog diferenciranja i dobivanja formule pomoći da brzo izračunate vrijednosti derivacije za bilo koje vrijednosti argumenata od interesa za korisnika.

Ako je funkcija dobijena praktičnim mjerenjima i data u tabelarnim vrijednostima, onda Excel može pružiti značajniju pomoć u ovom slučaju pri izvođenju numeričke diferencijacije i naknadne obrade i analize rezultata.

U praksi se problem izračunavanja derivacije metodom numeričke diferencijacije može javiti i u mehanici (prilikom određivanja brzine i ubrzanja objekta na osnovu raspoloživih mjerenja puta i vremena) i u toplinskoj tehnici (prilikom izračunavanja prijenosa topline preko vrijeme). Ovo također može biti potrebno, na primjer, kod bušenja bunara za analizu gustoće sloja tla koji prolazi bušilica, kod rješavanja brojnih balističkih problema itd.

Slična situacija se događa u "inverznom" problemu proračuna složeno opterećenih greda, kada se želi pronaći vrijednosti djelotvornih opterećenja od progiba.

U drugom dijelu članka, koristeći "živi" primjer, razmotrit ćemo izračunavanje derivacije po približnoj formuli za numeričku diferencijaciju koristeći izraze u konačnim razlikama i razumjeti pitanje - moguće je koristeći aproksimacije izvoda konačnim razlikama odrediti opterećenja koja djeluju u presjecima od ugiba grede?

Minimalna teorija.

Izvod određuje brzinu promjene funkcije koja opisuje proces u vremenu ili prostoru.

Granica omjera promjene u tački funkcije i promjene varijable kako promjena varijable teži nuli naziva se derivat kontinuirane funkcije.

y ' (x) \u003d lim (Δy / Δx) at ∆x→0

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački je tangenta nagiba na x-osu tangente na graf funkcije u toj tački.

tg (α)=Δy /Δx

Ako je funkcija diskretna (tabularna), tada se približna vrijednost njene derivacije u tački nalazi pomoću konačnih razlika.

y' (x ) i ≈(Δy /Δx )i=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

Konačne razlike se nazivaju jer imaju specifičnu, mjerljivu, konačnu vrijednost, za razliku od količina koje teže nuli ili beskonačnosti.

Tabela ispod predstavlja brojne formule koje će biti korisne u numeričkoj diferencijaciji funkcija tablice.

Formule centralne razlike obično daju preciznije rezultate, ali se često ne mogu primijeniti na rubovima raspona vrijednosti. Za ove slučajeve korisne su aproksimacije lijevim i desnim konačnim razlikama.

Proračun izvoda drugog reda na primjeru izračunavanja momenata u presjecima grede iz poznatih ugiba.

Dato:

Na gredi dužine 8 metara sa zglobnim nosačima duž ivica, napravljenoj od dvije uparene čelične (St3) I-grede 30M, oslonjeno je 7 staza sa korakom od 1 metar. Na središnji dio grede pričvršćena je platforma sa opremom. Pretpostavlja se da je sila od premaza, koja se prenosi kroz nosače na gredu, ista u svim tačkama i jednaka je F1. Viseća platforma ima težinu 2*F2 i pričvršćen je za gredu na dvije tačke.

Pretpostavlja se da je greda prije primjene opterećenja bila apsolutno ravna, a nakon opterećenja nalazi se u zoni elastičnih deformacija.

Na slici ispod prikazana je shema proračuna problema i opšti oblik dijagram.

Sljedeći snimak ekrana prikazuje originalne podatke.

Procijenjeni početni podaci:

3. Radna težina I-grede 30M:

γ =50,2 kg/m

Presjek grede se sastoji od dvije I-grede:

n=2

Specifična težina grede:

q \u003d γ * n * g \u003d 50,2 * 2 * 9,81 / 1000 = 0,985 N / mm

5. Moment inercije I-grede presjeka 30M:

I x1 =95.000.000 mm 4

Moment inercije kompozitnog presjeka grede:

I x = I x 1 * n = 95.000.000 * 2 = 190.000.000 mm 4

10. Budući da je greda simetrično opterećena oko svoje sredine, reakcije oba oslonca su iste i jednake svakoj polovini ukupnog opterećenja:

R = (q * z max + 8 * F 1 + 2 * F 2) / 2 = (0,985 * 8000 + 8 * 9000 + 2 * 50000) / 2 \u003d 85 440 N

Proračun uzima u obzir vlastitu težinu grede!

zadatak:

Pronađite vrijednosti momenta savijanja Mxi u presjecima greda analitički po formulama otpora materijala i metodom numeričke diferencijacije proračunske linije ugiba. Uporedite i analizirajte dobijene rezultate.

Rješenje:

Prva stvar koju ćemo uraditi je izračunati smične sile u Excelu. Q y, momenti savijanja M x, uglovi rotacije U x osi grede i otklona Vx prema klasičnim formulama čvrstoće materijala u svim sekcijama sa korakom h. (Iako nam, u principu, neće trebati vrijednosti sila i uglova u nastavku.)

Rezultati proračuna su u ćelijama I5-L54. Snimak ekrana ispod prikazuje polovinu tabele, jer su vrijednosti u drugom dijelu preslikane ili slične prikazanim vrijednostima.

Formule korištene u proračunima se mogu vidjeti.

Dakle, znamo tačne vrijednosti momenata i otklona.

Iz teorije znamo da:

Ugao rotacije je prvi izvod otklona U=V'.

Moment je drugi derivat otklona M=V''.

Sila je treći derivat otklona Q=V''.

Pretpostavimo da se kolona tačnih ugiba ne dobija analitičkim proračunima, već mjerenjima na realnoj gredi i više nemamo drugih podataka. Druge izvode tačnih vrijednosti otklona izračunavamo pomoću formule (6) iz tablice prethodnog odjeljka članka, a vrijednosti momenata pronalazimo metodom numeričke diferencijacije.

M xi \u003d V y ’’ ≈ ((V i +1 -2 * V i + V i -1 ) / h 2) * E * I x

Rezultat proračuna vidimo u ćelijama M5-M54.

Točne vrijednosti momenata izračunate analitičkim formulama materijala čvrstoće, uzimajući u obzir težinu same grede, neznatno se razlikuju od onih koje su pronađene približnim formulama za izračunavanje derivata. Trenuci su, sudeći po tome, vrlo precizno određeni relativne greške, izračunato kao postotak u ćelijama N5-N54.

ε \u003d (M x -V y ’’) / M x * 100%

Zadatak je riješen. Proračun drugog izvoda izvršili smo približnom formulom koristeći centralne konačne razlike i dobili smo odličan rezultat.

Znajući tacno vrijednosti ugiba mogu se naći numeričkim diferencijacijom sa velikom preciznošću u momentima koji djeluju u presjecima i odrediti stupanj opterećenja grede!

ali...

Ajme, to ne treba misliti u praksi lako dobiti neophodna visoko precizna mjerenja progiba složeno opterećenih greda!

Činjenica je da se mjerenja otklona moraju izvesti s točnošću od ~1 µm i pokušati svesti korak mjerenja na minimum h, "usmjeravanje na nulu", iako to možda neće pomoći da se izbjegnu greške.

Često smanjenje koraka mjerenja sa značajnim greškama u mjerenju ugiba može dovesti do apsurdnih rezultata. Mora se biti vrlo oprezan u numeričkoj diferencijaciji kako bi se izbjegle fatalne greške.

Danas postoje uređaji - laserski interferometri koji pružaju veliku brzinu, stabilnost i tačnost mjerenja do 1 mikrona, programski filtriraju buku i još mnogo toga što se može programirati, ali njihova cijena je veća od 300.000 dolara...

Pogledajmo što će se dogoditi ako jednostavno zaokružimo točne vrijednosti otklona iz našeg primjera na dvije decimale - odnosno na stotinke milimetra i ponovno izračunamo momente u presjecima koristeći istu formulu za izračunavanje derivacije.

Ako ranije maksimalna greška nije prelazila 0,7%, sada (u odjeljku i=4) prelazi 23%, iako ostaje prihvatljivo u najopasnijem dijelu ( ε 21=1,813%).

Pored razmatrane numeričke metode za izračunavanje izvoda korišćenjem konačnih razlika, moguće je (a često i neophodno) primeniti još jednu metodu - merenje polinomom stepena i analitički pronaći izvode, a zatim uporediti dobijene rezultate na različite načine. Ali treba shvatiti da je diferencijacija polinoma aproksimirajuće moći u krajnjoj liniji i aproksimativni metod, koji suštinski zavisi od stepena tačnosti aproksimacije.

Početne podatke - rezultate mjerenja - u većini slučajeva prije upotrebe u proračunima treba obraditi, uklanjajući vrijednosti koje su izvan logičkog niza.

Izračunavanje derivacije numeričkim metodama mora se uvijek raditi vrlo pažljivo!

Poštovani čitatelji, molimo da recenzije i komentare na članak postavite u poseban blok ispod članka.

Da biste dobili informacije o objavljivanju novih članaka na blogu, pretplatite se na objave u prozoru koji se nalazi na vrhu stranice ili odmah nakon članka.

pitaj RESPECTING rad autora preuzmite datoteku sa primjerom NAKON PRETPLATE za najave članaka.

Mnogi inženjerski problemi često zahtijevaju izračunavanje derivata. Kada postoji formula koja opisuje proces, nema poteškoća: uzmemo formulu i izračunamo derivaciju, kao što smo učili u školi, nađemo vrijednosti izvoda u različitim tačkama i to je to. Teškoća, možda, leži samo u tome, kako bi se zapamtili kako izračunati derivate. Ali šta ako imamo samo nekoliko stotina ili hiljada redova podataka, a ne postoji formula? Većinu vremena upravo se to dešava u praksi. Nudim dva načina.

Prvi je da aproksimiramo naš skup tačaka standardna funkcija Excel, odnosno biramo funkciju koja najbolje odgovara našim tačkama (u Excelu je to linearna funkcija, logaritamski, eksponencijalni, polinom i stepen). Drugi način je numerička diferencijacija, za koju će nam biti potrebna samo sposobnost unosa formula.

Podsjetimo šta je derivat općenito:

Derivat funkcije f (x) u tački x je granica omjera prirasta Δf funkcije u tački x prema prirastu Δx argumenta kada potonji teži nuli:

Dakle, iskoristimo ovo znanje: jednostavno ćemo uzeti vrlo male vrijednosti prirasta argumenta da bismo izračunali derivaciju, tj. Δx.

Da biste pronašli približnu vrijednost derivacije u tačkama koje su nam potrebne (a naše tačke su različite vrijednosti stepena deformacije ε), možete učiniti sljedeće. Pogledajmo ponovo definiciju derivacije i vidimo da kada koristimo male priraštaje argumenta Δε (tj. male prirasta stepena deformacije koji se bilježe tokom testiranja), možemo zamijeniti vrijednost realnog izvoda u tački x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) na omjer Δy / Δx \u003d (f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx.

Odnosno, evo šta se dešava:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx (1)

Da bismo izračunali ovu derivaciju u svakoj tački, vršimo proračune koristeći dvije susjedne tačke: prvu sa koordinatom ε 0 duž horizontalne ose, a drugu sa koordinatom x 0 + Δx, tj. jedan - derivacija u kojoj računamo i ona koja je tačnija. Izvod izračunat na ovaj način se zove razlika derivacija udesno (naprijed) sa korakomΔ x.

Možemo učiniti suprotno, uzimajući druge dvije susjedne tačke: x 0 - Δx i x 0, odnosno onu koja nas zanima i onu lijevo. Dobijamo formulu za izračunavanje razlika derivat ulijevo (nazad) sa korakom -Δ x.

f'(x 0) ≈(f (x 0) - f (x 0 - Δx)) / Δx (2)

Prethodne formule su bile "lijevo" i "desno", a postoji još jedna formula koja vam omogućava da izračunate derivat centralne razlike sa korakom od 2 Δx, i koji najčešće se koristi za numeričku diferencijaciju:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0 - Δx)) / 2Δx (3)

Da biste provjerili formulu, razmotrite jednostavan primjer s poznatom funkcijom y=x 3 . Napravićemo tabelu u Excel-u sa dve kolone: ​​x i y, a zatim ćemo napraviti grafikon koristeći dostupne tačke.

Derivat funkcije y=x 3 je y=3x 2, čiji graf, tj. parabolu, moramo dobiti koristeći naše formule.

Pokušajmo izračunati vrijednosti izvoda centralne razlike u tačkama x. Za ovo. U ćeliju drugog reda naše tabele popunjavamo našu formulu (3), tj. sljedeću formulu u excelu:

Sada gradimo graf koristeći već postojeće vrijednosti x i dobijene vrijednosti izvoda centralne razlike:

A evo naše male crvene parabole! Dakle, formula radi!

Pa, sada možemo prijeći na specifičan inženjerski problem, o kojem je bilo riječi na početku članka - na pronalaženje promjene u dσ/dε sa rastućim naprezanjem. Prvi izvod krive "naprezanje-deformacija" σ=f (ε) u stranoj literaturi naziva se "stopa otvrdnjavanja" (strain hardening rate), a u našoj - "faktor otvrdnjavanja". Dakle, kao rezultat testiranja, imamo niz podataka, koji se sastoji od dva stupca: jedan sa vrijednostima deformacije ε i drugi s vrijednostima naprezanja σ u MPa. Uzmimo hladnu deformaciju čelika 1035 ili našeg 40G (vidi tabelu analoga čelika) na 20°C.

C	Mn	P	S	Si	N
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

Evo naše krivulje u koordinatama "pravi napon - pravi naprezanje" σ-ε:

Ponašamo se na isti način kao u prethodnom primjeru i dobijemo sljedeću krivulju:

To je promjena u brzini stvrdnjavanja u toku deformacije. Šta učiniti s tim je posebno pitanje.