23. Koncept diferencijala funkcije. Svojstva. Primjena diferencijala u aproksimacijith kalkulacije.
Koncept diferencijala funkcija
Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.
Tada, prema teoremi o povezanosti funkcije, njene granice i infinitezimalne funkcije, možemo napisati ∆h+α ∆h.
Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ "(h) ∆h i a ∆h, koji su beskonačno mali na ∆x→0. U ovom slučaju, prvi član je beskonačan mala funkcija istog reda kao ∆x, budući da 
a drugi član je beskonačno mala funkcija više high order od ∆x:
Stoga se prvi član ƒ "(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.
diferencijalna funkcija y \u003d ƒ (x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak proizvodu derivacije funkcije i prirasta argumenta, i označava se du (ili dƒ (x)):
dy=ƒ"(h) ∆h. (1)
Diferencijal du se također naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.
Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.
Stoga se formula (1) može napisati na sljedeći način:
dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)
drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.
Iz formule (2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x). Sada je oznaka
derivacija dy/dx se može posmatrati kao omjer diferencijala dy i dx.
Diferencijalima sljedeća glavna svojstva.
1. d(od)=0.
2. d(u+w-v)=du+dw-dv.
3. d(uv)=du v+u dv.
d(odu)=odd(u).
4. 
.
5. y= f(z), , ,
Oblik diferencijala je invarijantan (invarijantan): uvijek je jednak proizvodu derivacije funkcije i diferencijala argumenta, bez obzira da li je argument jednostavan ili složen.
Primjena diferencijala na približne proračune
Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije y=ƒ(h) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(h) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 kao ∆h→0, ili dy+α ∆x Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆x višeg reda od ∆x, dobijamo približnu jednakost
∆y≈dy, (3)
štaviše, ova jednakost je točnija što je ∆x manji.
Ova jednakost nam omogućava da izračunamo približno prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.
Diferencijal se obično nalazi mnogo lakše od priraštaja funkcije, pa se formula (3) široko koristi u računskoj praksi.
24. Antiderivativna funkcija i neodređenoth integral.
KONCEPT DERIVATNE FUNKCIJE I NEODREĐENOG INTEGRALA
Funkcija F (X) se zove antiderivativna funkcija za ovu funkciju f (X) (ili, ukratko, primitivno ovu funkciju f (X)) na datom intervalu, ako je na ovom intervalu . Primjer. Funkcija je antiderivat funkcije na cijeloj brojevnoj osi, budući da je za bilo koju X. Imajte na umu da je zajedno sa antiderivativnom funkcijom za bilo koja funkcija oblika , gdje OD- proizvoljan broj konstante (ovo proizilazi iz činjenice da je derivacija konstante jednaka nuli). Ovo svojstvo vrijedi iu općem slučaju.
Teorema 1. Ako i su dva antiderivata za funkciju f
(X) u nekom intervalu, tada je razlika između njih u ovom intervalu jednaka konstantnom broju. Iz ove teoreme slijedi da ako je neki antiderivat poznat F (X) ove funkcije f
(X), zatim cijeli skup antiderivata za f
(X) iscrpljuje se funkcijama F (X)
+ OD. Izraz F (X)
+ OD, gdje F (X) je antiderivat funkcije f
(X) I OD je proizvoljna konstanta, tzv neodređeni integral
od funkcije f
(X) i označava se simbolom , i f
(X) se zove integrand
;
- integrand
,
X - integracijska varijabla
;
∫
-
neodređeni integralni znak
. Dakle, po definiciji 
ako . postavlja se pitanje: za bilo koji
funkcije f
(X) postoji antiderivat, a time i neodređeni integral? Teorema 2. Ako je funkcija f
(X) kontinuirano
na [ a ; b], zatim na ovom segmentu za funkciju f
(X) postoji primitivac
. U nastavku ćemo govoriti o antiderivima samo za kontinuirane funkcije. Prema tome, integrali razmatrani u nastavku u ovom dijelu postoje.
25. Svojstva neodređenogIintegralni. Integrals od osnovnih elementarnih funkcija.
Svojstva neodređenog integrala
U formulama ispod f I g- varijabilne funkcije x, F- antiderivat funkcije f, a, k, C su konstantne vrijednosti.
Integrali elementarnih funkcija
Lista integrala racionalnih funkcija
(antiderivat nule je konstanta; u bilo kojem rasponu integracije, integral nule je jednak nuli)
Lista integrala logaritamskih funkcija
Lista integrala eksponencijalnih funkcija
Spisak integrala iz iracionalne funkcije
("dugi logaritam")
lista integrala trigonometrijskih funkcija , lista integrala inverznih trigonometrijskih funkcija
26. Metoda zamjenas varijabla, metoda integracije po dijelovima u neodređenom integralu.
Varijabilna metoda zamjene (metoda zamjene)
Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se praksom.
Neka je potrebno izračunati integral. Napravimo zamjenu gdje je funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Onda 
i na osnovu svojstva invarijantnosti formule za integraciju neodređenog integrala dobijamo formula za integraciju zamjene:
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
Konkretno, uz pomoć n- puta primjene ove formule, integral je pronađen
gdje je polinom th stepena.
30. Svojstva određenog integrala. Newton-Leibnizova formula.
Osnovna svojstva određenog integrala
Svojstva određenog integrala
Newton-Leibnizova formula.
Neka funkcija f (x) je kontinuiran na zatvorenom intervalu [ a, b]. Ako F (x) - antiderivat funkcije f (x) na[ a, b], onda
Približna vrijednost prirasta funkcije
Za dovoljno male inkremente funkcije je približno jednaka njenom diferencijalu, tj. Dy » dy i, prema tome,
Primjer 2 Pronađite približnu vrijednost prirasta funkcije y= kada se argument x promijeni iz vrijednosti x 0 =3 na x 1 =3,01.
Rješenje. Koristimo formulu (2.3). Da bismo to učinili, izračunavamo
X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, zatim
Uradi » 
.
Približna vrijednost funkcije u točki
U skladu sa definicijom prirasta funkcije y = f(x) u tački x 0, kada se poveća argument Dx (Dx®0), Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) a formula (3.3) se može napisati
f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)
Posebni slučajevi formule (3.4) su izrazi:
(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)
ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)
sinDx » Dx (3.4v)
tgDx » Dx (3,4g)
Ovdje se, kao i ranije, pretpostavlja da je Dx®0.
Primjer 3 Pronađite približnu vrijednost funkcije f (x) = (3x -5) 5 u tački x 1 = 2,02.
Rješenje. Za proračune koristimo formulu (3.4). Predstavimo x 1 kao x 1 = x 0 + Dx. Tada je x 0 = 2, Dx = 0,02.
f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +
f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1
15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15
f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3
Primjer 4 Izračunaj (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .
Rješenje
1. Koristimo formulu (3.4a). Da bismo to učinili, predstavljamo (1.01) 5 kao (1+0.01) 5 .
Tada, uz pretpostavku Dx = 0,01, n = 5, dobijamo
(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.
2. Predstavljajući u obliku (1 - 0,006) 1/6, prema (3.4a), dobijamo
(1 - 0,006) 1/6 "1 + 
.
3. Uzimajući u obzir da je ln(1.02) = ln(1 + 0.02) i uz pretpostavku Dx=0.02, po formuli (3.4b) dobijamo
ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.
4. Slično
ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = 
.
Pronađite približne inkremente funkcija
155. y = 2x 3 + 5 kada se argument x promijeni sa x 0 = 2 na x 1 = 2,001
156. y = 3x 2 + 5x + 1 za x 0 = 3 i Dx = 0,001
157. y = x 3 + x - 1 sa x 0 = 2 i Dx = 0,01
158. y = ln x pri x 0 = 10 i Dx = 0,01
159. y = x 2 - 2x sa x 0 = 3 i Dx = 0,01
Pronađite približne vrijednosti funkcija
160. y = 2x 2 - x + 1 na x 1 = 2,01
161. y = x 2 + 3x + 1 kod x 1 = 3,02
162.y= 
u tački x 1 = 1.1
163. y = u tački x 1 = 3,032
164. y = u tački x 1 = 3,97
165. y = sin 2x na x 1 = 0,015
Izračunajte približno
166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3
169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4
172. 173. 174.
175. 176. 177.
178 ln(1.003×e) 179 ln(1.05) 5 180 ln
181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)
Istraživanje funkcija i crtanje
Znakovi monotonosti funkcije
Teorema 1 (neophodno stanje rastuća (opadajuća) funkcija) . Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x), xn(a; b) povećava (opada) na intervalu (a; b), tada je za bilo koje x 0 n(a; b).
Teorema 2 (dovoljan uslov za povećanje (smanjenje) funkcije) . Ako funkcija y = f(x), xn(a; b) ima pozitivan (negativan) izvod u svakoj tački intervala (a; b), tada se ova funkcija povećava (smanjuje) na ovom intervalu.
Ekstremi funkcije
Definicija 1. Tačka x 0 naziva se maksimalna (minimalna) točka funkcije y = f (x) ako je za sve x iz nekog d-susjedstva točke x 0 nejednakost f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) za x ¹ x 0 .
Teorema 3 (Farma) (neophodan uslov za postojanje ekstremuma) . Ako je tačka x 0 tačka ekstrema funkcije y = f(x) i u ovoj tački postoji izvod, tada
Teorema 4 (prvi dovoljan uslov za postojanje ekstremuma) . Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u nekom d-susjedstvu tačke x 0 . onda:
1) ako derivacija prilikom prolaska kroz tačku x 0 promeni predznak sa (+) na (-), tada je x 0 maksimalna tačka;
2) ako derivacija pri prolasku kroz tačku x 0 promeni predznak sa (-) na (+), tada je x 0 tačka minimuma;
3) ako izvod ne promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0, tada u tački x 0 funkcija nema ekstrem.
Definicija 2. Pozivaju se tačke u kojima derivacija funkcije nestaje ili ne postoji kritične tačke prve vrste.
koristeći prvi derivat
1. Naći domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).
2. Izračunajte prvi izvod
3. Pronađite kritične tačke prve vrste.
4. Postavite kritične tačke u domenu definicije D(f) funkcije y = f(x) i odredite predznak izvoda u intervalima na koje kritične tačke dijele domen funkcije.
5. Odaberite maksimalnu i minimalnu tačku funkcije i izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama.
Primjer 1 Istražite funkciju y \u003d x 3 - 3x 2 za ekstrem.
Rješenje. U skladu sa algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije koristeći prvi izvod imamo:
1. D(f): xn(-¥; ¥).
2. 
.
3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 su kritične tačke prve vrste.
Derivat pri prolasku kroz tačku x = 0
mijenja predznak iz (+) u (-), pa je to tačka
Maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x \u003d 2, mijenja predznak iz (-) u (+), stoga je ovo minimalna tačka.
5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.
Maksimalne koordinate (0; 0).
y min \u003d f (2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.
Minimalne koordinate (2; -4).
Teorema 5 (drugi dovoljan uslov za postojanje ekstremuma) . Ako je funkcija y \u003d f (x) definirana i dvaput diferencibilna u nekom susjedstvu točke x 0, i , tada u točki x 0 funkcija f (x) ima maksimum ako i minimum ako .
Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije
koristeći drugi izvod
1. Naći domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).
2. Izračunajte prvi izvod
208. f(x) = 209. f(x) =
210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4
AliΔ y = Δ f(X 0) je prirast funkcije, i f (X 0) Δ x = d f(X 0) je diferencijal funkcije.
Dakle, konačno dobijamo
Teorema 1. Neka je funkcija y = f(X) u tački x 0 ima konačan izvod f (X 0)≠0. Zatim za dovoljno male vrijednosti Δ x, dolazi do približne jednakosti (1), koja postaje proizvoljno tačna za Δ x→ 0.
Dakle, diferencijal funkcije u tački X 0 je približno jednako inkrementu funkcije u toj tački.
Jer onda iz jednakosti (1) dobijamo
at Δ x→ 0 (2)
at x→ X 0 (2 )
Budući da je jednadžba tangente na graf funkcije y= f(x) u tački X 0 ima oblik
To približne jednakosti (1)-(2) geometrijski znače da blizu tačke x=x 0 graf funkcije y \u003d f(X) je približno zamijenjen tangentom na krivulju y = f(X).
Za dovoljno male vrijednosti puni prirast funkcije i diferencijal se neznatno razlikuju, tj. . Ova okolnost se koristi za približne proračune.
Primjer 1 Izračunajte približno .
Rješenje. Razmotrite funkciju i skup X 0 = 4, X= 3,98. Zatim Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Budući da , Onda f (X 0)=1/4=0,25. Dakle, prema formuli (2), konačno dobijamo: .
Primjer 2 Koristeći diferencijal funkcije, odredite koliko će se približno promijeniti vrijednost funkcije y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x kada se smanjuje vrijednost njegovog argumenta X 0 = 0 sa 0,01.
Rješenje. Na osnovu (1), promjena funkcije y = f(X) u tački X 0 je približno jednako diferencijalu funkcije u ovoj tački za dovoljno male vrijednosti D x:
Izračunajte diferencijal funkcije df(0). Imamo D x= -0,01. Jer f (X)= 9x 2 tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4 x)∙4, dakle f (0)=5∙4=20 i df(0)=f (0)∙Δ x= 20 (–0,01) = –0,2.
Prema tome, Δ f(0) ≈ –0,2, tj. pri smanjenju vrijednosti X 0 = 0 argument funkcije sa 0,01 vrijednosti same funkcije y=f(X) će se smanjiti za približno 0,2.
Primjer 3 Neka funkcija potražnje za proizvodom bude . Potrebno je pronaći traženu količinu za proizvod po cijeni str 0 \u003d 3 den. i utvrditi koliko će približno porasti potražnja sa smanjenjem cijene robe za 0,2 monetarne jedinice.
Rješenje. Po cijeni str 0 \u003d 3 den. obim potražnje Q 0 =D(str 0)=270/9=30 jedinica robe. Promjena cijene Δ str= -0,2 den. jedinice Zbog (1) Δ Q (str 0) ≈ dQ (str 0). Izračunajmo diferencijal obima potražnje za proizvodom.
Od tada D (3) = –20 i
razlika u obimu potražnje dQ(3) = D (3)∙Δ str= –20 (–0,2) = 4. Dakle, Δ Q(3) ≈ 4, tj. kada se cena robe smanji str 0 \u003d 3 za 0,2 monetarne jedinice. Obim potražnje za proizvodom će se povećati za približno 4 jedinice proizvoda i postat će jednak približno 30 + 4 = 34 jedinice proizvoda.
Pitanja za samoispitivanje
1. Što se naziva diferencijalom funkcije?
2. Šta je geometrijskom smislu diferencijalna funkcija?
3. Navedite glavna svojstva diferencijala funkcije.
3. Napišite formule koje vam omogućavaju da pronađete približnu vrijednost funkcije koristeći njen diferencijal.
Apsolutna greška
Definicija
Vrijednost apsolutne razlike između tačne i približne vrijednosti u0 veličine naziva se apsolutna greška približne vrijednosti u0. Apsolutna greška je označena sa $\Delta $u:
$\Delta u = |u - u0| $
Najčešće je tačna vrijednost u, a time i apsolutna greška $\Delta $u, nepoznata. Stoga se uvodi koncept granice apsolutne greške.
Granična greška približne vrijednosti
Definicija
Bilo koji pozitivan broj veća ili jednaka apsolutnoj grešci je granica greške približne vrijednosti:
\[|u-u_(0) |=\Delta _(u) \le \overline(\Delta _(u) )\]
Dakle, tačna vrijednost količine je sadržana između $u_(0) -\overline(\Delta _(u) )$ i $u_(0) +\overline(\Delta _(u) )$
Ako je granica apsolutne greške u pronalaženju neke vrijednosti u $\overline(\Delta _(u) )$, onda se kaže da je vrijednost u pronađena s točnošću od $\overline(\Delta _(u) )$.
Relativna greška i njena granica
Definicija
Relativna greška je omjer apsolutne greške $\Delta $u i modula približne vrijednosti u0 izmjerene vrijednosti.
Označavajući relativnu grešku simbolom $\delta $u, dobijamo
\[\delta _(u) =\frac(\Delta _(u) )(\left|u_(0) \right|) \]
Definicija
Granica relativne greške je omjer granice apsolutne greške i modula približne vrijednosti izmjerene vrijednosti:
\[\overline(\delta _(u) )=\frac(\overline(\Delta _(u) ))(\left|u_(0) \right|) \]
$\delta _(u) $ i $\overline(\delta _(u) )$ se često izražavaju u procentima.
Funkcijski diferencijal
Diferencijal funkcije se označava dy i ima oblik:
dy = f "(x) $\Delta $x
IN neki slučajevima, izračunavanje prirasta funkcije se zamjenjuje sa diferencijalni proračun funkcije s određenom aproksimacijom. Diferencijal funkcije je lakše izračunati, jer zahtijeva pronalaženje samo njegovog derivata za izračunavanje proizvoda sa nezavisnom varijablom:
\[\Delta y\približno dy\]
Ukoliko
\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \
Povećana vrijednost funkcije izgleda ovako:
Koristeći ovu približnu formulu, možete pronaći približnu vrijednost funkcije u tački $x + \Delta x$, blizu x prema poznatoj vrijednosti funkcije.
Za približne izračune koristi se formula:
\[(1+\Delta x)^(n) \približno 1+n\Delta x\]
Na primjer:
- Približno izračunajte $(1,02)^3$
- Približno izračunajte $\sqrt(1,005) $
Gdje je $\Delta $x = 0,03, n = 5
\[(1,02)^(3) \približno 1+0,02\cdot 3\]
Gdje je $\Delta $x = 0,03, n = 5
\[(1,02)^(3) \približno 1,06\]
Gdje je $\Delta $x = 0,005, n = 0,5
\[\sqrt(1.005) \približno 1+0.5\cdot 0.005\] \[\sqrt(1.005) \približno 1.0025\]
Primjer 1
Približno izračunajte povećanje volumena cilindar sa visinom H = 40cm. i poluprečnik osnove R = 30 cm sa povećanjem poluprečnika baze za 0,5 cm.
Rješenje. Zapremina cilindra V na konstantnoj visini H i promjenljivom polumjeru baze R funkcija je oblika:
Napišimo inkrement funkcije:
\ \[\Delta V\približno 2\pi HR\cdot \Delta R\]
Zamjenjujemo poznate količine
\[\Delta V\približno 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0.5=1200\pi \približno 3770 cm^(3) \]
Primjer 2
Direktnim mjerenjem je utvrđeno da je prečnik kruga 5,2 cm, a maksimalna greška mjerenja je 0,01. Pronađite približne relativne i procentualne greške u izračunatoj površini ovog kruga.
Relativna greška u izračunavanju površine nalazi se po formuli:
\[\delta _(s) =\frac(\Delta s)(s) \]
Približna vrijednost se dobija zamjenom $\Delta $s sa ds. Stoga će se izvršiti približan izračun prema formuli:
\[\delta_(s)=\frac(ds)(s)\]
Pošto je površina kruga poluprečnika x:
\ \
Na ovaj način,
\[\delta _(s) =\frac(\frac(1)(2) \pi xdx)(\frac(1)(4) \pi x^(2) ) =2\frac(dx)(x )\]
Zamijenite x i dx numeričkim vrijednostima
\[\delta_(s)=2\frac(0.01)(5.2) \približno 0.004\]
(što je greška od 4%)