FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE
DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA
VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE
VOLGOGRADSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET
TEHNOLOŠKI INSTITUT KAMYSHINSKY (FILIJALA)
ODSJEK "OPĆE TEHNIČKE DISCIPLINE"
STRES U OFF-CENTRU
STEZANJE ILI KOMPRESIJA
Smjernice
RPK "Politehnika"
Volgograd
2007
UDK 539. 3/.6 (07)
Eksperimentalno proučavanje raspodjele naprezanja u ekscentričnoj napetosti ili kompresiji: Smjernice / Comp. , ; Volgograd. stanje tech. un-t. - Volgograd, 2007. - 11 str.
Pripremljeno u skladu sa program rada u disciplini "Čvrstoća materijala" i namijenjeni su za pomoć studentima koji studiraju u sljedećim oblastima: 140200.
Il. 5. Tab. 2. Bibliografija: 4 naslova.
Recenzent: dr, vanredni profesor
Objavljuje se odlukom uređivačko-izdavačkog vijeća
Volgogradski državni tehnički univerzitet
Sastavili: Aleksandar Vladimirovič Belov, Natalija Georgijevna Neumoina
Anatolij Aleksandrovič Polivanov
EKSPERIMENTALNO PROUČAVANJE DISTRIBUCIJE
STRES U OFF-CENTRU
STEZANJE ILI KOMPRESIJA
Smjernice
Templan 2007, pos. br. 18.
Potpisano za štampu Format 60×84 1/16.
List papira. Ofset štampa.
Konv. pećnica l. 0,69. Konv. ed. l. 0,56.
Tiraž 100 primjeraka. Narudžba br.
Volgogradski državni tehnički univerzitet
400131 Volgograd, ave. njima. , 28.
RPK "Politehnika"
Volgogradski državni tehnički univerzitet
400131 Volgograd, ul. Sovjetski, 35.
© Volgogradsky
stanje
tehnički
Univerzitet 2007
LAB #10
Tema: Eksperimentalno proučavanje raspodjele naprezanja u ekscentričnoj napetosti ili kompresiji.
Cilj: Odredite empirijski veličinu normalnih napona u datim tačkama poprečnog presjeka.
Trošenje vremena: 2 sata.
1. Kratke teorijske informacije
 |
Ekscentrična napetost (kompresija) ravne grede nastaje ako je vanjska sila primijenjena na gredu usmjerena paralelno s njenom uzdužnom osi, ali djeluje na određenoj udaljenosti od težišta poprečnog presjeka grede (slika 1).
Ekscentrična kompresija- složena deformacija. Može se predstaviti kao skup od 3 jednostavne deformacije (opći slučaj - vidi sliku 1) ili 2 jednostavne deformacije (poseban slučaj - vidi sliku 2).
Opšti slučaj
Ekscentrična kompresija | ||||
centralno | čista krivina oko ose X | at |
poseban slučaj
Ekscentrična kompresija | ||||
centralna kompresija | čisto aksijalno savijanje at |
Svi poprečni presjeci šipke pod ekscentričnom kompresijom su podjednako opasni.
Tu istovremeno nastaju tri interna faktora sile (opšti slučaj):
uzdužna sila N;
moment savijanja Mx;
moment savijanja My,
i dva unutrašnja faktora sile (poseban slučaj):
uzdužna sila N;
moment savijanja Mx i My.
Ovaj faktor unutrašnje sile odgovara samo normalnim naprezanjima, čija se veličina može odrediti formulama:
gdje ALI je površina poprečnog presjeka grede ( m2);
x; Iy su glavni centralni momenti inercije ( m4).
Za pravougaoni presjek:
at X;
X je udaljenost od tačke u kojoj je napon određen do ose at.
Prema principu neovisnosti djelovanja sila, naprezanje u bilo kojoj točki poprečnog presjeka tijekom ekscentrične kompresije određuje se formulama:
, (3)
. (4)
I sa ekscentričnom napetošću:
. (5)
Znak ispred svakog člana bira se ovisno o vrsti otpora: znak "+" odgovara napetosti, "-" kompresiji.
Za određivanje naprezanja u kutnoj točki presjeka koristi se formula:
, (6)
gdje Wx, wy su momenti otpora poprečnog presjeka u odnosu na glavne centralne osi inercije poprečnog presjeka ( m3).
Za valjane profile: I-greda, kanal itd., momenti otpora su dati u tabelama.
DIV_ADBLOCK127">
Slično se određuje i predznak napona σmu. U ovom slučaju, presjek je fiksiran duž ose at(vidi sliku 3 c).
2. Kratke informacije o opremi i uzorku
Šema testiranja
Automobilom UMM-50. | Automobilom R-10. |
|
|
Ekscentrično ispitivanje zatezanja vrši se na mašini UMM-50. Uzorak je čelična traka pravokutnog poprečnog presjeka s dimenzijama in´ h = 1,5 ´ 15 cm. Ispitivanje ekscentrične kompresije provodi se na mašini za ispitivanje zatezanja. R-10. Uzorak je kratak nosač I-greda. Broj profila 12 .
Opis mašina koje se koriste u ovom radu detaljno je dat u priručniku za izvođenje laboratorijski rad № 1.
Ovdje se kao mjerna oprema koriste mjerni mjerači i uređaj IDC-I, čiji je princip rada detaljno opisan u priručniku za izvođenje laboratorijskih radova br.
3. Izvođenje laboratorijskih radova
3.1. Priprema za eksperiment
1. Zabilježiti u izvještaj svrhu rada, podatke o opremi i materijalu ispitivanih uzoraka.
2. Nacrtajte šemu ispitivanja, unesite potrebne dimenzije uzorka u izvještaj.
3. Odredite potrebne geometrijske karakteristike:
za pravougaonik prema formulama (2);
za I-gredu iz tabele asortimana.
Odredite udaljenosti od date bodove to axis X. Odredite maksimalnu i minimalnu vrijednost sile F, kao i vrijednost koraka opterećenja ΔF. Zabilježite opterećenje u prvoj koloni tabele. jedan.
(Bilješka: maksimalna vrijednost sila F se određuje prema pasošu za ugradnju, uzimajući u obzir faktor koncentracije naprezanja na osnovu uvjeta da izračunata vrijednost naprezanja ne prelazi granicu tečenja materijala uzorka.)
Izračunajte vrijednost faktora unutrašnjih sila:
N= F; Mx = F × y.
Ovisno o shemi ispitivanja, izračunajte normalno naprezanje na naznačenim točkama poprečnog presjeka koristeći formule (5) ili (6). Upišite vrijednost napona u kolonu 3 tabele. 2.
3.2. eksperimentalni dio
1. Izvršite test, fiksirajući očitanja sva tri mjerača naprezanja prema IDC-I instrumentu na datim vrijednostima opterećenja.
2. Broj mjerenja za svaku mjernu ćeliju mora biti najmanje pet. Zapišite podatke u tabelu. jedan.
3.3. Obrada eksperimentalnih podataka
1. Odredite prirast očitavanja svake merne ćelije
2. Odredite prosječnu vrijednost prirasta:
https://pandia.ru/text/78/445/images/image021_18.gif" width="121" height="40 src=">.
7. Izvucite zaključke o radu.
Laboratorija #10
Tema:
Cilj:
Teorijska definicija napona
Eksperimentalno određivanje napona
Tabela 1
Učitaj- ka,F , kN | Očitavanja instrumenata i njihova povećanja |
|||||
Poređenje teorijskih i eksperimentalnih rezultata
tabela 2
Normalno naprezanje MPa | % odstupanja |
||
eksperimentalne vrijednosti | teorijske vrijednosti |
||
σ I | |||
σ II | |||
σ III |
Dijagrami naprezanja sa crtanjem nulte linije
zaključci
Rad je uradio student:
test pitanja
1. Kako doći do deformacije ekscentrične kompresije (natezanja)?
2. Od kojih jednostavnih deformacija se sastoji složena deformacija ekscentrične kompresije (zatezanja)?
3. Koji faktori unutrašnje sile nastaju u poprečnom presjeku ekscentrično komprimirane grede?
4. Kako se određuje njihova vrijednost?
5. Koji je dio ekscentrične komprimirane grede opasan?
6. Kako odrediti veličinu napona iz svakog od unutrašnjih faktora sile u bilo kojoj tački poprečnog presjeka?
7. Koje formule se koriste za određivanje momenata inercije pravougaonog preseka u odnosu na glavne centralne osi inercije? Koje su njihove mjerne jedinice?
8. Kako odrediti predznak naprezanja od faktora unutrašnjih sila u vancentralnom naponu (kompresiji)?
9. Koja hipoteza leži u osnovi određivanja napona pri ekscentričnoj kompresiji? Formulirajte ga.
10. Formula za određivanje napona u bilo kojoj točki poprečnog presjeka pod ekscentričnom kompresijom.
BIBLIOGRAFIJA
1. Feodosijev materijali. M.: Izdavačka kuća MSTU, 2000 - 592c.
2. i dr. Čvrstoća materijala. Kijev: postdiplomske škole, 1986. - 775 str.
3. Stepin materijali. M.: Viša škola, 1988. - 367 str.
4. Čvrstoća materijala. Laboratorijska radionica./, itd. M.: Drfa, 2004. - 352 str.
Drugi praktično važan slučaj dodavanja deformacija od savijanja i od uzdužnih sila je tzv. ekscentrična kompresija ili napetost uzrokovana samo uzdužnim silama. Ova vrsta deformacije nastaje kada na štap djeluju dvije jednake i direktno suprotne sile R usmerena u pravoj liniji aa, paralelna osaštap (Sl.3 a). Udaljenost tačke ALI od težišta sekcije OA=e pozvao ekscentricitet .
Razmotrimo prvo slučaj ekscentrične kompresije, jer ima veći praktični značaj.
Naš zadatak je pronaći najveća naprezanja u materijalu štapa i provjeriti čvrstoću. Da bismo riješili ovaj problem, primjenjujemo se na tačkama O dvije jednake i suprotne sile R(Sl. 3 b). To neće poremetiti ravnotežu štapa u cjelini i neće promijeniti napone u njegovim dijelovima.
Snage R, precrtano jednom, će uzrokovati aksijalnu kompresiju i parove sila R, dvaput precrtan, će uzrokovati čiste momente savijanja. Shema dizajna štapa prikazana je na slici 3c. Budući da je ravnina djelovanja parova savijanja OA možda se ne podudara ni s jednom od glavnih ravnina inercije štapa, tada u općem slučaju postoji kombinacija uzdužne kompresije i čistog kosog savijanja.
Budući da su pri aksijalnom pritisku i čistom savijanju naprezanja ista u svim presjecima, ispitivanje čvrstoće se može izvesti za bilo koji presjek, najmanje C-C (sl. 3 b, c).
Odbacimo gornji dio štapa i ostavimo donji (slika 3d). Pustite sjekire OU i Oz bit će glavne osi inercije presjeka.
Fig.3. a) projektna šema b) transformacija opterećenja c) data projektna šema d) mehanizam za proučavanje napona
Koordinate tačaka ALI, - tačke preseka linije dejstva sila R sa ravninom presjeka, - neka bude i . Dogovorimo se da izaberemo pozitivne smjerove osi OU i Oz tako da je poenta ALI bio u prvom kvadrantu. Tada će biti pozitivni.
Da bismo pronašli najopasniju tačku u odabranoj sekciji, nalazimo normalno naprezanje u bilo kojoj tački AT sa koordinatama z i at. Naponi u presjeku C - C bit će zbir napona aksijalne kompresije silom R i naprezanja od čistog kosog savijanja u paru sa momentom Re, gdje . Tlačna naprezanja od aksijalne sile R u bilo kojoj tački su jednaki, gdje je površina poprečnog presjeka štapa; što se tiče kosog savijanja, zamijenit ćemo ga djelovanjem momenata savijanja u glavnim ravnima. Savijanje u ravni x Oy oko neutralne ose Ozće biti pozvan u trenutku i dati u trenutku AT normalnog tlačnog naprezanja
Slično, normalan stres u jednoj tački AT od savijanja u glavnoj ravni x Oz, uzrokovano trenutkom, bit će kompresivno i bit će izraženo formulom.
Zbrajanjem napona od aksijalne kompresije i dva ravna savijanja i smatrajući tlačna naprezanja negativnim, dobijamo sljedeću formulu za napon u tački AT:
| (1) |
Ova formula je prikladna za izračunavanje napona u bilo kojoj točki bilo kojeg dijela štapa, ali umjesto at i z zamijenite koordinate tačke u odnosu na glavne ose sa njihovim predznacima.
U slučaju ekscentrične napetosti, znaci svih komponenti normalnog naprezanja u tački ATće biti poništeno. Dakle, da bi se dobio ispravan predznak naprezanja i za ekscentričnu kompresiju i za ekscentričnu napetost, potrebno je pored znakova koordinata at i z, uzeti u obzir i predznak sile R; kada se rastegne prije ekspresije
treba biti znak plus, sa kompresijom - znak minus.
Rezultirajućoj formuli se može dati malo drugačiji oblik; izvadite množitelj iz zagrade; dobijamo:
| (2) |
Ovdje i su radijusi inercije presjeka u odnosu na glavne ose (podsjetite se da i ).
Da bi se pronašle tačke sa najvećim naprezanjima, treba izabrati at i z da postignete maksimalnu vrijednost. Varijable u formulama (1) i (2) su posljednja dva pojma koji odražavaju učinak savijanja. A budući da se prilikom savijanja najveća naprezanja postižu u tačkama koje su najudaljenije od neutralne ose, ovdje je, kao i kod kosog savijanja, potrebno pronaći položaj neutralne ose.
Označimo koordinate točaka ove linije kroz i ; budući da su u točkama neutralne ose normalni naponi jednaki nuli, tada nakon zamjene vrijednosti u formulu (2) dobijamo:
| (3) |
Ovo će biti jednačina neutralne ose. Očigledno, dobili smo jednadžbu prave linije koja ne prolazi kroz težište presjeka.
Za konstruiranje ove linije, najlakši način je izračunati segmente odsječene njome koordinatne ose. Označimo ove segmente i . Za pronalaženje presečenog segmenta na osi OU, potrebno je staviti u jednačinu (3)
onda dobijamo:
Ako su vrijednosti i pozitivne, tada će segmenti i biti negativni, tj. neutralna os će se nalaziti na drugoj strani težišta presjeka od točke ALI(Sl. 3d).
Neutralna os dijeli dio na dva dijela - komprimirani i rastegnuti; na slici 3d, rastegnuti dio presjeka je zasjenjen. Povlačeći tangente paralelno neutralnoj osi na konturu presjeka, dobivamo dvije točke i , u kojima će biti najveća tlačna i vlačna naprezanja.
Merenje koordinata at i z ove tačke i zamenivši njihove vrednosti u formulu (1), izračunavamo vrednosti najvećih napona u tačkama i:
Ako je materijal šipke jednako otporan na napetost i kompresiju, tada stanje čvrstoće poprima sljedeći oblik:
Za poprečne preseke sa izbočenim uglovima, u kojima su obe glavne ose inercije ose simetrije (pravougaonik, I-greda, itd.) Dakle, formula je pojednostavljena i imamo
Ako se materijal štapa nejednako odupire napetosti i kompresiji, tada je potrebno provjeriti čvrstoću štapa kako u rastegnutoj tako i u stisnutoj zoni.
Međutim, može se dogoditi da će čak i za takve materijale biti dovoljan samo jedan test čvrstoće. Iz formula (4) i (5) se vidi da je pozicija tačke ALI primjena sile i položaj neutralne ose su povezani: što je bliža tačka ALI do centra presjeka, manje su vrijednosti i i veći su segmenti i . Dakle, sa pristup bodova ALI na težište neutralne ose presjeka uklonjeno od njega i obrnuto. Dakle, za neke pozicije tačke ALI neutralna os će proći vani presjek i cijeli presjek će raditi za naprezanja istog predznaka. Očigledno, u ovom slučaju uvijek je dovoljno provjeriti čvrstoću materijala na tački .
Analizirajmo jedan praktično važan slučaj kada se na štap pravokutnog presjeka primjenjuje ekscentrična sila (slika 4) R u tački ALI ležeći na glavna osovina sekcije OU. Ekscentričnost OA jednaki e, dimenzije presjeka b i d. Primjenjujući gore dobivene formule, imamo:
Fig.4. Proračunski dijagram šipke pravokutnog presjeka.
Napon u bilo kojoj tački AT jednaki
Naprezanja u svim tačkama prave paralelne sa osom Oz, su isti. Položaj neutralne ose određen je segmentima
Neutralna osa je paralelna sa osom Oz; tačke s najvećim vlačnim i tlačnim naponima nalaze se na stranama 1–1 i 3–3.
Vrijednosti i će se dobiti ako zamijenimo umjesto at njegova značenja. Onda
Predavanje broj 28. Jezgro presjeka pod ekscentričnom kompresijom
Prilikom projektiranja šipki od materijala koji slabo odolijevaju napetosti (beton), vrlo je poželjno osigurati da cijela sekcija radi samo na pritisak. Ovo se može postići bez davanja tačke primene sile R pomaknuti previše od centra gravitacije sekcije, ograničavajući količinu ekscentriciteta.
Poželjno je da projektant unaprijed zna kakav se ekscentricitet može dozvoliti za odabranu vrstu presjeka bez rizika da izazove naprezanja različitih znakova u presjecima šipke. Ovdje je koncept tzv jezgro sekcije. Ovaj termin označava neko područje oko težišta presjeka, unutar koje je moguće locirati tačku primjene sile P bez izazivanja naprezanja različitih predznaka u presjeku.
Do tačke ALI nalazi se unutar jezgre, neutralna os ne siječe konturu presjeka, sve leži duž jedan strane neutralne ose i stoga radi samo za kompresiju. Prilikom brisanja tačke ALI iz centra gravitacije presjeka, neutralna os će se približiti konturi; granica jezgra je određena činjenicom da kada se tačka nalazi ALI na ovoj granici, neutralna os dolazi blizu preseka i dodiruje ga.
Fig.1. Kombinacije položaja tlačne sile i neutralne linije
Dakle, ako pomjerimo poentu ALI tako da neutralna os rolled duž konture presjeka bez prelaska preko nje, tada će tačka A ići oko granice jezgre presjeka. Ako kontura presjeka ima "korita", tada će se neutralna os kotrljati duž omotača konture.
Da bi se dobio obris jezgra, potrebno je neutralnoj osi dati nekoliko pozicija tangentnih na konturu presjeka, odrediti segmente i za te položaje, te izračunati koordinate i točke primjene sile koristeći formule koje proizlaze iz poznatih zavisnosti:
to će biti koordinate točaka konture jezgra i .
At poligonalno oblikom konture presjeka (slika 2), uzastopno kombinirajući neutralnu osu sa svakom stranom poligona, odredit ćemo koordinate i tačke granice jezgra koje odgovaraju ovim stranicama po segmentima.
Kada se krećete s jedne strane konture presjeka na drugu, neutralna os će biti rotirati oko vrha koji razdvaja ove strane; tačka primene sile će se kretati duž granice jezgra između već dobijenih tačaka. Odredite kako bi se sila trebala kretati R tako da neutralna osa prolazi kroz istu tačku cijelo vrijeme AT(,) bi se rotirao oko njega. Zamjenom koordinata ove tačke neutralne ose u poznatu jednačinu neutralne ose (linija), dobijamo:
Fig.2. Jezgro presjeka za poligonalni oblik poprečnog presjeka
Tako su koordinate i tačke primjene sile R povezan linearno. At rotacijom neutralne ose oko konstantne tačke B, tačka A primene sile kreće se pravolinijski. Natrag, pokretna sila R u pravoj liniji zbog rotacije neutralne ose oko konstantne tačke.
Slika 3 prikazuje tri položaja tačke primjene sile na ovoj pravoj liniji i shodno tome tri položaja neutralne ose. Dakle, s poligonalnim oblikom konture presjeka, obris jezgra između tačaka koje odgovaraju stranicama poligona će se sastojati od segmenata pravih linija.
Fig.3. Dinamika konstrukcije jezgra sekcije
Ako je kontura presjeka potpuno ili djelimično ograničena zakrivljenim linijama, tada se konstrukcija granice jezgre može izvesti po točkama. Razmotrite nekoliko jednostavni primjeri konstrukcija jezgra sekcije.
Prilikom izvođenja ove konstrukcije za pravokutni poprečni presjek koristimo se dobivenim formulama.
Za određivanje granica jezgre sekcije prilikom pomicanja točke ALI duž ose OU pronađite vrijednost na kojoj će neutralna os zauzeti poziciju H 1 O 1
Fig.4. konstrukcija jezgra za pravougaoni presjek.
Za to se sila mora kretati duž prave linije 1 - 2. Na isti način se može dokazati da će preostale granice jezgra biti linije 2-3, 3-4 i 4-1.
Dakle, za pravougaoni presjek, jezgro će biti romb s dijagonalama jednakim jedna trećina odgovarajuću stranu sekcije. Dakle, pravokutni presjek, kada je sila smještena duž glavne ose, radi na naponima istog znaka, ako tačka primjene sile ne prelazi srednja trećina strane sekcije.
Fig.5. Dinamika naprezanja se mijenja kada se promijeni ekscentricitet.
Dijagrami raspodjele normalnih naprezanja po pravokutnom presjeku s ekscentricitetom jednakim nuli, manjim, jednakim i većim od jedne šestine širine presjeka prikazani su na Sl.5.
Imajte na umu da za sve položaje sile R naprezanje u centru gravitacije presjeka (tačka O ABCD-u, opisano u blizini I-grede (slika 6a). Slijedom toga, obris jezgre za I-gredu ima oblik romba, kao za pravougaonik, ali različitih veličina.
Za kanal, kao i za I-gredu, tačke 1, 2, 3, 4 konture jezgra (slika 6 b) odgovaraju podudarnosti neutralne ose sa stranicama pravougaonika A B C D.
Predavanje broj 29. Kombinovana dejstva savijanja i torzije prizmatične šipke
Proučimo ovu vrstu deformacije štapa na primjeru proračuna osovine kružnog (prstenastog) poprečnog presjeka za kombinirano djelovanje savijanja i torzije (sl. 1).
Fig.1. Shema proračuna savijene i uvrnute osovine
Ekscentrična napetost Ova vrsta opterećenja grede naziva se, u kojoj spoljne sile djeluju duž uzdužne ose grede, ali se ne poklapaju s njom (slika 8.4). Naponi se određuju primjenom principa neovisnosti djelovanja sila. Ekscentrična napetost je kombinacija aksijalne napetosti i kosog (u pojedinim slučajevima - ravnog) savijanja. Formula za normalna naprezanja može se dobiti kao algebarski zbir normalnih napona koji nastaju iz svake vrste opterećenja:gdje 
; 
;
y F , z F– koordinate tačke primene sile F.
Za određivanje opasnih tačaka presjeka potrebno je pronaći položaj neutralne linije (n.l.) kao lokus tačaka u kojima su naponi jednaki nuli.
.
Jednačina n.l. može se napisati kao jednačina prave linije u segmentima:
gdje 
i 
su segmenti odsječeni sa n.l. na koordinatnoj osi,
, su glavni radijusi inercije presjeka.
Neutralna linija dijeli poprečni presjek na zone s vlačnim i tlačnim naprezanjima. Dijagram normalnih napona je prikazan na sl. 8.4.
Ako je presjek simetričan u odnosu na glavne ose, tada se za plastične materijale zapisuje uvjet čvrstoće, u kojem [ s c] = [s str] = [s], kao
. (8.5)
Za krhke materijale sa [ s c]¹[ s str], stanje čvrstoće treba posebno zabilježiti za opasnu tačku dionice u zoni zatezanja:
i za opasnu tačku dionice u zoni kompresije:
,
gdje z1, y 1 i z2, y2- koordinate tačaka preseka najudaljenije od neutralne linije u rastegnutoj 1 i komprimovanoj 2 zonama preseka (slika 8.4).
Svojstva nulte linije
1. Nulta linija dijeli cijeli dio na dvije zone - napetost i kompresiju.
2. Nulta linija je ravna, pošto su x i y koordinate u prvom stepenu.
3. Nulta linija ne prolazi kroz ishodište (slika 8.4).
4. Ako tačka primene sile leži na glavnom centralna inercija preseku, tada je nulta linija koja joj odgovara okomita na ovu osu i prolazi na drugoj strani ishodišta (slika 8.5).
5. Ako se tačka primene sile kreće duž zraka koji izlazi iz početka, onda se nulta linija koja joj odgovara kreće iza nje (slika 8.6):
n.lRice. 8.5 Sl. 8.6
a) kada se tačka primene sile kreće duž snopa koji izlazi od početka od nule do beskonačnosti (y F ®∞, z F ®∞), a na ®0; a z ®0. Granično stanje ovog slučaja: nulta linija će proći kroz ishodište (savijanje);
b) kada se tačka primene sile (t. K) kreće duž grede koja izlazi iz početka od beskonačnosti do nule (y F ® 0 i z F ® 0), a y ®∞; a z ®∞. Granično stanje ovog slučaja: nulta linija je uklonjena u beskonačnost, a tijelo će doživjeti jednostavno istezanje (kompresiju).
6. Ako se tačka primene sile (tačka K) kreće duž prave linije koja seče koordinatne ose, tada će se nulta linija rotirati oko određenog centra koji se nalazi u suprotnom kvadrantu od tačke K.
8.2.3. Section kernel
Neki materijali (beton, zidani) mogu apsorbirati vrlo mala vlačna naprezanja, dok drugi (kao što je tlo) uopće ne mogu odoljeti istezanju. Takvi materijali se koriste za izradu konstrukcijskih elemenata u kojima se ne pojavljuju vlačna naprezanja, a ne koriste se za izradu instrukcijskih elemenata koji doživljavaju savijanje, torziju, središnju i ekscentričnu napetost.
Od ovih materijala mogu se izraditi samo centralno sabijeni elementi, kod kojih ne nastaju vlačna naprezanja, kao i ekscentrično sabijeni elementi ako u njima ne nastaju vlačna naprezanja. To se događa kada se tačka primjene tlačne sile nalazi unutar ili na granici nekog središnjeg dijela poprečnog presjeka, koji se naziva jezgro presjeka.
Section kernel gredom se naziva njeno neko centralno područje, koje ima svojstvo da sila primijenjena u bilo kojoj njenoj tački izaziva naprezanja istog znaka u svim tačkama poprečnog presjeka grede, tj. nulta linija ne prolazi kroz presjek grede.
Ako se mjesto primjene tlačne sile nalazi izvan jezgre presjeka, tada u poprečnom presjeku nastaju tlačna i vlačna naprezanja. U ovom slučaju, nulta linija prelazi poprečni presjek grede.
Ako se sila primjenjuje na granici jezgre presjeka, tada nulta linija dodiruje konturu presjeka (u tački ili duž linije); u tački kontakta, normalni naponi su jednaki nuli.
Kada se računa ekscentrično komprimirane šipke, izrađen od materijala koji slabo percipira vlačna naprezanja, važno je znati oblik i dimenzije jezgre presjeka. To omogućuje, bez izračunavanja naprezanja, da se utvrdi da li na poprečnom presjeku grede nastaju vlačna naprezanja (slika 8.7).
Iz definicije proizilazi da je jezgro sekcije neka oblast koja se nalazi unutar same sekcije.
Za krhke materijale treba primijeniti tlačno opterećenje u jezgru presjeka kako bi se isključile vlačne zone u presjeku (slika 8.7).
Za izgradnju jezgre presjeka potrebno je uzastopno kombinirati nultu liniju sa konturom poprečnog presjeka tako da nulta linija ne siječe presjek, a istovremeno izračunati odgovarajuću tačku
primjena tlačne sile K sa
Rice. 8.7 dinami y F i zF prema formulama:
; 
.
Rezultirajuće tačke primjene sile s koordinatama y F , z F moraju biti povezani pravim linijama. Područje ograničeno rezultujućom polilinijom bit će jezgro sekcije.
Redoslijed izgradnje kernela sekcije
1. Odrediti položaj težišta poprečnog presjeka i glavne središnje osi inercije y i z, kao i vrijednosti kvadrata polumjera inercije i y , i z .
2. Prikažite sve moguće položaje n.l. u odnosu na konturu presjeka.
3. Za svaku poziciju n.l. definirati segmente a y i a z, odsječen njime od glavnih centralnih osa inercije y i z.
4. Za svaku poziciju n.l. postavite koordinate centra pritiska y F, i zF .
5. Dobijeni centri pritiska su povezani segmentima linija, unutar kojih će se nalaziti jezgro preseka.
Torzija sa krivinom
Vrsta opterećenja pri kojoj je šipka istovremeno podvrgnuta djelovanju momenata uvijanja i savijanja naziva se savijanje s torzijom.
Prilikom izračunavanja koristimo princip nezavisnosti djelovanja sila. Odredimo posebno napone tokom savijanja i torzije (slika 8.8) .
Prilikom savijanja u poprečnom presjeku nastaju normalna naprezanja koja dostižu maksimalnu vrijednost u krajnjim vanjskim vlaknima
.
Prilikom torzije u poprečnom presjeku nastaju posmična naprezanja koja dostižu najveću vrijednost u tačkama presjeka blizu površine osovine
.
| s |
| t |
| C |
| B |
| x |
| y |
| z |
| Rice. 8.9 |
| s |
| s |
| t |
| t |
| Rice. 8.10 |
| C |
| x |
| z |
| y |
| M |
| T |
| Rice. 8.8 |
Normalni i posmični naponi istovremeno dostižu svoju maksimalnu vrijednost u tačkama OD i AT presek osovine (sl. 8.9). Razmotrite stresno stanje u toj tački OD(Sl. 8.10). Može se vidjeti da je elementarni paralelepiped odabran oko tačke OD, nalazi se u ravnom naponskom stanju.
Stoga, da bismo testirali snagu, primjenjujemo jednu od hipoteza o čvrstoći.
Stanje čvrstoće prema trećoj hipotezi čvrstoće (hipoteza najvećih posmičnih napona)
.
s obzirom na to, 
, dobijamo uslov čvrstoće osovine
. (8.6)
Ako se osovina savija u dvije ravnine, tada će stanje čvrstoće biti
.
Koristeći četvrtu hipotezu (energetske) snage
,
nakon zamjene s i t dobijamo
. (8.7)
Pitanja za samoispitivanje
1. Koja vrsta krivine se naziva kosom?
2. Koja kombinacija vrsta krivine je kosi zavoj?
3. Koje formule se koriste za određivanje normalnih napona u poprečnim presjecima grede pri kosom savijanju?
4. Kakav je položaj neutralne ose kod kosog savijanja?
5. Kako se određuju opasne tačke u presjeku sa kosim savijanjem?
6. Kako se određuju pomaci tačaka osi grede pri kosom savijanju?
7. Koja vrsta kompleksnog otpora se naziva ekscentrična napetost (ili kompresija)?
8. Koje se formule koriste za određivanje normalnih napona u poprečnim presjecima štapa pri ekscentričnom zatezanju i kompresiji? Kakav je oblik dijagrama ovih napona?
9. Kako se određuje položaj neutralne ose u ekscentričnoj napetosti i kompresiji? Zapišite odgovarajuće formule.
10. Koja naprezanja nastaju u poprečnom presjeku grede pri savijanju sa torzijom?
11. Kako su opasni dijelovi okrugle grede u savijanju sa torzijom?
12. Koje su tačke kružnog poprečnog preseka opasne pri savijanju sa torzijom?
13. Koje stresno stanje se javlja u ovim tačkama?
Da bismo odredili unutrašnje sile, u poprečnim presjecima grede u ekscentričnoj napetosti (kompresiji) zamenićemo dati sistem sila sa statički ekvivalentnim sistemom drugih sila. Na temelju Saint-Venantovog principa, takva zamjena neće uzrokovati promjene u uvjetima opterećenja i deformacije dijelova grede koji su dovoljno udaljeni od mjesta djelovanja sila.
Prvo, prenosimo tačku primjene sile na osu i na tu tačku primjenjujemo silu jednaku sili, ali suprotno usmjerenu (slika 3.2). Da bi se ostavila sila na osi, potrebno je njenom djelovanju dodati djelovanje para sila označenih sa dvije linije, odnosno momenta. Zatim prenosimo silu na težište presjeka i na tom mjestu primjenjujemo silu jednaku sili, ali suprotno usmjerenu (slika 3.2). Da bi se sila ostavila u centru gravitacije, njenom djelovanju mora se dodati još jedan par sila, označen križićima, ili trenutak.
Dakle, djelovanje sile primijenjene ekscentrično na presjek je ekvivalentno kombiniranom djelovanju centralno primijenjene sile i dva vanjska koncentrirana momenta u.
Koristeći metodu presjeka, lako je ustanoviti da u svim poprečnim presjecima ekscentrično rastegnute (stisnute) grede djeluju sljedeći faktori unutarnjih sila: uzdužna sila i dva momenta savijanja i (slika 3.3).
Određujemo napone u poprečnim presjecima grede primjenom principa neovisnosti djelovanja sila. Od svih unutrašnjih faktora sila nastaju normalni naponi u poprečnim presjecima. Znakovi naprezanja se postavljaju prema prirodi deformacija: plus - napetost, minus - kompresija. Rasporedimo znakove naprezanja iz svakog od unutrašnjih faktora sile u tačkama, preseku osa i sa konturom poprečnog preseka (slika 3.3). Od uzdužne sile u svim tačkama, presjeci su isti i pozitivni; od trenutka u tački naprezanja - plus, u tački - minus, u tačkama i, jer os je u ovom slučaju neutralna linija; od trenutka u tački naprezanja - plus, u tački - minus, u tačkama i, jer osa je u ovom slučaju neutralna linija.
puni napon u tački sa koordinatama i, bit će jednako:
Najopterećenija tačka u sekciji slobodnog oblika je tačka najudaljenija od neutralne linije. u vezi, veliki značaj stiču pitanja vezana za određivanje položaja neutralne linije.
Određivanje položaja neutralne linije
Položaj neutralne linije može se odrediti pomoću formule (3.1), izjednačavajući normalne napone sa nulom
gdje su i koordinate tačke koja leži na neutralnoj liniji.
Posljednji izraz se može pretvoriti korištenjem formula za radijuse rotacije: i. Onda
Jednačina (3.2) pokazuje da je neutralna linija u ekscentričnoj napetosti (kompresiji) prava linija koja ne prolazi kroz ishodište (težište poprečnog presjeka).
Povucite ovu liniju kroz dvije tačke koordinatne ose(Sl. 3.4). Neka tačka 1 leži na osi, tada će njene koordinate biti i, a tačka 2 - na osi, tada će njene koordinate biti i (na osnovu jednačine (3.2)).
Ako su koordinate točke primjene sile (pola) pozitivne, tada su koordinate tačaka 1 i 2 negativne, i obrnuto. Dakle, pol i neutralna linija nalaze se na suprotnim stranama ishodišta.
Određivanje položaja neutralne linije omogućava vam da identifikujete opasne tačke u sekciji, tj. tačke u kojima se javljaju normalni naponi najviše vrijednosti. Da biste to učinili, konstruirajte tangente na konturu presjeka, paralelno s neutralnom linijom. Dodirne tačke i biće opasan (slika 3.4).
Uvjeti čvrstoće opasnih točaka zavise od svojstava materijala od kojeg je napravljena greda. Budući da krhki materijal ima različita svojstva u uslovima zatezanja i pritiska - slabo se odupire napetosti i dobrom sabijanju, uslovi čvrstoće su za dve tačke: gde deluju maksimalno vlačno (t.) i maksimalno tlačno (t.) naprezanje (sl. 3.4)
Za plastični materijal koji je podjednako otporan i na napetost i na kompresiju, jedan uvjet čvrstoće je napravljen za točku poprečnog presjeka u kojoj su normalni naponi maksimalni u apsolutnoj vrijednosti. U našem slučaju, takva tačka je tačka u kojoj deluju naponi istog znaka.
Koncept jezgrene sekcije
Prilikom konstruisanja neutralne linije (slika 3.4) određene su koordinate tačaka 1 i 2 kroz koje je povučena
Koordinate tačaka koje leže na neutralnoj liniji zavise od položaja tačke primene sile (pola) sa koordinatama. Ako se koordinate pola smanjuju, tj. stub se približava težištu presjeka, tada se povećavaju, tj. neutralna linija može se protezati izvan sekcije ili dodirivati obris sekcije. U tom slučaju će se u presjeku pojaviti naprezanja istog predznaka.
Područje primjene uzdužnih sila, koje u ovom slučaju izazivaju naprezanja istog znaka u poprečnom presjeku, naziva se kernel sekcije.
Pitanje određivanja jezgre presjeka je najrelevantnije za konstrukcijske elemente od krtog materijala koji rade u ekscentričnoj kompresiji, kako bi se dobila samo tlačna naprezanja u poprečnom presjeku, jer krhki materijal slabo otporan na vlačne deformacije. Da biste to učinili, potrebno je postaviti određeni broj pozicija neutralne linije, provlačeći je kroz granične točke konture, i izračunati koordinate odgovarajućih tačaka primjene sile, prema formulama koje slijede iz (3.5).
Geometrijska lokacija tačaka izračunata na ovaj način će odrediti konturu jezgre presjeka. Na sl. 3.6 prikazuje primjere kernela sekcije za uobičajene oblike.
Razmotrite primjer izračunavanja zatezanja-kompresije van centra.
Primjer 3.1.Čelična traka širine = 10 cm i debljine = 1 cm, centralno razvučena silama od = 70 kN, ima prorez širine = 3 cm (slika 3.6). Odrediti najveće normalne napone u presjeku, ne uzimajući u obzir koncentracije naprezanja. Kolika bi bila širina proreza za istu vlačnu silu da se nalazi na sredini širine trake?
Rješenje. S asimetričnim prorezom, težište oslabljenog presjeka pomiče se s linije djelovanja sile udesno i dolazi do ekscentrične napetosti. Za određivanje položaja težišta (), oslabljeni presjek predstavljamo kao veliki pravougaonik dimenzija (slika I) iz kojeg je uklonjen mali pravougaonik dimenzija (slika II). Za originalnu osu uzimamo os.
U tom slučaju u poprečnom presjeku nastaju dva interna faktora sile: uzdužna sila i moment savijanja.
Da bismo odredili opasnu tačku, postavljamo znakove naprezanja na bočne strane poprečnog presjeka (sl. 3.6). Od uzdužne sile u svim točkama presjeka nastaju pozitivna (zatezna) naprezanja. Od momenta savijanja, vlačna naprezanja (predznak plus) odvijaju se lijevo od ose, a tlačna naprezanja (znak minus) desno.
Dakle, maksimalni normalni naponi nastaju u tzv.
gdje je površina oslabljenog presjeka, jednaka =7 cm 2;
Moment inercije oslabljenog preseka oko glavne centralne ose
Udaljenost od neutralne linije () do najudaljenije tačke (t.)
Kao rezultat, maksimalni normalni naponi će biti jednaki
Kod simetrične širine proreza dolazi do samo napetosti
Proračun šipki u ekscentričnoj kompresiji-naprezanju
Primjer 1
Kratko liveno gvožđeštap je komprimiran uzdužnom silom F= 600 kN primijenjeno na tački AT.
Obavezno:
1. Odrediti položaj neutralne linije;
2. Izračunajte najveće vlačne i najveće tlačne napone.
Rješenje.
1. Nacrtajte dio u mjerilu.
2. Odredite položaj glavnih centralnih osa. Presjek ima os simetrije, dakle os Y možemo vam pokazati odmah.
3. Odrediti položaj težišta figure (figura se sastoji od dva kvadrata). Biramo proizvoljan pomoćni koordinatni sistem.
x 1 C 1 Y– pomoćni koordinatni sistem;
odrediti koordinate tačaka OD 1 i OD 2 u sistemu x 1 C 1 Y.
ALI 1 , ALI 2 je površina prvog i drugog kvadrata, respektivno.
A \u003d A 1 - A 2 je površina cijele figure.
ALI 1 = b 2 = 2500 cm 2
OD (X c = 0; at c = -5,89) - položaj centra gravitacije u pomoćnom koordinatnom sistemu x 1 C 1 Y.
Osa X nacrtati okomito na osu Y kroz tačku OD.
Pošto je presjek simetričan, onda XC Y je glavni centralni koordinatni sistem.
4. Odrediti glavne središnje momente inercije i kvadrate glavnih polumjera presjeka.
gdje a 1 \u003d 5,89 cm - udaljenost između osovina X i X 1 ;
a 2 \u003d 5,89 + 17,68 \u003d 23,57 - udaljenost između osovina X i X 2 .
5. Odredite koordinate tačke AT(tačke primjene sile) u glavnom centralnom koordinatnom sistemu x sa Su sa.
6. Odredite položaj neutralne linije.
,
gdje X N, at N - koordinate tačaka neutralne linije.
U ovom zadatku
Neutralna linija prolazi kroz tačku ( X N=0;at N = 11,36) paralelno sa osom X With.
7. U ovom zadatku na štap djeluje tlačna sila, pa će se normalni naponi u bilo kojoj tački poprečnog presjeka odrediti formulom
gdje x, y su koordinate tačke u kojoj se izračunavaju naponi.
8. Najveća tlačna naprezanja se postižu u točki AT. Ovo je tačka najudaljenija od neutralne linije u oblasti kompresije.
Najveća vlačna naprezanja postižu se na tačkama To i Ly K = at L = 23,57 cm.
odgovor:
, 
Primjer 2
Konstruirajte jezgro sekcije.
Rješenje.
1. Odredite vrstu konture jezgre presjeka.
2. Određujemo broj vrhova poligona koji se dobije unutar konture (tj. broj graničnih tangenti na presjek štapa). 6 graničnih tangenta - 6 vrhova.
3. Odredite položaj glavnih centralnih osa. Presjek ima horizontalnu os simetrije, tako da os " X Možemo odmah pokazati. XOY 0 - pomoćni koordinatni sistem (os " Y 0 "trošimo proizvoljno).
Sekcija se sastoji od dva jednostavna oblika (pravougaonik i kvadrat). Odredite koordinate centara gravitacije OD 1 i OD 2 u proizvoljnom koordinatnom sistemu XOY 0 .
Težište pravougaonika.
Težište kvadrata.
Površina pravougaonika.
Kvadratna površina.
(jer OD 1 i OD 2 leže na osi).
Težište cijelog presjeka u koordinatnom sistemu XOY 0 ima koordinate OD(0,015; 0). (Prikazaćemo na crtežu).
Osa Y nacrtati okomito na osu Y 0 kroz centar gravitacije OD.
Budući da je presjek simetričan, osa simetrije i osa okomita na nju, prolazeći kroz centar gravitacije, čine glavni centralni koordinatni sistem.
X, Y su glavne centralne ose preseka.
4. Određujemo geometrijske karakteristike presjeka u odnosu na glavne središnje ose.
Izračunavamo glavne centralne momente inercije J x i J y .
Glavni centralni momenti inercije pravougaonika.
Glavni centralni momenti inercije kvadrata.
(Ovdje su korištene formule za određivanje momenata inercije oko paralelnih osa. Aksijalni momenti inercija ravnog presjeka oko proizvoljnih osa X 1 i at 1 paralelno sa centralnim osovinama X i at, određena formulama
;
gdje a,b– razmak između osovina X i X 1 , at i at 1 , ALI- površina poprečnog presjeka. prihvaćeno je da x, y– centralne ose, odnosno ose koje prolaze kroz centar gravitacije OD ravan presjek).
Izračunajte kvadrate glavnih polumjera inercije
5. Odrediti vrhove jezgra presjeka.
Neka je poznat položaj neutralne linije. Potrebno je odrediti koordinate tačke primjene sile.
1. Razmotrite položaj neutralne linije 1 - 1.
Koristite svojstvo neutralne linije. Pošto neutralna linija 1-1 ide paralelno sa osom Y, zatim tačku primjene sile I 1 je na osi X, to je at F=0.
X N - apscisa tačke neutralne linije 1 - 1 (udaljenost od tačke OD na neutralnu liniju 1 - 1).
2. Razmotrite položaj neutralne linije 2 - 2.
Uzmite dvije tačke neutralne linije 2 - 2 (bolje je odabrati tačke u kojima možete lako izračunati koordinate)
AT(-0,615; 0,3) i D(-0,015; 0,6)
Zamijenite koordinate tačaka AT i D u jednačinu neutralne linije.
(1)
(2)
Rešimo sistem jednačina (1) - (2)
Iz prve jednadžbe
(3)
Zamijeni (3) u (2)
3. Razmotrite položaj neutralne linije 3 - 3.
Koristite svojstvo neutralne linije. Pošto neutralna linija 3 - 3 ide paralelno sa osom X, zatim tačku primjene sile I 3 je na osi Y, to je X F =0.
at N - ordinata tačke neutralne linije 3 - 3 (udaljenost od tačke OD na neutralnu liniju 3 - 3).
4. Razmotrite položaj neutralne linije 4 - 4.
Koristite svojstvo neutralne linije. Pošto neutralna linija 4 - 4 ide paralelno sa osom Y, zatim tačku primjene sile I 4 je na osi X, to je at F = 0.
Primjer3 .
Kruta šipka je opterećena s dvije sile - vlačnom i tlačnom (sl. 1). Štap je napravljen od krhkog materijala sa karakteristikama i . Poprečni presjek štapa je simetričan i ima oblik i dimenzije koje odgovaraju sl. 2.
Obavezno:
1) pronađite dozvoljeno opterećenje štapa iz stanja čvrstoće, ako je omjer tlačne i vlačne sile
2) izgraditi jezgro sekcije.
Sl.1Sl.2
Rješenje.
Položaj glavnih centralnih osi inercije i momenti inercije oko ovih osa datog presjeka pronađeni su ranije (vidi odjeljak " Geometrijske karakteristike ravnim sekcijama"). Nađimo unutrašnje sile u proizvoljnom presjeku štapa:
Da bismo odredili položaj opasnih tačaka, konstruišemo neutralnu liniju. Jednačina neutralne linije 
u ovom problemu ima oblik
Odavde nalazimo segmente odsječene neutralnom linijom na osi i . Ako onda
i ako , onda
Neutralna linija je prikazana na sl. 3.
Fig.3
Nacrtajte tangente na konturu presjeka, paralelno s neutralnom linijom. Tačke 1 i 1 su opasne ¢
(vidi sliku 3), najudaljeniji od neutralne linije. Za krhki materijal opasnija je tačka sa maksimalnim vlačnim naponom, tj. tačka 1. Pronađite napon u ovoj tački zamjenom u formulu 
koordinate tačke 1:
Uvjet čvrstoće u točki 1 Or
Odavde možete pronaći dozvoljenu vrijednost opterećenja (ne zaboravite ispravno zamijeniti mjerne jedinice. Multiplikator prije F str u ovom primjeru ima dimenziju cm -2).
Zaključno, potrebno je osigurati da u tački 1 ¢ , koja je u ovom primjeru dalje udaljena od neutralne ose od tačke 1, a u kojoj djeluju tlačna naprezanja, također je zadovoljen uslov čvrstoće, tj.
Sada napravimo kernel sekcije. Stubove postavljamo na vanjske uglove sekcije. S obzirom na simetriju presjeka, dovoljno je postaviti polove u tri tačke: 1, 2 i 3 (vidi sliku 3). Zamjena u formule; koordinate polova, nalazimo segmente odsječene neutralnim linijama na osi i . Ako je pol u tački 1, tada su njegove koordinate 
i
Neutralna linija 1–1 koja odgovara polu u tački 1 prikazana je na sl. 3. Slično, gradimo neutralne linije 2–2 i 3–3 koje odgovaraju polovima 2 i 3. Prilikom konstruisanja neutralne linije, vodite računa da ona ide u kvadrantu suprotnom od onog u kojem se pol nalazi. Područje zasjenjeno na Sl. 3 je jezgro odjeljka. Za kontrolu na sl. 3 prikazuje elipsu inercije. Jezgro presjeka mora biti unutar elipse inercije, bez da je igdje prelazi.
Primjer 4
Štap asimetričnog presjeka komprimiran je silom koja se primjenjuje u tački ALI (Sl. 1). Poprečni presjek ima oblik i dimenzije prikazane na sl. 2. Materijal štapa je krhak.
Obavezno:
1) naći dozvoljeno opterećenje koje zadovoljava uslov čvrstoće;
2) izgraditi jezgro sekcije.
Rješenje.
Prije svega, potrebno je odrediti momente i polumjere inercije poprečnog presjeka u odnosu na glavne središnje osi. Ovaj dio rješenja zadatka dat je u dijelu "Geometrijske karakteristike ravnih presjeka". Na sl. 1 prikazane su glavne središnje osi inercije presjeka , , čiji je položaj ranije pronađen. U sistemu centralnih osa Y ,Z(slika 2) koordinate tačke primene sile ALI , . Izračunajte koordinate tačke ALI u sistemu glavnih centralnih osa prema formulama
.
Sl.1Sl.2
Da bismo odredili položaj opasnih tačaka, konstruisaćemo neutralnu liniju koristeći formule ; . Radijusi inercije, pronađeni ranije.
Položimo ove segmente duž glavnih ose i povučemo neutralnu liniju kroz dobijene tačke (vidi sliku 3).
Fig.3
Opasne tačke, tj. tačke najudaljenije od neutralne ose biće tačke 1 i 3 (vidi sliku 3). U tački 1 djeluje najveće vlačno naprezanje. Zapisujemo stanje čvrstoće u ovom trenutku koristeći formulu 
:
Zamenimo koordinate opasne tačke 1 u glavnim osama u stanje čvrstoće, računajući ih pomoću formula
ili mjerenjem na crtežu nacrtanom u mjerilu, 
Zatim, iz stanja čvrstoće u tački 1, možete pronaći dozvoljenu vrijednost opterećenja:
.
Za pronađenu vrijednost dopuštenog opterećenja potrebno je osigurati da je uvjet čvrstoće ispunjen i u točki 3, koja je dalje udaljena od neutralne linije i gdje djeluje tlačno naprezanje. Da bismo odredili napon u tački 3, zamjenjujemo koordinate ove tačke u formulu
.
Ovaj napon ne bi trebalo da prelazi . Ako uvjet čvrstoće u točki s maksimalnim tlačnim naprezanjem nije ispunjen, potrebno je ponovno pronaći vrijednost dopuštenog opterećenja iz stanja čvrstoće u ovoj točki.
U zaključku, konstruišemo jezgro sekcije. Stubove postavljamo na vanjske uglove presjeka, tj. na tačkama 1, 2, 3, 4, 5 (vidi sliku 3). Tačka 4, koja se nalazi na konturi kvadranta kruga, dobijena je na sljedeći način. Odsecanje unutrašnjeg kutna tačka, crtamo liniju tangentu na konturu presjeka (isprekidana linija na sl. 3). Tačka 4 je tačka u kojoj ova prava dodiruje kvadrant kružnice. Redovno nalazimo položaj neutralnih linija koje odgovaraju polovima u naznačenim točkama, pronalazeći segmente odsječene neutralnim linijama na osi , , prema formulama ; .Na primjer, ako je pol u tački 1, onda se zamjenjuje u ; koordinate tačke 1 (), nađi
Pošto je mnogo veća, to znači da je neutralna linija 1–1 praktično paralelna sa osom. Nacrtamo segment na skali duž ose i povučemo pravu liniju 1–1 paralelnu sa osom (vidi sliku 3). Slično, gradimo neutralne linije koje odgovaraju polovima koji se nalaze u drugim tačkama. Jezgro preseka (osenčeno područje) prikazano je na sl. 3. Imajte na umu da je kontura jezgra preseka između neutralnih linija 4–4 i 5–5 ocrtana duž krivulje, jer prijelaz pola iz tačke 4 u tačku 5 se ne odvija pravolinijski. Na sl. Na slici 3 prikazana je i elipsa inercije presjeka, izgrađenog ranije.
Primjer 5
Na gredi datog poprečnog presjeka u tački D na gornjem kraju postoji uzdužna tlačna sila R=300 kN (vidi sliku). Potrebno je pronaći položaj nulte linije, odrediti najveća (zatezna i tlačna) naprezanja i konstruirati jezgro presjeka.
Rješenje:
1. Određivanje položaja glavnih centralnih osi inercije i određivanje površine poprečnog presjeka
Kako poprečni presjek grede (slika 1) ima dvije ose simetrije, a one uvijek prolaze kroz težište presjeka i glavne su, onda su glavne centralne ose presjeka X sa i at c će se poklapati sa ovim osama simetrije.
Težište presjeka OD u ovom slučaju nije potrebno odrediti, jer se poklapa sa geometrijskim središtem presjeka.
Površina poprečnog presjeka grede jednaka je:
2. Određivanje glavnih središnjih momenata inercije i glavnih polumjera inercije
Momenti inercije određeni su formulama:
Izračunavamo kvadrate glavnih polumjera inercije:
3. Određivanje položaja nulte linije
Segmenti odsječeni nultom linijom na glavnim središnjim osi inercije određeni su formulama:
gdje x str=2,3 cm i y r\u003d 2 cm - koordinate tačke primjene sile R(tačka P sl.11). Odlaganje segmenata, odnosno na osi x s i u s i povlačeći pravu liniju kroz njihove krajeve, dobijamo liniju presjeka nule, na kojoj su normalni naponi jednaki nuli (). Na slici 1, ova linija je označena n -n.
4. Određivanje najvećih tlačnih i vlačnih napona i izrada dijagrama naprezanja
Tačka D , čije koordinate X D =5,25 cm i at D\u003d 5 cm, najudaljeniji od nulte linije u komprimiranoj zoni presjeka, stoga se u njemu javljaju najveći tlačni naponi i određuju se formulom
Najveća vlačna naprezanja javljaju se u tački K, koja ima koordinate x k= -5,25 cm, na k= -5 cm.
Na osnovu dobijenih vrednosti gradimo dijagram normalnih napona (vidi sliku 11).
5. Konstrukcija jezgra sekcije
Za konstruisanje jezgra presjeka, s obzirom da je presjek simetričan, razmotrite dva položaja tangente na konturu presjeka I-I i II-II (vidi sliku 1).
Segmenti odsečeni tangentom I -I
na koordinatnim osama jednaki su: 
Koordinate granične točke 1 jezgre presjeka određene su formulama:
Tangenta II-II odsijeca segmente = 5,25 cm, = ¥ .
Koordinate graničnih tačaka 2 :
Koordinate graničnih tačaka druge polovine jezgre presjeka ne mogu se odrediti, jer je presjek grede simetričan. Uzimajući ovo u obzir za tangente III -III i IV -IV, koordinate graničnih tačaka 3 i 4 bice:
= 0; = 15,2× 10 -3 m;
=23,0× 10 -3 m = 0.
Povezujući tačke 1, 2, 3 i 4 u seriju pravim linijama, dobijamo jezgro preseka (slika 1).
Primjer 6
U presjeku naznačenom na slici i koji pripada ekscentrično komprimiranom stupu odredite najopasnije točke i napone u njima. Pritisna sila F= 200 kN = 20 t primijenjeno na tački A.
Rješenje.
Pošto su ose X i Y osi simetrije, one su glavne centralne ose.
Najopasnije tačke će biti tačke na kojima maksimalno normalno napon, a to su tačke najudaljenije od nulte linije. Stoga, prvo moramo odrediti poziciju nulte linije. Zapisujemo jednačinu nulte linije.
U našem slučaju koordinate tačke primene sile su sledeće (vidi sliku):
= - 90 mm = - 0,09 m;
= - 60 mm = - 0,06 m.
Kvadrati radijusa inercije i definirani su na sljedeći način:
ovdje i - aksijalni momenti inercije oko glavnih centralnih osa X i Y.
Određivanje aksijalnih momenata inercije. Za našu sekciju ćemo imati:
M 4 ;
M 4 .
Površina cijelog odjeljka bit će jednaka:
M 2,
a zatim kvadrati radijusa inercije:
m 2;
m 2.
Pomoću formula određujemo segmente koje nulta linija odsiječe na osi X i Y:
m;
m.
Odvojimo ove segmente na koordinatne ose, dobićemo tačke u kojima nulta linija preseca koordinatne ose. Kroz ove tačke crtamo pravu liniju (vidi sliku). Vidimo da su najudaljenije tačke - ovo je tačka B u zoni negativnih napona i tačka D u zoni pozitivnih napona.
Odredimo naprezanja u ovim tačkama:
;
Na osnovu crteža (vidi sliku) dobijamo:
= - 0,12 m; = - 0,03 m.
= –5,39× 10 4 kN / m 2 \u003d - 53,9 MPa.
;
0,12 m; = 0,03 m.
1,86× 10 4 kN / m 2 \u003d 18,6 MPa.
Primjer 7
Kratko liveno gvožđeštap čiji je poprečni presjek prikazan na slici je komprimiran uzdužnom silom F, primijenjen u tački ALI.
Obavezno:
1) izračunati najveće vlačno i najveće tlačno naprezanje u poprečnom presjeku, izražavajući veličinu ovih napona kroz F i dimenzije presjeka; a= 40 mm, b= 60 mm;
2) pronaći dozvoljeno opterećenje F pri datim dimenzijama poprečnog presjeka i dozvoljenim naprezanjima za liveno gvožđe za pritisak = 100 MPa i za zatezanje = 30 MPa.
Rješenje.
Gore je spomenuto da se geometrijske karakteristike u proračunskim formulama uzimaju u odnosu na glavne centralne ose, pa ćemo odrediti težište presjeka. Osa X je osa simetrije, pa prema tome, prolazi kroz centar gravitacije, pa samo treba da pronađemo njenu lokaciju na ovoj osi.Podelimo presek na dve komponente (1 i 2) i izaberemo pomoćne ose. OD 1 i OD 2 u ovim osovinama.
Imat će OD 1 (0,0); OD 2 (0,04; 0), tada:
m;
Dakle u sjekirama xy 1 centar gravitacije cijele dionice ima koordinate OD (0,0133; 0). Povlačimo os kroz težište presjeka Y okomito na osu X. X osa i Y i bit će glavne centralne ose sekcije.
Odredimo poziciju nulte linije.
Koordinate tačaka primjene sile (tačke ALI) bit će kako slijedi: \u003d (0,02–0,0133) + 0,04 \u003d 0,0467 m; = 0,06 m;
m 4,
m 4,
gdje je = 0,0133 m;
m 2.
m 2, 
m 2;
i dobijemo segmente odsječene neutralnom osi na glavnim osama inercije X i Y, respektivno:
Odvojite na osi X, i na osi Y i kroz dobijene tačke povući nultu liniju (vidi sliku). Vidimo da su najudaljenije tačke preseka od nulte linije - ovo je poenta ALI u komprimovanoj zoni i tački AT u proširenoj zoni. Koordinate ovih tačaka su sljedeće: ALI(0,0467; 0,06); AT(-0,0333; -0,12). Odredimo napone u tim tačkama, izražavajući ih u terminima F.
Tačkasti napon ALI ne smije prekoračiti dozvoljeno tlačno naprezanje , i napon u tački AT ne smije prekoračiti dozvoljeno vlačno naprezanje, tj. uslovi moraju biti ispunjeni:
, ,
ili
(a),
(b).
Iz): 
od (b): 
Da bismo istovremeno zadovoljili uslov čvrstoće i u rastegnutoj i u zbijenoj zoni stuba, za dozvoljeno opterećenje moramo uzeti manji od dva primljena, tj. = 103 kN.
Primjer 8
Kratko liveno gvožđeštap pravokutnog poprečnog presjeka, prikazan na slici, komprimiran je uzdužnom silom F, primijenjen u tački ALI.
Obavezno:
1) izračunati najveće vlačno i najveće tlačno naprezanje u poprečnom presjeku, izražavajući veličinu ovih napona kroz F i dimenzije presjeka;
2) pronaći dozvoljeno opterećenje F pri datim dimenzijama poprečnog presjeka i dozvoljenim naprezanjima za liveno gvožđe u kompresiji 
i zatezna 
.
Rješenje.
Odredimo poziciju nulte linije. Da bismo to učinili, koristimo formule
Koordinate tačke primene sile (tačka A) će biti sledeće:
Kvadrati radijusa inercije određeni su formulama:
Odredite segmente koje nulta linija odsiječe na osi X i at.
Ostavite po strani na osi X – X 0 i na osi at – at 0 i kroz dobijene tačke povući nultu liniju n – n(vidi sl.). Vidimo da su najudaljenije tačke preseka tačka A u komprimovanoj oblasti i tačka B u rastegnutoj oblasti. Koordinate ovih tačaka su: A (0,04; 0,06), B (–0,04; –0,06). Odredimo veličinu naprezanja u tim tačkama, izražavajući ih kroz silu F:
Napon u tački A ne bi trebao biti veći od dozvoljenog tlačnog naprezanja, a napon u tački B ne bi trebao biti veći od dopuštenog vlačnog naprezanja, tj. uslov mora biti ispunjen
Iz prvog izraza, vrijednost F
Opterećenje je najmanje od dva pronađena, tj. = 567kn.
Primjer 9
Kratka šipka od livenog gvožđa sa poprečnim presekom prikazanim na sl. a, je komprimiran uzdužnom silom P, primijenjen u tački A. Odredite najveće vlačno i najveće tlačno naprezanje u poprečnom presjeku šipke, izražavajući ih u vidu sile P i dimenzije poprečnog presjeka cm, cm Odrediti dozvoljeno opterećenje pri datim dozvoljenim naponima za materijal za pritisak kN / cm 2 i za zatezanje kN / cm 2.
Rješenje.
Sila koja djeluje na štap P osim kompresije, savija šipku u odnosu na glavne središnje osi x i y. Momenti savijanja su respektivno jednaki:
gdje su cm i cm koordinate tačke primjene sile P(koordinate tačaka A).
Normalni naponi u nekom trenutku sa koordinatama x i ybilo koji poprečni presjek štapa određuju se formulom
,
gdje F je površina, i i su radijusi rotacije poprečnog presjeka.
1. Odrediti geometrijske karakteristike poprečnog presjeka štapa.
Površina poprečnog presjeka štapa je:
Glavni središnji momenti inercije određuju se na sljedeći način.
Izračunavanje momenta inercije Ukupno presek oko ose x, podijelite cijelu figuru na jedan pravougaonik sa širinom i visinom i dva pravougaonika sa širinom i visinom tako da os x bila centralna za sve ove tri figure. Onda
.
Za izračunavanje momenta inercije cijelog presjeka oko ose y podijelimo cijelu figuru malo drugačije: jedan pravougaonik sa širinom i visinom i dva pravougaonika sa širinom i visinom tako da sada os y bila centralna za sve ove tri figure. Get
.
Kvadrati radijusa inercije su:
; 
.
2. Odredite poziciju nulte linije.
Segmenti i , odsječeni nultom linijom od koordinatnih osa, jednaki su:
cm ; 
cm.
Prikaži nultu liniju N-N na sl. b. Nulta linija dijeli poprečni presjek na dva područja, od kojih je jedan nategnut, a drugi u kompresiji. Slika 1, b rastegnuti površina poprečnog presjeka štapa kod nas osenčeno.
3. Izračunajte najveće istezanje voltaža.
Javlja se na tačkama 6 i 7 , odnosno u tačkama najudaljenijim od nulte linije. Vrijednost ovog napona, izračunata, na primjer, za tačku 6 jednako:
4. Izračunajte najveće kompresivan voltaža.
Javlja se na tačkama 2 i 3 , takođe najudaljeniji od nulte linije. Vrijednost ovog napona, izračunata, na primjer, za tačku 2 , jednako:
5. Odredite dozvoljeno opterećenje iz uslova zatezne čvrstoće:
kN/cm 2 ; 
kN.
6. Odredite dozvoljeno opterećenje iz uslova tlačne čvrstoće:
kN/cm 2 ; 
kN.
Primjer 10
Kratak stub, čiji je poprečni presek prikazan na slici 1, sabijen je uzdužnom silom F= 200 kN primijenjen na tački To. Dimenzije presjeka a= 40 cm b= 16 cm Procijenjena vlačna čvrstoća materijala R t = 3 MPa, za kompresiju R sa = 30 MPa .
Obavezno:
1. Pronađite poziciju nulte linije.
2. Izračunajte najveća tlačna i vlačna naprezanja i napravite dijagram naprezanja. Dajte zaključak o jačini stuba.
3. Odredite projektnu nosivost (projektno opterećenje) F max za date veličine preseka.
4. Konstruirajte jezgro sekcije.
Fig.1
Rješenje.
1. Određivanje koordinata težišta presjeka.
Poprečni presjek stupa ima os simetrije X s, dakle, težište leži na ovoj osi i da se pronađe koordinata x s u odnosu na sporednu osu Y o (vidi sliku 1) dijelimo složeni dio na tri pravokutnika
2. Geometrijske karakteristike presjeka.
Da bismo izračunali glavne centralne momente inercije, koristimo odnos između momenata inercije sa paralelnim prevođenjem osi.
Odrediti kvadrate radijusa inercije
koordinate tačke primjene sile F
3. Nulta pozicija linije
Pronađen segmenti odsečeni na koordinatnim osama koje crtamo nulta linija (vidi sliku 2).
4. Određivanje najvećih tlačnih i vlačnih napona. Dijagram .
Tačke najudaljenije od nulte linije: AT(-60; 16)iD(60; -32). Naponi na ovim opasnim tačkama sa koordinatama X Dan , y Dan ne smije premašiti odgovarajući projektni otpor
.
Vlačni napon
Kompresijski stres
Čvrstoća stuba je zagarantovana.
Prema rezultatima proračuna naprezanja i na sl. 2 građena parcela .
5. Proračun proračunske nosivosti stupa Fmax .
Budući da je pri datoj vrijednosti tlačne sile čvrstoća materijala stupa značajno nedovoljno iskorištena, maksimalnu vrijednost vanjskog opterećenja nalazimo izjednačavanjem maksimalnih napona s t i s c izračunati otpor.
Konačno biramo manje vrijednosti Fmax = 425,8 kN, pruža snagu i rastegnutim i sabijenim zonama poprečnog presjeka.
Fig.2
6. Konstrukcija jezgra sekcije.
Da bi se dobio obris jezgra presjeka, potrebno je razmotriti sve moguće položaje tangenti na konturu presjeka i, uz pretpostavku da su ove tangente nulte linije, izračunati koordinate graničnih tačaka jezgra u odnosu na glavne centralne ose preseka. Zatim povezujući ove tačke, dobijamo obris jezgra preseka.
Tangenta 1-1: y o = 32 cm,
.
Tangenta 2-2: , 
.
Tangenta 3-3: , 
.
Tangenta 4-4: 
; ;
;
;
;
.
Tangenta 5-5: ; 
.
Tangenta 6-6: ; 
;
Primjer 11 .
U tački P Primijenjena tlačna sila pravokutnog stupa P(vidi sl.). Odredite maksimalno i minimalno normalno naprezanje.
Rješenje.
Normalno naprezanje pod ekscentričnom kompresijom određuje se formulom:
U našem zadatku 
Moment inercije, površina 
,
Shodno tome 
Na neutralnoj liniji. Dakle, njena jednadžba
Tačke najudaljenije od neutralne ose su tačke A i B:
u tački A i
u tački B i
Ako se materijal različito odupire napetosti i kompresiji, tada treba sastaviti dvije jednadžbe čvrstoće:
Primjer 12.
Pronađite dopušteno opterećenje za gredu prikazanu na slici, ako su projektni otpori materijala grede na napetost i kompresiju jednaki Radm ,t= 20 MPa; R adm , sa= 100 MPa.
Rješenje. Zapisujemo uvjet čvrstoće za najnapregnutije točke bilo kojeg dijela grede, jer su svi dijelovi jednako opasni:
Hajde da prepišemo ove uslove, uzimajući to u obzir
i onda
i 
Odavde određujemo vrijednosti dozvoljenih opterećenja.