Condiția de perpendicularitate a dreptelor în spațiu. Drepte paralele, semne și condiții ale dreptelor paralele

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele în plan și în spațiu, este introdusă notația, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluțiile problemelor caracteristice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale dreptei într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și în spatiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt oblice.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul „” este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să sunăm afirmația care joacă rol importantîn studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele în plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Si ce este " conditie necesara linii paralele? Prin denumirea de „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru liniile paralele, atunci liniile nu sunt paralele. În acest fel, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorȘi colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o secantă, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru drepte paralele în plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru linii paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm teoremele vocale.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semnele și condițiile necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru demonstrarea paralelismului dreptelor prin metode de geometrie. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia dreaptă sau să se arate egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate în lecțiile de geometrie în liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în multe cazuri este convenabil să se folosească metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care definesc aceste linii, și mai dăm soluții detaliate sarcini tipice.

Să începem cu condiția de paralelism a două drepte pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy . Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al dreptei și definiția vectorului normal al dreptei pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte în plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și Și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuaţiei dreptei cu coeficientul de pantă al formei . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi date prin ecuații de drepte cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile drepte necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi date de ecuațiile unei drepte cu coeficienți egali de pantă, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei Și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei Și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? Și ?

Soluţie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari deoarece nu există astfel de vectori numar real t , pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Soluţie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.

Capitolul V*. Ecuații de drepte și plane în spațiu.

§ 70. Condiţii de paralelism şi perpendicularitate a două drepte.

Linii drepte cu vectori de direcție dar Și b :

a) sunt paralele dacă și numai dacă vectorii dar Și b coliniar;

b) sunt perpendiculare dacă şi numai dacă vectorii dar Și b perpendiculară, adică când dar b = 0.

Din aceasta obținem condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul și perpendicularitatea a două drepte date prin ecuații canonice.

Pentru a dirija

sunt paralele, este necesar și suficient ca condiția

Dacă vreunul dintre numere b 1 , b 2 , b 3 este egal cu zero, atunci numărul corespunzător trebuie să meargă la zero A 1 , A 2 , A 3 .

Pentru ca liniile să fie perpendiculare este necesar și suficient ca condiția

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 0. (2)

Sarcina 1. Dintre următoarele perechi de drepte, indicați perechile de drepte paralele sau perpendiculare:

a) Vectori de direcție A = (2; 4; -13) și b = (3; 5; 2) nu sunt în mod evident coliniare. Prin urmare, liniile nu sunt paralele. Să verificăm starea de perpendicularitate

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Liniile sunt perpendiculare.

b) Vectorul direcție al celei de-a doua drepte are coordonate b = (3; 2; 4). Pentru vectorul ghid al primei prima se poate lua produs vectorial vectori normali
n 1 = (2; -3; 0) și n 2 = (4; -2; -2) planuri care definesc această dreaptă:

Condiția (1) este îndeplinită, deoarece 6 / 3 = 4 / 2 = 8 / 4 . Liniile sunt paralele.

c) Vectorul direcție al primei drepte are coordonate dar = (2; 3; 1). Ecuațiile celei de-a doua drepte sunt ușor reduse la forma canonică

Prin urmare, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vectori dar Și b nu sunt paralele. Ele nu sunt perpendiculare deoarece

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Aceste drepte nu sunt nici paralele, nici perpendiculare.

Sarcina 2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (2; -3; 4) perpendicular pe liniile drepte

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane ne referim la unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Evident, unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . pentru că Și , apoi

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiție de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

În acest fel, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Deci, lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t coordonatele se schimbă X, yȘi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lasa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, cum ar fi axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, Prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

De asemenea, ecuații canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouȘi Oi sau axă paralelă Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de plane, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ei canonice sau ecuații parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

Exemplu. Dați ecuațiile generale ale dreptei la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

În mod evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Cursul 8. Condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor. Linie și plan în spațiu

Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan;

Ecuația unui plan în spațiu;

Linie dreaptă în spațiu;

Exemple de rezolvare a problemelor.

8.1. Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan

Unghiul dintre două linii. Să fie date două drepte pe plan: (1) și
(2) și doriți să determinați unghiul între ele (vezi Figura 8.1).

Orez. 8.1. Unghiul dintre două linii

Din fig. 8.1. este clar că
, și
Și
,
.

Apoi
sau

. (8.1)

Condiții pentru paralelismul și perpendicularitatea dreptelor.

Să fie date două linii:

(1);

(2).

Liniile drepte (1) și (2) sunt paralele dacă și numai dacă
.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci
Și .

dacă și numai dacă
.

Fie dreptele date de ecuațiile generale:

(1);

(2).

În acest caz, coeficienții de pantă
Și
iar condiția de paralelism va lua forma:

Liniile drepte (1) și (2) sunt paralele dacă și numai dacă
.

Prin urmare, condiția pentru paralelismul dreptelor date de ecuații generale este proporționalitatea coeficienților variabilelor.

Condiția pentru perpendicularitatea a două drepte date de ecuații generale este egalitatea cu zero a sumei produselor coeficienților pentru variabile Și .

Într-adevăr, din moment ce
, apoi
.

Liniile (1) și (2) sunt perpendiculare dacă și numai dacă
.

Punctul de intersecție al liniilor.

Fie dreptele date de ecuațiile generale:
Și
.

Deoarece coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare dintre ecuații, acestea pot fi găsite din sistemul:

Distanța de la un punct la o linie.

Să se acorde un punct
si direct
.

Orez. 8.2. Distanța de la punct la linie

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei
, coborât din punct
direct (Fig. 8.2).

Pentru a găsi distanța de care aveți nevoie:

Rezultatul este formula:

. (8.2)

8.2. Ecuația unui plan în spațiu

dar) Specificarea unui plan printr-un punct și un vector normal. Lasă avionul trece printr-un punct
perpendicular pe vector
(fig.8.3).

Orez. 8.3. Avion, punctși vector normal

Vector
se numește vectorul normal al planului .

Să-l luăm în avion punct arbitrar
. Atunci vectorul va fi perpendicular pe vector
. Mijloace produs scalar dintre acești vectori este egal cu zero, adică sub forma de coordonate:

Ecuația plană poate fi scrisă astfel:

Unde
.

Ecuația (8.4) se numește ecuația generală a planului.

b) Definirea unui plan prin trei puncte. Luați trei puncte din plan care nu se află pe aceeași linie dreaptă:
,
,
.

Orez. 8.4. Definirea planului prin trei puncte

Să setăm vectorii și . Deoarece cele trei puncte date nu se află pe aceeași dreaptă, vectorii dați nu sunt coliniari (nu sunt paraleli și nu se află pe aceeași dreaptă). Vectori
Și
formează baza unui spațiu bidimensional.

In avion luați un punct arbitrar
. Să setăm vectorul. Din moment ce vectorii
Și
formează o bază, apoi vectorul
este o combinație liniară vectori de bază. Aceasta înseamnă că rândurile matricei compuse din coordonatele acestor vectori sunt dependente liniar, iar determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero:

. (8.5)

în) Specificarea unui plan printr-un punct
situat pe plan și doi vectori de direcție (vectorii se află în planul dat sau sunt paraleli cu planul)
Și
.

Raționamentul este similar cu raționamentul de la litera b), așa că obținem:

. (8.6)

Cazuri particulare ale ecuației generale a planului :

Dacă
, apoi ecuația
definește un plan care trece prin origine.

Dacă
, apoi ecuația
definește o paralelă plană
. La fel, când
paralelism
iar la
paralelism
.

Dacă
, apoi
definește un plan paralel cu planul
. La
paralelism
, la
paralelism
.

Dacă
, apoi
definește un plan care trece prin axă
. La
trece prin
, la
trece prin
.

Dacă
, apoi
definește planul de coordonate
. La
avion
, la
avion
.

Condiții de paralelism și perpendicularitate a planurilor sunt determinate de condiţiile de coliniaritate şi perpendicularitate ale vectorilor normali
Și
.

Condiția pentru paralelismul a două plane este proporționalitatea coeficienților pentru aceleași variabile:

Stare perpendiculara:

a) O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane:

b) Dacă dreapta este paralelă cu vectorul
(vector de direcție) și trece prin punct
, apoi din condiția de colinaritate a vectorilor și
(Unde
- punctul arbitrar al dreptei) obținem:

. (8.7)

Ecuațiile (8.7) se numesc ecuații canonice ale unei linii drepte în spațiu.

c) Ecuațiile (8.7) pot fi scrise sub formă parametrică:

;

Echivalarea fiecărei fracții cu parametrul
, primim:

(8.8)

Ecuațiile (8.8) se numesc ecuații parametrice ale unei linii drepte în spațiu.

8.4. Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct
:

a) paralel cu o linie dreaptă :
;

b) perpendicular pe o dreaptă :
.

Soluţie.

a) Deoarece linia dorită este paralelă cu dreapta :
, apoi
. Sa gasim linia originală
. De unde luăm asta
.

Deci, setăm linia dorită după punct
și coeficientul unghiular
:

b) Deoarece linia dorită este perpendiculară pe dreapta :
, apoi
. Din ecuația dreptei inițiale obținem
. Apoi
.

Ecuația dreptei dorite:

Raspuns: a)
; b)
.

Exemplul 2. Scrieți ecuația planului trecând prin punct
Și:

a) paralel cu planul :
;

b) punctul
, paralel cu axa
;

c) trecerea prin ax
.

Soluţie.

a) Deoarece planul dorit este paralel cu planul
, atunci vectorul normal al ultimului plan va fi și vectorul normal pentru planul dorit. Mijloace,
iar pentru a stabili ecuația folosim formula (8.3):

b) Deoarece planul este paralel
, apoi în ecuație generală(8.4) coeficient
, iar ecuația are forma
. Din moment ce punctele
Și
se află pe plan, atunci coordonatele lor trebuie să satisfacă ecuația planului: