În jurul axei sale, puteți obține o eliptică obișnuită. Este un gol corp izometric, ale căror secțiuni sunt elipse și parabole. Un paraboloid eliptic este dat ca:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Toate secțiunile principale ale unui paraboloid sunt parabole. La tăierea planurilor XOZ și YOZ se obțin doar parabole. Dacă trasăm o secțiune perpendiculară în raport cu avion Xoy, puteți obține o elipsă. Mai mult, secțiunile, care sunt parabole, sunt date prin ecuații de forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Secțiunile elipselor sunt date de alte ecuații:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Un paraboloid eliptic cu a=b se transformă într-un paraboloid de revoluție. Construcția unui paraboloid are o serie de caracteristici care trebuie luate în considerare. Începeți operația prin pregătirea bazei - un desen al graficului funcției.

Pentru a începe să construiți un paraboloid, trebuie mai întâi să construiți o parabolă. Desenați o parabolă în planul Oxz, așa cum se arată. Dați viitorului paraboloid o anumită înălțime. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă astfel încât să atingă punctele superioare ale parabolei și să fie paralelă cu axa Ox. Apoi desenați o parabolă în planul Yoz și trageți o linie dreaptă. Veți obține două plane paraboloide perpendiculare unul pe celălalt. După aceea, în planul Xoy, construiți un paralelogram care vă va ajuta să desenați o elipsă. Înscrieți o elipsă în acest paralelogram, astfel încât să atingă toate laturile sale. După aceste transformări, ștergeți paralelogramul, iar imaginea tridimensională a paraboloidului rămâne.

Există, de asemenea, un paraboloid hiperbolic care este mai mult concav decât eliptic. Secțiunile sale au și parabole și, în unele cazuri, hiperbole. Secțiunile principale de-a lungul Oxz și Oyz, precum cele ale unui paraboloid eliptic, sunt parabole. Ele sunt date prin ecuații de forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Dacă desenați o secțiune despre axa Oxy, puteți obține o hiperbolă. Când construiți un paraboloid hiperbolic, ghidați-vă de următoarea ecuație:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - ecuația paraboloidului hiperbolic

Construiți inițial o parabolă fixă ​​în planul Oxz. Desenați o parabolă în mișcare în planul Oyz. După aceea, setați înălțimea paraboloidului h. Pentru a face acest lucru, marcați două puncte pe parabola fixă, care vor fi vârfurile a încă două parabole în mișcare. Apoi desenați un alt sistem de coordonate O"x"y" pentru a reprezenta hiperbolele. Centrul acestui sistem de coordonate ar trebui să coincidă cu înălțimea paraboloidului. După toate construcțiile, desenați acele două parabole mobile menționate mai sus, astfel încât să atingă punctele extreme. a hiperbolelor.În rezultat este un paraboloid hiperbolic.

Înălțimea paraboloidului poate fi determinată prin formula

Volumul paraboloidului care atinge fundul este egal cu jumătate din volumul cilindrului cu raza bazei R și înălțimea H, același volum ocupă spațiul W’ sub paraboloid (Fig. 4.5a)

Fig.4.5. Raportul volumelor dintr-un paraboloid care atinge fundul.

Wp - volumul paraboloidului, W' - volumul sub paraboloid, Hp - înălțimea paraboloidului

Fig.4.6. Raportul volumelor din paraboloid care ating marginile cilindrului Hp este înălțimea paraboloidului., R este raza vasului, Wzh este volumul sub înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației, z 0 este poziția vârfului paraboloidului, H este înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației.

În Fig.4.6a, nivelul lichidului din cilindru înainte de începerea rotației H. Volumul de lichid Wf înainte și după rotație se păstrează și este egal cu suma volumului Wc al cilindrului cu înălțimea z 0 plus volumul de lichid sub paraboloid, care este egal cu volumul paraboloidului Wp cu înălțimea Hp

Dacă paraboloidul atinge marginea superioară a cilindrului, înălțimea lichidului din cilindru înainte de începerea rotației H împarte înălțimea paraboloidului Hp în două părți egale, punctul inferior (sus) al paraboloidului este situat în raport cu baza (Fig. 4.6c)

În plus, înălțimea H împarte paraboloidul în două părți (Fig. 4.6c), ale căror volume sunt egale cu W 2 \u003d W 1. Din egalitatea volumelor inelului parabolic W 2 și ale cupei parabolice W 1, Fig.4.6c

Când suprafața paraboloidului traversează fundul vasului (Fig. 4.7) W 1 \u003d W 2 \u003d 0,5W a inelului

Fig. 4.7 Volume și înălțimi când suprafața paraboloidului traversează fundul cilindrului

Înălțimile din Fig.4.6

volumele din Fig.4.6.

Locația suprafeței libere în vas

Fig.4.8. Trei cazuri de repaus relativ în timpul rotației

1. Dacă vasul este deschis, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Vârful paraboloidului în timpul rotației scade sub nivelul inițial-H, iar marginile se ridică deasupra nivelului inițial, poziția vârfului

2. Dacă vasul este complet umplut, acoperit cu un capac, nu are suprafață liberă, este sub presiune în exces Po> Ratm, înainte de rotație, suprafața (PP), pe care Po = Ratm va fi deasupra nivelului capac la o înălțime h 0i = M / ρg, H 1 \u003d H + M / ρg.

3. Dacă vasul este plin, este sub vid Ro<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotație cu viteză unghiulară mare (Fig. 4.9)

Când un vas cu un lichid se rotește cu o viteză unghiulară mare, gravitația poate fi neglijată în comparație cu forțele centrifuge. Legea modificării presiunii într-un lichid poate fi obținută din formulă

(4.22),

Suprafețele plane formează cilindri cu o axă comună în jurul căreia se rotește vasul. Dacă vasul nu este umplut complet înainte de începerea rotației, presiunea P 0 va acţiona pe o rază r = r0 , în loc de expresie (4.22) vom avea

unde luăm g(z 0 - z) = 0,

Orez. 4.9 Amplasarea suprafețelor de revoluție în absența gravitației.

Raza suprafeței interioare cu H și h cunoscute

Un elipsoid este o suprafață a cărei ecuație este dreptunghiulară Sistemul cartezian coordonatele Oxyz are forma unde a ^ b ^ c > 0. Pentru a afla cum arată elipsoidul procedăm astfel. Să luăm o elipsă pe planul Oxz și să o rotim în jurul axei Oz (Fig. 46). Fig.46 Elipsoidul de suprafață rezultat. Hiperboloizi. Paraboloizi. Cilindri și un con de ordinul doi. - elipsoidul revoluției - oferă deja o idee despre cum funcționează elipsoidul vedere generala. Pentru a-și obține ecuația, este suficient să comprimați elipsoidul de revoluție în mod egal de-a lungul axei Oy cu coeficientul J ^ !, t.s. înlocuiți y în ecuația lui cu Jt/5). 10.2. Hiperboloizi Rotirea hiperbola fl i! \u003d a2 c2 1 în jurul axei Oz (Fig. 47), obținem o suprafață numită hiperboloid de revoluție cu o singură foaie. Ecuația lui este *2 + y; obţinută în acelaşi mod ca şi în cazul unui elipsoid de revoluţie. 5) Un elipsoid de revoluție se poate obține prin compresia uniformă a sferei +yJ + *J = n" de-a lungul axei Oz cu un coeficient ~ ^ 1. Prin compresia uniformă a acestei suprafețe de-a lungul axei Oy cu un coeficient de 2 ^ 1, se obtine un hiperboloid de o singura foaie de forma generala.Ecuatia lui este Elipsoid.Hiperboloizi Paraboloizi Se obtin cilindri si un con de ordinul doi in acelasi mod ca in cazul elipsoidului discutat mai sus.Prin rotirea hiperbolei conjugate. în jurul axei Oz, se obține un hiperboloid de revoluție cu două foi (Fig. 48) Ecuația lui este a2 C2 Prin compresia uniformă a acestei suprafețe de-a lungul axei Oy cu un coeficient de 2 ^ 1, se ajunge la un coeficient de două foi. hiperboloid de formă generală. Înlocuind y cu -y, obținem rotația sa ecuației de-a lungul axei Oy cu coeficientul yj* ^ 1, obținem paraboloid eliptic. Ecuația sa se obține din ecuația paraboloidului de rotație prin înlocuirea If, atunci obținem un paraboloid de forma prezentată în Fig. 50.10.4. Paraboloid hiperbolic Un paraboloid hiperbolic este o suprafață a cărei ecuație într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular Oxyz are forma suprafeței studiate, iar prin modificarea configurației curbelor plane rezultate se ajunge la o concluzie despre structura suprafeței în sine. Să începem cu secțiuni după plane z = h = const, paralel plan de coordonate Ohu. Pentru h > 0, obținem hiperbole pentru h - hiperbolele conjugate și pentru - o pereche de linii drepte.Rețineți că aceste linii sunt asimptote pentru toate hiperbolele (adică pentru orice h Φ 0). Să proiectăm curbele rezultate pe planul Oxy. Obținem următoarea imagine (Fig. 51). Deja această considerație ne permite să tragem o concluzie despre structura în formă de șa a suprafeței luate în considerare (Fig. 52). Fig.51 Fig.52 Să considerăm acum secțiuni după plane Înlocuind suprafața y cu L în ecuație, obținem ecuațiile parabolelor (Fig.53). O imagine similară apare la disecție suprafata data planuri În acest caz, se obțin și parabole ale căror ramuri sunt îndreptate în jos (și nu în sus, ca și în secțiunea prin planuri y \u003d h) (Fig. 54). Cometariu. Folosind metoda secțiunii, se poate înțelege structura tuturor suprafețelor de ordinul doi considerate anterior. Cu toate acestea, prin rotirea curbelor de ordinul doi și apoi comprimarea uniformă a acestora, se poate ajunge la o înțelegere a structurii lor mai ușor și mult mai rapid. Restul suprafețelor de ordinul doi au fost deja luate în considerare în esență. Acestea sunt cilindri: eliptin hiperbolic Fig. 56 și un parabolic și con de ordinul doi, ideea căruia poate fi obținută fie prin rotirea unei perechi de linii care se intersectează în jurul axei Oz și contracția ulterioară, fie prin metoda secțiunilor. Desigur, în ambele cazuri obținem că suprafața studiată are forma prezentată în Fig. 59. a) calculează coordonatele trucurilor; , . b) se calculează excentricitatea; . c) scrieți ecuațiile asimptotelor și directricelor; d) scrieți ecuația hiperbolei conjugate și calculați excentricitatea acesteia. 2. Compune ecuație canonică parabole dacă distanța de la focar la vârf este egală cu 3. 3. Scrieți ecuația tangentei la elipse ^ + = 1 punct veto M(4, 3). 4. Determinați tipul și locația curbei date de ecuația: Răspunsurile sunt o elipsă, axa majoră este paralelă cu Elipsoidul. Hiperboloizi. Paraboloizi. Cilindri și un con de ordinul doi. topoare Bou; b) centrul hiperbolei O (-1,2), coeficientul unghiular al axei reale X este 3; c) parabola Y2 = , vârful (3, 2), vectorul axului îndreptat spre concavitatea parabolei este egal cu (-2, -1); d) o hiperbolă cu centru, asimptotele sunt paralele cu axele de coordonate; e) o pereche de drepte care se intersectează f) o pereche de drepte paralele

Proprietatea dovedită a tangentei la o parabolă este foarte importantă, deoarece rezultă din aceasta că razele care emană din focarul unei oglinzi parabolice concave, adică o astfel de oglindă, a cărei suprafață este obținută din rotația parabolei în jurul axa acesteia, sunt reflectate de un fascicul paralel, respectiv axa paralelă a oglinzii (Fig.).

Această proprietate a oglinzilor parabolice este utilizată în construcția proiectoarelor, în farurile oricărei mașini, precum și în telescoapele oglinzilor. Mai mult, în acest din urmă caz, dimpotrivă, razele care vin din corpul ceresc; aproape paralele, ele sunt concentrate în apropierea focarului oglinzii telescopului și, deoarece razele care vin din diferite puncte ale luminii sunt mult ne-paralele, ele sunt concentrate în apropierea focarului în puncte diferite, astfel încât se obține imaginea luminii. aproape de focalizare, cu cât este mai mare, cu atât distanța focală a parabolei este mai mare. Această imagine este deja văzută printr-un microscop (ocularul telescopului). Strict vorbind, doar razele care sunt strict paralele cu axa oglinzii sunt colectate într-un punct (în focalizare), în timp ce razele paralele, mergând într-un unghi cu axa oglinzii, sunt colectate doar în aproape un punct, iar mai departe acest punct este de focalizare, imaginea este mai neclară. Această împrejurare limitează „câmpul de vedere al telescopului”.

Fie ca suprafața sa interioară - o suprafață oglindă - să fie o oglindă parabolică iluminată de un fascicul de raze de lumină paralele cu axa OS. Toate fasciculele paralele cu axa y, după reflectare, se vor intersecta într-un punct al axei y (focalizarea F). Proiectarea telescoapelor parabolice se bazează pe această proprietate. Razele de la stele îndepărtate vin la noi sub forma unui fascicul paralel. Făcând un telescop parabolic și plasând o placă fotografică în focar, avem ocazia de a amplifica semnalul luminos care vine de la stea.

Același principiu stă la baza creării unei antene parabolice, care face posibilă amplificarea semnalelor radio. Dacă, totuși, o sursă de lumină este plasată în focarul unei oglinzi parabolice, atunci după reflectarea de pe suprafața oglinzii, razele care provin din această sursă nu vor fi împrăștiate, ci vor fi colectate într-un fascicul îngust paralel cu axa. a oglinzii. Acest fapt este utilizat la fabricarea de proiectoare și felinare, diferite proiectoare, ale căror oglinzi sunt realizate sub formă de paraboloizi.

Proprietatea optică a unei oglinzi parabolice menționată mai sus este utilizată la crearea telescoapelor cu oglindă, a diferitelor instalații de încălzire solară și a proiectoarelor. Prin plasarea unei surse punctiforme puternice de lumină în focarul unei oglinzi parabolice, obținem un flux dens de raze reflectate paralel cu axa oglinzii.

Când o parabolă se rotește în jurul axei sale, se obține o figură, care se numește paraboloid. Dacă suprafața interioară a paraboloidului este făcută oglindă și un fascicul de raze este îndreptat spre ea, axa paralela simetria parabolei, atunci razele reflectate se vor aduna într-un punct, care se numește focar. În același timp, dacă sursa de lumină este plasată la un focar, atunci razele reflectate de suprafața oglinzii paraboloidului vor fi paralele și nu se vor împrăștia.

Prima proprietate face posibilă obținerea unei temperaturi ridicate la focarul paraboloidului. Potrivit legendei, această proprietate a fost folosită de savantul grec antic Arhimede (287-212 î.Hr.). În timpul apărării Siracizei în războiul împotriva romanilor, a construit un sistem de oglinzi parabolice, care a făcut posibilă focalizarea razelor reflectate ale soarelui asupra navelor romane. Ca urmare, temperatura la focarele oglinzilor parabolice s-a dovedit a fi atât de ridicată încât a izbucnit un incendiu pe nave și acestea au ars.

A doua proprietate este folosită, de exemplu, la fabricarea proiectoarelor și a farurilor auto.

Hiperbolă

4. Definiția unei hiperbole ne oferă o modalitate simplă de a o construi în mișcare continuă: luați două fire a căror diferență de lungime este 2a și atașați un capăt al acestor fire de punctele F " și F. Dacă țineți celelalte două capete împreună cu mâna și conduceți de-a lungul firelor cu vârful unui creion, având grijă ca firele să fie apăsate de hârtie, întinse și atingându-se, începând de la punctul de desen până la îmbinarea capetelor, punctul va trage o parte dintr-unul din ramurile hiperbolei (cu cât sunt mai mari, cu atât firele sunt mai lungi) (Fig.).

Prin inversarea rolurilor punctelor F" și F, obținem o parte dintr-o altă ramură.

De exemplu, la subiectul „Curbe de ordinul 2” puteți lua în considerare următoarea problemă:

O sarcină. Două gări A și B se află la o distanță de s km una de cealaltă. În orice punct M, marfa poate fi livrată de la stația A fie prin transport rutier direct (prima rută), fie prin calea ferata pana la statia B, iar de acolo cu masinile (a doua cale). Tariful feroviar (prețul de transport de 1 tonă pe 1 km) este de m ruble, tariful de transport rutier este de n ruble, n > m, tariful de încărcare și descărcare este de k ruble. Definiți zona de influență gară B, adică zona către care este mai ieftin să livrezi mărfurile din stația A în mod mixt - pe calea ferată, iar apoi pe drum, adică. determinați locul punctelor pentru care a doua cale este mai profitabilă decât prima.

Soluţie. Se notează AM = r , BM = r , atunci costul livrării (transport și încărcare și descărcare) de-a lungul traseului AM este egal cu nr + k, iar costul livrării de-a lungul căii ABM este egal cu ms + 2k + nг . Atunci punctele M, pentru care ambele costuri sunt egale, satisfac ecuația nr + k = ms + 2k + ng , sau

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

prin urmare, linia care delimitează regiunea este una dintre ramurile hiperbolei | r - r | = const. Pentru toate punctele planului situate pe aceeași parte a punctului A din această hiperbolă, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele situate pe cealaltă parte, a doua, astfel încât ramura hiperbolei conturează aria de influență a statia B.

Varianta acestei sarcini.

Două gări A și B sunt situate la o distanță de 1 km una de cealaltă. Marfa poate fi livrată la punctul M de la stația A fie prin transport rutier direct, fie pe calea ferată până la stația B, iar de acolo cu mașini (Fig. 49). În același timp, tariful feroviar (prețul de transport de 1 tonă pe 1 km) este de m ruble, costurile de încărcare și descărcare k ruble (pe 1 tonă), iar tariful de transport rutier este de n ruble (n > m). Să definim așa-numita zonă de influență a gării B, adică zona către care este mai ieftin să livrezi mărfuri de la A într-un mod mixt: pe calea ferată și apoi pe drum.

Soluţie. Costul livrării a 1 tonă de marfă de-a lungul rutei AM este r n, unde r = AM, iar de-a lungul rutei ABM va fi egal cu 1m + k + r n. Trebuie să rezolvăm inegalitatea dublă r n 1m+ k+ r n și să stabilim cum sunt distribuite punctele din planul (x, y), cărora le este mai ieftin să livrăm mărfurile fie prin prima, fie prin a doua cale.

Să găsim ecuația dreptei care formează granița dintre aceste două zone, adică locul punctelor pentru care ambele căi sunt „la fel de avantajoase”:

r n = 1m+ k+ r n

Din această condiție obținem r - r = = const.

Prin urmare, linia de despărțire este o hiperbolă. Pentru toate punctele externe ale acestei hiperbole, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele interne, a doua. Prin urmare, hiperbola va contura zona de influență a stației B. A doua ramură a hiperbolei va contura zona de influență a stației A (marfa este livrată de la stația B). Să găsim parametrii hiperbolei noastre. Axa sa majoră este 2a = , iar distanța dintre focare (care sunt stațiile A și B) în acest caz este 2c = l.

Astfel, condiția posibilității acestei probleme, determinată de relația a< с, будет

Aceasta sarcina leagă abstractul concept geometric hiperbole cu o problemă de transport și economică.

Locul dorit al punctelor este setul de puncte aflate în interiorul ramurii drepte a hiperbolei care conține punctul B.

6. Stiu " Utilaje agricole» Caracteristicile importante de performanță ale unui tractor care funcționează pe o pantă, care arată stabilitatea acestuia, sunt unghiul de pas și unghiul de rulare.

Pentru simplitate, vom lua în considerare un tractor cu roți. Suprafața pe care lucrează tractorul (cel puțin o parte suficient de mică a acestuia) poate fi considerată un plan (plan de mișcare). Axa longitudinală a tractorului este proiecția dreptei care leagă punctele medii ale axelor față și spate pe planul de mișcare. Unghiul rolei transversale este unghiul format cu planul orizontal de o linie dreaptă perpendiculară pe axa longitudinală și situată în planul de mișcare.

Când studiem subiectul „Linii și plane în spațiu” în cursul matematicii, luăm în considerare următoarele sarcini:

a) Aflați unghiul de înclinare longitudinală a tractorului care se deplasează de-a lungul pantei, dacă se cunosc unghiul de pantă și unghiul de abatere a traiectoriei tractorului față de direcția longitudinală.

b) Unghiul limitator al ruliului transversal al tractorului este unghiul maxim admisibil de înclinare a pantei, peste care tractorul poate sta fără să se răstoarne. Ce parametri ai tractorului sunt suficienți să cunoașteți pentru a determina unghiul limitator de rulare; cum să găsesc asta
injecţie?

7. Prezența generatoarelor rectilinie este utilizată în utilajele de construcții. Fondatorul aplicării practice a acestui fapt este celebrul inginer rus Vladimir Grigorievici Șuhov (1853-1939). V. G. Shukhov a realizat construcția catargelor, turnurilor și suporturilor, formate din grinzi metalice, amplasate de-a lungul generatoarelor rectilinii hiperboloid cu o singură foaie de revoluție. Rezistența ridicată a unor astfel de structuri, combinată cu ușurința, costul redus de fabricație și eleganța, asigură utilizarea lor pe scară largă în construcțiile moderne.

8. LEGILE MIȘCĂRII UNUI CORPS LIBER RIGID

Pentru corp liber toate tipurile de mișcare sunt la fel de posibile, dar asta nu înseamnă că mișcarea unui corp liber este dezordonată, nesupusă niciunei legi; dimpotrivă, mișcarea de translație a unui corp rigid, indiferent de forma sa exterioară, este constrânsă de legea centrului de masă și se reduce la mișcarea unui singur punct, iar mișcarea de rotație de așa-numitele axe principale. de inerţie sau elipsoid de inerție. Deci, un băț aruncat în spațiul liber, sau cereale care zboară dintr-un sortator etc., se deplasează înainte ca un singur punct (centrul de masă) și în același timp se rotește în jurul centrului de masă. În general, când mișcare înainte orice corp rigid, indiferent de forma acestuia, sau o mașină complexă poate fi înlocuită cu un singur punct (centrul de masă), iar cu unul rotativ, cu un elipsoid de inerție , ai caror vectori de raza sunt egali cu --, unde / este momentul de inertie al acestui corp fata de axele care trec prin centrul elipsoidului.

Dacă momentul de inerție al corpului se modifică dintr-un motiv oarecare în timpul rotației, atunci viteza de rotație se va modifica în consecință. De exemplu, în timpul unui salt peste cap, acrobații se micșorează într-o minge, ceea ce face ca momentul de inerție al corpului să scadă și viteza de rotație să crească, ceea ce este necesar pentru succesul săriturii. La fel, la alunecare, oamenii își întind brațele în lateral, ceea ce crește momentul de inerție și scade viteza de rotație. În același mod, momentul de inerție al greblei secerătorului în jurul axei verticale este variabil pe măsură ce se rotește în jurul axei orizontale.

Paraboloidul hiperbolic aparține și suprafețelor de ordinul doi. Această suprafață nu poate fi obținută prin aplicarea unui algoritm care utilizează rotația unei linii în jurul unei axe fixe.

Un model special este folosit pentru a construi un paraboloid hiperbolic. Acest model include două parabole situate în două plane reciproc perpendiculare.

Lasă parabola I să se așeze într-un plan și să fie fixă. Parabola II comite mișcare complexă:

▫ poziţia sa iniţială coincide cu planul
, iar vârful parabolei coincide cu originea: =(0,0,0);

▫ atunci această parabolă se mișcă transfer paralel, și partea de sus
face o traiectorie care coincide cu parabola I;

▫ se consideră două poziții inițiale diferite ale parabolei II: una - ramurile parabolei în sus, a doua - ramurile în jos.

Să notăm ecuațiile: pentru prima parabolă I:
- neschimbat; pentru a doua parabolă II:
– poziția inițială, ecuația mișcării:
Este ușor de înțeles că ideea
are coordonatele:
. Deoarece este necesar să se afișeze legea mișcării unui punct
: acest punct aparține parabolei I, atunci trebuie îndeplinite întotdeauna următoarele relații: =
Și
.

Din caracteristicile geometrice ale modelului, este ușor de observat că parabola în mișcare mătură oarecare suprafață. În acest caz, ecuația suprafeței descrisă de parabola II are forma:

sau→
. (1)

Forma suprafeței rezultate depinde de distribuția semnelor parametrilor
. Sunt posibile două cazuri:

unu). Semne de cantități pȘi q coincid: parabolele I și II sunt situate pe aceeași parte a planului OXY. Să acceptăm: p = A 2 Și q = b 2 . Apoi obținem ecuația suprafeței cunoscute:

→ paraboloid eliptic . (2)

2). Semne de cantități pȘi q diferite: parabolele I și II sunt situate pe părți opuse ale planului OXY. Lasa p = A 2 Și q = - b 2 . Acum obținem ecuația de suprafață:

→paraboloid hiperbolic . (3)

Nu este greu de imaginat forma geometrică a suprafeței definită de ecuația (3) dacă ne amintim de modelul cinematic al interacțiunii a două parabole implicate în mișcare.

În figură, parabola I este prezentată în mod condiționat cu roșu.Este afișată doar vecinătatea suprafeței de la origine. Datorită faptului că forma suprafeței face aluzie expresiv la o șa de cavalerie, acest cartier este adesea numit - şa .

În fizică, atunci când se studiază stabilitatea proceselor, se introduc tipuri de echilibru: stabil - o gaură, convex în jos, instabil - o suprafață convexă în sus și una intermediară - o șa. Un echilibru de al treilea tip este denumit și echilibru instabil și doar pe linia roșie (parabola I) este posibil echilibrul.

§ 4. Suprafeţe cilindrice.

Când luăm în considerare suprafețele de revoluție, am definit cea mai simplă suprafață cilindrică - un cilindru de revoluție, adică un cilindru circular.

În geometria elementară, un cilindru este definit prin analogie cu definiție comună prisme. Este destul de complex:

▫ să avem un poligon plat în spațiu
- notat ca , iar poligonul coincide cu acesta
- notat ca
;

▫ se aplică poligonului
mișcare translație paralelă: puncte
se deplasează pe traiectorii paralele cu o direcție dată ;

▫ dacă nu mai mișcați poligonul
, apoi planul său
paralel cu planul ;

▫ suprafața unei prisme se numește: o mulțime de poligoane ,
– temeiuri prisme și paralelograme
,
,... – suprafata laterala prisme.

ÎN vom folosi definiția elementară a unei prisme pentru a construi o definiție mai generală a unei prisme și a suprafeței sale, și anume, vom distinge:

▫ prisma nelimitată este un corp poliedric delimitat de muchii ,,... și planuri între aceste muchii;

▫ o prismă limitată este un corp poliedric delimitat de muchii ,,... și paralelograme
,
,...; suprafața laterală a acestei prisme este un set de paralelograme
,
,...; bazele unei prisme - un set de poligoane ,
.

Să avem o prismă nemărginită: ,,... Să intersectăm această prismă cu un plan arbitrar . Să intersectăm aceeași prismă cu un alt plan
. În secțiune obținem un poligon
. În general, presupunem că avionul
nu paralel cu planul . Aceasta înseamnă că prisma nu a fost construită prin translația paralelă a poligonului .

Construcția propusă a unei prisme include nu numai prisme drepte și înclinate, ci și orice trunchi.

În geometria analitică, vom înțelege suprafețele cilindrice într-un mod atât de generalizat încât un cilindru nelimitat include o prismă nelimitată ca caz special: trebuie doar să presupunem că un poligon poate fi înlocuit cu o linie arbitrară, nu neapărat închisă - ghid cilindru. Direcţie numit generator cilindru.

Din tot ce s-a spus, rezultă că pentru a determina o suprafață cilindrică este necesar să se stabilească o linie de ghidare și direcția generatricei.

Suprafețele cilindrice se obțin pe baza curbelor plane de ordinul 2, servind ghiduri pentru generatoare .

În etapa inițială a studierii suprafețelor cilindrice, vom face ipoteze simplificatoare:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate;

▫ direcția generatricei coincide cu una dintre axele de coordonate, adică perpendicular pe planul în care este definit ghidajul.

Restricțiile acceptate nu duc la pierderea generalității, deoarece rămâne posibil datorită alegerii secțiunilor pe planuri Și
construiți forme geometrice arbitrare: cilindri drepti, înclinați, trunchiați.

Cilindru eliptic .

Lasă elipsa să fie luată ca ghid al cilindrului :
, situat în planul de coordonate

: cilindru eliptic.

cilindru hiperbolic .

:

, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru hiperbolic.

cilindru parabolic .

Fie ca hiperbola să fie luată ca ghid al cilindrului :
situat în planul de coordonate
, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru parabolic.

cometariu: ținând cont de regulile generale de construire a ecuațiilor suprafețelor cilindrice, precum și de exemplele particulare prezentate de cilindri eliptici, hiperbolici și parabolici, observăm: construcția unui cilindru pentru orice altă generatrică, pentru condițiile simplificatoare acceptate, nu ar trebui cauza orice dificultate!

Luați în considerare acum mai mult Termeni si Conditii Generale construirea ecuațiilor de suprafețe cilindrice:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice este situat într-un plan arbitrar al spațiului
;

▫ direcția generatricei în sistemul de coordonate acceptat în mod arbitrar.

Condițiile acceptate sunt prezentate în figură.

▫ ghidaj de suprafață cilindric situat într-un plan arbitrar spaţiu
;

▫ sistem de coordonate
obţinute din sistemul de coordonate
transfer paralel;

▫ poziţia ghidajului in avion cel mai de preferat: pentru o curbă de ordinul 2, vom presupune că originea coordonatelor coincide cu centru simetria curbei luate în considerare;

▫ direcția generatricei arbitrar (poate fi specificat în oricare dintre moduri: vector, direct etc.).

În cele ce urmează, vom presupune că sistemele de coordonate
Și
Meci. Aceasta înseamnă că primul pas al algoritmului general pentru construirea suprafețelor cilindrice, reflectând translația paralelă:
→
, efectuate anterior.

Să ne amintim cum se ia în considerare transferul paralel în cazul general, luând în considerare un exemplu simplu.

Exemplul 6–13 : În sistemul de coordonate
la fel de:
=0. Scrieți ecuația acestui ghid în sistem
.

Soluţie:

unu). Indicați un punct arbitrar
: în sistem
Cum
, și în sistem
Cum
.

2). Să scriem egalitatea vectorială:
=
+
. În formă de coordonate, aceasta poate fi scrisă ca:
=
+
. Sau sub forma:
=
–
, sau:
=.

3). Să scriem ecuația ghidajului cilindrului în sistemul de coordonate
:

Răspuns: ecuația transformată a ghidului: =0.

Deci, vom presupune că centrul curbei reprezentând ghidajul cilindrului este întotdeauna situat la originea sistemului de coordonate
in avion .

Orez. ÎN . Desen de bază la construirea unui cilindru.

Să mai facem o ipoteză care simplifică pașii finali de construire a unei suprafețe cilindrice. Deoarece se utilizează rotația sistemului de coordonate, este ușor să combinați direcția axei
sisteme de coordonate
cu avion normal , și direcțiile axelor
Și
cu axe de simetrie ale ghidajului , atunci vom presupune că ca poziție inițială a ghidajului avem o curbă situată în plan
, iar una dintre axele sale de simetrie coincide cu axa
, iar al doilea cu axa
.

cometariu: întrucât executarea operațiilor de translație și rotație paralelă în jurul axei fixe a operației este destul de simplă, ipotezele făcute nu îngustează aplicabilitatea algoritmului dezvoltat pentru construirea unei suprafețe cilindrice în cazul cel mai general!

Am văzut că la construirea unei suprafețe cilindrice în cazul în care ghidajul situat în avion
, iar generatoarea este paralelă cu axa
, este suficient să definim doar ghidul .

Deoarece o suprafață cilindrică poate fi determinată în mod unic prin specificarea oricărei linii obținute în secțiunea acestei suprafețe printr-un plan arbitrar, vom adopta următorul algoritm general pentru rezolvarea problemei:

1 ▫ . Fie direcția generatricei suprafata cilindrica este data de vector . Să creăm un ghid dat de ecuația:
=0, pe un plan perpendicular pe direcția generatricei , adică în avion
. Ca urmare, suprafața cilindrică va fi specificată în sistemul de coordonate
ecuaţie:
=0.

2 ▫
în jurul axei
in colt
: sensul unghiului
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în ecuația:
=0.

3 ▫ . Aplicați rotația sistemului de coordonate
în jurul axei
in colt
: sensul unghiului destul de clar din figură. Ca rezultat al rotației, sistemul de coordonate
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în
=0. Aceasta este ecuația unei suprafețe cilindrice, pentru care a fost dat un ghid și generatrix în sistemul de coordonate
.

Exemplul de mai jos ilustrează implementarea algoritmului scris și dificultățile de calcul ale unor astfel de probleme.

Exemplul 6–14 : În sistemul de coordonate
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului la fel de:
=9. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

R
soluţie:

unu). Să proiectăm ghidajul cilindrului pe un plan perpendicular pe . Se știe că o astfel de transformare transformă un cerc dat într-o elipsă, ale cărei axe sunt: =9 și mic =
.

Această figură ilustrează proiectarea unui cerc definit în plan
la planul de coordonate
.

2). Rezultatul proiectării unui cerc este o elipsă:
=1 sau
. În cazul nostru, acesta este:
, Unde
==.

3
). Deci, ecuația unei suprafețe cilindrice din sistemul de coordonate
primit. Deoarece, în funcție de starea problemei, trebuie să avem ecuația acestui cilindru în sistemul de coordonate
, apoi rămâne de aplicat o transformare de coordonate care translată sistemul de coordonate
la sistemul de coordonate
, împreună cu ecuația cilindrului:
într-o ecuație exprimată în termeni de variabile
.

4). Să folosim de bază figura și notează toate valorile trigonometrice necesare pentru rezolvarea problemei:

==,
==,
==.

cinci). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem
la sistem
:
(ÎN)

6). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem
la sistem
:
(DIN)

7). Înlocuirea variabilelor
de la sistemul (B) la sistemul (C), și ținând cont și de valorile funcțiilor trigonometrice utilizate, scriem:

=
=
.

=
=
.

8). Rămâne să înlocuim valorile găsite Și în ecuația ghidajului cilindrului :
în sistemul de coordonate
. După finalizare cu grija toate transformările algebrice, obținem ecuația suprafeței conice în sistemul de coordonate
: =0.

Răspuns: ecuația conului: =0.

Exemplul 6–15 : În sistemul de coordonate
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului la fel de:
=9, =1. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

Soluţie:

unu). Este ușor de observat că acest exemplu diferă de precedentul doar prin faptul că ghidajul a fost mutat în paralel cu 1 în sus.

2). Aceasta înseamnă că în relațiile (B) ar trebui să se ia: =-unu. Ținând cont de expresiile sistemului (C), corectăm intrarea pentru variabilă :

=
.

3). Modificarea este ușor de luat în considerare prin corectarea înregistrării finale a ecuației pentru cilindru din exemplul anterior:

Răspuns: ecuația conului: =0.

cometariu: este ușor de observat că principala dificultate în transformările multiple ale sistemelor de coordonate în problemele cu suprafețe cilindrice este precizie Și rezistenta la maratoane algebrice: traiasca sistemul de invatamant adoptat in tara noastra suferinta!