Există două tipuri de paraboloizi: eliptici și hiperbolici.
Paraboloid eliptic se numește o suprafață, care într-un sistem de coordonate dreptunghiulare carteziene este determinată de ecuație
Un paraboloid eliptic are forma unui bol convex infinit. Are două planuri de simetrie reciproc perpendiculare. Punctul cu care este aliniată originea se numește vârful paraboloidului eliptic; numerele p și q se numesc parametrii săi.
Un paraboloid hiperbolic este o suprafață definită de ecuație
Paraboloid hiperbolic are forma unei şa. Are două planuri de simetrie reciproc perpendiculare. Punctul cu care este aliniată originea se numește vârful paraboloidului hiperbolic; numere RȘi q se numesc parametrii săi.
Exercițiul 8.4. Luați în considerare construcția unui paraboloid hiperbolic de formă
Să fie necesar să se construiască o parte a paraboloidului situată în intervalele: XО[–3; 3], laО[–2; 2] cu pasul D=0,5 pentru ambele variabile.
Performanţă. Mai întâi trebuie să rezolvați ecuația în raport cu variabila z.În exemplu
Să introducem valorile variabilei Xîntr-o coloană DAR. Pentru a face acest lucru, în celulă A1 introduceți un caracter X. La celulă A2 se introduce prima valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului (–3). La celulă A3- a doua valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului plus pasul de construcție (–2,5). Apoi, selectând un bloc de celule A2:AZ, prin autocompletare obținem toate valorile argumentului (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celulă A14).
Valori variabile la pus la coada 1 . Pentru a face acest lucru, în celulă ÎN 1 se introduce prima valoare a variabilei - marginea stângă a intervalului (–2). La celulă C1- a doua valoare a variabilei - marginea din stânga a intervalului plus pasul de construcție (– 1,5). Apoi, selectând un bloc de celule B1:C1, prin autocompletare obținem toate valorile argumentului (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celulă J1).
Apoi, introduceți valorile variabilei z. Pentru a face acest lucru, cursorul tabelului trebuie plasat într-o celulă ÎN 2și introduceți formula - = $A2^2/18 -B $1^2/8, apoi apăsați tasta introduce. Într-o celulă ÎN 2 apare 0. Acum trebuie să copiați funcția din celulă ÎN 2. Pentru a face acest lucru, completați automat (glisați spre dreapta) copiați mai întâi această formulă în interval B2:J2, după care (prin tragerea în jos) - la interval Q2:J14.
Ca urmare, în gamă Q2:J14 apare tabelul de puncte al paraboloidului hiperbolic.
Pentru a construi o diagramă pe bara de instrumente Standard butonul trebuie apăsat Chart Wizard. În caseta de dialog care apare Chart Wizard (Pasul 1 din 4): Tip de diagramă specificați tipul diagramei - Suprafaţăși vizualizați - Suprafață de sârmă (transparentă).(diagrama din dreapta sus în fereastra din dreapta). Apoi apăsăm butonul Mai departeîn caseta de dialog.
În caseta de dialog care apare Chart Wizard (Pasul 2 din 4): Sursa de date diagrame, trebuie să selectați fila Gamă date şi în teren Gamă specificați intervalul de date cu mouse-ul Q2:J14.
În continuare, trebuie să specificați în rândurile sau coloanele seriele de date. Aceasta va determina orientarea axelor XȘi y.În exemplu, comutatorul Rânduri în cu ajutorul cursorului mouse-ului setat pe pozitia coloanelor.
Selectați fila Rând și în câmp Etichete pe axa X specificați gama de semnături. Pentru a face acest lucru, activați acest câmp făcând clic în el cu cursorul mouse-ului și introduceți intervalul de etichete ale axei X -A2:A14.
Introduceți valorile etichetelor axelor y. Pentru a face acest lucru, în câmpul de lucru Rând selectați prima intrare Rândul 1 iar prin activarea câmpului de lucru Nume cursorul mouse-ului, introduceți prima valoare a variabilei y: -2. Apoi pe câmp Rând selectați a doua intrare Rândul 2 si in domeniul muncii Nume introduceți a doua valoare a variabilei y: -1,5. Repetăm în acest fel până la ultima intrare - Rândul 9.
După ce apar intrările necesare, faceți clic pe butonul. Mai departe.
În a treia fereastră, trebuie să introduceți titlul diagramei și numele axelor. Pentru a face acest lucru, selectați fila Titluri făcând clic pe el cu cursorul mouse-ului. Apoi în câmpul de lucru Titlul diagramei introduceți numele de la tastatură: Paraboloid hiperbolic. Apoi, în același mod, intră în câmpurile de lucru Axa X (categorii),Axa Y (serie de date)Și Axa Z (valori) titluri relevante: X yȘi z.
Paraboloidul hiperbolic aparține și suprafețelor de ordinul doi. Această suprafață nu poate fi obținută prin aplicarea unui algoritm care utilizează rotația unei linii în jurul unei axe fixe.
Un model special este folosit pentru a construi un paraboloid hiperbolic. Acest model include două parabole situate în două plane reciproc perpendiculare.
Lasă parabola I să se așeze într-un plan și să fie fixă. Parabola II comite mișcare complexă:
▫ poziţia sa iniţială coincide cu planul 
, iar vârful parabolei coincide cu originea: 
=(0,0,0);
▫ atunci această parabolă se mișcă transfer paralel, și partea de sus 
face o traiectorie care coincide cu parabola I;
▫ se consideră două poziții inițiale diferite ale parabolei II: una - ramurile parabolei în sus, a doua - ramurile în jos.
Să notăm ecuațiile: pentru prima parabolă I: 
- neschimbat; pentru a doua parabola II: 
– poziția inițială, ecuația mișcării: 
Este ușor de înțeles că ideea 
are coordonatele: 
. Deoarece este necesar să se afișeze legea mișcării unui punct 
: acest punct aparține parabolei I, atunci trebuie îndeplinite întotdeauna următoarele relații: 
=
Și 
.
Din caracteristicile geometrice ale modelului, este ușor de observat că parabola în mișcare mătură oarecare suprafață. În acest caz, ecuația suprafeței descrisă de parabola II are forma:
sau → 
. (1)
Forma suprafeței rezultate depinde de distribuția semnelor parametrilor 
. Sunt posibile două cazuri:
unu). Semne de cantități pȘi q coincid: parabolele I și II sunt situate pe aceeași parte a planului OXY. Să acceptăm: p = A 2 Și q = b 2 . Apoi obținem ecuația suprafeței cunoscute:
→
paraboloid eliptic
. (2)
2). Semne de cantități pȘi q diferite: parabolele I și II sunt situate pe părți opuse ale planului OXY. Lasa p = A 2 Și q = - b 2 . Acum obținem ecuația de suprafață:
→paraboloid hiperbolic
. (3)
Nu este greu de imaginat forma geometrică a suprafeței definită de ecuația (3) dacă ne amintim de modelul cinematic al interacțiunii a două parabole implicate în mișcare.
În figură, parabola I este prezentată în mod condiționat cu roșu.Este afișată doar vecinătatea suprafeței de la origine. Datorită faptului că forma suprafeței face aluzie expresiv la o șa de cavalerie, acest cartier este adesea numit - şa .
În fizică, atunci când se studiază stabilitatea proceselor, se introduc tipuri de echilibru: stabil - o gaură, convex în jos, instabil - o suprafață convexă în sus și una intermediară - o șa. Un echilibru de al treilea tip este denumit și echilibru instabil și doar pe linia roșie (parabola I) este posibil echilibrul.
§ 4. Suprafeţe cilindrice.
Când luăm în considerare suprafețele de revoluție, am definit cea mai simplă suprafață cilindrică - un cilindru de revoluție, adică un cilindru circular.
În geometria elementară, un cilindru este definit prin analogie cu definiție comună prisme. Este destul de complex:
▫ să avem un poligon plat în spațiu 
- notat ca 
, iar poligonul coincide cu acesta 
- notat ca 
;
▫ se aplică poligonului 
mișcare translație paralelă: puncte 
se deplasează pe traiectorii paralele cu o direcție dată 
;
▫ dacă nu mai mișcați poligonul 
, apoi planul său 
paralel cu planul 
;
▫ suprafața unei prisme se numește: o mulțime de poligoane 
,
– temeiuri
prisme și paralelograme 
,
,...
– suprafata laterala
prisme.
ÎN 
vom folosi definiția elementară a unei prisme pentru a construi o definiție mai generală a unei prisme și a suprafeței sale, și anume, vom distinge:
▫ prisma nelimitată este un corp poliedric delimitat de muchii 
,
,... și planuri între aceste muchii;
▫ o prismă limitată este un corp poliedric delimitat de muchii 
,
,... și paralelograme 
,
,...; suprafața laterală a acestei prisme este un set de paralelograme 
,
,...; bazele unei prisme - un set de poligoane 
,
.
Să avem o prismă nemărginită: 
,
,... Să intersectăm această prismă cu un plan arbitrar 
. Să intersectăm aceeași prismă cu un alt plan 
. În secțiune obținem un poligon 
. În general, presupunem că avionul 
nu paralel cu planul 
. Aceasta înseamnă că prisma nu a fost construită prin translația paralelă a poligonului 
.
Construcția propusă a unei prisme include nu numai prisme drepte și înclinate, ci și orice trunchi.
În geometria analitică, vom înțelege suprafețele cilindrice într-un mod atât de generalizat încât un cilindru nelimitat include o prismă nelimitată ca caz special: trebuie doar să presupunem că un poligon poate fi înlocuit cu o linie arbitrară, nu neapărat închisă - ghid
cilindru. Direcţie 
numit generator
cilindru.
Din tot ce s-a spus, rezultă că pentru a determina o suprafață cilindrică este necesar să se stabilească o linie de ghidare și direcția generatricei.
Suprafețele cilindrice se obțin pe baza curbelor plane de ordinul 2, servind ghiduri pentru generatoare .
În etapa inițială a studierii suprafețelor cilindrice, vom face ipoteze simplificatoare:
▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate;
▫ direcția generatricei 
coincide cu una dintre axele de coordonate, adică perpendicular pe planul în care este definit ghidajul.
Restricțiile acceptate nu duc la pierderea generalității, deoarece rămâne posibil datorită alegerii secțiunilor pe planuri 
Și 
construiți forme geometrice arbitrare: cilindri drepti, înclinați, trunchiați.
Cilindru eliptic .
Lasă elipsa să fie luată ca ghid al cilindrului 
:
, situat în planul de coordonate 
: cilindru eliptic.
cilindru hiperbolic .
:
, iar direcția generatricei determină axa 
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși 
: cilindru hiperbolic.
cilindru parabolic .
Fie ca hiperbola să fie luată ca ghid al cilindrului 
:
situat în planul de coordonate 
, iar direcția generatricei determină axa 
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși 
: cilindru parabolic.
cometariu: ținând cont de regulile generale de construire a ecuațiilor suprafețelor cilindrice, precum și de exemplele particulare prezentate de cilindri eliptici, hiperbolici și parabolici, observăm: construcția unui cilindru pentru orice altă generatrică, pentru condițiile simplificatoare acceptate, nu ar trebui cauza orice dificultate!
Luați în considerare acum mai mult Termeni si Conditii Generale construirea ecuațiilor de suprafețe cilindrice:
▫ ghidajul suprafeței cilindrice este situat într-un plan arbitrar al spațiului 
;
▫ direcția generatricei 
în sistemul de coordonate acceptat în mod arbitrar.
Condițiile acceptate sunt prezentate în figură.
▫ ghidaj de suprafață cilindric 
situat într-un plan arbitrar 
spaţiu 
;
▫ sistem de coordonate 
obtinut din sistemul de coordonate 
transfer paralel;
▫ poziţia ghidajului 
in avion 
cel mai de preferat: pentru o curbă de ordinul 2, vom presupune că originea coordonatelor 
coincide cu centru
simetria curbei luate în considerare;
▫ direcția generatricei 
arbitrar (poate fi specificat în oricare dintre moduri: vector, direct etc.).
În cele ce urmează, vom presupune că sistemele de coordonate 
Și 
Meci. Aceasta înseamnă că primul pas al algoritmului general pentru construirea suprafețelor cilindrice, reflectând translația paralelă: 
→
, efectuate anterior.
Să ne amintim cum se ia în considerare transferul paralel în cazul general, luând în considerare un exemplu simplu.
Exemplul 6–13
: În sistemul de coordonate 
la fel de: 
=0. Scrieți ecuația acestui ghid în sistem 
.
Soluţie:
unu). Indicați un punct arbitrar 
: în sistem 
Cum 
, și în sistem 
Cum 
.
2). Să scriem egalitatea vectorială: 
=
+
. În formă de coordonate, aceasta poate fi scrisă ca: 
=
+
. Sau sub forma: 
=
–
, sau: 
=.
3). Să scriem ecuația ghidajului cilindrului 
în sistemul de coordonate 
:
Răspuns: ecuația transformată a ghidului: =0.
Deci, vom presupune că centrul curbei reprezentând ghidajul cilindrului este întotdeauna situat la originea sistemului de coordonate 
in avion 
.
Orez. ÎN . Desen de bază la construirea unui cilindru.
Să mai facem o ipoteză care simplifică pașii finali de construire a unei suprafețe cilindrice. Deoarece se utilizează rotația sistemului de coordonate, este ușor să combinați direcția axei 
sisteme de coordonate 
cu avion normal 
, și direcțiile axelor 
Și 
cu axe de simetrie ale ghidajului 
, atunci vom presupune că ca poziție inițială a ghidajului 
avem o curbă situată în plan 
, iar una dintre axele sale de simetrie coincide cu axa 
, iar al doilea cu axa 
.
cometariu: întrucât executarea operațiilor de translație și rotație paralelă în jurul axei fixe a operației este destul de simplă, ipotezele făcute nu îngustează aplicabilitatea algoritmului dezvoltat pentru construirea unei suprafețe cilindrice în cazul cel mai general!
Am văzut că la construirea unei suprafețe cilindrice în cazul în care ghidajul 
situat în avion 
, iar generatoarea este paralelă cu axa 
, este suficient să definim doar ghidul 
.
Deoarece o suprafață cilindrică poate fi determinată în mod unic prin specificarea oricărei linii obținute în secțiunea acestei suprafețe printr-un plan arbitrar, vom adopta următorul algoritm general pentru rezolvarea problemei:
1
▫
. Fie direcția generatricei 
suprafata cilindrica este data de vector 
. Să creăm un ghid 
dat de ecuația: 
=0, pe un plan perpendicular pe direcția generatricei 
, adică în avion 
. Ca urmare, suprafața cilindrică va fi specificată în sistemul de coordonate 
ecuaţie: 
=0.
2
▫
în jurul axei 
in colt 
: sensul unghiului 
compatibil cu sistemul 
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în ecuația: 
=0.
3
▫
. Aplicați rotația sistemului de coordonate 
în jurul axei 
in colt 
: sensul unghiului 
destul de clar din figură. Ca rezultat al rotației, sistemul de coordonate 
compatibil cu sistemul 
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în 
=0. Aceasta este ecuația unei suprafețe cilindrice, pentru care a fost dat un ghid 
și generatrix 
în sistemul de coordonate 
.
Exemplul de mai jos ilustrează implementarea algoritmului scris și dificultățile de calcul ale unor astfel de probleme.
Exemplul 6–14
: În sistemul de coordonate 
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului 
la fel de: 
=9. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul 
=(2,–3,4).
R 
soluţie:
unu). Să proiectăm ghidajul cilindrului pe un plan perpendicular pe 
. Se știe că o astfel de transformare transformă un cerc dat într-o elipsă, ale cărei axe sunt: 
=9 și mic 
=
.
Această figură ilustrează proiectarea unui cerc definit în plan 
la planul de coordonate 
.
2). Rezultatul proiectării unui cerc este o elipsă: 
=1 sau 
. În cazul nostru, acesta este: 
, Unde 
=
=
.
3
). Deci, ecuația unei suprafețe cilindrice din sistemul de coordonate 
primit. Deoarece, în funcție de starea problemei, trebuie să avem ecuația acestui cilindru în sistemul de coordonate 
, apoi rămâne de aplicat o transformare de coordonate care translată sistemul de coordonate 
la sistemul de coordonate 
, împreună cu ecuația cilindrului: 
într-o ecuație exprimată în termeni de variabile 
.
4). Să folosim de bază figura și notează toate valorile trigonometrice necesare pentru rezolvarea problemei:
=
=
,
=
=
,
=
=
.
cinci). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem 
la sistem 
:
(ÎN)
6). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem 
la sistem 
:
(DIN)
7). Înlocuirea variabilelor 
de la sistemul (B) la sistemul (C), și ținând cont și de valorile funcțiilor trigonometrice utilizate, scriem:
=
=
.
=
=
.
8). Rămâne să înlocuim valorile găsite 
Și 
în ecuația ghidajului cilindrului 
:
în sistemul de coordonate 
. După finalizare cu grija
toate transformările algebrice, obținem ecuația suprafeței conice în sistemul de coordonate 
:
=0.
Răspuns: ecuația conului: =0.
Exemplul 6–15
: În sistemul de coordonate 
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului 
la fel de: 
=9,
=1. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul 
=(2,–3,4).
Soluţie:
unu). Este ușor de observat că acest exemplu diferă de precedentul doar prin faptul că ghidajul a fost mutat în paralel cu 1 în sus.
2). Aceasta înseamnă că în relațiile (B) ar trebui să se ia: 
=
-unu. Ținând cont de expresiile sistemului (C), corectăm intrarea pentru variabilă 
:
=
.
3). Modificarea este ușor de luat în considerare prin corectarea înregistrării finale a ecuației pentru cilindru din exemplul anterior:
Răspuns: ecuația conului: =0.
cometariu: este ușor de observat că principala dificultate în transformările multiple ale sistemelor de coordonate în problemele cu suprafețe cilindrice este precizie Și rezistenta la maratoane algebrice: traiasca sistemul de invatamant adoptat in tara noastra suferinta!
Proprietatea dovedită a tangentei la o parabolă este foarte importantă, deoarece rezultă din aceasta că razele care emană din focarul unei oglinzi parabolice concave, adică o astfel de oglindă, a cărei suprafață este obținută din rotația parabolei în jurul axa acesteia, sunt reflectate de un fascicul paralel, respectiv axa paralelă a oglinzii (Fig.).
Această proprietate a oglinzilor parabolice este utilizată în construcția proiectoarelor, în farurile oricărei mașini, precum și în telescoapele oglinzilor. Mai mult, în acest din urmă caz, dimpotrivă, razele care vin din corpul ceresc; aproape paralele, ele sunt concentrate în apropierea focarului oglinzii telescopului și, deoarece razele care vin din diferite puncte ale luminii sunt mult ne-paralele, ele sunt concentrate în apropierea focarului în puncte diferite, astfel încât se obține imaginea luminii. aproape de focalizare, cu cât este mai mare, cu atât distanța focală a parabolei este mai mare. Această imagine este deja văzută printr-un microscop (ocularul telescopului). Strict vorbind, doar razele care sunt strict paralele cu axa oglinzii sunt colectate într-un punct (în focalizare), în timp ce razele paralele, mergând într-un unghi cu axa oglinzii, sunt colectate doar în aproape un punct, iar mai departe acest punct este de focalizare, imaginea este mai neclară. Această împrejurare limitează „câmpul de vedere al telescopului”.
Fie ca suprafața sa interioară - o suprafață oglindă - să fie o oglindă parabolică iluminată de un fascicul de raze de lumină paralele cu axa OS. Toate fasciculele paralele cu axa y, după reflectare, se vor intersecta într-un punct al axei y (focalizarea F). Proiectarea telescoapelor parabolice se bazează pe această proprietate. Razele de la stele îndepărtate vin la noi sub forma unui fascicul paralel. Făcând un telescop parabolic și plasând o placă fotografică în focar, avem ocazia de a amplifica semnalul luminos care vine de la stea.
Același principiu stă la baza creării unei antene parabolice, care face posibilă amplificarea semnalelor radio. Dacă, totuși, o sursă de lumină este plasată în focarul unei oglinzi parabolice, atunci după reflectarea de pe suprafața oglinzii, razele care provin din această sursă nu vor fi împrăștiate, ci vor fi colectate într-un fascicul îngust paralel cu axa. a oglinzii. Acest fapt este utilizat la fabricarea de proiectoare și felinare, diferite proiectoare, ale căror oglinzi sunt realizate sub formă de paraboloizi.
Proprietatea optică a unei oglinzi parabolice menționată mai sus este utilizată la crearea telescoapelor cu oglindă, a diferitelor instalații de încălzire solară și a proiectoarelor. Prin plasarea unei surse punctiforme puternice de lumină în focarul unei oglinzi parabolice, obținem un flux dens de raze reflectate paralel cu axa oglinzii.
Când o parabolă se rotește în jurul axei sale, se obține o figură, care se numește paraboloid. Dacă suprafața interioară a paraboloidului este făcută oglindă și un fascicul de raze este îndreptat spre ea, axa paralela simetria parabolei, atunci razele reflectate se vor aduna într-un punct, care se numește focar. În același timp, dacă sursa de lumină este plasată la un focar, atunci razele reflectate de suprafața oglinzii paraboloidului vor fi paralele și nu se vor împrăștia.
Prima proprietate face posibilă obținerea unei temperaturi ridicate la focarul paraboloidului. Potrivit legendei, această proprietate a fost folosită de savantul grec antic Arhimede (287-212 î.Hr.). În timpul apărării Siracizei în războiul împotriva romanilor, el a construit un sistem de oglinzi parabolice, care a făcut posibilă focalizarea razelor solare reflectate asupra navelor romane. Ca urmare, temperatura la focarele oglinzilor parabolice s-a dovedit a fi atât de ridicată încât a izbucnit un incendiu pe nave și acestea au ars.
A doua proprietate este folosită, de exemplu, la fabricarea proiectoarelor și a farurilor auto.
Hiperbolă
4. Definiția unei hiperbole ne oferă o modalitate simplă de a o construi în mișcare continuă: luați două fire a căror diferență de lungime este de 2a și atașați un capăt al acestor fire de punctele F" și F. Dacă țineți celelalte două capete împreună cu mâna și conduceți de-a lungul firelor cu vârful unui creion, având grijă ca firele să fie apăsate de hârtie, întinse și atingându-se, începând de la punctul de desen până la îmbinarea capetelor, punctul va trage o parte dintr-unul din ramurile hiperbolei (cu cât sunt mai mari, cu atât firele sunt mai lungi) (Fig.).
Prin inversarea rolurilor punctelor F" și F, obținem o parte dintr-o altă ramură.
De exemplu, la subiectul „Curbe de ordinul 2” puteți lua în considerare următoarea problemă:
O sarcină. Două gări A și B se află la o distanță de s km una de cealaltă. În orice punct M, marfa poate fi livrată de la stația A fie prin transport rutier direct (prima rută), fie prin calea ferata pana la statia B, iar de acolo cu masinile (a doua cale). Tariful feroviar (prețul de transport de 1 tonă pe 1 km) este de m ruble, tariful de transport rutier este de n ruble, n > m, tariful de încărcare și descărcare este de k ruble. Definiți zona de influență gară B, adică zona către care este mai ieftin să livrezi mărfurile din stația A în mod mixt - pe calea ferată, iar apoi pe drum, adică. determinați locul punctelor pentru care a doua cale este mai profitabilă decât prima.
Soluţie. Se notează AM = r , BM = r , atunci costul livrării (transport și încărcare și descărcare) de-a lungul traseului AM este egal cu nr + k, iar costul livrării de-a lungul căii ABM este egal cu ms + 2k + nг . Atunci punctele M, pentru care ambele costuri sunt egale, satisfac ecuația nr + k = ms + 2k + ng , sau
ms + k = nr - ng
r - g \u003d \u003d const\u003e O,
prin urmare, linia care delimitează regiunea este una dintre ramurile hiperbolei | r - r | = const. Pentru toate punctele planului situate pe aceeași parte a punctului A din această hiperbolă, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele situate pe cealaltă parte, a doua, astfel încât ramura hiperbolei conturează aria de influență a statia B.
Varianta acestei sarcini.
Două gări A și B sunt situate la o distanță de 1 km una de cealaltă. Marfa poate fi livrată la punctul M de la stația A fie prin transport rutier direct, fie pe calea ferată până la stația B, iar de acolo cu mașini (Fig. 49). În același timp, tariful feroviar (prețul de transport de 1 tonă pe 1 km) este de m ruble, costurile de încărcare și descărcare k ruble (pe 1 tonă), iar tariful de transport rutier este de n ruble (n > m). Să definim așa-numita zonă de influență a gării B, adică zona către care este mai ieftin să livrezi mărfuri de la A într-un mod mixt: pe calea ferată și apoi pe drum.
Soluţie. Costul livrării a 1 tonă de marfă de-a lungul rutei AM este r n, unde r = AM, iar de-a lungul rutei ABM va fi egal cu 1m + k + r n. Trebuie să rezolvăm inegalitatea dublă r n 1m+ k+ r n și să stabilim cum sunt distribuite punctele din planul (x, y), cărora le este mai ieftin să livrăm mărfurile fie prin prima, fie prin a doua cale.
Să găsim ecuația dreptei care formează granița dintre aceste două zone, adică locul punctelor pentru care ambele căi sunt „la fel de avantajoase”:
r n = 1m+ k+ r n
Din această condiție obținem r - r = = const.
Prin urmare, linia de despărțire este o hiperbolă. Pentru toate punctele externe ale acestei hiperbole, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele interne, a doua. Prin urmare, hiperbola va contura zona de influență a stației B. A doua ramură a hiperbolei va contura zona de influență a stației A (marfa este livrată de la stația B). Să găsim parametrii hiperbolei noastre. Axa sa majoră este 2a = , iar distanța dintre focare (care sunt stațiile A și B) în acest caz este 2c = l.
Astfel, condiția posibilității acestei probleme, determinată de relația a< с, будет
Aceasta sarcina leagă abstractul concept geometric hiperbole cu o problemă de transport și economică.
Locul dorit al punctelor este setul de puncte aflate în interiorul ramurii drepte a hiperbolei care conține punctul B.
6. Stiu " Utilaje agricole» Caracteristicile importante de performanță ale unui tractor care funcționează pe o pantă, care arată stabilitatea acestuia, sunt unghiul de pas și unghiul de rulare.
Pentru simplitate, vom lua în considerare un tractor cu roți. Suprafața pe care lucrează tractorul (cel puțin o parte suficient de mică a acestuia) poate fi considerată un plan (plan de mișcare). Axa longitudinală a tractorului este proiecția dreptei care leagă punctele medii ale axelor față și spate pe planul de mișcare. Unghiul rolei transversale este unghiul format cu planul orizontal al unei drepte perpendicular pe axa longitudinală și situată în planul de mișcare.
Când studiem subiectul „Linii și plane în spațiu” în cursul matematicii, luăm în considerare următoarele sarcini:
a) Aflați unghiul de înclinare longitudinală a tractorului care se deplasează de-a lungul pantei, dacă se cunosc unghiul de pantă și unghiul de abatere a traiectoriei tractorului față de direcția longitudinală.
b) Unghiul limitator al ruliului transversal al tractorului este unghiul maxim admisibil de înclinare a pantei, peste care tractorul poate sta fără să se răstoarne. Ce parametri ai tractorului este suficient să cunoașteți pentru a determina unghiul limitator al rolei transversale; cum să găsesc asta
injecţie?
7. Prezența generatoarelor rectilinie este utilizată în utilajele de construcții. Fondatorul aplicării practice a acestui fapt este celebrul inginer rus Vladimir Grigorievici Șuhov (1853-1939). V. G. Shukhov a realizat construcția catargelor, turnurilor și suporturilor, formate din grinzi metalice, amplasate de-a lungul generatoarelor rectilinii hiperboloid cu o singură foaie de revoluție. Rezistența ridicată a unor astfel de structuri, combinată cu ușurința, costul redus de fabricație și eleganța, asigură utilizarea lor pe scară largă în construcțiile moderne.
8. LEGILE MIȘCĂRII UNUI CORPS LIBER RIGID
Pentru corp liber toate tipurile de mișcare sunt la fel de posibile, dar asta nu înseamnă că mișcarea unui corp liber este dezordonată, nesupusă niciunei legi; dimpotrivă, mișcarea de translație a unui corp rigid, indiferent de forma sa exterioară, este constrânsă de legea centrului de masă și se reduce la mișcarea unui singur punct, iar mișcarea de rotație de așa-numitele axe principale. de inerţie sau elipsoid de inerție. Deci, un băț aruncat în spațiul liber, sau cereale care zboară dintr-un sortator etc., se deplasează înainte ca un singur punct (centrul de masă) și în același timp se rotește în jurul centrului de masă. În general, când mișcare înainte orice corp rigid, indiferent de forma acestuia, sau o mașină complexă poate fi înlocuită cu un singur punct (centrul de masă), iar cu unul rotativ, cu un elipsoid de inerție , ai caror vectori de raza sunt egali cu --, unde / este momentul de inertie al acestui corp fata de axele care trec prin centrul elipsoidului.
Dacă momentul de inerție al corpului se modifică dintr-un motiv oarecare în timpul rotației, atunci viteza de rotație se va modifica în consecință. De exemplu, în timpul unui salt peste cap, acrobații se micșorează într-o minge, ceea ce face ca momentul de inerție al corpului să scadă și viteza de rotație să crească, ceea ce este necesar pentru succesul săriturii. La fel, la alunecare, oamenii își întind brațele în lateral, ceea ce crește momentul de inerție și scade viteza de rotație. În același mod, momentul de inerție al greblei secerătorului în jurul axei verticale este variabil pe măsură ce se rotește în jurul axei orizontale.
Elipsoid- suprafata in spatiu tridimensional, obținut prin deformarea sferei de-a lungul a trei axe reciproc perpendiculare. Ecuația canonică a unui elipsoid în coordonate carteziene, coincid cu axele de deformare ale elipsoidului: .
Mărimile a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Un elipsoid se mai numește și corp, limitat de suprafata elipsoid. Un elipsoid este una dintre formele posibile ale suprafețelor de ordinul doi.
În cazul în care o pereche de semiaxe are aceeași lungime, elipsoidul poate fi obținut prin rotirea elipsei în jurul uneia dintre axele sale. Un astfel de elipsoid se numește elipsoid de revoluție sau sferoid.
Un elipsoid, mai precis decât o sferă, reflectă suprafața idealizată a Pământului.
Volumul elipsoid:.
Aria suprafeței unui elipsoid de revoluție:
Hiperboloid- acesta este un tip de suprafață de ordinul doi în spațiu tridimensional, dat în coordonate carteziene de ecuația - (hiperboloid cu o singură foaie), unde a și b sunt semiaxele reale, iar c este semiaxa imaginară; sau - (hiperboloid cu două foi), unde a și b sunt semiaxele imaginare și c este semiaxa reală.
Dacă a = b, atunci o astfel de suprafață se numește hiperboloid de revoluție. Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie poate fi obținut prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare, una cu două foi - în jurul celei reale. Hiperboloidul de revoluție cu două foi este, de asemenea, locul punctelor P, modulul diferenței de distanțe de la care la doi. puncte date A și B sunt constante: | AP−BP | = const. În acest caz, A și B sunt numite focare ale hiperboloidului.
Un hiperboloid cu o singură foaie este o suprafață dublu riglată; dacă este un hiperboloid de revoluție, atunci poate fi obținut prin rotirea unei linii în jurul unei alte linii care o intersectează.
Paraboloid este tipul de suprafață de ordinul doi. Un paraboloid poate fi caracterizat ca o suprafață deschisă, non-centrală (adică, una fără centru de simetrie) de ordinul doi.
Ecuații canonice paraboloid în coordonate carteziene:
· dacă a și b au același semn, atunci paraboloidul se numește eliptic.
dacă a și b semn diferit, atunci paraboloidul se numește hiperbolic.
Dacă unul dintre coeficienți este egal cu zero, atunci paraboloidul se numește cilindru parabolic.
ü este un paraboloid eliptic, unde a și b au același semn. Suprafața este descrisă de o familie de parabole paralele cu ramuri îndreptate în sus, ale căror vârfuri descriu o parabolă, cu ramuri îndreptate tot în sus. Dacă a = b atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotirea unei parabole în jurul unei axe verticale care trece prin vârful parabolei date.
ü este un paraboloid hiperbolic.