Formulele de interpolare ale lui Newton. Formule de interpolare a lui Newton Exemple de interpolare a metodei lui Newton

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

Moscova Universitate de stat Instrumentatie si Informatica Filiala Sergiev Posad

Rezumat pe subiect:

Formulele de interpolare ale lui Newton

Completat de: Brevchik Taisiya Yurievna

Student anul 2 grupa EF-2

1. Introducere

2. Prima formulă de interpolare a lui Newton

3. A doua formulă de interpolare a lui Newton

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Interpolare, interpolare - în matematica computațională, o modalitate de a găsi valori intermediare ale unei mărimi dintr-un set discret existent de valori cunoscute.

Mulți dintre cei care se ocupă de calcule științifice și de inginerie trebuie adesea să lucreze cu seturi de valori obținute empiric sau prin eșantionare aleatorie. De regulă, pe baza acestor seturi, este necesar să se construiască o funcție pe care alte valori obținute să poată cădea cu mare precizie. O astfel de sarcină se numește aproximare. Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

Există și o problemă apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unora functie complexa o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, puteți încerca să calculați valoarea ei în mai multe puncte și să construiți, adică să interpolați, o funcție mai simplă din acestea.

Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu vă permite să obțineți aceleași rezultate exacte pe care le-ar da funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul în simplitate și viteza calculelor poate depăși eroarea rezultată în rezultate.

De asemenea, ar trebui să menționăm un tip complet diferit de interpolare matematică, cunoscută sub numele de „interpolare operator”.

Lucrările clasice privind interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz, care stau la baza multor alte lucrări.

Luați în considerare un sistem de puncte necoincidente () dintr-o anumită zonă. Fie cunoscute valorile funcției numai în aceste puncte:

Problema interpolării este de a găsi o astfel de funcție dintr-o clasă dată de funcții care

Punctele se numesc noduri de interpolare, iar totalitatea lor se numește grila de interpolare.

Perechile sunt numite puncte de date sau puncte de bază.

Diferența dintre valorile „adiacente” este pasul grilei de interpolare. Poate fi atât variabilă, cât și constantă.

O funcție este o funcție de interpolare sau un interpolant.

1. Prima formulă de interpolare a lui Newton

1. Descrierea sarcinii. Să fie date valorile pentru valorile egal distanțate ale variabilei independente pentru funcția: , unde - etapa de interpolare. Este necesar să alegeți cel mult un polinom de grad, luând valorile la puncte

Condițiile (1) sunt echivalente cu

Polinomul de interpolare al lui Newton se pare ca:

Este ușor de observat că polinomul (2) satisface complet cerințele problemei. Într-adevăr, în primul rând, gradul polinomului nu este mai mare și, în al doilea rând,

Rețineți că la , formula (2) se transformă într-o serie Taylor pentru funcția:

Pentru uz practic Formula de interpolare a lui Newton (2) este de obicei scrisă într-o formă oarecum transformată. Pentru a face acest lucru, introducem o nouă variabilă conform formulei; atunci obținem:

unde reprezintă număr de pași necesare pentru a ajunge la punct, venind din punct. Acesta este aspectul final Formula de interpolare a lui Newton.

Formula (3) este avantajoasă de utilizat pentru a interpola funcția în vecinătatea valorii iniţiale , unde este mică în valoare absolută.

Dacă este dat un tabel nelimitat de valori ale funcției, atunci numărul din formula de interpolare (3) poate fi orice număr. În practică, în acest caz, numărul este ales astfel încât diferența să fie constantă cu un anumit grad de precizie. Orice valoare de tabel a argumentului poate fi luată ca valoare inițială.

Dacă tabelul de valori ale funcției este finit, atunci numărul este limitat, și anume: nu poate fi mai mult număr valorile funcției, reduse cu unu.

Rețineți că atunci când se aplică prima formulă de interpolare a lui Newton, este convenabil să se folosească un tabel orizontal al diferențelor, de atunci valorile dorite diferențele de funcție sunt în linia orizontală corespunzătoare a tabelului.

2. Exemplu. Făcând un pas, construiți un polinom de interpolare Newton pentru funcția dată de tabel

Polinomul rezultat face posibilă predicția. Se obține o precizie suficientă atunci când se rezolvă o problemă de interpolare, de exemplu, Precizia scade la rezolvarea unei probleme de extrapolare, de exemplu, .

2. A doua formulă de interpolare a lui Newton

Prima formulă de interpolare a lui Newton este practic incomod pentru interpolarea unei funcții în apropierea nodurilor tabelului. În acest caz, de obicei este .

Descrierea sarcinii . Să avem o secvență de valori ale funcției

pentru valorile echidistante ale argumentului, unde este pasul de interpolare. Construim un polinom de următoarea formă:

sau, folosind puterea generalizată, obținem:

Apoi, când egalitatea este satisfăcută, obținem

Să înlocuim aceste valori în formula (1). Apoi, în sfârșit, A doua formulă de interpolare a lui Newton se pare ca:

Să introducem o notație mai convenabilă pentru formula (2). Lasă atunci

Înlocuind aceste valori în formula (2), obținem:

Acesta este aspectul normal A doua formulă de interpolare a lui Newton. Pentru un calcul aproximativ al valorilor funcției, se presupune:

Atât prima, cât și a doua formulă de interpolare Newton pot fi utilizate pentru a extrapola o funcție, adică pentru a găsi valori ale funcției pentru valorile argumentului care se află în afara tabelului.

Dacă și este aproape de, atunci este avantajos să folosiți prima formulă de interpolare a lui Newton și apoi. Dacă și este aproape de, atunci este mai convenabil să folosiți a doua formulă de interpolare a lui Newton.

Astfel, prima formulă de interpolare a lui Newton este folosită în mod obișnuit pentru interpolare directăȘi extrapolând înapoi, iar a doua formulă de interpolare a lui Newton, dimpotrivă, pentru interpolare înapoiȘi extrapolarea înainte.

Rețineți că operația de extrapolare este, în general, mai puțin precisă decât operația de interpolare în sensul restrâns al cuvântului.

Exemplu. Făcând un pas, construiți un polinom de interpolare Newton pentru funcția dată de tabel

Concluzie

interpolare formula de extrapolare newton

În matematica computațională, interpolarea funcțiilor joacă un rol esențial, adică. construirea unei anumite funcții a alteia (de obicei mai simplă), ale cărei valori coincid cu valorile funcției date la un anumit număr de puncte. În plus, interpolarea are atât o semnificație practică, cât și teoretică. În practică, se pune adesea problema refacerii funcție continuă conform valorilor sale tabelare, de exemplu, obținute în cursul unui experiment. Pentru a calcula multe funcții, se dovedește a fi eficient să le aproximați prin polinoame sau funcții raționale fracționale. Teoria interpolării este utilizată în construirea și studiul formulelor de cuadratura pentru integrarea numerică, pentru a obține metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale și integrale.

Bibliografie

1. V.V. Ivanov. Metode de calcul pe calculator. Manual de referință. Editura „Naukova Dumka”. Kiev. 1986.

2. N.S. Bakhvalov, N.P. Jidkov, G.M. Kobelkov. Metode numerice. Editura „Laboratorul de cunoștințe de bază”. 2003.

3. I.S. Berezin, N.P. Jidkov. Metode de calcul. Ed. FizMatLit. Moscova. 1962.

4. K. De Bor. Un ghid practic pentru spline. Editura „Radio și comunicare”. Moscova. 1985.

5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Moler. Metode automate de calcule matematice. Editura „Mir”. Moscova. 1980.

Găzduit pe Allbest.ru

...

Documente similare

Aplicarea primei și a doua formule de interpolare a lui Newton. Găsirea valorilor funcției în puncte care nu sunt tabelare. Folosind formula lui Newton pentru puncte care nu sunt echidistante. Găsirea valorii unei funcții folosind schema de interpolare a lui Aitken.

munca de laborator, adaugat 14.10.2013

Johann Carl Friedrich Gauss este cel mai mare matematician al tuturor timpurilor. Formule de interpolare gaussiană care oferă o expresie aproximativă pentru funcția y=f(x) folosind interpolarea. Domenii de aplicare ale formulelor Gauss. Principalele dezavantaje ale formulelor de interpolare ale lui Newton.

test, adaugat 12.06.2014

Interpolarea unei funcții într-un punct situat în vecinătatea mijlocului intervalului. Formule de interpolare ale lui Gauss. Formula lui Stirling ca medie aritmetică a formulelor de interpolare gaussiene. Spline cubic funcţionează ca model matematic tijă subțire.

prezentare, adaugat 18.04.2013

Aproximare continuă și punctuală. Polinoame de interpolare ale lui Lagrange și Newton. Eroare de interpolare globală, dependență pătratică. Metoda celor mai mici pătrate. Selectarea formulelor empirice. Interpolare constantă pe bucăți și interpolare liniară pe bucăți.

lucrare de termen, adăugată 14.03.2014

Metode de acorduri și iterații, regula lui Newton. Formule de interpolare ale lui Lagrange, Newton și Hermite. Aproximație pătratică punctuală a unei funcții. Diferențierea și integrarea numerică. Rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale obișnuite.

curs de prelegeri, adăugat 02.11.2012

Implementarea interpolării utilizând polinomul lui Newton. Rafinarea valorii rădăcinii pe un interval dat cu trei iterații și găsirea erorii de calcul. Aplicarea metodelor lui Newton, Sampson și Euler în rezolvarea problemelor. Calculul derivatei unei funcții.

lucrare de control, adaugat 06.02.2011

În matematica computațională, interpolarea funcțiilor joacă un rol esențial. Formula Lagrange. Interpolare conform schemei Aitken. Formulele de interpolare ale lui Newton pentru nodurile echidistante. Formula lui Newton cu diferențe împărțite. Interpolare spline.

lucrare de control, adaugat 01.05.2011

Calculul derivatei prin definiția sa, folosind diferențe finite și pe baza primei formule de interpolare a lui Newton. Polinoamele de interpolare Lagrange și aplicarea lor în diferentiere numerica. Metoda Runge-Kutta (de ordinul al patrulea).

rezumat, adăugat 03.06.2011

Kіntsі vіznіtsі іrіznih okryadkіv. Interval între comercianții cu amănuntul și funcții. Analiză discretă și continuă. Înțelegerea diviziunii comerțului cu amănuntul. Formula de interpolare a lui Newton. Comparația formulelor lui Lagrange și Newton. Interpolare pentru noduri la distanță egală.

test, adaugat 02.06.2014

Găsirea polinoamelor de interpolare Lagrange și Newton care trec prin patru puncte ale unei funcții date, comparând reprezentările lor de putere. Rezolvarea neliniarului ecuație diferențială metoda lui Euler. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice.

Prima formulă de interpolare a lui Newton este practic incomod pentru interpolarea unei funcții în apropierea nodurilor tabelului. În acest caz, de obicei este .

Descrierea sarcinii . Să avem o secvență de valori ale funcției

pentru valorile echidistante ale argumentului, unde este pasul de interpolare. Construim un polinom de următoarea formă:

sau, folosind puterea generalizată, obținem:

Apoi, când egalitatea este satisfăcută, obținem

Să înlocuim aceste valori în formula (1). Apoi, în sfârșit, A doua formulă de interpolare a lui Newton se pare ca:

Să introducem o notație mai convenabilă pentru formula (2). Lasă atunci

Înlocuind aceste valori în formula (2), obținem:

Acesta este aspectul normal A doua formulă de interpolare a lui Newton. Pentru un calcul aproximativ al valorilor funcției, se presupune:

Rețineți că operația de extrapolare este, în general, mai puțin precisă decât operația de interpolare în sensul restrâns al cuvântului.

Exemplu. Făcând un pas, construiți un polinom de interpolare Newton pentru funcția dată de tabel

Soluţie. Alcătuim un tabel cu diferențe (tabelul 1). Deoarece diferențele de ordinul trei sunt practic constante, în formula (3) se stabilește Acceptând, vom avea:

Acesta este polinomul de interpolare Newton dorit.

tabelul 1


	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

adnotare

Notă explicativă termen de hârtie„Interpolarea unei funcții a unei variabile prin metoda lui Newton” conține o introducere, o analiză a sarcinii cu o descriere a datelor de intrare și de ieșire, o trecere în revistă a surselor literare, o descriere a modelului matematic și a metodelor de matematică computațională, explicații ale algoritm, text program, instrucțiuni. La studierea disciplinei „Informatică”, diferite surse literare, care sunt enumerate în acest document, au fost folosite pentru a scrie o lucrare de termen. Acest lucru de curs prezintă un program care este utilizat pentru a interpola o funcție de tabel dată de metoda lui Newton. A folosit metoda de programare structurată pentru a facilita scrierea și depanarea programului, precum și pentru a crește vizibilitatea și lizibilitatea acestuia. Scopul scrierii acestei lucrări a fost obținerea și consolidarea abilităților practice în dezvoltarea algoritmilor prin diverse metode. Programul prezentat este implementat în limbajul de programare Pascal. Nota explicativă conține 25 de foi care conțin două figuri, textul programului și o descriere a programului și a algoritmului.

Introducere

Analiza jobului

Modelul matematic al problemei

Programarea funcției formulei Newton

Revizuire de literatura

Dezvoltarea unui program conform schemei algoritmului

Instrucțiuni de utilizare a programului

Textul programului

Datele inițiale și rezultatul rezolvării cazului de testare

Concluzie

Lista surselor utilizate

Introducere

Dezvoltare modernă fizica și tehnologia este strâns legată de utilizarea calculatoarelor electronice (calculatoare). În prezent, calculatoarele au devenit echipamente comune ale multor institute și birouri de proiectare. Acest lucru a făcut posibilă trecerea de la cele mai simple calcule și evaluări ale diferitelor structuri sau procese la o nouă etapă de lucru - detaliată modelare matematică(experiment de calcul), care reduce semnificativ nevoia de experimente la scară completă și, în unele cazuri, le poate înlocui.

Problemele de calcul complexe care apar în studiul problemelor fizice și tehnice pot fi împărțite într-un număr de unele elementare, cum ar fi calculul unei integrale, rezolvarea unei ecuații diferențiale etc. Multe probleme elementare sunt simple și bine studiate. Metode numerice de rezolvare au fost deja dezvoltate pentru aceste probleme și există adesea programe standard pentru rezolvarea lor pe computer. Există și sarcini elementare destul de complexe; Metodele de rezolvare a unor astfel de probleme sunt acum dezvoltate intens.

În acest sens, un specialist modern cu educatie inalta trebuie să aibă nu numai nivel inalt pregătirea în profilul specialității lor, dar și să cunoască bine metode matematice rezolvarea problemelor de inginerie, concentrați-vă pe utilizare informatică, stăpânesc practic principiile de lucru pe computer.

Analiza jobului

Următoarele au fost utilizate ca date de intrare:

1. Numărul de noduri.

2. Valorile funcției tabelare.

Date de ieșire, de ex. rezultatul programului este:

1. Valorile unei funcții definite de tabel în valori intermediare.

2. Graficul polinomial.

Modelul matematic al problemei

La efectuarea lucrărilor de curs s-a ales următorul model matematic:

Interpolarea și aproximarea funcțiilor.

1. Enunțarea problemei.

Una dintre principalele probleme ale analizei numerice este problema interpolării funcțiilor. Adesea trebuie restaurat

pentru toate valorile de pe un segment dacă valorile sale sunt cunoscute la un număr finit de puncte ale acestui segment. Aceste valori pot fi găsite ca urmare a observațiilor (măsurătorilor) într-un experiment natural sau ca rezultat al calculelor. În plus, se poate dovedi că funcția este dată de o formulă și calcularea valorilor sale folosind această formulă este foarte laborioasă, prin urmare este de dorit să existe o formulă mai simplă (mai puțin laborioasă de calculat) pentru funcție. care ar permite găsirea valorii aproximative a funcției luate în considerare cu precizia necesară în orice punct al segmentului . Ca urmare, apare următoarea problemă matematică.

Lasă și 'segmentează

o grilă cu

iar nodurile sale conțin valorile funcției

, egal .

Este necesar să construiți un interpolant - o funcție

, coincizând cu funcţia la nodurile grilei: .

Scopul principal al interpolării este de a obține un algoritm rapid (economic) pentru calcularea valorilor

pentru valorile care nu sunt cuprinse în tabelul de date.

2. Interpolare după Newton

Având în vedere o funcție de tabel:

i
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Puncte cu coordonate

se numesc puncte nodale sau noduri.

Numărul de noduri din funcția tabel este N=n+1.

Este necesar să găsiți valoarea acestei funcții într-un punct intermediar, de exemplu,

, și . Pentru rezolvarea problemei se folosește un polinom de interpolare.

Polinomul de interpolare conform formulei lui Newton are forma:

unde n este gradul polinomului,

Formula formulei de interpolare a lui Newton vă permite să exprimați polinomul de interpolare

prin valoarea la unul dintre noduri și prin diferențele împărțite ale funcției construite peste noduri.

În primul rând, oferim informațiile necesare despre diferențele împărțite.

Lasă să intre noduri

valorile funcției sunt cunoscute

. Să presupunem că printre punctele , , nu există unele care coincid. Diferențele împărțite de ordinul întâi sunt relațiile , , .

Vom lua în considerare diferențele împărțite compuse din nodurile învecinate, adică expresiile

O metodă de interpolare destul de comună este metoda lui Newton. Polinomul de interpolare pentru această metodă este:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Problema constă în găsirea coeficienților a i ai polinomului P n (x). Coeficienții se găsesc din ecuația:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

permitand scrierea sistemului:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

Folosim metoda diferențelor finite. Dacă nodurile x i sunt date la intervale regulate h, i.e.

x i+1 - x i = h,

atunci în cazul general x i = x 0 + i×h, unde i = 1, 2, ..., n. Ultima expresie ne permite să aducem ecuația de rezolvat la forma

y 1 \u003d a 0 + a 1 × h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

de unde pentru coeficienţii pe care îi obţinem

unde Dу 0 este prima diferență finită.

Continuând calculele, obținem:

unde D 2 y 0 este a doua diferență finită, care este diferența dintre diferențe. Coeficientul a i poate fi reprezentat ca:

Furnizând valorile găsite ale coeficienților a i la valorile pentru P n (x), obținem polinomul de interpolare Newton:

Să transformăm formula, pentru care introducem o nouă variabilă , unde q este numărul de pași necesari pentru a ajunge la punctul x, deplasându-se din punctul x 0 . După transformări obținem:

Formula rezultată este cunoscută ca prima formulă de interpolare a lui Newton sau formula lui Newton pentru interpolare directă. Este avantajos să se utilizeze pentru interpolarea funcției y = f(x) în vecinătatea valorii inițiale x – x 0 , unde q este mică în valoare absolută.

Dacă scriem polinomul de interpolare ca:

apoi, într-un mod similar, puteți obține a doua formulă de interpolare Newton sau formula lui Newton pentru interpolare „înapoi”:

Este folosit în mod obișnuit pentru a interpola o funcție aproape de sfârșitul unui tabel.

Când studiem acest subiect, trebuie amintit că polinoamele de interpolare coincid cu funcţie dată f(x) la nodurile de interpolare și în alte puncte, în cazul general, va diferi. Eroarea indicată ne dă eroarea metodei. Eroarea metodei de interpolare este determinată de termenul rămas, care este același pentru formulele Lagrange și Newton și care face posibilă obținerea următoarei estimări pentru eroarea absolută:

Dacă interpolarea este efectuată cu aceeași etapă, atunci formula pentru termenul rămas este modificată. În special, atunci când se interpolează „înainte” și „înapoi” conform formulei lui Newton, expresia pentru R(x) este oarecum diferită una de cealaltă.

Analizând formula rezultată, se poate observa că eroarea R(x) este, până la o constantă, produsul a doi factori, dintre care unul, f (n+1) (x), unde x se află în interiorul , depinde de proprietățile funcției f(x) și nu pot fi reglate, ci mărimea celeilalte,

determinată exclusiv de alegerea nodurilor de interpolare.

Dacă aranjarea acestor noduri este nereușită, limita superioară a modulului |R(x)| poate fi destul de mare. Prin urmare, se pune problema alegerii celei mai raționale a nodurilor de interpolare x i (pentru un număr dat de noduri n) astfel încât polinomul P n+1 (x) să aibă cea mai mică valoare.

Cursul 4

1. Diferențe finite
2. Prima formulă de interpolare
Newton
3. A doua formulă de interpolare
Newton
4. Erori de interpolare

Diferențele finite de ordinul I

Dacă funcția interpolată y = f(x) este definită în
noduri echidistante, astfel încât xi = x0 + i∙h, unde h este pasul tabelului și
i = 0, 1, … n, atunci formulele pot fi folosite pentru interpolare
Newton folosind diferențe finite.
Diferența finită de ordinul întâi este diferența yi
= yi+1 - yi, unde
yi+1= f(xi+h) și yi = f(xi). Pentru funcția dată
tabelar la (n+1) noduri, i = 0, 1, 2, …, n, diferențe finite
primul ordin poate fi calculat la punctele 0, 1, 2,…, n - 1:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.

Diferențele finite de ordine superioare

Folosind diferențe finite de ordinul întâi, se poate
obțineți diferențe finite de ordinul doi 2yi = yi+1 - yi:
2 y 0 y1 y 0 ;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 y n 2 y n 1 y n 2 .
Diferențele finite ale ordinului k la nodul cu numărul i pot
se calculează prin diferențele (k-1) de ordinul al-lea:
k yi k 1yi 1k 1yi
Orice diferențe finite pot fi calculate prin valori
funcții în nodurile de interpolare, de exemplu:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0 .

Tabel cu diferențe finite

X
y
Δy
∆2y
∆3y
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3h
y3

După mărimea diferențelor finale, se poate
do
ieșire
despre
grad
interpolare
polinom,
descriind
tabular
dat
funcţie.
Dacă
pentru
Mese
din
egal distanțate
noduri
final
Diferențele de ordin k sunt constante sau
sunt proporționale cu o anumită eroare, atunci
funcția poate fi reprezentată printr-un polinom
gradul k.

Diferențele finite și gradul unui polinom

Luați în considerare, de exemplu, un tabel cu diferențe finite pentru
polinomul y = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2 ani
0.08
3 ani
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
X
y
1.0
Diferențele finite de ordinul trei sunt zero și toate
diferențele finale de ordinul doi sunt aceleași și egale cu 0,08. Acest
spune că o funcție dată într-un tabel poate fi
fi reprezentat printr-un polinom de gradul 2 (rezultat așteptat,
avand in vedere modul in care se obtine tabelul).

Fie definită funcția y = f(x) la n+1 noduri echidistante xi , i = 0, 1,
2,…n cu pasul h. Este necesar să se găsească polinomul de interpolare Pn(x)
gradul n care satisface condiția:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …,n .
Vom căuta un polinom de interpolare sub forma:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
unde ai, i = 0, 1, 2,…n sunt coeficienți necunoscuți care nu depind de noduri
interpolare. Să găsim acești coeficienți din condițiile de interpolare.
Fie x = x0, apoi Pn(x0) = y0 = a0. Prin urmare, a0 = y0.
Fie x = x1, atunci Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), de unde
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Acum fie x = x2, atunci:
Pn (x 2) y 2 a0 a1(x 2 -x 0) a2 (x 2 -x 0)(x 2 -x1) y 0
y 0
2h la 2 2h2.
h
Exprimând a2 din această expresie, obținem:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2h2
2h2
2h2
2h2

Prima formulă de interpolare a lui Newton

Continuând substituțiile, se poate obține o expresie pentru oricare
coeficient cu numărul i:
eu si 0
ai
,
eu! Bună
i 0,1,...,n.
Substituind valorile găsite ale coeficienților în expresia originală,
obținem prima formulă de interpolare a lui Newton:
y0
2 y0
n y 0
Pn (x) y0
(xx0)
(xx0)(xx1)...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!hn
Formula arată că folosește rândul de sus al tabelului
diferențe finite (diapozitivul 4). Formula este de asemenea
crescând succesiv gradul polinomului pe măsură ce adăugați
termeni succesivi. Acest lucru vă permite să rafinați rezultatul fără
recalcularea termenilor deja luați în considerare.

Prima formulă de interpolare a lui Newton

Prima formulă de interpolare a lui Newton poate fi scrisă ca
mai compact și mai ușor de utilizat implementare software formă.
Denotand
q
xx0
,
h
x x 0 qh
și efectuând transformări simple de forma:
x x1 x x 0 h
q1;
h
h
x xn
xx2
q n 1,
q2;.....;
h
h
obţinem prima formulă de interpolare a lui Newton, exprimată
raportat la necunoscutul q:
n y 0
2 y0
q(q 1)...(q n 1).
q(q1)...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!

10. Prima formulă de interpolare a lui Newton

Diferențele finite de ordin superior utilizate în formulă
Newton, au de obicei o eroare mare asociată cu erori
rotunjirea la scăderea valorilor apropiate. Prin urmare, relevante
termenii formulei au de asemenea o mare eroare. Pentru a minimiza
contribuția lor la sumă, adică la rezultat final, este necesar să se execute
starea |q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
între primele două noduri ale tabelului: x0< x < x1. По этой причине
se numește interpolarea folosind prima formulă a lui Newton
interpolare la începutul tabelului sau interpolare directă.

interpolare Prima formulă de interpolare a lui Newton ia
urmatoarea vedere:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q1)
.
2

11. Un exemplu de utilizare a primei formule de interpolare a lui Newton

ca în exemplul de pe diapozitivul 6. Este necesară găsirea unei aproximative
valoarea funcţiei în punctul x = 1,1 prin pătratică
interpolare prin prima formulă a lui Newton.
X
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2a 3a
0.08 0
0.08 0
0.08
Pasul de tabel h = 0,2
q = (x – x0)/h = 0,5
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Rezultatul se potrivește
valoare polinomială
y = x2 – 3x + 2, din care
masa primita

12. Schema algoritmului de calcul pentru prima formulă de interpolare Newton

13. A doua formulă de interpolare a lui Newton

A doua formulă a lui Newton are proprietăți similare
relativ la partea dreaptă a tabelului. Pentru a-l construi, folosește
polinom de forma:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
unde ai, i = 0, 1, 2, … n sunt coeficienți independenți de nodurile de interpolare.
Pentru a determina coeficienții ai, vom face alternativ
înlocuirea nodurilor de interpolare. Pentru x = xn Pn(xn) = yn, prin urmare,
a0 = yn.
Pentru x = xn-1 avem Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
Unde
a1
yn 1 yn yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h

14. A doua formulă de interpolare a lui Newton

Continuând substituțiile, obținem expresii pentru toți coeficienții
polinom și a doua formulă de interpolare a lui Newton:
n y 0
yn 1
2 și 2
Pn(x)yn
(xxn)
(xxn)(xxn 1)
(xxn)...(xx1).
2
n
1!h
2!h
n!h
Formula arată că folosește diagonala de jos a tabelului
diferențe finite (diapozitivul 4). Ca și în prima formulă a lui Newton, adunarea
termeni succesivi duce la o creştere succesivă a gradului
polinom, care vă permite să rafinați rezultatul fără a recalcula deja
termeni luați în considerare.
Prin introducerea notației: q
x xn
,
h
x xn hq
și, făcând transformări simple, obținem a doua interpolare
Formula lui Newton exprimată în raport cu variabila de substituție q:
n y 0
2 și 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q1)...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!

15. A doua formulă de interpolare a lui Newton

Din aceleaşi motive ca şi în cazul primei formule a lui Newton, pentru
pentru a reduce eroarea de calcul, este necesar ca condiția
|q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
ultimele două noduri ale tabelului: xn-1< x < xn. По этой причине
se numește interpolarea folosind cea de-a doua formulă a lui Newton
interpolare la sfârșitul tabelului sau interpolare înapoi.
Pentru cazuri speciale de liniară (n=1) și pătratică (n=2)
interpolare A doua formulă de interpolare a lui Newton ia
urmatoarea vedere:
P1 (x) y n y n 1q
2 y n 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q1)
2!

16. Un exemplu de utilizare a celei de-a doua formule de interpolare a lui Newton

Fie funcția interpolată f(x) dată de același tabel,
ca în exemplul de pe diapozitivul 11. Este necesară găsirea unei aproximative
valoarea funcției în punctul x = 1,7 prin pătratică
interpolare prin formula a doua a lui Newton.
X
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2a 3a
0.08 0
0.08 0
0.08
Pasul de tabel h = 0,2
q = (x – xn)/h = -0,5
Rezultatul se potrivește
valoare polinomială
y = x2 - 3x + 2, din
primit
masa
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2

17. Schema algoritmului de calcul conform celei de-a doua formule de interpolare Newton

18. Erori de interpolare

Funcția de interpolare în punctele dintre
nodurile de interpolare înlocuiesc interpolarea
functioneaza aproximativ:
f(x) = F(x) + R(x), unde R(x) este eroarea
interpolare.
Pentru a estima eroarea, este necesar să existe
trebuie sa ai cateva informatii despre
funcția interpolată f(x). Să ne prefacem că
f(x) este definit pe un segment care conține toate
nodurile xi, iar pentru x aparținând lui , are toate
derivate f"(x), f""(x), … f(n+1)(x) până la (n+1)th
comanda inclusiv.

19. Erori de interpolare

Apoi

20. Selectarea nodurilor de interpolare prin formula Lagrange

Pentru un grad fix al unui polinom:
X*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
X
Cu o creștere succesivă a gradului
polinom
X*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
X

21. Estimarea practică a erorii de interpolare prin formula Lagrange

În practică, evaluarea valoare maximă derivată a (n+1)-lea
comanda Mn+1 când se folosește formula Lagrange este rareori posibilă,
și, prin urmare, utilizați o estimare aproximativă a erorii
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
unde n este numărul de noduri utilizate.
Din formula de mai sus rezultă că pentru a estima eroarea
interpolare prin polinomul Lagrange de gradul al n-lea, este necesară
se calculează suplimentar valoarea polinomului (n+1)-al-lea grad. Dacă
eroarea de interpolare admisibilă este dată, este necesar, adunând toate
noduri noi, crește gradul polinomului până la modulo
diferența dintre ultimele două valori ale polinomului |Ln+1(x)-Ln(x)| nu
devine mai mică decât valoarea setată.

22. Schema algoritmului de interpolare conform formulei Lagrange cu o precizie dată

23. Estimarea erorilor în formulele de interpolare ale lui Newton

Pentru interpolare
ia forma următoare.
Formula 1 a lui Newton:
R n (x) h
n 1
formule
Newton
estimări
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
Formula a 2-a a lui Newton:
R n (x) h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
erori

24. Estimarea practică a erorilor în formulele de interpolare ale lui Newton

Când se utilizează formulele de interpolare ale lui Newton, cantitatea
f(n+1)(ξ) poate fi estimat aproximativ din valorile diferențelor finite:
f
(n 1)
n 1
Δy0
() n 1
h
iar în acest caz, formulele de estimare a erorii capătă următoarele
vedere:
Formula 1 a lui Newton:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
Formula a 2-a a lui Newton:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!

25. Interpolare prin formulele lui Newton cu o precizie dată

Comparând aceste formule cu formule
Newton, se poate vedea asta pentru a estima
erori de interpolare polinomială
al n-lea, trebuie să luați un nod suplimentar
și calculați termenul (n+1)-gradul.
Dacă eroarea permisă este setată
interpolare ε, atunci este necesar să succesiv
adăugați noduri noi și, în consecință,
termeni noi, crescând gradul
polinom de interpolare până la
până când următorul termen devine mai mic decât ε.