Exemplul 3: Folosind autofiltrul, selectați elevii care studiază în grupa nr. 5433 cu un nume de familie care începe cu litera C.

Secvențierea

1. Copiați baza de date (Fig. 30) în Foaia 3.

2. Nume de familie.

3. Selectați un articol din listăFiltre de text → Filtru personalizat. În fereastra care apare Filtru automat personalizat selectați criteriul de selecție începe cu , în câmpul opus introduceți litera dorită (verificați ca aspectul este în rusă). Apăsați OK.

4. Deschideți lista derulantă într-o coloană număr de grup.

5. Selectați numărul dorit.

Filtrarea înregistrărilor într-o bază de date cu un filtru avansat

Filtru avansat vă permite să căutați rânduri folosind criterii mai complexe decât filtrele automate personalizate. Filtrul avansat folosește un interval de criterii pentru a filtra datele.

Când utilizați un filtru avansat, numele coloanelor în care sunt specificate condițiile sunt copiate sub tabelul sursă. Criteriile de selecție sunt introduse sub numele coloanelor. După aplicarea filtrului, pe ecran pot fi afișate doar acele rânduri care îndeplinesc criteriile specificate, iar datele filtrate pot fi copiate într-o altă foaie sau în altă zonă din aceeași foaie de lucru.

Exemplul 4: Selectați toți elevii din grupul #5433 al căror GPA este mai mare sau egal cu 4,5.

Secvențierea

1. Copiați baza de date (Fig. 30) în Foaia 4.

2. Copiați numele coloanelor Numărul grupului și scorul mediu

în zona de sub tabelul original. Introduceți criteriile de selecție necesare sub numele coloanelor (Fig. 32)

Orez. 32. Fereastra Excel cu filtru avansat

2. În fila Date din bara de instrumente Sortare

și filtru selectați Avansat. Va apărea o casetă de dialog (Figura 33) în care sunt specificate intervalele de date.

Orez. 33. Fereastra filtru avansat

În câmpul de introducere gama originală specifică intervalul care conține baza de date sursă. În cazul nostru, intervalul de celule de la A1 la I9 este selectat.

În câmpul de introducere Gama de condiții este selectat un interval de celule de pe foaia de lucru care conține criteriile necesare (C12:D13).

În câmpul de intrare Puneți rezultatul în interval indică intervalul în care sunt copiate liniile care îndeplinesc criteriile

teorii. În cazul nostru, sub zona de criterii este indicată o celulă, de exemplu A16. Acest câmp este disponibil numai când butonul radio este selectat. Copiați rezultatul într-o altă locație.

Caseta de bifat Doar înregistrări unice este conceput pentru a afișa numai rânduri care nu se repetă.

Tabelul rezultat care satisface criteriile de filtrare este prezentat în fig. 34.

Orez. 34. Fereastra Excel cu rezultate de filtrare

1. Creați-vă propria bază de date, numărul de înregistrări în care trebuie să fie de cel puțin 15, iar numărul de coloane trebuie să fie de cel puțin 6. De exemplu, baza de date Lista clienților (Fig. 35).

2. Aplicați trei filtre automate în baza de date (pe foi separate). Numărul de criterii trebuie să fie de cel puțin două.

3. Aplicați trei filtre avansate înregistrărilor bazei de date, fiecare conținând cel puțin două criterii. Așezați toate filtrele avansate pe o singură foaie sub tabelul original.

Orez. 35. Fereastra Excel cu baza de date Lista clienti

LABORATORUL #5

Diferențierea numerică și analiza simplă a funcțiilor

Scopul muncii: Investigați funcția până la extrem, învățați să determinați punctul critic.

Din cursul de matematică, se știe că formula derivată în general arată astfel:

f „(x)= lim
∆x0

unde Δx este incrementul argumentului; x este un număr care tinde spre zero. Cu ajutorul derivatei, puteți determina punctele critice ale funcției - minime, maxime sau inflexiuni. Dacă valoarea derivatei unei funcții la orice valoare a lui x este egală cu zero, atunci la această valoare a lui x funcția are un punct critic.

Exemplul 1: Funcția f x = x 2 + 2x 3 este definită pe intervalul x 5;5 . Explorați comportamentul funcției f(x) .

Secvențierea

1. Fie Δx = 0,00001. În celula A1 introduceți: šDx=Ÿ (Fig. 36). Selectați litera D, faceți clic dreapta pe litera selectată, selectați Formatare celule. În fila Font, selectați fontul Symbol. Litera D va deveni litera greacă ѓў. Alinierea într-o celulă se poate face spre dreapta. În celula B1, introduceți valoarea 0,00001.

2. În celulele de la A2 la F2, aranjați un antet pentru tabel, așa cum se arată în fig. 36.

3. Coloana A , începând cu al treilea rând, va conține x valori. În celulele A3 până la A13, introduceți valori de la -5 la 5.

4. În celula B3, scrieți formula =A3^2+2*A3-3 și extindeți-o la valoarea finală x (până la a 13-a linie).

5. Pentru a determina derivata unei funcții și a calcula valorile acesteia pe un interval dat, este necesar să se facă un intermediar

calcule precise. În celula C3, introduceți formula pentru suma argumentului x și incrementul lui Δx. Formula este: =A3+$B$1 . Întindeți valoarea acesteia până la valoarea finală a argumentului x .

Orez. 36. Fereastra Excel cu studiul comportamentului functiei

6. În celula D3 scrieți formula =C3^2+2*C3-3 , care calculează valoarea funcției f din argumentul x Δx . Întindeți valoarea rezultată până la valoarea finală a argumentului.

7. În celula E3, scrieți formula derivată (1), având în vedere că valorile lui f x sunt în B3, iar valorile lui f x + Δx sunt în D3.

Formula va arăta astfel: =(D3-B3)/$B$1 .

8. Determinați comportamentul funcției pe un interval dat (crește, scade sau există un punct critic). Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți o formulă în celula F3 pentru a determina comportamentul funcției. Formula conține trei condiții:

		f" (x)< 0	- functia este in scadere;
		f" (x) > 0	- functia creste;
		f"(x)=0	– există un punct critic* .

9. Construiți grafice pentru valorile f x și f "(x). Graficul (Fig. 37) arată că, dacă valoarea derivatei funcției este zero, atunci funcția are un punct critic în acest loc.

* Din cauza unei erori de calcul prea mari, valoarea lui f "(x) poate să nu fie egală cu 0. Dar este totuși necesar să descriem această situație.

Orez. 37. Diagrama studiului comportarii unei functii

Sarcini pentru munca independentă

Funcția f(x) este definită pe intervalul x . Explorați comportamentul funcției f(x) . Construiți diagrame.

			2x2						X [ 4 ;4 ]
								X [ 5 ;5 ]
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)=x					X [ 2 ;3 ]
				x 2 + 7

LAB #6

Construcția unei tangente la graficul unei funcții

Scopul lucrării: Să stăpânească calculul valorilor ecuației tangentei la graficul funcției în punctul x 0.

Ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul

Exemplul 1: Funcția y = x 2 + 2x 3 este definită pe intervalul x [ 5; cinci ] . Construiți o tangentă la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 1.

Secvențiere:

1. Diferențiați această funcție numeric (vezi Muncă de laborator nr. 5). Tabelul cu datele inițiale este prezentat în fig. 38.

Orez. 38. Tabelul datelor inițiale

2. Determinați locația în tabel x , x 0 , f (x 0 ) și f "(x 0 ) . Evident, x vor fi valori din

coloana A, începând cu al treilea rând (Fig. 38). Dacă x 0 = 1, atunci celula A9 va acționa ca x 0 . În consecință, valoarea funcției f în punctul x 0 este în celula B9, iar valoarea lui f" (x 0 )

- în celula E9.

3. În coloana F se calculează ecuația tangentei la graficul funcției f(x). Când se calculează ecuația (1), este necesar ca valorile x 0, f (x 0) și f „(x 0) să nu se modifice. Prin urmare, în scris

Pentru a adresa celulele A9, B9 și E9, trebuie să utilizați referințe absolute la aceste celule. Celulele sunt fixate folosind semnul š$Ÿ. Celulele vor arăta astfel: $A$9 , $B$9 și $E$9 .

Orez. 39. Graficul funcției f(x) și tangentei la grafic în punctul x=1

Sarcini pentru munca independentă

Funcția f(x) este definită pe intervalul x . Calculați ecuația tangentei. Construiți o tangentă la graficul unei funcții în punct dat.

			2x2						X [4;4], x0 = 1
								X [5;5], x0
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0
	f(x)=x					X [2;3], x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. Excel 2007 Funcții și formule.Biblioteca utilizatorilor / E. A. Vedeneeva. - Sankt Petersburg: Peter, 2008. - 384 p.

2. Sviridova, M. Yu. Foi de calcul Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 p.

3. Serogodsky, V. V. Grafice, calcule și analiza datelor

în Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Știință și tehnologie, 2009. - 336 p.

Se știe că derivata unei funcții la un punct dat poate fi calculată folosind metode numerice aproximative folosind formula diferențelor finite. Expresia pentru calcularea derivatei unei functii a unei variabile intr-un punct x k scris in diferente finite are forma

unde Δх este o valoare finită foarte mică.

Cu valori suficient de mici ale Δx, este posibil să se obțină valoarea derivatei funcției într-un punct cu o precizie acceptabilă. Pentru a calcula derivata în MS Excel, vom folosi formula de mai sus. Luați în considerare tehnologia de calcul a derivatei folosind exemplul.

Exemplul 1.18 Găsiți derivata funcției y \u003d 2x 3 + x 2 în punctul x \u003d 3. Rețineți că derivata funcției reduse în punctul x \u003d 3, calculată prin metoda analitică, este 60 - vom avea nevoie de această valoare pentru a verifica rezultatul obținut prin calcularea metodei numerice.

Sarcina de a calcula derivata într-un procesor de foi de calcul poate fi rezolvată în două moduri.

Soluție în primul mod

Să introducem formula din partea dreaptă a dependenței funcționale date în celula foii de lucru, de exemplu, în celula B2, așa cum se arată în figură, făcând o referire la celula în care va fi localizată valoarea x, de exemplu, A2,

2*A2 ^ 3+A2 ^ 2.

Să setăm vecinătatea punctului x=3 de o dimensiune suficient de mică, de exemplu, valoarea din stânga xk =2,9999999 și valoarea din dreapta xk +1 =3,00000001 și introduceți aceste valori în celula A2 și A3, respectiv. În celula C2, introduceți formula pentru calcularea derivatei = (B3-B2) / (A3-A2).

Ca rezultat al calculului, valoarea aproximativă a derivatei va fi afișată în celula C2 funcţie datăîn punctul x=3, a cărui valoare este 60, ceea ce corespunde rezultatului obţinut analitic (Fig. 1.24).

Soluție în a doua cale

Să introducem valoarea dată a argumentului egală cu 3 în celula foii de lucru A2, în celula B2 vom indica o creștere suficient de mică a argumentului - (1E - 9), în celula C2 vom introduce formula pentru calcularea derivatei

=(2*(A2+B2) ^ 3+(A2+B2) ^ 2-(2*A2 ^ 3+A2 ^ 2))/B2.

După apăsarea tastei obținem rezultatul calculului 60.0000.

După cum puteți vedea, rezultatul este același ca în prima metodă. A doua metodă dată este mai de preferat în cazurile în care este necesar să se construiască un tabel de valori al derivatei unei funcții pentru valorile argumentului date.

Calculul extremelor locale ale unei funcții

Reamintim că funcția Y=f(x) are un extrem la valoarea x = x k dacă derivata funcției în acest punct este egală cu zero.

Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, b] și are în interiorul acestui segment extremul local, îl puteți găsi folosind programul de completare Excel Solve.

Luați în considerare șirul de găsire a extremului funcției folosind exemplul

Exemplul 1.19 Este dată o funcție inseparabilă y \u003d x 2 + x + 2. Este necesar să se găsească extremul său (valoarea minimă) pe segmentul [-2; 2].

Soluţie

În celula A3 a foii de lucru, introduceți orice număr care aparține unui anumit segment, această celulă va conține valoarea lui x.

În celula B3, introduceți o formulă care determină valoarea dată dependenta functionala. În loc de variabila x din această formulă, ar trebui să existe o referință la celula A3: =A3^2+A3+2.

Să executăm comanda de meniu Service/Căutare soluție.

În caseta de dialog care se deschide, Căutați o soluție, în câmpul Setați celula țintă, specificați adresa celulei care conține formula (B3), setați comutatorul Valoarea minima, în câmpul Modificare celule, specificați adresa celulei care conține variabila x-A3.

Să adăugăm două constrângeri la câmpul corespunzător: A3 >= - 2 și A3<=2 (рис. 1.25).

Faceți clic pe butonul Parametri și în caseta de dialog pentru parametrii de căutare a soluției care se deschide, setați eroarea relativă de calcul și numărul limită de iterații.

Faceți clic pe butonul Run. În celula A3 se va calcula valoarea argumentului x al funcției, la care ia valoarea minimă, iar în celula B3 - valoarea minimă a funcției.

În urma calculelor din celula A3 se va obține valoarea variabilei independente, la care funcția ia cea mai mică valoare -0,5, iar în celula B3 - valoarea minimă egală cu 1,75.

Să construim un grafic al unei funcții date și să ne asigurăm că soluția ecuației este găsită, corect.

Notă.Într-un caz particular, atunci când găsiți un extremum local folosind tehnologia luată în considerare, puteți obține o valoare care nu este un extremum, ci pur și simplu minimul sau maximul funcției într-un interval dat al argumentului.

Prin urmare, este necesară o verificare suplimentară, de ex. calculul derivatei functiei la punctul gasit.

Folosind tehnologia de mai sus pentru calcularea numerică a derivatei unei funcții la un punct dat, verificăm dacă punctul găsit x = -0,5 este punctul extremum al funcției y = x 2 + x + 2. Soluția este prezentată în figură .

După cum puteți vedea, derivata în punctul găsit este egală cu zero, prin urmare, valoarea găsită a funcției este valoarea sa extremă.

Exemplul 1.20 Este necesar să găsiți valorile argumentului în intervalul [-1; 1] pentru care funcția y = x 2 + x + 2 are extreme.

Soluţie

Tabelăm funcția dată cu un pas de 0,2.

Folosind a doua dintre metodele de mai sus pentru calcularea derivatei, calculăm valorile funcției y \u003d f (x + dx).

Să calculăm valorile derivatei pentru fiecare valoare tabelară a argumentului.

Analizând valorile obținute ale derivatelor funcției în puncte, constatăm că derivata își schimbă semnul în intervalul valorilor argumentului (-0,6; -0,4), prin urmare, există un punct extremum în acest interval. În plus, rețineți că semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, prin urmare, punctul extremum este minimul funcției.

Instrument de aplicare Selectarea parametrilor sau Căutare soluții pentru rezolvarea ecuației Y(x) = 0

în raport cu x, calculăm valoarea exactă a argumentului la care funcția originală ia valoarea suplimentară (-0,5) (Fig. 1.26).

Valoarea obținută a derivatei funcției studiate în punct x \u003d -0,5 este zero, prin urmare, în acest moment funcția are un extrem.

Diferențierea numerică

Secțiunea nr. 5

Problema calculului aproximativ al derivatei poate apărea în cazurile în care expresia analitică pentru funcția studiată este necunoscută. Funcția poate fi specificată într-un tabel, sau se cunoaște doar graficul funcției, obținut, de exemplu, ca urmare a citirilor senzorilor parametrilor de proces.

Uneori, la rezolvarea anumitor probleme pe calculator, din cauza greutății calculelor, poate fi mai convenabil să se calculeze derivatele printr-o metodă numerică decât prin una analitică. În acest caz, desigur, este necesar să se justifice metoda numerică aplicată, adică să se asigure că eroarea metodei numerice este în limite acceptabile.

Una dintre metodele eficiente de rezolvare a ecuațiilor diferențiale este metoda diferențelor, când în loc de funcția dorită se ia în considerare un tabel cu valorile sale în anumite puncte, în timp ce derivatele sunt aproximativ înlocuite cu formule de diferență.

Fie cunoscut graficul funcției y = f(X) pe segmentul [ dar,b].Puteți construi un grafic al derivatei unei funcții, amintindu-și semnificația geometrică. Să folosim faptul că derivata funcției la punctul X egală cu tangentei unghiului de înclinare la axa x a tangentei la graficul său în acest punct.

Dacă x = x 0, găsiți la 0 = f(X 0) folosind graficul și apoi desenați o tangentă AB la graficul funcției în punctul ( X 0 , y 0) (Fig. 5.1). Desenați o dreaptă paralelă cu tangenta AB, prin punctul (-1, 0) și găsiți punctul la 1 intersecția sa cu axa y. Apoi valoarea la 1 este egal cu tangentei pantei tangentei la axa x, adică derivata funcției f(X) la punct X 0:

la 1 = = tg α = f ¢ ( X 0), și punct M 0 (X 0 , la 1) aparține graficului derivatei.

Pentru a construi un grafic al derivatei, este necesar să împărțiți segmentul [ dar,b] în mai multe părți cu puncte x i, apoi construiți grafic valoarea derivatei pentru fiecare punct și conectați punctele obținute cu o curbă netedă folosind modele.

Pe fig. 5.2 arată construcția a cinci puncte M 1, M 2 ,... , M 5 și graficul derivatei.

Algoritm pentru construirea unui grafic al derivatei:

1. Construim o tangentă la graficul funcției la= f(X) la punctul ( X 1 ,f(X 1)); din punctul (-1, 0) paralel cu tangenta din punctul ( X 1 ,f(X 1)) trageți o linie dreaptă până când se intersectează cu axa y; acest punct de intersecție dă valoarea derivatei f ¢ ( X 1) Construirea unui punct M 1 (X 1 , f ¢ ( X 1)).

2. În mod similar, construim punctele rămase M 2 ,M 3 , M 4 și M 5 .

3. Conectați punctele M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 curbă netedă.

M 4

Curba rezultată este un grafic al derivatei.

Precizia metodei grafice pentru determinarea derivatei este scăzută. Oferim o descriere a acestei metode doar în scopuri educaționale.

cometariu. Dacă în algoritmul pentru construirea unui grafic al derivatei, în loc de punctul (-1, 0), luăm punctul ( -l,0), unde l> 0, atunci graficul va fi reprezentat pe o scară diferită de-a lungul axei y.

5 . 2 .Formule de diferență

dar) Formule de diferență pentru derivate obișnuite

Formulele de diferență pentru calculul aproximativ al derivatei sunt sugerate de însăși definiția derivatei. Lăsați valorile funcției în puncte x i notat cu y eu:

y eu= f(x i),x i = a+ ih,i = 0, 1, ... , n; h=

Considerăm cazul unei distribuții uniforme a punctelor pe segment [ A, b]. Pentru calculul aproximativ al derivatelor la puncte x i puteți folosi următoarele formule de diferență , sau derivate de diferență .

Deoarece limita relaţiei (5.1) la h® 0 este egal cu derivata dreaptă în punct x i, atunci această relație se numește uneori derivată diferență dreaptă la punct x i.Din un motiv similar se numeste relatia (5.2). derivată diferență stângă la punct x i.Relaţia (5.3) se numeşte derivată de diferență centrală la punct x i.

Să estimăm formula de eroare a diferenței (5.1)–(5.3), presupunând că funcția f(X) se extinde într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x i:

f(X)= f(x i)+ . (5.4)

Setarea în (5.4) X= x i+ h sau x = x i- h, primim

Prin înlocuirea directă a expansiunilor (5.5) și (5.6) în formula (5.10), putem obține dependența dintre derivata a doua a funcției și formula diferențelor pentru derivata de ordinul doi .

Cum poate ajuta Excel la calcularea derivatei unei funcții? Dacă funcția este dată de o ecuație, atunci după diferențierea analitică și obținerea unei formule, Excel vă va ajuta să calculați rapid valorile derivatei pentru orice valori de argument care interesează utilizatorul.

Dacă funcția este obținută prin măsurători practice și dată în valori tabelare, atunci Excel poate oferi o asistență mai semnificativă în acest caz la efectuarea diferențierii numerice și prelucrarea și analiza ulterioară a rezultatelor.

În practică, problema calculării derivatei prin metoda diferențierii numerice poate apărea și în mecanică (când se determină viteza și accelerația unui obiect din măsurătorile disponibile ale traseului și timpului) și în ingineria termică (când se calculează transferul de căldură peste timp). Acest lucru poate fi necesar și, de exemplu, la forarea puțurilor pentru a analiza densitatea stratului de sol trecut de burghiu, la rezolvarea unui număr de probleme balistice etc.

O situație similară are loc în problema „inversa” de calcul a grinzilor încărcate complex, când există dorința de a găsi valorile sarcinilor care acționează din deformații.

În a doua parte a articolului, folosind un exemplu „în direct”, vom lua în considerare calculul derivatei prin formula aproximativă pentru diferențierea numerică folosind expresii în diferențe finite și vom înțelege întrebarea - Este posibil folosind aproximări ale derivatelor prin diferențe finite pentru a determina sarcinile care actioneaza in sectiuni din deformarile grinzii?

Teoria minima.

Derivata determină rata de schimbare a unei funcții care descrie un proces în timp sau spațiu.

Limita raportului dintre o modificare la un punct de funcție și o modificare a unei variabile, deoarece modificarea variabilei tinde spre zero, se numește derivată a unei funcții continue.

y ' (x) \u003d lim (Δy / Δx) la ∆x→0

Sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct este tangenta pantei la axa x a tangentei la graficul funcției în acel punct.

tg (α)=Δy/Δx

Dacă funcția este discretă (tabulară), atunci valoarea aproximativă a derivatei sale într-un punct este găsită folosind diferențe finite.

y' (x) i ≈(Δy/Δx )i=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

Diferențele finite sunt numite deoarece au o valoare specifică, măsurabilă, finită, în contrast cu mărimile care tind spre zero sau infinit.

Tabelul de mai jos prezintă o serie de formule care vor fi utile în diferențierea numerică a funcțiilor din tabel.

Formulele de diferență centrală dau de obicei rezultate mai precise, dar adesea nu pot fi aplicate la marginile intervalelor de valori. Pentru aceste cazuri, sunt utile aproximările prin diferențe finite stânga și dreapta.

Calculul derivatei de ordinul doi folosind exemplul de calcul al momentelor în secțiunile grinzii din deformații cunoscute.

Dat:

Pe o grindă de 8 metri lungime cu suporturi articulate de-a lungul marginilor, realizată din două perechi de grinzi în I de oțel (St3) 30M, se susțin 7 trepte cu treapta de 1 metru. O platformă cu echipament este atașată la partea centrală a grinzii. Probabil, forța de la acoperire, transmisă prin grinzi către grinda, este aceeași în toate punctele și este egală cu F1. Platforma suspendată are o greutate 2*F2 si este atasat de grinda in doua puncte.

Se presupune că grinda înainte de aplicarea sarcinilor a fost absolut dreaptă, iar după încărcare se află în zona deformațiilor elastice.

Figura de mai jos prezintă schema de calcul a problemei și forma generala diagramă.

Următoarea captură de ecran arată datele originale.

Date inițiale estimate:

3. Greutatea de rulare a fasciculului I 30M:

y =50,2 kg/m

Secțiunea fasciculului este alcătuită din două grinzi I:

n=2

Greutatea specifică a fasciculului:

q \u003d γ * n * g \u003d 50,2 * 2 * 9,81 / 1000 \u003d 0,985 N / mm

5. Momentul de inerție al secțiunii fasciculului I 30M:

I x1 =95.000.000 mm 4

Momentul de inerție al secțiunii compozite a grinzii:

I x \u003d I x 1 * n \u003d 95.000.000 * 2 \u003d 190.000.000 mm 4

10. Deoarece grinda este încărcată simetric în jurul mijlocului său, reacțiile ambilor suporturi sunt aceleași și egale cu fiecare jumătate din sarcina totală:

R \u003d (q * z max + 8 * F 1 + 2 * F 2) / 2 \u003d (0,985 * 8000 + 8 * 9000 + 2 * 50000) / 2 \u003d 85 440 N

Calculul ține cont de greutatea proprie a grinzii!

O sarcină:

Găsiți valorile momentului de încovoiere Mxi in sectiuni de grinda analitic prin formulele rezistentei materialelor si prin metoda diferentierii numerice a liniei de deformare calculate. Comparați și analizați rezultatele obținute.

Soluţie:

Primul lucru pe care îl vom face este să calculăm forțele tăietoare în Excel. Q y, momente de încovoiere Mx, unghiuri de rotație U x fascicul și axele de deviere Vx conform formulelor clasice de rezistență a materialelor în toate secțiunile cu o treaptă h. (Deși, în principiu, nu vom avea nevoie de valorile forțelor și unghiurilor în cele ce urmează.)

Rezultatele calculului sunt în celulele I5-L54. Captura de ecran de mai jos arată jumătate din tabel, deoarece valorile din a doua parte sunt oglindite sau similare cu valorile afișate.

Formulele utilizate în calcule pot fi vizualizate.

Deci, cunoaștem valorile exacte ale momentelor și abaterilor.

Din teorie știm că:

Unghiul de rotație este prima derivată a devierii U=V'.

Momentul este derivata a doua a deformarii M=V''.

Forța este a treia derivată a devierii Q=V'''.

Să presupunem că coloana de deviații exacte nu se obține prin calcule analitice, ci prin măsurători pe un fascicul real și nu mai avem alte date. Calculăm derivatele secunde ale valorilor exacte ale deviațiilor folosind formula (6) din tabelul din secțiunea anterioară a articolului și găsim valorile momentelor prin metoda diferențierii numerice.

M xi \u003d V y ’’ ≈ ((V i +1 -2 * V i + V i -1 ) / h 2) * E * I x

Rezultatul calculelor îl vedem în celulele M5-M54.

Valorile exacte ale momentelor calculate prin formulele analitice ale materialului de rezistență, ținând cont de greutatea grinzii în sine, diferă ușor de cele găsite prin formulele aproximative de calcul a derivatelor. Momentele sunt determinate foarte precis, judecând după erori relative, calculat ca procent în celulele N5-N54.

ε \u003d (M x -V y ’’) / M x * 100%

Sarcina a fost rezolvată. Am efectuat calculul derivatei a doua printr-o formulă aproximativă folosind diferențe finite centrale și am obținut un rezultat excelent.

știind exacte valorile deformarilor pot fi gasite prin diferentiere numerica cu mare precizie pentru a gasi momentele care actioneaza in sectiuni si a determina gradul de incarcare al grinzii!

Dar...

Din păcate, nu ar trebui să se gândească asta în practică ușor de obținut măsurătorile de înaltă precizie necesare ale deflexiunilor grinzilor încărcate complex!

Faptul este că măsurătorile de deformare trebuie efectuate cu o precizie de ~1 µm și să încerce să minimizeze etapa de măsurare h, „direcționând-o către zero”, deși acest lucru poate să nu ajute la evitarea erorilor.

Adesea, o scădere a etapei de măsurare cu erori semnificative în măsurătorile de deviație poate duce la rezultate absurde. Trebuie să fim foarte atenți la diferențierea numerică pentru a evita erorile fatale.

Astăzi există dispozitive - interferometre laser care oferă viteză mare, stabilitate și precizie de măsurare de până la 1 micron, filtrează programatic zgomotul și multe altele care pot fi programate, dar prețul lor este de peste 300.000 USD ...

Să vedem ce se întâmplă dacă pur și simplu rotunjim valorile exacte de deformare din exemplul nostru la două zecimale - adică la sutimi de milimetru și recalculăm momentele în secțiuni folosind aceeași formulă pentru calcularea derivatei.

Dacă mai devreme eroarea maximă nu depășea 0,7%, acum (în secțiunea i=4) depășește 23%, deși rămâne acceptabil în secțiunea cea mai periculoasă ( ε 21=1,813%).

Pe lângă metoda numerică considerată pentru calcularea derivatelor folosind diferențe finite, este posibil (și adesea necesar) să se aplice o altă metodă - măsurători cu un polinom de putere și să se găsească derivatele analitic, iar apoi să se compare rezultatele obținute în diferite moduri. Dar trebuie înțeles că diferențierea polinomului de putere de aproximare este și, în ultimă instanță, o metodă aproximativă, care depinde în mod esențial de gradul de precizie al aproximării.

Datele inițiale - rezultatele măsurătorilor - în cele mai multe cazuri, înainte de a fi utilizate în calcule, ar trebui procesate, eliminând valorile care sunt în afara seriei logice.

Calculul derivatei prin metode numerice trebuie facut intotdeauna cu mare atentie!

Dragi cititori, vă rugăm să plasați recenzii și comentarii la articol într-un bloc special sub articol.

Pentru a primi informații despre lansarea de noi articole pe blog, abonați-vă la anunțuri în fereastra situată în partea de sus a paginii sau imediat după articol.

cere RESPECTAREA opera autorului descarcă un fișier cu un exemplu DUPĂ ABONARE pentru anunţuri de articole.

Multe probleme de inginerie necesită adesea calcularea derivatelor. Când există o formulă care descrie procesul, nu există dificultăți: luăm formula și calculăm derivata, așa cum am învățat la școală, găsim valorile derivatei în diferite puncte și atât. Dificultatea, probabil, constă doar în aceasta, pentru a ne aminti cum să calculăm derivatele. Dar dacă avem doar câteva sute sau mii de rânduri de date și nu există nicio formulă? De cele mai multe ori, exact asta se întâmplă în practică. Ofer două moduri.

Primul este că ne aproximăm setul de puncte functie standard Excel, adică selectăm funcția care se potrivește cel mai bine punctelor noastre (în Excel aceasta este funcție liniară, logaritmic, exponențial, polinom și putere). A doua modalitate este diferențierea numerică, pentru care vom avea nevoie doar de capacitatea de a introduce formule.

Amintiți-vă ce este o derivată în general:

Derivata funcției f (x) în punctul x este limita raportului dintre incrementul Δf al funcției în punctul x și incrementul Δx al argumentului când acesta din urmă tinde spre zero:

Deci, să folosim aceste cunoștințe: vom lua pur și simplu valori foarte mici ale incrementului argumentului pentru a calcula derivata, adică. Δx.

Pentru a găsi valoarea aproximativă a derivatei în punctele de care avem nevoie (și punctele noastre sunt valori diferite ale gradului de deformare ε), puteți face următoarele. Să ne uităm din nou la definiția derivatei și să vedem că atunci când folosim creșteri mici ale argumentului Δε (adică creșteri mici ale gradului de deformare care sunt înregistrate în timpul testării), putem înlocui valoarea derivatei reale în punctul x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) la raportul Δy / Δx \u003d (f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx.

Adică iată ce se întâmplă:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx (1)

Pentru a calcula această derivată în fiecare punct, efectuăm calcule folosind două puncte învecinate: primul cu coordonata ε 0 de-a lungul axei orizontale, iar al doilea cu coordonata x 0 + Δx, adică. unul - derivata în care calculăm și cea care este mai corectă. Derivata calculată în acest fel se numește diferență derivată la dreapta (înainte) cu un pasΔ X.

Putem face invers, luând celelalte două puncte învecinate: x 0 - Δx și x 0, adică cel care ne interesează și cel din stânga. Obținem formula de calcul diferență derivată la stânga (spate) cu un pas -Δ X.

f'(x 0) ≈(f (x 0) - f (x 0 - Δx)) / Δx (2)

Formulele anterioare au fost „stânga” și „dreapta”, și există o altă formulă care vă permite să calculați derivată de diferență centrală cu un pas de 2 Δx, și care cel mai adesea folosit pentru diferențierea numerică:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0 - Δx)) / 2Δx (3)

Pentru a verifica formula, luați în considerare un exemplu simplu cu funcția cunoscută y=x 3 . Vom construi un tabel în Excel cu două coloane: x și y, apoi vom construi un grafic folosind punctele disponibile.

Derivata functiei y=x 3 este y=3x 2 , al carei grafic, i.e. parabola, trebuie să obținem folosind formulele noastre.

Să încercăm să calculăm valorile derivatei diferenței centrale în punctele x. Pentru aceasta. În celula din al doilea rând al tabelului nostru, completăm formula noastră (3), adică. următoarea formulă in excel:

Acum construim un grafic folosind valorile deja existente ale lui x și valorile obținute ale derivatei diferenței centrale:

Și iată micuța noastră parabolă roșie! Deci formula funcționează!

Ei bine, acum putem trece la o problemă de inginerie specifică, care a fost discutată la începutul articolului - la găsirea modificării dσ/dε cu creșterea efortului. Prima derivată a curbei „stres-deformare” σ=f (ε) în literatura străină este numită „rată de întărire” (rată de întărire prin deformare), iar în a noastră – „factor de întărire”. Deci, în urma testării, avem o matrice de date, care constă din două coloane: una cu valori de deformare ε și cealaltă cu valori de tensiuni σ în MPa. Să luăm deformarea la rece a oțelului 1035 sau a 40G al nostru (vezi tabelul analogilor oțelurilor) la 20°C.

C	Mn	P	S	Si	N
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

Iată curba noastră în coordonatele „stres adevărat - deformare adevărată” σ-ε:

Acționăm în același mod ca în exemplul anterior și obținem următoarea curbă:

Aceasta este modificarea vitezei de întărire în cursul deformării. Ce să faci cu ea este o întrebare separată.