23. Conceptul de diferenţial al unei funcţii. Proprietăți. Aplicarea diferenţialului în aproximarecalculele.

Conceptul de diferenţial de funcţie

Fie funcția y=ƒ(x) să aibă o derivată diferită de zero în punctul x.

Apoi, conform teoremei privind legătura unei funcții, a limitei acesteia și a unei funcții infinitezimale, putem scrie ∆х+α ∆х.

Astfel, incrementul funcției ∆у este suma a doi termeni ƒ "(х) ∆х și a ∆х, care sunt infinitezimali la ∆x→0. În acest caz, primul termen este infinit funcție mică de același ordin ca ∆x, deoarece iar al doilea termen este o funcție infinitezimală a mai multor ordin înalt decât ∆x:

Prin urmare, primul termen ƒ „(x)  ∆x se numește partea principală a incrementului funcţiile ∆у.

diferenţial de funcţie y \u003d ƒ (x) în punctul x se numește partea principală a incrementului său, egală cu produsul derivatei funcției și incrementul argumentului și se notează dу (sau dƒ (x)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Diferenţialul dу se mai numeşte diferenţial de ordinul întâi. Să găsim diferența variabilei independente x, adică diferența funcției y=x.

Deoarece y"=x"=1, atunci, conform formulei (1), avem dy=dx=∆x, adică diferența variabilei independente este egală cu incrementul acestei variabile: dx=∆x.

Prin urmare, formula (1) poate fi scrisă după cum urmează:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

cu alte cuvinte, diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul variabilei independente.

Din formula (2), urmează egalitatea dy / dx \u003d ƒ "(x). Acum denumirea

derivata dy/dx poate fi privită ca raportul dintre diferenţialele dy şi dx.

Diferenţialare următoarele proprietăți principale.

1. d(Cu)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(Cuu)=Cud(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Forma diferenţialului este invariantă (invariantă): este întotdeauna egală cu produsul derivatei funcţiei şi diferenţialul argumentului, indiferent dacă argumentul este simplu sau complex.

Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative

După cum se știe deja, incrementul ∆у al funcției y=ƒ(х) în punctul x poate fi reprezentat ca ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, unde α→0 ca ∆х→0, sau dy+α ∆x Renunțând infinitezimalul α ∆x de ordin mai mare decât ∆x, obținem egalitatea aproximativă

∆y≈dy, (3)

în plus, această egalitate este cu atât mai precisă, cu atât ∆x este mai mic.

Această egalitate ne permite să calculăm aproximativ incrementul oricărei funcții diferențiabile cu mare precizie.

Diferența se găsește de obicei mult mai ușor decât creșterea funcției, astfel încât formula (3) este utilizată pe scară largă în practica de calcul.

24. Funcția antiderivată și nedefinităintegrala.

CONCEPTUL DE FUNCȚIE DERIVATĂ ȘI INTEGRALĂ NEDETERMINATĂ

Funcţie F (X) se numește funcția antiderivată pentru această funcție f (X) (sau, pe scurt, primitiv această funcție f (X)) pe un interval dat, dacă pe acest interval . Exemplu. Funcția este antiderivată a funcției pe întreaga axă a numerelor, deoarece pentru oricare X. Rețineți că împreună cu funcția antiderivată for este orice funcție de forma , unde DIN- un număr constant arbitrar (asta rezultă din faptul că derivata constantei este egală cu zero). Această proprietate este valabilă și în cazul general.

Teorema 1. Dacă și sunt două antiderivate pentru funcție f (X) într-un anumit interval, atunci diferența dintre ele în acest interval este egală cu un număr constant. Din această teoremă rezultă că dacă se cunoaşte vreo antiderivată F (X) din această funcție f (X), apoi întregul ansamblu de antiderivate pt f (X) este epuizat de funcţii F (X) + DIN. Expresie F (X) + DIN, Unde F (X) este antiderivată a funcției f (X) și DIN este o constantă arbitrară, numită integrală nedefinită din functie f (X) și este notat cu simbolul și f (X) se numește integrand ; - integrand , X - variabila de integrare ; ∫ - semn integral nedefinit . Deci prin definiție dacă . Se pune întrebarea: pentru orice funcții f (X) există o antiderivată și, prin urmare, o integrală nedefinită? Teorema 2. Dacă funcţia f (X) continuu pe [ A ; b], apoi pe acest segment pentru funcția f (X) există o primitivă . Mai jos vom vorbi despre antiderivate doar pentru funcții continue. Prin urmare, integralele considerate mai jos în această secțiune există.

25. Proprietăţile indefinituluișiintegrală. Integrals din funcţiile elementare de bază.

Proprietățile integralei nedefinite

În formulele de mai jos fși g- functii variabile X, F- antiderivat al funcției f, a, k, C sunt valori constante.







Integrale ale funcţiilor elementare

Lista integralelor funcțiilor raționale

(antiderivata lui zero este o constantă; în orice domeniu de integrare, integrala lui zero este egală cu zero)

Lista integralelor funcțiilor logaritmice

Lista integralelor de funcții exponențiale

Lista integralelor din funcții iraționale

(„logaritm lung”)

lista de integrale ale funcțiilor trigonometrice , lista de integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse

26. Metoda substituirilors variabilă, metoda de integrare pe părţi în integrala nedefinită.

Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituție constă în introducerea unei noi variabile de integrare (adică o substituție). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.

Să fie necesar să se calculeze integrala Să facem o substituție unde este o funcție care are o derivată continuă.

Apoi iar pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare a integralei nedefinite obținem formula de integrare a substituției:

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:

În special, cu ajutorul n-plierea acestei formule se gaseste integrala

unde este un polinom de gradul al treilea.

30. Proprietăţile unei integrale definite. formula Newton-Leibniz.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Proprietățile Integralei Definite

formula Newton-Leibniz.

Lasă funcția f (X) este continuă pe intervalul închis [ a, b]. În cazul în care un F (X) - antiderivat funcții f (X) pe[ a, b], apoi

Valoarea aproximativă a incrementului funcției

Pentru incremente suficient de mici ale funcției este aproximativ egală cu diferența sa, i.e. Dy » dy și, prin urmare,

Exemplul 2 Aflați valoarea aproximativă a incrementului funcției y= când argumentul x se schimbă de la valoarea x 0 =3 la x 1 =3,01.

Soluţie. Folosim formula (2.3). Pentru a face acest lucru, calculăm

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, apoi

face » .

Valoarea aproximativă a unei funcții într-un punct

În conformitate cu definiția incrementării funcției y = f(x) în punctul x 0, când argumentul Dx (Dx®0) este incrementat, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) iar formula (3.3) poate fi scrisă

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3,4)

Cazuri particulare de formula (3.4) sunt expresiile:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4v)

tgDx » Dx (3,4 g)

Aici, ca și înainte, se presupune că Dx®0.

Exemplul 3 Găsiți valoarea aproximativă a funcției f (x) \u003d (3x -5) 5 în punctul x 1 \u003d 2,02.

Soluţie. Pentru calcule, folosim formula (3.4). Să reprezentăm x 1 ca x 1 = x 0 + Dx. Atunci x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Exemplul 4 Calculați (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Soluţie

1. Să folosim formula (3.4a). Pentru a face acest lucru, reprezentăm (1.01) 5 ca (1+0.01) 5 .

Apoi, presupunând Dx = 0,01, n = 5, obținem

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Reprezentând sub forma (1 - 0,006) 1/6, conform (3.4a), obținem

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Considerând că ln(1.02) = ln(1 + 0.02) și presupunând Dx=0.02, prin formula (3.4b) obținem

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. În mod similar

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Găsiți incremente aproximative ale funcțiilor

155. y = 2x 3 + 5 când argumentul x se schimbă de la x 0 = 2 la x 1 = 2.001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 pentru x 0 \u003d 3 și Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 cu x 0 \u003d 2 și Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x la x 0 \u003d 10 și Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x cu x 0 \u003d 3 și Dx \u003d 0,01

Găsiți valorile aproximative ale funcțiilor

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 la x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 la x 1 \u003d 3,02

162.y= în punctul x 1 = 1,1

163. y \u003d în punctul x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d în punctul x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d sin 2x la x 1 \u003d 0,015

Calculați aproximativ

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1,003×e) 179 ln(1,05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Explorarea funcțiilor și trasarea

Semne de monotonitate ale unei funcții

Teorema 1 (conditie necesara funcție de creștere (scădere) . Dacă o funcție diferențiabilă y = f(x), xн(a; b) crește (descrește) pe intervalul (a; b), atunci pentru orice x 0 н(a; b).

Teorema 2 (condiție suficientă pentru creșterea (scăderea) funcțiilor) . Dacă funcția y = f(x), xн(a; b) are o derivată pozitivă (negativă) în fiecare punct al intervalului (a; b), atunci această funcție crește (descrește) pe acest interval.

Extreme ale funcției

Definiția 1. Punctul x 0 se numește punctul maxim (minim) al funcției y \u003d f (x) dacă pentru tot x dintr-o vecinătate d a punctului x 0 inegalitatea f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) pentru x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Fermă) (condiție necesară pentru existența unui extremum) . Dacă punctul x 0 este punctul extrem al funcției y = f(x) și există o derivată în acest punct, atunci

Teorema 4 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum) . Fie funcția y = f(x) diferențiabilă într-o vecinătate d a punctului x 0 . Apoi:

1) dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din (+) în (-), atunci x 0 este punctul maxim;

2) dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din (-) în (+), atunci x 0 este punctul minim;

3) dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci în punctul x 0 funcția nu are un extremum.

Definiția 2. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții dispare sau nu există puncte critice de primul fel.

folosind prima derivată

1. Aflați domeniul de definiție D(f) al funcției y = f(x).

2. Calculați prima derivată

3. Găsiți puncte critice de primul fel.

4. Așezați punctele critice în domeniul de definiție D(f) al funcției y = f(x) și determinați semnul derivatei în intervalele în care punctele critice împart domeniul funcției.

5. Selectați punctele maxime și minime ale funcției și calculați valorile funcției în aceste puncte.

Exemplul 1 Investigați funcția y \u003d x 3 - 3x 2 pentru un extrem.

Soluţie. În conformitate cu algoritmul pentru găsirea extremului unei funcții folosind derivata întâi, avem:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 sunt puncte critice de primul fel.

Derivată la trecerea prin punctul x = 0

schimbă semnul de la (+) la (-), deci este un punct

Maxim. Când treceți prin punctul x \u003d 2, acesta își schimbă semnul de la (-) la (+), prin urmare acesta este punctul minim.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Coordonate maxime (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Coordonate minime (2; -4).

Teorema 5 (a doua condiție suficientă pentru existența unui extremum) . Dacă funcția y \u003d f (x) este definită și de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului x 0 și , atunci în punctul x 0 funcția f (x) are un maxim dacă și un minim dacă .

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții

folosind derivata a doua

1. Aflați domeniul de definiție D(f) al funcției y = f(x).

2. Calculați prima derivată

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

Dar Δ y = Δ f(X 0) este incrementul funcției și f (X 0) Δ x = df(X 0) este funcția diferenţială.

Prin urmare, obținem în sfârșit

Teorema 1. Fie funcția y = f(X) în punctul x 0 are o derivată finită f (X 0)≠0. Apoi pentru valori suficient de mici Δ x, are loc egalitatea aproximativă (1), care devine arbitrar exactă pentru Δ X→ 0.

Astfel, diferența unei funcții într-un punct X 0 este aproximativ egal cu incrementul funcției în acel punct.

pentru că apoi din egalitate (1) se obţine

la Δ X→ 0 (2)

la X→ X 0 (2  )

Deoarece ecuația tangentei la graficul funcției y= f(X) la punct X 0 are forma

Acea egalitățile aproximative (1)-(2) înseamnă geometric că în apropierea punctului x=x 0 graficul funcției y \u003d f(X) se înlocuiește aproximativ cu tangenta la curba y = f(X).

Pentru valori suficient de mici increment complet funcțiile și diferența diferă ușor, adică . Această circumstanță este utilizată pentru calcule aproximative.

Exemplul 1 Calculați aproximativ .

Soluţie. Luați în considerare o funcție și un set X 0 = 4, X= 3,98. Apoi Δ X =X –X 0 = – 0,02, f(X 0)= 2. Din moment ce , atunci f (X 0)=1/4=0,25. Prin urmare, conform formulei (2), obținem în final: .

Exemplul 2 Folosind diferența funcției, determinați cât de aproximativ se va schimba valoarea funcției y=f(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X la scăderea valorii argumentului său X 0 = 0 cu 0,01.

Soluţie. În virtutea (1), modificarea funcției y = f(X) la punct X 0 este aproximativ egal cu diferența funcției în acest punct pentru valori suficient de mici ale lui D X:

Calculați diferența funcției df(0). Il avem pe D X= -0,01. pentru că f (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ cos 2 4 X)∙4, atunci f (0)=5∙4=20 și df(0)=f (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.

Prin urmare, Δ f(0) ≈ –0,2, adică la scăderea valorii X 0 = 0 argument al funcției cu 0,01 valoarea funcției în sine y=f(X) va scădea cu aproximativ 0,2.

Exemplul 3 Fie funcția de cerere pentru un produs . Este necesar să se găsească cantitatea cerută pentru un produs la un preț p 0 \u003d 3 den. și stabiliți cât de aproximativ va crește cererea cu o scădere a prețului mărfurilor cu 0,2 unități monetare.

Soluţie. La un pret p 0 \u003d 3 den. volumul cererii Q 0 =D(p 0)=270/9=30 unități bunuri. Modificarea prețului Δ p= -0,2 den. unitati Datorită (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Să calculăm diferența dintre volumul cererii pentru produs.

De atunci D (3) = –20 și

diferența de volum a cererii dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20 (–0,2) = 4. Prin urmare, Δ Q(3) ≈ 4, adică când prețul mărfurilor scade p 0 \u003d 3 cu 0,2 unități monetare. volumul cererii pentru produs va creste cu aproximativ 4 unitati de marfa si va deveni egal cu aproximativ 30 + 4 = 34 de unitati de marfa.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Ce se numește diferența unei funcții?

2. Ce este sens geometric diferenţial de funcţie?

3. Enumeraţi principalele proprietăţi ale funcţiei diferenţiale.

3. Scrieți formule care să vă permită să aflați valoarea aproximativă a unei funcții folosind diferența acesteia.

Eroare absolută

Definiție

Valoarea diferenței absolute dintre valoarea u0 exactă și cea aproximativă a mărimii se numește eroarea absolută a valorii aproximative u0. Eroarea absolută este notată cu $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Cel mai adesea, valoarea exactă a lui u și, prin urmare, eroarea absolută $\Delta $u, este necunoscută. Prin urmare, este introdus conceptul de graniță de eroare absolută.

Eroare de limită a valorii aproximative

Definiție

Orice număr pozitiv mai mare sau egală cu eroarea absolută este marja de eroare a valorii aproximative:

\[|u-u_(0) |=\Delta _(u) \le \overline(\Delta _(u) )\]

Prin urmare, valoarea exactă a cantității este cuprinsă între $u_(0) -\overline(\Delta _(u) )$ și $u_(0) +\overline(\Delta _(u) )$

Dacă limita absolută de eroare în găsirea unei valori u este $\overline(\Delta _(u) )$, atunci se spune că valoarea u este găsită cu o precizie de $\overline(\Delta _(u) )$.

Eroarea relativă și limita ei

Definiție

Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută $\Delta $u și modulul valorii aproximative u0 a valorii măsurate.

Notând eroarea relativă cu simbolul $\delta $u, obținem

\[\delta _(u) =\frac(\Delta _(u) )(\left|u_(0) \right|) \]

Definiție

Limita de eroare relativă este raportul dintre limita de eroare absolută și modulul valorii aproximative a valorii măsurate:

\[\overline(\delta _(u) )=\frac(\overline(\Delta _(u) ))(\left|u_(0) \right|) \]

$\delta _(u) $ și $\overline(\delta _(u) )$ sunt adesea exprimate în procente.

Diferenţial de funcţie

Diferenţialul unei funcţii se notează dy şi are forma:

dy = f "(x) $\Delta $x

LA niste cazuri, calculul de increment al funcției este înlocuit cu calcul diferenţial funcții cu o oarecare aproximare. Diferenţialul unei funcţii este mai uşor de calculat, deoarece necesită găsirea numai a derivatei sale pentru a calcula produsul cu variabila independentă:

\[\Delta y\aprox dy\]

Pentru că

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Valoarea incrementată a funcției arată astfel:

Folosind această formulă aproximativă, puteți găsi valoarea aproximativă a funcției în punctul $x + \Delta x$, aproape de x de valoarea cunoscută a funcției.

Pentru calcule aproximative se utilizează formula:

\[(1+\Delta x)^(n) \aprox 1+n\Delta x\]

De exemplu:

1. Calculați aproximativ $(1,02)^3$

Unde $\Delta $x = 0,03, n = 5

\[(1,02)^(3) \aproximativ 1+0,02\cdot 3\]

Unde $\Delta $x = 0,03, n = 5

\[(1,02)^(3) \aproximativ 1,06\]

2. Calculați aproximativ $\sqrt(1.005) $

Unde $\Delta $x = 0,005, n = 0,5

\[\sqrt(1,005) \aprox 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt(1,005) \aprox 1,0025\]

Exemplul 1

Calculați aproximativ creșterea volumului cilindru cu inaltime H = 40cm. iar raza bazei R = 30 cm cu o creștere a razei bazei cu 0,5 cm.

Soluţie. Volumul cilindrului V la o înălțime constantă H și o rază variabilă a bazei R este o funcție de forma:

Să scriem incrementul funcției:

\ \[\Delta V\aproximativ 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Înlocuim cantitățile cunoscute

\[\Delta V\aprox 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \aprox 3770 cm^(3) \]

Exemplul 2

Prin măsurare directă, s-a constatat că diametrul cercului este de 5,2 cm, iar eroarea maximă de măsurare este de 0,01. Găsiți erorile aproximative relative și procentuale în aria calculată a acestui cerc.

Eroarea relativă în calcularea ariei se găsește prin formula:

\[\delta _(s) =\frac(\Delta s)(s) \]

O valoare aproximativă se obține prin înlocuirea $\Delta $s cu ds. Prin urmare, se va face un calcul aproximativ după formula:

\[\delta_(s)=\frac(ds)(s)\]

Deoarece aria unui cerc cu raza x este:

\ \

În acest fel,

\[\delta _(s) =\frac(\frac(1)(2) \pi xdx)(\frac(1)(4) \pi x^(2) ) =2\frac(dx)(x )\]

Înlocuiți x și dx cu valori numerice

\[\delta_(s)=2\frac(0,01)(5,2) \aproximativ 0,004\]

(care este o eroare de 4%)