Aproape toată lumea știe cum arată simbolul infinitului, care seamănă cu o figură opt inversată. Acest semn mai este numit și „lemniscate”, care înseamnă panglică în greaca veche. Imaginează-ți că simbolul infinitului este foarte asemănător cu o figură matematică din viața reală. Faceți cunoștință cu Moebius Strip!

Ce este o bandă Möbius?

banda Mobius(sau mai este numită și bucla Mobius, bandă Mobius și chiar inelul Mobius) este una dintre cele mai cunoscute suprafețe din matematică. O buclă Möbius este o buclă cu o suprafață și o margine.

Pentru a înțelege ce este în joc și cum poate fi, ia o coală de hârtie, tăiați o bandă dreptunghiulară și în momentul conectării capetelor acesteia, răsuciți una dintre ele la 180 de grade, apoi conectați-o. Imaginea de mai jos vă va ajuta să vă dați seama cum să faceți o bandă Mobius.

Ce este atât de remarcabil la banda Möbius?

banda Mobius- un exemplu de suprafață unilaterală neorientabilă cu o margine în spațiul euclidian tridimensional obișnuit. Majoritatea obiectelor sunt orientabile, având două fețe, cum ar fi o coală de hârtie.

Cum poate o bandă Möbius să fie o suprafață neorientabilă, unilaterală - veți spune, pentru că hârtia din care este făcută are două fețe. Și încerci să iei un marker și să umpli cu culoare una dintre părțile benzii, în final vei lovi poziția inițială, iar întreaga bandă va fi vopsită complet, ceea ce confirmă că are o singură față.

Să crezi că bucla Möbius are o singură margine - glisează-ți degetul de-a lungul uneia dintre marginile benzii fără întrerupere și tu, la fel ca și în cazul colorării, vei ajunge în punctul din care ai început să te miști. Uimitor, nu-i așa?

Studiul benzii Möbius și al multor alte obiecte interesante este implicat în - topologie, o ramură a matematicii care explorează proprietățile invariabile ale unui obiect în timpul deformării sale continue - întindere, compresie, îndoire, fără a încălca integritatea.

Descoperirea lui August Möbius

Un matematician german este recunoscut drept „părintele” acestei casete neobișnuite August Ferdinand Möbius, un student al lui Gauss, care a scris mai mult de o lucrare despre geometrie, dar a devenit faimos în principal pentru descoperirea unei suprafețe unilaterale în 1858.

Surprinzător este faptul că o bandă cu o suprafață în același 1858 a fost descoperită de un alt student al lui Gauss - un matematician talentat. Johann Listing, care a inventat termenul de „topologie” și a scris o serie de lucrări fundamentale despre această ramură a matematicii. Cu toate acestea, banda neobișnuită și-a primit încă numele de la numele lui Möbius.

Există o credință populară că prototipul modelului „buclă infinită” a fost o bandă cusută greșit de servitoarea profesorului August Möbius.

De fapt, banda a fost descoperită cu mult timp în urmă în lumea antica. Una dintre confirmări este un mozaic roman antic aflat în Franța, în muzeul orașului Arles, cu aceeași panglică răsucită. Îl înfățișează pe Orfeu încântând animale cu sunetele unei harpe. Pe fundal, este înfățișat în mod repetat un ornament cu o panglică răsucită.

„Magia” benzii Möbius

1. În ciuda prezenței aparente a două fețe ale benzii Möbius, de fapt există o singură față și nu va funcționa pentru a colora banda în două culori.
2. Dacă desenați o linie pe toată lungimea buclei cu un pix sau un creion fără să luați mâna de pe foaie, atunci stiloul se va opri în cele din urmă în punctul de la care ați început să desenați linia;
3. La tăierea panglicii se obțin experiențe remarcabile, care pot surprinde atât un adult, cât și un copil în special.

• Mai întâi, lipiți banda Möbius, așa cum este descris mai devreme. Apoi îl tăiem pe toată lungimea exact la mijloc, așa cum se arată mai jos:

Vei fi destul de surprins de rezultat, pentru că, contrar așteptărilor, nu vor rămâne în mâinile tale două bucăți de bandă și nici măcar două cercuri separate, ci o altă bandă, chiar mai lungă. Aceasta nu va mai fi o bandă Mobius răsucită la 180 de grade, ci o bandă cu o rotație de 360 ​​de grade.

• Acum vom efectua un alt experiment - vom face o altă buclă Mobius, după care vom măsura 1/3 din lățimea benzii și o vom tăia de-a lungul acestei linii. Rezultatul te va uimi și mai mult - două panglici separate de dimensiuni diferite vor rămâne în mâinile tale, legate între ele, ca într-un lanț: o panglică mică și o a doua mai lungă.

Banda Möbius mai mică va avea 1/3 din lățimea benzii originale, lungimea L și va fi rotită la 180 de grade. Cea de-a doua panglică mai lungă va avea, de asemenea, 1/3 lată ca originala, dar 2L lungime și rotită la 360 de grade.

• Puteți continua experimentul mai departe, tăind benzile rezultate în altele și mai înguste, veți vedea singur rezultatul.

De ce avem nevoie de o buclă Mobius? Aplicație

Banda Möbius nu este deloc o figură abstractă, necesară doar în scopurile matematicii, ea și-a găsit aplicație și în viața de zi cu zi reală. Conform principiului acestei centuri, la aeroport funcționează o centură, mutând valizele din portbagaj. Acest design îi permite să reziste mai mult datorită uzurii uniforme. Descoperirea lui August Möbius este utilizată pe scară largă în industria mașinilor-unelte. Designul este folosit pentru timp de înregistrare mai lung pe film, precum și în imprimantele care folosesc bandă la imprimare.

Datorită vizibilității sale, bucla Möbius face posibil ca oamenii de știință moderni să facă din ce în ce mai multe noi descoperiri. De la descoperirea proprietăților uimitoare ale buclei, un val de noi invenții brevetate a cuprins lumea. De exemplu, o îmbunătățire semnificativă a proprietăților miezurilor magnetice realizate dintr-o bandă feromagnetică înfășurată prin metoda Mobius.

N. Tesla a primit un brevet pentru un sistem de curent alternativ multifazic, folosind înfășurarea bobinelor generatorului ca o buclă Mobius.

Omul de știință american Richard Davis a proiectat un rezistor Moebius nereactiv - capabil să atenueze rezistența reactivă (capacitivă și inductivă) fără a provoca interferențe electromagnetice.

Banda Mobius - un câmp larg pentru inspirație

Este greu de apreciat importanța descoperirii buclei Möbius, care a inspirat nu doar un număr mare de oameni de știință, ci și scriitori și artiști.

Cea mai cunoscută lucrare dedicată benzii Möbius este pictura Moebius Strip II, Furnici roșii sau Furnici roșii a graficianului olandez Maurits Escher. Imaginea prezintă furnici urcând bucla Moebius pe ambele părți, de fapt există o singură parte. Furnicile se târăsc într-o buclă nesfârșită una după alta pe aceeași suprafață.

Artistul și-a tras ideile din articole și lucrări de matematică, a fost profund fascinat de geometrie. În acest sens, litografiile și gravurile sale conțin adesea diverse forme geometrice, fractali, iluzii optice uluitoare.

Până acum, interesul pentru bucla Möbius este la un nivel foarte scăzut. nivel inalt, chiar și sportivii au introdus figura de acrobație cu același nume.

Mai mult de un film a fost realizat pe baza lucrării Fâșiei Möbius a scriitorului de science fiction Armin Deutsch. Sub forma unei bucle Mobius, sunt create o mare varietate de bijuterii, pantofi, sculpturi și multe alte obiecte și forme.

Fâșia Möbius și-a lăsat amprenta asupra producției, designului, artei, științei, literaturii și arhitecturii.

Mințile multor oameni erau îngrijorate de asemănarea formei moleculei de ADN și a buclei Möbius. A existat o ipoteză înaintată de către citologul sovietic Navashin că forma cromozom inel similară ca structură cu banda Möbius. Această idee a omului de știință a fost determinată de faptul că cromozomul inel, înmulțindu-se, se transformă într-un inel mai lung decât la început, sau în două inele mici, dar parcă într-un lanț înfilat unul în celălalt, ceea ce amintește foarte mult de experimentele descrise mai sus cu banda Möbius.

În 2015, un grup de oameni de știință din Europa și Statele Unite a putut să se rotească lumină în inelul Möbius. În experimentul științific, oamenii de știință au folosit lentile optice și lumină structurată - un fascicul laser focalizat cu o intensitate și o polarizare predeterminate în fiecare punct al mișcării sale. Ca urmare, s-au obținut benzi ușoare Möbius.

Există o altă teorie mai mare. Universul este o buclă uriașă Mobius. Einstein a aderat la această idee. El a sugerat că universul este închis și nava spatiala, pornind dintr-un anumit punct și zburând drept tot timpul, se va întoarce în același punct din spațiu și timp de la care a început mișcarea sa.

Până acum, acestea sunt doar ipoteze care au atât susținători, cât și adversari. Cine știe ce descoperire va conduce oamenii de știință, s-ar părea, un obiect atât de simplu precum Fâșia Möbius.

Bugetul municipal instituție educațională gimnaziu cu studiu aprofundat al individului

articole cu. Terbuny

banda Mobius

Completat de: Chepurina Anna Vitalievna,

elev de clasa a X-a

Șef: Kirikova M.A,

primul profesor de matematică

categoria de calificare

s.Terbuny

2015

Introducere………………………………………………………………………………………………………………............ .....3

Referință istorică ……………………………………………4

Banda Möbius este începutul unei noi științe a topologiei...............................5

Realizarea unei benzi Möbius ………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

Experimente cu banda Möbius ................................................ .. .................nouă

Proprietăți topologice ale benzii Möbius ……………………..11

Teoremele benzilor Möbius…………………………………… .12

Trucuri cu bandă Mobius…………………………………………15

Aplicarea benzii Möbius………………………………………..16

Concluzie................................................. .........................................23

Lista de referinte ............................................... ............................... .25

Apendice

Introducere

În timpul nostru, studiul diferitelor proprietăți și aplicații non-standard ale figurilor neobișnuite este relevant.

Ați auzit vreodată de banda Möbius? Cum poate fi făcută, cum este legată de matematică și unde se aplică în viață.

În timp ce făceam această lucrare, am ajuns la concluzia că, deși banda Möbius a fost descoperită în secolul XΙX, a fost relevantă în secolul XX și în secolul XX. Proprietățile uimitoare ale benzii Möbius au fost folosite și sunt folosite în gătit, tehnologie, fizică, pictură, arhitectură, bijuterii și bijuterii. A inspirat munca multor scriitori și artiști.

Interesul pentru banda Möbius nu a dispărut nici astăzi. În septembrie 2006, la Moscova a avut loc Festivalul de matematică artistică. Prezentarea unui profesor din orașul Tokyo a fost primită cu mare succes.

Am fost foarte interesat, intrigat de acest subiect. Am studiat literatura, apoi am făcut singur banda Möbius, iar apoi am făcut cercetări, experimente, studiind proprietățile ei magice, extraordinare.

O bandă Möbius este o bucată de hârtie cu un capăt întors o jumătate de tură (adică 180 de grade) și lipită de celălalt capăt. Milioane de oameni din toate părțile lumii nici măcar nu știu că folosesc banda Möbius în fiecare zi.

Ţintă : spuneți și arătați colegilor de clasă că arată ca o simplă bandă întoarsă

jumătate de tură cu capete lipite, poate conține multe

surprize.

Obiectul de studiu: bandă Möbius.

Sarcini: identifica sursele si literatura de specialitate pe tema si analiza-le;

faceți cunoștință cu istoria apariției fâșiei Möbius;

învață cum să faci o bandă Möbius;

studiază diferitele proprietăți ale benzii Möbius;

Lucrând la tema, am folosit următoarele metode: analiză, sinteză,

observație, experiment, comparație și anchetă sociologică.

CAPITOL eu

„Fâșia Möbius – începutul unei noi științe”

1. 1. Context istoric

Misteriosa și celebra bandă Möbius a fost inventată în 1858 de un geometru german.August Ferdinand Möbius . Ei spun că o servitoare l-a ajutat pe Möbius să-și deschidă „frunza”, coasând greșit capetele unei panglici lungi. Timp de șapte ani a așteptat luarea în considerare a lucrării sale și, fără să aștepte, a publicat rezultatele acesteia.

Concomitent cu Möbius, această frunză a fost inventată de un alt student al lui K. F. Gauss -Listare Johann Benedict, profesor la Universitatea din Göttingen. Și-a publicat opera cu trei ani mai devreme decât Möbius, în 1862. A. F. Möbius s-a născut în orașul Schulpfort. De ceva vreme, sub îndrumarea lui K. Gauss, a studiat astronomia. El a început să efectueze observații astronomice independente la Observatorul Pleisenburg în 1818. a devenit directorul acesteia. În acele vremuri, matematica nu era susținută, iar astronomia dădea destui bani pentru a nu se gândi la ele și lăsa timp pentru propriile reflecții. Devenit profesor la Universitatea din Leipzig, din 1816, Möbius a introdus pentru prima dată geometria proiectivă, un sistem de coordonate și metode analitice de cercetare; a stabilit existența suprafețelor unilaterale (fâșii Möbius), poliedre, pentru care „legea marginilor” este inaplicabilă și care nu au volum. Möbius este unul dintre fondatorii teoriei transformărilor geometrice, precum și ai topologiei. A obținut rezultate importante în teoria numerelor (funcția Möbius) și a devenit unul dintre cei mai mari geometri ai timpului său.

1.2. Banda Möbius - începutul unei noi științe a topologiei

Din momentul în care matematicianul german A. F. Möbius a descoperit existența unei uimitoare foi de hârtie cu o singură față, a început să se dezvolte o ramură cu totul nouă a matematicii numită topologie. Termenul „topologie” poate fi referit la două ramuri ale matematicii. O topologie, al cărei strămoș a fost Poincaré, a fost numită combinatorie multă vreme. Celălalt, la originea căruia a fost omul de știință german Georg Cantor, i s-a dat numele de general sau teoretic set-theoretic.

Topologia combinatorie este o ramură a geometriei. „Geometrie” este un cuvânt grecesc, tradus în rusă înseamnă „topodare”, („geo” - în greacă - pământ și „metreo" - măsură) studiază proprietățile figurilor. Ca orice știință, geometria este împărțită în secțiuni.

1. Planimetrie (cuvânt latin, „planum” - suprafață + geometrie), o secțiune a geometriei care studiază proprietățile figurilor pe un plan (triunghi, pătrat, cerc, cerc etc.)

2. Stereometrie (greacă, „stereos” - spațiu + metrică) - o secțiune de geometrie care studiază proprietățile figurilor din spațiu (bil, cub, paralelipiped etc.)

3. Topologia (greacă „topos” - loc, zonă + logică) este una dintre cele mai „tinere” secțiuni ale geometriei moderne, care studiază proprietățile unor astfel de figuri care nu se schimbă dacă sunt îndoite, întinse, comprimate, dar nu lipite. și nu se rupe, adică nu se schimbă cu deformări. Un exemplu de obiecte topologice sunt: ​​literele I și H, baloane lungi și subțiri.

Topologia combinatorie studiază proprietățile forme geometrice, care rămân neschimbate în mapările unu-la-unu și continue. Perioadă lungă de timp topologia era percepută ca o știință departe de viață, concepută doar pentru a „slăvi mintea umană”. Dar în timpul nostru s-a dovedit că este cel mai direct legat de explicația structurii universului.

Topologia generală se învecinează cu teoria mulțimilor și stă la baza matematicii. Acest teoria axiomatică, conceput pentru a explora concepte precum „limită”, „convergență”, „continuitate”, etc. Bazele axiomaticii unui spațiu topologic au fost puse de Felix Hausdorff și completate de matematicianul rus Pavel Sergeevich Aleksandrov.

1.3. Cum se face o bandă Möbius?

● Banda Möbius este una dintre (surprizele matematice). Pentru a face banda Möbius, luați o bandă dreptunghiulară ABCD, răsuciți-l la 180 de grade și lipiți părțile opuse AB șiCD, adică deci punctele A șiCși puncte Dși V.

Vezi aplicația. unsprezece.

● Formele și dimensiunile benzii de hârtie pentru banda Möbius.

Banda ar trebui să fie îngustă și lungă, cu cel mai mare raport posibil lungime-lățime. Nu poți face o bandă Möbius dintr-o foaie pătrată. Acest lucru este adevărat, dar nu trebuie subestimat faptul că restricțiile de dimensiune contează atunci când hârtia nu are voie să se încrețe. Dacă nu este interzisă mototolirea hârtiei, atunci banda Möbius poate fi lipită nu numai dintr-un pătrat, ci dintr-un dreptunghi de orice dimensiune - laturile lipite pot fi chiar de orice număr de ori mai lungi decât cele nelipite.

● Suprafata de alezare.

Deoarece cerința de a nu încreți hârtia este importantă, să vedem care este sensul ei matematic.

Este ușor de înțeles că interzicerea ridurilor limitează foarte mult

capacitatea de a manipula o foaie de hârtie. De exemplu, o foaie de hârtie poate fi pliată într-un tub sau pliată în jumătate fără să se încrețe, dar nu poate fi pliată în patru. Puteți face un con dintr-o foaie de hârtie fără să o încreți, dar nu poți face o sferă sau măcar o bucată din ea: apăsați o foaie de hârtie pe un glob și cu siguranță vor apărea riduri. După cum puteți vedea, nu orice formă poate fi dată pe o foaie de hârtie. Vezi aplicația. 2.

Suprafețele care pot fi făcute dintr-o foaie de hârtie prin îndoirea ei, dar nu zdrobirea acesteia sunt numite de matematicieni suprafețe desfăcute. În matematică, suprafețele dezvoltabile sunt definite diferit: în limbajul metamatematic, cuvintele „hârtie”, „motolit”, „face” sunt absente. Există intreaga teorie suprafețe dislocabile, ale căror realizări includ un răspuns satisfăcător la întrebarea ce pot fi; matematicienii numesc aceasta „clasificare” (răspunsul se datorează lui Leonardo Euler). Să prezentăm doar câteva proprietăți ale suprafețelor dezvoltabile ca fapte experimentale.

Vezi aplicația. 3

1. Prin fiecare punct A al suprafeței dezvoltabile care nu se află pe marginea sa trece un segment culcat pe suprafața care nu se termină în A. Cu alte cuvinte, fiecare punct poate fi atașat de suprafața dezvoltabilă (o curbă, dar foaie de hârtie nu mototolită) astfel încât să se lipească de suprafață pe o anumită distanță pe ambele părți ale punctului luat. Un astfel de segment se numește generatrixă a suprafeței (sunt de acord că acest nume se aplică numai segmentelor lungime maxima situată în întregime la suprafață, adică la segmente neconținute în segmente mari cu această proprietate).

2. Dacă două generatoare diferite trec printr-un punct A care nu se află la limita suprafeței și A nu este capătul niciunuia dintre ele, atunci o bucată suficient de mică din suprafața din jurul lui A este plată. În acest caz, punctul A va fi numit plat.

3. Dacă punctul A, care nu se află la limita suprafeței, este sfârșitul unei generatrice, să spunem:dar , atunci vecinătatea punctului A este dispusă astfel: singurul generator care nu se termină în el trece prin punctul A, să zicemb . Această generatoare împarte suprafața în două părți. Pe cealaltă parte a generatriceib , cu care este localizată generatoareaA , la generatrice b bucată plată adiacentă, pe cealaltă parte ab , în mod arbitrar din punctul A, există puncte neplate. Punctul A în această situație îl vom numi semi-plat.

Subliniem că dacă un punct al suprafeței nu este nici limită, nici plat, atunci singura generatrică care nu se termină în el trece prin el, iar capetele acestei generatrice se află la limita suprafeței.

●Exemple: o foaie de hârtie rulată într-un cilindru sau într-un con nu are puncte plate (sau semiplate). Pentru un cilindru, generatoarele alcătuiesc o familie de segmente paralele, pentru un con, o familie de segmente care se învârtesc dintr-un punct. Sunt posibile aranjamente mai complexe ale generatoarelor.

Vezi aplicația. 4 .

De exemplu, generatoarele și punctele plate ale unei suprafețe în curs de dezvoltare sunt prezentate în figură (pe care suprafața este desfășurată într-o coală plată de hârtie): liniile subțiri sunt generatoare, iar zonele umplute constau din puncte plate.

Punctele situate la limita zonei punctelor plate sunt fie delimitare pentru întreaga suprafață, fie semi-plate. Dacă suprafața este formată dintr-un poligon de hârtie (să zicem, un dreptunghi), atunci punctele plate alcătuiesc unul sau mai multe poligoane plate, fiecare dintre aceste poligoane având vârfuri la limita suprafeței și laturi fie situate pe graniță, fie constând din puncte semi-plate.

CAPITOLUL 2

2.1. Experimente cu Fâșia Möbius

Fiecare dintre noi are o idee intuitivă despre ce este o „suprafață”. Suprafața unei foi de hârtie, suprafața pereților sălii de clasă, suprafața globul cunoscut de toată lumea. Poate exista ceva misterios într-un concept atât de obișnuit? Da, poate un exemplu este banda Möbius. Pentru a-i studia proprietățile, am efectuat mai multe experimente (împărțindu-le în două grupuri) pe cont propriu.

eu grup de experimente

Experienta numarul 1. Suntem obisnuiti cu faptul ca fiecare suprafata cu care

avem o carcasă (coală de hârtie, cameră pentru biciclete sau volei) -

două părți.

Am început să pictez banda Möbius fără să o răsturn.

Rezultat . Banda Möbius este complet vopsită.

„Dacă cineva decide să picteze doar o parte

suprafața benzii Moebius, lăsați-l să-l scufunde imediat într-o găleată de vopsea, scrie Richard Courant și Herbert Robins într-un mod excelent

carte Ce este matematica?

Experienta numarul 2. Am făcut un păianjen și o muscă din hârtie și le-am trimis să „memblă”.

un inel obișnuit, dar le interzicea să se târască peste granițe.

Rezultat. Păianjenul nu a putut ajunge la muscă.

Experiența nr. 3. Am trimis acești păianjen și zbor doar pe banda Möbius. ȘI

le-a interzis să treacă granița.

Rezultat.Biata muscă va fi mâncată, dacă, bineînțeles, păianjenul nu fuge.

Mai repede!

Experiența numărul 4. Am făcut un omuleț din hârtie și l-am trimis să călătorească de-a lungul fâșiei Möbius.

Rezultat. Omulețul se va întoarce la punctul de plecare, unde și-ar întâlni imaginea în oglindă.

II grup de experimente

asociat cu tăierea benzii Möbius, rezultatele sunt enumerate în tabel

experienţă

Descrierea experienței

Rezultat

Am tăiat un inel simplu de-a lungul mijlocului.

Am primit doua inele simple, de aceeasi lungime, de doua ori mai late, cu doua chenare.

Fâșia Möbius a fost tăiată de-a lungul mijlocului.

Am primit 1 inel, a cărui lungime este de două ori mai mare, lățimea este de două ori mai îngustă, răsucit 1 tură completă, cu un chenar.

Lățimea benzii Möbius

5 cm taiate pe lungime la o distanta de 1 cm de margine.

Am primit doua inele legate intre ele: 1) banda Mobius - lungime = lungimea originalului, latime 3 cm; 2) lățime 1 cm, lungime dublă față de original, răsucit cu două ture complete, cu două chenare.

Lățimea benzii Möbius

5 cm taiate pe lungime la o distanta de 2 cm de margine.

Am primit două inele legate între ele: 1) inelul este o bandă Möbius de 1 cm lățime, lungime = lungimea celui original; 2) inel - 2 cm lățime, de două ori mai lung decât originalul răsucit unul câte două ture complete, cu două chenare.

Banda Möbius de 5 cm latime, taiata pe lungime la o distanta de 3 cm, de la margine.

Am primit două inele legate între ele: 1) inelul este o bandă Möbius cu o lățime

1 cm de aceeași lungime; 2) un inel - 2 cm lățime, lungimea lui este de două ori mai mare decât cea originală, răsucită cu două ture complete.

Rezultatele unui sondaj sociologic realizat cu elevii clasei a X-a.

Întrebări

da

Nu

Auzit

1. Știți ce este topologia?

2. Știți ce este o bandă Mobius?

3. Știi Proprietățile benzii Mobius?

Doar 5% dintre elevii din clasa a 10-a știu ce este topologia. 30% dintre elevi știu ce este o bandă Möbius, iar 20% au auzit de ea. 50% habar n-au despre banda Möbius. 25% dintre elevi cunosc proprietățile benzii, 10% au auzit despre ele, 65% nu știu nimic despre proprietățile benzii Möbius.

2.2 Proprietăți topologice ale benzii Möbius

Pe baza rezultatelor experimentelor, putem formula următoarele proprietăți topologice ale benzii Möbius, legate de surprizele matematice.

Unilateralitatea este o proprietate topologică a benzii Möbius, care este caracteristică doar pentru aceasta.

Continuitate - orice punct de pe banda Möbius poate fi conectat

cu orice alt punct. Nu există goluri - continuitatea este completă.

Din punct de vedere topologic, un cerc nu se distinge de un pătrat,

deoarece se pot converti cu ușurință de la unul la altul fără a se rupe

continuitate.

Conectivitate - pentru a împărți inelul în jumătate, sunt necesare două tăieturi. În ceea ce privește banda Möbius, numărul de conexiuni se înlocuiește în funcție de modificarea numărului de spire ale benzii: dacă o tură este conectată dublu, dacă două spire sunt conectate simplu, dacă trei sunt conectate dublu etc. Dar pentru a împărți pătratul în două părți, avem nevoie doar de o tăietură. Conectivitatea este de obicei estimată prin numărul Betti sau, uneori, se folosește caracteristica Euler.

4. Orientarea este o proprietate care este absentă din banda Möbius. Deci, dacă o persoană ar putea călători prin toate coturile benzii Möbius, atunci s-ar întoarce la punctul de plecare, dar s-ar transforma în imaginea lui în oglindă.

5. „Numărul cromatic” este numărul maxim de zone care pot fi desenate la suprafață astfel încât fiecare dintre ele să aibă o chenar comună cu toate celelalte. Numărul cromatic al unei benzi Möbius este șase.

6.Teoreme despre banda Möbius

Teorema 1: λ ≥ π/2

Din cauza complexității dovezii, nu o iau în considerare în munca mea.

Teorema 2: λ ≤ √3

Această teoremă este mai simplă decât cea anterioară: pentru a o demonstra, este suficient să explicăm cum se lipește o bandă Möbius dintr-o bandă a cărei lungime este mai mare de √3. Să presupunem mai întâi că lungimea sa este exact √3. Apoi, pe această bandă pot fi plasate două triunghiuri regulate. Îndoiți banda de-a lungul laturilor acestor triunghiuri, alternând direcția pliului. Marginile benzilor AB și CD vor fi aliniate, iar punctul A va fi aliniat cu punctul D, iar punctul B va fi aliniat cu punctul C. Veți obține o bandă Möbius, ale cărei margini sunt aliniate (vezi Anexa 1.2). )

În această construcție, regula principală a fost încălcată - nu mototoliți hârtia. Dar este ușor de înțeles că, dacă lungimea benzii este cel puțin puțin mai mare de √3, atunci îndoirea de-a lungul generatricei poate fi înlocuită prin îndoirea produsă într-o secțiune îngustă. Pe scurt, nu ne este frică de o pauză de-a lungul unui segment drept: poate fi înlocuită cu o curbă aproape de acesta. (Cuta ireparabilă a hârtiei apare atunci când două linii de pliere se intersectează, adică atunci când foaia se pliază ca o batistă - toate acestea ne sunt cunoscute din experiența de zi cu zi.). Structura sa poate fi imaginată după cum urmează: trei triunghiuri regulate identice ABC, A"B"C", A"B"C" sunt paralele între ele, vârfurile corespunzătoare sunt deasupra vârfurilor corespunzătoare; laturile AB și A"B", B"C" și B"C", C"A" și CA sunt puse în punte. Linia de lipire trece de-a lungul medianei unuia dintre triunghiuri.

De ce nu putem găsi λ mai precis?

Până nu se rezolvă problema, este greu de spus de ce nu a fost rezolvată. Cu toate acestea, uneori, în diverse probleme nerezolvate, este posibil să se urmărească dificultăți comune, să se marcheze, ca să spunem așa, locuri dificile pe o hartă matematică, ceea ce uneori face posibilă prezicerea succesului sau eșecului în rezolvarea unei anumite probleme.

Teorema 3. O bandă Möbius cu auto-intersecții poate fi lipită împreună dintr-o bandă de orice lungime mai mare de π/2.

Se face așa. Luați un n impar suficient de mare și construiți n-gon regulatînscris într-un cerc cu diametrul 1. În continuare, considerăm n triunghiuri care conțin centrul cercului, fiecare dintre ele delimitat de o latură și două diagonale ale unui n-gon (n=7). Aceste triunghiuri acoperă n-gonul nostru, unele dintre locurile sale - de mai multe ori. Acum să atașăm aceste n triunghiuri unul la celălalt, după care tăiem jumătate din triunghiul din stânga de-a lungul medianei lungi și o atașăm la triunghiul din dreapta. Rezultatul este o bandă dreptunghiulară cu un raport dintre lungime și lățime mai mare de π/2 și care tinde spre π/2 pe măsură ce n tinde spre ∞ (lățimea benzii tinde spre 1 și lungimea către π/2). Vom plia succesiv această bandă de-a lungul tuturor liniilor trasate pe ea, alternând direcțiile pliului. În acest caz, segmentele AB și CD aproape vor coincide - vor exista doar câteva straturi de hârtie îndoită între ele. Cu această „aproape potrivire”, punctul A va fi aliniat cu D, iar punctul B cu C, deci dacă am putea „trece banda prin ea însăși” și lipici |AB| cu |CD|, ar fi o bandă Möbius. Dacă banda este luată puțin mai mult, ridurile pot fi evitate, așa cum am făcut în demonstrația teoremei 2. Am obținut o bandă Möbius, ale cărei margini sunt separate de mai multe straturi de hârtie, vezi Anexa 1.3. Dar să revenim la banda Möbius. Teorema 1, după cum am văzut, se aplică de fapt benzilor care se intersectează automat. Este puțin probabil ca condiția de non-auto-intersecție să nu afecteze λ; totuși, acest efect nu poate fi luat în considerare, deoarece matematica nu dispune de mijloace tehnice suficiente pentru a studia auto-intersecțiile în spatiu tridimensional. Dimpotrivă, este destul de probabil ca Teorema 2 să nu poată fi îmbunătățită. La urma urmei, a-l îmbunătăți înseamnă a veni cu un nou design al benzii. Experiența arată că construcțiile optime pot fi simple și armonioase, ceea ce este construcția din demonstrația Teoremei 2. Este firesc să presupunem că, dacă ar exista o construcție mai bună, s-ar găsi - în atâția ani!

De aceea ne putem aștepta ca λ = √3.

Trucuri cu bandă Mobius

Problema nodurilor

Cum să faci un nod pe o eșarfă fără a renunța la capete? Se poate face așa. Pune eșarfa pe masă. Încrucișează-ți brațele peste piept. Continuând să le țineți în această poziție, aplecați-vă spre masă și luați un capăt al eșarfei alternativ cu fiecare mână. După ce mâinile sunt separate, un nod se va dovedi singur în mijlocul eșarfei. Folosind terminologia topologică, putem spune că mâinile privitorului, corpul său și eșarfa formează o curbă închisă sub forma unui nod „cu trei frunze”. La întinderea mâinilor, nodul se mișcă doar de la mâini la batistă.

Faceți un nod în eșarfă cu o mână, ținând capătul eșarfei în mână. Răspunsul la acest puzzle poate fi găsit în cartea lui M. Gardner Minuni și mistere matematice.

Din punct de vedere al topologiei, vesta poate fi considerată ca o suprafață cu două fețe cu trei margini nelegate, fiecare dintre acestea fiind o curbă obișnuită închisă. Vesta cu nasturi este o suprafață cu două fețe cu patru margini.

Buclă misterioasă.

Un spectator care poartă o vestă este pus pe un laț pe braț și apoi i se cere să se întindă deget mareîn buzunarul de jos al vestei. Acum îi poți invita pe cei prezenți să scoată bucla din mână fără a scoate degetul din buzunarul vestei. Soluția este următoarea: bucla trebuie trasă în orificiul vestei pentru mânecă, aruncată peste capul privitorului, scoasă prin a doua gaură pentru mânecă și transferată sub al doilea braț. Ca urmare a acestor acțiuni, bucla va fi sub vestă, înconjurând pieptul. Coborâți-l până când apare de sub vestă, apoi lăsați-l să cadă pe podea.

Întoarcerea vestei pe dos, fără a o scoate de la persoană.

Proprietarul vestei trebuie să-și strângă degetele la spate. Alții trebuie să întoarcă vesta pe dos, fără a separa mâinile purtătorului. Pentru a demonstra această experiență, este necesar să desfaceți vesta și să o trageți în jos cu mâinile la spatele purtătorului. Vesta va atârna în aer, dar bineînțeles că nu se va desprinde pentru că mâinile sunt încleștate. Acum trebuie să luați jumătatea stângă a vestei și, încercând să nu încreți vesta, împingeți-o cât mai mult posibil în armura dreaptă. Apoi luați armura dreaptă și introduceți-o în aceeași armurie și în aceeași direcție. Rămâne să îndrepti vesta și să o tragi pe proprietar. Vesta va fi intoarsa pe dos. Am făcut acest truc și l-am filmat în video cu colegii de clasă. Este conținut în prezentarea Moebius Strip.

2.3. Aplicarea benzii Möbius

∞ La intrarea în Muzeul de Istorie și Tehnologie din Washington, DC, o bandă de oțel cu jumătate de tură se rotește încet pe un piedestal. În 1967, când a avut loc un congres internațional de matematică în Brazilia, organizatorii săi au emis un timbru comemorativ în valori de cinci centavos. Avea o bandă Möbius pe ea. Atât monumentul, înalt de peste doi metri, cât și ștampila minusculă sunt monumente originale ale matematicianului și astronomului german August Ferdinand Möbius.

Vezi anexa 5.

Oficiul de brevete a înregistrat multe invenții bazate pe aceeași suprafață unilaterală.

∞ Banda Möbius este folosită în multe invenții inspirate de studiul atent al proprietăților unei suprafețe unilaterale. O bandă de bandă transportoare, realizată sub forma unei benzi Möbius, îi permite să lucreze de două ori mai mult, deoarece întreaga suprafață a foii se uzează uniform. În 1923, a fost eliberat un brevet inventatorului Lee de Force, care a propus înregistrarea sunetului pe o bandă de film fără a schimba bobinele din ambele părți simultan. Au fost inventate casetele pentru magnetofon, unde banda este răsucită și lipită într-un inel, în timp ce devine posibilă înregistrarea sau citirea informațiilor din ambele părți simultan, ceea ce dublează capacitatea casetei și, în consecință, timpul de redare. La imprimantele cu matrice de puncte, banda de cerneală era sub forma unei benzi Möbius pentru a crește durata de valabilitate. Acest lucru oferă economii tangibile. Banda Möbius este folosită în camera de biciclete și volei.

∞ Mai recent, i s-a găsit o altă utilizare - a început să joace rolul unui arc, dar izvoarele sunt deosebite. După cum știți, un arc armat funcționează în direcția opusă. Banda Möbius, contrar tuturor legilor, nu schimbă direcția de funcționare, ca și mecanismele cu două poziții stabile. Un astfel de arc ar putea fi de neprețuit în jucăriile mecanice - nu poate fi răsucit ca unul normal - un fel de mașină cu mișcare perpetuă.

Vezi aplicația. 6.

∞ În 1971, inventatorul din Urali Cesnokov P.N. a aplicat un filtru sub forma unei benzi Möbius.

∞ Fâșia Möbius este folosită în gătit pentru a crea un aspect interesant și apetisant pentru chifle, uscătoare, tufiș. Și, de asemenea, în fabricarea de instrumente pentru gătit și decorarea diverselor feluri de mâncare, structuri de putere (mixer).

Vezi aplicația. 7.

∞ Cu ajutorul benzii Möbius sunt create capodopere întregi.

Fâșia Möbius a servit drept inspirație pentru sculpturi și pentru arta grafica. Escher a fost unul dintre artiștii cărora le-a fost deosebit de pasionat și și-a dedicat câteva dintre litografiile sale acestui obiect matematic. Una dintre cele celebre arată furnici târându-se pe suprafața unei benzi Möbius.

Vezi anexa 9.

∞ Banda Möbius este recurentă și în science-fiction, cum ar fi în nuvela lui Arthur C. Clarke „The Wall of Darkness”. Uneori, poveștile științifico-fantastice sugerează că universul nostru poate fi o bandă Möbius generalizată. În povestea autorului A.J. Deutsch, metroul din Boston construiește o nouă linie, al cărei traseu devine atât de confuz încât se transformă într-o bandă Mobius, după care trenurile încep să dispară pe această linie.

∞ Există o ipoteză că helixul ADN-ului în sine este, de asemenea, un fragment al benzii Möbius și numai din acest motiv cod genetic atât de greu de descifrat și de înțeles. Mai mult, o astfel de structură explică destul de logic cauza declanșării morții biologice: spirala se închide pe ea însăși și are loc autodistrugerea.

Anexa 10.

∞ Fâșia Möbius a fost plăcută nu numai de matematicieni, ci și de magicieni

De peste 100 de ani, banda Möbius a fost folosită pentru a efectua trucuri și divertisment. Proprietățile uimitoare ale foii au fost demonstrate chiar și la circ, unde au fost atârnate panglici strălucitoare, lipite între ele sub formă de benzi Möbius. Magicianul și-a aprins o țigară și a atins capătul care ardea linia de mijloc fiecare bandă, care era făcută din nitrat de potasiu. Calea de foc a transformat prima panglică într-una mai lungă, iar a doua în două panglici, înfiletate una în cealaltă. (În acest caz, magicianul a tăiat banda Möbius nu la mijloc, ci la o distanță de o treime din lățimea ei).

∞ Fizicienii spun că totul legi optice se bazează pe proprietățile benzii Möbius, în special, reflectarea într-o oglindă este un fel de transfer în timp, pe termen scurt, care durează sutimi de secundă, pentru că vedem în fața noastră... corect, oglinda noastră dublă .

∞Există o ipoteză că Universul nostru este foarte probabil închis în aceeași bandă Möbius, conform teoriei relativității, cu cât masa este mai mare, cu atât curbura spațiului este mai mare. Această teorie confirmă pe deplin presupunerea că o navă spațială care zboară drept tot timpul se poate întoarce la punctul de plecare, aceasta confirmă nelimitatul și caracterul finit al Universului.

Vezi aplicația. unsprezece.

∞ Interesul pentru banda Möbius nu a dispărut nici astăzi. În septembrie 2006, la Moscova a avut loc Festivalul de matematică artistică. Discursul profesorului Jin Akiyama din Tokyo a fost primit cu mare succes. Spectacolul lui amintea de spectacolul unui iluzionist, unde era loc pentru banda Möbius (lucrare cu hârtie „Möbius Strip și modificările sale”).

SPORTUL

Expansor manual "Robur"

Vezi aplicația. 12 .

Unul dintrelucruri preferate de toți profesorii de educație fizică din școală, care potrivit acestorapropria expresie „antrenează nunumai muşchii mâinii, darşi muşchiul creierului.„Extensor carpian dinStudioul Art. Lebedev repetă forma benzii Möbius. Excelent calmant de stresinfinit şidoar o modalitate utilă de a-ți ține mâinile ocupate.

PARFUM

Parfum Bugatti

Vezi aplicația. 13

CompanieBugattia lansat producția nu numai de mașini ultra scumpe (modelVeyroncostă 1,3 milioane de euro), dar și... băuturi spirtoase. fiecare sticla, realizata din cristal si acoperita cu aur adevarat, este realizata sub forma unei benzi Mobius neobisnuite, care are o singura fata. pretul parfumuluiBugattieste de 3500 euro.

Parfum Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Vezi aplicația. paisprezece .

În toamna anului 2011, a fost lansată o versiune violetă a parfumului, a cărei sticlă este învelită cu o panglică Mobius, simbol al ciclului pasiunilor din natură. Bogăția compoziției constă în prospețimea portocalelor asiatice, bergamotei, fructelor de pădure roșii, continuă cu o inimă florală de magnolie, frezie și petale de portocală și se termină cu o compoziție de lemn senzual de cașmir, chihlimbar auriu și vetiver.

Parfum Ediție limitată UFO, Kenzo

Vezi aplicația. 15 .

Prezentare aromeKenzoa avut loc în 2009 la o expoziție retrospectivă a lucrărilor lui Ron Arad (RonArad) la Centrul Pompidou din Paris. Acest artist și arhitect a fost cel care a creat designul cosmic al sticlei sub forma unei benzi Möbius. Este conceput pentru a se potrivi exact în palma mâinii tale.NeidentificatParfumObiect, sau obiect aromatic neidentificat, este limitat la 180 de copii și costă 188 USD.

MOBILA

Masa Möbius

Vezi aplicația. 16

O masă cu o singură suprafață pentru a sta în picioare, a se așeza și a se întinde confortabil.

Raft Infinity

Vezi aplicația. 17 .

Designerul Job Kelevius a spart modelul când și-a proiectat biblioteca lui Infiniti. Folosind conceptul matematic al Lemniscatei și ceva similar cu banda Moebius, designerul a întruchipat ideea fizică a infinitului în raftul Infinity. Asta înseamnă că, dacă ai citit toate cărțile de pe acest raft, consideră că ai înțeles întreaga infinitate a literaturii.

Canapea Möbius

Vezi aplicația. optsprezece.

Născut sub motto-ul „Scaun dublu – dublă plăcere”, scaun canapeaMoebiusDublafotoliucreat de designerGaebronzatVandeWyerdin Belgia și aduce o viziune proaspătă asupra mobilierului pentru îndrăgostiți.

LOGOS

Logo-ul companiei Woolmark

Vezi aplicația. 19.

Logo-ul a fost creat în 1964 ca urmare a unui concurs de design. Membru al juriuluiFrancoGrignaninu a putut rezista și și-a oferit propria versiune, ascunzându-se sub pseudonimFrancescoseraglio. Acest logo seamănă cu o bandă Möbius și este un simbol al eternității și flexibilității companiei.

Simbol de reciclare

Vezi aplicația. douăzeci.

Simbolul internațional pentru reciclare este Fâșia Möbius. Reciclare (alți termeni: reciclare, reciclare a deșeurilor, reciclare și reciclare)- reutilizarea sau repunerea în circulație a deșeurilor de producție sau a gunoiului. Cele mai frecvente secundare, terțiare și T. e. Prelucrarea la scară de materiale precum sticlă, hârtie, aluminiu, asfalt, fier, textile și diverse tipuri de materiale plastice. Folosit și din antichitate în agricultură deșeuri organice agricole și menajere.

Simbol matematică

Vezi aplicația. 21 .

Fâșia Möbius este considerată un simbol al matematicii moderne, deoarece el a fost cel care a dat impuls noilor cercetări matematice.

HAINE ȘI PANTOFI

Pantofi

Vezi aplicația. 22.

Fondată în 2003 de arhitectul Ram Dee Koolhaas și cizmarul Galahad ClarkUnitNudeste specializată în producția de pantofi inovatori de designer. Una dintre cele mai de succes dezvoltări ale companiei sunt pantofiiMobius , numit după geometrul August Möbius și ideea sa de suprafață unilaterală. Ideea pantofilor este următoarea: partea superioară din piele a pantofilor și talpa sunt o singură panglică, răsucite într-un anumit fel.

eșarfă Moebius

Vezi aplicația. 23.

Un lucru interesant este eșarfa Moebius care apare în garderoba secolului XXI. Puteți face singur o eșarfă Mobius legând capetele eșarfei, răsucindu-l cu o tură.

Pictura

Graffiti

Vezi aplicația. 24.

O bandă modernă Möbius este pictată pe un perete din Praga, Republica Cehă.

 Două tipuri de vehicule se deplasează de-a lungul benzii: tancuri și echipamente de construcție a drumurilor.Simbolul civilizației moderne: distrugem-construim-distrugem-construim..

ARHITECTURĂ

clădirea bibliotecii

Vezi aplicația. 25.

În prezent, se analizează un proiect pentru construirea unei biblioteci sub forma unei benzi Möbius în Kazahstan.

Coturile clădirii formează o bandă Möbius, astfel spațiul interior trece în exterior și invers; în mod similar, pereții devin acoperiș, iar acoperișul se transformă din nou în pereți. Lumina naturală pătrunde în coridoarele interioare prin deschideri geometrice din carcasa exterioară, creând spații frumos luminate ideale pentru lectură.

atractii

Vezi aplicația. 26.

Atracția „Roller coaster” seamănă cu forma unei benzi Mobius. Moscova are cel mai mare roller coaster inversat din lume, unde o persoană stă pe un scaun suspendat, iar picioarele sale sunt în aer. Viteza - 81 km / h, înălțimea 30 m. Înălțimea, în comparație cu analogii străini, este mică, dar aceasta se plătește mai mult cu o abundență de spirale, inele și bucle moarte.

rolă de film

Vezi aplicația. 27.

În 1923, un brevet a fost eliberat inventatorului Lee de Force, care a propus înregistrarea sunetului pe film fără schimbarea bobinelor, din ambele părți simultan.

Casetă

Vezi aplicația. 28.

Au fost inventate casetele pentru magnetofon, unde banda este răsucită și lipită într-un inel, în timp ce devine posibilă înregistrarea sau citirea informațiilor din ambele părți simultan, ceea ce crește capacitatea casetei și, în consecință, timpul de redare.

Mașină Toyota MOB

Vezi aplicația. 29.

Möbius Bollid este proiectat de designerul spaniol Jorge Marti Vidal și combină frumusețea și misterul benzii Möbius. Forma unică a caroseriei oferă mașinii de curse o aerodinamică bună

Imprimanta matriciala

Vezi aplicația. treizeci.

În multe imprimante matriciale, panglica de cerneală are și forma unei benzi Möbius pentru a-și crește resursele.

Rezistorul Möbius

Vezi aplicația. 31.

Acesta este un element electronic nou inventat care nu are propria sa inductanță.

curea de șlefuit

Vezi aplicația. 32.

În 1969, inventatorul sovietic Gubaidullin a propus o bandă de șlefuit fără sfârșit sub forma unei benzi Möbius.

Concluzie

Banda Möbius este prima suprafață unilaterală descoperită de un om de știință. Mai târziu, matematicienii au descoperit mai multe întreaga linie suprafete unilaterale. Dar

acesta - chiar primul, care a pus bazele unei întregi direcții în geometrie, atrage în continuare atenția oamenilor de știință, inventatorilor, artiștilor și studenților. Am fost foarte interesat proprietăți publice Banda Möbius:

Banda Moebius are o margine, o latură

Banda Möbius este un obiect topologic. Ca orice figură topologică, nu își schimbă proprietățile până când nu este tăiată, ruptă sau piesele sale individuale sunt lipite împreună.

O margine și o latură a benzii Möbius nu sunt legate de poziția sa în spațiu, nu sunt legate de conceptele de distanță.

Banda Möbius are numeroase utilizări în gătit, inginerie, fizică, pictură, arhitectură, design de bijuterii și studiul proprietăților universului. A inspirat munca multor scriitori și artiști.

1. Să ne amintim mai întâi definiția importantei funcții Möbiou teoretice de numere

1 dacă n = 1

µ (n)=0 dacă există un număr prim p, p2 n (-1)k dacă n = p1 … pk este produsul a k factori primi diferiți.

Să demonstrăm proprietatea principală a funcției Möbius:

Teorema 1.

♦ Dacă n = 1, atunci singurul divizor este d = 1 și (1) este adevărată, deoarece µ (1) = 1. Fie acum n > 1. Îl reprezentăm sub forma

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

unde pi , i 1, k sunt numere prime, si sunt puterile lor. Dacă d este un divizor al lui n, atunci d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

unde 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Dacă di > 1 pentru unele i 1, k , atunci µ (d) = 0. Prin urmare, în (1) trebuie să luăm în considerare numai acele d pentru care di ≤ 1, i 1, k . Fiecare astfel de divizor

este produsul lui r distinct numere prime, unde r 1, k și contribuția sa la sumă

(1) este egal cu (-1)r și sunt k în total. Astfel, primim

			µ (d) = 1 −	K + (−1)k	0. ♦
			Teorema 2. (formula de inversare a lui Möbius). Fie f(n) și g(n) funcții ale naturii
adevărat argument. Apoi egalitatea
					∑f(d)
este adevărată dacă și numai dacă egalitatea este adevărată
					∑µ (d)g(

♦ Fie (2) adevărată pentru orice n. Apoi

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d'dn

Înlocuind în partea dreaptă a lui (3), obținem

∑µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d'

Însumarea dublă din dreapta se realizează asupra tuturor perechilor d, d′ astfel încât d d′ n . Dacă alegem d′ , atunci d va trece prin toți divizorii lui d n ′ . În acest fel

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

d'

d'

d'

n > d′

Dar conform (1) avem ∑

µ (d′ ) =

n = d′

d'

d'

Prin urmare, se stabilește egalitatea (3). Fie acum (3) valabil pentru orice n. Apoi

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - este un divizor al lui n și suma dublă poate

d'

n d'

fi rescris ca

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d′ )

d′′

n d′

d′′

d′′

d'

d′′

Conform (1), ultima sumă se transformă în unitate în cazul lui d′′ = n, în alte cazuri

ceaiuri este zero. Aceasta dovedește (2). ♦ 2. Luați în considerare aplicarea inversiunii de Möbius.

Să fie dat un alfabet A cu litere s. Există sn cuvinte de lungime n în alfabetul dat. Pentru fiecare cuvânt w0 = a1 a2 … pot fi definite n - 1 cuvinte

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , obținute unul din celălalt prin deplasări ciclice. Pe mulţimea tuturor sn-urilor de cuvinte, introducem o relaţie de echivalenţă: două cuvinte sunt declarate echivalente dacă unul din celălalt este obţinut printr-o deplasare ciclică. Ne va interesa numărul de clase care conțin exact n cuvinte. O astfel de problemă apare în teoria sincronizării codurilor.

Vom numi un cuvânt w degenerat dacă clasa de echivalență care conține w este formată din mai puțin de n cuvinte. Numim w periodic dacă există un cuvânt u și un număr natural m astfel încât w = u u … u (m ori).

Teorema 3. Un cuvânt w este periodic dacă și numai dacă este degenerat.

după cum putem lua o 1 a 2 … a p și ca m =

♦ Este clar că dacă w este periodic, atunci este degenerat. Să fim degenerați. Fie p cel mai mic întreg astfel încât w = wp . Atunci dacă

w = a1 a2 … an , apoi wp = a1+p a2+p … an+p (indici modulo n). Prin urmare, obținem că în n p . (Este ușor de observat că p n). ♦ Tapet

este semnificativă în ceea ce privește M(d) - numărul de pătrate care conțin d cuvinte. Din precedenta avem

dn. Astfel, formula∑ dM(d) = s n . d n

Să aplicăm formula de inversare a lui Möbius pentru cazul g(n) = sn , f(d) = dM(d). Apoi primim

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Astfel, M(n) este numărul de interes pentru noi. Dacă n = p este un număr prim, atunci

− s)

Există o versiune multiplicativă a inversiunii Möbius. corect

Teorema 4. Fie f(n) și g(n) funcții ale unui argument natural înrudit

purtare

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

Și invers, din (5) urmează (4).

Folosind formula de inversare a lui Möbius, se poate rezolva problema practic importantă a numărului de polinoame ireductibile de grad fix pe un câmp finit. Fie GF(q) un câmp de q elemente și m un număr natural. Apoi pentru număr

Φ m (q) de polinoame ireductibile peste câmpul GF(q), avem formula

Să dăm un tabel cu câteva prime valori ale funcției Φ m (2)

Φm(2)

§ 5. Permanenti şi aplicarea lor la enumeraţii

1. Pentru rezolvarea multor probleme combinatorii se folosesc permanente. Luați în considerare o matrice numerică

A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

Permanenta matricei A (notația - pe A) este definită de egalitate

pe A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K , jn )

unde însumarea se realizează peste toate n-permutările m elemente 1, 2, m. Cu alte cuvinte, permanenta unei matrice este egală cu suma produselor elementelor luate pe rând din fiecare rând și coloane diferite.

Formula (1) implică unele proprietăți evidente ale permanentului, similare cu cele ale determinantului pentru matrice pătrată.

1. Dacă una dintre rânduri(n × m)-matricea A (n ≤ m) constă din zerouri, apoi pe A = 0. Pentru n = m, același lucru este valabil și pentru coloane.

2. La înmulțirea tuturor elementelor unuia dintre rândurile matricei A cu un anumit număr, valoarea permanentului A se înmulțește cu același număr.

3. Un permanent nu se schimbă atunci când rândurile și coloanele sale sunt rearanjate.

Notăm cu Aij matricea obținută din A prin ștergerea rândului i și coloanei j.

4. Formula pentru extinderea permanentului în al-lea rând este valabilă pentru A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + obiectiv per Aim (2)

astfel, multe proprietăți ale permanenților sunt similare cu cele ale determinanților.

Totuși, proprietatea principală a determinanților det(A B) = detA detB nu este valabilă pentru permanenți, iar această împrejurare complică foarte mult calculul acestora.

De exemplu,

					2, per
Cu toate acestea, 4 = per						≠ per

Să luăm în considerare una dintre cele mai importante aplicații ale conceptului de permanent în problemele combinatorii.

dachas. Fie X = (x1 , xm ) o mulțime finită și X1 , … , Xn un sistem de submulțimi

În acest caz, se spune că elementul xi reprezintă mulțimea Xi. Necesitatea de a găsi un sistem de reprezentanți diferiți apare în rezolvarea multor probleme aplicate. Luați în considerare următoarea problemă de codare. Să fie o propoziție, adică un set ordonat de cuvinte într-un anumit alfabet. Este necesară codificarea acestei propoziții, astfel încât fiecare cuvânt să fie asociat cu o literă, iar această literă trebuie să facă parte din acest cuvânt, iar litere diferite trebuie să corespundă unor cuvinte diferite.

Exemplu: Propoziția a bc ab d abe c de cd e poate fi codificată ca abecd. În același timp, propoziția ab ab bc abc bcd nu poate fi codificată în acest fel, întrucât primele patru cuvinte în total conțin doar trei litere.

Pentru un sistem de mulțimi X1 , … , Xn definim matricea de incidență A = (aij ), i = 1, n ,

				1 dacă xi
		a ij =
				0 altfel.
		corect
		Teorema 1. Fie A = (aij ), i =					(n ≤ m) matrice de incidență

mulţimile X1 , … , Xn , unde Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Apoi pentru numărul de sisteme

reprezentanții personali R(X1 , … , Xn ) ai mulțimilor X1 , … , Xn

R(X1 , … , Xn ) = pe A

♦ Într-adevăr, întrucât elementul aij = 1 din matricea A, dacă xj Xi și aij = 0 ,

dacă xj

K, xi

) elementele lui X este un sistem de diferite pre-

Xi, apoi mulțimea (xi

furnizori pentru X1 , … , Xn

daca si numai daca a1i

K ,a ni

poliţişti a1i

K ,a ni

sunt în coloane diferite ale matricei A. Însumează numerele

a1i ,K ,a ni

peste toate n-permutările elementelor 1, 2, ... , m. Apoi obținem o sută

pe de altă parte, numărul de sisteme de reprezentanți diferiți pentru X1 , … , Xn , iar pe de altă parte, valoarea per-

matricea A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Consecinţă. Un sistem de reprezentanți diferiți pentru X1 , … , Xn există dacă și numai dacă pentru matricea corespunzătoare apariția A este valabilă:

Deoarece există m(m - 1) ... (m - n +1) termeni în formula (1), calculul permanentului pe baza definiției este dificil. Oferim o formulă generală în acest scop.

2. Ne restrângem la luarea în considerare a matricelor numerice pătrate А = (aij ), i, j = 1, n .

Atunci pe A = ∑

(i1 ,K ,in )

unde suma se extinde peste toate permutările i1 , … , în elemente

1, 2, …, n. Să aplicăm formula de includere-excludere pentru a calcula permanenta matricei A. Fiecărei mulțimi i1 , … , in i se va atribui o pondere egală cu a1i 1 ,K ,a ni n .

Deci permanentul A este suma greutăților acelor mulțimi care corespund permutărilor. Să introducem n proprietăți P1 , … , Pn pe mulțimea tuturor colecțiilor i1 , i2 , … , in din 1, 2, … , n, unde proprietatea Pi înseamnă că colecția i1 , … , in nu are element i. Astfel, permanentul A este suma greutăților mulțimilor i1 , … , în care nu au niciuna dintre proprietățile P1 , … , Pn . Rămâne de determinat suma greutăților W(Pi 1 ,K , Pi k ) a mulțimilor cu k proprietăți

Pi 1 ,K , Pi k . Avem pentru suma greutăților W(0) tuturor mulțimilor i1 , … , ik .
W(0) = ∑			K , a ni		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi)) =			a1i ,K , a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

unde semnul ^ peste un element al matricei A înseamnă că acest element trebuie omis. În mod similar, pentru sij (i< j) имеем

W(N(Pi, Pj)) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Acum, folosind formula de includere-excludere, obținem formula Raiser pentru A permanent:

pe A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L + a kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Calculul permanentului după formula Raiser poate fi organizat în așa fel încât să fie necesar

(2n - 1)(n - 4) înmulțiri și (2n - 2)(n + 1) adunări. Deși această valoare crește rapid cu n, această formulă oferă cel mai mult metoda eficienta calcule permanente.

3. Să clarificăm acum problema condițiilor pentru egalitatea la zero a permanentei matricei (0, 1). Ne restrângem la cazul unei matrice pătrate.

Teorema 2. Fie A = (aij ), i, j = 1, n o (0, 1)-matrice de ordinul n. Apoi

pe A= 0 dacă și numai dacă A are o submatrice s × t de zerouri, unde s + t = n + 1.

♦ Fie ca o astfel de submatrice zero să existe în A. Deoarece permanentul nu se schimbă din permutările rândurilor și coloanelor, putem presupune că această submatrice este situată în colțul din stânga jos, adică.

unde O - (s × t) este o matrice de zerouri, submatricea B are dimensiunea (n - s) × t. Orice membru al permanentului A trebuie să conțină câte un element din primele t coloane. Prin urmare, dacă cauți termen pozitiv permanent, atunci elementele acestor coloane trebuie să aparțină unor rânduri diferite perechi cu numerele 1, 2, …, n - s. Cu toate acestea, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Fie acum per A = 0. Demonstrăm teorema prin inducție pe n. Pentru n = 1 afirmația este evidentă (A = (0)). Fie valabil pentru toate comenzile mai mici de n. Dacă A este o matrice zero de ordinul n, atunci afirmația este evidentă. Dacă A nu este o matrice zero, atunci fie aij = 1. Să scriem descompunerea lui A în rândul i:

pe A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Deoarece pe А = 0, atunci pe Аij = 0. Dar Аij are dimensiunea (n - 1) × (n - 1) și, prin presupunerea inductivă, există o submatrice de zerouri de dimensiune

s1 × t1 și s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Rearanjați rândurile și coloanele astfel încât această submatrice zero să fie în colțul din stânga jos:

A→B=

unde О - submatrice zero de dimensiunea s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - are dimensiunea (n - s1 ) × t1 , D -

are dimensiunea s1 × (n - t) . Prin urmare, matricele С și D sunt pătrate și au ordinul (t1 × t1 ) și respectiv (s1 × s1 ). Conform definiției unui permanent, avem per B = per A și,

per B = per C per D și, prin urmare, din per A = 0 rezultă că fie per C = 0, fie per D = 0.

Fie per C = 0. Prin ipoteza inductivă, C are o submatrice zero de mărime

u × v, unde u + v = t1 + 1. Fie situat în rânduri cu numere i1 , … , iu și coloane cu numere j1 , … , jv . Să considerăm o submatrice B constând din rânduri

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n și coloanele j1 , … , jv . Aceasta este o submatrice nulă de dimensiune (u + n - t1) × v,

unde u + n - t1 + v = n + +1. Deci, matricea B conține o submatrice zero de dimensiunea s × t, unde s + t = n + 1. Deoarece matricele A și B diferă în permutarea rândurilor și coloanelor, se demonstrează teorema. ♦

Să considerăm acum un caz particular important al matricei A. Notăm cu A(k, n) matricea n × n de 0,1 elemente cu k pentru fiecare rând și fiecare coloană (k > 0).

Teorema 3. Pentru orice matrice A(k, n) avem pe A(k, n) > 0.

♦ Presupunem dimpotrivă că per A(k, n) = 0. Atunci, prin teorema 2, există zero

submatrice de dimensiunea s × t, unde s + t = n + 1. Apoi, prin rearanjarea rândurilor și coloanelor matricei A(k, n), obținem matricea

unde O este matricea zero (s × t).

Să numărăm numărul de 1 din matricele B și D. Deoarece A(k, n) are k 1 în fiecare rând și fiecare coloană, există exact k 1 în fiecare coloană a lui B și în fiecare rând a lui D.

unitati. Există n k unități în total în A(k, n), deci nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Prin urmare

zom, n ≥ t + s, ceea ce este imposibil, deoarece s + t = n + 1

validitatea afirmației. ♦ Se dovedește la fel

Teorema 3a. Fie A o matrice (0,1) de dimensiunea n × m (n≤ m). Atunci perA = 0 dacă și numai dacă conține o submatrice zero de dimensiunea s × t, unde s+t=m+1.

4. Să luăm acum în considerare aplicarea întrebărilor luate în considerare la construcția unei latitudini.

pătrate de tablă. latină (n × m)-dreptunghi peste mulțimea X=(x1 ,…,xm )

se numește (n × m)-matrice de elemente ale lui X, în care fiecare rând este o n-permutare a lui X, iar fiecare coloană este o m-permutare a mulțimii X. Pentru n=m, dreptunghiul latin se numește pătrat latin.

Este clar că pentru n=1 numărul dreptunghiurilor latine 1 × m este egal cu m!. Pentru n=2, după selectarea primului rând, orice permutare poate fi luată ca al doilea.

inovaţie care îl contrazice pe cel ales. Numărul de astfel de permutări este Dm , deci numărul 2× m -

dreptunghiuri latine este egal cu m! Dm.

O întrebare firească apare în legătură cu construcția inductivă a pătratelor latine. Să construim un dreptunghi latin (n × m) (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

corect

Teorema 4. Fiecare latină (n × m) -dreptunghi n

♦ Fie X=(x1 ,…,xm ) și L-dreptunghi latin (n × m)-cu elemente din X. Să considerăm o mulțime de mulțimi A1 ,… ,Am unde Ai sunt elementele coloanei i-a a dreptunghi latin L. Fie A - matricea de incidență a sistemului de mulțimi A1 ,… ,Am . Are dimensiunea m × m , iar fiecare rând al matricei A conține exact n, deoarece Ai = n, i = 1, m . Fiecare element xi X poate apărea în coloanele L de cel mult de m ori, altfel ar exista un rând în care acest element apare de două ori. Numărul total de elemente

L este egal cu m n, deci fiecare element xi X apare exact de n ori în coloane. Aceasta implică faptul că fiecare coloană a matricei A conține exact n. Luați în considerare acum matricea A obținută prin înlocuirea fiecărui 1 cu un zero și fiecare zero cu un 1.

Matricea A este matricea de incidență a sistemului de mulțimi X1 , … , Xn , unde Xi = X\Ai ,

i = 1, m . Conține m - n în fiecare rând și în fiecare coloană. Prin teoremă

> 0. Fie ai1

… un mi

≠ 0 . Atunci avem xi X1 ,K , xi

Xm și toate elementele

xi ,K , xi

sunt diferite pe perechi. Linia

xi ,K , xi

poate fi luat ca (n + 1)-lea

pentru dreptunghiul latin (n × m) L. Continuând acest procedeu, obținem latinul

pătrat cerul. ♦

Notăm l n - numărul de pătrate latine de ordinul n, cu elemente din mulțimea X = (1, 2, ... , n), în care elementele primei coloane și ale primului rând sunt în ordine firească. Iată un tabel cu mai multe valori cunoscute ale numărului l n:

5. Se numește o matrice n × n A = (aij ) cu elemente reale, nenegative dublu stocastică, dacă

μ( n) este definit pentru toate numerele naturale nși ia valori în funcție de natura descompunerii numărului nîn factori primi:

• μ( n) = 1 dacă n fără pătrat (adică nu este divizibil cu pătratul oricărui număr prim) și descompunerea n un număr par de factori;
• μ( n) = − 1 dacă n lipsit de pătrate și descompunere nîn factori primi este format dintr-un număr impar de factori;
• μ( n) = 0 dacă n nu lipsit de pătrate.

Prin definiție, se presupune și μ(1) = 1.

Proprietăți și aplicații

Funcția Möbius este multiplicativă: pentru orice numere relativ prime AȘi b egalitate μ( Ab) = μ( A)μ( b) .

Suma valorilor funcției Möbius peste toți divizorii unui număr întreg n, nu este egal cu unu, este egal cu zero

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Din aceasta, în special, rezultă că, pentru orice mulțime finită nevidă, numărul de submulțimi diferite constând dintr-un număr impar de elemente este egal cu numărul de submulțimi diferite constând dintr-un număr par de elemente - un fapt utilizat în dovada.

Funcția Möbius este legată de funcția Mertens prin relație

Funcția Mertens, la rândul ei, este strâns legată de problema zerourilor funcției zeta Riemann, vezi articolul conjectura lui Mertens.

inversiunea Möbius

Prima formulă de inversare a lui Möbius

Pentru funcții aritmetice fȘi g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

dacă și numai dacă

.

A doua formulă de inversare a lui Möbius

Pentru funcții cu valoare reală f(X) Și g(X) definit la ,

dacă și numai dacă

.

Aici suma este interpretată ca .

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „funcția Mobius” în alte dicționare:

Funcția Möbius μ(n) este o funcție aritmetică multiplicativă utilizată în teoria numerelor și combinatorică, numită după matematicianul german Möbius, care a considerat-o pentru prima dată în 1831. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți și aplicații ... Wikipedia

Funcția Möbius μ(n) este o funcție aritmetică multiplicativă utilizată în teoria numerelor și combinatorică, numită după matematicianul german Möbius, care a considerat-o pentru prima dată în 1831. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți și aplicații ... Wikipedia

Tipul transformărilor pe plan complex(gri) și sfera Riemann (neagră) Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți algebrice ... Wikipedia

Fracționat funcție liniară funcţie de forma în care z = (z1,...,zn) sunt variabile complexe sau reale, ai,b,ci,d sunt coeficienţi complecşi sau reali. Adesea, termenul „funcție fracțională liniară” este folosit pentru cazul său special de transformare ... ... Wikipedia

Seria Möbius este o serie funcțională de forma Această serie a fost investigată de Möbius, care a găsit o formulă de inversare pentru această serie: unde μ (s) este funcția Möbius ... Wikipedia

METODE DE CERCETARE MEDICALĂ - І. Principii generale cercetare medicala. Creșterea și aprofundarea cunoștințelor noastre, tot mai multe echipamente tehnice ale clinicii, bazate pe utilizarea celor mai recente realizări în fizică, chimie și tehnologie, complicația asociată a metodelor ... ... Marea Enciclopedie Medicală

O afecțiune patologică care se dezvoltă în timpul nașterii și se caracterizează prin deteriorarea țesuturilor și organelor copilului, însoțită, de regulă, de o tulburare a funcțiilor acestora. Factorii care predispun la dezvoltarea R. așa-numitele sunt incorecți ...... Enciclopedia medicală