Correlazione di due funzioni. Funzioni di correlazione incrociata

Funzione di correlazione incrociata(VKF) è una stima delle proprietà di correlazione tra due processi casuali e, rappresentata da osservazioni sul campo su due profili, su due tracce, ecc.

VKF è calcolato dalla formula:

(4.7)

dove nè il numero di punti in ciascuna implementazione, ad es. per ogni profilo, percorso, ecc.

E - i valori medi dei dati osservati per questi profili, tracce.

Quando i valori medi sono pari a zero: la formula (4.7) semplifica

(4.8)

In m=0, il valore del CCF è uguale al prodotto dei valori del campo per l'osservazione omonima discreti su profili, tracce, ecc.

A , il valore del VKF è uguale al prodotto dei valori del campo spostati di un campione. In questo caso, assumiamo che lo spostamento di un discreto a sinistra del profilo successivo, ad es. , rispetto al precedente, ovvero , corrisponde a un bias positivo, cioè e lo spostamento a destra corrisponde al valore di .

Poiché at e at sono moltiplicati significati diversi campo, contrariamente al calcolo dell'ACF, allora il VKF non è una funzione pari, cioè .

A , il valore del VKF è uguale al prodotto dei valori del campo già spostati di due discreti e così via.

In pratica viene spesso utilizzato il CCF normalizzato, definito come (4.8)

dove e sono deviazioni standard dei valori di campo per il primo e il secondo profilo di traccia.

VKF ha trovato applicazione nella risoluzione di tre problemi principali dell'elaborazione dei dati geofisici:

1) Valutazione delle proprietà di correlazione del segnale in condizione di interferenza non correlata tra profili, percorsi e un leggero cambiamento nella forma del segnale da profilo a profilo (da percorso a percorso), che di solito viene eseguita nella pratica, poiché il la distanza tra i profili è scelta in modo che i segnali siano correlati tra i profili e l'interferenza, al contrario, non sarebbe correlata. Nelle indagini sismiche, le distanze dei geofoni sono scelte in modo tale che le onde di rumore irregolari non siano correlate tra le tracce adiacenti. In questo caso, il VKF sarà uguale a

quelli. se le forme d'onda coincidono, l'ultima somma sarà uguale all'ACF del segnale.

Pertanto, il CCF stima in modo più affidabile le proprietà di correlazione del segnale rispetto all'ACF.

2) Stima del segnale strike dagli estremi positivi del CCF. Gli estremi VKF positivi indicano la presenza di una correlazione di segnale tra profili, tracce, poiché il valore dell'argomento , al quale si raggiunge il VKF extremum, corrisponde allo spostamento del segnale sul profilo successivo rispetto alla sua posizione sul precedente. Pertanto, lo spostamento del segnale da un profilo all'altro è determinato dall'entità degli estremi positivi del CCF, il che porta a una stima dell'impatto del segnale.

Nel caso di segnali (anomalie) di colpi diversi, il VKF ha due o più estremi positivi.

La figura 4.2,a mostra i risultati delle osservazioni del campo fisico su cinque profili ei grafici del VCF corrispondenti a tali osservazioni, secondo i quali si determina lo strike dei segnali, corrispondenti al loro spostamento di due discreti da profilo a profilo.

Nel caso di interferenza di due segnali, come mostrato in Fig. 4.2, b, due estremi positivi sono fissati su e , che inoltre, sommando i dati su più profili nella direzione di battuta del segnale, consente di separarli chiaramente sull'area di indagine.

Infine, un forte spostamento degli estremi CCF per qualsiasi coppia di profili rispetto agli estremi di coppie di profili adiacenti consente di utilizzare il CCF per evidenziare le violazioni nella distribuzione del campo, come mostrato in Fig. 4.2, c. Le faglie con uno strike prossimo allo strike dei profili di rilevamento geofisico sono solitamente mappate sulla base di tale spostamento del VKF extrema.

Nell'elaborazione delle registrazioni sismiche, la costruzione del CCF tra i dati di tracce adiacenti fornisce una stima delle correzioni statiche e cinematiche totali, determinate dall'ascissa dell'estremo positivo del CCF. Con conoscenza della cinematica, cioè caratteristiche di velocità della sezione temporale, non è difficile determinare il valore della correzione statica.

Proprietà delle funzioni di autocorrelazione

Le funzioni di autocorrelazione giocano un ruolo importante nella rappresentazione di processi casuali e nell'analisi di sistemi che operano con segnali di input casuali. Pertanto, presentiamo alcune proprietà delle funzioni di autocorrelazione dei processi stazionari.

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x (t) = R x (-t). La funzione di autocorrelazione è una funzione pari. Questa proprietà di simmetria del grafico di una funzione è estremamente utile quando si calcola la funzione di autocorrelazione, poiché significa che i calcoli possono essere eseguiti solo per t positivo e t negativo può essere determinato utilizzando la proprietà di simmetria.

3.½Rx(t)½£ Rx(0). Valore più alto la funzione di autocorrelazione, di regola, assume t = 0.

Esempio. In un processo casuale X(t) = A Coswt, dove A è una variabile casuale con le caratteristiche: M(A) = 0, D(A) = s 2 , trova M(X), D(X) e R x (t1,t2).

Soluzione. Cerchiamo valore atteso e la varianza del processo casuale:

M(X) = M(A Coswt) = Coswt × M(A) = 0,

D (X) \u003d M ((A Coswt-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 wt \u003d s 2 Cos 2 wt.

Ora troviamo la funzione di autocorrelazione

R x (t 1,t 2) \u003d M (A Coswt 1 × A Coswt 2) \u003d

M(A 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2 .

I segnali casuali in ingresso X(t) e in uscita Y(t) del sistema possono essere considerati come un processo casuale vettoriale bidimensionale Introduciamo le caratteristiche numeriche di questo processo.

L'aspettativa matematica e la varianza di un processo casuale vettoriale è definita come l'aspettativa matematica e la varianza dei suoi componenti:

Introduciamo la funzione di correlazione del processo vettoriale utilizzando una matrice del secondo ordine:

dove R xy (t 1 , t 2) è la funzione di cross-correlazione dei processi casuali X(t) e Y(t), definita come segue

Dalla definizione della funzione di cross-correlazione deriva che

R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).

La funzione di cross-correlazione normalizzata di due processi casuali X(t), Y(t) è la funzione

Definizione. Se la funzione di correlazione reciproca dei processi casuali X(t) e Y(t) è uguale a zero:

quindi i processi casuali sono chiamati non correlati.

Per la somma dei processi casuali X(t) e Y(t), la funzione di autocorrelazione è uguale a

R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1 ,t 2) + R yx (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2 ).

Per i processi casuali non correlati X(t) e Y(t), la funzione di autocorrelazione della somma dei processi casuali è uguale alla somma delle funzioni di autocorrelazione

R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),

e quindi la varianza della somma dei processi casuali è uguale alla somma delle varianze:

D x + y (t) = D x (t) + D y (t).

Se dove X 1 (t), ..., X n (t) sono processi casuali non correlati, allora

Quando si eseguono varie trasformazioni con processi casuali, è spesso conveniente scriverle in una forma complessa.

Un processo casuale complesso è un processo casuale della forma

Z(t) = X(t) + io Y(t),

dove X(t) , Y(t) sono processi casuali reali.

L'aspettativa matematica, la funzione di correlazione e la varianza di un processo casuale complesso sono definite come segue:

M(Z) = M(X) + io M(Y),

dove il segno * denota una coniugazione complessa;

Esempio. Sia un processo casuale , dove w è un valore costante, qui A e j sono variabili casuali indipendenti e M(A) = m A , D(A) = s 2 e j è una variabile casuale uniformemente distribuita sull'intervallo . Determinare l'aspettativa matematica, la funzione di correlazione e la varianza del processo casuale complesso Z(t).

Soluzione. Troviamo l'aspettativa matematica:

Usando la distribuzione uniforme della variabile casuale j sull'intervallo , abbiamo

La funzione di autocorrelazione del processo casuale Z(t) è

Quindi abbiamo

D z (t 1) \u003d R z (t 1, t 1) \u003d s 2 + m A 2.

Dai risultati ottenuti consegue che il processo casuale Z(t) è stazionario in senso lato.

Funzioni di correlazione reciproca dei segnali

Funzione di correlazione incrociata(CCF) di segnali diversi (funzione di correlazione incrociata, CCF) descrive sia il grado di somiglianza della forma di due segnali, sia la loro disposizione reciproca l'uno rispetto all'altro lungo la coordinata (variabile indipendente). Generalizzando la formula (6.1) della funzione di autocorrelazione a due diversi segnali s(t) e u(t), otteniamo quanto segue prodotto scalare segnali:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6.14)

La correlazione reciproca di segnali caratterizza una certa correlazione di fenomeni e processi fisici visualizzato da questi segnali e può servire come misura della "stabilità" di questa relazione nel caso di elaborazione separata dei segnali in vari dispositivi. Per i segnali ad energia finita, anche il CCF è finito, mentre:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

che deriva dalla disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky e dall'indipendenza delle norme di segnale dallo spostamento delle coordinate.

Modificando la variabile t = t-t nella formula (6.2.1), otteniamo:

B su (t) \u003d s (t-t) u (t) dt \u003d u (t) s (t-t) dt \u003d B us (-t).

Ciò implica che il CCF non soddisfa la condizione di parità, B su (t) ¹ B su (-t), e che i valori CCF non devono avere un massimo a t = 0.

Questo può essere visto chiaramente in Fig. 6.6, dove sono dati due segnali identici con i centri ai punti 0.5 e 1.5. Il calcolo con la formula (6.14) con un aumento graduale dei valori di t significa spostamenti successivi del segnale s2(t) a sinistra lungo l'asse del tempo (per ogni valore di s1(t), i valori di s2 (t+t) sono presi per la moltiplicazione dell'integrando). A t=0, i segnali sono ortogonali e il valore di B 12 (t)=0. Il massimo B 12 (t) si osserverà quando il segnale s2(t) viene spostato a sinistra del valore t=1, al quale i segnali s1(t) e s2(t+t) sono completamente combinati.

Riso. 6.6. Segnali e VKF

Gli stessi valori del CCF secondo le formule (6.14) e (6.14") si osservano nella stessa posizione reciproca dei segnali: quando il segnale u(t) relativo a s(t) è spostato di un intervallo t a a destra lungo l'asse y e il segnale s(t ) relativo al segnale u(t) a sinistra, cioè B su (t) = B us (-t).

Sulla fig. 6.7 mostra esempi del CCF per un segnale rettangolare s(t) e due segnali triangolari identici u(t) e v(t). Tutti i segnali hanno la stessa durata T, mentre il segnale v(t) è spostato in avanti dell'intervallo T/2.

Riso. 6.7. Funzioni di covarianza incrociata dei segnali

I segnali s(t) e u(t) sono gli stessi in termini di localizzazione temporale e l'area di "sovrapposizione" del segnale è massima a t=0, che è fissata dalla funzione B su . Allo stesso tempo, la funzione B su è nettamente asimmetrica, poiché con una forma del segnale asimmetrica u(t) per una forma simmetrica s(t) (rispetto al centro dei segnali), l'area di "sovrapposizione" del segnale cambia in modo diverso a seconda sulla direzione dello spostamento (il segno di t con valore t crescente da zero). Quando la posizione iniziale del segnale u(t) viene spostata a sinistra lungo l'asse delle ordinate (prima del segnale s(t) - segnale v(t)) la forma VKF rimane invariata e si sposta a destra dello stesso spostamento valore - la funzione B sv in Fig. 6.7. Se le espressioni delle funzioni in (6.14) sono scambiate, allora la nuova funzione B vs sarà la funzione speculare B sv rispetto a t=0.

Tenendo conto di queste caratteristiche, il CCF totale viene calcolato, di norma, separatamente per i ritardi positivi e negativi:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6.14")

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funzione di correlazione. Funzione di correlazione reciproca. Trasformazione lineare processo casuale

1. Funzione di correlazione

Nello studio dei segnali casuali è ampiamente utilizzata la teoria dei processi casuali, basata sull'uso di momenti non superiori al secondo ordine. Questa teoria è chiamata teoria della correlazione.

Definizione. La funzione di correlazione R x (t 1 , t 2) del processo casuale X(t) è il momento di correlazione del processo casuale centrato in due sezioni t = t 1 e t = t 2:

La funzione di correlazione ha tutte le proprietà del momento di correlazione. Spesso, al posto della funzione di correlazione, si considera la funzione di correlazione normalizzata x (t 1 ,t 2):

che è adimensionale.

In quanto segue, considereremo solo processi casuali centrati. Se il processo non è centrato, questo verrà specificato in modo specifico.

La funzione di correlazione R x (t 1 , t 2) del processo casuale X(t) è anche chiamata funzione di autocorrelazione.

Per i processi stazionari (in senso ampio e stretto), la funzione di autocorrelazione ha la forma

R x (t 1 , t 2) = R x (0, t 2 - t 1) = R x () ,

dove = t 2 - t 1.

È inoltre possibile definire la funzione di autocorrelazione temporale come segue

dove è l'implementazione di un processo casuale centrato X(t). Per processi ergodici = R x ().

Di seguito è riportato un grafico tipico della funzione di autocorrelazione

2. Proprietà delle funzioni di autocorrelazione

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x () = R x (-). La funzione di autocorrelazione è una funzione pari. Questa proprietà di simmetria del grafico di una funzione è estremamente utile quando si calcola la funzione di autocorrelazione, poiché significa che i calcoli possono essere eseguiti solo per quelli positivi e per quelli negativi possono essere determinati utilizzando la proprietà di simmetria.

3.R x () R x (0). Il valore più alto della funzione di autocorrelazione, di regola, assume = 0.

Esempio. In un processo casuale X(t) = A Costo, dove A è una variabile casuale con le caratteristiche: M(A) = 0, D(A) = 2, trova M(X), D(X) e R x ( t 1 , t2).

Soluzione. Troviamo l'aspettativa matematica e la varianza del processo casuale:

M(X) = M(A Costo) = Costo M(A) = 0,

D (X) \u003d M ((A Costo-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 t \u003d 2 Cos 2 t.

Ora troviamo la funzione di autocorrelazione

R x (t 1, t 2) \u003d M (A costo 1 A costo 2) \u003d

M(A 2) Costo 1 Costo 2 = 2 Costo 1 Costo 2 .

3. Funzione di correlazione incrociata

L'aspettativa matematica e la varianza di un processo casuale vettoriale è definita come l'aspettativa matematica e la varianza dei suoi componenti:

Introduciamo la funzione di correlazione del processo vettoriale utilizzando una matrice del secondo ordine:

dove R xy (t 1 , t 2) è la funzione di cross-correlazione dei processi casuali X(t) e Y(t), definita come segue

Dalla definizione della funzione di cross-correlazione deriva che

R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).

La funzione di cross-correlazione normalizzata di due processi casuali X(t), Y(t) è la funzione

Definizione. Se la funzione di correlazione reciproca dei processi casuali X(t) e Y(t) è uguale a zero:

quindi i processi casuali sono chiamati non correlati.

Per la somma dei processi casuali X(t) e Y(t), la funzione di autocorrelazione è uguale a

R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1 ,t 2) + R yx (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2 ).

Per i processi casuali non correlati X(t) e Y(t), la funzione di autocorrelazione della somma dei processi casuali è uguale alla somma delle funzioni di autocorrelazione

R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),

e quindi la varianza della somma dei processi casuali è uguale alla somma delle varianze:

D x + y (t) = D x (t) + D y (t).

Se dove X 1 (t), ..., X n (t) sono processi casuali non correlati, allora

Quando si eseguono varie trasformazioni con processi casuali, è spesso conveniente scriverle in una forma complessa.

Un processo casuale complesso è un processo casuale della forma

Z(t) = X(t) + io Y(t),

dove X(t) , Y(t) sono processi casuali reali.

L'aspettativa matematica, la funzione di correlazione e la varianza di un processo casuale complesso sono definite come segue:

M(Z) = M(X) + io M(Y),

dove il segno * denota una coniugazione complessa;

Esempio. Sia un processo casuale, dove è un valore costante, Qui A e sono variabili casuali indipendenti e M(A) \u003d m A , D(A) \u003d 2, ed è una variabile casuale distribuita uniformemente sull'intervallo . Determinare l'aspettativa matematica, la funzione di correlazione e la varianza del processo casuale complesso Z(t).

Soluzione. Troviamo l'aspettativa matematica:

Usando la distribuzione uniforme di una variabile casuale sull'intervallo , abbiamo

La funzione di autocorrelazione del processo casuale Z(t) è

Quindi abbiamo

D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = 2 + m UN 2 .

Dai risultati ottenuti consegue che il processo casuale Z(t) è stazionario in senso lato.

4. Trasformazione lineareprocesso casuale

Quando si risolvono molti problemi pratici di ingegneria radio, è necessario determinare le caratteristiche di un processo casuale all'uscita di un sistema lineare. Il sistema lineare esegue operazioni lineari sul processo casuale di input. Ciò significa che se un processo casuale X(t) arriva all'ingresso del sistema, all'uscita questo processo si trasforma in un processo casuale

Y(t) = A ,

dove A è un operatore (trasformazione) con le seguenti proprietà:

UN [ 1 X 1 (t) + 2 X 2 (t)] = 1 UN + 2 .

Ecco le costanti.

Esempi di operatori lineari

Operatore di moltiplicazione per una funzione non casuale f(t):

Y(t) = A = f(t)X(t).

Definiamo l'aspettativa matematica e la funzione di autocorrelazione del processo casuale Y(t):

m y (t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),

Operatore di differenziazione:

Rappresentare la derivata come limite

e applicando l'operazione di aspettativa ai lati destro e sinistro dell'uguaglianza, otteniamo

Operatore di integrazione:

Rappresentiamo l'integrale come somma integrale

e applicare l'operazione di aspettativa a questa uguaglianza. Poi abbiamo

La funzione di autocorrelazione di un processo casuale è facilmente determinabile:

5. Trasformata di Fourier

Quando si analizzano vari sistemi lineari Le trasformate di Fourier e Laplace sono ampiamente utilizzate, il che rende abbastanza facile eseguire i calcoli necessari. Il motivo principale di questa semplificazione è di sostituire la procedura di convoluzione utilizzata nell'analisi del sistema nel dominio del tempo con la consueta operazione di moltiplicazione delle caratteristiche di frequenza e delle funzioni utilizzate nell'analisi nel dominio della frequenza.

Supponiamo di avere un segnale (non casuale, che è una funzione del tempo) f(t), misurato in volt. Quindi

La trasformata di Fourier del segnale f(t) (a volte la trasformata di Fourier è intesa come il valore coniugato F*()), che ha una dimensione e determina le ampiezze relative e le fasi delle componenti armoniche non smorzate. Pertanto, il rapporto di ampiezza nella trasformata di Fourier caratterizza la densità di distribuzione di frequenza delle ampiezze e quindi determina la distribuzione di energia sullo spettro. Lo spettro di qualsiasi processo oscillatorio è una funzione che descrive la distribuzione delle ampiezze delle armoniche a frequenze diverse. Lo spettro mostra che tipo di oscillazioni di frequenza prevalgono in un dato processo e qual è la sua struttura interna.

È stata sviluppata una teoria per la trasformata di Fourier, la cui essenza è brevemente la seguente.

Viene introdotto lo spazio L 2 (-,) - lo spazio delle funzioni sommabili quadrate, cioè quelle funzioni per le quali

Se f(t) è un segnale, allora questa condizione significa che la potenza di questo segnale è finita.

denaro contante. Per ogni funzione f L 2 (-,) esiste un limite alla media della funzione

a T e questo limite è indicato

dove F() L 2 (-,). C'è anche una trasformazione inversa

Per due trasformate di Fourier

soddisfa l'uguaglianza di Parseval generalizzata:

In particolare, otteniamo la consueta uguaglianza di Parseval

6. Densità spettrale di un processo casuale stazionario

L'applicazione diretta della trasformata di Fourier per l'implementazione del processo casuale x(t) non è applicabile, poiché tale trasformazione non esiste. Per utilizzare la trasformata di Fourier nell'analisi di un processo casuale stazionario (centrato), è necessario modificare l'implementazione del processo in modo tale che la trasformata di Fourier esista per ogni implementazione. Uno di questi è introdurre un processo troncato X T (t):

Questo processo troncato soddisfa il requisito dell'esistenza di una trasformata di Fourier per qualsiasi implementazione, poiché

Questa relazione significa che è soddisfatta per qualsiasi implementazione del processo casuale X T (t). Ora, per il processo troncato, possiamo introdurre la trasformata di Fourier, intendendo con ciò la trasformata di Fourier di una qualsiasi delle sue implementazioni:

Lo scopo di quanto segue è provare il fatto che, nel limite di T, esiste, anche se non esiste, una trasformata di Fourier per qualche realizzazione.

Il primo passo della dimostrazione consiste nell'applicare l'uguaglianza di Parseval:

notare che

(2)

Facciamo ora la media del lato sinistro dell'uguaglianza (1) nel tempo per ottenere la potenza media del processo casuale

Il lato sinistro dell'uguaglianza risultante è il quadrato del valore effettivo della funzione X T (t). Inoltre, per un processo ergodico a T questo valore si avvicina al valore del quadrato medio del processo casuale M(X 2 (t)).

Nella relazione (3) è impossibile passare al limite in T, poiché non esiste.

Pertanto, prendiamo prima l'aspettativa matematica delle parti sinistra e destra di questa uguaglianza

e riscrivilo, dirigendo T. Poi

Per processo stazionario

Pertanto, otteniamo la relazione

Valore

è chiamata densità spettrale del processo casuale. Segnaliamo che dopo aver eseguito l'operazione di media sull'insieme delle realizzazioni (sull'insieme), vale il passaggio al limite in T. Se X(t) è una sollecitazione, allora ([X] = B), S x () ha la dimensione ) secondo (4) determina il quadrato medio di questa tensione, cioè

Un'interpretazione fisica più visiva della densità spettrale può essere data analizzando la potenza media. Se X(t) è una tensione o una corrente fluttuante che scorre attraverso un resistore da 1 ohm, allora M(X 2) è la potenza media dissipata da questo resistore.

La densità spettrale può essere interpretata come la potenza media concentrata entro una larghezza di banda di 1 Hz.

Di conseguenza, la densità spettrale viene spesso definita spettro di densità di potenza.

Dalla densità spettrale a due lati di un processo casuale, si può passare a uno unilaterale, dove di solito appare la frequenza f. A questo scopo, scriviamo

e nel primo integrale facciamo un cambio di variabile ponendo = 2f, e nel secondo - = - 2f.

Poiché, in virtù della relazione (2), la funzione S x () = S x (-), cioè è una funzione pari, allora

Rappresentiamo l'integrale in questa relazione come una somma integrale

dove D k è la varianza del processo casuale sulla k-esima armonica. Da qui otteniamo che G x (f) = D k /fk - dispersione (potenza) della k-esima armonica, relativa alla banda di frequenza fk , cioè la densità spettrale della dispersione (potenza) del processo casuale .

Esempio. Un processo casuale stazionario ha una densità spettrale bilaterale

Determinare la potenza di processo media dissipata da un resistore da 1 ohm nell'intervallo da -4 a 4.

Soluzione Potenza media processo M(X 2 (t)) per l'intervallo specificato è:

processo casuale della funzione di autocorrelazione

In ingegneria radio, viene spesso utilizzato il concetto di "rumore bianco". Per "rumore bianco" è consuetudine intendere un processo casuale stazionario, la cui densità spettrale è costante a tutte le frequenze. Il termine "rumore bianco" sottolinea figurativamente l'analogia con la luce, in cui, all'interno della gamma di frequenze visibili, l'intensità di tutte le componenti spettrali è approssimativamente la stessa. Il rumore bianco è un modello matematico di un processo che non esiste realmente in natura, poiché la sua potenza è uguale all'infinito. Tuttavia, questo è un modello conveniente per descrivere i processi casuali a banda larga dei sistemi, nella cui larghezza di banda lo spettro può essere considerato costante.

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L'aspettativa matematica e la varianza sono caratteristiche importanti di un processo casuale, ma non danno un'idea sufficiente di quale carattere avranno le singole implementazioni di un processo casuale. Ciò è evidente dalla Fig. 9.3, che mostra l'implementazione di due processi casuali che sono completamente diversi nella loro struttura, sebbene lo abbiano

gli stessi valori di aspettativa matematica e varianza. Le linee tratteggiate in Fig. 9.3 mostra i valori per i processi casuali.

Il processo rappresentato in fig. 9.3, a, da una sezione all'altra procede in modo relativamente fluido, e il processo in Fig. 9.3, b presenta una forte variabilità da sezione a sezione, quindi la relazione statistica tra le sezioni nel primo caso è maggiore che nel secondo, ma ciò non può essere stabilito né per aspettativa matematica né per dispersione.

Per caratterizzare in una certa misura la struttura interna di un processo casuale, cioè per tenere conto della relazione tra i valori di un processo casuale in momenti diversi, o, in altre parole, per tener conto del grado di variabilità di un processo casuale, è necessario introdurre il concetto di funzione di correlazione (autocorrelazione) di un processo casuale.

La funzione di correlazione di un processo casuale si chiama funzione non casuale di due argomenti che, per ogni coppia di valori arbitrariamente scelti degli argomenti (punti nel tempo), è uguale all'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali sezioni corrispondenti del processo casuale:

dove è la densità di probabilità bidimensionale; - processo casuale centrato; - aspettativa matematica (valore medio) di un processo casuale.

Vari processi casuali, a seconda di come cambiano le loro caratteristiche statistiche nel tempo, si dividono in stazionari e non stazionari. Stazionarietà separata in senso stretto e stazionarietà in senso lato.

Stazionario in senso stretto un processo casuale viene chiamato se le sue funzioni di distribuzione n-dimensionale e la densità di probabilità per qualsiasi non dipendono dallo spostamento di tutti i punti

Lungo l'asse del tempo della stessa quantità, cioè

Ciò significa che due processi hanno le stesse proprietà statistiche per qualsiasi, cioè le caratteristiche statistiche di un processo casuale stazionario sono invariate nel tempo.

Un processo casuale stazionario è una sorta di analogo di un processo stabile in sistemi deterministici. Qualsiasi processo transitorio non è stazionario.

Stazionario in senso latoè chiamato un processo casuale la cui aspettativa matematica è costante:

e la funzione di correlazione dipende da una sola variabile: le differenze degli argomenti, mentre la funzione di correlazione è indicata

I processi stazionari in senso stretto sono necessariamente stazionari in senso lato; tuttavia, in generale non è vero il contrario.

Il concetto di processo casuale, stazionario in senso lato, viene introdotto quando solo l'aspettativa matematica e la funzione di correlazione vengono utilizzate come caratteristiche statistiche di un processo casuale. La parte della teoria dei processi casuali che descrive le proprietà di un processo casuale attraverso la sua funzione di aspettativa matematica e correlazione è chiamata teoria della correlazione.

Per un processo casuale con legge normale distribuzioni, la media e la funzione di correlazione determinano completamente la sua densità di probabilità n-dimensionale.

Pertanto, per i normali processi casuali, i concetti di stazionarietà in senso ampio e stretto coincidono.

La teoria dei processi stazionari è stata sviluppata in modo più completo e rende relativamente facile eseguire calcoli per molti casi pratici. Pertanto, è talvolta opportuno fare l'ipotesi di stazionarietà anche per quei casi in cui il processo random, sebbene non stazionario, non ha il tempo di modificare significativamente le caratteristiche statistiche dei segnali nel periodo considerato di funzionamento del sistema. In quanto segue, se non diversamente indicato, considereremo processi casuali stazionari in senso lato.

Quando si studiano processi casuali stazionari in senso lato, ci si può limitare a considerare solo processi con aspettativa matematica (valore medio) uguale a zero, poiché un processo casuale con aspettativa matematica diversa da zero è rappresentato come somma di un processo con aspettativa matematica zero e un valore costante non casuale (regolare) uguale all'aspettativa di questo processo (vedi § 9.6 sotto).

Per l'espressione per la funzione di correlazione

Nella teoria dei processi casuali vengono utilizzati due concetti di valori medi. Il primo concetto di valore medio è il valore medio sull'insieme (o aspettativa matematica), che viene determinato sulla base dell'osservazione sull'insieme di realizzare contemporaneamente processi casuali. Il valore medio sull'insieme è solitamente indicato da una linea ondulata sopra l'espressione che descrive la funzione casuale:

In generale, il valore medio sull'insieme è una funzione del tempo

Un'altra nozione di media è la media temporale, che è determinata osservando una particolare implementazione di un processo casuale nel tempo.

un tempo T sufficientemente lungo. Il valore medio nel tempo è indicato da una linea retta sopra l'espressione corrispondente funzione casuale e determinato dalla formula:

se questo limite esiste.

Il valore medio nel tempo è generalmente diverso per le singole implementazioni dell'insieme che determinano il processo casuale. In generale, per lo stesso processo casuale, la media impostata e la media temporale sono diverse. Tuttavia, esiste una classe di processi casuali stazionari, detti ergodici, per i quali la media sull'insieme è uguale alla media nel tempo, cioè

La funzione di correlazione di un processo casuale stazionario ergodico diminuisce indefinitamente nel modulo per

Tuttavia, va tenuto presente che non tutti i processi casuali stazionari sono ergodici, ad esempio un processo casuale, la cui implementazione è costante nel tempo (Fig. 9.4), è stazionario, ma non ergodico. In questo caso, i valori medi determinati da un'implementazione e come risultato dell'elaborazione di più implementazioni non corrispondono. Lo stesso processo casuale nel caso generale può essere ergodico rispetto ad alcune caratteristiche statistiche e non ergodico rispetto ad altri. In quanto segue, assumeremo che le condizioni di ergodicità siano soddisfatte rispetto a tutte le caratteristiche statistiche.

La proprietà ergodica ha un molto grande valore pratico. Per determinare le proprietà statistiche di alcuni oggetti, se è difficile effettuarne l'osservazione simultanea in un momento scelto arbitrariamente (ad esempio, se esiste un prototipo), può essere sostituito dall'osservazione a lungo termine di un oggetto . In altre parole, un'implementazione separata del random ergodico

processo su un intervallo di tempo infinito determina completamente l'intero processo casuale con le sue infinite realizzazioni. A rigor di termini, questo fatto è alla base del metodo descritto di seguito per la determinazione sperimentale della funzione di correlazione di un processo casuale stazionario da un'implementazione.

Come si può vedere dalla (9.25), la funzione di correlazione è il valore medio sull'insieme. Per i processi casuali ergodici, la funzione di correlazione può essere definita come la media temporale del prodotto, cioè

dove - qualsiasi implementazione di un processo casuale; x è il valore medio nel tempo, determinato dalla (9.28).

Se il valore medio del processo casuale è zero, allora

Sulla base della proprietà dell'ergodicità, si può variare [vedi. (9.19)] essere definita come la media temporale del quadrato del processo casuale centrato, cioè

Confrontando le espressioni (9.30) e (9.32) in , si può stabilire una connessione molto importante tra la varianza e la funzione di correlazione: la varianza di un processo casuale stazionario è uguale al valore iniziale della funzione di correlazione:

Dalla (9.33) si può vedere che la varianza di un processo casuale stazionario è costante, e quindi anche la deviazione standard è costante:

Le proprietà statistiche della connessione di due processi casuali possono essere caratterizzate da una funzione di cross-correlazione che per ogni coppia di valori arbitrariamente scelti degli argomenti è uguale a

Per i processi casuali ergodici, invece di (9.35) possiamo scrivere

dove sono rispettivamente le realizzazioni di processi casuali stazionari.

La funzione di correlazione reciproca caratterizza la connessione statistica reciproca di due processi casuali in momenti diversi, separati l'uno dall'altro da un intervallo di tempo. Il valore caratterizza questa relazione nello stesso momento.

Dalla (9.36) segue che

Se i processi casuali non sono statisticamente correlati tra loro e hanno valori medi uguali a zero, la loro funzione di correlazione reciproca per tutti è uguale a zero. Tuttavia, la conclusione inversa che se la funzione di correlazione reciproca è uguale a zero, allora i processi sono indipendenti, può essere fatta solo in casi individuali (in particolare, per processi con una legge di distribuzione normale), mentre la legge inversa non ha forza generale .

Si noti che le funzioni di correlazione possono essere calcolate anche per funzioni temporali (regolari) non casuali. Tuttavia, quando parlano della funzione di correlazione di una funzione regolare, allora questo è semplicemente il risultato di una funzione formale

applicazione alla funzione regolare dell'operazione espressa dall'integrale:

Presentiamo alcune proprietà di base delle funzioni di correlazione

1. Il valore iniziale della funzione di correlazione [vedi. (9.33)] è uguale alla varianza del processo casuale:

2. Il valore della funzione di correlazione per qualsiasi non può superare il suo valore iniziale, cioè

Per dimostrarlo, considera l'ovvia disuguaglianza che implica

Troviamo i valori medi nel tempo di entrambe le parti dell'ultima disuguaglianza:

Quindi, otteniamo la disuguaglianza

3. La funzione di correlazione è una funzione pari, cioè

Ciò deriva dalla definizione stessa della funzione di correlazione. Veramente,

quindi, sul grafico, la funzione di correlazione è sempre simmetrica rispetto all'asse y.

4. La funzione di correlazione della somma dei processi casuali è determinata dall'espressione

dove sono le funzioni di correlazione reciproca

Veramente,

5. La funzione di correlazione di un valore costante è uguale al quadrato di questo valore costante (Fig. 9.5, a), che deriva dalla definizione stessa della funzione di correlazione:

6. La funzione di correlazione di una funzione periodica, ad esempio, è un'onda coseno (Fig. 9-5, 5), cioè

avente la stessa frequenza di quella indipendente dallo sfasamento

Per dimostrarlo, notiamo che quando troviamo le funzioni di correlazione delle funzioni periodiche, possiamo usare la seguente uguaglianza:

dove è il periodo della funzione

L'ultima uguaglianza si ottiene sostituendo l'integrale con limiti da -T a T a T con la somma degli integrali individuali con limiti da a , dove e utilizzando la periodicità degli integrandi.

Quindi, considerando quanto sopra, otteniamo

7. Funzione di correlazione della funzione tempo, espansa in una serie di Fourier:

Riso. 9.5 (vedi scansione)

ha la seguente forma in base a quanto sopra:

8. Una tipica funzione di correlazione di un processo casuale stazionario ha la forma mostrata in fig. 9.6. Può essere approssimato dalla seguente espressione analitica:

Con la crescita, la connessione tra si indebolisce e la funzione di correlazione si riduce. Sulla fig. 9.5, b, c, ad esempio, sono mostrate due funzioni di correlazione e due corrispondenti implementazioni di un processo casuale. È facile vedere che la funzione di correlazione corrisponde a un processo casuale con più struttura fine, diminuisce più velocemente In altre parole, più alte sono le frequenze presenti in un processo casuale, più velocemente diminuisce la funzione di correlazione corrispondente.

A volte ci sono funzioni di correlazione che possono essere approssimate dall'espressione analitica

dov'è la dispersione; - parametro di attenuazione; - frequenza di risonanza.

Le funzioni di correlazione di questo tipo hanno, ad esempio, processi casuali come turbolenza atmosferica, dissolvenza del segnale radar, sfarfallio angolare del bersaglio, ecc. Le espressioni (9.45) e (9.46) sono spesso utilizzate per approssimare le funzioni di correlazione ottenute come risultato dell'elaborazione sperimentale dei dati .

9. La funzione di correlazione di un processo casuale stazionario, a cui è sovrapposta una componente periodica con una frequenza, conterrà anche una componente periodica della stessa frequenza.

Questa circostanza può essere utilizzata come uno dei modi per rilevare la "periodicità nascosta" nei processi casuali, che potrebbe non essere rilevata a prima vista nei singoli record dell'implementazione di un processo casuale.

Una vista approssimativa della funzione di correlazione di un processo contenente, oltre a quella casuale, anche una componente periodica è mostrata in Fig. 9.7, dove è indicata la funzione di correlazione corrispondente alla componente casuale. Per rivelare la componente periodica latente (un problema del genere sorge, ad esempio, quando un piccolo segnale utile viene isolato sullo sfondo di un grande rumore), è meglio determinare la funzione di correlazione per grandi valori quando il segnale casuale è già relativamente debolmente correlato e la componente casuale ha scarso effetto sulla forma della funzione di correlazione.