Izv. università “PND”, v. 15, n. 1, 2007 UDC 517,9
ATTRATORE DI LORENTZ NEI FLUSSI DI TAGLIO
SONO. Mukhamedov
Nell'ambito del modello della dinamica caotica di un mezzo continuo precedentemente proposto, si ottiene una realizzazione del regime tridimensionale delle fluttuazioni della velocità del flusso corrispondente ad un attrattore di tipo Lorentz. La soluzione è un insieme di strutture che determinano la geometria del collettore stratificato ridotto alla cassa tridimensionale, formata dalle pulsazioni delle velocità medie di flusso. La stessa dinamica dell'attrattore di Lorentz si manifesta sotto forma di una dipendenza dal tempo delle fluttuazioni di velocità lungo le linee di flusso del flusso medio.
Come è noto, uno dei classici esempi di caos deterministico, l'attrattore di Lorentz, scoperto a seguito della ricerca idrodinamica applicata, non è stato ancora adeguatamente riprodotto nel formalismo della meccanica turbolenta esistente. Nelle opere dell'autore è stata espressa un'ipotesi secondo cui la classica soluzione idrodinamica di questo problema non può essere ottenuta in linea di principio ed è stata proposta una giustificazione per tale conclusione. Si basava sulla comprensione che i modelli attrattori della dinamica caotica influenzano il livello mesoscopico di movimento di un mezzo continuo e che questo livello non è rappresentato nelle classiche equazioni di Navier-Stokes. Ciò ha portato alla proposta di ampliare le opzioni per risolvere il problema dell'attrattore di Lorentz includendo esplicitamente ulteriori mesostrutture nel formalismo matematico dell'idrodinamica, che portano l'apparato di questa teoria oltre il quadro delle operazioni classiche con le equazioni di Navier-Stokes.
Attualmente, i regimi di attrattore della dinamica dei mezzi continui sono costruiti nell'ambito di modelli che sono astrazioni di vasta portata del moto di un mezzo continuo, quasi senza utilizzare il concetto di interazioni meccaniche delle particelle del mezzo tra loro . In alcuni casi, queste astrazioni riflettono le proprietà degli operatori di tipo evolutivo che agiscono in una gerarchia di spazi di Hilbert nidificati. In altri casi, riflettono la dinamica di sistemi a dimensione finita che riproducono cambiamenti negli stati dell'ambiente, ma in questo caso ciascuno degli stati è in realtà rappresentato solo da un punto del corrispondente collettore di fase. Tale modellazione non corrisponde allo scopo applicato dell'idromeccanica, che richiede la riproduzione di tutte le strutture essenziali direttamente, cioè nello spazio occupato da un mezzo continuo. Se prendiamo in considerazione gli argomenti dei dati teorici e sperimentali a favore di
esistenza di tale rappresentazione, allora la riproduzione di attrattori nel contesto della dinamica delle caratteristiche spazio-temporali dell'ambiente sembra essere un'esigenza urgente.
In questo lavoro, l'attrattore di Lorentz è costruito nell'ambito della dinamica turbolenta proposta nel modello. Secondo questo modello, gli spazi di fase dei regimi turbolenti sono stratificazioni di getti di fluttuazioni di grandezze idrodinamiche. Si presume che la geometria dei fasci fluttuanti sia a priori arbitraria, determinata dalle caratteristiche modellate dei corrispondenti regimi caotici. L'oggetto principale della modellazione è una struttura caotica, che è un complesso di traiettorie instabili di movimento dei punti nel mezzo. Si presume che ogni regime turbolento stabilito corrisponda a una struttura caotica ben definita. Nella traiettoria di una struttura caotica, sono stati identificati con l'insieme delle curve integrali di una distribuzione di tipo Pfaff non integrabile (non olonomica) definita su un fascio di fluttuazioni di variabili dinamiche.
tratto caratteristico Il modello proposto è il modo di Lagrange di descrivere il moto di un mezzo, che, nel caso generale, non si riduce a descrivere il moto nelle variabili di Eulero. Allo stesso tempo, si è scoperto che la descrizione di Lagrange è mirabilmente adattata per riflettere la dinamica dei sistemi con attrattori strani. Invece delle rigide restrizioni del paradigma di Eulero, la descrizione di Lagrange impone condizioni molto più morbide che servono a determinare gli oggetti geometrici delle corrispondenti distribuzioni nonolonomiche. Tale cambiamento nell'enfasi della modellazione rende possibile riprodurre vari attrattori nella dinamica dei fasci di particelle in mezzi continui.
1. Fissiamo le equazioni per la dinamica delle pulsazioni del regime a tre modi
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
dove xk e yz formano gli insiemi di coordinate spaziali e dinamiche della stratificazione delle pulsazioni e gli oggetti mkk(x, yt)(xk e Ar(x, yt)M determinano la natura delle interazioni intermodali del regime. Questi oggetti e la stessa equazione (1) può essere considerata come le regole per la formazione di derivate di coordinate dinamiche rispetto alle coordinate spaziali e al tempo, determinate dall'evoluzione turbolenta reale. senso geometrico di questi oggetti è che nel fascio di pulsazioni definiscono rispettivamente un oggetto di connessione interna e un campo vettoriale verticale.
Assumiamo che le coordinate dinamiche introdotte sopra abbiano il significato di fluttuazioni nella velocità di flusso del mezzo, cioè la velocità effettiva del mezzo può essere espansa nel campo di velocità del flusso medio e fluttuazioni secondo la formula
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
Prenderemo le equazioni di bilancio di massa e quantità di moto nella forma dell'equazione di continuità standard e dell'equazione di Navier-Stokes
Chr + udi. (4)
Questo sistema equazioni non è ancora completa, poiché l'equazione (4) include la pressione, che è una variabile termodinamica la cui dinamica, nel caso generale, va oltre l'ambito della cinematica. Per descrivere le fluttuazioni di pressione, sono necessarie nuove coordinate dinamiche, che aumentano il numero di gradi di libertà richiesti per descrivere il corrispondente regime di moto turbolento. Introduciamo una nuova variabile dinamica che ha il significato di fluttuazioni di pressione, cioè prendiamo
p(x,y)= po(x) + y4. (cinque)
Pertanto, l'insieme iniziale di coordinate dinamiche richieste per visualizzare il movimento di un mezzo continuo è quadridimensionale.
La possibilità di riduzione ad un sistema tridimensionale con dinamica simile a quella del sistema di Lorentz risiede nel fatto che la pressione entra nell'Eq. (4) sotto forma di gradiente. Ne consegue che la riduzione alla dinamica tridimensionale delle fluttuazioni di velocità può essere effettuata se il gradiente di pressione entrante nell'Eq. (4) contiene solo le prime tre coordinate dinamiche. Per fare ciò, è sufficiente richiederlo nelle equazioni della dinamica per la quarta coordinata
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
i coefficienti delle forme di connessione w4(x,yj)dxk dipendevano solo dalle prime tre coordinate dinamiche. Si noti che il regime tridimensionale può risultare instabile dal punto di vista di una descrizione più completa, che includa la considerazione di tutti i gradi di libertà eccitati. Tuttavia, ci limiteremo a modellare proprio questa possibile dinamica a priori.
Consideriamo le condizioni imposte dalle equazioni di bilancio (3), (4) sulle espressioni per le incognite wk(x,yj)dxk e Ai(x,yj)dt incluse nell'equazione dinamica (1). Per fare ciò, sostituiamo (2) e (5) in (3) e (4) e utilizziamo le equazioni (1) e (6). Per semplificare le espressioni risultanti, assumiamo che le coordinate spaziali xk siano cartesiane. In questo caso, non è possibile distinguere tra apici e pedici, alzandoli e abbassandoli secondo necessità per scrivere espressioni covarianti. Quindi otteniamo le seguenti equazioni per i coefficienti dell'equazione (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)
dove viene introdotta la notazione Dj = dj - wk^y.
Per quanto segue, concretizziamo la formulazione del problema. Considereremo un regime il cui campo di velocità media descrive il flusso di un semplice taglio
regno unito = Ax3à\. (nove)
Inoltre, facciamo ipotesi sulla geometria dello spazio di pulsazione fibroso. Assumiamo che il bundle sia connesso funzione lineare in coordinate dinamiche, cioè w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). In questo caso, dall'equazione (8) segue immediatamente che il secondo oggetto acquisisce una struttura polinomiale in coordinate dinamiche. Vale a dire, il campo vettoriale verticale diventa un polinomio del secondo ordine in coordinate dinamiche, cioè
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Pertanto, le funzioni incognite che determinano l'equazione per la dinamica delle pulsazioni del regime a tre modi in esame sono i coefficienti waak(x), Ar0(x), Ark(x) e A3k(x), per i quali abbiamo equazioni (3) e (4). Si noti che l'equazione (4) si riduce essenzialmente alla determinazione dei coefficienti della verticale campo vettoriale, mentre la scelta dei coefficienti di connessione è limitata solo dall'equazione di continuità (3). Questa equazione lascia una notevole arbitrarietà nella determinazione dei coefficienti di connettività, lasciando così l'ampiezza della modellazione della struttura spaziale della dinamica di fluttuazione coerente con il flusso medio scelto.
2. Considerare la possibilità di ottenere un attrattore di tipo Lorentz in questo problema. A questo scopo, prima di tutto, discuteremo l'espansione dei valori di velocità effettivi in velocità media e l'ondulazione è nella media.
Secondo il significato delle pulsazioni, la loro media temporale dovrebbe essere uguale a zero, cioè
(y)t - 0. (10)
Allo stesso tempo, le pulsazioni sono definite come deviazioni dei valori di velocità effettivi dal valore medio. Se si assume che il flusso medio sia dato, la circostanza annotata non ci consente di scegliere come modello l'equazione del caos sistema arbitrario equazioni con dinamica caotica. Affinché le variabili del sistema modello di equazioni possano essere considerate come pulsazioni di quantità idromeccaniche reali, devono essere soddisfatte le condizioni (10). Se la (10) non è soddisfatta, significa l'esistenza di una deriva non spiegata nella dinamica della pulsazione. Di conseguenza, il sistema modello adottato risulta incoerente né con i fattori agenti presi in considerazione, né con la struttura del flusso medio consentito.
Inoltre, l'equazione (1) è, nel caso generale, un sistema di tipo Pfaff non completamente integrabile. La proprietà di non integrabilità di questa equazione è di fondamentale importanza, corrispondente a una caratteristica caratteristica del moto turbolento. Vale a dire, nel processo di movimento, eventuali formazioni turbolente, particelle, falene, globuli macroscopicamente piccole perdono la loro individualità. Questa caratteristica è presa in considerazione dalla non integrabilità dell'Eq. (1). In sostanza, (1) descrive un insieme di possibili traiettorie di moto dei punti di un continuum formato da un mezzo continuo. Queste traiettorie sono definite nel fascio di fluttuazioni. Le loro proiezioni sullo spazio occupato da un mezzo continuo determinano la dinamica dello sviluppo delle fluttuazioni lungo le corrispondenti curve spaziali. Si noti che quest'ultimo può essere scelto arbitrariamente, determinando la possibilità di considerare la dinamica delle fluttuazioni lungo qualsiasi curva spaziale.
Consideriamo, per certezza, la dinamica delle fluttuazioni lungo le linee di flusso del flusso medio. Allora abbiamo le seguenti equazioni dinamiche:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Prima di considerare questo sistema, lo trasformiamo in variabili adimensionali. Per fare ciò, nell'equazione originale (4), al posto del coefficiente di viscosità, introduciamo
numero di Reynolds. Quindi rimuovere la dipendenza esplicita da questo numero sostituendo
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Omettendo il carattere di sottolineatura sulle variabili, da (12) otteniamo
y \u003d DiO - e! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Analizziamo la (13). Si noti che il modello utilizzato presuppone una turbolenza sviluppata, ovvero il numero di Reynolds dovrebbe essere considerato sufficientemente grande. Quindi, se le quantità adimensionali hanno valori dell'ordine dell'unità, le quantità dimensionali reali secondo (13) indicheranno la scala della manifestazione della dinamica. In particolare, dalla (13) risulta che le scale spaziali risultano essere piccole. Pertanto, il modello utilizzato dovrebbe essere considerato, in primo luogo, come un modello di processi di miscelazione turbolenta al livello mesoscopico di risoluzione di un mezzo continuo.
Passiamo ora all'analisi di (11) e (12). È facile vedere che per il flusso medio scelto, l'equazione (11) ha integrali semplici. Le corrispondenti equazioni della linea di flusso della corrente media sono linee rette parallele all'asse delle coordinate x1. Eliminando le coordinate spaziali, dalla (12) otteniamo nel caso generale un sistema di equazioni differenziali non autonome. In questo caso, se i coefficienti di connettività e il gradiente di pressione non dipendono dalla coordinata x1, allora il sistema (14) diventa autonomo, contenendo come parametri le restanti coordinate spaziali x2 e x3. In questo caso, si apre una strada reale per la modellazione diretta della dinamica di pulsazione quasi stazionaria spazialmente disomogenea. Di seguito verrà fornito un esempio di tale simulazione.
In conclusione di questo paragrafo, notiamo che la comparsa di una distribuzione nonolonomica data dal sistema di Pfaff (1), (6) è conseguenza dell'assunto che nello stato di forte turbolenza costante, la classe delle possibili traiettorie di moto di le particelle del mezzo è una formazione stabile. Condizione necessaria per questa nuova stabilità è il requisito dell'instabilità delle traiettorie di moto dei punti, che, a sua volta, implica grandi valori del numero di Reynolds. Il tentativo di estendere l'approccio a piccoli valori del numero Re è infondato.
3. Passiamo alla costruzione di un esempio in cui le fluttuazioni di velocità lungo le traiettorie del flusso medio sono descritte da un sistema canonico di tipo Lorentz. Per semplicità, assumiamo che tutti i coefficienti di connessione siano costanti. In questo caso si ottiene una dinamica spazialmente omogenea lungo le linee di flusso del flusso medio, ma, tuttavia, lungo linee arbitrarie non è spazialmente omogenea. Chiameremo questa ipotesi l'approssimazione quasi omogenea.
Il nostro compito è dare all'equazione (14) la forma del sistema canonico di Lorentz. Il primo ostacolo visibile a questo è l'incertezza nell'identificare le coordinate dinamiche e le variabili corrispondenti
dal sistema canonico. Assumendo che vari tipi di meccanismi di interazione intermodale consentiranno di simulare una qualsiasi di queste identificazioni, sceglieremo la seguente opzione. Lascia che la struttura dell'equazione (14) abbia la seguente forma:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
dove viene esplicitamente individuato il termine regolare, che, secondo quanto detto al comma 2, deve essere escluso dall'espressione per pulsazioni.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (diciotto)
Per questo, assumiamo che esistano medie temporali per le variabili del sistema (18). Basato sull'invarianza di questo sistema rispetto alle trasformazioni
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
è naturale aspettarsi che la media per le prime due variabili sia zero. Poi la sostituzione
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
in (18) fornisce il sistema di equazioni (15) - (17).
A tal proposito, notiamo che per vari valori dei parametri del sistema di Lorentz sono possibili soluzioni con valori medi sia nulli che diversi da zero delle prime due variabili. Con questo in mente, limitiamo la nostra successiva considerazione alla prima di queste possibilità. Notiamo inoltre che la sostituzione (20) può essere eseguita anche nel caso in cui il termine nella terza espressione (20) non abbia il significato di media temporale. In tal caso, per la successiva interpretazione può essere necessaria una nuova definizione della procedura di mediazione. Nel caso generale, un'opportuna definizione richiederà un affinamento delle scale temporali dei fenomeni in esame. È chiaro che tali ridefinizioni richiederanno una considerazione più dettagliata sia dei dati iniziali che delle variazioni dei parametri di sistema. Il noto effetto dell'interazione di attrattori caotici mostra come possano sorgere ambiguità nella determinazione delle medie per piccole variazioni nei parametri di moto.
Torniamo alla nostra considerazione. Confrontando i coefficienti del sistema (15) -(17) e (14), otteniamo
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (g)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
Inoltre, da (7) abbiamo
dk u0 = 0, 0.
Considera (21) e (24). Sostituendo l'espressione (9), è facile vedere che (24) è soddisfatta in modo identico e (21) si riduce solo alla determinazione del gradiente di pressione medio. In questo caso il gradiente risulta essere perpendicolare alla velocità media del flusso, conseguenza della scelta dell'identificazione delle variabili del sistema canonico di Lorentz e delle componenti di fluttuazione della velocità.
Passiamo alle equazioni (23) e (25). Da (23) otteniamo espressioni a valore singolo per i componenti simmetizzati in pedice dell'oggetto connessione. La parte antisimmetrica è determinata dalla (25) con una certa arbitrarietà. La soluzione generale di queste equazioni è data dalla seguente espressione:
/ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Passiamo alla restante equazione (22). Questa equazione matriciale è un sistema di 9 equazioni algebriche quadratiche
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Le incognite in esso contenute sono 6 coefficienti di connettività (26), 9 componenti del tensore di pressione, 1 coefficiente che determina la velocità media e 3 parametri del sistema di Lorentz. Ne consegue che la soluzione di questo sistema è determinata con notevole arbitrarietà parametrica. Nel regime tridimensionale in esame, il tensore del gradiente di pressione ω > 4r è arbitrario e, grazie alla sua concretizzazione, è possibile simulare la dinamica desiderata per qualsiasi scelta prefissata di coefficienti di connettività. Per i regimi multidimensionali, le componenti del tensore di pressione sono incluse in un sistema di equazioni più completo che tiene conto della dinamica di tutti i gradi di libertà eccitati. In questo caso, il tensore di pressione non può più essere arbitrario. A questo proposito, è interessante considerare varie opzioni particolari per la determinazione del tensore di pressione, assumendo che ipotesi fisicamente ragionevoli dovrebbero trovare la loro rappresentazione in equazioni più complete che tengano conto della dinamica multidimensionale. Assumiamo che il tensore del gradiente di pressione sia diagonale con una componente zero corrispondente alla coordinata y2. In questo caso, la (22) ha la seguente esatta soluzione analitica:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - un AK
a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)
Considera la soluzione risultante (27), (28). Le quantità A, r, a, y, che determinano l'ampiezza del gradiente di velocità della corrente media, e tre parametri del sistema modello di Lorentz sono rimasti arbitrari in esso. Tutte le altre caratteristiche del movimento sono espresse come funzioni dell'insieme di quantità sopra. Scegliendo determinati valori di queste quantità, è possibile variare la dinamica delle pulsazioni e utilizzando le formule (26), (27) per trovare i valori corrispondenti dei componenti dell'oggetto connettività. Se prendiamo in considerazione che ogni oggetto determina la natura delle interazioni delle pulsazioni, allora diventa possibile variare i diversi tipi di interazioni stesse. In particolare, per variare l'ampiezza delle componenti del tensore di pressione. Va notato che in alcuni casi questi componenti possono essere azzerati in modo identico. Una caratteristica delle soluzioni (27), (28) è che è impossibile azzerare le componenti del tensore di pressione, pur rimanendo nella regione di quei valori dei parametri di sistema per i quali si pone la dinamica di Lorentz. (Tuttavia, questo è del tutto possibile nella regione di quei valori di parametro per i quali la dinamica della pulsazione è regolare.)
Facciamo alcune stime. Lascia che i parametri del sistema modello corrispondano all'attrattore di Lorentz con parametri a = 10, r = 28, y = 8/3. In questo caso, i calcoli mostrano che le pulsazioni hanno un tempo caratteristico t ~ 0,7. All'interno dell'intervallo di tempo calcolato b = 0 + 50, i valori di pulsazione appartengono agli intervalli y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 e y3 = -23,2 + 23,7.
Confrontiamo i valori assoluti delle fluttuazioni di velocità e il gradiente di velocità medio. Dalla (13) segue che le pulsazioni si ottengono dividendo i valori relativi per il numero l/d, mentre il gradiente di velocità media rimane invariato. Prendiamo come gradiente di velocità un valore uguale all'unità in ordine di grandezza, quindi
è A ~ 1. Quindi, al valore di Re=2000, cioè al valore critico inferiore di , per le pulsazioni otteniamo un ordine di grandezza pari al 50% del valore del gradiente. Nel caso di Re=40000, le fluttuazioni di velocità raggiungono solo il 10%% del valore accettato del gradiente di velocità medio. Ciò mostra che proporzioni ragionevoli tra la velocità media e le pulsazioni possono essere assicurate solo in un certo intervallo di numeri Re.
4. Vengono rivelati nuovi dati quando si considera il movimento dei punti nel mezzo. Per la dinamica di Lorentz nell'approssimazione quasi omogenea, le equazioni del moto dei punti hanno la forma
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Questo sistema risulta essere lineare a coefficienti costanti. La sua soluzione generale può essere facilmente ottenuta per integrazione elementare. Pertanto, notiamo solo le caratteristiche qualitative delle traiettorie di movimento dei punti. Dall'equazione caratteristica per le velocità del moto, troviamo che ci sono due radici negative e una positiva. Pertanto, in ogni punto dello spazio, si distinguono due direzioni di compressione e una di trazione. Queste caratteristiche della dinamica sono caratteristiche invarianti che possono essere utilizzate per classificare gli attrattori corrispondenti a flussi con la stessa velocità media.
Come risulta dalla soluzione generale del sistema (29) e (30), gli eventuali spostamenti dei punti medi in direzioni trasversali alle linee di flusso medie non sono limitati. Vale a dire, si verifica una deriva regolare nella proiezione sull'asse x3. In questo caso i punti, muovendosi perpendicolarmente alle linee di flusso della corrente media, cadono nella regione delle alte velocità. In questo caso, il numero Re aumenta, il che porta a una diminuzione dell'entità relativa delle fluttuazioni. Nell'ambito dell'approssimazione quasi omogenea effettuata, questo effetto porta ad una relativa diminuzione delle fluttuazioni e, in definitiva, alla loro degenerazione in fluttuazioni.
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Kazan State University Ricevuto il 23 gennaio 2006
Università Tecnica Revisionata il 15/08/2006
LORENZ ATRACTOR NEI FLUSSI DI SEMPLICE TURNO
Nella cornice di un modello dato in precedenza per la simulazione della dinamica caotica del mezzo continuo è rappresentato l'attrattore di Lorenz. La simulazione viene effettuata con l'ausilio delle strutture che definiscono la geometria di un fascio di fibre associato al regime tridimensionale delle pulsazioni di velocità. La dinamica di Lorenz appare come una dipendenza dal tempo delle pulsazioni lungo le linee del flusso medio.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - è nato a Kazan (1953). Laureato presso la Facoltà di Fisica dell'Università Statale di Kazan nel Dipartimento di Gravità e Teoria della Relatività (1976). Dottorando del Dipartimento di Meccanica Teorica e Applicata, Università Tecnica Statale di Kazan intitolata a V.I. AN Tupolev. Autore di 12 articoli su questo argomento, nonché della monografia "Ricerca scientifica e metodologia della matematica" (Kazan: KSTU Publishing House, 2005, coautore con G.D. Tarzimanova). Area di interesse scientifico - modelli matematici della dinamica caotica, geometria delle varietà fibrose, metodologia della matematica moderna.
soluzione del sistema a R=24,06
soluzione del sistema a R=28 — in effetti, questo è l'attrattore di Lorentz
soluzione del sistema a R=100 - è visibile la modalità di auto-oscillazioni nel sistema
Nel problema della convezione, il modello nasce quando la velocità del flusso e la temperatura vengono espanse in serie bidimensionali di Fourier e il loro successivo "taglio" con una precisione della prima seconda armonica. Inoltre, il sistema completo ridotto di equazioni idrodinamiche è scritto nell'approssimazione di Boussinesq. Il taglio della serie è in una certa misura giustificato, poiché Soltzman nel suo lavoro ha dimostrato l'assenza di caratteristiche interessanti nel comportamento della maggior parte degli armonici.
Applicabilità e rispetto della realtà
Indichiamo il significato fisico delle variabili e dei parametri nel sistema di equazioni in relazione ai problemi citati.
- Convezione in uno strato piatto. Qui X responsabile della velocità di rotazione dei pozzi d'acqua, y e z- per la distribuzione della temperatura in orizzontale e in verticale, R- numero di Rayleigh normalizzato, σ - numero di Prandtl (il rapporto tra il coefficiente di viscosità cinematica e il coefficiente di diffusività termica), B contiene informazioni sulla geometria della cella convettiva.
- Convezione ad anello chiuso. Qui X- velocità del flusso, y- scostamento della temperatura dalla media in un punto distante 90° dal punto inferiore dell'ansa, z- lo stesso, ma nel punto più basso. Il calore viene fornito nel punto più basso.
- Rotazione della ruota idraulica. Viene considerato il problema di una ruota sul bordo della quale sono fissati i cestini con fori sul fondo. In cima alla ruota simmetricamente un flusso d'acqua continuo scorre attorno all'asse di rotazione. Il compito è equivalente a quello precedente, capovolto, con la temperatura sostituita dalla densità di distribuzione della massa d'acqua nei cestelli lungo il bordo.
- laser monomodale. Qui Xè l'ampiezza delle onde nella cavità laser, y- polarizzazione, z- inversione della popolazione dei livelli energetici, B e σ sono i rapporti tra i coefficienti di inversione e di rilassamento del campo e il coefficiente di rilassamento della polarizzazione, R- intensità di pompaggio.
Vale la pena sottolineare che, applicato al problema della convezione, il modello di Lorentz è un'approssimazione molto approssimativa, molto lontana dalla realtà. Esiste una corrispondenza più o meno adeguata nella regione dei regimi regolari, dove le soluzioni stabili riflettono qualitativamente lo schema osservato sperimentalmente di rulli convettivi rotanti uniformemente (celle di Bénard). Il regime caotico inerente al modello non descrive la convezione turbolenta dovuta al significativo taglio della serie trigonometrica originale.
Interessante è l'accuratezza significativamente maggiore del modello con alcune sue modifiche, che viene utilizzato, in particolare, per descrivere la convezione in uno strato soggetto a vibrazioni in direzione verticale o ad effetti termici variabili. Tali cambiamenti nelle condizioni esterne portano alla modulazione dei coefficienti nelle equazioni. In questo caso, le componenti di Fourier ad alta frequenza della temperatura e della velocità vengono significativamente soppresse, migliorando l'accordo tra il modello di Lorentz e il sistema reale.
Degna di nota è la fortuna di Lorenz nella scelta del valore del parametro r (\ displaystyle r), poiché il sistema arriva all'attrattore strano solo per valori maggiori di 24,74, per valori minori il comportamento è completamente diverso.
Comportamento della soluzione di sistema
Consideriamo i cambiamenti nel comportamento della soluzione al sistema di Lorentz per diversi valori del parametro r. Le illustrazioni dell'articolo mostrano i risultati della simulazione numerica per punti con coordinate iniziali (10,10,10) e (-10,-10,10). La modellazione è stata eseguita utilizzando il programma seguente, scritto nel linguaggio Fortran, tracciando secondo le tabelle risultanti, a causa delle scarse capacità grafiche di Fortran utilizzando Compaq Array Viewer.
- R<1 - l'origine delle coordinate è l'attrattore, non ci sono altri punti stabili.
- 1<R<13,927 - le traiettorie si avvicinano a spirale (questo corrisponde alla presenza di oscillazioni smorzate) a due punti la cui posizione è determinata dalle formule:
( X = ± b (r - 1) y = ± b (r - 1) z = r - 1 (\ displaystyle (\begin(casi)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(casi)))
Questi punti determinano gli stati del regime di convezione stazionaria, quando nello strato si forma una struttura di rulli fluidi rotanti.
- R≈13,927 - se la traiettoria esce dall'origine, dopo aver compiuto un giro completo attorno ad uno dei punti stabili, ritorna al punto di partenza - compaiono due anelli omoclinici. concetto traiettoria omoclinica significa che esce e si trova nella stessa posizione di equilibrio.
- R>13,927 - A seconda della direzione, la traiettoria raggiunge uno dei due punti stabili. Gli anelli omoclinici si rigenerano in cicli limite instabili e nasce anche una famiglia di traiettorie disposte in modo complesso, che non è un attrattore, ma piuttosto, al contrario, respinge le traiettorie da se stessa. Talvolta, per analogia, questa struttura è chiamata "strano repulsore" (Ing. respingere- respingere).
- R≈24,06 - le traiettorie non portano più a punti stabili, ma si avvicinano asintoticamente a cicli limite instabili - appare l'attuale attrattore di Lorentz. Tuttavia, entrambi i punti stabili vengono mantenuti fino ai valori R≈24,74.
Per grandi valori del parametro, la traiettoria subisce seri cambiamenti. Shilnikov e Kaplan lo hanno dimostrato per molto R il sistema entra in modalità di auto-oscillazione e, se il parametro viene ridotto, si osserverà una transizione al caos attraverso una sequenza di raddoppi del periodo di oscillazione.
Significato del modello
Il modello di Lorenz è un vero esempio fisico di sistemi dinamici con comportamento caotico, in contrasto con varie mappature costruite artificialmente ("dente di sega", "tenda da sole", trasformazione del panettiere, mappatura di Feigenbaum, ecc.).
Programmi che simulano il comportamento del sistema Lorenz
Borland C#includere
dati = Tabella [ Con [( N = 1000 , dt = 0.01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 ), NestList [ Modulo [( x , y , z , x1 , y1 , z1 ), ( x , y , z ) = # ; x1 = x + un (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (-c z + x y ) dt ; ( x1 , y1 , z1 )] & , ( 3,051522 , 1,582542 , 15,62388 ), N ] ], ( j , 0 , 5 )]; Graphics3D @ MapIndexed [( Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]) & , data ]
JavaScript e HTML5< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = documento . getElementById("cnv"); var cx = cnv . getContext("2d"); var x = 3,051522 , y = 1,582542 , z = 15,62388 , x1 , y1 , z1 ; vard = 0,0001 ; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt(cnv . getAttribute("height" )); var w = parseInt(cnv . getAttribute("larghezza" )); var id = cx . createImageData(w, h); varrd = matematica. tondo; variabile idx = 0 ; io = 1000000 ; mentre (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w );id .data [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx . putImageData(id , 0 , 0 );
astratto
Per disciplina: Matematica
„ Attrattore di Lorentz“
Attrattore di Lorentz
soluzione del sistema aR =0,3
soluzione del sistema aR =1,8
soluzione del sistema aR =3,7
soluzione del sistema aR =10
soluzione del sistema aR =16
soluzione del sistema aR =24,06
soluzione del sistema aR =28 — in effetti, questo è l'attrattore di Lorentz
soluzione del sistema aR =100 - è visibile la modalità di auto-oscillazioni nel sistema
Attrattore di Lorentz (dall'inglese.attrarre - attrarre) è un insieme invariante in un liscio tridimensionale, che ha una certa struttura topologica complessa ed è asintoticamente stabile, esso e tutte le traiettorie di qualche quartiere tendere a a (da qui il nome).
L'attrattore di Lorentz è stato trovato in esperimenti numerici che studiavano il comportamento delle traiettorie di un sistema non lineare:
con i seguenti valori di parametro: σ=10,R =28, B =8/3. Questo sistema è stato introdotto per la prima volta come il primo non banale per il problema dell'acqua di mare in uno strato piano, che ha motivato la scelta dei valori di σ,R eB , ma si pone anche in altre domande e modelli fisici:
convezione in un circuito chiuso;
rotazione della ruota idraulica;
modello monomodale;
dissipativo con non linearità inerziale.
Sistema idrodinamico iniziale di equazioni:
dove - velocità del flusso, - temperatura del liquido, - temperatura del limite superiore (quello inferiore, ), - densità, - pressione, - la forza di gravità, - rispettivamente e cinematica.
Nel problema della convezione, il modello nasce quando la velocità e la temperatura del flusso vengono scomposte in bidimensionali e loro successivi “tagli” fino alle prime seconde armoniche. Inoltre, il dato sistema completo di equazioni è scritto in . Il taglio delle righe è in una certa misura giustificato, poiché Soltzman nelle sue opere ha dimostrato l'assenza di caratteristiche interessanti nel comportamento della maggior parte degli armonici.
Applicabilità e rispetto della realtà
Indichiamo il significato fisico delle variabili e dei parametri nel sistema di equazioni in relazione ai problemi citati.
Convezione in uno strato piatto. QuiX responsabile della velocità di rotazione dei pozzi d'acqua,y ez - per la distribuzione della temperatura in orizzontale e in verticale,R - normalizzato , σ - (il rapporto tra il coefficiente cinematico e il coefficiente ),B contiene informazioni sulla geometria della cella convettiva.
Convezione ad anello chiuso. QuiX - velocità del flusso,y - scostamento della temperatura dalla media in un punto distante 90° dal punto inferiore dell'ansa,z - lo stesso, ma nel punto più basso. Il calore viene fornito nel punto più basso.
Rotazione della ruota idraulica. Viene considerato il problema di una ruota sul bordo della quale sono fissati i cestini con fori sul fondo. In cima alla ruotasimmetricamente un flusso d'acqua continuo scorre attorno all'asse di rotazione. Il compito è equivalente a quello precedente, capovolto, con la temperatura sostituita dalla densità di distribuzione della massa d'acqua nei cestelli lungo il bordo.
laser monomodale. QuiX - l'ampiezza delle onde nel laser,y - , z - inversione di popolazione,B e σ sono i rapporti tra i coefficienti di inversione e di campo e il coefficiente di rilassamento della polarizzazione,R - intensità.
Vale la pena sottolineare che, applicato al problema della convezione, il modello di Lorentz è un'approssimazione molto approssimativa, molto lontana dalla realtà. Esiste una corrispondenza più o meno adeguata nella regione dei regimi regolari, dove soluzioni stabili riflettono qualitativamente il quadro osservato sperimentalmente di rulli convettivi in rotazione uniforme (). Il regime caotico inerente al modello non descrive la convezione turbolenta dovuta al significativo taglio della serie trigonometrica originale.
Interessante è l'accuratezza significativamente maggiore del modello con alcune sue modifiche, che viene utilizzato, in particolare, per descrivere la convezione in uno strato soggetto a vibrazioni in direzione verticale o ad effetti termici variabili. Tali cambiamenti nelle condizioni esterne portano alla modulazione dei coefficienti nelle equazioni. In questo caso, le componenti di Fourier ad alta frequenza della temperatura e della velocità vengono significativamente soppresse, migliorando l'accordo tra il modello di Lorentz e il sistema reale.
Degna di nota è la fortuna di Lorenz nella scelta del valore del parametro , poiché il sistema arriva solo per valori maggiori di 24.74, per valori minori il comportamento è completamente diverso.
Comportamento della soluzione di sistema
Consideriamo i cambiamenti nel comportamento della soluzione al sistema di Lorentz per diversi valori del parametro r. Le illustrazioni dell'articolo mostrano i risultati della simulazione numerica per punti con coordinate iniziali (10,10,10) e (-10,-10,10). La modellazione è stata eseguita utilizzando il programma seguente, scritto nel linguaggio, tracciando in base alle tabelle risultanti, a causa delle scarse capacità grafiche di Fortran utilizzando Compaq Array Viewer.
R <1 - l'origine delle coordinate è l'attrattore, non ci sono altri punti stabili.
1< R <13,927 - le traiettorie si avvicinano a spirale (questo corrisponde alla presenza di oscillazioni smorzate) a due punti la cui posizione è determinata dalle formule:
Questi punti determinano gli stati del regime di convezione stazionaria, quando nello strato si forma una struttura di rulli fluidi rotanti.
R ≈13,927 - se la traiettoria esce dall'origine, dopo aver compiuto un giro completo attorno ad uno dei punti stabili, ritorna al punto di partenza - compaiono due anelli omoclinici. concettotraiettoria omoclinica significa che esce e si trova nella stessa posizione di equilibrio.
R >13,927 - A seconda della direzione, la traiettoria raggiunge uno dei due punti stabili. Gli anelli omoclinici si rigenerano in cicli limite instabili e nasce anche una famiglia di traiettorie disposte in modo complesso, che non è un attrattore, ma piuttosto, al contrario, respinge le traiettorie da se stessa. Talvolta, per analogia, questa struttura è chiamata "strano repulsore" (Ing.respingere - respingere).
R ≈24,06 - le traiettorie non portano più a punti stabili, ma si avvicinano asintoticamente a cicli limite instabili - appare l'attuale attrattore di Lorentz. Tuttavia, entrambi i punti stabili vengono mantenuti fino ai valoriR ≈24,74.
Per grandi valori del parametro, la traiettoria subisce seri cambiamenti. Shilnikov e Kaplan lo hanno dimostrato per moltoR il sistema entra in modalità di auto-oscillazione e, se il parametro viene ridotto, si osserverà una transizione al caos attraverso una sequenza di raddoppi del periodo di oscillazione.
Significato del modello
Il modello di Lorentz è un vero esempio fisico con comportamento caotico, in contrasto con varie mappature costruite artificialmente ( , ecc.).
Programmi che simulano il comportamento del sistema Lorenz
Borland C
#includere
#includere
vuoto principale ()
doppia x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
doppio dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=RILEVA, gm;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
fare(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) mentre (!kbhit());
closegraph();
matematica
dati = tabella[
Con[(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList &,
(3.051522, 1.582542, 15.62388), N
(j, 0, 5)];
[email protetta][(Tonalità], Punto[#1]) e, dati]
Borland Pascal
Programma Lorenz;
Utilizza CRT, Grafico;
cost
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: intero;
x1, y1, z1, x, y, z: reale;
Inizio
gd:=Rileva;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y:= 1,582542;
z:= 15.62388;
Anche se non premuto il tasto, inizia
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
Arrotonda(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
fine;
Chiudi grafico;
ReadKey;
fine.
FORTRAN
programma LorenzSystem
reale,parametro::sigma=10
reale,parametro::r=28
reale,parametro::b=2.666666
real,parametro::dt=.01
intero,parametro::n=1000
reale x,y,z
open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10.;y=10.;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+sigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
scrivi(1,*)x,y,z
fine fare
stampa *,"Fatto"
chiudi(1)
programma finale LorenzSystem
QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 COME SINGOLO
DIM a, b, c COME INTERO
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5: b=15: c=1
SCHERMO 12
STAMPA "Premi Esc per uscire"
MENTRE INKEY$<>CHR$(27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
FINE
JavaScript e HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vard = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute("altezza"));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("larghezza"));
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
variabile idx = 0;
i=1000000; mentre io--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);
dati.id = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
PER i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
trama,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.
FINE
Letteratura
Kuznetsov SP , Lezione 3. Sistema Lorentz; Lezione 4. Dinamica del sistema di Lorentz. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . Convezione libera di ampiezza finita come problema di valore iniziale. // Giornale della scienza dell'atmosfera, n. 7, 1962 - p. 329-341.
Lorenz E . Moto deterministico non periodico // Attrattori strani. - M., 1981. - S. 88-116.
Licenza:è libero.
Versione: 1.1.0.0.
annotazione: viene mostrato un programma per l'analisi del sistema di Lorentz, che consente di osservare tali stati del sistema come un attrattore stabile, due attrattori instabili, un fuoco, un anello omoclino con fuochi stabili e instabili, un attrattore di Lorentz, un ciclo limite e un ciclo limite raddoppiato.
Scaricamento: ZIP (archivio programmi) .
Parole chiave: Attrattore di Lorentz, sistema di Lorentz, studio del sistema di Lorentz di equazioni differenziali, attrattore di Lorentz matlab, studio del sistema di Lorentz, attrattore di Lorentz c++, effetto farfalla, loop omoclinico, ritratto di fase di Lorentz, ritratto di fase del sistema di Lorentz, spazio delle fasi di Lorentz, soluzione del sistema di Lorentz, Attrattore strano di Lorentz, farfalla di Lorenz, traiettoria omoclina, struttura omoclina, soluzione caotica, Edward Lorentz.
Il sistema di Lorentz è un sistema tridimensionale di equazioni differenziali autonome non lineari. Il sistema dinamico è stato studiato da Edward Lorenz nel 1963. Il motivo principale che ha generato tale interesse per il sistema di equazioni di Lorentz è il suo comportamento caotico. Il sistema di equazioni si scrive come
dove q, r, b > 0. A seguito dell'integrazione del sistema si sono rilevate le seguenti regolarità.
Per r>0 e r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).
Riso. uno. Attrattore stabile, r>0 e r<1
Quando r è vicino a 1, si verifica una decelerazione critica. Quando r è maggiore di 1, si verifica la prima biforcazione. L'origine delle coordinate perde stabilità e da essa si diramano due attrattori (Fig. 2), stabili sia a livello globale che locale.
Riso. 2.Due attrattori stabili, r>1
Nel caso r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345 - fuochi (Fig. 4).
Riso. 3. Due nodi, r=1,3
Riso. 4. Due fuochi, r=10
Quando r aumenta a 13,926, due traiettorie instabili che emanano dall'origine ritornano all'origine poiché t tende all'infinito e cessano di essere attrattori globali.
Nel caso di r=13.927, il punto può fare movimenti oscillatori da un quartiere all'altro e ritorno. Questo comportamento è chiamato caos metastabile o ciclo omoclinico (Fig. 5).
Riso. cinque. Ciclo omoclino, r=13,927
Per r>13.927, a seconda della direzione, la traiettoria raggiunge uno dei due punti stabili. I cicli omoclinici rinascono in cicli limite instabili e nasce anche una famiglia di traiettorie strutturate in modo complesso, che non è un attrattore. C'è una biforcazione delle traiettorie omocliniche con la formazione di due cicli instabili (Fig. 6).
Riso. 6.Due cicli instabili, r>13.927
Con un valore di r=24,06, le traiettorie non portano a punti stabili, ma si avvicinano asintoticamente a cicli limite instabili - appare l'attuale attrattore di Lorentz (Fig. 7).
Riso. 7.Attrattore di Lorentz, r=24,06
Nel caso di r>24.06 si verifica un'altra biforcazione. Tuttavia, entrambi i punti stabili persistono fino a r=24,74.
A r=24,74 si verifica un'inversione della biforcazione di Hopf, quando r>24,74 rimane un "attrattore strano" (Fig. 8).
Riso. 8.Attrattore strano di Lorentz, r>24,74
Nel caso di un aumento di r a 100, si osserva un regime auto-oscillante (Fig. 9).
Riso. nove.Modalità auto-oscillante, r=100
Quando r aumenta a 225, si verifica una cascata di biforcazioni di raddoppio del ciclo (Fig. 10).
Riso. 10.Raddoppio del ciclo, r=225
Riso. undici.Due soluzioni periodiche asimmetriche, r=300
Per grandi valori di r, c'è un ciclo simmetrico nel sistema (Fig. 12).
Riso. 12.Ciclo simmetrico, r=400
Il programma "Lorenz - un programma per lo studio del sistema Lorentz", implementato nell'ambiente di sviluppo Turbo C++, consente di simulare il sistema Lorenz. La costruzione di ritratti di fase e di un grafico della dipendenza delle soluzioni dal tempo t si basa sul metodo Runge-Kutta del terzo ordine. L'interfaccia del programma è mostrata nella Figura 13.
Riso. 13.
La modellazione del comportamento del sistema Lorenz utilizzando il programma Lorenz prevede i seguenti passaggi (Fig. 14):
- determinare le coordinate iniziali (x0,y0,z0);
- impostare il passo di integrazione he il numero di iterazioni i;
- impostare il valore dei coefficienti q, r, b;
- (opzionalmente) impostare l'indicatore "Dettagli" per ottenere i dettagli della soluzione;
- premere il pulsante "Calcola";
- (opzionale) fare doppio clic sulle immagini risultanti per copiarle negli appunti.
Riso. quattordici.
Esempi di modellazione del comportamento del sistema Lorentz mediante il programma Lorenz sono mostrati in Fig.15.
Riso. 15.
Letteratura
- Arkhangelsky A.Ya. Programmazione in C++ Builder. – M.: Binom-Press, 2010. – 1304 pag.
- Kiryanov D. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. - San Pietroburgo: BHV-Pietroburgo, 2012. - 432 p.
- Arnold VI Ordinario equazioni differenziali. – M.: MTsNMO, 2012. – 344 pag.
Elenco dei programmi
- MassTextReplacer - un programma per la modifica di massa di file di testo ;
- Lorenz - un programma per lo studio del sistema Lorentz;