Ez a cikk a párhuzamos egyenesekről és a párhuzamos egyenesekről szól. Először a párhuzamos egyenesek definícióját adjuk meg a síkban és a térben, bemutatjuk a jelöléseket, példákat és grafikus illusztrációkat mutatunk be párhuzamos egyenesekre. A továbbiakban az egyenesek párhuzamosságának előjeleit és feltételeit elemzem. Összegzésként az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására jellemző problémák megoldásait mutatjuk be, amelyeket az egyenes néhány egyenlete ad meg egy négyszögletes koordináta-rendszerben a síkon és a háromdimenziós tér.

Oldalnavigáció.

Párhuzamos vonalak - alapvető információk.

Meghatározás.

Egy síkban két egyenest hívnak párhuzamos ha nincsenek közös pontjaik.

Meghatározás.

Két vonalat három dimenzióban hívnak párhuzamos ha egy síkban fekszenek és nincs közös pontjuk.

Figyeljük meg, hogy a „ha egy síkban fekszenek” záradék a párhuzamos egyenesek meghatározásában nagyon fontos. Tisztázzuk ezt a pontot: két olyan egyenes a háromdimenziós térben, amelyeknek nincs közös pontja és nem fekszenek ugyanabban a síkban, nem párhuzamosak, hanem ferdeek.

Íme néhány példa párhuzamos vonalakra. A jegyzetfüzet lap szemközti élei párhuzamos vonalakon fekszenek. Az egyenes vonalak, amelyek mentén a ház falának síkja metszi a mennyezet és a padló síkját, párhuzamosak. A sík terepen lévő vasúti sínek párhuzamos vonalaknak is felfoghatók.

A "" szimbólum a párhuzamos vonalak jelölésére szolgál. Vagyis ha az a és b egyenesek párhuzamosak, akkor röviden írhatunk egy b-t.

Figyeljük meg, hogy ha az a és b egyenesek párhuzamosak, akkor azt mondhatjuk, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, és azt is, hogy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Hallgassuk meg a kijelentést fontos szerep párhuzamos egyenesek tanulmányozása során egy síkban: egy nem adott egyenesen fekvő ponton áthalad az egyetlen azzal párhuzamos egyenes. Ezt az állítást tényként fogadjuk el (a planimetria ismert axiómái alapján nem bizonyítható), és a párhuzamos egyenesek axiómájának nevezzük.

A térbeli esetre igaz a tétel: a tér bármely olyan pontján keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ez a tétel könnyen igazolható a fenti párhuzamos egyenesek axiómájával (bizonyítását megtalálja a geometria tankönyv 10-11 osztályában, amely a cikk végén található az irodalomjegyzékben).

A térbeli esetre igaz a tétel: a tér bármely olyan pontján keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ez a tétel könnyen bebizonyítható a fentebb megadott párhuzamos egyenesek axiómájával.

Egyenesek párhuzamossága - a párhuzamosság jelei és feltételei.

Párhuzamos vonalak jele párhuzamos vonalak elégséges feltétele, vagyis olyan feltétel, amelynek teljesítése garantálja a párhuzamos vonalakat. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő annak megállapításához, hogy az egyenesek párhuzamosak.

A síkban és a háromdimenziós térben párhuzamos egyeneseknek is megvannak a szükséges és elégséges feltételei.

Magyarázzuk meg a „szükséges és elégséges feltétel a párhuzamos egyenesekhez” kifejezés jelentését.

A párhuzamos vonalak elégséges feltételével már foglalkoztunk. És mi " szükséges feltétel párhuzamos vonalak? A "szükséges" elnevezésből egyértelműen kiderül, hogy ennek a feltételnek a teljesülése szükséges ahhoz, hogy a vonalak párhuzamosak legyenek. Más szóval, ha a párhuzamos vonalak szükséges feltétele nem teljesül, akkor az egyenesek nem párhuzamosak. Ily módon szükséges és elégséges feltétele, hogy a vonalak párhuzamosak legyenek olyan feltétel, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges és elegendő is. Vagyis ez egyrészt a párhuzamos egyenesek jele, másrészt ez a párhuzamos egyenesek tulajdonsága.

Mielőtt megadnánk a szükséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy a vonalak párhuzamosak legyenek, érdemes felidézni néhány segéddefiníciót.

metsző vonal egy olyan egyenes, amely a két megadott nem egybeeső egyenes mindegyikét metszi.

Egy szekáns két vonalának metszéspontjában nyolc nem telepített vonal jön létre. Az úgynevezett keresztben fekvő, megfelelőÉs egyoldalú sarkok. Mutassuk meg őket a rajzon.

Tétel.

Ha egy síkon két egyenest metsz egy metszőpont, akkor párhuzamosságukhoz szükséges és elegendő, hogy a keresztben fekvő szögek egyenlőek legyenek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek legyenek, vagy az egyoldalú szögek összege 180 fok.

Mutassuk meg grafikusan ezt a szükséges és elégséges feltételt a síkban lévő párhuzamos egyeneseknél.

A 7-9. osztályos geometria tankönyvekben találhat bizonyítékot ezeknek a feltételeknek a párhuzamos egyenesekre.

Vegye figyelembe, hogy ezek a feltételek háromdimenziós térben is használhatók - a lényeg az, hogy a két vonal és a szekáns egy síkban legyen.

Íme néhány további tétel, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása a párhuzamos egyenesek axiómájából következik.

Hasonló feltétel van a háromdimenziós térben lévő párhuzamos egyeneseknél is.

Tétel.

Ha a térben két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítékát a 10. évfolyam geometria leckéiben tekintjük.

Illusztráljuk a hangos tételeket.

Adjunk még egy tételt, amely lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának bizonyítását a síkban.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak.

Hasonló tétel létezik a térbeli vonalakra is.

Tétel.

Ha a háromdimenziós térben két egyenes merőleges ugyanarra a síkra, akkor párhuzamosak.

Rajzoljunk ezeknek a tételeknek megfelelő képeket.

Az összes fent megfogalmazott tétel, előjelek, szükséges és elégséges feltételek tökéletesen alkalmasak az egyenesek párhuzamosságának geometriai módszerekkel történő bizonyítására. Vagyis két adott egyenes párhuzamosságának bizonyításához meg kell mutatni, hogy párhuzamosak a harmadik egyenessel, vagy meg kell mutatni a keresztben fekvő szögek egyenlőségét stb. Ezen problémák közül sokat megoldanak a geometria leckéken Gimnázium. Megjegyzendő azonban, hogy sok esetben célszerű a koordináták módszerét alkalmazni az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására síkban vagy háromdimenziós térben. Fogalmazzuk meg a téglalap alakú koordinátarendszerben adott egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben.

A cikk ezen részében megfogalmazzuk szükséges és elégséges feltételek párhuzamos vonalakhoz derékszögű koordinátarendszerben, attól függően, hogy milyen egyenletek határozzák meg ezeket az egyeneseket, és azt is megadjuk részletes megoldások tipikus feladatok.

Kezdjük két egyenes párhuzamosságának feltételével az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben. Bizonyítása az egyenes irányítóvektorának és az egyenes síkon lévő normálvektorának definícióján alapul.

Tétel.

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkban, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak, vagy ezen egyenesek normálvektorai kollineárisak, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges a normálra a második sor vektora.

Nyilvánvalóan a síkban lévő két egyenes párhuzamosságának feltétele redukálódik (egyenesek irányvektorai vagy egyenesek normálvektorai) vagy (egy egyenes irányvektora és a második egyenes normálvektora). Így ha és az a és b egyenesek irányvektorai, és És az a és b egyenesek normálvektorai, akkor az a és b párhuzamos egyenesek szükséges és elégséges feltétele így írható fel , vagy , vagy , ahol t valamilyen valós szám. Az a és b egyenesek irányító- és (vagy) normálvektorainak koordinátáit viszont az ismert egyenesek egyenleteiből találjuk meg.

Különösen, ha a síkon lévő Oxy téglalap alakú koordinátarendszer a egyenese határozza meg az alak egyenesének általános egyenletét , és az egyenes b - , akkor ezen egyenesek normálvektorainak koordinátái és rendre vannak, és az a és b egyenesek párhuzamosságának feltétele így lesz felírva.

Ha az a egyenes megfelel az egyenes egyenletének az alak meredekségi együtthatójával . Ezért, ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenesek párhuzamosak és meredekségi együtthatós egyenesek egyenleteivel adhatók meg, akkor az egyenesek meredekségi együtthatói egyenlőek lesznek. És fordítva: ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon nem egybeeső egyenesek adhatók meg egy egyenlő meredekségi együtthatójú egyenes egyenleteivel, akkor az ilyen egyenesek párhuzamosak.

Ha az a és a b egyenes egy téglalap alakú koordinátarendszerben definiálja az egyenes kanonikus egyenleteit az űrlap síkján És , vagy egy egyenes paraméteres egyenletei a forma síkján És rendre, akkor ezen egyenesek irányvektorainak koordinátái és , és az a és b egyenesek párhuzamossági feltétele így van felírva.

Nézzünk néhány példát.

Példa.

Párhuzamosak a vonalak? És ?

Megoldás.

Az egyenes egyenletét szakaszonként írjuk át általános egyenes egyenletté: . Most láthatjuk, hogy ez az egyenes normálvektora , és az egyenes normálvektora. Ezek a vektorok nem kollineárisak, mivel ilyen nincs valós szám t , amelyre az egyenlőség ( ). Ebből következően az egyenesek síkbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele nem teljesül, ezért az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz:

Nem, a vonalak nem párhuzamosak.

Példa.

Egyenesek és párhuzamosok?

Megoldás.

Az egyenes kanonikus egyenletét a meredekségű egyenes egyenletéhez hozzuk: . Nyilvánvalóan a és az egyenesek egyenletei nem azonosak (ebben az esetben az adott egyenesek azonosak lennének) és az egyenesek meredeksége egyenlő, ezért az eredeti egyenesek párhuzamosak.

V. fejezet*. Egyenletek és síkok a térben.

70. § Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.

Egyenes vonalak irányvektorokkal de És b :

a) akkor és csak akkor párhuzamosak, ha a vektorok de És b kollineáris;

b) akkor és csak akkor merőlegesek, ha a vektorok de És b merőleges, azaz mikor de b = 0.

Ebből megkapjuk a kanonikus egyenletekkel adott két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének szükséges és elégséges feltételeit.

A rendezés érdekében

párhuzamosak, szükséges és elégséges, hogy a feltétel

Ha valamelyik szám b 1 , b 2 , b 3 egyenlő nullával, akkor a megfelelő számnak nullára kell mennie a 1 , a 2 , a 3 .

Ahhoz, hogy a vonalak merőlegesek legyenek, szükséges és elégséges, hogy a feltétel

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

1. feladat. A következő vonalpárok között jelölje meg a párhuzamos vagy merőleges vonalpárokat:

a) Irányvektorok a = (2; 4; -13) és b = (3; 5; 2) nyilvánvalóan nem kollineárisak. Ezért a vonalak nem párhuzamosak. Ellenőrizzük a merőlegességi feltételt

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

A vonalak merőlegesek.

b) A második egyenes irányvektorának vannak koordinátái b = (3; 2; 4). Az első prima vezetővektoraként felvehető vektor termék normálvektorok
n 1 = (2; -3; 0) és n 2 = (4; -2; -2) ezt az egyenest meghatározó síkok:

Az (1) feltétel teljesül, mivel 6/3 = 4/2 = 8/4. A vonalak párhuzamosak.

c) Az első egyenes irányvektorának vannak koordinátái de = (2; 3; 1). A második egyenes egyenletei könnyen redukálhatók kanonikus formára

Következésképpen, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektorok de És b nem párhuzamosak. Nem merőlegesek, mert

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Ezek az egyenesek nem párhuzamosak és nem merőlegesek.

2. feladat. Határozzuk meg az M 0 (2; -3; 4) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely merőleges az egyenesekre

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt szög két sík között az e síkok által alkotott kétszögek egyikét értjük. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mivel És , azután

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

Ily módon,.

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -n keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Legyen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyikre koordináta tengelyek, mint például a tengely Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, Következésképpen m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Tehát, ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen, kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy tengelye párhuzamos Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELŐ VONALA

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együttesen ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja az, hogy kiválasztjuk az egyenes metszéspontjait koordinátasíkok. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből át lehet lépni annak kanonikus ill parametrikus egyenletek. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et kapunk ebből az egyenletrendszerből, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorához l felveheti a normálvektorok keresztszorzatát:

.

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Következésképpen, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

8. előadás Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei. Vonal és sík a térben

Egyenesek kölcsönös elrendezése síkon;

Egyenlet egy sík térben;

Egyenes vonal a térben;

Példák problémamegoldásra.

8.1. Egyenesek kölcsönös elrendezése síkon

Szög két vonal között. Legyen adott két egyenes a síkon: (1) és
(2) és meg akarja határozni a szöget közöttük (lásd 8.1. ábra).

Rizs. 8.1. Szög két vonal között

ábrából 8.1. ez egyértelmű
, és
És
,
.

Azután
vagy

. (8.1)

Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.

Legyen két sor megadva:

(1);

(2).

Az (1) és (2) egyenesek párhuzamosak ha, és csak akkor ha
.

Ha a vonalak merőlegesek, akkor
És .

ha, és csak akkor ha
.

Adjuk meg az egyeneseket az általános egyenletekkel:

(1);

(2).

Ebben az esetben a lejtés együtthatók
És
és a párhuzamossági feltétel a következő formában lesz:

Az (1) és (2) egyenesek párhuzamosak ha, és csak akkor ha
.

Ezért az általános egyenletek által adott egyenesek párhuzamosságának feltétele a változók együtthatóinak arányossága.

Az általános egyenletek által adott két egyenes merőlegességének feltétele a változók együtthatói szorzatának nullával való egyenlősége. És .

Valóban, azóta
, azután
.

Az (1) és (2) egyenesek merőlegesek ha, és csak akkor ha
.

A vonalak metszéspontja.

Adjuk meg az egyeneseket az általános egyenletekkel:
És
.

Mivel a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük minden egyenletet, ezek a rendszerből megtalálhatók:

Egy pont és egy egyenes távolsága.

Adjunk pontot
és közvetlen
.

Rizs. 8.2. Távolság ponttól vonalig

A pont és az egyenes távolsága a merőleges hossza
, leeresztett a pontról
közvetlenül (8.2. ábra).

A szükséges távolság meghatározásához:

Az eredmény a képlet:

. (8.2)

8.2. Egyenlet egy sík térben

de) Sík megadása ponttal és normálvektorral. Engedd a repülőt ponton halad át
merőleges a vektorra
(8.3. ábra).

Rizs. 8.3. Repülőgép, pontés normálvektor

Vektor
a sík normálvektorának nevezzük .

Vigyük be a repülőbe tetszőleges pont
. Ekkor a vektor merőleges lesz a vektorra
. Eszközök skaláris szorzat ezen vektorok közül egyenlő nullával, azaz. koordináta formában:

A sík egyenlet a következőképpen írható fel:

ahol
.

A (8.4) egyenletet a sík általános egyenletének nevezzük.

b) Egy sík meghatározása három ponttal. Vegyünk három olyan pontot a síkon, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el:
,
,
.

Rizs. 8.4. Sík meghatározása három ponttal

Állítsuk be a vektorokat és . Mivel a három adott pont nem ugyanazon az egyenesen fekszik, a megadott vektorok nem kollineárisak (nem párhuzamosak és nem ugyanazon az egyenesen fekszenek). Vektorok
És
egy kétdimenziós tér alapját képezik.

Repülőn vegyen egy tetszőleges pontot
. Állítsuk be a vektort. Mivel a vektorok
És
bázist alkotnak, majd a vektort
egy lineáris kombináció bázisvektorok. Ez azt jelenti, hogy az ezen vektorok koordinátáiból álló mátrix sorai lineárisan függőek, és egy ilyen mátrix determinánsa egyenlő nullával:

. (8.5)

ban ben) Sík megadása ponttal
a síkon fekvő és két irányvektor (a vektorok az adott síkban fekszenek, vagy párhuzamosak a síkkal)
És
.

Az indoklás hasonló a b) betű alatti indokoláshoz, így kapjuk:

. (8.6)

A sík általános egyenletének sajátos esetei :

Ha
, akkor az egyenlet
origón áthaladó síkot határoz meg.

Ha
, akkor az egyenlet
párhuzamos síkot határoz meg
. Hasonlóképpen, amikor
párhuzamosság
és at
párhuzamosság
.

Ha
, azután
síkkal párhuzamos síkot határoz meg
. Nál nél
párhuzamosság
, nál nél
párhuzamosság
.

Ha
, azután
tengelyen áthaladó síkot határoz meg
. Nál nél
Átmenni
, nál nél
Átmenni
.

Ha
, azután
meghatározza a koordinátasíkot
. Nál nél
repülőgép
, nál nél
repülőgép
.

A síkok párhuzamosságának és merőlegességének feltételei a normálvektorok kollinearitása és merőlegessége határozza meg
És
.

Két sík párhuzamosságának feltétele az azonos nevű változók együtthatóinak arányossága:

.

Merőleges állapot:

a) Egy térbeli egyenes két sík metszésvonalaként határozható meg:

b) Ha az egyenes párhuzamos a vektorral
(irányvektor) és áthalad a ponton
, akkor a vektorok kollináris feltételéből és
(ahol
- az egyenes tetszőleges pontja) kapjuk:

. (8.7)

A (8.7) egyenleteket egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteinek nevezzük.

c) A (8.7) egyenletek felírhatók parametrikus formában:

;

Minden tört egyenlővé tétele a paraméterrel
, kapunk:

(8.8)

A (8.8) egyenleteket egy térbeli egyenes paraméteres egyenleteinek nevezzük.

8.4. Példák problémamegoldásra

1. példaÍrj egyenletet egy ponton átmenő egyenesre!
:

a) párhuzamos egyenessel :
;

b) egyenesre merőleges :
.

Megoldás.

a) Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az egyenessel :
, azután
. Találjuk ki eredeti vonal
. Honnan veszünk ilyet
.

Tehát beállítjuk a kívánt vonalat ponttal
és szögegyüttható
:

b) Mivel a kívánt egyenes merőleges az egyenesre :
, azután
. Az eredeti egyenes egyenletéből azt kapjuk
. Azután
.

A kívánt egyenes egyenlete:

Válasz: a)
; b)
.

Példa 2. Írja fel a sík egyenletét! ponton áthaladva
És:

a) párhuzamos a síkkal :
;

b) pont
, párhuzamos a tengellyel
;

c) áthalad a tengelyen
.

Megoldás.

a) Mivel a kívánt sík párhuzamos a síkkal
, akkor az utolsó sík normálvektora egyben a kívánt sík normálvektora is lesz. Eszközök,
és az egyenlet beállításához a (8.3) képletet használjuk:

b) Mivel a sík párhuzamos
, majd be általános egyenlet(8.4) együttható
, és az egyenletnek megvan a formája
. A pontok óta
És
fekszenek a síkon, akkor koordinátáiknak meg kell felelniük a sík egyenletének:

Ezért a síkegyenlet alakja a következő:

c) Mivel a sík átmegy a tengelyen
, azután
, azaz sík egyenletnek van alakja
. Mivel a sík tartalmaz egy pontot
, azután . A síkegyenlet így lesz felírva:

Válasz: a)
; b)
; ban ben)
.