A tengelye körül egy közönséges elliptikust kaphat. Ez egy üreges izometrikus test, melynek szakaszai ellipszisek és parabolák. Az elliptikus paraboloidot a következőképpen adják meg:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
A paraboloidok minden fő szakasza parabola. Az XOZ és YOZ síkok vágásakor csak parabolákat kapunk. Ha merőleges metszetet rajzolunk a tekintetében Xoy repülőgép, kaphat ellipszist. Ezenkívül a szakaszokat, amelyek parabolák, a következő alakú egyenletek adják meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Az ellipszis szakaszokat más egyenletek adják meg:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Az a=b-vel rendelkező elliptikus paraboloid forradalom paraboloidjává változik. A paraboloid felépítésének számos olyan jellemzője van, amelyeket figyelembe kell venni. Indítsa el a műveletet az alap elkészítésével - a függvény grafikonjának rajzával.

A paraboloid felépítéséhez először meg kell építeni egy parabolát. Rajzolj egy parabolát az Oxz síkban az ábra szerint. Adj meg a leendő paraboloidnak egy bizonyos magasságot. Ehhez húzzon egy egyenest úgy, hogy az érintse a parabola felső pontjait, és párhuzamos legyen az Ox tengellyel. Ezután rajzoljon egy parabolát a Yoz síkban, és húzzon egy egyenest. Két egymásra merőleges paraboloid síkot kapunk. Ezután az Xoy síkban építsünk egy paralelogrammát, amely segít egy ellipszist rajzolni. Írjon be egy ellipszist ebbe a paralelogrammába úgy, hogy az minden oldalát érintse. Ezen átalakítások után töröljük a paralelogrammát, és a paraboloid háromdimenziós képe megmarad.

Van egy hiperbolikus paraboloid is, amely inkább homorú, mint elliptikus. A szakaszaiban parabolák és esetenként hiperbolák is találhatók. Az Oxz és Oyz menti fő szakaszok, akárcsak az elliptikus paraboloidok, parabolák. Ezeket a következő alakú egyenletek adják meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Ha egy metszetet rajzol az Oxy tengely körül, akkor hiperbolát kaphat. A hiperbolikus paraboloid megalkotásakor a következő egyenletet kell követni:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - hiperbolikus paraboloid egyenlete

Kezdetben konstruáljon egy rögzített parabolát az Oxz síkban. Rajzolj egy mozgó parabolát az Oyz-síkban. Ezután állítsa be a paraboloid h magasságát. Ehhez jelöljünk ki két pontot a rögzített parabolán, amelyek két további mozgó parabola csúcsai lesznek. Ezután rajzoljon egy másik O"x"y" koordinátarendszert a hiperbolák ábrázolásához. Ennek a koordináta-rendszernek egybe kell esnie a paraboloid magasságával. Az összes szerkesztés után rajzolja meg a fent említett két mozgatható parabolát úgy, hogy a szélső pontokat érintse Az eredmény egy hiperbolikus paraboloid.

A paraboloid magassága a képlettel határozható meg

A fenekét érintő paraboloid térfogata megegyezik az R alapsugarú és H magasságú henger térfogatának felével, ugyanez a térfogat foglalja el a paraboloid alatti W' teret is (4.5a. ábra).

4.5. Az alját érintő paraboloid térfogatainak aránya.

Wp - a paraboloid térfogata, W' - a paraboloid alatti térfogat, Hp - a paraboloid magassága

4.6. A paraboloidban a henger széleit érintő térfogatok aránya Hп a paraboloid magassága., R az edény sugara, Wzh az edényben lévő folyadék magassága alatti térfogat a forgás megkezdése előtt, z 0 a paraboloid tetejének helyzete, H a folyadék magassága az edényben a forgás megkezdése előtt.

A 4.6a ábrán a folyadékszint a hengerben a H forgás megkezdése előtt. A folyadék térfogata Wf forgás előtt és után megmarad, és egyenlő a z 0 magasságú henger térfogatának Wc összegével plusz a térfogat A paraboloid alatti folyadék mennyisége megegyezik a Hp magasságú Wp paraboloid térfogatával

Ha a paraboloid megérinti a henger felső szélét, akkor a hengerben lévő folyadék magassága a H forgás megkezdése előtt a Hp paraboloid magasságát két egyenlő részre osztja, a paraboloid alsó pontja (felül) a hengerhez képest helyezkedik el. az alap (4.6c ábra)

Ezenkívül a H magasság két részre osztja a paraboloidot (4.6c ábra), amelyek térfogata W 2 \u003d W 1. A W 2 parabolagyűrű és a W 1 parabolikus csésze térfogatának egyenlőségéből a 4.6c ábra

Amikor a paraboloid felülete keresztezi az edény alját (4.7. ábra), a gyűrű W 1 \u003d W 2 \u003d 0,5 W

4.7. ábra Térfogatok és magasságok, amikor a paraboloid felülete keresztezi a henger alját

Magasságok a 4.6

kötetek a 4.6.

A szabad felület elhelyezkedése az edényben

4.8. Három relatív pihenés esete forgás közben

1. Ha az edény nyitva van, Po = Ratm (4.8a ábra). A paraboloid teteje forgás közben a kezdeti H szint alá esik, élei pedig a kezdeti szint fölé emelkednek, a tetejének helyzete

2. Ha az edény teljesen meg van töltve, fedővel lefedve, nincs szabad felülete, túlnyomás alatt van Po> Ratm, akkor forgás előtt az a felület (P.P.), amelyen Po = Ratm a vízszint felett lesz. fedél h 0i = M / ρg, H 1 \u003d H + M / ρg magasságban.

3. Ha az edény megtelt, vákuum alatt van Ro<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Forgatás nagy szögsebességgel (4.9. ábra)

Amikor egy folyadékot tartalmazó edény nagy szögsebességgel forog, a gravitáció elhanyagolható a centrifugális erőkhöz képest. A folyadék nyomásváltozásának törvénye a képletből adódik

(4.22),

A vízszintes felületek hengereket alkotnak, amelyek közös tengelye körül forog az edény. Ha az edény nincs teljesen feltöltve a forgás megkezdése előtt, a nyomás P 0 sugáron fog hatni r = r0 , a (4.22) kifejezés helyett lesz

ahol g(z 0 - z) = 0,

Rizs. 4.9 A forgásfelületek elhelyezkedése gravitáció hiányában.

A belső felület sugara ismert H-val és h-val

Az ellipszoid olyan felület, amelynek egyenlete valamilyen téglalap alakú Descartes-rendszer koordináták Az Oxyz alakja a ^ b ^ c > 0. Annak érdekében, hogy megtudjuk, hogyan néz ki az ellipszoid, a következőképpen járunk el. Vegyünk egy ellipszist az Oxz síkon és forgassuk el az Oz tengely körül (46. ábra). 46. ​​ábra A kapott felületi ellipszoid. Hiperboloidok. Paraboloidok. Hengerek és egy másodrendű kúp. - forradalom ellipszoidja - már képet ad az ellipszoid működéséről Általános nézet. Az egyenlet megszerzéséhez elegendő a forgásellipszoidot az Oy tengely mentén egyenlően összenyomni a J ^ !, t.s. együtthatóval. az egyenletében szereplő y helyére Jt/5). 10.2. Hiperboloidok A hiperbola elforgatása fl i! \u003d a2 c2 1 az Óz tengely körül (47. ábra), egy lapos fordulathiperboloidnak nevezett felületet kapunk. Egyenlete *2 + y; ugyanúgy kapjuk, mint a forgásellipszoid esetében. 5) Forgásellipszoidot kaphatunk a +yJ + *J = n" gömb egyenletes összenyomásával az Oz tengely mentén ~ ^ 1 együtthatóval. Ha ezt a felületet egyenletesen összenyomjuk az Oy tengely mentén 2 ^ 1 együtthatóval , általános formájú egylapos hiperboloidot kapunk Egyenlete ellipszoid Hiperboloidok Paraboloidok Hengereket és másodrendű kúpot kapunk ugyanúgy, mint a fentebb tárgyalt ellipszoid esetében A konjugált hiperbolát körbeforgatva Az Oz tengelyre egy kétlapos fordulathiperboloidot kapunk (48. ábra), melynek egyenlete a2 C2 Ezt a felületet az Oy tengely mentén 2 ^ 1 együtthatóval egyenletesen összenyomva egy kétlapos hiperboloidot kapunk. általános formájú. Ha y-t -y-ra cseréljük, megkapjuk az egyenlet Oy tengely menti forgását az yj* ^ 1 együtthatóval. elliptikus paraboloid. Egyenletét a forgási paraboloid egyenletéből kapjuk If helyettesítésével, akkor az ábrán látható alakú paraboloidot kapunk. 50.10.4. Hiperbolikus paraboloid A hiperbolikus paraboloid olyan felület, amelynek egyenlete valamilyen derékszögű derékszögű Oxyz koordinátarendszerben a vizsgált felület alakja, és a kapott síkgörbék konfigurációjának megváltoztatásával magának a felületnek a szerkezetére vonható le a következtetés. Kezdjük a z = h = const, párhuzamos síkszelvényekkel Koordináta sík Ohu. Ha h > 0, akkor hiperbolákat kapunk h - konjugált hiperbolákra, és - keresztező egyenesek párjára.. Megjegyzendő, hogy ezek a vonalak minden hiperbola aszimptotái (azaz bármely h Φ 0 esetén). A kapott görbéket vetítsük az Oxy síkra. A következő képet kapjuk (51. ábra). Már ez a megfontolás lehetővé teszi, hogy következtetést vonjunk le a vizsgált felület nyereg alakú szerkezetére vonatkozóan (52. ábra). 51. ábra 52. ábra Tekintsük most a metszeteket síkonként Ha az egyenletben az y felületet L-re cseréljük, megkapjuk a parabolák egyenleteit (53. ábra). Hasonló kép jelenik meg boncolgatáskor is adott felület síkok Ebben az esetben olyan parabolákat is kapunk, amelyek ágai lefelé irányulnak (és nem felfelé, mint az y \u003d h síkok metszete) (54. ábra). Megjegyzés. A metszet módszerrel megérthető az összes korábban figyelembe vett másodrendű felület szerkezete. A másodrendű görbék elforgatásával, majd egyenletes összenyomásával azonban könnyebben és sokkal gyorsabban lehet megérteni szerkezetüket. A többi másodrendű felületet már lényegében figyelembe vettük. Ezek hengerek: elliptin hiperbolikus Fig. 56. ábra, valamint egy másodrendű parabola és kúp, amelynek ötlete vagy metszővonalpár Óz tengely körüli elforgatásával és ezt követő összehúzásával, vagy metszetek módszerével nyerhető. Természetesen mindkét esetben azt kapjuk, hogy a vizsgált felület alakja az ábrán látható. 59. a) számítsd ki a trükkök koordinátáit; , . b) számítsa ki az excentricitást; . c) írja fel az aszimptoták és direktrixek egyenleteit; d) írja fel a konjugált hiperbola egyenletét és számítsa ki az excentricitását! 2. Komponálás kanonikus egyenlet parabolák, ha a fókusz és a csúcs távolsága 3. 3. Írja fel az ellipszis érintőjének egyenletét ^ + = 1 vétópont M(4, 3). 4. Határozza meg az egyenlet által adott görbe típusát és helyét: A válaszok egy ellipszis, a nagytengely párhuzamos az ellipszoiddal. Hiperboloidok. Paraboloidok. Hengerek és egy másodrendű kúp. tengelyek Ökör; b) O hiperbolaközéppont (-1,2), az X valós tengely szögegyütthatója 3; c) Y2 parabola = , csúcs (3, 2), a parabola homorúsága felé irányuló tengelyvektor egyenlő (-2, -1); d) középpontos hiperbola, az aszimptoták párhuzamosak a koordinátatengelyekkel; e) egy metsző egyenes pár f) egy pár párhuzamos egyenes

A parabola érintőjének bizonyított tulajdonsága nagyon fontos, hiszen ebből az következik, hogy a sugarak egy homorú parabolatükör fókuszából indulnak ki, vagyis olyan tükörből, amelynek felülete a parabola körüli forgásából származik. tengelyét egy párhuzamos sugár, nevezetesen a tükör párhuzamos tengelye veri vissza (ábra).

A parabola tükrök ezt a tulajdonságát keresőlámpák építésénél, bármilyen autó fényszórójában, valamint tükörteleszkópokban használják. Sőt, az utóbbi esetben éppen ellenkezőleg, az égitestből érkező sugarak; közel párhuzamosan koncentrálódnak a teleszkóptükör fókuszpontja közelében, és mivel a lámpatest különböző pontjaiból érkező sugarak jórészt nem párhuzamosak, ezért a fókusz közelében, különböző pontokon koncentrálódnak, így a világítótest képe keletkezik. a fókusz közelében minél nagyobb, annál nagyobb a parabola fókusztávolsága. Ezt a képet már mikroszkópon (teleszkópokuláron) keresztül nézik. Szigorúan véve csak a tükör tengelyével szigorúan párhuzamos sugarakat gyűjtjük egy pontban (fókuszban), míg a tükör tengelyével szöget bezáró párhuzamos sugarakat csak majdnem egy pontban gyűjtjük össze, és annál távolabb. ez a pont a fókuszból van, a kép homályosabb. Ez a körülmény korlátozza a "teleszkóp látóterét".

Legyen a belső felülete - egy tükörfelület - egy parabola tükör, amelyet az OS tengellyel párhuzamos fénysugár megvilágít. Minden, az y tengellyel párhuzamos nyaláb visszaverődés után az y tengely egy pontjában metszi egymást (F fókusz). A parabolikus teleszkópok tervezése ezen a tulajdonságon alapul. A távoli csillagok sugarai párhuzamos nyaláb formájában érkeznek hozzánk. Egy parabola távcső elkészítésével és egy fényképező lemez fókuszába helyezésével lehetőséget kapunk a csillagból érkező fényjel felerősítésére.

Ugyanez az elv a parabolaantenna létrehozásának alapja, amely lehetővé teszi a rádiójelek erősítését. Ha azonban egy parabola tükör fókuszába fényforrást helyezünk, akkor a tükör felületéről való visszaverődés után az ebből a forrásból érkező sugarak nem szóródnak szét, hanem a tengellyel párhuzamos keskeny nyalábba gyűlnek össze. a tükörből. Ezt a tényt keresőlámpák és lámpák, különféle projektorok gyártásában használják, amelyek tükrei paraboloidok formájában készülnek.

A parabola tükör fent említett optikai tulajdonságát tükörteleszkópok, különféle napkollektoros fűtési rendszerek és keresőlámpák készítésekor használják fel. Ha egy parabolatükör fókuszába egy erős pontszerű fényforrást helyezünk, sűrű, a tükör tengelyével párhuzamos visszavert sugarakat kapunk.

Amikor egy parabola a tengelye körül forog, egy alakot kapunk, amelyet paraboloidnak nevezünk. Ha a paraboloid belső felülete tükrös, és sugárnyaláb irányul rá, párhuzamos tengely a parabola szimmetriája, akkor a visszavert sugarak egy pontban összegyűlnek, amit fókusznak nevezünk. Ugyanakkor, ha a fényforrást fókuszba helyezzük, akkor a paraboloid tükörfelületéről visszaverődő sugarak párhuzamosak és nem szóródnak szét.

Az első tulajdonság lehetővé teszi magas hőmérséklet elérését a paraboloid fókuszában. A legenda szerint ezt az ingatlant az ókori görög tudós, Arkhimédész (Kr. e. 287-212) használta. A rómaiak elleni háborúban Szirakúza védelme során parabola tükrök rendszerét építette, amely lehetővé tette a visszavert napsugarakat a római hajókra fókuszálni. Emiatt a parabolatükrök gócjainál olyan magasnak bizonyult a hőmérséklet, hogy a hajókon tűz ütött ki, és azok kiégtek.

A második tulajdonságot például keresőlámpák és autófényszórók gyártásához használják.

Hiperbola

4. A hiperbola definíciója egyszerű módot ad arra, hogy folyamatos mozgásban építsük fel: vegyünk két szálat, amelyek hosszkülönbsége 2a, és rögzítsük ezek egyik végét az F és F pontokhoz. Ha a másik két végét összefogjuk kezével, és egy ceruza hegyével vezesse végig a szálakat, ügyelve arra, hogy a szálak a papírhoz nyomódjanak, megnyúljanak és összeérjenek, a húzóponttól kezdve a végek találkozásáig a pont kirajzolja az egyik a hiperbola ágai (minél nagyobb, annál hosszabbak a szálak) (ábra).

Az F" és F pontok szerepének felcserélésével egy másik ág egy részét kapjuk.

Például, a "Második rend görbéi" témában a következő probléma merülhet fel:

Egy feladat. Két A és B vasútállomás s km távolságra van egymástól. Bármely M pontra a rakomány az A állomásról közvetlen közúti szállítással (az első útvonalon), vagy a következővel szállítható vasúti a B állomásra, és onnan autókkal (második út). A vasúti tarifa (1 km-enként 1 tonna szállítási ár) m rubel, a közúti szállítás díja n rubel, n > m, a be- és kirakodási díj k rubel. Határozza meg a hatásterületet vasútállomás B, azaz az a terület, ahová az A állomásról olcsóbb az árut vegyesen - vasúton, majd közúton szállítani, i. határozza meg azoknak a pontoknak a helyét, amelyek számára a második út jövedelmezőbb, mint az első.

Megoldás. Jelölje AM = r , BM = r , ekkor a szállítás (szállítás és be- és kirakodás) költsége az AM útvonalon egyenlő nr + k, az ABM útvonalon történő szállítás költsége pedig ms + 2k + nг . Ekkor azok az M pontok, amelyekre mindkét költség egyenlő, kielégítik az nr + k = ms + 2k + ng egyenletet, vagy

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

ezért a régiót határoló egyenes a | hiperbola egyik ága r - r | = konst. Ettől a hiperbolától az A pont azonos oldalán fekvő sík összes pontjára az első út az előnyösebb, a másik oldalon fekvő pontoknál pedig a második, így a hiperbola ága körvonalazza a hiperbola hatásterületét. B állomás.

Ennek a feladatnak a változata.

Két A és B pályaudvar l km-re található egymástól. A rakomány M pontba az A állomásról akár közvetlen közúti szállítással, akár vasúton B állomásra szállítható, onnan pedig személygépkocsikkal (49. ábra). Ugyanakkor a vasúti tarifa (1 tonna 1 km-enkénti szállítás ára) m rubel, a be- és kirakodás költsége k rubel (1 tonnánként), a közúti szállítás díja pedig n rubel (n > m). Határozzuk meg a B pályaudvar úgynevezett befolyási zónáját, vagyis azt a zónát, ahová vegyesen: vasúton, majd közúton olcsóbban lehet A-ból árut szállítani.

Megoldás. 1 tonna rakomány szállítási költsége az AM útvonalon r n, ahol r = AM, az ABM útvonalon pedig 1m + k + r n lesz. Meg kell oldanunk az r n 1m+ k+ r n kettős egyenlőtlenséget, és meg kell határoznunk, hogy az (x, y) síkon azok a pontok hogyan oszlanak el, ahová olcsóbb az árut akár az első, akár a második úton szállítani.

Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely e két zóna határát képezi, vagyis azon pontok lokuszát, amelyekre mindkét út "egyformán előnyös":

r n = 1m+ k+ r n

Ebből a feltételből kapjuk az r - r = = const.

Ezért az elválasztó vonal egy hiperbola. Ennek a hiperbolának minden külső pontja esetén az első út az előnyösebb, a belső pontok esetében pedig a második. Ezért a hiperbola a B állomás befolyási zónáját fogja körvonalazni. A hiperbola második ága az A állomás hatászónáját (a rakományt a B állomásról szállítják). Keressük meg hiperbolánk paramétereit. Nagytengelye 2a = , a fókuszok (amelyek az A és B állomások) közötti távolság ebben az esetben 2c = l.

Így e probléma lehetőségének feltétele, amelyet az a reláció határoz meg< с, будет

Ez a feladatösszeköti az absztraktot geometriai koncepció közlekedési és gazdasági problémát okozó hiperbolák.

A kívánt ponthely a B pontot tartalmazó hiperbola jobb oldali ágán belül található pontok halmaza.

6. Tudom " Mezőgazdasági gépek» A lejtőn üzemelő traktorok stabilitását mutató fontos teljesítményjellemzők a dőlésszög és a dőlésszög.

Az egyszerűség kedvéért egy kerekes traktort fogunk fontolóra venni. Az a felület, amelyen a traktor dolgozik (legalább egy kellően kis része), síknak (mozgássíknak) tekinthető. A traktor hossztengelye az első és a hátsó tengely felezőpontját összekötő egyenes vonalnak a mozgássíkra való vetülete. A keresztirányú henger szöge az a szög, amelyet a vízszintes síkkal a hossztengelyre merőleges és a mozgás síkjában fekvő egyenes zár be.

A „Vonalok és síkok a térben” témakör tanulmányozása során a matematika során a következő feladatokat vesszük figyelembe:

a) Határozza meg a lejtőn mozgó traktor hosszirányú dőlésszögét, ha ismert a lejtőszög és a traktor pályájának a hossziránytól való eltérési szöge!

b) A traktor keresztirányú gördülésének határszöge a lejtő legnagyobb megengedett dőlésszöge, amelyen a traktor felborulás nélkül tud állni. Milyen traktorparamétereket elég tudni a korlátozó dőlésszög meghatározásához; hogyan lehet ezt megtalálni
sarok?

7. Az építőipari berendezésekben az egyenes vonalú generátorok jelenlétét használják. E tény gyakorlati alkalmazásának alapítója a híres orosz mérnök, Vlagyimir Grigorjevics Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov fémgerendákból álló, egyenes vonalú generátorok mentén elhelyezett árbocokat, tornyokat és támasztékokat épített a forradalom egylapos hiperboloidja. Az ilyen szerkezetek nagy szilárdsága, könnyedséggel, alacsony gyártási költséggel és eleganciával kombinálva biztosítja széles körű alkalmazásukat a modern építőiparban.

8. A SZABAD MEREV TEST MOZGÁS TÖRVÉNYEI

Mert szabad test mindenféle mozgás egyformán lehetséges, de ez nem jelenti azt, hogy egy szabad test mozgása rendezetlen, nem vonatkozik rá semmilyen törvény; ellenkezőleg, egy merev test transzlációs mozgását, függetlenül annak külső alakjától, a tömegközéppont törvénye korlátozza, és egyetlen pont mozgására redukálja, a forgó mozgást pedig az úgynevezett főtengelyek. a tehetetlenség vagy tehetetlenségi ellipszoid. Tehát a szabad térbe dobott bot, vagy a válogatóból kirepülő gabona stb. egyetlen pontként (tömegközéppont) halad előre, és egyúttal a tömegközéppont körül forog. Általában mikor előre mozgás bármilyen merev test, függetlenül az alakjától, vagy egy összetett gép, helyettesíthető egyetlen ponttal (tömegközépponttal), forgóval pedig tehetetlenségi ellipszoiddal , amelynek sugárvektorai egyenlőek a ---val, ahol / ennek a testnek az ellipszoid középpontján átmenő tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéka.

Ha forgás közben a test tehetetlenségi nyomatéka valamilyen okból megváltozik, akkor ennek megfelelően változik a forgási sebesség is. Például a fej feletti ugrás során az akrobaták labdává zsugorodnak össze, amitől a test tehetetlenségi nyomatéka csökken, a forgási sebesség pedig nő, ami az ugrás sikeréhez szükséges. Ugyanígy csúszáskor az emberek oldalra nyújtják a karjukat, ami növeli a tehetetlenségi nyomatékot és csökkenti a forgási sebességet. Ugyanígy az aratógép tehetetlenségi nyomatéka a függőleges tengely körül változó, ahogy a vízszintes tengely körül forog.

A hiperbolikus paraboloid is a másodrendű felületekhez tartozik. Ez a felület nem érhető el olyan algoritmus alkalmazásával, amely valamilyen egyenes fix tengely körüli elforgatását használja.

Egy speciális modellt használnak a hiperbolikus paraboloid megszerkesztésére. Ez a modell két parabolát tartalmaz, amelyek két egymásra merőleges síkban helyezkednek el.

Legyen az I parabola egy síkban és rögzítve legyen. Parabola II vállalja összetett mozgás:

▫ kezdeti helyzete egybeesik a síkkal
, és a parabola csúcsa egybeesik az origóval: =(0,0,0);

▫ akkor ez a parabola megmozdul párhuzamos átvitel, és a teteje
az I. parabolával egybeeső pályát készít;

▫ a II. parabola két különböző kezdeti helyzetét veszik figyelembe: az egyik - a parabola ágai felfelé, a második - az ágak lefelé.

Írjuk fel az egyenleteket: az első I parabolához:
- változatlan; a második parabola II:
– kezdeti helyzet, mozgásegyenlet:
Könnyű belátni, hogy a lényeg
koordinátái vannak:
. Mivel szükséges egy pont mozgástörvényének megjelenítése
: ez a pont az I. parabolához tartozik, akkor a következő összefüggéseknek mindig teljesülniük kell: =
és
.

A modell geometriai jellemzőiből jól látható, hogy a mozgó parabola söpör valamilyen felület. Ebben az esetben a II. parabola által leírt felület egyenlete a következő:

vagy→
. (1)

A kapott felület alakja a paraméterek előjeleinek eloszlásától függ
. Két eset lehetséges:

egy). A mennyiségek jelei pés q egybeesik: az I. és a II. parabola a sík ugyanazon oldalán található OXY. Fogadjuk el: p = a 2 és q = b 2 . Ekkor megkapjuk az ismert felület egyenletét:

→ elliptikus paraboloid . (2)

2). A mennyiségek jelei pés q különbözik: az I. és II. parabola a sík ellentétes oldalán található OXY. Hadd p = a 2 és q = - b 2 . Most megkapjuk a felületi egyenletet:

→hiperbolikus paraboloid . (3)

Nem nehéz elképzelni a (3) egyenlettel meghatározott felület geometriai alakját, ha felidézzük a mozgásban részt vevő két parabola kölcsönhatásának kinematikai modelljét.

Az ábrán az I. parabola feltételesen piros színnel látható, csak a felület origó környéke látható. Tekintettel arra, hogy a felület alakja kifejezetten a lovassági nyeregre utal, ezt a környéket gyakran nevezik - nyereg .

A fizikában a folyamatok stabilitásának tanulmányozásakor az egyensúly típusait vezetik be: stabil - lyuk, lefelé konvex, instabil - felfelé domború felület és közbenső - nyereg. A harmadik típusú egyensúlyt instabil egyensúlynak is nevezik, és csak a piros vonalon (I. parabola) lehetséges az egyensúly.

§ 4. Hengeres felületek.

A forgásfelületek figyelembevételekor a legegyszerűbb hengeres felületet határoztuk meg - egy forgáshengert, azaz egy körhengert.

Az elemi geometriában a hengert analógiával határozzuk meg közös meghatározás prizmák. Ez elég összetett:

▫ legyen egy lapos sokszögünk a térben
-ként jelölve , és a sokszög egybeesik vele
-ként jelölve
;

▫ sokszögre vonatkozik
mozgás párhuzamos fordítás: pontok
egy adott iránnyal párhuzamos pályák mentén mozog ;

▫ ha abbahagyja a sokszög mozgatását
, majd a síkja
párhuzamos a síkkal ;

▫ a prizma felületét úgy nevezzük: sokszögek halmaza ,
– okokból prizmák és paralelogrammák
,
,... – oldalfelület prizmák.

NÁL NÉL a prizma elemi definícióját fogjuk használni a prizma és felülete általánosabb definíciójának megalkotásához, nevezetesen megkülönböztetjük:

▫ a korlátlan prizma élekkel határolt poliéderes test ,,... és ezen élek közötti síkok;

▫ a korlátozott prizma élekkel határolt poliéderes test ,,... és paralelogrammák
,
,...; ennek a prizmának az oldalfelülete paralelogrammák halmaza
,
,...; prizma alapjai - sokszögek halmaza ,
.

Legyen egy korlátlan prizmája: ,,... Metszük ezt a prizmát egy tetszőleges síkkal . Metszük ugyanazt a prizmát egy másik síkkal
. A szakaszban egy sokszöget kapunk
. Általában feltételezzük, hogy a repülőgép
nem párhuzamos a síkkal . Ez azt jelenti, hogy a prizma nem a sokszög párhuzamos fordításával készült .

A prizma javasolt felépítése nem csak egyenes és ferde prizmákat tartalmaz, hanem csonkolt prizmákat is.

Az analitikus geometriában a hengeres felületeket olyan általánosan fogjuk megérteni, hogy egy korlátlan henger speciális esetként korlátlan prizmát is tartalmaz: csak azt kell feltételezni, hogy egy sokszög tetszőleges, nem feltétlenül zárt vonallal helyettesíthető. útmutató henger. Irány hívott alkotó henger.

Az elmondottakból az következik, hogy egy hengeres felület meghatározásához egy vezérvonalat és a generatrix irányát kell beállítani.

A hengeres felületeket a 2. rendű síkgörbék alapján kapjuk, szolgálva útmutatók számára generáló .

A hengeres felületek tanulmányozásának kezdeti szakaszában egyszerűsítő feltételezéseket teszünk:

▫ a hengeres felület megvezetése mindig az egyik koordinátasíkban legyen;

▫ generatrix iránya egybeesik az egyik koordinátatengellyel, azaz merőleges arra a síkra, amelyben a vezetőt meghatároztuk.

Az elfogadott korlátozások nem vezetnek az általánosság elvesztéséhez, hiszen a síkszelvények megválasztása miatt ez továbbra is lehetséges és
tetszőleges geometriai formák építése: egyenes, ferde, csonka hengerek.

Elliptikus henger .

Vegyük az ellipszist a henger vezetőjének :
, amely a koordinátasíkban található

: elliptikus henger.

hiperbolikus henger .

:

, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt
. Ebben az esetben a hengeregyenlet maga az egyenes : hiperbolikus henger.

parabola henger .

Vegyük a hiperbolát a henger vezetőjének :
koordinátasíkban található
, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt
. Ebben az esetben a hengeregyenlet maga az egyenes : parabola henger.

Megjegyzés: figyelembe véve a hengeres felületek egyenleteinek megalkotásának általános szabályait, valamint az elliptikus, hiperbolikus és parabolikus hengerek bemutatott konkrét példáit, megjegyezzük: bármely más generatrixhoz hengert építeni, az elfogadott egyszerűsítési feltételek mellett, nem szabad okoz nehézségeket!

Fontolja meg most többet általános szerződési feltételek hengeres felületek egyenleteinek szerkesztése:

▫ a hengeres felület megvezetése tetszőleges térsíkban helyezkedik el
;

▫ generatrix iránya az elfogadott koordinátarendszerben önkényesen.

Az elfogadott feltételeket az ábra mutatja.

▫ hengeres felületvezető tetszőleges síkban található tér
;

▫ koordinátarendszer
koordinátarendszerből kapjuk
párhuzamos átvitel;

▫ vezetőállás repülőn a legelőnyösebb: egy 2. rendű görbe esetén feltételezzük, hogy a koordináták origója egybeesik központ a vizsgált görbe szimmetriája;

▫ generatrix iránya tetszőleges (bármelyik módon megadható: vektoros, közvetlen stb.).

A következőkben feltételezzük, hogy a koordinátarendszerek
és
mérkőzés. Ez azt jelenti, hogy a párhuzamos transzlációt tükröző hengeres felületek felépítésére szolgáló általános algoritmus 1. lépése:
→
, korábban végzett.

Emlékezzünk vissza egy egyszerű példán keresztül, hogy általános esetben hogyan vesszük figyelembe a párhuzamos átvitelt.

6. példa–13 : Koordinátarendszerben
mint:
=0. Írja be ennek az útmutatónak az egyenletét a rendszerbe
.

Megoldás:

egy). Jelöljön egy tetszőleges pontot
: rendszerben
hogyan
, és a rendszerben
hogyan
.

2). Írjuk fel a vektoregyenlőséget:
=
+
. Koordináta formában ezt így írhatjuk fel:
=
+
. Vagy a következő formában:
=
–
, vagy:
=.

3). Írjuk fel a hengervezető egyenletet koordinátarendszerben
:

Válasz: az útmutató transzformált egyenlete: =0.

Tehát feltételezzük, hogy a hengervezetőt ábrázoló görbe középpontja mindig a koordinátarendszer origójában található
repülőn .

Rizs. NÁL NÉL . Alaprajz henger építésekor.

Tegyünk még egy olyan feltevést, amely leegyszerűsíti a hengeres felület megalkotásának utolsó lépéseit. A koordináta-rendszer elforgatásának köszönhetően könnyen kombinálható a tengely iránya
koordinátarendszerek
normál repülővel , és a tengelyek irányai
és
a vezető szimmetriatengelyeivel , akkor ezt feltételezzük a vezető kezdeti pozíciójaként van egy görbénk, amely a síkban helyezkedik el
, és az egyik szimmetriatengelye egybeesik a tengellyel
, a második pedig a tengellyel
.

Megjegyzés: mivel a párhuzamos transzláció és a művelet rögzített tengelye körüli forgatás műveletek végrehajtása meglehetősen egyszerű, ezért a megfogalmazott feltételezések a legáltalánosabb esetben nem szűkítik a kidolgozott hengeres felület felépítésére szolgáló algoritmus alkalmazhatóságát!

Láttuk, hogy hengeres felület megalkotásakor abban az esetben, ha a vezető a síkban található
, és a generatrix párhuzamos a tengellyel
, elegendő csak az útmutatót meghatározni .

Mivel egy hengeres felület egyedileg meghatározható, ha a felület metszetében kapott tetszőleges vonalat tetszőleges síkkal adjuk meg, a probléma megoldására a következő általános algoritmust alkalmazzuk:

1 ▫ . Legyen a generatrix iránya hengeres felületet a vektor adja meg . Tervezzünk útmutatót egyenlettel megadva:
=0, a generatrix irányára merőleges síkra , vagyis a repülőn
. Ennek eredményeként a hengeres felület a koordinátarendszerben lesz megadva
egyenlet:
=0.

2 ▫
a tengely körül
a sarkon
: szög jelentése
kompatibilis a rendszerrel
, és a kúpos felület egyenlete a következő egyenletté alakul:
=0.

3 ▫ . Alkalmazza a koordinátarendszer elforgatását
a tengely körül
a sarkon
: szög jelentése elég jól látható az ábrából. Az elforgatás eredményeként a koordinátarendszer
kompatibilis a rendszerrel
, és a kúpos felület egyenlete átalakul
=0. Ez egy hengeres felület egyenlete, amelyhez útmutatót adtak és generatrix koordinátarendszerben
.

Az alábbi példa az írott algoritmus megvalósítását és az ilyen problémák számítási nehézségeit szemlélteti.

6. példa–14 : Koordinátarendszerben
adott a hengervezető egyenlete mint:
=9. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! =(2,–3,4).

R
megoldás:

egy). Tervezzük meg a henger vezetőjét egy merőleges síkban . Ismeretes, hogy egy ilyen transzformáció egy adott kört ellipszissé alakít, amelynek tengelyei: =9, és kicsi =
.

Ez az ábra egy síkban meghatározott kör kialakítását szemlélteti
a koordinátasíkra
.

2). A kör vetítésének eredménye egy ellipszis:
=1, vagy
. A mi esetünkben ez:
, ahol
==.

3
). Tehát egy hengerfelület egyenlete a koordinátarendszerben
kapott. Mivel a feladat feltétele szerint ennek a hengernek az egyenletével kell rendelkeznünk a koordinátarendszerben
, akkor marad egy koordináta-transzformáció alkalmazása, amely lefordítja a koordináta-rendszert
a koordinátarendszerhez
, a hengeregyenlettel együtt:
változókkal kifejezett egyenletté
.

négy). Használjuk alapvető ábrát, és írja le a feladat megoldásához szükséges összes trigonometrikus értéket:

==,
==,
==.

5). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való átmenetben
a rendszerhez
:
(NÁL NÉL)

6). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való átmenetben
a rendszerhez
:
(TÓL TŐL)

7). Változók helyettesítése
a (B) rendszerből a (C) rendszerbe, és figyelembe véve a használt trigonometrikus függvények értékeit is, írjuk:

=
=
.

=
=
.

nyolc). Marad a talált értékek helyettesítése és a hengervezető egyenletbe :
koordinátarendszerben
. Befejezése után gondosan minden algebrai transzformáció esetén megkapjuk a kúpfelület egyenletét a koordinátarendszerben
: =0.

Válasz: kúpegyenlet: =0.

6. példa–15 : Koordinátarendszerben
adott a hengervezető egyenlete mint:
=9, =1. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! =(2,–3,4).

Megoldás:

egy). Könnyen belátható, hogy ez a példa csak annyiban tér el az előzőtől, hogy a segédvonal párhuzamosan 1-el feljebb került.

2). Ez azt jelenti, hogy a (B) relációban a következőket kell venni: =-egy. A (C) rendszer kifejezéseit figyelembe véve javítjuk a változó bejegyzését :

=
.

3). A változás könnyen figyelembe vehető, ha kijavítja az előző példában szereplő henger egyenletének végső rekordját:

Válasz: kúpegyenlet: =0.

Megjegyzés: könnyen belátható, hogy a koordinátarendszerek többszöri transzformációinál a hengeres felületekkel kapcsolatos problémáknál a fő nehézség az pontosság és kitartás algebrai maratonokon: éljen a sok szenvedő hazánkban elfogadott oktatási rendszer!