Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. hajde da analiziramo koordinatni metod, koji će nam omogućiti da pronađemo rastojanje od date tačke u trodimenzionalnom prostoru. Za konsolidaciju razmotrite primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznate udaljenosti od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je tačka M 1 sa ravni χ data u prostoru, tada se kroz tačku može povući prava prava okomita na ravan. H 1 je zajednička tačka njihovog preseka. Odavde dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Oni nazivaju udaljenost od date tačke do osnove okomice, koja je povučena od date tačke do dati avion.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni naziva se dužina okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Rastojanje od tačke M 1 do ravni χ je definisano na sledeći način: udaljenost od tačke M 1 do ravni χ biće najmanja od date tačke do bilo koje tačke u ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda dobijamo pravougli trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuza. Dakle, ovo implicira da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se kosom, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Razmotrite ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji broj geometrijski problemi, čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Načini da se ovo otkrije mogu biti različiti. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, rešavaju se koordinatnom metodom. Ovaj paragraf se bavi ovom metodom.

Prema uslovu zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ, potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje se koristi nekoliko rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni koristeći koordinate tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način koristi se normalna jednačina date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Željena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1 , z 1) i H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka ravni χ sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz ovoga slijedi da je potrebno formulisati jednačinu prave linije koja prolazi dati poen okomito na datu ravan. Tada možemo odrediti koordinate tačke H 1 . Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

• sastaviti jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
• okomito na ravan χ;
• pronađite i izračunajte koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1, koje su tačke
• presek prave a sa ravninom χ ;
• izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Ova formula je važeća, jer je uspostavljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je data tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1). trodimenzionalni prostor, koji ima normalnu jednačinu ravni χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se udaljenost od tačke do ravnine M 1 H 1 izračunava iz formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p jer je x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na određivanje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α , cos β , cos γ , a njegova dužina je jednaka jedan, npn → OM → je numerička projekcija vektora OM → = (x 1 , y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ z i OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik notacije će imati oblik n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, zatim M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 umjesto x, y, z koordinate x 1 , y 1 i z1 koji se odnosi na tačku M 1 , uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Razmotrimo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke s koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda će započeti izračunavanjem vektora smjera linije a. Po uslovu imamo da je data jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opšta jednačina ravni, a n → = (2, - 1, 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao usmjeravajući vektor za pravu a, koja je okomita na datu ravan. Trebalo bi biti zapisano kanonska jednačina prava linija u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5 , - 3 , 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2 , - 1 , 5 .

Jednačina će izgledati kao x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Treba definisati presečne tačke. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednačine u sistem za prijelaz sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. dati poen uzeti za H 1. Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Zatim morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu za rješavanje sistema po Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje je da se data jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30 .

Kada je χ ravan data nekom od metoda iz odjeljka metoda definicije ravnine, tada prvo trebate dobiti jednačinu χ ravni i izračunati željenu udaljenost koristeći bilo koju metodu.

Primjer 2

Tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) postavljene su u trodimenzionalni prostor. Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - jedan) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. Dakle, rastojanje od tačke M 1 do ravni A B C je 2 30 .

Odgovor: 2 30 .

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Odavde dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Pronađite rastojanje od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatna ravan O x y z i ravni datoj jednadžbom 2 y - 5 = 0 .

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z, to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x \u003d - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine . Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3 .

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0 . Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do ravni 2 y - 5 = 0 . Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor:Željena udaljenost od M 1 (- 3 , 2 , - 7) do O y z ima vrijednost 3 , a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA NALAZANJE UDALJENOSTI OD TAČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine odsjeka za matematiku. Analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

naučni mentor, dr. ped. nauka, vanredni profesor, EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

IN USE zadaci u matematici na poslednjih godina postoje problemi za izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za određivanje udaljenosti od tačke do ravni. Za rješavanje raznih problema možete koristiti najprikladniju metodu. Nakon rješavanja problema jednom metodom, druga metoda može provjeriti ispravnost rezultata.

Definicija. Udaljenost od tačke do ravni koja ne sadrži ovu tačku je dužina segmenta okomice ispuštene iz ove tačke na datu ravan.

Zadatak. Dan kuboid ALIBODDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, BC=4, aa 1=6. Pronađite udaljenost od tačke D do aviona ACD 1 .

1 način. Koristeći definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) iz tačke D do aviona ACD 1 (sl. 1).

Slika 1. Prvi način

Hajde da potrošimo D.H.⊥AC, dakle, teoremom o tri okomice D 1 H⊥AC I (DD 1 H)⊥AC. Hajde da potrošimo direktno DT okomito D 1 H. Pravo DT leži u avionu DD 1 H, Shodno tome DT⊥AC. shodno tome, DT⊥ACD 1.

ALIDC nađi hipotenuzu AC i visina D.H.

Iz pravouglog trougla D 1 D.H. nađi hipotenuzu D 1 H i visina DT

Odgovor: .

2 way.Volume Method (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide željena udaljenost od tačke do ravni. Dokažite da je ova visina željena udaljenost; pronađite zapreminu ove piramide na dva načina i izrazite ovu visinu.

Imajte na umu da ovom metodom nema potrebe za konstruisanjem okomice iz date tačke na datu ravan.

Kuboid je kvadar čije su sve strane pravokutnici.

AB=CD=2, BC=AD=4, aa 1 =6.

Željena udaljenost će biti visina h piramide ACD 1 D, pao sa vrha D na zemlji ACD 1 (sl. 2).

Izračunajte zapreminu piramide ACD 1 D dva načina.

Računajući, na prvi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD 1, dakle

Računajući, na drugi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD, onda

Izjednačimo desne strane posljednje dvije jednakosti, dobijamo

Slika 2. Drugi način

Od pravokutnih trouglova ACD, DODATI 1 , CDD 1 pronađite hipotenuze koristeći Pitagorinu teoremu

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 koristeći Heronovu formulu

Odgovor: .

3 way. koordinatni metod.

Neka se da poen M(x 0 ,y 0 ,z 0) i avion α , dato jednadžbom sjekira+by+cz+d=0 u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Udaljenost od tačke M na ravan α može se izračunati po formuli:

Hajde da uvedemo koordinatni sistem (slika 3). Porijeklo u tački IN;

Pravo AB- osa X, ravno sunce- osa y, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treći način

B(0,0,0), ALI(2,0,0), OD(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka bude ax+by+ cz+ d=0 – jednačina u ravni ACD jedan . Zamjenjujući u njega koordinate tačaka A, C, D 1 dobijamo:

Jednačina u ravnini ACD 1 će preuzeti formu

Odgovor: .

4 way. vektorska metoda.

Uvodimo osnovu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrti način

Neka bude avion . Hajde da nacrtamo normalnu
kroz ishodište O. Neka
su uglovi formirani od normale sa koordinatnim osama.
. Neka bude je dužina normalnog segmenta
prije prelaska aviona. Pod pretpostavkom da su poznati kosinusi smjera normale , izvodimo jednačinu ravnine .

Neka bude
) je proizvoljna tačka ravni. Vektor jedinične normale ima koordinate. Nađimo projekciju vektora
do normalnog.

Od tačke M onda pripada avionu

.

Ovo je jednadžba za datu ravan, tzv normalno .

Udaljenost od tačke do ravni

Neka se da avion ,M*
- tačka u prostoru d je njegova udaljenost od ravnine.

Definicija. odstupanje bodova M* iz aviona se zove broj ( + d), ako M* leži na drugoj strani ravni gdje je pozitivan smjer normalnih tačaka , i broj (- d) ako se tačka nalazi na drugoj strani ravni:

.

Teorema. Pustite avion sa jedinicom normalno dato normalnom jednadžbom:

Neka bude M*
– tačka prostora Devijacija t. M* iz ravni je dato izrazom

Dokaz. projekcija t.
* označavaju normalu Q. Point Deviation M* iz aviona je

.

Pravilo. Naći odstupanje T. M* iz ravni, trebate zamijeniti koordinate t u normalnu jednačinu ravnine. M* . Udaljenost od tačke do ravni je .

Redukcija opšte jednačine ravnine na normalni oblik

Neka je ista ravan data sa dve jednačine:

Opća jednadžba,

normalna jednačina.

Budući da obje jednačine definiraju istu ravan, njihovi koeficijenti su proporcionalni:

Kvadiramo prve tri jednakosti i dodamo:

Odavde nalazimo je faktor normalizacije:

. (10)

Pomnožeći opštu jednačinu ravni sa normalizujućim faktorom, dobijamo normalnu jednačinu ravnine:

Primjeri zadataka na temu "Avion".

Primjer 1 Sastavite jednačinu ravnine prolazeći kroz datu tačku
(2,1,-1) i paralelno sa ravninom.

Rješenje. Normalno na ravan :
. Pošto su ravni paralelne, normala je takođe normala na željenu ravan . Koristeći jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku (3), dobijamo za ravan jednadžba:

odgovor:

Primjer 2 Osnova okomice spuštena iz ishodišta u ravan , je tačka
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Rješenje. Vector
je normala na avion . Dot M 0 pripada avionu. Možete koristiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku (3):

odgovor:

Primjer 3 Build Plane prolazeći kroz tačke

i okomito na ravan :.

Stoga, za neko vrijeme M (x, y, z) pripadao je avionu , potrebno je da tri vektora
bili su komplanarni:

=0.

Ostaje otvoriti determinantu i rezultirajući izraz dovesti u oblik opće jednadžbe (1).

Primjer 4 Avion dato opštom jednačinom:

Pronađite odstupanje tačke
iz date ravni.

Rješenje. Dovodimo jednačinu ravni u normalni oblik.

,

.

Zamijenite u rezultirajuću normalnu jednačinu koordinate tačke M*.

.

odgovor:
.

Primjer 5 Da li segment siječe ravan.

Rješenje. Izrezati AB prešao avion, odstupanja I iz aviona mora imati različite znakove:

.

Primjer 6 Presek tri ravni u jednoj tački.

.

Sistem ima jedinstveno rješenje, stoga tri ravni imaju jednu zajedničku tačku.

Primjer 7 Pronalaženje simetrala diedarskog ugla kojeg formiraju dvije date ravni.

Neka bude I - odstupanje neke tačke
iz prve i druge ravni.

Na jednoj od bisektoralnih ravni (koja odgovara kutu u kojem leži ishodište koordinata) ova odstupanja su jednaka po veličini i predznaku, a na drugoj su jednaka po veličini i suprotna po predznaku.

Ovo je jednadžba prve bisektoralne ravni.

Ovo je jednadžba druge bisektoralne ravni.

Primjer 8 Pronalaženje lokacije dvije podatkovne tačke I u odnosu na diedarske uglove formirane ovim ravnima.

Neka bude
. Odredite: u jednoj, u susjednim ili u vertikalnim uglovima nalaze se tačke I .

ali). Ako I lezi na jednoj strani i od , tada leže u istom diedralnom kutu.

b). Ako I lezi na jednoj strani i drugačiji od , tada leže u susjednim uglovima.

in). Ako I leže na suprotnim stranama I , tada leže u vertikalnim uglovima.

Koordinatni sistemi 3

Linije u avionu 8

Linije prvog reda. Prave linije u avionu. 10

Ugao između linija 12

Opšta jednačina prave 13

Nepotpuna jednačina prvog stepena 14

Jednačina prave „u segmentima“ 14

Zajedničko proučavanje jednačina dvije prave 15

Normalno na red 15

Ugao između dve prave 16

Kanonska jednadžba prave linije 16

Parametarske jednadžbe prave linije 17

Normalna (normalizovana) jednačina prave linije 18

Udaljenost od tačke do linije 19

Jednačina snopa linija 20

Primjeri zadataka na temu "prava u ravni" 22

Unakrsni proizvod vektora 24

Unakrsna svojstva proizvoda 24

Geometrijska svojstva 24

Algebarska svojstva 25

Izraz unakrsnog proizvoda u smislu koordinata faktora 26

Mješoviti proizvod tri vektora 28

Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda 28

Izražavanje mješovitog proizvoda u vektorskim koordinatama 29

Primjeri rješavanja problema

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Nazad naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
• razvijanje sposobnosti analiziranja, poređenja, donošenja zaključaka.

Oprema:

• multimedijalni projektor;
• kompjuter;
• listovi zadataka

PROCES STUDIJA

I. Organiziranje vremena

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost od tačke do ravni

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

Na času ćemo pogledati razne načine pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni.

Prva metoda: izračunavanje korak po korak

Udaljenost od tačke M do ravni α:
– jednaka je udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na pravoj a, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na ravni β, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće zadatke:

№1. U kocki A ... D 1 pronađite udaljenost od tačke C 1 do ravni AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost dužine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi A ... F 1, čije su sve ivice jednake 1, pronađite udaljenost od tačke A do ravni DEA 1.

Sljedeća metoda: Volumenska metoda.

Ako je zapremina piramide ABCM V, tada se udaljenost od tačke M do ravnine α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Prilikom rješavanja zadataka koristimo jednakost volumena jedne figure, izraženu na dva različita načina.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№3. Ivica AD piramide DABC okomita je na ravan baze ABC. Odrediti rastojanje od A do ravni koja prolazi središtem ivica AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatni metod udaljenost od tačke M do ravni α može se izračunati po formuli ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravan je data jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Hajde da rešimo sledeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1 .

Uvedemo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A, y osa će proći duž ivice AB, osa x - duž ivice AD, osa z - duž ivice AA 1. Tada koordinate tačaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Sastavimo jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke B, D, C 1 .

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dakle, ρ =

Sljedeća metoda, koja se može koristiti u rješavanju problema ove vrste - metoda referentnih zadataka.

Aplikacija ovu metodu sastoji se u primjeni dobro poznatih osnovnih problema, koji su formulisani kao teoreme.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A ... D 1 pronađite udaljenost od tačke D 1 do ravni AB 1 C.

Razmotrite aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A ... D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Dakle, razmotrili smo različite metode koje se mogu koristiti u rješavanju ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Ivica kocke A…D 1 je jednaka . Pronađite udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1 .

№2. U pravilnom tetraedru ABCD sa ivicom pronađite rastojanje od tačke A do ravni BDC

№3. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čije su sve ivice jednake 1, pronađite udaljenost od A do ravni BCA 1.

№4. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od A do ravni SCD.

V. Sažetak lekcije, domaći zadatak, razmišljanje

Pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni je čest problem koji se javlja pri rješavanju različitih problema analitičke geometrije, na primjer, pronalaženje udaljenosti između dvije prave koje se sijeku ili između prave i ravni paralelne s njom može se svesti na ovaj problem.

Razmotrimo ravan $β$ i tačku $M_0$ sa koordinatama $(x_0;y_0; z_0)$, koja ne pripada ravni $β$.

Definicija 1

Najkraća udaljenost između tačke i ravni je okomica spuštena iz tačke $M_0$ na ravan $β$.

Slika 1. Udaljenost od tačke do ravni. Author24 - online razmjena studentskih radova

Ispod je kako pronaći udaljenost od tačke do ravni koristeći koordinatnu metodu.

Izvođenje formule za koordinatnu metodu određivanja udaljenosti od tačke do ravni u prostoru

Okomita iz tačke $M_0$, koja seče ravan $β$ u tački $M_1$ sa koordinatama $(x_1;y_1; z_1)$, leži na pravoj liniji čiji je vektor smera vektor normale ravni $ β$. Istovremeno, dužina jedinični vektor$n$ je jednako jedan. Prema tome, udaljenost od $β$ do tačke $M_0$ će biti:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, gdje je $\vec(M_1M_0)$ normalni vektor za $β$ i $\vec(n)$ - jedinični vektor normale razmatrane ravni.

U slučaju kada je data jednačina ravnine opšti pogled$Ax+ By + Cz + D=0$, koordinate vektora normale ravni su koeficijenti jednadžbe $\(A;B;C\)$, a jedinični vektor normale u ovom slučaju ima izračunate koordinate sljedećom jednačinom:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Sada možemo pronaći koordinate vektora normale $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Takođe izražavamo koeficijent $D$ koristeći koordinate tačke koja leži u ravnini $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Koordinate vektora jedinične normale iz jednakosti $(2)$ mogu se zamijeniti jednadžbom ravnine $β$, tada imamo:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\levo(4\desno)$

Jednakost $(4)$ je formula za pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni u prostoru.

Opšti algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke $M_0$ do ravni

1. Ako jednačina ravnine nije data u opštem obliku, prvo je morate dovesti u opšti.
2. Nakon toga, potrebno je izraziti od opšta jednačina ravan je vektor normale date ravni kroz tačku $M_0$ i tačku koja pripada datoj ravni, za to trebamo koristiti jednakost $(3)$.
3. Sljedeća faza je traženje koordinata vektora jedinične normale ravni pomoću formule $(2)$.
4. Konačno, možete početi tražiti udaljenost od tačke do ravni, to se radi pomoću proračuna tačkasti proizvod vektori $\vec(n)$ i $\vec(M_1M_0)$.