Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Rezolvarile acestui gen de ecuatii pot fi efectuate dupa schema generala de rezolvare a ecuatiilor grade superioare. Ecuațiile de acest fel au soluții în radicali datorită metodei Ferrari, care face posibilă reducerea soluțiilor la o ecuație cubică. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, prin factorizarea unui polinom, este posibil să găsiți rapid o soluție a ecuației.

Să presupunem că ni se dă o ecuație binomială de gradul al patrulea:

Să factorizăm \ în factori polinomiali:

Determinăm rădăcinile primului trinom pătrat:

Determinăm rădăcinile celui de-al doilea trinom:

Ca rezultat, ecuația originală are patru rădăcini complexe:

Unde pot rezolva online ecuații de gradul 4?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Pentru ecuațiile de gradul al patrulea, toate acestea scheme generale soluții de ecuații de grade superioare, pe care le-am analizat în materialul anterior. Cu toate acestea, există o serie de nuanțe în rezolvarea ecuațiilor cu doi termeni, biquadratice și reciproce, asupra cărora am dori să ne oprim mai detaliat.

De asemenea, în articol vom analiza metoda artificială de factorizare a unui polinom, soluția în radicali și metoda Ferrari, care este folosită pentru a reduce soluția unei ecuații de gradul al patrulea la o ecuație cubică.

Rezolvarea unei ecuații binare de gradul al patrulea

Acesta este cel mai simplu tip de ecuații de gradul al patrulea. Ecuația se scrie ca A x 4 + B = 0 .

Definiția 1

Pentru a rezolva acest tip de ecuații se folosesc formule de înmulțire prescurtate:

A x 4 + B = 0 x 4 + BA = 0 x 4 + 2 BA x 2 + BA - 2 BA x 2 = 0 x 2 + BA 2 - 2 BA x 2 = 0 x 2 - 2 BA 4 x + BA x 2 + 2 BA 4 x + BA = 0

Rămâne doar să găsim rădăcinile trinoamelor pătrate.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația de gradul al patrulea 4 x 4 + 1 = 0 .

Soluţie

Mai întâi, să factorizăm polinomul 4 x 4 + 1:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

Acum să găsim rădăcinile trinoamelor pătrate.

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + ix 2 = 2 - D 2 2 = 1 2-i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + ix 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i

Am obținut patru rădăcini complexe.

Răspuns: x = 1 2 ± i și x = - 1 2 ± i .

Rezolvarea ecuației reciproce de gradul al patrulea

Definiția 2

Ecuații de returnare al patrulea ordin au forma A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

x = 0 nu este o rădăcină a acestei ecuații: A 0 4 + B 0 3 + C 0 2 + B 0 + A = A ≠ 0 . Prin urmare, ambele părți ale acestei ecuații pot fi împărțite în siguranță la x 2:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Să facem o schimbare a variabilelor x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0

Deci efectuăm reducerea ecuației reciproce de gradul al patrulea la o ecuație pătratică.

Exemplul 2

Găsiți toate rădăcini complexe ecuații 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Soluţie

Simetria coeficienților ne spune că avem de-a face cu o ecuație reciprocă de gradul al patrulea. Să împărțim ambele părți la x 2:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

Să grupăm:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Să schimbăm variabila x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Să rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

Să revenim la înlocuirea: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

Să rezolvăm prima ecuație:

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - i 14 4

Să rezolvăm a doua ecuație:

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i 1 2

Răspuns: x = - 2 4 ± i 14 4 și x = - 3 2 ± i 1 2 .

Rezolvarea unei ecuații biquadratice

Ecuațiile biquadratice de gradul al patrulea au forma A x 4 + B x 2 + C = 0 . Putem pătra o astfel de ecuație A y 2 + B y + C = 0 prin înlocuirea y = x 2 . Aceasta este o luare standard.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația biquadratică 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0 .

Soluţie

Să schimbăm variabila y = x 2 , ceea ce ne va permite să reducem ecuația inițială la una pătratică:

2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 \u003d - 5 - 7 4 \u003d - 3

Prin urmare, x 2 \u003d 1 2 sau x 2 \u003d - 3.

Prima egalitate ne permite să obținem rădăcina x = ± 1 2 . A doua egalitate nu are rădăcini reale, dar are rădăcini conjugate complexe x = ± i · 3 .

Răspuns: x = ± 1 2 și x = ± i · 3 .

Exemplul 4

Găsiți toate rădăcinile complexe bi ecuație pătratică 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Soluţie

Folosim metoda de înlocuire y \u003d x 2 pentru a reduce ecuația biquadratică originală la una pătratică:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 16 = - 145 - 143 32 = - 9

Prin urmare, în virtutea modificării variabilei, x 2 = - 1 16 sau x 2 = - 9 .

Răspuns: x 1, 2 = ± 1 4 i, x 3, 4 = ± 3 i.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea cu rădăcini raționale

Algoritm de găsire rădăcini raționale ecuațiile de gradul IV sunt date în materialul „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare”.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea folosind metoda Ferrari

Ecuațiile de gradul al patrulea de forma x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 pot fi rezolvate în general folosind metoda Ferrari. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți y 0 . Aceasta este oricare dintre rădăcini ecuația cubică y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 . După aceea, este necesar să se rezolve două ecuații pătratice x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D \u003d 0 , în care expresia radicală este un pătrat perfect.

Rădăcinile obținute în timpul calculelor vor fi rădăcinile ecuației originale de gradul al patrulea.

Exemplul 5

Aflați rădăcinile ecuației x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0 .

Soluţie

Avem A \u003d 3, B \u003d 3, C \u003d - 1, D \u003d - 6. Aplicam metoda Ferrari pentru a rezolva aceasta ecuatie.

Compunem și rezolvăm ecuația cubică:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

Una dintre rădăcinile ecuației cubice va fi y 0 = 1, deoarece 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.

Să scriem două ecuații pătratice:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 sau x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 sau x 2 + x - 2 = 0

Rădăcinile primei ecuații vor fi x \u003d - 1 ± i 2, rădăcinile celei de-a doua x \u003d 1 și x \u003d - 2.

Răspuns: x 1, 2 \u003d - 1 ± i 2, x 3 \u003d 1, x 4 \u003d - 2.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Sarcina №1

Rezolvați ecuația gradului al treilea folosind formula Cardano:

x 3 -3x 2 -3x-1=0.

Rezolvare: Să aducem ecuația la o formă care nu conține gradul doi al necunoscutului. Pentru a face acest lucru, folosim formula

x \u003d y - , unde a este coeficientul la x 2.

Avem: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, obținem:

Pentru rădăcinile ecuației cubice y 3 +py+q=0 există o formulă Cardano:

yi= (i=1,2,3,), unde valoarea radicalului

, = .

Fie α1 o valoare /orice/ a radicalului α. Apoi celelalte două valori se găsesc după cum urmează:

α 2 \u003d α 1 ε 1, α 3 \u003d α 1 ε 2, unde ε 1 \u003d + i, ε 2 \u003d - i este rădăcina de gradul trei a unității.

Dacă punem β 1 = - , atunci obținem β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Înlocuind valorile obținute în formula yi = αi+βi, găsim rădăcinile ecuației

y 1 \u003d α 1 + β 1,

y 2 \u003d -1/2 (α 1 + β 1) + i (α 1 -β 1),

y 3 \u003d -1 / 2 (α 1 + β 1) - i (α 1 -β 1),

În cazul nostru p = -6, q= - 6.

α= =

Una dintre valorile acestui radical este . Prin urmare, punem α 1 = . Atunci β 1 = – = – = ,

y 2 = ) – i ).

În cele din urmă, găsim valoarea lui x folosind formula x = y+1.

x 2 = ) + i ) + 1,

x 3 = ) – i ) + 1.

O sarcină№2

Rezolvați ecuația gradului al patrulea folosind metoda Ferrari:

x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.

Soluție: Mutăm ultimii trei termeni în partea dreaptă și completăm cei doi termeni rămași într-un pătrat complet.

x 4 -4x 3 \u003d -2x 2 + 4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 \u003d 2x 2 + 4x-1.

Introducem o nouă necunoscută, după cum urmează:

(x 2 -2x+) 2 \u003d 2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Să alegem y astfel încât partea dreaptă a egalității să fie un pătrat perfect.Acest lucru va fi atunci când B 2 -4AC=0, unde A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Avem: B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Sau y 3 -2y 2 +12y-24=0.

Am obținut o rezoluție cubică, una dintre rădăcinile căreia este y=2. Înlocuiți valoarea rezultată y=2 în /1/,

Se obține (x 2 -2x+1) 2 =4x 2. De unde (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 sau (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+) 1+ 2x)=0.

Obținem două ecuații pătratice:

x 2 -4x+1=0 și x 2 +1=0.

Rezolvându-le, găsim rădăcinile ecuației originale:

x 1 \u003d 2-, x 2 \u003d 2+, x 3 \u003d-I, x 4 \u003d i.

6. Rădăcini raționale ale unui polinom

Sarcina 1

Găsiți rădăcini raționale ale unui polinom

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Soluţie: Pentru a găsi rădăcinile raționale ale unui polinom, folosim următoarele teoreme.

Teorema 1. Dacă fracția ireductibilă este rădăcina polinomului f(x) cu coeficienți întregi, atunci p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului principal al polinomului f(x).

Cometariu: Teorema 1 dă conditie necesara pentru un număr rațional . A fost rădăcina polinomului, dar această condiție nu este suficientă, adică. condiția teoremei 1 poate fi îndeplinită și pentru o astfel de fracție care nu este rădăcină a polinomului.

Teorema 2: Dacă fracția ireductibilă este rădăcina polinomului f(x) cu coeficienți întregi, atunci pentru orice număr întreg, altul decât , numărul f(m) este divizibil cu numărul p-qm, adică un număr întreg.

În special, stabilind m=1 și apoi m=-1, obținem:

dacă rădăcina polinomului nu este egală cu ±1, atunci f(x) (p-q) și f(-x):.(p+q), adică. - numere întregi.

Cometariu: Teorema 2 oferă încă o condiție necesară pentru rădăcinile raționale ale unui polinom. Această condiție este convenabilă deoarece poate fi ușor verificată în practică. Mai întâi găsim f(1) și f(-1), iar apoi pentru fiecare fracție testată verificăm condiția specificată. Dacă cel puțin unul dintre numere este fracțional, atunci rădăcina polinomului f(x) nu este.

Soluţie: Prin teorema 1, rădăcinile acestui polinom ar trebui căutate printre fracțiile ireductibile ai căror numărători sunt divizori ai lui 18 și ai căror numitori sunt 8. Prin urmare, dacă fracția ireductibilă este rădăcina lui f(x), atunci p este egal cu unul dintre numere: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q este egal cu unul dintre numere

±1, ±2, ±4, ±8.

Dat fiind = , = , numitorii fracțiilor vor fi luați numai pozitivi.

Deci, următoarele numere pot fi rădăcini raționale ale acestui polinom: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Să-l folosim pe al doilea.

Deoarece f(1)=72, f(-1)=120, rezultă în special că 1 și -1 nu sunt rădăcini ale lui f(x). Acum, pentru fiecare fracție posibilă, vom verifica condițiile teoremei 2 pentru m=1 și m=-1, adică vom stabili dacă numerele sunt întregi sau fracționale: = și =

Rezumăm rezultatele într-un tabel, unde literele „c” și, respectiv, „d” înseamnă dacă un număr sau o fracție este întreg sau fracționar.

Din tabelul rezultat se poate observa că și sunt numere întregi doar în acele cazuri când este egal cu unul dintre numere: 2, -2, 3, -3, , , , .

După un corolar al teoremei lui Bezout, un număr este o rădăcină α a lui f(x) dacă și numai dacă f(x) (x-α). Prin urmare, pentru a testa cele nouă numere întregi rămase, se poate aplica schema lui Horner de împărțire a unui polinom la un binom.

2 - rădăcină.

Prin urmare avem: x=2 este o rădăcină simplă a lui f(x). Rădăcinile rămase ale acestui polinom coincid cu rădăcinile polinomului.

F 1 (x) \u003d 8x 4 + 2x 3 -73x 2 -18x + 9.

Să verificăm restul numerelor în același mod.

2 - nu rădăcină, 3 - rădăcină, -3 - rădăcină, 9 - nu rădăcină, ½ - nu rădăcină, -1/2 - rădăcină, 3/2 - nu rădăcină, ¼ - rădăcină.

Deci, polinomul f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 are cinci rădăcini raționale: (2, 3, -3, -1/2, ¼).

2. Ecuația Dacă o literă este inclusă în egalitate, atunci egalitatea se numește ecuație.
Ecuația poate fi adevărată pentru unele valori ale acestei litere
și incorectă pentru alte valori.

De exemplu, ecuația x + 6 = 7
adevărat pentru x = 1
și fals pentru x = 2 .

3. Ecuații echivalente Ecuația liniară are forma ax + by + c = 0 .
De exemplu: 5x - 4y + 6 = 0 .
Exprimă y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

5x+6

4

⇒ y = 1,25x + 1,5 .
Ecuația rezultată, care este echivalentă cu prima, are forma
y = kx + m ,
unde: x - variabilă independentă (argument);
y - variabilă dependentă (funcție);
k și m - coeficienți (parametri).

4 Ecuații echivalente

Cele două ecuații sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile tuturor soluțiilor lor coincid sau ambele nu au soluții și notează .

5/Ecuația de gradul I.

Ecuația de gradul întâi poate fi redusă la forma:

topor+b = 0,

Unde X- variabil, AȘi b sunt niște numere și A ≠ 0.

De aici este ușor să deducem valoarea X:

b
x = - -
A

Această valoare X este rădăcina ecuației.

Ecuațiile de gradul întâi au o singură rădăcină.

Ecuația de gradul doi.

Ecuația gradului al doilea poate fi redusă la forma:

ax2 + bx + c = 0,

Unde X- variabil, a, b, c sunt niște numere și A ≠ 0.

Numărul de rădăcini ale ecuației de gradul doi depinde de discriminant:

Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini;

Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină;

Daca D< 0, то уравнение корней не имеет.

O ecuație de gradul doi nu poate avea mai mult de două rădăcini.

(pentru informații despre ce este un discriminant și despre cum să găsiți rădăcinile unei ecuații, consultați secțiunile „Formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Discriminant” și „O altă modalitate de a rezolva o ecuație pătratică”).

Ecuația de gradul trei.

Ecuația gradului al treilea poate fi redusă la forma:

topor 3 + bx 2 + cx + d = 0,

Unde X- variabil, a, b, c, d sunt niște numere și A ≠ 0.

O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de trei rădăcini.

Ecuația gradului al patrulea.

Ecuația gradului al patrulea poate fi redusă la forma:

topor 4 + bx 3 + cx 2 + dx+e = 0,

Unde X- variabil, a, b, c, d, e sunt niște numere și A ≠ 0.

O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de patru rădăcini.

Generalizare:

1) ecuația a cincea, a șasea etc. grade pot fi obținute cu ușurință independent, urmând schema de mai sus;

2) ecuația n-gradul nu poate avea mai mult de n rădăcini.

6/ O ecuație cu o variabilă este o ecuație care conține o singură variabilă. Rădăcina (sau soluția) unei ecuații este valoarea variabilei la care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată.

1. 8/-11/Sisteme ecuatii lineare: Noțiuni de bază Sistem de ecuații liniare.

Sisteme inconsistente și nedefinite de ecuații liniare. Mulțime de ecuații liniare.Setul comun și incompatibil de ecuații liniare.

Sistem de ecuații liniare este uniunea de n ecuații liniare, fiecare dintre ele conține k variabile. Este scris astfel:

Mulți, când se confruntă pentru prima dată cu algebra superioară, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară, acesta este de obicei cazul, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este, în general, adevărat.

Rezolvarea unui sistem de ecuații este o succesiune de numere ( k 1 , k 2 , ..., k n), care este o soluție pentru fiecare ecuație a sistemului, adică când se substituie în această ecuație în loc de variabile X 1 , X 2 , ..., x n dă valoarea numerică corectă.

În consecință, a rezolva un sistem de ecuații înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale sau a demonstra că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu fie același, sunt posibile trei cazuri:

1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Un caz destul de rar care este ușor de detectat indiferent de metoda de rezolvare a sistemului.

2. Sistemul este consistent și definit, adică are exact o solutie. Varianta clasică, cunoscută încă de la școală.

3. Sistemul este compatibil și nu este definit, adică are infinit de solutii. Aceasta este cea mai grea varianta. Nu este suficient să afirmăm că „sistemul are un set infinit de soluții” - este necesar să descriem modul în care este aranjat acest set.

Variabil x i numit permis, dacă este inclusă într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în ecuațiile rămase, coeficientul variabilei x i ar trebui să fie egal cu zero.

Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și permis. În general, unul și același sistem inițial poate fi redus la diferite sisteme permise, dar acest lucru nu ne privește acum. Iată exemple de sisteme permise:

Ambele sisteme sunt permise cu privire la variabile X 1 , X 3 și X 4 . Totuși, cu același succes se poate argumenta că cel de-al doilea sistem este permis relativ X 1 , X 3 și X cinci . Este suficient să rescrieți ultima ecuație ca X 5 = X 4 .

Acum luați în considerare un caz mai general. Să avem totul k variabile, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:

1. Numărul de variabile permise r este egal cu numărul total de variabile k: r = k. Primim sistemul de la k ecuaţii în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este colaborativ și definit, pentru că X 1 = b 1 , X 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Numărul de variabile permise r mai mic decât numărul total de variabile k: r < k. Restul ( k − r) variabilele sunt numite libere - pot lua orice valoare din care variabilele permise sunt ușor de calculat.

Astfel, în sistemele de mai sus, variabilele X 2 , X 5 , X 6 (pentru primul sistem) și X 2 , X 5 (pentru al doilea) sunt gratuite. Cazul când există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:

Vă rugăm să rețineți: acesta este un punct foarte important! În funcție de modul în care scrieți sistemul final, aceeași variabilă poate fi atât permisă, cât și liberă. Majoritatea tutorilor matematica superioara se recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, adică indice ascendent. Cu toate acestea, nu trebuie să urmați deloc acest sfat.

Teorema. Dacă în sistem din n ecuații variabile X 1 , X 2 , ..., x r- permis și x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- gratuit, atunci:

1. Dacă setați valorile variabilelor libere ( x r + 1 = r + 1 , x r + 2 = r + 2 , ..., x k = t k) și apoi găsiți valorile X 1 , X 2 , ..., x r, obținem una dintre soluții.

2. Dacă valorile variabilelor libere din două soluții coincid, atunci și valorile variabilelor permise coincid, i.e. solutiile sunt egale.

Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile sistemului de ecuații permis, este suficient să evidențiem variabilele libere. Apoi, atribuirea variabilelor libere sensuri diferite, vom primi solutii la cheie. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.

Concluzie: sistemul de ecuații permis este întotdeauna compatibil. Dacă numărul de ecuații din sistemul permis este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit; dacă este mai mic, va fi nedefinit.

Se formează mai multe ecuații Set de ecuații

2. 12,13/ Inegalitatea liniară./ Inegalități stricte și nestrictive Ce este inegalitate? Se ia orice ecuație, semnul „=" („egal”) este înlocuit cu o altă pictogramă ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) și se obține o inegalitate.) Ecuația poate fi orice: liniară, pătrată, fracțională, exponențială, trigonometrică, logaritmică etc. etc. În consecință, vom obține inegalități liniare, pătrate etc.

Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități de pictograme Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai mic sau egal cu (≤ ) sunt numite nestrict. Pictogramă nu este egal (≠ ) stă singur, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu o astfel de pictogramă. Și noi vom.)

Pictograma în sine nu are prea mult efect asupra procesului de soluție. Dar la finalul soluției, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! După cum vom vedea mai jos, în exemple. Sunt niste glume...

Inegalitățile, ca și egalitățile, sunt credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este inegalitatea corectă. cinci < 2 este incorect.

Liniare, pătrate, fracționale, exponențiale, trigonometrice și alte inegalități sunt rezolvate în moduri diferite. Fiecare specie are propriul său fel, propria sa tehnică specială. Dar! Toate aceste tehnici speciale pot fi aplicate numai cuiva vedere standard inegalităților. Acestea. inegalitatea de orice fel trebuie mai întâi a pregati să-ți folosești metoda.

3. 14,16/Principalele proprietăți ale inegalităților/. Acțiuni cu două inegalități.

1) Dacă

2) Proprietatea tranzitivității. Dacă

3) Dacă adăugăm același număr la ambele părți ale unei inegalități adevărate, atunci obținem o inegalitate adevărată, i.e. dacă

4) Dacă orice termen este transferat dintr-o parte a unei inegalități adevărate în alta, schimbându-și semnul în opus, atunci se va obține o inegalitate adevărată, i.e. dacă

5) Dacă ambele părți ale inegalității corecte sunt înmulțite cu același lucru număr pozitiv, atunci obținem inegalitatea corectă. De exemplu, dacă

6) Dacă ambele părți ale inegalității corecte sunt înmulțite cu același număr negativ și schimba semnul de inegalitate la opus, atunci obținem inegalitatea corectă. De exemplu, dacă

7) Similar regulilor 5) și 6), se aplică regulile de împărțire la același număr. Dacă