Înălțimea paraboloidului poate fi determinată prin formula

Volumul paraboloidului care atinge fundul este egal cu jumătate din volumul cilindrului cu raza bazei R și înălțimea H, același volum ocupă spațiul W’ sub paraboloid (Fig. 4.5a)

Fig.4.5. Raportul volumelor dintr-un paraboloid care atinge fundul.

Wp - volumul paraboloidului, W' - volumul sub paraboloid, Hp - înălțimea paraboloidului

Fig.4.6. Raportul volumelor din paraboloid care ating marginile cilindrului Hp este înălțimea paraboloidului., R este raza vasului, Wzh este volumul sub înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației, z 0 este poziția vârfului paraboloidului, H este înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației.

În Fig.4.6a, nivelul lichidului din cilindru înainte de începerea rotației H. Volumul lichidului Wf înainte și după rotație se păstrează și este egal cu suma volumului Wc al cilindrului cu înălțimea z 0 plus volumul de lichid sub paraboloid, care este egal cu volumul paraboloidului Wp cu înălțimea Hp

Dacă paraboloidul atinge marginea superioară a cilindrului, înălțimea lichidului din cilindru înainte de începerea rotației H împarte înălțimea paraboloidului Hp în două părți egale, punctul inferior (sus) al paraboloidului este situat în raport cu baza (Fig. 4.6c)

În plus, înălțimea H împarte paraboloidul în două părți (Fig. 4.6c), ale căror volume sunt egale cu W 2 \u003d W 1. Din egalitatea volumelor inelului parabolic W 2 și ale cupei parabolice W 1, Fig.4.6c

Când suprafața paraboloidului traversează fundul vasului (Fig. 4.7) W 1 \u003d W 2 \u003d 0,5W a inelului

Fig. 4.7 Volume și înălțimi când suprafața paraboloidului traversează fundul cilindrului

Înălțimile din Fig.4.6

volumele din Fig.4.6.

Locația suprafeței libere în vas

Fig.4.8. Trei cazuri de repaus relativ în timpul rotației

1. Dacă vasul este deschis, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Vârful paraboloidului în timpul rotației scade sub nivelul inițial-H, iar marginile se ridică deasupra nivelului inițial, poziția vârfului

2. Dacă vasul este complet umplut, acoperit cu un capac, nu are suprafață liberă, este sub presiune în exces Po> Ratm, înainte de rotație, suprafața (PP), pe care Po = Ratm va fi deasupra nivelului capac la o înălțime h 0i = M / ρg, H 1 \u003d H + M / ρg.

3. Dacă vasul este plin, este sub vid Ro<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotație cu viteză unghiulară mare (Fig. 4.9)

Când un vas cu un lichid se rotește cu o viteză unghiulară mare, gravitația poate fi neglijată în comparație cu forțele centrifuge. Legea modificării presiunii într-un lichid poate fi obținută din formulă

(4.22),

Suprafețele plane formează cilindri cu o axă comună în jurul căreia se rotește vasul. Dacă vasul nu este umplut complet înainte de începerea rotației, presiunea P 0 va acţiona pe o rază r = r0 , în loc de expresie (4.22) vom avea

unde luăm g(z 0 - z) = 0,

Orez. 4.9 Amplasarea suprafețelor de revoluție în absența gravitației.

Raza suprafeței interioare cu H și h cunoscute

Un elipsoid este o suprafață a cărei ecuație este dreptunghiulară Sistemul cartezian coordonatele Oxyz are forma unde a ^ b ^ c > 0. Pentru a afla cum arată elipsoidul procedăm astfel. Să luăm o elipsă pe planul Oxz și să o rotim în jurul axei Oz (Fig. 46). Fig.46 Elipsoidul de suprafață rezultat. Hiperboloizi. Paraboloizi. Cilindri și un con de ordinul doi. - elipsoidul revoluției - oferă deja o idee despre cum funcționează elipsoidul vedere generala. Pentru a-și obține ecuația, este suficient să comprimați elipsoidul de revoluție în mod egal de-a lungul axei Oy cu coeficientul J ^ !, t.s. înlocuiți y în ecuația lui cu Jt/5). 10.2. Hiperboloizi Rotirea hiperbola fl i! \u003d a2 c2 1 în jurul axei Oz (Fig. 47), obținem o suprafață numită hiperboloid de revoluție cu o singură foaie. Ecuația lui este *2 + y; obţinută în acelaşi mod ca şi în cazul unui elipsoid de revoluţie. 5) Un elipsoid de revoluție poate fi obținut prin compresia uniformă a sferei +yJ + *J = n" de-a lungul axei Oz cu un coeficient ~ ^ 1. Prin compresia uniformă a acestei suprafețe de-a lungul axei Oy cu un coeficient de 2 ^ 1, se obtine un hiperboloid de o singura foaie de forma generala.Ecuatia lui este Elipsoid.Hiperboloizi Paraboloizi Se obtin cilindri si un con de ordinul doi in acelasi mod ca in cazul elipsoidului discutat mai sus.Prin rotirea hiperbolei conjugate. în jurul axei Oz, se obține un hiperboloid de revoluție cu două foi (Fig. 48) Ecuația lui este a2 C2 Prin compresia uniformă a acestei suprafețe de-a lungul axei Oy cu un coeficient de 2 ^ 1, se ajunge la un coeficient de două foi. hiperboloid de forma generala.Inlocuind y cu -y, se obtine rotatia sa ecuatiei de-a lungul axei Oy cu coeficientul yj* ^ 1, se obtine un paraboloid eliptic.Ecuatia lui se obtine din ecuatia paraboloidului de rotatie prin inlocuirea Daca, atunci noi obținem loid de forma prezentată în Fig. 50.10.4. Paraboloid hiperbolic Un paraboloid hiperbolic este o suprafață a cărei ecuație într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular Oxyz are forma suprafeței studiate, iar prin modificarea configurației curbelor plane rezultate se ajunge la o concluzie despre structura suprafeței în sine. Să începem cu secțiuni după plane z = h = const, paralel plan de coordonate Ohu. Pentru h > 0, obținem hiperbole pentru h - hiperbolele conjugate și pentru - o pereche de linii drepte.Rețineți că aceste linii sunt asimptote pentru toate hiperbolele (adică pentru orice h Φ 0). Să proiectăm curbele rezultate pe planul Oxy. Obținem următoarea imagine (Fig. 51). Deja această considerație ne permite să tragem o concluzie despre structura în formă de șa a suprafeței luate în considerare (Fig. 52). Fig.51 Fig.52 Să considerăm acum secțiuni după plane Înlocuind suprafața y cu L în ecuație, obținem ecuațiile parabolelor (Fig.53). O imagine similară apare atunci când o suprafață dată este tăiată de planuri.În acest caz, se obțin și parabole ale căror ramuri sunt îndreptate în jos (și nu în sus, ca și în secțiunea prin planuri y \u003d h) (Fig. 54) . Cometariu. Folosind metoda secțiunii, se poate înțelege structura tuturor suprafețelor de ordinul doi considerate anterior. Cu toate acestea, prin rotirea curbelor de ordinul doi și apoi strângerea uniformă a acestora, se poate ajunge la înțelegerea structurii lor mai ușor și mult mai rapid. Restul suprafețelor de ordinul doi au fost deja luate în considerare în esență. Acestea sunt cilindri: eliptin hiperbolic Fig. 56 și un parabolic și con de ordinul doi, ideea căruia poate fi obținută fie prin rotirea unei perechi de linii care se intersectează în jurul axei Oz și contracția ulterioară, fie prin metoda secțiunilor. Desigur, în ambele cazuri obținem că suprafața studiată are forma prezentată în Fig. 59. a) calculează coordonatele trucurilor; , . b) se calculează excentricitatea; . c) scrieți ecuațiile asimptotelor și directricelor; d) scrieți ecuația hiperbolei conjugate și calculați excentricitatea acesteia. 2. Scrieți ecuația canonică a parabolei dacă distanța de la focar la vârf este 3. 3. Scrieți ecuația tangentei la elipse ^ + = 1 punct de veto M(4, 3). 4. Determinați tipul și locația curbei date de ecuația: Răspunsurile sunt o elipsă, axa majoră este paralelă cu Elipsoidul. Hiperboloizi. Paraboloizi. Cilindri și un con de ordinul doi. topoare Bou; b) centrul hiperbolei O (-1,2), coeficientul unghiular al axei reale X este 3; c) parabola Y2 = , vârful (3, 2), vectorul axului îndreptat spre concavitatea parabolei este egal cu (-2, -1); d) o hiperbolă cu centru, asimptotele sunt paralele cu axele de coordonate; e) o pereche de drepte care se intersectează f) o pereche de drepte paralele

Paraboloid eliptic

Paraboloid eliptic pentru a=b=1

Paraboloid eliptic- suprafata descrisa de functia formei

,

Unde AȘi b un singur semn. Suprafața este descrisă de o familie de parabole paralele cu ramuri îndreptate în sus, ale căror vârfuri descriu o parabolă, cu ramuri îndreptate tot în sus.

Dacă A = b atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotirea unei parabole în jurul unei axe verticale care trece prin vârful parabolei date.

Paraboloid hiperbolic

Paraboloid hiperbolic pentru a=b=1

Paraboloid hiperbolic(numită în construcție „gipar”) - o suprafață în formă de șa, descrisă într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de forma

.

Din a doua reprezentare se poate observa că paraboloidul hiperbolic este o suprafață reglată.

O suprafață poate fi formată prin deplasarea unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos de-a lungul unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu condiția ca prima parabolă să fie în contact cu al doilea vârf.

Paraboloizi în lume

În inginerie

În art

În literatură

Dispozitivul descris în Hyperboloid-ul inginerului Garin trebuia să fie paraboloid.

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Elon Menachem
• Eltang

Vedeți ce este „Paraboloid eliptic” în alte dicționare:

PARABOLOID ELIPTIC Dicţionar enciclopedic mare

paraboloid eliptic- unul dintre cele două tipuri de paraboloizi. * * * PARABOLOID ELIPTIC PARABOLOID ELIPTIC, unul dintre cele două tipuri de paraboloizi (vezi PARABOLOIZI) ... Dicţionar enciclopedic

Paraboloid eliptic- unul dintre cele două tipuri de paraboloizi (vezi Paraboloizi) ... Marea Enciclopedie Sovietică

PARABOLOID ELIPTIC- suprafata neinchisa de ordinul doi. Canonic Ecuația lui E. p. are forma E. p. este situată pe o parte a planului Oxy (vezi Fig.). Secțiuni ale planurilor E. p., paralel cu planul Oxy, sunt elipse cu excentricitate egală (dacă p... Enciclopedie matematică

PARABOLOID ELIPTIC- unul dintre cele două tipuri de paraboloizi... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

PARABOLOID- (greacă, de la parabole parabola și similaritate eidos). Un corp format dintr-o parabolă rotativă. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PARABOLOID corp geometric, format din rotația parabolei, deci ...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PARABOLOID- PARABOLOID, paraboloid, masculin. (vezi parabola) (mat.). O suprafață de ordinul doi fără centru. Paraboloid de revoluție (format prin rotirea unei parabole în jurul axei sale). Paraboloid eliptic. Paraboloid hiperbolic. Dicţionar Ushakov... Dicționar explicativ al lui Ushakov

PARABOLOID- PARABOLID, o suprafață obținută prin deplasarea unei parabole, al cărei vârf alunecă de-a lungul unei alte parabole fixe (cu o axă de simetrie, axa paralela parabola în mișcare), în timp ce planul său, deplasându-se paralel cu el însuși, rămâne ... ... Enciclopedia modernă

Paraboloid- este tipul de suprafață de ordinul doi. Un paraboloid poate fi caracterizat ca o suprafață deschisă, non-centrală (adică, una fără centru de simetrie) de ordinul doi. Ecuații canonice paraboloid în coordonate carteziene: dacă unul ...... Wikipedia

PARABOLOID- suprafata necentrala neinchisa de ordinul doi. Canonic ecuatiile parabolismului: paraboloidul eliptic (pentru p = q se numeste paraboloid parabolic) si paraboloidul hiperbolic. A. B. Ivanov... Enciclopedie matematică

Paraboloidul hiperbolic aparține și suprafețelor de ordinul doi. Această suprafață nu poate fi obținută prin aplicarea unui algoritm care utilizează rotația unei linii în jurul unei axe fixe.

Un model special este folosit pentru a construi un paraboloid hiperbolic. Acest model include două parabole situate în două plane reciproc perpendiculare.

Lasă parabola I să se așeze într-un plan și să fie fixă. Parabola II comite mișcare complexă:

▫ poziţia sa iniţială coincide cu planul
, iar vârful parabolei coincide cu originea: =(0,0,0);

▫ atunci această parabolă se mișcă transfer paralel, și partea de sus
face o traiectorie care coincide cu parabola I;

▫ se consideră două poziții inițiale diferite ale parabolei II: una - ramurile parabolei în sus, a doua - ramurile în jos.

Să notăm ecuațiile: pentru prima parabolă I:
- neschimbat; pentru a doua parabola II:
– poziția inițială, ecuația mișcării:
Este ușor de înțeles că ideea
are coordonatele:
. Deoarece este necesar să se afișeze legea mișcării unui punct
: acest punct aparține parabolei I, atunci trebuie îndeplinite întotdeauna următoarele relații: =
Și
.

Din caracteristicile geometrice ale modelului, este ușor de observat că parabola în mișcare mătură oarecare suprafață. În acest caz, ecuația suprafeței descrisă de parabola II are forma:

sau→
. (1)

Forma suprafeței rezultate depinde de distribuția semnelor parametrilor
. Sunt posibile două cazuri:

unu). Semne de cantități pȘi q coincid: parabolele I și II sunt situate pe aceeași parte a planului OXY. Să acceptăm: p = A 2 Și q = b 2 . Apoi obținem ecuația suprafeței cunoscute:

→ paraboloid eliptic . (2)

2). Semne de cantități pȘi q diferite: parabolele I și II sunt situate pe părți opuse ale planului OXY. Lasa p = A 2 Și q = - b 2 . Acum obținem ecuația de suprafață:

→paraboloid hiperbolic . (3)

Nu este greu de imaginat forma geometrică a suprafeței definită de ecuația (3) dacă ne amintim de modelul cinematic al interacțiunii a două parabole implicate în mișcare.

În figură, parabola I este prezentată în mod condiționat cu roșu.Este afișată doar vecinătatea suprafeței de la origine. Datorită faptului că forma suprafeței face aluzie expresiv la o șa de cavalerie, acest cartier este adesea numit - şa .

În fizică, atunci când se studiază stabilitatea proceselor, se introduc tipuri de echilibru: stabil - o gaură, convex în jos, instabil - o suprafață convexă în sus și una intermediară - o șa. Un echilibru de al treilea tip este denumit și echilibru instabil și doar pe linia roșie (parabola I) este posibil echilibrul.

§ 4. Suprafeţe cilindrice.

Când luăm în considerare suprafețele de revoluție, am definit cea mai simplă suprafață cilindrică - un cilindru de revoluție, adică un cilindru circular.

În geometria elementară, un cilindru este definit prin analogie cu definiție comună prisme. Este destul de complex:

▫ să avem un poligon plat în spațiu
- notat ca , iar poligonul coincide cu acesta
- notat ca
;

▫ se aplică poligonului
mișcare translație paralelă: puncte
se deplasează pe traiectorii paralele cu o direcție dată ;

▫ dacă nu mai mișcați poligonul
, apoi planul său
paralel cu planul ;

▫ suprafața unei prisme se numește: o mulțime de poligoane ,
– temeiuri prisme și paralelograme
,
,... – suprafata laterala prisme.

ÎN vom folosi definiția elementară a unei prisme pentru a construi o definiție mai generală a unei prisme și a suprafeței sale, și anume, vom distinge:

▫ prisma nelimitată este un corp poliedric delimitat de muchii ,,... și planuri între aceste muchii;

▫ o prismă limitată este un corp poliedric delimitat de muchii ,,... și paralelograme
,
,...; suprafața laterală a acestei prisme este un set de paralelograme
,
,...; bazele unei prisme - un set de poligoane ,
.

Să avem o prismă nemărginită: ,,... Să intersectăm această prismă cu un plan arbitrar . Să intersectăm aceeași prismă cu un alt plan
. În secțiune obținem un poligon
. În general, presupunem că avionul
nu paralel cu planul . Aceasta înseamnă că prisma nu a fost construită prin translația paralelă a poligonului .

Construcția propusă a unei prisme include nu numai prisme drepte și înclinate, ci și orice trunchi.

În geometria analitică, vom înțelege suprafețele cilindrice într-un mod atât de generalizat încât un cilindru nelimitat include o prismă nelimitată ca caz special: trebuie doar să presupunem că un poligon poate fi înlocuit cu o linie arbitrară, nu neapărat închisă - ghid cilindru. Direcţie numit generator cilindru.

Din tot ce s-a spus, rezultă că pentru a defini o suprafață cilindrică este necesar să se stabilească o linie de ghidare și direcția generatricei.

Suprafețele cilindrice se obțin pe baza curbelor plane de ordinul 2, servind ghiduri pentru generatoare .

În etapa inițială a studierii suprafețelor cilindrice, vom face ipoteze simplificatoare:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate;

▫ direcția generatricei coincide cu una dintre axele de coordonate, adică perpendicular pe planul în care este definit ghidajul.

Restricțiile acceptate nu duc la pierderea generalității, deoarece rămâne posibil datorită alegerii secțiunilor pe planuri Și
construiți forme geometrice arbitrare: cilindri drepti, înclinați, trunchiați.

Cilindru eliptic .

Lasă elipsa să fie luată ca ghid al cilindrului :
, situat în planul de coordonate

: cilindru eliptic.

cilindru hiperbolic .

:

, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru hiperbolic.

cilindru parabolic .

Fie ca hiperbola să fie luată ca ghid al cilindrului :
situat în planul de coordonate
, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru parabolic.

cometariu: ținând cont de regulile generale de construire a ecuațiilor suprafețelor cilindrice, precum și de exemplele particulare prezentate de cilindri eliptici, hiperbolici și parabolici, observăm: construcția unui cilindru pentru orice altă generatrică, pentru condițiile simplificatoare acceptate, nu ar trebui cauza orice dificultate!

Să luăm acum în considerare condiții mai generale pentru construirea ecuațiilor suprafețelor cilindrice:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice este situat într-un plan arbitrar al spațiului
;

▫ direcția generatricei în sistemul de coordonate acceptat în mod arbitrar.

Condițiile acceptate sunt prezentate în figură.

▫ ghidaj de suprafață cilindric situat într-un plan arbitrar spaţiu
;

▫ sistem de coordonate
obtinut din sistemul de coordonate
transfer paralel;

▫ poziţia ghidajului in avion cel mai de preferat: pentru o curbă de ordinul 2, vom presupune că originea coordonatelor coincide cu centru simetria curbei luate în considerare;

▫ direcția generatricei arbitrar (poate fi specificat în oricare dintre moduri: vector, direct etc.).

În cele ce urmează, vom presupune că sistemele de coordonate
Și
Meci. Aceasta înseamnă că primul pas al algoritmului general pentru construirea suprafețelor cilindrice, reflectând translația paralelă:
→
, efectuate anterior.

Să ne amintim cum se ia în considerare transferul paralel în cazul general, luând în considerare un exemplu simplu.

Exemplul 6–13 : În sistemul de coordonate
la fel de:
=0. Scrieți ecuația acestui ghid în sistem
.

Soluţie:

unu). Indicați un punct arbitrar
: în sistem
Cum
, și în sistem
Cum
.

2). Să scriem egalitatea vectorială:
=
+
. În formă de coordonate, aceasta poate fi scrisă ca:
=
+
. Sau sub forma:
=
–
, sau:
=.

3). Să scriem ecuația ghidajului cilindrului în sistemul de coordonate
:

Răspuns: ecuația transformată a ghidului: =0.

Deci, vom presupune că centrul curbei reprezentând ghidajul cilindrului este întotdeauna situat la originea sistemului de coordonate
in avion .

Orez. ÎN . Desen de bază la construirea unui cilindru.

Să mai facem o ipoteză care simplifică pașii finali de construire a unei suprafețe cilindrice. Deoarece se utilizează rotația sistemului de coordonate, este ușor să combinați direcția axei
sisteme de coordonate
cu avion normal , și direcțiile axelor
Și
cu axe de simetrie ale ghidajului , atunci vom presupune că ca poziție inițială a ghidajului avem o curbă situată în plan
, iar una dintre axele sale de simetrie coincide cu axa
, iar al doilea cu axa
.

cometariu: întrucât executarea operațiilor de translație și rotație paralelă în jurul axei fixe a operației este destul de simplă, ipotezele făcute nu îngustează aplicabilitatea algoritmului dezvoltat pentru construirea unei suprafețe cilindrice în cazul cel mai general!

Am văzut că la construirea unei suprafețe cilindrice în cazul în care ghidajul situat în avion
, iar generatoarea este paralelă cu axa
, este suficient să definim doar ghidul .

Deoarece o suprafață cilindrică poate fi determinată în mod unic prin specificarea oricărei linii obținute în secțiunea acestei suprafețe printr-un plan arbitrar, vom adopta următorul algoritm general pentru rezolvarea problemei:

1 ▫ . Fie direcția generatricei suprafata cilindrica este data de vector . Să creăm un ghid dat de ecuația:
=0, pe un plan perpendicular pe direcția generatricei , adică în avion
. Ca urmare, suprafața cilindrică va fi specificată în sistemul de coordonate
ecuaţie:
=0.

2 ▫
în jurul axei
in colt
: sensul unghiului
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în ecuația:
=0.

3 ▫ . Aplicați rotația sistemului de coordonate
în jurul axei
in colt
: sensul unghiului destul de clar din figură. Ca rezultat al rotației, sistemul de coordonate
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în
=0. Aceasta este ecuația unei suprafețe cilindrice, pentru care a fost dat un ghid și generatrix în sistemul de coordonate
.

Exemplul de mai jos ilustrează implementarea algoritmului scris și dificultățile de calcul ale unor astfel de probleme.

Exemplul 6–14 : În sistemul de coordonate
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului la fel de:
=9. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

R
soluţie:

unu). Să proiectăm ghidajul cilindrului pe un plan perpendicular pe . Se știe că o astfel de transformare transformă un cerc dat într-o elipsă, ale cărei axe sunt: =9 și mic =
.

Această figură ilustrează proiectarea unui cerc definit în plan
la planul de coordonate
.

2). Rezultatul proiectării unui cerc este o elipsă:
=1 sau
. În cazul nostru, acesta este:
, Unde
==.

3
). Deci, ecuația unei suprafețe cilindrice din sistemul de coordonate
primit. Deoarece, în funcție de starea problemei, trebuie să avem ecuația acestui cilindru în sistemul de coordonate
, apoi rămâne de aplicat o transformare de coordonate care translată sistemul de coordonate
la sistemul de coordonate
, împreună cu ecuația cilindrului:
într-o ecuație exprimată în termeni de variabile
.

4). Să folosim de bază figura și notează toate valorile trigonometrice necesare pentru rezolvarea problemei:

==,
==,
==.

cinci). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem
la sistem
:
(ÎN)

6). Să scriem formulele pentru transformarea coordonatelor în tranziția din sistem
la sistem
:
(DIN)

7). Înlocuirea variabilelor
de la sistemul (B) la sistemul (C), și ținând cont și de valorile funcțiilor trigonometrice utilizate, scriem:

=
=
.

=
=
.

8). Rămâne să înlocuim valorile găsite Și în ecuația ghidajului cilindrului :
în sistemul de coordonate
. După finalizare cu grija toate transformările algebrice, obținem ecuația suprafeței conice în sistemul de coordonate
: =0.

Răspuns: ecuația conului: =0.

Exemplul 6–15 : În sistemul de coordonate
dată fiind ecuaţia ghidajului cilindrului la fel de:
=9, =1. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

Soluţie:

unu). Este ușor de observat că acest exemplu diferă de precedentul doar prin faptul că ghidajul a fost mutat în paralel cu 1 în sus.

2). Aceasta înseamnă că în relațiile (B) ar trebui să se ia: =-unu. Ținând cont de expresiile sistemului (C), corectăm intrarea pentru variabilă :

=
.

3). Modificarea este ușor de luat în considerare prin corectarea înregistrării finale a ecuației pentru cilindru din exemplul anterior:

Răspuns: ecuația conului: =0.

cometariu: este ușor de observat că principala dificultate în transformările multiple ale sistemelor de coordonate în problemele cu suprafețe cilindrice este precizie Și rezistenta la maratoane algebrice: traiasca sistemul de invatamant adoptat in tara noastra suferinta!

În jurul axei sale, puteți obține o eliptică obișnuită. Este un gol corp izometric, ale căror secțiuni sunt elipse și parabole. Un paraboloid eliptic este dat ca:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Toate secțiunile principale ale unui paraboloid sunt parabole. La tăierea planurilor XOZ și YOZ se obțin doar parabole. Dacă trasăm o secțiune perpendiculară în raport cu avion Xoy, puteți obține o elipsă. Mai mult, secțiunile, care sunt parabole, sunt date prin ecuații de forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Secțiunile elipselor sunt date de alte ecuații:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Un paraboloid eliptic cu a=b se transformă într-un paraboloid de revoluție. Construcția unui paraboloid are o serie de caracteristici care trebuie luate în considerare. Începeți operația prin pregătirea bazei - un desen al graficului funcției.

Pentru a începe să construiți un paraboloid, trebuie mai întâi să construiți o parabolă. Desenați o parabolă în planul Oxz, așa cum se arată. Dați viitorului paraboloid o anumită înălțime. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă, astfel încât să atingă punctele superioare ale parabolei și să fie paralelă cu axa Ox. Apoi desenați o parabolă în planul Yoz și trageți o linie dreaptă. Veți obține două plane paraboloide perpendiculare unul pe celălalt. După aceea, în planul Xoy, construiți un paralelogram care vă va ajuta să desenați o elipsă. Înscrieți o elipsă în acest paralelogram, astfel încât să atingă toate laturile sale. După aceste transformări, ștergeți paralelogramul, iar imaginea tridimensională a paraboloidului rămâne.

Există, de asemenea, un paraboloid hiperbolic care este mai mult concav decât eliptic. Secțiunile sale au și parabole și, în unele cazuri, hiperbole. Secțiunile principale de-a lungul Oxz și Oyz, precum cele ale unui paraboloid eliptic, sunt parabole. Ele sunt date prin ecuații de forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Dacă desenați o secțiune despre axa Oxy, puteți obține o hiperbolă. Când construiți un paraboloid hiperbolic, ghidați-vă de următoarea ecuație:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - ecuația paraboloidului hiperbolic

Construiți inițial o parabolă fixă ​​în planul Oxz. Desenați o parabolă în mișcare în planul Oyz. După aceea, setați înălțimea paraboloidului h. Pentru a face acest lucru, marcați două puncte pe parabola fixă, care vor fi vârfurile a încă două parabole în mișcare. Apoi desenați un alt sistem de coordonate O"x"y" pentru a reprezenta hiperbolele. Centrul acestui sistem de coordonate ar trebui să coincidă cu înălțimea paraboloidului. După toate construcțiile, desenați acele două parabole mobile menționate mai sus, astfel încât să atingă punctele extreme. a hiperbolelor.În Rezultatul este un paraboloid hiperbolic.