metrički prostor.
metrički prostor je skup u kojem je definirana udaljenost između bilo kojeg para elemenata.
Metrički prostor je par, gdje je skup ( predmet skup metrički prostor, set bodova metrički prostor), i - numerička funkcija (metrika prostor), koji je definisan na Kartezijanski proizvod i uzima vrijednosti u skupu realnih brojeva - takve da za bodove
Bilješka: Iz aksioma slijedi da je funkcija udaljenosti nenegativna, jer
Kompresovani displeji.
Kompresovana preslikavanja jedna od glavnih odredbi teorije metrički prostori o postojanju i jedinstvenosti fiksne tačke skupa pod nekim posebnim („ugovarajućim“) preslikavanjem istog u sebe. S. o. p. koriste se uglavnom u teoriji diferencijalnih i integralnih jednadžbi.
Proizvoljan prikaz I metrički prostor M u sebe, koji svakoj tački X od M poklapa se sa nekom tačkom y = ax od M, generiše u prostoru M jednačina
Ax = x. (*)
Prikaz akcije I tačka X može se protumačiti kao pomicanje u neku tačku y = ax. Dot X naziva se fiksna tačka mapiranja I ako vrijedi jednakost (*). To. pitanje rješivosti jednadžbe (*) je pitanje nalaženja fiksnih tačaka preslikavanja I.
Display I metrički prostor M u sebe se kaže da je skupljeno ako postoji pozitivan broj a< 1, что для любых точек X i at od M nejednakost
d( Axe, ay) £ a d(x, y),
gdje simbol d(u, u) označava udaljenost između tačaka u i u metričkog prostora M.
S. o. tvrdi da svako ugovoreno preslikavanje kompletnog metričkog prostora u sebe ima, štoviše, samo jedno, fiksna tačka. Osim toga, za bilo koje polazna tačka x0 od M sekvenca ( x n) određena rekurentnim odnosima
x n \u003d Sjekira n-1, n = 1,2,...,
ima fiksnu tačku kao svoju granicu X displej I. U ovom slučaju vrijedi sljedeća procjena greške:
.
S. o. n. omogućava dokazivanje važnih teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja diferencijalnih, integralnih i drugih jednačina jedinstvenom metodom. Pod uslovima primjenjivosti S. o. n. rješenje se može izračunati sa unaprijed određenom tačnošću uzastopne aproksimacije metoda.
Uz pomoć određenog izbora kompletnog metričkog prostora M i konstrukciju prikaza I ovi problemi se prvo svode na jednačinu (*), a zatim pronalaze uslove pod kojima se vrši preslikavanje I izgleda da je komprimirano.
Konvergencija preslikavanja u odnosu na ovu metriku je ekvivalentna njihovoj uniformnoj konvergenciji na cijelom prostoru.
U konkretnom slučaju kada je kompakt prostor i realna linija, dobija se prostor svih kontinuiranih funkcija na prostoru X sa metrikom uniformne konvergencije.
Da bi ova funkcija postala metrika, u prva dva prostora potrebno je identificirati funkcije koje se razlikuju po skupu mjere 0. U suprotnom, ova funkcija će biti samo semimetrija. (U prostoru funkcija koje su kontinuirane na intervalu, funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0 ionako se poklapaju.)
Modul 2.
Predavanje 17
Odjeljak 17.1. n-dimenzionalni prostor
1. Višedimenzionalni prostori
2. Koncept udaljenosti (metrika). Metrički prostor
3. Principi klaster analize
Odjeljak 17.2 Funkcija višestrukih varijabli
1. Funkcija više varijabli
2. Parcijalni derivati
3. Dvostruki integral
4. Polarne koordinate i Euler-Poissonov integral
Programske odredbe
Predavanje se bavi pitanjima vezanim za prostore dimenzije veće od dva: uvođenje koncepta udaljenosti, korištenje udaljenosti u klaster analizi, funkciju više (u našem slučaju dvije) varijabli, njenu karakterizaciju parcijalnim derivatima, kao npr. kao i proračun površine i zapremine. Koncepti funkcije dvije varijable i dvostruki integral treba da učimo slučajni vektori u teoriji vjerovatnoće. Materijal predavanja završava se izračunavanjem Euler-Poissonovog integrala, jednog od glavnih u teoriji vjerovatnoće ( neodređeni integral Gaussove funkcije se ne uzima, a u slučaju prisustva granica integracije, izračunavanje takvih integrala zahtijeva korištenje neočiglednih metoda, od kojih je jedna ovdje data).
Prije proučavanja gradiva predavanja ponoviti definiciju funkcije, derivacije, integrala.
Književnost
B.P. Demidovich, V.A. Kudryavtsev" Kratki kurs višu matematiku» Poglavlje XX (§1, 2.3,10), Poglavlje XXIV (§1, 2,3,4,7)
Pitanja za samokontrolu
1. Koji se prostor naziva n-dimenzionalnim?
2. Koje uslove mora da zadovolji udaljenost?
3. Koji prostor se zove metrički?
4. Za šta se koristi klaster analiza?
5. Šta je graf funkcije 2 varijable? Šta su linije nivoa?
6. Šta je parcijalni izvod?
7. Definirajte dvostruki integral. Kako izračunati površinu i zapreminu sa njim?
8. Pronađite rastojanje između tačaka A(1,2,3) i B(5,1,0) (koristeći različite udaljenosti)
9.Pronađi linije na nivou karakteristika
z = x + y.
10. Pronađite parcijalne izvode funkcija 
11. Pronađite površinu figure, omeđen linijama
12. Izračunajte
Odjeljak 17.1. Koncept višedimenzionalnog prostora
Definicija 17.1.1. n-dimenzionalni prostor.
Ako je pravougaoni koordinatni sistem fiksiran na ravni R2, tada postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka ravnine i svih mogućih parova brojeva (x, y) (x i y su koordinate tačaka) . Ako je sličan koordinatni sistem postavljen u prostoru, onda postoji i korespondencija jedan-na-jedan između tačaka prostora i njihovih koordinata - sve moguće trojke (x, y, z).
Udaljenost (metrička). Metrički prostor
Definicija 17.1.2
Metrički prostor ( M ,d) je skup tačaka M, na čijem je kvadratu (tj. za bilo koji par tačaka iz M) data funkcija udaljenosti (metrika). Definira se na sljedeći način:
Za bilo koje bodove x, y, z od M ova funkcija mora zadovoljiti sledeće uslove:
Ovi aksiomi odražavaju intuitivni koncept udaljenosti. Na primjer, udaljenost mora biti nenegativna, a udaljenost od x prije y isto kao i od y prije x. Nejednakost trougla znači da treba prijeći iz x prije z može biti kraće, ili barem ne duže od prvog prolaza x prije y a zatim od y prije z.
Najpoznatija nam je Euklidska udaljenost. Međutim, ovo je daleko od jedinog načina da se to postavi. Na primjer, sljedeća udaljenost će zadovoljiti gornje aksiome: d(x,y) = 1, ako x ≠ y i d(x,y) = 0, ako x = y.
Ovisno o specifičnim potrebama ili svojstvima prostora, mogu se uzeti u obzir različite metrike.
Pogledajmo neke primjere udaljenosti:
Definicije 17.1.3.
Euklidska udaljenost.Čini se da je ovo najčešći tip udaljenosti. To je jednostavno geometrijska udaljenost u višedimenzionalnom prostoru i izračunava se na sljedeći način:
d(x,y) = ( i (x i - y i) 2 ) 1/2
Imajte na umu da se Euklidska udaljenost (i njen kvadrat) izračunavaju iz originalnih podataka, a ne iz standardiziranih podataka. Ovo je uobičajeni način izračunavanja, koji ima određene prednosti (na primjer, udaljenost između dva objekta se ne mijenja kada se u analizu uvede novi objekt, koji se može pokazati kao outlier). Međutim, na udaljenosti mogu uvelike utjecati razlike između osa iz kojih se izračunavaju udaljenosti. Na primjer, ako se jedna od osi mjeri u centimetrima, a zatim je pretvorite u milimetre (množenjem vrijednosti sa 10), tada će konačna euklidska udaljenost (ili kvadrat euklidske udaljenosti) izračunata iz koordinata dramatično se mijenjaju i, kao rezultat, rezultati klaster analize mogu biti vrlo različiti od prethodnih.
Kvadrat euklidske udaljenosti. Standardna euklidska udaljenost je kvadrirana kako bi se dale veće težine udaljenijim objektima. Ova udaljenost se izračunava na sljedeći način (uključuje i napomenu o utjecaju jedinica iz prethodnog stava):
d(x,y) = i (x i - y i) 2
Udaljenost od gradskog bloka (udaljenost Manhattana). Ova udaljenost je jednostavno prosjek razlika u koordinatama. U većini slučajeva, ova mjera udaljenosti dovodi do istih rezultata kao i za uobičajenu Euklidovu udaljenost. Međutim, imajte na umu da se za ovu mjeru smanjuje utjecaj pojedinačnih velikih razlika (odstupanja) (jer nisu na kvadrat). Udaljenost Manhattana se izračunava pomoću formule:
d(x,y) = i |x i - y i |
Chebyshev distance. Ova udaljenost može biti korisna kada se želi definirati dva objekta kao "različita" ako se razlikuju u bilo kojoj koordinati (bilo kojoj jednoj dimenziji). Čebiševljeva udaljenost se izračunava po formuli:
d(x,y) = max |x i - y i |
(max znači maksimum - najveća od svih vrijednosti modula razlika)
Udaljenost snage. Ponekad se želi progresivno povećavati ili smanjivati težinu koja se odnosi na dimenziju za koju su odgovarajući objekti vrlo različiti. To se može postići upotrebom udaljenost snage. Udaljenost snage se izračunava po formuli:
d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r
gdje r i p- korisnički definirani parametri. Nekoliko primjera proračuna može pokazati kako ova mjera "funkcioniše". Parametar str odgovoran je za postepeno ponderisanje razlika preko pojedinačnih koordinata, parametar r odgovoran za progresivno ponderisanje velikih udaljenosti između objekata. Ako su oba parametra r i str, jednaki su dva, tada se ova udaljenost poklapa sa Euklidovom udaljenosti.
Glavni funkcionalni prostori
Predavanje 5
Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebarskom prirodom realni brojevi(tj. s činjenicom da formiraju polje), ali se oslanjaju samo na koncept udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.
Definicija.
Metrički prostor je par (X, p), koji se sastoji od nekog skupa (prostora) X elemente (tačke) i udaljenost, tj. jednoznačnu, nenegativnu, realnu funkciju ρ(x, y) definisano za bilo koje x i y od X i podložni sljedećim aksiomima;
1. ρ(x,y) ≥ 0 za sve x, y,
2. ρ(x, y) = 0 ako i samo ako x=y,
3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksiom simetrije),
4. ρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z)(aksiom trougla).
Sam metrički prostor, odnosno par (X, p), označavaćemo, po pravilu, jednim slovom R = (X, p).
U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam „zaliha tačaka“. X.
Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi. važnu ulogu.
1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa
dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.
2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem
formira metrički prostor R1.
3. Skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (h 1 , …, x n) sa udaljenosti
pozvao n-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor R n. Valjanost aksioma 1) - 3) za R n očigledno. Pokažimo to u R n vrijedi aksiom trougla.
Neka x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),
z = (z 1 ,…, z n);
tada se aksiom trougla zapisuje kao
Uz pretpostavku , dobijamo , dok nejednakost (2) poprima oblik
Ali ova nejednakost odmah slijedi iz dobro poznate nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky
Zaista, zbog ove nejednakosti imamo
time je dokazana nejednakost (3), a time i (2).
4. Razmotrimo isti skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (x 1 ,…, x n) ali je udaljenost definirana u njemu formulom
Valjanost aksioma je ovdje očigledna.
Zadatak. Dokazati aksiom 4.
Ovaj metrički prostor označavamo simbolom .
5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli
Valjanost aksioma 1) - 3) je očigledna.
Zadatak. Dokazati aksiom 4.
Ovaj prostor, koji označavamo sa , nije ništa manje zgodan u mnogim pitanjima analize od Euklidskog prostora R n.
Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite notacije za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se ista količina tačaka može metrizovati na različite načine.
6. Mnogi C sve kontinuirane realne funkcije definirane na segmentu , sa udaljenosti
takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) se direktno provjeravaju.
Zadatak. Dokazati aksiom 4.
Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom C, što je skup tačaka u samom ovom prostoru. Umjesto C pisaćemo jednostavno OD.
7. Označiti sa l 2 metrički prostor čije su tačke svi mogući nizovi x \u003d (x 1, ..., x n, ...) realni brojevi koji zadovoljavaju uslov,
a udaljenost je određena formulom
Iz elementarne nejednakosti slijedi da je funkcija ρ(x, y) ima smisla za sve konvergira ako
Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očigledni, a aksiom trougla ovdje ima oblik
Na osnovu onoga što je gore rečeno, svaka od tri ovdje napisane serije konvergiraju. S druge strane, za svaku n nejednakost
(vidi primjer 4). Prelazak ovdje do granice u n®∞ dobijamo (8), tj. nejednakost trougla u l 2.
8. Razmotrimo, kao u primjeru 6, kolekciju svih funkcija kontinuiranih na segmentu , ali udaljenost definiramo drugačije, naime postavljamo
Takav metrički prostor ćemo označiti Od 2 i nazovimo ga prostorom kontinuiranih funkcija s kvadratnom metrikom. Ovdje su svi aksiomi metričkog prostora očigledni, a aksiom trougla direktno slijedi iz integralnog oblika nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky
9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova x = (x 1 ,…, x n , …) realnih brojeva.
dobijamo metrički prostor, koji označavamo m. Valjanost aksioma je očigledna.
10. Skup uređenih grupa iz n realni brojevi sa rastojanjem
gdje R- bilo koji fiksni broj ≥ 1 , je metrički prostor, koji ćemo označiti .
Provjerimo aksiom 4.
Neka x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).
Neka , Tada je nejednakost
čiju valjanost moramo utvrditi poprimiće oblik
Ovo je takozvana nejednakost Minkowskog. At p=1 nejednakost Minkowskog je očigledna (modul zbira ne prelazi zbir modula), pa pretpostavljamo da p > 1.
Dokaz nejednakosti (13) za p>1 na osnovu takozvane Hölderove nejednakosti
gdje su brojevi p > 1 i q > 1 vezan uslovom
Imajte na umu da je nejednakost (14) homogena. To znači da ako je zadovoljeno za bilo koja dva vektora a = (a 1 ,…, a n), i b = (b 1 ,…, b n), onda važi za vektore λa i μb, gdje λ i μ - proizvoljnim brojevima. Stoga je dovoljno dokazati nejednakost (14) za slučaj kada
Dakle, neka je uslov (16) zadovoljen; dokazati to
Razmislite u avionu (ξ,η) kriva definisana jednadžbom η = ξ p -1 (ξ>0), ili, što je isto, po jednačini ξ p -1 (η > 0)(Sl. 1). Iz slike je jasno da je za svaki izbor pozitivne vrijednosti a i b bice S 1 + S 2 > ab. Izračunajmo površine S1 i S2:
Dakle, numerička nejednakost je tačna
Zamjena ovdje a on |a k | i b on |b k | i sumiranje završeno k od 1 do n, dobijamo, uzimajući u obzir (15) i (16),
Dokazana je nejednakost (17) i, posljedično, opća nejednakost (14).
At p = 2 Hölderova nejednakost (14) pretvara se u nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (4).
Sada prelazimo na dokaz nejednakosti Minkowskog. Da biste to učinili, razmotrite identitet
Zamjena u pisanom identitetu a on a k i b on b k i sumiranje završeno k od 1 prije n dobijamo
Primjenjujući sada na svaki od dva zbira na desnoj Hölderovoj nejednakosti i uzimajući u obzir da (p - 1)q = p, dobijamo x(t) , dobijamo
Dakle, dokazano je da formula (18), koja određuje udaljenost u lp, zaista ima smisla za bilo koji . Istovremeno, nejednakost (19) pokazuje da u lp aksiom trougla je ispunjen. Preostali aksiomi su očigledni.
Neograničen broj daljnjih primjera daje sljedeći trik. Neka R = (X, p)- metrički prostor i M- bilo koji podskup u X. Onda M sa istom funkcijom ρ(x, y), za koji sada smatramo definisanim x i at od M, je također metrički prostor; naziva se podprostor prostora R.
1. Prostor izolovanih tačaka.
Proizvoljan skup i
2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem formira metrički prostor.
3. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa naziva se - dimenzionalni aritmetički euklidski prostor.
Dokaz.
Da bi se dokazalo da je prostor metrički, potrebno je provjeriti zadovoljivost aksioma.
Neka , , .
, , …, , tj.
A3. Provjerimo da li vrijedi aksiom trougla. Zapisujemo aksiom u obliku:
Uz pretpostavku , , Dobivamo i .
Za dokazivanje ove nejednakosti koristi se nejednakost Cauchy–Bunyakovsky.
stvarno,
Dakle, aksiom trougla je zadovoljen, a skup koji se razmatra sa datom metrikom je metrički prostor.
Q.E.D.
4. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .
5. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .
Primjeri 3, 4 i 5 pokazuju da se ista količina bodova može različito mjeriti.
6. Skup svih kontinuiranih realnih funkcija definiranih na segmentu s udaljenosti . Ovaj metrički prostor se označava kao skup tačaka u samom prostoru: . Konkretno, umjesto pisanja.
7. Označava metrički prostor čije su tačke svi mogući nizovi realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet , a metrika je definirana formulom .
Dokaz.
Pošto, ima smisla za sve. One. serija konvergira ako i .
Hajde da pokažemo šta zadovoljava aksiome.
Aksiomi 1, 2 su očigledni. Aksiom trougla ima oblik:
Svi nizovi su konvergentni.
Nejednakost je tačna za svakoga (vidi primjer 3). Za , Dobijamo nejednakost za .
Q.E.D.
8. Razmotrimo skup svih funkcija koje su kontinuirane na intervalu i . Takav metrički prostor se označava i naziva prostor neprekidnih funkcija s kvadratnom metrikom.
9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova realnih brojeva. Hajde da definišemo. Ovaj metrički prostor je označen sa .
10. Skup uređenih grupa realnih brojeva s udaljenosti , gdje je bilo koji fiksni broj , je metrički prostor označen sa .
Metrika razmatrana u ovom primjeru pretvara se u euklidsku metriku na (vidi primjer 3) i u metriku iz primjera 4 na . Može se pokazati da je metrika (vidi primjer 5) granični slučaj .
11. Razmotrimo sve moguće nizove realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet , gdje je neki fiksni broj, a udaljenost je određena formulom . Imamo metrički prostor.
12. Neka - skup svih beskonačnih nizova - kompleksni brojevi. Hajde da definišemo. Imamo metrički prostor.
definicija: Neka biti metrički prostor i biti bilo koji podskup od . Zatim s istom funkcijom , koja je sada definirana za , je metrički prostor, koji se zove podprostor prostori.
Osnovni koncepti
Označite metrički prostor sa .
definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove fundamentalno, ako svaki odgovara broju takav da je nejednakost vrijedi za bilo .
definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove konvergirajući, ako postoji takav da svakom odgovara broj takav da je nejednakost istinita za sve. Onda zove limit sekvence.
Teorema: Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.
Dokaz.
Doista, ako i , Tada . Budući da i , Tada , tj. .
Teorema je dokazana.
definicija: Kompletan metrički prostor naziva se metrički prostor u kojem konvergira svaki osnovni niz.
Teorema: metrika kao funkcija dva argumenta je kontinuirana funkcija, tj. ako i , onda .
dokaz:
Neka , , , .
Po nejednakosti trougla:
Iz (1) dobijamo:
Iz (2) dobijamo:
kao ,
Označimo .
AT metrički prostor može se uzeti u obzir razni setovi, susjedstva tačaka, granične tačke i drugi koncepti klasične analize.
definicija: Ispod susjedstvo tačke podrazumevaju skup koji sadrži otvorenu kuglu poluprečnika sa centrom u tački , tj.
definicija: Tačka se zove granična tačka za skup ako bilo koje susjedstvo točke sadrži barem jednu točku iz , koji je različit od .
definicija: Tačka se zove unutrašnja tačka skupova ako je uključen zajedno sa nekim svojim susjedstvom .
definicija: Skup se zove otvoren ako se sastoji samo od unutrašnjih tačaka. Skup se zove zatvoreno samo po sebi ako sadrži sve svoje granične tačke.
Metrički prostor je zatvoren.
Podprostori mogu biti i nezatvoreni podskupovi.
Ako spojimo sve njegove granične točke, onda ćemo dobiti zatvaranje .
definicija: Skup koji leži u metričkom prostoru naziva se zatvoreno, ako se poklapa s njegovim zatvaranjem: .
Zatvoren set, ima najmanje zatvoren set koji sadrže .
definicija: Neka . Skup se zove gusto u ako . Skup se zove svuda gusto, ako . Skup se zove nigdje gusto unutra, ako je lopta , postoji još jedna lopta slobodna od poena u setu .
definicija: Prostor se naziva odvojivim ako sadrži svuda gust prebrojiv skup.
U matematičkoj analizi važnu ulogu igra svojstvo potpunosti realne prave, odnosno činjenica da bilo koji fundamentalni niz realnih brojeva konvergira do određene granice (Cauchyjev kriterij konvergencije).
Brojevna prava je primjer potpunih metričkih prostora.
Prostori izolovanih tačaka, , , , , , su potpuni metrički prostori.
Prostor nije kompletan.
U analizi je tzv lema o ugniježđenom segmentu :
Neka je sistem ugniježđenih segmenata. Zatim za segment imamo .
To znači da svi segmenti iz skupa imaju zajedničku tačku.
U teoriji metričkih prostora, teorema o ugrađenim kuglicama ima sličnu ulogu.
Teorema: Da bi metrički prostor bio potpun, potrebno je i dovoljno da u njemu bilo koji niz kuglica ugniježđenih jedna u drugu, čiji radijusi imaju neprazan presek.
dokaz:
Nužnost:
Neka je kompletan metrički prostor i neka je niz ugniježđenih zatvorenih kuglica.
Neka biti polumjer i biti centar lopte.
Niz centara je fundamentalan, budući da na , i na . Budući da je - kompletan, onda . Recimo onda. Zaista, lopta sadrži sve točke niza , s mogućim izuzetkom bodova . Dakle, tačka je dodirna tačka (granična tačka) za svaku loptu. Ali budući da je zatvoren skup, onda .
Adekvatnost:
Neka je osnovni niz. Hajde da dokažemo da ima granicu. Zbog toga što smo fundamentalni, možemo odabrati tačku u nizu tako da je za sve . Uzmimo točku kao centar zatvorene lopte polumjera . Označimo ovu loptu kao . , ugniježđene jedna u drugu, i lopta - neka zatvorena lopta radijusa sadrži neku tačku po završetku
Do sada, govoreći o udaljenosti, uvijek smo mislili na Euklidsku udaljenost. Dakle, udaljenost između vektora definirali smo kao dužinu vektora, naime:
Ali udaljenosti se mogu izračunati na drugi način, koristeći različite mjere dužine. Na primjer, razmotrite pojednostavljenu kartu grada u obliku pravokutne mreže dvosmjernih ulica. Tada adekvatna mjera dužine može biti najkraća udaljenost koju treba savladati da bi se došlo od jedne raskrsnice do druge. Ponekad se ova udaljenost naziva Manhattan.
Umjesto nabrajanja svih vrsta mjera dužine, od kojih nam većina neće biti potrebna, sada ćemo razmotriti zahtjeve (aksiome) koje proizvoljna mjera dužine mora zadovoljiti. Sve naknadne teoreme udaljenosti će se dokazati u okviru ovih aksioma, odnosno u većini opšti pogled. U matematici je uobičajeno koristiti izraz metrika umjesto izraza "mjera dužine".
metrika.
metrika na skupu X je realna funkcija d(x, y) definirana na proizvodu x i koja zadovoljava sljedeće aksiome:
b) podrazumijeva
d) za sve (nejednakost trougla).
Par se zove metrički prostor.Dokaz da euklidska udaljenost zadovoljava aksiome (a), (b) i (c) je trivijalan. Nejednakost trokuta:
dokazali smo u § 3.1 (Teorema 3.1.2). Dakle, Euklidska udaljenost je metrika, koju ćemo od sada zvati Euklidska metrika.
Razmotrimo jednu važnu klasu metrike u prostoru, naime klasu -metrike. -metric je generalizacija euklidske metrike i poklapa se s njom za . Za p-metriku je definirana kako slijedi:
Ostavićemo bez dokaza sledeću činjenicu:
Dokaz da je -metrika zaista metrika, tj. zadovoljava aksiome koje takođe izostavljamo. Djelomično, ovo pitanje je uključeno u vježbe.
Imajte na umu da u definiciji metrike nismo zahtijevali da elementi x i y pripadaju prostoru . Ovo nam omogućava da definiramo skup X, kao i njegove elemente x, y, itd., na mnogo različitih načina. Naš zadatak je da ukažemo pod kojim uslovima fraktalna konstrukcija konvergira. Da biste to učinili, morate biti u mogućnosti izmjeriti udaljenost između kompaktnih skupova, odnosno morate odrediti odgovarajuću metriku.
Teorija skupova u metričkim prostorima.
Moramo napraviti veliki korak naprijed i proširiti teorijske definicije iz odjeljka 3.1, koje su podrazumijevale euklidsku metriku, na proizvoljne metrike. Otvorena lopta u metričkom prostoru (X, d) definirana je na sljedeći način:
Uzimajući u obzir (3.4), možemo ostaviti nepromijenjene gornje definicije sljedećih pojmova:
Na primjer, skup je otvoren skup ako i samo ako je za bilo koji moguće specificirati otvorenu loptu (u smislu definicije (3.4)), koja je sadržana u E. Sve definicije su uključene u listu bez promjena, osim koncepta kompaktnosti. Rigorozna definicija kompaktnog skupa u proizvoljnom metričkom prostoru data je u App. S obzirom da nas uglavnom zanima kompaktnost podskupova prostora, gore navedena definicija (zatvorenost i ograničenost) ostaje važeća.
Ako je metrika na skupu X, a onda je realna funkcija jedan-na-jedan
postoji i metrika na X. Aksiomi (a) i (c) su očigledno zadovoljeni. zadovoljava aksiom (b), budući da je funkcija jedan-na-jedan. Aksiom (d) se može napisati kao nejednakost:
to jest klasična nejednakost trougla za realne brojeve. Primjer ovako definirane metrike:
Za dvije metrike, definirane na skupu X, kaže se da su ekvivalentne ako se može specificirati tako da:
Može se pokazati da su bilo koje dvije -metrike u prostoru gdje su ekvivalentne (slučaj je razmotren u vježbi 3 na kraju ovog odjeljka). S druge strane, metrike na skupu R nisu ekvivalentne (Primjer 4 na kraju ovog odjeljka).
Očigledno, glavna posljedica ekvivalencije metrike za teoriju fraktala je činjenica da je fraktalna dimenzija (poglavlje 5) očuvana kada se metrika zamijeni ekvivalentnom. Štaviše, ako je skup otvoren (zatvoren) u jednoj metrici, onda je i otvoren (zatvoren) u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Nadalje, ako je skup omeđen jednom metrikom, onda je omeđen u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Isto vrijedi i za savršene, povezane i potpuno diskontinuirane skupove.
Konvergencija.
Neka je metrika na skupu X. Niz tačaka metričkog prostora X konvergira do granice u metrici d ako niz brojeva konvergira na nulu u uobičajenom smislu, odnosno ako:
Ovdje se ekvivalencija metrike izražava na sljedeći način. Ako su metrika ekvivalentna, onda u -metrici ako i samo ako je u -metrici, jer:
Ako je tako, i obrnuto.
Kontinuitet.
Znam matematička analiza funkcija definirana na X naziva se kontinuiranom u tački if.