Gotovo svi znaju kako izgleda simbol beskonačnosti, koji podsjeća na obrnutu osmicu. Ovaj znak se još naziva i "lemniskate", što na starogrčkom znači vrpca. Zamislite da je simbol beskonačnosti vrlo sličan matematičkoj figuri iz stvarnog života. Upoznajte Moebius Strip!

Šta je Möbius traka?

Mobius traku(ili se još naziva i Mobijusova petlja, Mobijus traka, pa čak i Mebijusov prsten) jedna je od najpoznatijih površina u matematici. Möbiusova petlja je petlja s jednom površinom i jednim rubom.

Da shvatimo šta je u pitanju i kako to može biti, uzmi list papira, izrežite pravougaonu traku i u trenutku spajanja njenih krajeva jednu od njih uvrnite za 180 stepeni, a zatim je spojite. Slika ispod će vam pomoći da shvatite kako napraviti Mobius traku.

Šta je tako izvanredno u vezi sa Möbius trakom?

Mobius traku- primjer neorijentibilne jednostrane površine s jednim rubom u uobičajenom trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Većina objekata se može orijentirati, imaju dvije strane, kao što je list papira.

Kako onda Möbiusova traka može biti neorijentisana, jednostrana površina - reći ćete, jer papir od kojeg je napravljen ima dvije strane. I pokušate da uzmete marker i popunite jednu stranu trake bojom, na kraju ćete pogoditi početnu poziciju, a cela traka će biti potpuno prefarbana, što potvrđuje da ima samo jednu stranu.

Da biste vjerovali da Möbiusova petlja ima samo jednu ivicu - klizite prstom duž jedne od ivica trake bez prekida, i vi ćete, baš kao i u slučaju bojenja, pogoditi tačku od koje ste krenuli. Neverovatno, zar ne?

Proučavanjem Möbiusove trake i mnogih drugih zanimljivih objekata bavi se - topologija, grana matematike koja istražuje nepromjenjive osobine objekta tokom njegove kontinuirane deformacije - istezanje, kompresiju, savijanje, bez narušavanja integriteta.

Otkriće Augusta Möbiusa

Nemački matematičar je prepoznat kao "otac" ove neobične trake August Ferdinand Möbius, Gaussov učenik, koji je napisao više od jednog rada o geometriji, ali je postao poznat uglavnom po otkriću jednostrane površine 1858. godine.

Iznenađujuća je činjenica da je traku s jednom površinom iste 1858. godine otkrio drugi Gaussov učenik - talentirani matematičar Johann Listing, koji je skovao termin "topologija" i napisao niz fundamentalnih radova o ovoj grani matematike. Međutim, neobična traka je ipak dobila ime po imenu Möbius.

Uvriježeno je vjerovanje da je prototip modela "beskonačne petlje" krivo ušivena traka služavke profesora Augusta Möbiusa.

Zapravo, traka je otkrivena davno u antički svijet. Jedna od potvrda je i antički rimski mozaik koji se nalazi u Francuskoj, u muzeju grada Arla, sa istom tordiranom vrpcom. Prikazuje Orfeja kako očarava životinje uz zvuke harfe. Na pozadini se više puta prikazuje ornament s tordiranom vrpcom.

"Magija" Möbiusove trake

1. Uprkos očiglednom prisustvu dve strane Möbius trake, u stvari postoji samo jedna strana i neće uspeti da se traka oboji u dve boje.
2. Ako olovkom ili olovkom povučete liniju duž cijele dužine petlje, a da ne skidate ruku s lista, olovka će se na kraju zaustaviti na tački od koje ste počeli crtati liniju;
3. Presijecanjem vrpce stiču se izvanredna iskustva koja mogu iznenaditi i odraslu osobu, a posebno dijete.

• Prvo, zalijepite Möbius traku, kao što je ranije opisano. Zatim ga isječemo po cijeloj dužini tačno na sredini, kao što je prikazano u nastavku:

Bit ćete prilično iznenađeni rezultatom, jer suprotno očekivanjima, u vašim rukama neće ostati dva komada trake, pa čak ni dva odvojena kruga, već još jedna, još duža traka. Ovo više neće biti Mobiusova traka uvijena za 180 stepeni, već traka sa rotacijom od 360 stepeni.

• Sada ćemo provesti još jedan eksperiment - napravit ćemo još jednu Mobiusovu petlju, nakon čega ćemo izmjeriti 1/3 širine trake i odrezati je duž ove linije. Rezultat će vas još više oduševiti - u vašim će rukama ostati dvije zasebne trake različitih veličina, povezane zajedno, kao u lanac: jedna mala traka, a druga duža.

Manja Möbiusova traka će imati 1/3 originalne širine trake, dužine L i rotirana za 180 stepeni. Druga duža vrpca također će biti 1/3 široka od originalne, ali duga 2L i rotirana za 360 stepeni.

• Eksperiment možete nastaviti dalje, rezati rezultirajuće trake na još uže, rezultat ćete vidjeti sami.

Zašto nam je potrebna Mobiusova petlja? Aplikacija

Möbiusova traka uopće nije apstraktna figura, potrebna samo za potrebe matematike, već je našla primjenu i u stvarnom svakodnevnom životu. Po principu ovog pojasa, na aerodromu radi pojas koji pomiče kofere iz prtljažnika. Ovaj dizajn omogućava da traje duže zbog ujednačenog trošenja. Otkriće Augusta Möbiusa ima široku primjenu u industriji alatnih mašina. Dizajn se koristi za duže vreme snimanja na film, kao i kod štampača koji pri štampanju koriste traku.

Zbog svoje vidljivosti, Möbiusova petlja omogućava savremenim naučnicima da dođu do sve više novih otkrića. Od otkrića nevjerovatnih svojstava petlje, svijet je zapljusnuo val novih patentiranih izuma. Na primjer, značajno poboljšanje svojstava magnetnih jezgri napravljenih od feromagnetne trake namotane Mobiusovom metodom.

N. Tesla je dobio patent za višefazni sistem naizmjenične struje, koji koristi namotaje namotaja generatora poput Mobiusove petlje.

Američki naučnik Richard Davis dizajnirao je nereaktivni Moebiusov otpornik - sposoban da priguši reaktivni (kapacitivni i induktivni) otpor bez izazivanja elektromagnetnih smetnji.

Mobius traka - široko polje za inspiraciju

Teško je procijeniti značaj otkrića Mebiusove petlje, koje je inspirisalo ne samo veliki broj naučnika, već i pisce i umjetnike.

Najpoznatije djelo posvećeno Möbiusovoj traci je slika Moebiusova traka II, Crveni mravi ili Crveni mravi holandskog grafičara Mauritsa Eschera. Na slici se vide mravi koji se penju uz Moebiusovu petlju sa obe strane, u stvari postoji samo jedna strana. Mravi puze u beskrajnoj petlji jedan za drugim po istoj površini.

Umjetnik je svoje ideje crpio iz članaka i radova o matematici, bio je duboko fasciniran geometrijom. S tim u vezi, njegove litografije i gravure često sadrže različite geometrijske oblike, fraktale, zapanjujuće optičke iluzije.

Do sada je interesovanje za Möbiusovu petlju na veoma niskom nivou. visoki nivo, čak su i sportisti predstavili istoimenu akrobatsku figuru.

Više od jednog filma snimljeno je prema djelu Möbius Strip pisca naučne fantastike Armina Deutscha. U obliku Mobiusove petlje stvara se veliki izbor nakita, cipela, skulptura i mnogih drugih predmeta i oblika.

Möbiusova traka ostavila je traga u proizvodnji, dizajnu, umjetnosti, nauci, književnosti i arhitekturi.

Umovi mnogih ljudi bili su zabrinuti zbog sličnosti oblika DNK molekula i Möbiusove petlje. Postojala je hipoteza koju je iznio sovjetski citolog Navašin da je oblik prstenasti hromozom po strukturi slična Möbiusovoj traci. Ovu ideju naučnika potaknula je činjenica da se prstenasti hromozom, umnožavajući, pretvara se u duži prsten nego na samom početku, ili u dva mala prstena, ali kao u lancu navučenom jedan u drugi, što vrlo podsjeća na gore opisane eksperimente s Möbiusovom trakom.

2015. godine grupa naučnika iz Evrope i Sjedinjenih Država uspela je da se okrene svjetlo u Möbiusovom prstenu. U naučnom eksperimentu naučnici su koristili optička sočiva i strukturirano svjetlo - fokusirani laserski snop sa unaprijed određenim intenzitetom i polarizacijom u svakoj tački njegovog kretanja. Kao rezultat, dobivene su lagane Möbius trake.

Postoji još jedna veća teorija. Univerzum je ogromna Mobiusova petlja. Ajnštajn se držao ove ideje. On je sugerisao da je svemir zatvoren, i svemirski brod, polazeći od određene tačke i leteći pravo sve vreme, vratiće se u istu tačku u prostoru i vremenu od koje je počelo njegovo kretanje.

Za sada su to samo hipoteze koje imaju i pristalice i protivnike. Ko zna kakvo će otkriće dovesti naučnike, čini se, do tako jednostavnog objekta kao što je Möbiusov pojas.

Opštinski budžet obrazovne ustanove srednja škola sa produbljenim izučavanjem individual

stavke sa. Terbuny

Mobius traku

Završila: Čepurina Ana Vitalijevna,

Učenik 10. razreda

Rukovodilac: Kirikova M.A,

prvi nastavnik matematike

kvalifikacionu kategoriju

s.Terbuny

2015

Uvod……………………………………………………………………………………………………………. ............ .....3

Istorijat ……………………………………………4

Möbiusova traka je početak nove nauke o topologiji.........................5

Izrada Möbiusove trake ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Eksperimenti sa Möbius trakom ........................................................ .. .................devet

Topološka svojstva Möbiusove trake ……………………..11

Teoreme Möbiusove trake……………………………………………… .12

Trikovi sa Mobius trakom…………………………………………15

Primjena Möbiusove trake………………………………………..16

Zaključak................................................................ ................................................23

Spisak referenci ................................................................. ............................... .25

Dodatak

Uvod

U naše vrijeme relevantno je proučavanje različitih svojstava i nestandardnih primjena neobičnih figura.

Jeste li ikada čuli za Möbius traku? Kako se to može napraviti, kako je povezano sa matematikom i gdje se primjenjuje u životu.

Radeći ovaj rad, došao sam do zaključka da iako je Möbiusova traka otkrivena još u XΙX veku, ona je bila relevantna u XX veku i u XXΙ. Neverovatna svojstva Möbius trake su korišćena i koriste se u kulinarstvu, tehnologiji, fizici, slikarstvu, arhitekturi, nakitu i bižuteriji. Inspirisao je rad mnogih pisaca i umjetnika.

Interes za Möbius traku nije jenjavao ni danas. U septembru 2006. godine u Moskvi je održan Festival umjetničke matematike. Izlaganje profesora iz grada Tokija dočekano je sa velikim uspjehom.

Bila sam veoma zainteresovana, zaintrigirana ovom temom. Proučavao sam literaturu, zatim sam napravio Möbiusovu traku, a onda sam vodio istraživanja, eksperimentisao, proučavao njena magična, izvanredna svojstva.

Möbiusova traka je komad papira čiji je jedan kraj okrenut za pola okreta (tj. 180 stepeni) i zalijepljen na drugi kraj. Milioni ljudi u svim dijelovima svijeta nisu ni svjesni da svakodnevno koriste Möbiusovu traku.

Target : reci i pokaži kolegama iz razreda da izgleda kao obična okrenuta traka

pola okreta sa zalijepljenim krajevima, može sadržavati mnogo

iznenađenja.

Predmet studija: Möbius traka.

Zadaci: identificirati izvore i literaturu na tu temu i analizirati ih;

upoznati se sa istorijom nastanka Möbiusove trake;

naučiti kako napraviti Möbius traku;

proučavati različita svojstva Möbiusove trake;

Radeći na temi, koristio sam sljedeće metode: analiza, sinteza,

posmatranje, eksperiment, poređenje i sociološko istraživanje.

POGLAVLJE I

"Möbiusova traka - početak nove nauke"

1. 1. Istorijska pozadina

Tajanstvenu i čuvenu Möbiusovu traku izmislio je 1858. njemački geometar.August Ferdinand Möbius . Kažu da je služavka pomogla Möbiusu da otvori svoj "list" pogrešno zašivši krajeve duge trake. Sedam godina je čekao na razmatranje svog rada i, ne čekajući, objavio njegove rezultate.

Istovremeno sa Möbiusom, ovaj list je izumio još jedan učenik K. F. Gaussa -Johann Benedict Listing, profesor na Univerzitetu u Getingenu. Svoje je djelo objavio tri godine ranije od Möbiusa, 1862. A. F. Möbius je rođen u gradu Schulpfort. Neko vrijeme, pod vodstvom K. Gaussa, studirao je astronomiju. Počeo je da sprovodi nezavisna astronomska posmatranja u opservatoriji Pleisenburg 1818. postao njegov direktor. U to vrijeme matematika nije bila podržana, a astronomija je davala dovoljno novca da se o njoj ne razmišlja, a ostavljala je vremena za vlastita razmišljanja. Pošto je postao profesor na Univerzitetu u Lajpcigu, od 1816. godine, Mebius je prvi uveo projektivnu geometriju, koordinatni sistem i analitičke metode istraživanja; utvrdili postojanje jednostranih površina (Möbiusovih traka), poliedara, za koje je neprimjenjiv "zakon ivica" i koji nemaju volumen. Möbius je jedan od osnivača teorije geometrijskih transformacija, kao i topologije. Dobio je važne rezultate u teoriji brojeva (Möbiusova funkcija) i postao jedan od najvećih geometara svog vremena.

1.2. Möbiusova traka - početak nove nauke o topologiji

Od trenutka kada je njemački matematičar A. F. Möbius otkrio postojanje nevjerovatnog jednostranog lista papira, počela se razvijati potpuno nova grana matematike koja se zove topologija. Termin "topologija" može se odnositi na dvije grane matematike. Jedna topologija, čiji je predak bio Poincaré, dugo se nazivala kombinatornom. Drugi, u čijem je porijeklu bio njemački naučnik Georg Cantor, dobio je naziv opći ili teoretski skup.

Kombinatorna topologija je grana geometrije. “Geometrija” je grčka riječ, u prijevodu na ruski znači “premjeravanje”, (“geo” - na grčkom - zemlja, a "metreo" - mjera) proučava svojstva figura. Kao i svaka nauka, geometrija je podijeljena na dijelove.

1. Planimetrija (latinska riječ, "planum" - površina + geometrija), dio geometrije koji proučava svojstva figura na ravni (trokut, kvadrat, krug, krug, itd.)

2. Stereometrija (grčki, "stereos" - prostor + metrika) - dio geometrije koji proučava svojstva figura u prostoru (lopta, kocka, paralelepiped, itd.)

3. Topologija (grč. "topos" - mjesto, oblast + logika) je jedan od "najmlađih" odjeljaka moderne geometrije, koji proučava svojstva takvih figura koje se ne mijenjaju ako su savijene, rastegnute, stisnute, ali ne i zalijepljene. i ne kidaju se, tj. ne mijenjaju se deformacijama. Primjeri topoloških objekata su: slova I i H, tanki dugi baloni.

Kombinatorna topologija proučava svojstva geometrijski oblici, koji ostaju nepromijenjeni pod jedan-na-jedan i kontinuiranim preslikavanjima. Dugo vrijeme topologija se doživljavala kao nauka daleko od života, dizajnirana samo da "veliča ljudski um". Ali u naše vrijeme se pokazalo da je to najdirektnije povezano s objašnjenjem strukture svemira.

Opća topologija je povezana sa teorijom skupova i leži u osnovi matematike. Ovo aksiomatska teorija, dizajniran da istražuje koncepte kao što su "granica", "konvergencija", "kontinuitet" itd. Osnove aksiomatike topološkog prostora postavio je Feliks Hausdorf, a dovršio ruski matematičar Pavel Sergejevič Aleksandrov.

1.3. Kako se pravi Möbius traka?

● Möbiusova traka je jedno od (matematičkih iznenađenja).Da biste napravili Möbiusovu traku, uzmite pravokutnu traku ABCD, okrenite ga za 180 stepeni i zalijepite suprotne strane AB iCD, tj. pa tačke A iC i bodova D i V.

Pogledajte aplikaciju. jedanaest.

● Oblici i veličine papirne trake za Möbius traku.

Traka treba da bude uska i duga, sa najvećim mogućim omjerom dužine i širine. Ne možete napraviti Möbiusovu traku od kvadratnog lista. To je istina, ali ne treba potcijeniti činjenicu da su ograničenja veličine bitna kada se papir ne sme gužvati. Ako nije zabranjeno zgužvati papir, onda se Möbius traka može lijepiti ne samo s kvadrata, već i iz pravokutnika bilo koje veličine - zalijepljene stranice mogu biti čak i više puta duže od neljepljenih.

● Površina za razvrtanje.

Pošto je zahtjev da se papir ne gužva važan, da vidimo koje je njegovo matematičko značenje.

Lako je shvatiti da zabrana bora uvelike ograničava

sposobnost manipulisanja papirom. Na primjer, list papira se može saviti u cijev ili presavijati na pola bez gužvanja, ali se ne može saviti na četiri. Možete napraviti konus od lista papira, a da ga ne zgužvate, ali ne možete napraviti kuglu ili čak komad od njega: pritisnite list papira na globus i bore će se sigurno pojaviti. Kao što vidite, ne može se svaki oblik dati listu papira. Pogledajte aplikaciju. 2.

Površine koje se mogu napraviti od lista papira savijanjem, ali ne i drobljenjem, matematičari nazivaju nesklopivim površinama. U matematici se razvijajuće površine različito definiraju: u metamatematičkom jeziku riječi “papir”, “zgužvati”, “napraviti” su odsutne. Postoji cijelu teoriju razmjenjive površine, čija postignuća uključuju zadovoljavajući odgovor na pitanje šta mogu biti; matematičari to nazivaju "klasifikacijom" (odgovor je dobio Leonardo Euler). Predstavimo samo neka svojstva razvojnih površina kao eksperimentalne činjenice.

Pogledajte aplikaciju. 3

1. Kroz svaku tačku A razvojne površine koja ne leži na njenoj granici, prolazi segment koji leži na površini koji se ne završava na A. Drugim riječima, svaka tačka može biti pričvršćena za površinu koja se razvija (zakrivljena, ali ne zgužvani list papira) tako da se na nekoj udaljenosti nalijegao na površinu s obje strane uzete točke. Takav segment se naziva generatrisa površine (slažemo se da se ovaj naziv odnosi samo na segmente maksimalna dužina koja u potpunosti leži na površini, odnosno na segmente koji se ne nalaze u velikim segmentima sa ovim svojstvom).

2. Ako dva različita generatora prolaze kroz tačku A koja ne leži na granici površine, a A nije kraj nijednog od njih, tada je dovoljno mali komad površine oko A ravan. U ovom slučaju, tačka A će se zvati ravna.

3. Ako je tačka A, koja ne leži na granici površine, kraj neke generatrike, recimo,ali , tada je susjedstvo tačke A uređeno na sljedeći način: jedini generator koji se u njoj ne završava prolazi kroz tačku A, recimob . Ova generatriksa dijeli površinu na dva dijela. Sa druge strane generatriseb , sa kojim se nalazi generatriksaa , na generatricu b susjedni ravni komad, s druge straneb , proizvoljno iz tačke A, postoje neravne tačke. Tačku A u ovoj situaciji ćemo nazvati poluravnom.

Naglašavamo da ako tačka površine nije ni granična ni ravna, onda kroz nju prolazi jedina generatrisa koja se ne završava na nju, a krajevi te generatrike leže na granici površine.

●Primjeri: List papira umotan u cilindar ili u konus nema ravnih (ili poluravnih) tačaka. Za cilindar, generatori čine porodicu paralelnih segmenata, za konus, porodicu segmenata koji se šire iz jedne tačke. Mogući su složeniji rasporedi generatora.

Pogledajte aplikaciju. 4 .

Na primjer, generatrise i ravne tačke površine u razvoju prikazane su na slici (na kojoj je površina rasklopljena u ravan list papira): tanke linije su generatori, a popunjena područja se sastoje od ravnih tačaka.

Tačke koje leže na granici područja ravnih tačaka su ili granice za cijelu površinu ili poluravne. Ako je površina napravljena od papirnatog poligona (recimo, pravokutnika), tada ravne točke čine jedan ili više ravnih poligona, pri čemu svaki od ovih poligona ima vrhove na granici površine i stranice koje leže na granici ili se sastoje od poluravne tačke.

POGLAVLJE 2

2.1. Eksperimenti sa Möbius trakom

Svako od nas ima intuitivnu ideju o tome šta je "površina". Površina lista papira, površina zidova učionice, površina globus svima poznat. Može li biti išta misteriozno u tako običnom konceptu? Da, možda je primjer Möbius traka. Kako bih proučio njegova svojstva, sam sam proveo nekoliko eksperimenata (dijeleći ih u dvije grupe).

I grupa eksperimenata

Iskustvo broj 1. Navikli smo da svaka površina sa kojom

imamo kofer (list papira, kameru za bicikl ili odbojku) -

dvije strane.

Počeo sam da slikam Möbiusovu traku ne okrećući je.

Rezultat . Möbius traka je u potpunosti obojena.

“Ako neko odluči da farba samo jednu stranu

površinu Moebiusove trake, neka odmah sve uroni u kantu boje, piše Richard Courant i Herbert Robins u odličnom

knjiga Šta je matematika?

Iskustvo broj 2. Napravio sam pauka i muhu od papira i poslao ih da „šetaju“.

običan prsten, ali im je zabranio da puze preko granica.

Rezultat. Pauk nije mogao doći do muve.

Iskustvo br. 3. Poslao sam ove pauke i lete samo na Möbius traci. I

zabranio im prelazak granice.

Rezultat.Jadna muva će biti pojedena, osim ako, naravno, pauk ne trči okolo.

brže!

Iskustvo broj 4. Napravio sam malog čovjeka od papira i poslao ga da putuje duž Möbiusove trake.

Rezultat. Čovek će se vratiti na početnu tačku, gde će se susresti sa svojom slikom u ogledalu.

II grupa eksperimenata

u vezi sa rezanjem Möbiusove trake, rezultati su navedeni u tabeli

iskustvo

Opis iskustva

Rezultat

Izrezao sam jednostavan prsten po sredini.

Dobila sam dva obična prstena, iste dužine, duplo šire, sa dva obruba.

Möbiusova traka je isječena po sredini.

Dobio sam 1 prsten čija je dužina duplo duža, širina duplo uža, uvijen 1 puni okret, sa jednim rubom.

Širina Möbius trake

5 cm prerezati uzdužno na udaljenosti od 1 cm od ruba.

Dobio sam dva prstena međusobno povezana: 1) Mobijus traka - dužina = dužina originala, širina 3 cm; 2) širina 1 cm, dužina duplo veća od originala, uvijena za dva puna zavoja, sa dva ruba.

Širina Möbius trake

5 cm prerezati po dužini na udaljenosti od 2 cm od ruba.

Dobio sam dva prstena međusobno povezana: 1) prsten je Möbius traka širine 1 cm, dužina = dužina originalne; 2) prsten - širine 2 cm, duplo duži od originalnog uvijenog jedan po dva puna zavoja, sa dva ruba.

Möbius traka širine 5 cm, prerezana po dužini na udaljenosti od 3 cm, od ruba.

Dobio sam dva prstena međusobno povezana: 1) prsten je Möbius traka širine

1 cm iste dužine; 2) prsten - širine 2 cm, njegova dužina je dvostruko veća od originalnog, uvijena za dva puna okreta.

Rezultati sociološkog istraživanja sprovedenog sa učenicima 10. razreda.

Pitanja

Da

Ne

Čuo

1. Znate li šta je topologija?

2. Znate li šta je Mobius traka?

3. Da li znate Svojstva Mobius trake?

Samo 5% učenika 10. razreda zna šta je topologija. 30% učenika zna šta je Möbius traka, a 20% je čulo za nju. 50% nema pojma o Möbius traci. 25% učenika zna svojstva trake, 10% je čulo za njih, 65% ne zna ništa o svojstvima Möbiusove trake.

2.2 Topološka svojstva Möbiusove trake

Na osnovu rezultata eksperimenata, možemo formulisati sljedeća topološka svojstva Möbiusove trake, koja se odnose na matematička iznenađenja.

Jednostranost je topološko svojstvo Möbiusove trake, koje je karakteristično samo za nju.

Kontinuitet - bilo koja tačka na Möbius traci može se povezati

sa bilo kojom drugom tačkom. Nema praznina - kontinuitet je potpun.

Sa topološke tačke gledišta, krug se ne razlikuje od kvadrata,

jer se mogu lako pretvoriti iz jednog u drugi bez lomljenja

kontinuitet.

Povezivanje - za podjelu prstena na pola potrebna su dva reza. Što se tiče Möbius trake, broj priključaka se mijenja ovisno o promjeni broja zavoja trake: ako je jedan zavoj dvostruko povezan, ako su dva zavoja jednostavno spojena, ako su tri dvostruko povezana, itd. Ali podijeliti kvadrat na dva dijela, potreban nam je samo jedan rez. Povezivanje se obično procjenjuje Betijevim brojem, ili se ponekad koristi Eulerova karakteristika.

4. Orijentacija je svojstvo koje nema na Möbiusovom pojasu. Dakle, kada bi osoba mogla putovati kroz sve krivine Möbiusove trake, onda bi se vratila na početnu tačku, ali bi se pretvorila u svoju sliku u ogledalu.

5. "Hromatski broj" je maksimalan broj oblasti koje se mogu nacrtati na površini tako da svaka od njih ima zajedničku granicu sa svim ostalima. Hromatski broj Möbiusove trake je šest.

6.Teoreme o Möbiusovoj traci

Teorema 1: λ ≥ π/2

Zbog složenosti dokaza, ne razmatram ga u svom radu.

Teorema 2: λ ≤ √3

Ova teorema je jednostavnija od prethodne: da bismo je dokazali, dovoljno je objasniti kako zalijepiti Möbiusovu traku sa trake čija je dužina veća od √3. Pretpostavimo prvo da je njegova dužina tačno √3. Zatim se na ovu traku mogu postaviti dva pravilna trougla. Presavijte traku duž stranica ovih trokuta, naizmjenično u smjeru preklopa. Rubovi AB i CD traka će biti poravnati, a tačka A će biti poravnata sa tačkom D, a tačka B će biti poravnata sa tačkom C. Dobićete Möbiusovu traku čiji su rubovi spojeni (vidi Dodatak 1.2 )

U ovoj konstrukciji prekršeno je glavno pravilo - ne zgužvajte papir. Ali lako je razumjeti da ako je dužina trake barem malo veća od √3, tada se pregib duž generatrikse može zamijeniti savijanjem proizvedenim u uskom dijelu. Ukratko, ne bojimo se preloma duž ravnog segmenta: može se zamijeniti krivinom blizu njega. (Nepopravljivo gužvanje papira nastaje kada se ukrste dvije linije pregiba, tj. kada se list preklopi poput marame - sve nam je to poznato iz svakodnevnog iskustva.). Njegova struktura se može zamisliti na sljedeći način: tri identična pravilna trougla ABC, A"B"C", A"B"C" leže međusobno paralelno, odgovarajući vrhovi su iznad odgovarajućih vrhova; strane AB i A"B", B"C" i B"C", C"A" i CA su premoštene. Linija lijepljenja ide duž medijane jednog od trouglova.

Zašto ne možemo preciznije pronaći λ?

Dok se problem ne riješi, teško je reći zašto nije riješen. Ipak, ponekad je u raznim neriješenim problemima moguće ući u trag uobičajenim poteškoćama, označiti, da tako kažem, teška mjesta na matematičkoj karti, što ponekad omogućava predviđanje uspjeha ili neuspjeha u rješavanju određenog problema.

Teorema 3. Möbiusova traka sa samopresjecima može se zalijepiti zajedno iz trake bilo koje dužine veće od π/2.

To se radi ovako. Uzmite dovoljno veliki neparni n i konstruirajte regularni n-gon upisan u krug prečnika 1. Zatim razmotrite n trouglova koji sadrže centar kruga, od kojih je svaki omeđen stranom i dve dijagonale n-ugla (n=7). Ovi trouglovi pokrivaju naš n-ugao, neka njegova mjesta - nekoliko puta. Sada spojimo ovih n trokuta jedan na drugi, nakon čega odsiječemo polovicu krajnjeg lijevog trokuta duž dugačke medijane i pričvrstimo ga za krajnji desni trokut. Rezultat je pravokutna traka s omjerom dužine i širine većim od π/2 i koja teži π/2 kako n teži ∞ (širina trake teži 1, a dužina π/2). Ovu traku ćemo sukcesivno savijati duž svih nacrtanih linija, naizmjenično mijenjajući smjerove preklopa. U ovom slučaju, segmenti AB i CD će se gotovo poklopiti - između njih će biti samo nekoliko slojeva presavijenog papira. Sa ovim „skoro podudaranjem“, tačka A će biti poravnata sa D, a tačka B sa C, pa ako bismo mogli da „provučemo traku kroz sebe“ i zalepimo |AB| sa |CD|, to bi bila Möbiusova traka. Ako se traka oduži malo duže, bore se mogu izbjeći, baš kao što smo to učinili u dokazu teoreme 2. Dobili smo Möbiusovu traku čiji su rubovi razdvojeni nekoliko slojeva papira, vidi Dodatak 1.3. Ali da se vratimo na Möbius traku. Teorema 1, kao što smo vidjeli, zapravo se primjenjuje na trake koje se same sijeku. Malo je vjerovatno da uslov ne-samopresijecanja ne utiče na λ; međutim, ovaj efekat se ne može uzeti u obzir, jer matematika nema dovoljno tehničkih sredstava za proučavanje samopresecanja u trodimenzionalni prostor. Naprotiv, vrlo je vjerovatno da se teorema 2 ne može poboljšati. Uostalom, poboljšati to znači osmisliti novi dizajn trake. Iskustvo pokazuje da optimalne konstrukcije mogu biti jednostavne i harmonične, što je konstrukcija iz dokaza teoreme 2. Prirodno je pretpostaviti da bi se, da postoji bolja konstrukcija, našla - za toliko godina!

Zato možemo očekivati ​​da je λ = √3.

Trikovi sa Mobius trakom

Problem vezivanja čvorova

Kako vezati čvor na šalu, a da mu ne puste krajeve? To se može uraditi ovako. Stavi šal na sto. Prekrižite ruke na grudima. Nastavljajući da ih držite u tom položaju, sagnite se do stola i uzmite naizmjenično po jedan kraj marame svakom rukom. Nakon što se ruke razdvoje, na sredini marame će se sam pojaviti čvor. Koristeći topološku terminologiju, možemo reći da ruke posmatrača, njegovo tijelo i šal čine zatvorenu krivulju u obliku „trolisnog” čvora. Kada raširite ruke, čvor se pomiče samo sa ruku na maramicu.

Jednom rukom zavežite čvor na šalu, držeći kraj šala u ruci. Odgovor na ovu zagonetku može se naći u knjizi M. Gardnera Matematička čuda i misterije.

Sa stajališta topologije, prsluk se može smatrati dvostranom površinom sa tri nepovezana ruba, od kojih je svaki obična zatvorena kriva. Prsluk sa dugmadima je dvostrana površina sa četiri ivice.

Tajanstvena petlja.

Gledalac koji nosi prsluk stavlja mu omču na ruku i traži da legne thumb u donjem džepu prsluka. Sada možete pozvati prisutne da skinu omču s vaše ruke bez izvlačenja prsta iz džepa prsluka. Rješenje je sljedeće: omča se mora uvući u otvor na prsluku za rukav, baciti preko glave gledatelja, izvući kroz drugu rupu za rukav i prenijeti ispod druge ruke. Kao rezultat ovih radnji, omča će biti ispod prsluka, okružujući grudi. Spustite ga dok se ne pojavi ispod prsluka, a zatim pustite da padne na pod.

Okretanje prsluka naopačke bez skidanja sa osobe.

Vlasnik prsluka mora spojiti prste iza leđa. Drugi moraju okrenuti prsluk naopačke bez odvajanja ruku korisnika. Da biste demonstrirali ovo iskustvo, potrebno je otkopčati prsluk i povući ga rukama iza leđa korisnika. Prsluk će visjeti u zraku, ali se naravno neće skidati jer su ruke sklopljene. Sada trebate uzeti lijevu polovicu prsluka i, pokušavajući da ne zgužvate prsluk, gurnite ga što je više moguće u desnu rupu za ruke. Zatim uzmite desnu rupu za ruku i umetnite je u istu rupu i u istom smjeru. Ostaje ispraviti prsluk i navući ga na vlasnika. Prsluk će biti okrenut naopačke. Izveli smo ovaj trik i snimili ga na video sa kolegama iz razreda. To je sadržano u prezentaciji Moebius Strip.

2.3. Primjena Möbiusove trake

∞ Na ulazu u Muzej istorije i tehnologije u Vašingtonu, čelična traka koja se okreće na pola okreta polako se okreće na postolju. 1967. godine, kada je u Brazilu održan međunarodni matematički kongres, njegovi organizatori izdali su prigodnu marku u apoenima od pet centavoa. Na njemu je bila Möbiusova traka. I spomenik, visok više od dva metra, i sićušni pečat originalni su spomenici njemačkog matematičara i astronoma Augusta Ferdinanda Möbiusa.

Vidi dodatak 5.

Zavod za patente je registrovao mnoge izume zasnovane na istoj jednostranoj površini.

∞ Möbiusova traka se koristi u mnogim izumima inspirisanim pažljivim proučavanjem svojstava jednostrane površine. Traka transportne trake, napravljena u obliku Möbius trake, omogućava joj duplo duži rad, jer se cijela površina lima ravnomjerno haba. Godine 1923. patent je izdat izumitelju Lee de Forceu, koji je predložio snimanje zvuka na filmsku traku bez mijenjanja koluta na obje strane odjednom. Izmišljene su kasete za magnetofon, gdje se traka uvija i lijepi u prsten, a istovremeno postaje moguće snimati ili čitati informacije s obje strane, čime se udvostručuje kapacitet kasete i, shodno tome, vrijeme reprodukcije. U matričnim štampačima, traka sa mastilom je bila u obliku Möbius trake kako bi se produžio rok trajanja. Ovo omogućava opipljive uštede. Möbius traka se koristi u biciklističkoj i odbojkaškoj komori.

∞ Nedavno joj je pronađena još jedna upotreba - počela je igrati ulogu opruge, ali opruge su posebne. Kao što znate, napeta opruga radi u suprotnom smjeru. Möbius traka, suprotno svim zakonima, ne mijenja smjer rada, kao mehanizmi sa dva stabilna položaja. Takva opruga mogla bi biti od neprocjenjive vrijednosti u igračkama sa satom - ne može se uvrnuti kao normalna - neka vrsta vječnog motora.

Pogledajte aplikaciju. 6.

∞ Godine 1971. pronalazač sa Urala Česnokov P.N. primijenjen filter u obliku Möbius trake.

∞ Möbius traka se koristi u kulinarstvu kako bi se stvorio zanimljiv i ukusan izgled lepinja, sušara, grmlja. I također u proizvodnji alata za kuhanje i ukrašavanje raznih jela, energetskih struktura (mikser).

Pogledajte aplikaciju. 7.

∞ Uz pomoć Möbius trake nastaju cijela remek-djela.

Möbiusova traka je poslužila kao inspiracija za skulpture i za grafička umjetnost. Escher je bio jedan od umjetnika koji je to posebno volio i posvetio je nekoliko svojih litografija ovom matematičkom objektu. Jedan od poznatih prikazuje mrave kako puze po površini Möbiusove trake.

Vidi dodatak 9.

∞ Möbiusova traka se također ponavlja u naučnoj fantastici, kao što je u kratkoj priči Arthura C. Clarkea "Zid tame". Ponekad naučnofantastične priče sugeriraju da bi naš svemir mogao biti neka generalizirana Möbiusova traka. U priči autora A.J. Deutsch, bostonska podzemna željeznica gradi novu liniju, čija trasa postaje toliko zbunjujuća da se pretvara u Mobiusovu traku, nakon čega na ovoj pruzi počinju nestajati vozovi.

∞ Postoji hipoteza da je sama spirala DNK također fragment Möbiusove trake, i samo iz tog razloga genetski kod tako teško dešifrovati i razumeti. Štoviše, takva struktura sasvim logično objašnjava uzrok početka biološke smrti: spirala se zatvara sama od sebe i dolazi do samouništenja.

Aneks 10.

∞ Möbiusova traka se dopala ne samo matematičarima, već i mađioničarima

Više od 100 godina, Möbius traka se koristi za izvođenje trikova i zabave. Nevjerovatna svojstva čaršava pokazala su se čak iu cirkusu, gdje su bile obješene svijetle vrpce, zalijepljene u obliku Möbiusovih traka. Mađioničar je zapalio cigaretu i dodirnuo zapaljeni kraj srednja linija svaka traka, koja je bila napravljena od kalijum nitrata. Ognjena staza pretvorila je prvu vrpcu u dužu, a drugu u dvije vrpce, navučene jednu u drugu. (U ovom slučaju, mađioničar je presekao Möbiusovu traku ne po sredini, već na udaljenosti od jedne trećine njene širine).

∞ Fizičari kažu da je sve optički zakoni baziraju se na svojstvima Möbiusove trake, konkretno, odraz u ogledalu je svojevrsni prenos u vremenu, kratkotrajan, u trajanju od stotih delova sekunde, jer vidimo ispred sebe... tako je, naše ogledalo duplo .

∞Postoji hipoteza da je naš Univerzum vrlo vjerovatno zatvoren u istoj Möbiusovoj traci, prema teoriji relativnosti, što je veća masa, to je veća zakrivljenost prostora. Ova teorija u potpunosti potvrđuje pretpostavku da se svemirski brod koji stalno leti pravo može vratiti na početnu tačku, što potvrđuje neograničenost i konačnost Univerzuma.

Pogledajte aplikaciju. jedanaest.

∞ Interes za Möbius traku nije jenjavao ni danas. U septembru 2006. godine u Moskvi je održan Festival umjetničke matematike. Govor profesora Jin Akiyame iz Tokija primljen je sa velikim uspjehom. Njegov nastup je podsjećao na predstavu iluzionista, gdje je bilo mjesta i za Möbiusovu traku (rad sa papirom "Möbius traka i njene modifikacije").

SPORT

Ručni ekspander "Robur"

Pogledajte aplikaciju. 12 .

Jedan odomiljene stvari svih školskih nastavnika fizičkog vaspitanja, što po njimavlastiti izraz „vozovi nesamo mišiće šake, alii moždani mišić. "Karpalni ekspander izStudio Art Lebedev ponavlja oblik Möbiusove trake. Odličan lek za ublažavanje stresabeskonačnost isamo koristan način da zaokupite ruke.

PARFEM

Parfem Bugatti

Pogledajte aplikaciju. 13

KompanijaBugattipokrenula proizvodnju ne samo ultraskupih automobila (modelVeyronkošta 1,3 miliona eura), ali i ... žestoka pića. svaka boca, napravljena od kristala i prekrivena pravim zlatom, napravljena je u obliku neobične Mobius trake, koja ima samo jednu stranu. cijena parfemaBugattiiznosi 3500 eura.

Parfem Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Pogledajte aplikaciju. četrnaest .

U jesen 2011. godine objavljena je ljubičasta verzija mirisa, čija je bočica omotana Mobius trakom, simbolom ciklusa strasti u prirodi. Bogatstvo kompozicije čini svježina azijskih narandži, bergamota, crvenih bobica, nastavlja se cvjetnim srcem magnolije, frezije i latica narandže, a završava kompozicijom senzualnog kašmirskog drveta, zlatnog ambera i vetivera.

Parfem UFO Limited Edition, Kenzo

Pogledajte aplikaciju. 15 .

Aroma PresentationKenzoodržana je 2009. godine na retrospektivnoj izložbi radova Rona Arada (RonArad) u Centru Pompidou u Parizu. Upravo je ovaj umjetnik i arhitekta osmislio kosmički dizajn boce u obliku Möbiusove trake. Dizajniran je tako da tačno stane na dlan vaše ruke.NeidentifikovaniMirisObjekat, ili Neidentificirani aromatični predmet, ograničen je na 180 kopija i košta 188 USD.

NAMJEŠTAJ

Möbius table

Pogledajte aplikaciju. 16

Stol sa jednom površinom za udobno stajanje, sjedenje i ležanje.

Polica za knjige Infinity

Pogledajte aplikaciju. 17 .

Dizajner Job Kelevius razbio je kalup kada je dizajnirao svoju Infiniti policu za knjige. Koristeći matematički koncept Lemniskate i nešto slično Moebiusovoj traci, dizajner je utjelovio fizičku ideju beskonačnosti u Infinity polici. To znači da ako ste pročitali sve knjige na ovoj polici, smatrajte da ste shvatili čitavu beskonačnost literature.

Möbius sofa

Pogledajte aplikaciju. osamnaest.

Rođen pod motom "Dvostruka stolica - dvostruko zadovoljstvo", fotelja na razvlačenjeMoebiusDvostrukofoteljakreiran od strane dizajneraGaetanVandeWyeriz Belgije i donosi svježu viziju namještaja za zaljubljene.

LOGOS

Logo kompanije Woolmark

Pogledajte aplikaciju. 19.

Logo je nastao 1964. godine kao rezultat konkursa za dizajn. Član žirijaFrankoGrignaninije mogao odoljeti i ponudio je svoju verziju, skrivajući se pod pseudonimomFrancescoSeraglio. Ovaj logo podsjeća na Möbiusovu traku i simbol je vječnosti i fleksibilnosti kompanije.

Simbol za reciklažu

Pogledajte aplikaciju. dvadeset.

Međunarodni simbol za reciklažu je Möbiusova traka. Reciklaža (drugi termini: reciklaža, reciklaža otpada, reciklaža i reciklaža)- ponovna upotreba ili povratak u promet proizvodnog otpada ili smeća. Najčešći sekundarni, tercijarni i T. e. Obrada materijala kao što su staklo, papir, aluminijum, asfalt, gvožđe, tekstil i razne vrste plastike. Takođe se koristio od antike u poljoprivreda organskog poljoprivrednog i kućnog otpada.

Simbol matematike

Pogledajte aplikaciju. 21 .

Möbiusova traka se smatra simbolom moderne matematike, jer je upravo on dao poticaj novim matematičkim istraživanjima.

ODJEĆA I OBUĆA

Cipele

Pogledajte aplikaciju. 22.

Osnovali su ga 2003. arhitekta Ram Dee Koolhaas i obućar Galahad ClarkUnitedNudespecijalizirana za proizvodnju inovativnih dizajnerskih cipela. Jedan od najuspješnijih razvoja kompanije su cipeleMobius , nazvan po geometru Augustu Möbiusu i njegovoj ideji o jednostranoj površini. Ideja cipela je sljedeća: kožni gornji dio cipela i đon su jedna traka, uvijena na određeni način.

Moebiusov šal

Pogledajte aplikaciju. 23.

Zanimljiva stvar je i Moebiusov šal koji se pojavljuje u ormarima 21. vijeka. Mobius šal možete sami napraviti tako što ćete krajeve šala vezati tako što ćete ga uvrnuti za jedan okret.

PAINTING

Grafiti

Pogledajte aplikaciju. 24.

Moderna Möbius traka oslikana je na zidu u Pragu, Češka Republika.

 Trakom se kreću dvije vrste vozila: tenkovi i oprema za izgradnju puteva Simbol moderne civilizacije: uništavamo-gradimo-rušimo-gradimo..

ARHITEKTURA

zgrada biblioteke

Pogledajte aplikaciju. 25.

Trenutno se razmatra projekat izgradnje biblioteke u obliku Möbiusove trake u Kazahstanu.

Zavoji zgrade formiraju Möbiusovu traku, tako da unutrašnji prostor prelazi u vanjski i obrnuto; Slično, zidovi postaju krov, a krov se ponovo pretvara u zidove. Prirodno svjetlo ulazi u unutrašnje hodnike kroz geometrijske otvore na vanjskoj ljusci, stvarajući lijepo osvijetljene prostore idealne za čitanje.

atrakcije

Pogledajte aplikaciju. 26.

Atrakcija "Roller coaster" po obliku podsjeća na Mobius traku. Moskva ima najveći obrnuti tobogan na svijetu, gdje osoba sjedi u visećoj stolici, a noge su mu u zraku. Brzina - 81 km / h, visina 30 m. Visina je, u poređenju sa stranim analogima, mala, ali to se više nego isplati obiljem spirala, prstenova i mrtvih petlji.

filmski kolut

Pogledajte aplikaciju. 27.

Godine 1923. patent je izdat izumitelju Lee de Forceu, koji je predložio snimanje zvuka na film bez mijenjanja kolutova, s obje strane odjednom.

Kaseta

Pogledajte aplikaciju. 28.

Izmišljene su kasete za magnetofon, gdje se traka uvija i lijepi u prsten, a istovremeno postaje moguće snimati ili čitati informacije s obje strane, čime se povećava kapacitet kasete i, shodno tome, vrijeme reprodukcije.

Toyota MOB auto

Pogledajte aplikaciju. 29.

Möbius Bollid dizajnirao je španski dizajner Jorge Marti Vidal i kombinira ljepotu i misteriju Möbiusove trake. Jedinstveni oblik karoserije daje trkaćem automobilu dobru aerodinamiku

Matrični štampač

Pogledajte aplikaciju. trideset.

U mnogim matričnim štampačima, traka sa mastilom takođe ima oblik Möbius trake kako bi se povećao njen resurs.

Möbiusov otpornik

Pogledajte aplikaciju. 31.

Ovo je novoizumljeni elektronski element koji nema sopstvenu induktivnost.

brusna traka

Pogledajte aplikaciju. 32.

Godine 1969. sovjetski izumitelj Gubaidullin predložio je beskrajnu brusnu traku u obliku Möbiusove trake.

Zaključak

Möbiusova traka je prva jednostrana površina koju je otkrio naučnik. Kasnije su matematičari otkrili više cela linija jednostrane površine. Ali

ovaj - prvi, koji je postavio temelje za čitav jedan pravac u geometriji, i danas privlači pažnju naučnika, pronalazača, umetnika i nas studenata. Bio sam veoma zainteresovan javna dobra Möbius traka:

Moebiusova traka ima jednu ivicu, jednu stranu

Möbiusova traka je topološki objekat. Kao i svaka topološka figura, ona ne mijenja svoja svojstva sve dok se ne iseče, rastrgne ili njeni pojedinačni dijelovi ne zalijepe zajedno.

Jedna ivica i jedna strana Möbiusove trake nisu vezane za njen položaj u prostoru, nisu povezane sa konceptima udaljenosti.

Möbiusova traka ima brojne primjene u kuhanju, inženjerstvu, fizici, slikarstvu, arhitekturi, dizajnu nakita i proučavanju svojstava svemira. Inspirisao je rad mnogih pisaca i umjetnika.

1. Prisjetimo se najprije definicije važne Möbiouove funkcije teorijske brojeve

1 ako je n = 1

µ (n)=0 ako postoji prost broj p, p2 n (-1)k ako je n = p1 … pk je proizvod k različitih prostih faktora.

Dokažimo glavno svojstvo Möbiusove funkcije:

Teorema 1.

♦ Ako je n = 1, tada je jedini djelitelj d = 1 i (1) je tačno, jer µ (1) = 1. Neka je sada n > 1. Predstavljamo ga u obliku

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

gdje su pi , i 1, k prosti brojevi, si su njihove potencije. Ako je d djelitelj od n, tada je d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

gdje je 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Ako je di > 1 za neki i 1, k , onda je µ (d) = 0. Dakle, u (1) trebamo uzeti u obzir samo one d za koje je di ≤ 1, i 1, k . Svaki takav djelitelj

je proizvod r različitog primarni brojevi, gdje je r 1, k , i njegov doprinos zbiru

(1) je jednako (-1)r i ima k ukupno. Dakle, dobijamo

			µ (d) = 1 −	K + (−1)k	0. ♦
			Teorema 2. (Möbiusova formula za inverziju). Neka su f(n) i g(n) funkcije prirodne
pravi argument. Zatim jednakost
					∑f(d)
je istinito ako i samo ako je jednakost istinita
					∑µ (d)g(

♦ Neka je (2) tačno za bilo koje n. Onda

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d'dn

Zamjenom u desnu stranu (3) dobijamo

∑µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d′

Dvostruko zbrajanje na desnoj strani vrši se nad svim parovima d, d′ tako da je d d′ n . Ako odaberemo d′ , tada će d prolaziti kroz sve djelitelje d n ′ . Na ovaj način

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

d′

d′

d′

n > d′

Ali prema (1) imamo ∑

µ (d′ ) =

n = d′

d′

d′

Dakle, jednakost (3) je uspostavljena. Neka sada (3) vrijedi za bilo koje n. Onda

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - je djelitelj od n i dvostruki zbir može

d′

n d'

biti prepisan kao

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d′ )

d′′

n d′

d′′

d′′

d′

d′′

Prema (1), posljednji zbir se pretvara u jedinicu u slučaju d′′ = n, u drugim slučajevima

čajeva je nula. Ovo dokazuje (2). ♦ 2. Razmotrite primjenu Möbiusove inverzije.

Neka je data abeceda A od s. U datoj abecedi ima sn riječi dužine n. Za svaku riječ w0 = a1 a2 … može se definirati n - 1 riječi

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , dobijeni jedno od drugog cikličkim pomacima. Na skup svih sn riječi uvodimo relaciju ekvivalencije: dvije riječi se proglašavaju ekvivalentnim ako se jedna od druge dobije cikličkim pomakom. Nas će zanimati broj klasa koje sadrže tačno n riječi. Takav problem se javlja u teoriji sinkronizirajućih kodova.

Riječ w ćemo nazvati degeneriranom ako se klasa ekvivalencije koja sadrži w sastoji od manje od n riječi. W nazivamo periodičnim ako postoji riječ u i prirodan broj m takvi da je w = u u … u (m puta).

Teorema 3. Riječ w je periodična ako i samo ako je degenerirana.

kao što možemo uzeti a 1 a 2 … a p , i kao m =

♦ Jasno je da ako je w periodično, onda je degenerisano. Neka je w degenerisano. Neka je p najmanji cijeli broj takav da je w = wp. Onda ako

w = a1 a2 … an , tada je wp = a1+p a2+p … an+p (indeksi po modulu n). Dakle, dobijamo to u n p . (Lako je vidjeti da je p n). ♦ Pozadina

je značajan u smislu M(d) - broja kvadrata koji sadrže d riječi. Od prethodnog imamo

dn. Dakle, formula∑ dM(d) = s n . d n

Primijenimo formulu Möbiusove inverzije za slučaj g(n) = sn, f(d) = dM(d). Onda dobijamo

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Dakle, M(n) je broj koji nas zanima. Ako je n = p prost broj, onda

− s)

Postoji multiplikativna verzija Möbiusove inverzije. fer

Teorema 4. Neka su f(n) i g(n) funkcije povezanog prirodnog argumenta

nošenje

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

I obrnuto, iz (5) slijedi (4).

Koristeći Möbiusovu formulu inverzije, može se riješiti praktično važan problem broja nesvodljivih polinoma fiksnog stepena nad konačnim poljem. Neka je GF(q) polje od q elemenata i m je prirodan broj. Onda za broj

Φ m (q) ireducibilnih polinoma nad poljem GF(q), imamo formulu

Dajemo tablicu nekoliko prvih vrijednosti funkcije Φ m (2)

Φm(2)

§ 5. Stalne osobe i njihova primjena na popisivanja

1. Za rješavanje mnogih kombinatornih problema koriste se permanentne vrijednosti. Razmotrimo brojčanu matricu

A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

Permanentnost matrice A (notacija - po A) je definisana jednakošću

po A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K, jn)

gdje se sumiranje vrši preko svih n-permutacija od m elemenata 1, 2, m. Drugim riječima, permanentnost matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata uzetih jedan po jedan iz svakog reda i različitih stupaca.

Formula (1) implicira neka očigledna svojstva permanenta, slična onima determinante za kvadratne matrice.

1. Ako jedna od linija(n × m)-matrica A (n ≤ m) se sastoji od nula, tada po A = 0. Za n = m, isto vrijedi i za stupce.

2. Kada se množe svi elementi jednog od redova matrice A nekim brojem, vrijednost permanentnog A se množi istim brojem.

3. Trajan se ne mijenja kada se njegovi redovi i kolone preurede.

Označimo sa Aij matricu dobijenu iz A brisanjem i-tog reda i j-te kolone.

4. Formula za proširenje permanente u i-tom redu vrijedi za A = ai1 po Ai1 + ai2 po Ai2 + ... + cilj po Aim (2)

stoga su mnoga svojstva permanenta slična onima determinanti.

Međutim, glavno svojstvo determinanti det(A B) = detA detB ne važi za permanente, a ova okolnost uveliko otežava njihovo izračunavanje.

Na primjer,

					2, per
Međutim, 4 = per						≠ per

Razmotrimo jednu od najvažnijih primjena koncepta permanenta u kombinatornim problemima.

dachas. Neka je X = (x1, xm) konačan skup, a X1, …, Xn sistem podskupova

U ovom slučaju se kaže da element xi predstavlja skup Xi. Potreba za pronalaženjem sistema različitih predstavnika javlja se u rješavanju mnogih primijenjenih problema. Razmotrite sljedeći problem kodiranja. Neka bude neka rečenica, tj. uređeni skup riječi u nekom alfabetu. Ovu rečenicu je potrebno kodirati na način da svaka riječ bude povezana s jednim slovom, a ovo slovo mora biti dio ove riječi, a različita slova moraju odgovarati različitim riječima.

Primjer: Rečenica a bc ab d abe c de cd e može biti kodirana kao abecd. Istovremeno, rečenica ab ab bc abc bcd ne može se kodirati na ovaj način, jer prve četiri riječi ukupno sadrže samo tri slova.

Za sistem skupova X1 , … , Xn definiramo matrica incidencije A = (aij ), i = 1, n ,

				1 ako xi
		a ij =
				0 inače.
		fer
		Teorema 1. Neka je A = (aij), i =					(n ≤ m) matrica incidencije

skupovi X1 , … , Xn , gdje je Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Zatim za broj sistema

lični predstavnici R(X1 , … , Xn ) skupova X1 , … , Xn

R(X1 , … , Xn ) = po A

♦ Zaista, pošto je element aij = 1 u matrici A, ako je xj Xi i aij = 0,

ako xj

K, xi

) elementi X je sistem različitih pred-

Xi, zatim skup (xi

dobavljači za X1 , … , Xn

ako i samo ako je a1i

K ,a ni

policajci a1i

K ,a ni

nalaze se u različitim stupcima matrice A. Zbrojite brojeve

a1i ,K ,a ni

preko svih n-permutacija elemenata 1, 2, ... , m. Onda dobijemo sto

s druge strane, broj sistema različitih predstavnika za X1 , … , Xn , a s druge strane vrijednost per-

matrica A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Posljedica. Sistem različitih predstavnika za X1 , … , Xn postoji ako i samo ako za odgovarajuću matricu važi pojava A:

Budući da u formuli (1) ima m(m - 1) ... (m - n +1) članova, izračunavanje permanente na osnovu definicije je teško. Dajemo opštu formulu za ovu svrhu.

2. Ograničavamo se na razmatranje kvadratnih numeričkih matrica A = (aij), i, j = 1, n.

Tada po A = ∑

(i1,K,in)

gdje se zbir proteže preko svih permutacija i1 , … , u elementima

1, 2, …, n. Primijenimo formulu uključivanja-isključivanja da izračunamo permanentnost matrice A. Svakom skupu i1 , … , in će biti dodijeljena težina jednaka a1i 1 ,K ,a ni n .

Dakle, permanent A je zbir težina onih skupova koji odgovaraju permutacijama. Hajde da uvedemo n svojstava P1 , … , Pn na skup svih kolekcija i1 , i2 , … , u od 1, 2, … , n, pri čemu svojstvo Pi znači da kolekcija i1 , … , in nema element i. Dakle, permanent A je zbir težina skupova i1 , … , koji nemaju nijedno od svojstava P1 , … , Pn . Ostaje odrediti zbir težina W(Pi 1 ,K , Pi k ) skupova sa k svojstvima

Pi 1 ,K , Pi k . Imamo za zbir težina W(0) svih skupova i1 , … , ik .
W(0) = ∑			K , a ni		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi)) =			a1i ,K , a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

pri čemu znak ^ iznad elementa matrice A znači da ovaj element treba izostaviti. Slično za sij (tj< j) имеем

W(N(Pi, Pj)) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Sada, koristeći formulu uključivanje-isključivanje, dobijamo Raiser formulu za trajno A:

po A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L + a kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Obračun trajnog prema Raiser formuli može se organizirati na način da je to potrebno

(2n - 1)(n - 4) množenja i (2n - 2)(n + 1) zbrajanja. Iako ova vrijednost brzo raste sa n, ova formula daje najviše efikasan metod trajne kalkulacije.

3. Razjasnimo sada pitanje uvjeta jednakosti nule permanente (0, 1)-matrice. Ograničavamo se na slučaj kvadratne matrice.

Teorema 2. Neka je A = (aij), i, j = 1, n (0, 1)-matrica reda n. Onda

po A= 0 ako i samo ako A ima s × t podmatricu nula, gdje je s + t = n + 1.

♦ Neka takva nulta podmatrica postoji u A. Budući da se permanent ne mijenja permutacijama redova i stupaca, možemo pretpostaviti da se ova podmatrica nalazi u donjem lijevom kutu, tj.

gdje je O - (s × t) matrica nula, podmatrica B ima veličinu (n - s) × t. Svaki član stalnog A mora sadržavati po jedan element iz prvih t stupaca. Stoga, ako tražite pozitivan pojam trajni, tada elementi ovih kolona moraju pripadati u paru različitim redovima sa brojevima 1, 2, …, n - s. Međutim, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Neka je sada per A = 0. Teoremu dokazujemo indukcijom na n. Za n = 1 tvrdnja je očigledna (A = (0)). Neka vrijedi za sve redove manje od n. Ako je A nula matrica reda n, onda je tvrdnja očigledna. Ako A nije nula matrica, onda neka je aij = 1. Zapišimo dekompoziciju A u red i:

po A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Pošto je po A = 0, onda je po Aij = 0. Ali Aij ima veličinu (n - 1) × (n - 1) i, prema hipotezi indukcije, postoji podmatrica nula veličine

s1 × t1 , i s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Preuredite redove i stupce tako da ova nulta podmatrica bude u donjem lijevom uglu:

A→B=

gdje je O - nulta podmatrica veličine s1 × t1 , s1 + t1 = n, S - ima veličinu (n - s1 ) × t1 , D -

ima veličinu s1 × (n - t) . Dakle, matrice C i D su kvadratne i imaju red (t1 × t1 ) i (s1 × s1 ), respektivno. Prema definiciji permanentnog, imamo po B = po A i,

po B = po C po D i stoga iz per A = 0 slijedi da je ili po C = 0 ili po D = 0.

Neka je po C = 0. Prema induktivnoj hipotezi, C ima nultu podmatricu veličine

u × v, gdje je u + v = t1 + 1. Neka se nalazi u redovima s brojevima i1 , … , iu i stupcima s brojevima j1 , … , jv . Razmotrimo podmatricu B koja se sastoji od redova

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n i kolone j1 , … , jv . Ovo je nulta podmatrica veličine (u + n - t1) × v,

gdje je u + n - t1 + v = n + +1. Dakle, matrica B sadrži nultu podmatricu veličine s × t, gdje je s + t = n + 1. Pošto se matrice A i B razlikuju po permutaciji redova i stupaca, teorema je dokazana. ♦

Razmotrimo sada važan poseban slučaj matrice A. Označimo sa A(k, n) n × n matricu od 0,1 elementa sa k jedinica za svaki red i svaki stupac (k > 0).

Teorema 3. Za bilo koju matricu A(k, n) imamo per A(k, n) > 0.

♦ Pretpostavimo suprotno da je po A(k, n) = 0. Tada, prema teoremi 2, postoji nula

podmatrica veličine s × t, gdje je s + t = n + 1. Zatim, preuređivanjem redova i stupaca matrice A(k, n), dobijamo matricu

gdje je O nula (s × t) matrica.

Izbrojimo broj 1 u matricama B i D. Pošto A(k, n) ima k 1 u svakom redu i svakoj koloni, ima tačno k 1 u svakoj koloni B i svakom redu D.

jedinice. Ukupno ima n k jedinica u A(k, n), tako da je nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Dakle

zom, n ≥ t + s, što je nemoguće, jer s + t = n + 1

valjanost tvrdnje. ♦ Slično se dokazuje

Teorema 3a. Neka je A (0,1)-matrica veličine n × m (n≤ m). Tada je perA = 0 ako i samo ako sadrži nultu podmatricu veličine s × t, gdje je s+t=m+1.

4. Razmotrimo sada primjenu pitanja koja se razmatraju na konstrukciju geografske širine.

limene kvadrate. latinica (n × m)-pravougaonik preko skupa X=(x1 ,…,xm )

naziva se (n × m)-matrica elemenata X, u kojoj je svaki red n-permutacija X, a svaki stupac m-permutacija skupa X. Za n=m, latinski pravougaonik je pozvao Latinski trg.

Jasno je da je za n=1 broj latinskih pravokutnika 1 × m jednak m!. Za n=2, nakon odabira prvog reda, svaka permutacija se može uzeti kao druga.

inovacija koja je u suprotnosti sa odabranim. Broj takvih permutacija je Dm , pa je broj 2× m -

latinski pravokutnici jednako m! Dm.

Postavlja se prirodno pitanje u vezi s induktivnom konstrukcijom latinskih kvadrata. Konstruirajmo latinski (n × m)-pravougaonik (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

fer

Teorema 4. Svaki latinski (n × m) -pravougaonik n

♦ Neka je X=(x1 ,…,xm ) i L-latinski (n × m)-pravougaonik sa elementima iz X. Razmotrimo skup skupova A1 ,… ,Am gdje su Ai elementi i-te kolone latinskog pravougaonika L. Neka je A - matrica incidencije skupa sistema A1 ,… ,Am . Ima veličinu m × m, a svaki red matrice A sadrži tačno n jedinica, jer je Ai = n, i = 1, m. Svaki element xi X može se pojaviti u kolonama L najviše m puta, inače bi postojao red u kojem se ovaj element pojavljuje dva puta. Ukupan broj elemenata

L je jednako m n, tako da se svaki element xi X pojavljuje tačno n puta u kolonama. To implicira da svaki stupac matrice A sadrži tačno n jedinica. Razmotrimo sada matricu A dobijenu zamjenom svake 1 s nulom i svake nule s 1.

Matrica A je matrica incidencije sistema skupova X1 , … , Xn , gdje je Xi = X\Ai ,

i = 1, m . Sadrži m - n jedinica u svakom redu i svakoj koloni. Po teoremu

> 0. Neka je ai1

… mi

≠ 0 . Tada imamo xi X1 ,K , xi

Xm i svi elementi

xi ,K , xi

razlikuju se u paru. Linija

xi ,K , xi

može se uzeti kao (n + 1)-ti

za latinski (n × m)-pravougaonik L. Nastavljajući ovaj postupak, dobijamo latinicu

nebeski trg. ♦

Označimo l n - broj latinskih kvadrata reda n, sa elementima iz skupa X = (1, 2, ... , n), u kojima su elementi prve kolone i prvog reda u prirodnom redu. Evo tablice nekoliko poznatih vrijednosti broja l n:

5. Matrica n × n A = (aij ) sa realnim, nenegativnim elementima naziva se dvostruko stohastički, ako

μ( n) je definiran za sve prirodne brojeve n i uzima vrijednosti ovisno o prirodi dekompozicije broja n u osnovne faktore:

• μ( n) = 1 ako n bez kvadrata (tj. nije djeljiv s kvadratom nijednog prostog broja) i dekompozicije n paran broj faktora;
• μ( n) = − 1 ako n bez kvadrata i raspadanja n u proste faktore sastoji se od neparnog broja faktora;
• μ( n) = 0 ako n nije oslobođen kvadrata.

Po definiciji se takođe pretpostavlja da je μ(1) = 1.

Svojstva i aplikacije

Möbiusova funkcija je multiplikativna: za sve relativno proste brojeve a I b jednakost μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Zbir vrijednosti Möbiusove funkcije nad svim djeliteljima cijelog broja n, nije jednako jedan, jednako je nuli

Style="maksimalna širina: 98%; visina: auto; širina: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Iz ovoga, posebno, slijedi da je za bilo koji neprazan konačni skup, broj različitih podskupova koji se sastoje od neparnog broja elemenata jednak broju različitih podskupova koji se sastoje od parnog broja elemenata - činjenica koja se koristi u dokaz.

Möbiusova funkcija je povezana sa Mertensovom funkcijom relacijom

Mertensova funkcija je, zauzvrat, blisko povezana s problemom nula Riemannove zeta funkcije, vidi članak o Mertensovoj pretpostavci.

Möbiusova inverzija

Prva Möbiusova formula za inverziju

Za aritmetičke funkcije f I g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

ako i samo ako

.

Druga Möbiusova formula za inverziju

Za funkcije realne vrijednosti f(x) I g(x) definisano na ,

ako i samo ako

.

Ovdje se zbroj tumači kao .

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Mobiusova funkcija" u drugim rječnicima:

Möbiusova funkcija μ(n) je multiplikativna aritmetička funkcija koja se koristi u teoriji brojeva i kombinatorici, nazvana po njemačkom matematičaru Möbiusu, koji ju je prvi razmatrao 1831. Sadržaj 1 Definicija 2 Svojstva i primjene ... Wikipedia

Möbiusova funkcija μ(n) je multiplikativna aritmetička funkcija koja se koristi u teoriji brojeva i kombinatorici, nazvana po njemačkom matematičaru Möbiusu, koji ju je prvi razmatrao 1831. Sadržaj 1 Definicija 2 Svojstva i primjene ... Wikipedia

Vrsta transformacije na složena ravan(siva) i Riemannova sfera (crna) Sadržaj 1 Definicija 2 Algebarska svojstva ... Wikipedia

Fractional linearna funkcija funkcija oblika gdje su z = (z1,...,zn) kompleksne ili realne varijable, ai,b,ci,d su kompleksni ili realni koeficijenti. Često se izraz "linearna frakciona funkcija" koristi za poseban slučaj transformacije ... ... Wikipedia

Möbiusov niz je funkcionalni niz oblika Ovu seriju je istraživao Möbius, koji je pronašao formulu inverzije za ovaj niz: gdje je μ (s) Möbiusova funkcija ... Wikipedia

METODE MEDICINSKOG ISTRAŽIVANJA - І. Opšti principi medicinska istraživanja. Rast i produbljivanje našeg znanja, sve veća tehnička opremljenost klinike, zasnovana na korišćenju najnovijih dostignuća u fizici, hemiji i tehnologiji, usložnjavanje metoda vezanih za ovo... ... Velika medicinska enciklopedija

Patološko stanje koje se razvija tokom porođaja i karakterizira ga oštećenje tkiva i organa djeteta, praćeno, po pravilu, poremećajem u njihovim funkcijama. Faktori koji predisponiraju nastanak R. tzv. su netačni ... ... Medicinska enciklopedija