Udaljenost od prave do aviona na mreži. Udaljenost od tačke do ravni

Razmotrimo neku ravan π i proizvoljnu tačku M 0 u prostoru. Odaberimo za avion jedinični normalni vektor n s start u nekoj tački M 1 ∈ π, i neka je p(M 0 ,π) rastojanje od tačke M 0 do ravni π. Zatim (slika 5.5)

p(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

od |n| = 1.

Ako je ravan π data u pravougaoni koordinatni sistem sa njegovom opštom jednačinom Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor sa koordinatama (A; B; C) i kao jedinični vektor normale možemo izabrati

Neka su (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate tačaka M 0 i M 1 . Tada je zadovoljena jednakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, pošto tačka M 1 pripada ravni, a možete pronaći koordinate vektora M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). zapisivanje skalarni proizvod nM 1 M 0 u koordinatnom obliku i transformišući (5.8), dobijamo

budući da je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Dakle, da biste izračunali udaljenost od tačke do ravni, morate zamijeniti koordinate tačke u opšta jednačina ravni, a zatim podijeliti apsolutnu vrijednost rezultata sa normalizujućim faktorom jednakim dužini odgovarajućeg vektora normale.

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. analizirat ćemo koordinatni metod, koji će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od dati poen trodimenzionalni prostor. Da biste konsolidirali, razmotrite primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznatog rastojanja od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada se tačka postavi u prostor M 1 sa ravninom χ, onda kroz tačku možete povući okomito na ravan direktno. H 1 je zajednička tačka njihovog preseka. Odavde dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Oni nazivaju udaljenost od date tačke do osnove okomice, koja je povučena od date tačke do dati avion.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni naziva se dužina okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Rastojanje od tačke M 1 do ravni χ je definisano na sledeći način: udaljenost od tačke M 1 do ravni χ biće najmanja od date tačke do bilo koje tačke u ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda se dobija pravougaoni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuza. Dakle, ovo implicira da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se kosim, koji je povučen iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Razmotrite ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji broj geometrijski problemi, čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Načini da se ovo otkrije mogu biti različiti. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, rešavaju se koordinatnom metodom. Ovaj paragraf se bavi ovom metodom.

Prema uslovu zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ, potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje se koristi nekoliko rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni koristeći koordinate tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način koristi se normalna jednačina date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Željena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1 , z 1) i H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka ravni χ sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno formulisati jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu ravan. Tada možemo odrediti koordinate tačke H 1 . Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

napišite jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito na ravan χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1, koje su tačke
presek prave a sa ravninom χ ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Ova formula je važeća, jer je uspostavljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je data tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1). trodimenzionalni prostor, koji ima normalnu jednačinu ravni χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se udaljenost od tačke do ravnine M 1 H 1 izračunava iz formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p jer je x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na određivanje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α , cos β , cos γ , a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1 , y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik notacije će imati oblik n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 umjesto x, y, z koordinate x 1 , y 1 i z1 koji se odnosi na tačku M 1 , uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Razmotrimo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke s koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda će započeti izračunavanjem vektora smjera linije a. Po uslovu imamo da je data jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 jednačina ravnine opšti pogled, a n → = (2, - 1, 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao usmjeravajući vektor za pravu a, koja je okomita na datu ravan. Trebalo bi da napišete kanonsku jednačinu prave u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2, - 1, 5.

Jednačina će izgledati kao x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Treba definisati presečne tačke. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem za prijelaz sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. dati poen uzeti za H 1. Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Zatim morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu za rješavanje sistema po Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30 .

Kada je χ ravan specificirana jednom od metoda metoda presjeka za specificiranje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednačinu χ ravnine i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

Tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) postavljene su u trodimenzionalni prostor. Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - jedan) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. Dakle, rastojanje od tačke M 1 do ravni A B C je 2 30 .

Odgovor: 2 30 .

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Odavde dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Pronađite udaljenost od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatna ravan O x y z i ravni datoj jednadžbom 2 y - 5 = 0 .

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z, to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x \u003d - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine . Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3 .

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0 . Tada možete pronaći traženu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do ravni 2 y - 5 = 0 . Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor:Željena udaljenost od M 1 (- 3 , 2 , - 7) do O y z ima vrijednost 3 , a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Možda će se od vas tražiti da dostavite svoju lična informacija u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim poretkom, pravnim postupkom i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA NALAZANJE UDALJENOSTI OD TAČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine, Odsjek za matematiku. Analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

naučni mentor, dr. ped. nauka, vanredni profesor, EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

AT USE zadatke u matematici na poslednjih godina postoje problemi za izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za određivanje udaljenosti od tačke do ravni. Za rješavanje raznih problema možete koristiti najprikladniju metodu. Nakon rješavanja problema jednom metodom, druga metoda može provjeriti ispravnost rezultata.

Definicija. Udaljenost od tačke do ravni koja ne sadrži ovu tačku je dužina segmenta okomice ispuštene iz ove tačke u datu ravan.

Zadatak. Dan kuboid ALIBODDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, BC=4, aa 1=6. Pronađite udaljenost od tačke D do aviona AUD 1 .

1 način. Koristeći definicija. Pronađite udaljenost r( D, AUD 1) iz tačke D do aviona AUD 1 (sl. 1).

Slika 1. Prvi način

Hajde da potrošimo D.H.⊥AU, dakle, teoremom o tri okomice D 1 H⊥AU i (DD 1 H)⊥AU. Hajde da potrošimo direktno DT okomito D 1 H. Pravo DT leži u avionu DD 1 H, Shodno tome DT⊥AC. shodno tome, DT⊥AUD 1.

ALIDC naci hipotenuzu AU i visina D.H.

Iz pravouglog trougla D 1 D.H. naci hipotenuzu D 1 H i visina DT

Odgovor: .

2 way.Volume Method (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide željena udaljenost od tačke do ravni. Dokažite da je ova visina željena udaljenost; pronađite zapreminu ove piramide na dva načina i izrazite ovu visinu.

Imajte na umu da kada ovu metodu nema potrebe konstruisati okomicu iz date tačke na datu ravan.

Kuboid je kvadar čije su sve strane pravokutnici.

AB=CD=2, BC=AD=4, aa 1 =6.

Željena udaljenost će biti visina h piramide ACD 1 D, pao sa vrha D na zemlji ACD 1 (sl. 2).

Izračunajte zapreminu piramide ACD 1 D dva načina.

Računajući, na prvi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD 1, dakle

Računajući, na drugi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD, onda

Izjednačimo desne strane posljednje dvije jednakosti, dobijamo

Slika 2. Drugi način

Od pravouglovi trouglovi AUD, DODATI 1 , CDD 1 pronađite hipotenuze koristeći Pitagorinu teoremu

ACD

Izračunajte površinu trokuta AUD 1 koristeći Heronovu formulu

Odgovor: .

3 way. koordinatni metod.

Neka se da poen M(x 0 ,y 0 ,z 0) i avion α , dato jednačinom sjekira+by+cz+d=0 u pravougaoniku Kartezijanski sistem koordinate. Udaljenost od tačke M na ravan α može se izračunati po formuli: