Kako se rješavaju moduli. Modulo Equations

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Možda će se od vas tražiti da dostavite svoju lična informacija u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Ne otkrivamo informacije primljene od vas trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Jedna od najtežih tema za studente je rješavanje jednačina koje sadrže varijablu pod predznakom modula. Da vidimo za početak sa čime je to povezano? Zašto, na primjer, kvadratne jednadžbe većina djece klikće kao orasi, ali sa tako daleko od najkompleksnijeg koncepta kao što je modul ima toliko problema?

Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Da, odlučujem kvadratna jednačina, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim formule za korijene kvadratne jednačine. Ali šta ako se u jednačini naiđe na modul? Pokušat ćemo jasno opisati neophodan plan djelovanja u slučaju kada jednačina sadrži nepoznatu pod predznakom modula. Za svaki slučaj dajemo nekoliko primjera.

Ali prvo, prisjetimo se definicija modula. Dakle, modul broja a sam broj se zove if a nenegativni i -a ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako a< 0

Govoreći o geometrijskog smisla modula, treba imati na umu da svaki realan broj odgovara određenoj tački na brojevnoj osi - njenom do koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost se uvijek daje kao pozitivan broj. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Inače, čak i u ovoj fazi mnogi učenici počinju da se zbunjuju. U modulu može biti bilo koji broj, ali rezultat primjene modula je uvijek pozitivan broj.

Sada pređimo na rješavanje jednačina.

1. Razmotrimo jednačinu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.

Sve realni brojevi podijelimo ga u tri grupe: one koje su veće od nule, one koje su manje od nule, a treća grupa je broj 0. Zapišimo rješenje u obliku dijagrama:

(±c ako je c > 0

Ako |x| = c, tada je x = (0 ako je c = 0

(bez korijena ako je sa< 0

1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;

2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada je x = 0.

2. Jednačina oblika |f(x)| = b, gdje je b > 0. Za rješavanje ove jednačine potrebno je riješiti se modula. Radimo to ovako: f(x) = b ili f(x) = -b. Sada je potrebno svaku od dobijenih jednačina posebno riješiti. Ako je u originalnoj jednadžbi b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, onda

x + 2 = 4 ili x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, onda

x 2 - 5 = 11 ili x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez korijena

3) |x 2 – 5x| = -8 , jer -osam< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednačina će imati rješenja ako je njena desna strana veća ili jednaka nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada imamo:

f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x - 10 ≥ 0. Ovdje počinje rješavanje takvih jednačina.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rješenje:

2x - 1 = 5x - 10 ili 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Kombinirajte O.D.Z. a rješenje dobijamo:

Korijen x \u003d 11/7 ne odgovara prema O.D.Z., manji je od 2, a x = 3 zadovoljava ovaj uvjet.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Rešimo ovu nejednačinu metodom intervala:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rješenje:

x - 1 = 1 - x 2 ili x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1

3. Kombinirajte rješenje i O.D.Z.:

Pogodni su samo korijeni x = 1 i x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Jednačina oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ili x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Jednačine rješavane metodom zamjene (promjena varijable). Ova metoda Rješenja se najbolje objašnjavaju konkretnim primjerom. Dakle, neka je data kvadratna jednačina sa modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo promjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:

t 2 - 6t + 5 = 0. Rješavanje zadata jednačina, dobijamo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:

|x| = 1 ili |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pogledajmo još jedan primjer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Napravimo promjenu |x| = t ≥ 0, tada:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rješavajući ovu jednačinu, dobivamo, t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:

|x| = -2 ili |x| = 1

Nema korijena x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

6. Druga vrsta jednadžbi su jednadžbe sa "složenim" modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.

1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobijamo dvije jednadžbe:

3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.

Sada izrazimo modul x u svakoj jednačini, a zatim |x| = -1 ili |x| = 7.

Rješavamo svaku od rezultirajućih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -jedan< 0, а во втором x = ±7.

Odgovor x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednačinu rješavamo na sličan način:

3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Tu je i univerzalna metoda rješenje jednačina sa modulom. Ovo je metoda razmaka. Ali razmotrićemo to dalje.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Dakle, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim i formule za korijene kvadratne jednadžbe. Ali šta ako se u jednačini naiđe na modul? Pokušat ćemo jasno opisati neophodan plan djelovanja u slučaju kada jednačina sadrži nepoznatu pod predznakom modula. Za svaki slučaj dajemo nekoliko primjera.

Ali prvo, prisjetimo se definicija modula. Dakle, modul broja a sam broj se zove if a nenegativni i -a ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako a< 0

Govoreći o geometrijskom značenju modula, treba imati na umu da svaki realni broj odgovara određenoj tački na brojevnoj osi - njegov do koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost se uvijek daje kao pozitivan broj. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Inače, čak i u ovoj fazi mnogi učenici počinju da se zbunjuju. U modulu može biti bilo koji broj, ali rezultat primjene modula je uvijek pozitivan broj.

Sada pređimo na rješavanje jednačina.

1. Razmotrimo jednačinu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.

Sve realne brojeve dijelimo u tri grupe: one koji su veći od nule, one koji su manji od nule, a treća grupa je broj 0. Rješenje zapisujemo u obliku dijagrama:

(±c ako je c > 0

Ako |x| = c, tada je x = (0 ako je c = 0

(bez korijena ako je sa< 0

1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;

2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada je x = 0.

1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, onda

x + 2 = 4 ili x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, onda

x 2 - 5 = 11 ili x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez korijena

3) |x 2 – 5x| = -8 , jer -osam< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednačina će imati rješenja ako je njena desna strana veća ili jednaka nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada imamo:

f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x - 10 ≥ 0. Ovdje počinje rješavanje takvih jednačina.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rješenje:

2x - 1 = 5x - 10 ili 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Kombinirajte O.D.Z. a rješenje dobijamo:

Korijen x \u003d 11/7 ne odgovara prema O.D.Z., manji je od 2, a x = 3 zadovoljava ovaj uvjet.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Rešimo ovu nejednačinu metodom intervala:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rješenje:

x - 1 = 1 - x 2 ili x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1

3. Kombinirajte rješenje i O.D.Z.:

Pogodni su samo korijeni x = 1 i x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Jednačina oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ili x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Jednačine rješavane metodom zamjene (promjena varijable). Ovu metodu rješenja najlakše je objasniti konkretnim primjerom. Dakle, neka je data kvadratna jednačina sa modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo promjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:

t 2 - 6t + 5 = 0. Rješavajući ovu jednačinu, dobivamo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:

|x| = 1 ili |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pogledajmo još jedan primjer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Napravimo promjenu |x| = t ≥ 0, tada:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rješavajući ovu jednačinu, dobivamo, t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:

|x| = -2 ili |x| = 1

Nema korijena x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobijamo dvije jednadžbe:

3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.

Sada izrazimo modul x u svakoj jednačini, a zatim |x| = -1 ili |x| = 7.

Rješavamo svaku od rezultirajućih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -jedan< 0, а во втором x = ±7.

Odgovor x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednačinu rješavamo na sličan način:

3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Postoji i univerzalna metoda za rješavanje jednačina s modulom. Ovo je metoda razmaka. Ali razmotrićemo to dalje.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Uputstvo

Ako je modul u formi kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modul je nula, a modul bilo kojeg pozitivnog broja je njegov modul. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnosti jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksni broj nalazi se po formuli: |a| = √b ² + c² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako je argument prisutan kao množitelj pozitivan broj, onda se može izvaditi iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Ako je argument predstavljen kao kompleksan broj, tada je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljen redosled članova izraza u uglastim zagradama: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Argument podignut na stepen je istovremeno pod znakom korena istog reda - rešava se sa: √a² = |a| = ±a.

Ako imate zadatak u kojem nije naveden uvjet za proširenje zagrada modula, onda ih se ne morate riješiti - to će biti konačni rezultat. A ako želite da ih otvorite, onda morate navesti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b)) ². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Pošto je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| >

Modul nule jednak je nuli, a modul bilo kojeg pozitivnog broja jednak je samom sebi. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnih brojeva jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnog broja se nalazi po formuli: |a| = √b ² + c² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan cijeli broj kao množitelj, onda se može izvući iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Modul ne može biti negativan, tako da se svaki negativan broj pretvara u pozitivan: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2.5.

Ako je argument predstavljen kao kompleksan broj, onda je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljeno promijeniti redosljed članova izraza zatvorenih u uglaste zagrade: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Ako imate zadatak pred sobom koji ne navodi uvjet za proširenje zagrada modula, onda ih se ne morate riješiti - to će biti konačni rezultat. A ako želite da ih otvorite, onda morate navesti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b)) ². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Pošto je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| > 0, onda je rezultat 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Nepoznati element se također može dati određeni broj, što treba uzeti u obzir, jer to će uticati na znak izraza.

Modul je jedna od onih stvari za koje izgleda da su svi čuli, ali u stvarnosti niko ne razume. Stoga će danas biti velika lekcija posvećena rješavanju jednačina s modulima.

Odmah ću vam reći: lekcija će biti jednostavna. Općenito, moduli su općenito relativno jednostavna tema. „Da, naravno, lako je! Od toga mi mozak eksplodira!" - reći će mnogi studenti, ali svi ti lomovi mozga su zbog činjenice da većina ljudi nema znanje u glavi, već nekakvo sranje. A svrha ove lekcije je pretvoriti sranje u znanje. :)

Malo teorije

Pa idemo. Počnimo s najvažnijim: šta je modul? Da vas podsjetim da je modul broja jednostavno isti broj, ali uzet bez znaka minus. To je, na primjer, $\left| -5 \right|=5$. Ili $\left| -129,5\desno|=129,5$.

Je li to tako jednostavno? Da, jednostavno. Koliki je onda modul pozitivnog broja? Ovdje je još jednostavnije: modul pozitivnog broja jednak je samom ovom broju: $\left| 5\right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ itd.

\[\lijevo| -a \desno|=\lijevo| a\desno|\]

Drugi važna činjenica: modul nikada nije negativan. Koji god broj da uzmemo - čak pozitivan, čak i negativan - njegov modul se uvijek pokaže pozitivnim (ili u ekstremnim slučajevima nula). Zbog toga se modul često naziva apsolutna vrijednost broja.

Osim toga, ako kombiniramo definiciju modula za pozitivan i negativan broj, onda ćemo dobiti globalnu definiciju modula za sve brojeve. Naime: modul broja jednak je samom ovom broju, ako je broj pozitivan (ili nula), ili jednak suprotnom broju, ako je broj negativan. Ovo možete napisati kao formulu:

Postoji i modul od nule, ali je uvijek jednak nuli. Takođe, nula je jedini broj koji nema suprotnost.

Dakle, ako uzmemo u obzir funkciju $y=\left| x \right|$ i pokušajte da nacrtate njegov graf, dobićete takvu "gulu":

Grafikon modula i primjer rješenja jednadžbe

Sa ove slike možete odmah vidjeti da je $\left| -m \desno|=\lijevo| m \right|$, a dijagram modula nikada ne pada ispod x-ose. Ali to nije sve: crvena linija označava ravnu liniju $y=a$, koja nam, sa pozitivnim $a$, daje dva korijena odjednom: $((x)_(1))$ i $((x) _(2)) $, ali o tome ćemo kasnije. :)

Pored čisto algebarske definicije, postoji i geometrijska. Recimo da postoje dvije tačke na brojevnoj pravoj: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. U ovom slučaju, izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je samo udaljenost između navedenih tačaka. Ili, ako želite, dužina segmenta koji povezuje ove tačke:

Modul je rastojanje između tačaka na brojevnoj pravoj

Iz ove definicije također slijedi da je modul uvijek nenegativan. Ali dosta definicija i teorije - pređimo na stvarne jednadžbe. :)

Osnovna formula

U redu, shvatili smo definiciju. Ali nije bilo lakše. Kako riješiti jednadžbe koje sadrže upravo ovaj modul?

Mirno, samo mirno. Počnimo s najjednostavnijim stvarima. Razmotrite nešto poput ovoga:

\[\lijevo| x\desno|=3\]

Dakle, modul$x$ je 3. Čemu može biti jednako $x$? Pa, sudeći po definiciji, $x=3$ će nam sasvim odgovarati. stvarno:

\[\lijevo| 3\desno|=3\]

Ima li drugih brojeva? Čini se da Cap nagoveštava da postoji. Na primjer, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, tj. tražena jednakost je zadovoljena.

Pa možda ako tražimo, razmislimo, nađemo još brojeva? I evo pauze: više brojeva br. Jednačina $\left| x \right|=3$ ima samo dva korijena: $x=3$ i $x=-3$.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Neka umjesto varijable $x$ funkcija $f\left(x \right)$ visi ispod znaka modula, a na desnoj strani umjesto trojke stavimo proizvoljan broj$a$. Dobijamo jednačinu:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\]

Pa, kako se odlučuješ? Da vas podsjetim: $f\left(x \right)$ je proizvoljna funkcija, $a$ je bilo koji broj. One. bilo koji uopšte! Na primjer:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\]

\[\lijevo| 10x-5 \desno|=-65\]

Pogledajmo drugu jednačinu. Za njega možete odmah reći: on nema korijene. Zašto? Tako je: zato što zahtijeva da modul bude jednak negativnom broju, što se nikada ne dešava, pošto već znamo da je modul uvijek pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula.

Ali s prvom jednačinom sve je zabavnije. Postoje dvije opcije: ili postoji pozitivan izraz ispod znaka modula, a zatim $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ili je ovaj izraz i dalje negativan, u kom slučaju $\left| 2x+1 \desno|=-\levo(2x+1 \desno)=-2x-1$. U prvom slučaju, naša jednačina će biti prepisana kao:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\Strelica desno 2x+1=5\]

I odjednom se ispostavi da je izraz podmodula $2x+1$ zaista pozitivan - jednak je broju 5. To jest, možemo bezbedno da rešimo ovu jednačinu - rezultujući koren će biti deo odgovora:

Oni koji su posebno nepovjerljivi mogu pokušati zamijeniti pronađeni korijen u originalnu jednadžbu i uvjeriti se da će ispod modula zaista biti pozitivan broj.

Pogledajmo sada slučaj negativnog izraza podmodula:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Strelica desno 2x+1=-5\]

Ups! Opet, sve je jasno: pretpostavili smo da je $2x+1 \lt 0$, i kao rezultat dobili smo da je $2x+1=-5$ - zaista, ovaj izraz je manji od nule. Rješavamo rezultirajuću jednadžbu, a već sigurno znamo da će nam pronađeni korijen odgovarati:

Ukupno smo ponovo dobili dva odgovora: $x=2$ i $x=3$. Da, ispostavilo se da je količina proračuna malo veća nego u vrlo jednostavnoj jednačini $\left| x \right|=3$, ali u osnovi se ništa nije promijenilo. Pa možda postoji neka vrsta univerzalnog algoritma?

Da, takav algoritam postoji. A sada ćemo to analizirati.

Uklanjanje znaka modula

Neka nam je data jednadžba $\left| f\left(x \right) \right|=a$, i $a\ge 0$ (inače, kao što već znamo, nema korijena). Tada se možete riješiti modulo znaka prema sljedećem pravilu:

\[\lijevo| f\left(x \right) \right|=a\Strelica desno f\left(x \right)=\pm a\]

Tako se naša jednadžba s modulom dijeli na dva, ali bez modula. To je cela tehnologija! Pokušajmo riješiti nekoliko jednačina. Počnimo s ovim

\[\lijevo| 5x+4 \desno|=10\Strelica desno 5x+4=\pm 10\]

Posebno ćemo razmotriti kada je desetica sa plusom na desnoj strani, a posebno kada je sa minusom. Imamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Strelica desno 5x=6\Strelica desno x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Strelica desno 5x=-14\Strelica desno x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Imamo dva korijena: $x=1.2$ i $x=-2.8$. Cijelo rješenje je trajalo doslovno dva reda.

Ok, nema sumnje, hajde da pogledamo nešto malo ozbiljnije:

\[\lijevo| 7-5x \desno|=13\]

Ponovo otvorite modul sa plusom i minusom:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Strelica desno -5x=-20\Strelica desno x=4. \\\end(poravnati)\]

Opet par redova - i odgovor je spreman! Kao što sam rekao, u modulima nema ništa komplikovano. Treba samo zapamtiti nekoliko pravila. Stoga idemo dalje i nastavljamo sa zaista težim zadacima.

Varijabilna desna kutija

Sada razmotrite ovu jednačinu:

\[\lijevo| 3x-2 \desno|=2x\]

Ova jednačina se suštinski razlikuje od svih prethodnih. Kako? A činjenica da je izraz $2x$ desno od znaka jednakosti - i ne možemo unaprijed znati da li je pozitivan ili negativan.

Kako biti u tom slučaju? Prvo, to moramo shvatiti jednom za svagda ako je desna strana jednadžbe negativna, tada jednačina neće imati korijena- već znamo da modul ne može biti jednak negativnom broju.

I drugo, ako je desni dio još uvijek pozitivan (ili jednak nuli), onda možete nastaviti na potpuno isti način kao i prije: samo otvorite modul odvojeno sa znakom plus i odvojeno sa znakom minus.

Dakle, formuliramo pravilo za proizvoljne funkcije $f\left(x \right)$ i $g\left(x \right)$:

\[\lijevo| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

S obzirom na našu jednačinu, dobijamo:

\[\lijevo| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Pa, možemo nekako podnijeti zahtjev za $2x\ge 0$. Na kraju, možemo glupo zamijeniti korijene koje dobijemo iz prve jednadžbe i provjeriti da li nejednakost vrijedi ili ne.

Dakle, riješimo samu jednačinu:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Strelica desno 3x=0\Strelica desno x=0. \\\end(poravnati)\]

Pa, koji od ova dva korijena zadovoljava zahtjev $2x\ge 0$? Da, oboje! Dakle, odgovor će biti dva broja: $x=(4)/(3)\;$ i $x=0$. To je rešenje. :)

Sumnjam da je jednom od učenika već počelo da dosadi? Pa, razmotrimo još složeniju jednačinu:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]

Iako izgleda zločesto, u stvari je sve ista jednadžba oblika "modul jednak funkcija":

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\]

I rješava se na isti način:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\Strelica desno \levo\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(poravnaj) \desno.\]

Kasnije ćemo se pozabaviti nejednakošću - ona je nekako previše opaka (zapravo jednostavno, ali je nećemo riješiti). Za sada, pogledajmo rezultirajuće jednačine. Razmotrimo prvi slučaj - to je kada se modul proširi znakom plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

E, tu je neozbiljno da treba sakupiti sve što je lijevo, donijeti slične i vidjeti šta će biti. I evo šta se dešava:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(poravnati)\]

Stavljajući zajednički faktor $((x)^(2))$ iz zagrade, dobijamo vrlo jednostavnu jednačinu:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Strelica desno \levo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Ovdje smo koristili važno svojstvo proizvoda, zbog kojeg smo faktorizovali originalni polinom: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Sada ćemo se na isti način pozabaviti drugom jednadžbom, koja se dobija proširenjem modula sa predznakom minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\lijevo(-3x+2 \desno)=0. \\\end(poravnati)\]

Opet, ista stvar: proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula. Imamo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Pa, imamo tri korijena: $x=0$, $x=1.5$ i $x=(2)/(3)\;$. Pa, šta će ući u konačni odgovor iz ovog skupa? Da biste to učinili, zapamtite da imamo dodatno ograničenje nejednakosti:

Kako uzeti u obzir ovaj zahtjev? Zamijenimo pronađene korijene i provjerimo vrijedi li nejednakost za ove $x$ ili ne. Imamo:

\[\begin(align)& x=0\Strelica desno x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Strelica desno x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(poravnati)\]

Dakle, korijen $x=1.5$ nam ne odgovara. I samo će dva korijena ići kao odgovor:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kao što vidite, čak ni u ovom slučaju nije bilo ništa teško - jednadžbe s modulima se uvijek rješavaju prema algoritmu. Samo trebate dobro razumjeti polinome i nejednakosti. Stoga prelazimo na složenije zadatke - već će postojati ne jedan, već dva modula.

Jednačine sa dva modula

Do sada smo proučavali samo najjednostavnije jednačine - postojao je jedan modul i nešto drugo. Ovo “nešto drugo” smo poslali u drugi dio nejednakosti, dalje od modula, da bi se na kraju sve svelo na jednadžbu poput $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ili još jednostavnije $\left| f\levo(x \desno) \desno|=a$.

Ali Kindergarten gotovo - vrijeme je da razmislite o nečem ozbiljnijem. Počnimo sa ovakvim jednadžbama:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\]

Ovo je jednadžba oblika "modul je jednak modulu". Fundamentalno važna stvar je odsustvo drugih pojmova i faktora: samo jedan modul lijevo, još jedan modul desno - i ništa više.

Netko bi sada pomislio da je takve jednačine teže riješiti od onoga što smo do sada proučavali. Ali ne: ove jednačine se rješavaju još lakše. Evo formule:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Sve! Jednostavno izjednačavamo izraze podmodula tako što jednom od njih stavimo prefiks sa znakom plus ili minus. A onda rješavamo rezultirajuće dvije jednadžbe - i korijeni su spremni! Bez dodatnih ograničenja, bez nejednakosti itd. Sve je vrlo jednostavno.

Pokušajmo riješiti ovaj problem:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\]

Elementary Watson! Otvaranje modula:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\Strelica desno 2x+3=\pm \levo(2x-7 \desno)\]

Razmotrimo svaki slučaj posebno:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\lijevo(2x-7 \desno)\Strelica desno 2x+3=-2x+7. \\\end(poravnati)\]

Prva jednadžba nema korijen. Jer kada je $3=-7$? Za koje vrijednosti $x$? „Šta je jebote $x$? Jeste li naduvani? Uopšte ne postoji $x$,” kažete. I bićeš u pravu. Dobili smo jednakost koja ne zavisi od varijable $x$, a istovremeno je i sama jednakost netačna. Zato nema korena.

Sa drugom jednačinom sve je malo zanimljivije, ali i vrlo, vrlo jednostavno:

Kao što vidite, sve je odlučeno bukvalno u par redova - od linearne jednačine ništa drugo nismo ni očekivali. :)

Kao rezultat, konačni odgovor je: $x=1$.

Pa, kako? Tesko? Naravno da ne. Hajde da probamo nešto drugo:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]

Opet imamo jednačinu poput $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\levo(x \desno) \desno|$. Stoga ga odmah prepisujemo, otkrivajući znak modula:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \levo(x-1 \desno)\]

Možda će neko sada pitati: „Hej, kakve gluposti? Zašto je plus-minus na desnoj, a ne na lijevoj strani? Smiri se, sve ću ti objasniti. Zaista, na dobar način, trebali smo prepisati našu jednačinu na sljedeći način:

Zatim morate otvoriti zagrade, pomaknuti sve članove u jednom smjeru od znaka jednakosti (pošto će jednadžba, očito, u oba slučaja biti kvadratna), a zatim pronaći korijene. Ali morate priznati: kada je “plus ili minus” ispred tri pojma (posebno kada je jedan od ovih pojmova kvadratni izraz), ovo nekako izgleda komplikovanije od situacije kada je „plus ili minus“ samo ispred dva pojma.

Ali ništa nas ne sprječava da originalnu jednačinu prepišemo na sljedeći način:

Šta se desilo? Da, ništa posebno: samo zamenjena leva i desna strana. Sitnica, koja će nam na kraju malo pojednostaviti život. :)

Općenito, rješavamo ovu jednačinu, uzimajući u obzir opcije s plusom i minusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Strelica desno ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\lijevo(x-1 \desno)\Strelica desno ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(poravnati)\]

Prva jednadžba ima korijene $x=3$ i $x=1$. Drugi je općenito tačan kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\lijevo(x-1 \desno))^(2))\]

Dakle, ima jedan korijen: $x=1$. Ali ovaj korijen smo već primili ranije. Dakle, samo dva broja će ući u konačni odgovor:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Zadatak izvršen! Možete ga uzeti sa police i pojesti pitu. Ima ih 2, tvoj prosek. :)

Važna napomena. Prisustvo istih korijena za različite verzije proširenja modula znači da se originalni polinomi razlažu na faktore, a među tim faktorima će nužno postojati i zajednički. stvarno:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\&\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| \levo(x-1 \desno)\levo(x-2 \desno) \desno|. \\\end(poravnati)\]

Jedno od svojstava modula: $\left| a\cdot b \desno|=\lijevo| a \right|\cdot \left| b \right|$ (to jest, modul proizvoda je jednak proizvodu modula), tako da se originalna jednačina može prepisati kao

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|\]

Kao što vidite, zaista imamo zajednički faktor. Sada, ako sakupite sve module na jednoj strani, onda možete izvaditi ovaj množitelj iz zagrade:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|; \\&\lijevo| x-1 \desno|-\lijevo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \right|=0; \\&\lijevo| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(poravnati)\]

Pa, sada se prisjećamo da je proizvod jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \desno|=0, \\& \levo| x-2 \right|=1. \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Tako je originalna jednadžba sa dva modula svedena na dvije najjednostavnije jednadžbe o kojima smo govorili na samom početku lekcije. Takve jednačine se mogu riješiti u samo par redova. :)

Ova primjedba može izgledati nepotrebno komplikovana i neprimjenjiva u praksi. Međutim, u stvarnosti možete naići na mnogo složenije zadatke od onih koje danas analiziramo. U njima se moduli mogu kombinirati s polinomima, aritmetičkim korijenima, logaritmima itd. I u takvim situacijama, mogućnost snižavanja ukupnog stepena jednačine stavljanjem nečega izvan zagrade može biti vrlo, vrlo zgodna. :)

Sada bih htio analizirati još jednu jednačinu, koja na prvi pogled može izgledati suludo. Mnogi studenti se toga “drže” – čak i oni koji vjeruju da dobro razumiju module.

Međutim, ovu jednačinu je još lakše riješiti od onoga što smo ranije razmatrali. A ako shvatite zašto, dobit ćete još jedan trik za brzo rješavanje jednačina s modulima.

Dakle, jednačina je:

\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]

Ne, ovo nije greška u kucanju: to je plus između modula. I treba da nađemo za koje je $x$ zbir dva modula jednak nuli. :)

Šta je problem? A problem je što je svaki modul pozitivan broj, ili u ekstremnim slučajevima nula. Šta se dešava kada saberete dva pozitivna broja? Očigledno, opet pozitivan broj:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Posljednji red može vam dati ideju: jedini slučaj u kojem je zbroj modula nula je ako je svaki modul jednak nuli:

Kada je modul jednak nuli? Samo u jednom slučaju - kada je izraz podmodula jednak nuli:

\[((x)^(2))+x-2=0\Strelica desno \levo(x+2 \desno)\levo(x-1 \desno)=0\Strelica desno \levo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(poravnati) \desno.\]

Dakle, imamo tri tačke u kojima je prvi modul postavljen na nulu: 0, 1 i −1; kao i dvije tačke u kojima se drugi modul nuli: −2 i 1. Međutim, potrebno je da oba modula budu nulirana u isto vrijeme, tako da među pronađenim brojevima trebamo izabrati one koji su uključeni u oba skupa. Očigledno, postoji samo jedan takav broj: $x=1$ - ovo će biti konačni odgovor.

metoda razdvajanja

Pa, već smo pokrili gomilu zadataka i naučili mnogo trikova. Mislite li da je to to? Ali ne! Sada ćemo razmotriti konačnu tehniku - i istovremeno najvažniju. Govorit ćemo o dijeljenju jednačina s modulom. O čemu će se raspravljati? Vratimo se malo unazad i razmotrimo jednu jednostavnu jednačinu. Na primjer, ovo:

\[\lijevo| 3x-5\desno|=5-3x\]

U principu, već znamo kako riješiti takvu jednačinu, jer je standardna $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ali hajde da pokušamo da sagledamo ovu jednačinu iz malo drugačijeg ugla. Preciznije, razmotrite izraz pod znakom modula. Da vas podsjetim da modul bilo kojeg broja može biti jednak samom broju, ili može biti suprotan ovom broju:

\[\lijevo| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Zapravo, ta nejasnoća je cijeli problem: pošto se broj ispod modula mijenja (zavisi od varijable), nije nam jasno da li je pozitivan ili negativan.

Ali šta ako u početku zahtijevamo da ovaj broj bude pozitivan? Na primjer, tražimo da je $3x-5 \gt 0$ - u ovom slučaju, garantirano ćemo dobiti pozitivan broj ispod predznaka modula, i možemo se potpuno riješiti ovog modula:

Tako će se naša jednačina pretvoriti u linearnu, koja se lako rješava:

Istina, sva ova razmatranja imaju smisla samo pod uslovom $3x-5 \gt 0$ - sami smo uveli ovaj zahtjev kako bismo nedvosmisleno otkrili modul. Dakle, zamijenimo pronađeni $x=\frac(5)(3)$ u ovaj uslov i provjerimo:

Ispostavilo se da za navedenu vrijednost od $x$ naš zahtjev nije ispunjen, jer Ispostavilo se da je izraz jednak nuli, a potrebno je da bude striktno veći od nule. Tužan. :(

Ali to je u redu! Na kraju krajeva, postoji još jedna opcija $3x-5 \lt 0$. Štaviše: postoji i slučaj $3x-5=0$ - ovo se takođe mora uzeti u obzir, inače će rješenje biti nepotpuno. Dakle, razmotrite slučaj $3x-5 \lt 0$:

Očigledno je da će se modul otvoriti sa znakom minus. Ali tada nastaje čudna situacija: i na lijevoj i na desnoj strani u izvornoj jednadžbi stršiće isti izraz:

Pitam se za šta će takav $x$ izraz $5-3x$ biti jednak izrazu $5-3x$? Iz ovakvih jednadžbi bi se i Kapetan očito ugušio pljuvačkom, ali znamo da je ova jednačina identitet, tj. vrijedi za bilo koju vrijednost varijable!

A to znači da će nam odgovarati bilo koji $x$. Međutim, imamo ograničenje:

Drugim riječima, odgovor neće biti jedan broj, već cijeli interval:

Konačno, ostaje još jedan slučaj za razmatranje: $3x-5=0$. Ovdje je sve jednostavno: ispod modula će biti nula, a modul nule je također jednak nuli (ovo direktno slijedi iz definicije):

Ali onda originalna jednačina $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ će se prepisati ovako:

Već smo dobili ovaj korijen iznad kada smo razmatrali slučaj $3x-5 \gt 0$. Štaviše, ovaj korijen je rješenje jednačine $3x-5=0$ - ovo je ograničenje koje smo sami uveli da poništimo modul. :)

Tako ćemo, osim intervala, biti zadovoljni i brojem koji leži na samom kraju ovog intervala:

Kombiniranje korijena u jednadžbi s modulom

Ukupan konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nije baš uobičajeno vidjeti takvo sranje u odgovoru na prilično jednostavnu (u suštini linearnu) jednačinu sa modulom Pa, naviknite se na to: složenost modula leži u činjenici da odgovori u takvim jednadžbama mogu biti potpuno nepredvidivi.

Mnogo važnije je nešto drugo: upravo smo demontirali univerzalni algoritam za rješavanje jednadžbe s modulom! A ovaj algoritam se sastoji od sljedećih koraka:

Izjednačite svaki modul u jednačini sa nulom. Hajde da dobijemo neke jednačine;
Riješite sve ove jednačine i označite korijene na brojevnoj pravoj. Kao rezultat toga, ravna linija će biti podijeljena na nekoliko intervala, na svakom od kojih su svi moduli jedinstveno prošireni;
Riješite originalnu jednačinu za svaki interval i kombinirajte odgovore.

To je sve! Ostaje samo jedno pitanje: šta učiniti sa samim korijenima, dobivenim u 1. koraku? Recimo da imamo dva korijena: $x=1$ i $x=5$. Oni će razbiti brojevnu pravu na 3 dijela:

Dijeljenje brojevne prave na intervale pomoću tačaka

Dakle, koji su intervali? Jasno je da ih ima tri:

Krajnje lijevo: $x \lt 1$ - sama jedinica nije uključena u interval;
Centralno: $1\le x \lt 5$ - ovdje je jedan uključen u interval, ali pet nije uključeno;
Krajnji desni: $x\ge 5$ — pet je uključeno samo ovdje!

Mislim da već razumete obrazac. Svaki interval uključuje lijevi kraj i ne uključuje desni kraj.

Na prvi pogled takav zapis može izgledati neugodno, nelogično i općenito neka vrsta ludila. Ali vjerujte mi: nakon malo vježbe, vidjet ćete da je ovaj pristup najpouzdaniji i da u isto vrijeme ne ometa nedvosmisleno otkrivanje modula. Bolje je koristiti takvu shemu nego svaki put razmišljati: dati lijevi / desni kraj trenutnom intervalu ili ga "baciti" sljedećem.

Ovdje se lekcija završava. Preuzmite zadatke za nezavisna odluka, trenirajte, uporedite sa odgovorima - i vidimo se na sledećoj lekciji, koja će biti posvećena nejednakostima sa modulima. :)