Funkcija unakrsne korelacije(VKF) je procjena korelacijskih svojstava između dva slučajna procesa i , predstavljena opservacijama na terenu na dva profila, na dva traga, itd.
VKF se izračunava po formuli:
(4.7)
gdje n je broj bodova u svakoj implementaciji, tj. za svaki profil, rutu itd.
I - prosječne vrijednosti posmatranih podataka za ove profile, tragove.
Kada su prosječne vrijednosti jednake nuli: formula (4.7) se pojednostavljuje
(4.8)
At m=0, vrijednost CCF-a jednaka je proizvodu vrijednosti polja za istoimene diskretne opservacije duž profila, tragova itd.
Kod , vrijednost VKF-a jednaka je proizvodu vrijednosti polja pomjerenih za jedan uzorak. U ovom slučaju ćemo pretpostaviti da je pomak za jednu diskretnu stranu lijevo od naknadnog profila, tj. , u odnosu na prethodni, tj. , odgovara pozitivnoj pristrasnosti, tj. , a pomak udesno odgovara vrijednosti .
Pošto se at i at množe različita značenja polju, za razliku od izračunavanja ACF, tada VKF nije parna funkcija, tj. .
Kod , vrijednost VKF-a jednaka je proizvodu vrijednosti polja koje su već pomaknute za dva diskretna, itd.
U praksi se često koristi normalizovani CCF, definisan kao (4.8)
gdje su i standardne devijacije vrijednosti polja za prvi i drugi profil traga.
VKF je našao primenu u rešavanju tri glavna problema obrade geofizičkih podataka:
1) Procjena korelacijskih svojstava signala pod uslovom nekorelirane interferencije između profila, staza i neznatne promjene oblika signala od profila do profila (od puta do puta), što se obično radi u praksi, jer udaljenost između profila je odabrana tako da su signali u korelaciji između profila, a interferencija, naprotiv, ne bi bila korelirana. U seizmičkim istraživanjima, razmaci geofona se biraju tako da nepravilni talasi buke nisu u korelaciji između susjednih tragova. U ovom slučaju, VKF će biti jednak
one. ako se valni oblici poklapaju, posljednji zbir će biti jednak ACF signala.
Stoga, CCF pouzdanije procjenjuje svojstva korelacije signala u odnosu na ACF.
2) Procjena udara signala iz pozitivnih ekstrema CCF. Pozitivni VKF ekstremi ukazuju na postojanje korelacije signala između profila, tragova, budući da vrijednost argumenta , pri kojoj se postiže VKF ekstremum, odgovara pomaku signala na sljedećem profilu u odnosu na njegovu poziciju na prethodnom. Dakle, pomak signala od profila do profila se određuje iz veličine pozitivnih ekstrema CCF, što dovodi do procjene udara signala.
U slučaju signala (anomalija) različitih udaraca, VKF ima dva ili više pozitivnih ekstrema.
Na slici 4.2,a prikazani su rezultati posmatranja fizičkog polja na pet profila i grafovi VCF koji odgovaraju tim opservacijama, prema kojima se određuje udar signala, koji odgovara njihovom pomaku za dva diskretna od profila do profila.
U slučaju interferencije dva signala, kao što je prikazano na slici 4.2, b, dva pozitivna ekstrema su fiksirana na i , što dalje, pri sumiranju podataka na više profila u pravcu udara signala, omogućava jasno razdvajanje ih preko područja istraživanja.
Konačno, oštar pomak CCF ekstrema za bilo koji par profila u poređenju sa ekstremima susjednih parova profila omogućava korištenje CCF-a za isticanje kršenja u raspodjeli polja, kao što je prikazano na slici 4.2,c. Na osnovu takvog pomaka VKF ekstrema obično se kartiraju rasjedi sa potezom koji je blizu prostiranja geofizičkih profila.
Prilikom obrade seizmičkih zapisa, konstrukcija CCF-a između podataka susjednih tragova daje procjenu ukupnih statičkih i kinematičkih korekcija, određene apscisom pozitivnog ekstremuma CCF-a. Sa poznavanjem kinematike, tj. brzinske karakteristike vremenskog presjeka, nije teško odrediti vrijednost statičke korekcije.
Svojstva autokorelacionih funkcija
Autokorelacione funkcije igraju važnu ulogu u predstavljanju slučajnih procesa i u analizi sistema koji rade sa slučajnim ulaznim signalima. Stoga predstavljamo neka svojstva autokorelacionih funkcija stacionarnih procesa.
1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).
2. R x (t) = R x (-t). Funkcija autokorelacije je parna funkcija. Ovo svojstvo simetrije grafa funkcije izuzetno je korisno pri izračunavanju autokorelacijske funkcije, jer znači da se proračuni mogu vršiti samo za pozitivno t, a negativno t se može odrediti korištenjem svojstva simetrije.
3.½Rx(t)½£ Rx(0). Najviša vrijednost autokorelacija, po pravilu, zauzima t = 0.
Primjer. U slučajnom procesu X(t) = A Coswt, gdje je A slučajna varijabla sa karakteristikama: M(A) = 0, D(A) = s 2, pronađite M(X), D(X) i R x (t 1 ,t2).
Rješenje. Hajde da nađemo očekivana vrijednost i varijansa slučajnog procesa:
M(X) = M(A Coswt) = Coswt × M(A) = 0,
D (X) \u003d M ((A Coswt-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 wt = s 2 Cos 2 wt.
Sada pronađimo funkciju autokorelacije
R x (t 1,t 2) \u003d M (A Coswt 1 × A Coswt 2) \u003d
M(A 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2 .
Ulazni X(t) i izlazni Y(t) slučajni signali sistema se mogu posmatrati kao dvodimenzionalni vektorski slučajni proces.Uvedite numeričke karakteristike ovog procesa.
Matematičko očekivanje i varijansa vektorskog slučajnog procesa definira se kao matematičko očekivanje i varijansa njegovih komponenti:
Uvodimo funkciju korelacije vektorskog procesa koristeći matricu drugog reda:
gdje je R xy (t 1 , t 2) unakrsna korelaciona funkcija slučajnih procesa X(t) i Y(t), definirana na sljedeći način
Iz definicije unakrsne korelacijske funkcije slijedi da
R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).
Normalizirana međukorelacija dva slučajna procesa X(t), Y(t) je funkcija
Definicija. Ako je međusobna korelacija slučajnih procesa X(t) i Y(t) jednaka nuli:
tada se slučajni procesi nazivaju nekoreliranim.
Za zbir slučajnih procesa X(t) i Y(t), funkcija autokorelacije je jednaka
R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1,t 2) + R yx (t 1,t 2) + R y (t 1,t 2 ).
Za nekorelirane slučajne procese X(t) i Y(t), funkcija autokorelacije sume slučajnih procesa jednaka je zbroju autokorelacijskih funkcija
R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),
i stoga je varijansa zbira slučajnih procesa jednaka zbroju varijansi:
D x + y (t) = D x (t) + D y (t).
Ako su gdje X 1 (t), ..., X n (t) nekorelirani slučajni procesi, onda
Prilikom izvođenja različitih transformacija sa slučajnim procesima, često ih je zgodno napisati u složenom obliku.
Složeni slučajni proces je slučajni proces oblika
Z(t) = X(t) + i Y(t),
gdje su X(t), Y(t) stvarni slučajni procesi.
Matematičko očekivanje, korelaciona funkcija i varijansa složenog slučajnog procesa definiraju se na sljedeći način:
M(Z) = M(X) + i M(Y),
gdje znak * označava kompleksnu konjugaciju;
Primjer. Neka je slučajni proces , gdje je w konstantna vrijednost, ovdje su A i j nezavisne slučajne varijable, a M(A) = m A , D(A) = s 2 , i j je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla na intervalu . Odrediti matematičko očekivanje, korelacione funkcije i varijansu složenog slučajnog procesa Z(t).
Rješenje. Nađimo matematičko očekivanje:
Koristeći uniformnu distribuciju slučajne varijable j na intervalu, imamo
Funkcija autokorelacije slučajnog procesa Z(t) je
Dakle, imamo
D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = s 2 + m A 2.
Iz dobijenih rezultata proizilazi da je slučajni proces Z(t) stacionaran u širem smislu.
Međusobne korelacijske funkcije signala
Funkcija unakrsne korelacije(CCF) različitih signala (cross-correlation function, CCF) opisuje kako stepen sličnosti oblika dva signala, tako i njihov međusobnog dogovora jedna u odnosu na drugu duž koordinata (nezavisna varijabla). Generalizirajući formulu (6.1) autokorelacijske funkcije na dva različita signala s(t) i u(t), dobijamo sljedeće skalarni proizvod signali:
B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6.14)
Međusobna korelacija signala karakteriše određenu korelaciju pojava i fizički procesi prikazano ovim signalima, a može poslužiti kao mjera „stabilnosti“ ovog odnosa u slučaju odvojene obrade signala u različitim uređajima. Za signale konačne energije, CCF je također konačan, dok:
|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,
što proizilazi iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky i nezavisnosti normi signala od pomaka u koordinatama.
Promjenom varijable t = t-t u formuli (6.2.1) dobijamo:
B su (t) \u003d s (t-t) u (t) dt = u (t) s (t-t) dt = B us (-t).
To implicira da CCF ne zadovoljava uslov parnosti, B su (t) ¹ B su (-t), a CCF vrijednosti ne moraju imati maksimum pri t = 0.
To se može jasno vidjeti na sl. 6.6, gdje su data dva identična signala sa centrima u tačkama 0,5 i 1,5. Izračunavanje po formuli (6.14) uz postepeno povećanje vrijednosti t znači uzastopne pomake signala s2(t) ulijevo duž vremenske ose (za svaku vrijednost s1(t), vrijednosti s2 (t+t) uzimaju se za množenje integrala). Pri t=0, signali su ortogonalni i vrijednost B 12 (t)=0. Maksimalni B 12 (t) će se uočiti kada se signal s2(t) pomakne ulijevo za vrijednost t=1, pri čemu su signali s1(t) i s2(t+t) potpuno kombinovani.
Rice. 6.6. Signali i VKF
Iste vrijednosti CCF prema formulama (6.14) i (6.14") se uočavaju na istom međusobnom položaju signala: kada se signal u(t) u odnosu na s(t) pomjeri za interval t do desno duž y-ose i signal s(t ) u odnosu na signal u(t) lijevo, tj. B su (t) = B us (-t).
Na sl. 6.7 prikazuje primjere CCF-a za pravokutni signal s(t) i dva identična trokutna signala u(t) i v(t). Svi signali imaju isto trajanje T, dok je signal v(t) pomaknut naprijed za interval T/2.
Rice. 6.7. Unakrsne kovarijancijske funkcije signala
Signali s(t) i u(t) su isti u smislu vremenske lokacije i područje "preklapanja" signala je maksimalno pri t=0, što je fiksirano funkcijom B su . Istovremeno, funkcija B su oštro asimetrična, jer se kod asimetričnog oblika signala u(t) za simetričan oblik s(t) (u odnosu na centar signala), područje "preklapanja" signala mijenja različito ovisno o na smjer pomaka (znak t sa povećanjem vrijednosti t od nule). Kada se početni položaj signala u(t) pomakne ulijevo duž ordinatne ose (ispred signala s(t) - signal v(t)) VKF oblik ostaje nepromijenjen i pomiče se udesno za isti pomak vrijednost - funkcija B sv na sl. 6.7. Ako se izrazi funkcija u (6.14) zamijene, tada će nova funkcija B vs biti zrcalna funkcija B sv u odnosu na t=0.
Uzimajući u obzir ove karakteristike, ukupni CCF se u pravilu izračunava odvojeno za pozitivna i negativna kašnjenja:
B su (t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6,14")
Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod
Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.
Objavljeno na http://www.allbest.ru/
Objavljeno na http://www.allbest.ru/
korelacione funkcije. Funkcija međusobne korelacije. Linearna transformacija slučajni proces
1. Korelacijska funkcija
U proučavanju slučajnih signala široko se koristi teorija slučajnih procesa, zasnovana na korištenju momenata koji nisu viši od drugog reda. Ova teorija se zove teorija korelacije.
Definicija. Korelaciona funkcija R x (t 1 ,t 2) slučajnog procesa X(t) je korelacioni moment centriranog slučajnog procesa u dva preseka t = t 1 i t = t 2:
Korelaciona funkcija ima sva svojstva korelacionog momenta. Često se umjesto korelacijske funkcije smatra normalizirana korelacijska funkcija x (t 1 ,t 2):
koja je bezdimenzionalna.
U nastavku ćemo razmatrati samo centrirane slučajne procese. Ako proces nije centriran, onda će to biti posebno navedeno.
Korelaciona funkcija R x (t 1 ,t 2) slučajnog procesa X(t) se takođe naziva autokorelacionom funkcijom.
Za stacionarne procese (u širem i užem smislu), funkcija autokorelacije ima oblik
R x (t 1 ,t 2) = R x (0, t 2 - t 1) = R x () ,
gdje je = t 2 - t 1.
Također možete definirati funkciju vremenske autokorelacije na sljedeći način
gdje je implementacija centriranog slučajnog procesa X(t). Za ergodičke procese = R x ().
Ispod je tipičan dijagram autokorelacione funkcije
2. Svojstva autokorelacionih funkcija
Autokorelacione funkcije igraju važnu ulogu u predstavljanju slučajnih procesa i u analizi sistema koji rade sa slučajnim ulaznim signalima. Stoga predstavljamo neka svojstva autokorelacionih funkcija stacionarnih procesa.
1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).
2. R x () = R x (-). Funkcija autokorelacije je parna funkcija. Ovo svojstvo simetrije grafa funkcije izuzetno je korisno pri izračunavanju autokorelacione funkcije, jer znači da se proračuni mogu vršiti samo za pozitivne, a za negativne se mogu odrediti pomoću svojstva simetrije.
3.R x () R x (0). Najveća vrijednost autokorelacijske funkcije, po pravilu, zauzima pri = 0.
Primjer. U slučajnom procesu X(t) = A Cost, gdje je A slučajna varijabla sa karakteristikama: M(A) = 0, D(A) = 2, pronađite M(X), D(X) i R x ( t 1 , t2).
Rješenje. Nađimo matematičko očekivanje i varijansu slučajnog procesa:
M(X) = M(A trošak) = trošak M(A) = 0,
D (X) = M ((A trošak-0) 2) = M (A 2) Cos 2 t \u003d 2 Cos 2 t.
Sada pronađimo funkciju autokorelacije
R x (t 1, t 2) \u003d M (A trošak 1 A trošak 2) \u003d
M(A 2) Trošak 1 Trošak 2 = 2 Trošak 1 Trošak 2 .
3. Funkcija unakrsne korelacije
Ulazni X(t) i izlazni Y(t) slučajni signali sistema se mogu posmatrati kao dvodimenzionalni vektorski slučajni proces.Uvedite numeričke karakteristike ovog procesa.
Matematičko očekivanje i varijansa vektorskog slučajnog procesa definira se kao matematičko očekivanje i varijansa njegovih komponenti:
Uvodimo funkciju korelacije vektorskog procesa koristeći matricu drugog reda:
gdje je R xy (t 1 , t 2) unakrsna korelaciona funkcija slučajnih procesa X(t) i Y(t), definirana na sljedeći način
Iz definicije unakrsne korelacijske funkcije slijedi da
R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).
Normalizirana međukorelacija dva slučajna procesa X(t), Y(t) je funkcija
Definicija. Ako je međusobna korelacija slučajnih procesa X(t) i Y(t) jednaka nuli:
tada se slučajni procesi nazivaju nekoreliranim.
Za zbir slučajnih procesa X(t) i Y(t), funkcija autokorelacije je jednaka
R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1,t 2) + R yx (t 1,t 2) + R y (t 1,t 2 ).
Za nekorelirane slučajne procese X(t) i Y(t), funkcija autokorelacije sume slučajnih procesa jednaka je zbroju autokorelacijskih funkcija
R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),
i stoga je varijansa zbira slučajnih procesa jednaka zbroju varijansi:
D x + y (t) = D x (t) + D y (t).
Ako su gdje X 1 (t), ..., X n (t) nekorelirani slučajni procesi, onda
Prilikom izvođenja različitih transformacija sa slučajnim procesima, često ih je zgodno napisati u složenom obliku.
Složeni slučajni proces je slučajni proces oblika
Z(t) = X(t) + i Y(t),
gdje su X(t), Y(t) stvarni slučajni procesi.
Matematičko očekivanje, korelaciona funkcija i varijansa složenog slučajnog procesa definiraju se na sljedeći način:
M(Z) = M(X) + i M(Y),
gdje znak * označava kompleksnu konjugaciju;
Primjer. Neka je slučajni proces, gdje je konstantna vrijednost, Ovdje su A i nezavisne slučajne varijable, a M(A) = m A , D(A) = 2, i jednoliko je raspoređena slučajna varijabla na intervalu . Odrediti matematičko očekivanje, korelacione funkcije i varijansu složenog slučajnog procesa Z(t).
Rješenje. Nađimo matematičko očekivanje:
Koristeći uniformnu distribuciju slučajne varijable na intervalu, imamo
Funkcija autokorelacije slučajnog procesa Z(t) je
Dakle, imamo
D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = 2 + m A 2 .
Iz dobijenih rezultata proizilazi da je slučajni proces Z(t) stacionaran u širem smislu.
4. Linearna transformacijaslučajni proces
Prilikom rješavanja mnogih praktičnih problema radiotehnike potrebno je odrediti karakteristike slučajnog procesa na izlazu iz linearnog sistema. Linearni sistem izvodi linearne operacije nad ulaznim slučajnim procesom. To znači da ako slučajni proces X(t) stigne na ulaz sistema, onda se na izlazu ovaj proces transformiše u slučajni proces
Y(t) = A ,
gdje je A operator (transformacija) sa sljedećim svojstvima:
A [ 1 X 1 (t) + 2 X 2 (t)] = 1 A + 2 .
Evo konstanti.
Primjeri linearnih operatora
Operator množenja neslučajnom funkcijom f(t):
Y(t) = A = f(t)X(t).
Definirajmo matematičko očekivanje i autokorelacijske funkcije slučajnog procesa Y(t):
m y (t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),
Operator diferencijacije:
Predstavljanje derivata kao granice
i primjenom operacije očekivanja na desnu i lijevu stranu jednakosti, dobijamo
Operator integracije:
Integral predstavljamo kao integralni zbir
i primijeniti operaciju očekivanja na ovu jednakost. Onda imamo
Funkcija autokorelacije slučajnog procesa se lako određuje:
5. Fourierova transformacija
Prilikom analize raznih linearni sistemi Fourierove i Laplaceove transformacije se široko koriste, što olakšava izvođenje potrebnih proračuna. Glavni razlog za ovo pojednostavljenje je zamjena postupka konvolucije koji se koristi u analizi sistema u vremenskom domenu uobičajenom operacijom množenja frekvencijskih karakteristika i funkcija korištenih u analizi u frekvencijskom domenu.
Pretpostavimo da imamo signal (ne-slučajan, koji je funkcija vremena) f(t), mjeren u voltima. Onda
Fourierova transformacija signala f(t) (ponekad se Fourierova transformacija podrazumijeva kao konjugirana vrijednost F*()), koja ima dimenziju i određuje relativne amplitude i faze neprigušenih harmonijskih komponenti. Dakle, omjer amplituda u Fourierovoj transformaciji karakterizira gustinu distribucije frekvencije amplituda, i stoga određuje raspodjelu energije po spektru. Spektar bilo kojeg oscilatornog procesa je funkcija koja opisuje raspodjelu amplituda harmonika na različitim frekvencijama. Spektar pokazuje kakve frekventne oscilacije prevladavaju u datom procesu i kakva je njegova unutrašnja struktura.
Razvijena je teorija za Fourierovu transformaciju, čija je suština ukratko sljedeća.
Uvodi se prostor L 2 (-,) - prostor kvadratno sabirljivih funkcija, odnosno onih funkcija za koje
Ako je f(t) signal, onda ovaj uslov znači da je snaga ovog signala konačna.
gotovina. Za svaku funkciju f L 2 (-,) postoji ograničenje prosjeka funkcije
na T i ova granica je označena
gdje je F() L 2 (-,). Postoji i inverzna transformacija
Za dvije Fourierove transformacije
zadovoljava generaliziranu Parsevalovu jednakost:
Konkretno, dobijamo uobičajenu Parsevalovu jednakost
6. Spektralna gustina stacionarnog slučajnog procesa
Direktna primjena Fourierove transformacije za implementaciju slučajnog procesa x(t) nije primjenjiva, jer ova transformacija ne postoji. Da bi se Fourierova transformacija koristila u analizi stacionarnog (centriranog) slučajnog procesa, potrebno je modificirati implementaciju procesa na način da Fourierova transformacija postoji za svaku implementaciju. Jedan takav način je uvođenje skraćenog procesa X T (t):
Ovaj skraćeni proces zadovoljava zahtjev za postojanjem Fourierove transformacije za bilo koju implementaciju, budući da
Ovaj odnos znači da je zadovoljen za bilo koju implementaciju slučajnog procesa X T (t). Sada, za skraćeni proces, možemo uvesti Fourierovu transformaciju, što znači Fourierovu transformaciju bilo koje od njegovih implementacija:
Cilj ovoga što slijedi je dokazati činjenicu da, u granici kao T, postoji, čak i ako ne postoji, Fourierova transformacija za neku realizaciju.
Prvi korak dokaza je primjena Parsevalove jednakosti:
primeti, to
(2)
Usrednjimo sada lijevu stranu jednakosti (1) u vremenu kako bismo dobili prosječnu snagu slučajnog procesa
Lijeva strana rezultirajuće jednakosti je kvadrat efektivne vrijednosti funkcije X T (t). Osim toga, za ergodični proces na T ova vrijednost se približava vrijednosti srednjeg kvadrata slučajnog procesa M(X 2 (t)).
U odnosu (3) nemoguće je prijeći na granicu na T, jer ona ne postoji.
Stoga prvo uzimamo matematičko očekivanje lijevog i desnog dijela ove jednakosti
i prepiši ga, usmjeravajući T. Zatim
Za stacionarni proces
Dakle, dobijamo omjer
Vrijednost
naziva se spektralna gustina slučajnog procesa. Ističemo da je nakon izvođenja operacije usrednjavanja po skupu realizacija (preko ansambla) valjan prijelaz na granicu na T. Ako je X(t) napon, onda ([X] = B), S x () ima dimenziju ) u skladu sa (4) određuje srednji kvadrat ovog napona, tj.
Vizuelnija fizička interpretacija spektralne gustine može se dati analizom prosječne snage. Ako je X(t) fluktuirajući napon ili struja koja teče kroz otpornik od 1 oma, tada je M(X 2) prosječna snaga koju ovaj otpornik raspršuje.
Spektralna gustina se može protumačiti kao prosječna snaga koncentrisana unutar opsega od 1 Hz.
Kao posljedica toga, spektralna gustina se često naziva spektrom gustine snage.
Od dvostrane spektralne gustine slučajnog procesa može se prijeći na jednostrani, gdje se obično pojavljuje frekvencija f. U tu svrhu pišemo
i u prvom integralu vršimo promjenu varijable postavljanjem = 2f, au drugom - = - 2f.
Budući da je, na osnovu relacije (2), funkcija S x () = S x (-), odnosno parna funkcija, onda je
Integral u ovoj relaciji predstavljamo kao integralni zbir
gdje je D k varijansa slučajnog procesa na k-tom harmoniku. Odavde dobijamo da je G x (f) = D k /fk disperzija (snaga) k-tog harmonika u vezi sa frekvencijskim opsegom fk , odnosno spektralna gustina disperzije (snage) slučajnog procesa .
Primjer. Stacionarni slučajni proces ima dvostranu spektralnu gustinu
Odredite prosječnu procesnu snagu koju troši otpornik od 1 oma u rasponu od -4 do 4.
Rješenje Prosječna snaga proces M(X 2 (t)) za specificirani raspon je:
autokorelacija funkcija slučajni proces
U radiotehnici se često koristi koncept "bijelog šuma". Pod "bijelim šumom" uobičajeno je razumjeti stacionarni slučajni proces, čija je spektralna gustina konstantna na svim frekvencijama. Termin "bijeli šum" figurativno naglašava analogiju sa svjetlošću, u kojoj je, unutar vidljivog frekvencijskog opsega, intenzitet svih spektralnih komponenti približno isti. Bijeli šum je matematički model procesa koji zapravo ne postoji u prirodi, jer je njegova snaga jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo je zgodan model za opisivanje širokopojasnih slučajnih procesa sistema, u čijoj se širini spektra može smatrati konstantnim.
Istaknuto na Allbest
Slični dokumenti
Izgradnja i učenje matematički model slučajni stacionarni ergodički proces sa probabilističkim karakteristikama: očekivanje i varijansa. Izrada grafikona dinamike promjena empirijskih podataka i histograma distribucije za sve uzorke.
seminarski rad, dodan 18.03.2012
Nedostaci tradicionalne Fourierove transformacije. Prozor, diskretna transformacija, funkcije prozora i njihovi tipovi. Kontinuirana wavelet transformacija, matični talasi. Multiskalna analiza i dekompozicija signala u različitim ortonormalnim bazama.
seminarski rad, dodan 23.10.2009
Procedura za izračunavanje stabilnog slučajnog procesa u sistemu upravljanja. Statistička linearizacija nelinearnog dijela sistema. Proračun matematičkog očekivanja, standardne devijacije signala greške. Rješavanje jednačina i građenje zavisnosti.
test, dodano 23.02.2012
Određivanje donje i gornje cijene igre, date matricom isplate. Da li igra ima tačku sedla? Rješavanje geometrijskog problema linearnog programiranja. Konstrukcija grafa stanja slučajnog procesa. Granične vjerovatnoće za dati sistem.
test, dodano 04.02.2011
Stepen zategnutosti i priroda smjera odnosa između znakova. Zavisnost linearne korelacije para, njena korelaciono-regresiona analiza. Proučavanje odnosa između jednog znak-faktora i jednog znaka-rezultata, Chaddockova skala.
priručnik za obuku, dodan 15.11.2010
Prijenosna funkcija otvorenog sistema "LA-SAU". Izbor granične frekvencije za željeni LAH i njegovu konstrukciju. Sinteza korektivne veze. Proračun prelaznog procesa za zatvoreni korigirani i nekorigirani sistem automatskog upravljanja.
seminarski rad, dodan 10.12.2012
Heteroskedastičnost slučajne perturbacije: glavni uzroci i posljedice. Testovi za prisustvo ili odsustvo heteroskedastičnosti. Spearmanov test korelacije ranga. Goldfed-Quandt test. Glaser test. Kvantitativne karakteristike vektora poremećaja.
sažetak, dodan 01.06.2015
Principi i faze izgradnje autoregresivnog modela, njegove glavne prednosti. Spektar autoregresivnog procesa, formula za njegovo pronalaženje. Parametri koji karakteriziraju spektralnu procjenu slučajnog procesa. Karakteristična jednačina autoregresivni modeli.
test, dodano 10.11.2010
opšte karakteristike i postupak određivanja koeficijenta korelacije, metodologiju i faze njegove procjene. Opis autokorelacionih funkcija. Suština Durbin-Watsonovog kriterija. Primjeri praktičnih proračuna pomoću Excel makroa "Autokorelacija funkcija".
seminarski rad, dodan 03.07.2010
Sistemi sa pozitivnim i negativnim povratne informacije. Vlastita dinamička svojstva sistema. Standardni signal jednostavan oblik. Funkcija koraka jedinice. Raspored tranzicije. Vrijednost vremenske konstante. Očuvanje korisnih signala.
Matematičko očekivanje i varijansa su važne karakteristike slučajnog procesa, ali ne daju dovoljnu predstavu o tome kakav će karakter imati pojedinačne implementacije slučajnog procesa. Ovo je vidljivo iz sl. 9.3, koji prikazuje implementaciju dva slučajna procesa koji su potpuno različiti po svojoj strukturi, iako jesu
iste vrijednosti matematičkog očekivanja i varijanse. Isprekidane linije na sl. 9.3 prikazuje vrijednosti za slučajne procese.
Proces prikazan na sl. 9.3, a, od jednog preseka do drugog teče relativno glatko, a proces na Sl. 9.3, b ima snažnu varijabilnost od presjeka do presjeka, pa je statistički odnos između presjeka u prvom slučaju veći nego u drugom, ali to se ne može utvrditi ni matematičkim očekivanjem ni disperzijom.
Da bi se u određenoj mjeri okarakterisala unutrašnja struktura slučajnog procesa, tj. da bi se uzela u obzir odnos između vrijednosti slučajnog procesa u različitim vremenskim trenucima, ili, drugim riječima, da se uzme u obzir stepen varijabilnosti slučajnog procesa, potrebno je uvesti koncept korelacione (autokorelacione) funkcije slučajnog procesa.
Korelaciona funkcija slučajnog procesa naziva se neslučajna funkcija dva argumenta koja je, za svaki par proizvoljno odabranih vrijednosti argumenata (vremenskih trenutaka), jednaka matematičkom očekivanju umnoška dva slučajne varijable odgovarajući dijelovi slučajnog procesa:
gdje je dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće; - centrirani slučajni proces; - matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajnog procesa.
Različiti slučajni procesi, ovisno o tome kako se njihove statističke karakteristike mijenjaju tokom vremena, dijele se na stacionarne i nestacionarne. Odvojite stacionarnost u užem smislu i stacionarnost u širem smislu.
Stacionarni u užem smislu slučajni proces se naziva ako njegove n-dimenzionalne funkcije raspodjele i gustoća vjerovatnoće za bilo koji ne ovise o pomaku svih točaka
Duž vremenske ose za isti iznos, tj.
To znači da dva procesa imaju ista statistička svojstva za bilo koji, tj. statističke karakteristike stacionarnog slučajnog procesa su nepromijenjene u vremenu.
Stacionarni slučajni proces je neka vrsta analoga stabilnog procesa u deterministički sistemi. Svaki prolazni proces nije stacionaran.
Stacionarni u širem smislu naziva se slučajni proces čije je matematičko očekivanje konstantno:
a korelaciona funkcija zavisi samo od jedne varijable - razlike argumenata, dok je korelacija funkcija označena
Procesi koji su stacionarni u užem smislu nužno su stacionarni u širem smislu; međutim, obrnuto uopšte nije tačno.
Koncept slučajnog procesa, stacionarnog u širem smislu, uvodi se kada se samo matematičko očekivanje i funkcija korelacije koriste kao statističke karakteristike slučajnog procesa. Dio teorije slučajnih procesa koji opisuje svojstva slučajnog procesa kroz njegovo matematičko očekivanje i korelacijske funkcije naziva se teorija korelacije.
Za slučajni proces sa normalan zakon distribucije, srednja vrijednost i korelacijska funkcija u potpunosti određuju njenu n-dimenzionalnu gustinu vjerovatnoće.
Stoga se za normalne slučajne procese koncepti stacionarnosti u širem i užem smislu poklapaju.
Teorija stacionarnih procesa je najpotpunije razvijena i čini relativno lakim izvođenje proračuna za mnoge praktične slučajeve. Stoga je ponekad preporučljivo napraviti pretpostavku stacionarnosti i za one slučajeve kada slučajni proces, iako nestacionaran, nema vremena da značajno promijeni statističke karakteristike signala u razmatranom periodu rada sistema. U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatraćemo slučajne procese koji su stacionarni u širem smislu.
Kada proučavamo slučajne procese koji su stacionarni u širem smislu, možemo se ograničiti na razmatranje samo procesa sa matematičkim očekivanjem (srednjom vrijednošću) jednakom nuli, tj. budući da je slučajni proces sa matematičkim očekivanjem različitim od nule predstavljen kao zbir procesa sa nultim matematičkim očekivanjem i neslučajnom konstantnom (regularnom) vrednošću jednakom očekivanju ovog procesa (videti § 9.6 ispod).
Za izraz za korelacijske funkcije
U teoriji slučajnih procesa koriste se dva koncepta prosječnih vrijednosti. Prvi koncept prosječne vrijednosti je prosječna vrijednost preko skupa (ili matematičkog očekivanja), koja se utvrđuje na osnovu posmatranja skupa istovremeno ostvarujućih slučajnih procesa. Prosječna vrijednost preko skupa obično je označena valovitom linijom iznad izraza koji opisuje slučajnu funkciju:
Općenito, srednja vrijednost skupa je funkcija vremena
Drugi pojam srednje vrijednosti je vremenska sredina, koja se određuje promatranjem određenog slučaja slučajnog procesa tokom vremena.
dovoljno dugo vrijeme T. Prosječna vrijednost tokom vremena je označena ravnom linijom iznad odgovarajućeg izraza slučajna funkcija i određen formulom:
ako ova granica postoji.
Prosječna vrijednost tokom vremena je općenito različita za pojedinačne implementacije skupa koje određuju slučajni proces. Uopšteno govoreći, za isti slučajni proces, postavljeni prosjek i vremenski prosjek se razlikuju. Međutim, postoji klasa stacionarnih slučajnih procesa, nazvanih ergodički, za koje je prosjek u skupu jednak prosjeku tokom vremena, tj.
Korelaciona funkcija ergodičkog stacionarnog slučajnog procesa opada neograničeno po modulu za
Međutim, mora se imati na umu da nije svaki stacionarni slučajni proces ergodičan, na primjer, slučajni proces, čija je svaka implementacija konstantna u vremenu (slika 9.4), stacionaran je, ali nije ergodičan. U ovom slučaju, prosječne vrijednosti određene iz jedne implementacije i kao rezultat obrade više implementacija se ne podudaraju. Jedan te isti slučajni proces u opštem slučaju može biti ergodičan u odnosu na neke statističke karakteristike i neergodičan u odnosu na druge. U nastavku ćemo pretpostaviti da su uslovi ergodičnosti zadovoljeni s obzirom na sve statističke karakteristike.
Ergodic svojstvo ima vrlo veliku praktična vrijednost. Za određivanje statističkih svojstava nekih objekata, ako je teško izvršiti njihovo istovremeno promatranje u proizvoljno odabranom trenutku (na primjer, ako postoji jedan prototip), to se može zamijeniti dugotrajnim promatranjem jednog objekta . Drugim riječima, odvojena implementacija ergodičkog slučajnog
proces na beskonačnom vremenskom intervalu u potpunosti određuje čitav slučajni proces sa svojim beskonačnim realizacijama. Strogo govoreći, ova činjenica leži u osnovi dolje opisane metode za eksperimentalno određivanje korelacijske funkcije stacionarnog slučajnog procesa iz jedne implementacije.
Kao što se može vidjeti iz (9.25), korelaciona funkcija je srednja vrijednost skupa. Za ergodičke slučajne procese, korelacija se može definirati kao vremenski prosjek proizvoda, tj.
gdje - svaka implementacija slučajnog procesa; x je prosječna vrijednost tokom vremena, određena prema (9.28).
Ako je prosječna vrijednost slučajnog procesa nula
Na osnovu svojstva ergodičnosti, može se varijacija [vidi. (9.19)] se definiše kao vremenski prosjek kvadrata centriranog slučajnog procesa, tj.
Upoređujući izraze (9.30) i (9.32) na , može se uspostaviti vrlo važna veza između varijanse i korelacijske funkcije - varijansa stacionarnog slučajnog procesa jednaka je početnoj vrijednosti korelacijske funkcije:
Iz (9.33) se može vidjeti da je varijansa stacionarnog slučajnog procesa konstantna, pa je stoga i standardna devijacija konstantna:
Statistička svojstva veze dva slučajna procesa mogu se okarakterizirati unakrsnom korelacijskom funkcijom koja je za svaki par proizvoljno odabranih vrijednosti argumenata jednaka
Za ergodičke slučajne procese, umjesto (9.35) možemo pisati
gdje su bilo koje realizacije stacionarnih slučajnih procesa, respektivno.
Funkcija međusobne korelacije karakterizira međusobnu statističku povezanost dva slučajna procesa u različitim vremenskim trenucima, odvojenih jedan od drugog vremenskim intervalom. Vrijednost karakterizira ovaj odnos u istom trenutku.
Iz (9.36) slijedi da
Ako slučajni procesi nisu međusobno statistički povezani i imaju nulte srednje vrijednosti, onda je njihova međusobna korelacija za sve nula. Međutim, obrnuti zaključak da ako je međusobna korelacija jednaka nuli, onda su procesi nezavisni, može se izvesti samo u pojedinačnim slučajevima (posebno za procese sa normalnim zakonom raspodjele), dok obrnuti zakon nema opću snagu. .
Imajte na umu da se korelacijske funkcije mogu izračunati i za neslučajne (regularne) vremenske funkcije. Međutim, kada govore o korelacionoj funkciji regularne funkcije, onda je to jednostavno rezultat formalne
primjena na regularnu funkciju operacije izraženu integralom:
Predstavimo neka osnovna svojstva korelacionih funkcija
1. Početna vrijednost korelacijske funkcije [vidi. (9.33)] je jednako varijansi slučajnog procesa:
2. Vrijednost korelacijske funkcije za bilo koji ne može preći njegovu početnu vrijednost, tj.
Da biste ovo dokazali, razmotrite očiglednu nejednakost koja implicira
Pronalazimo prosječne vrijednosti tokom vremena iz oba dijela posljednje nejednakosti:
Tako dobijamo nejednakost
3. Funkcija korelacije je parna funkcija, tj.
Ovo proizilazi iz same definicije korelacione funkcije. stvarno,
stoga je na grafu korelacija uvijek simetrična u odnosu na y-os.
4. Korelaciona funkcija zbira slučajnih procesa određena je izrazom
gdje su međusobne korelacijske funkcije
stvarno,
5. Korelaciona funkcija konstantne vrednosti jednaka je kvadratu ove konstantne vrednosti (slika 9.5, a), što sledi iz same definicije korelacione funkcije:
6. Korelaciona funkcija periodične funkcije, na primjer, je kosinusni val (sl. 9-5, 5), tj.
ima istu frekvenciju kao i ona koja je nezavisna od faznog pomaka
Da bismo to dokazali, napominjemo da pri pronalaženju korelacijskih funkcija periodičnih funkcija možemo koristiti sljedeću jednakost:
gdje je period funkcije
Posljednja jednakost se dobija nakon zamjene integrala s granicama od -T do T na T sa zbirom pojedinačnih integrala sa granicama od do , gdje i korištenjem periodičnosti integranda.
Zatim, s obzirom na gore navedeno, dobijamo
7. Korelaciona funkcija vremenske funkcije, proširena u Fourierov niz:
Rice. 9.5 (vidi skeniranje)
ima sljedeću formu na osnovu gore navedenog:
8. Tipična korelaciona funkcija stacionarnog slučajnog procesa ima oblik prikazan na sl. 9.6. Može se aproksimirati sljedećim analitičkim izrazom:
S rastom, veza između slabi i korelacijske funkcije postaje sve manja. Na sl. 9.5, b, c, na primjer, prikazane su dvije korelacijske funkcije i dvije odgovarajuće implementacije slučajnog procesa. Lako je vidjeti da korelacijska funkcija odgovara slučajnom procesu sa više fine strukture, opada brže Drugim riječima, što su veće frekvencije prisutne u slučajnom procesu, brže se smanjuje odgovarajuća korelacija.
Ponekad postoje korelacione funkcije koje se mogu aproksimirati analitičkim izrazom
gdje je disperzija; - parametar slabljenja; - rezonantna frekvencija.
Korelacijske funkcije ovog tipa imaju, na primjer, slučajne procese kao što su atmosferska turbulencija, bledenje radarskog signala, ugaono treperenje cilja, itd. Izrazi (9.45) i (9.46) se često koriste za aproksimaciju korelacijskih funkcija dobivenih kao rezultat eksperimentalne obrade podataka .
9. Korelaciona funkcija stacionarnog slučajnog procesa, na koji je postavljena periodična komponenta sa frekvencijom, takođe će sadržati periodičnu komponentu iste frekvencije.
Ova okolnost se može iskoristiti kao jedan od načina otkrivanja „skrivene periodičnosti“ u slučajnim procesima, koja se na prvi pogled ne može otkriti na pojedinačnim zapisima implementacije slučajnog procesa.
Približan prikaz korelacione funkcije procesa koji pored nasumične sadrži i periodičnu komponentu prikazan je na Sl. 9.7, gdje je naznačena korelaciona funkcija koja odgovara slučajnoj komponenti. Da bi se otkrila latentna periodična komponenta (takav problem nastaje, na primjer, kada je mali korisni signal izoliran na pozadini velikog šuma), najbolje je odrediti korelaciju za velike vrijednosti kada je slučajni signal je već relativno slabo korelirana i slučajna komponenta ima mali utjecaj na oblik korelacijske funkcije.