Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian O xy . Să considerăm o secțiune arbitrară în planul de coordonate ( zonă închisă) cu zona A (Fig. 1).
momente statice
Punctul C cu coordonatele (x C , y C)
numit centrul de greutate al secțiunii.
Dacă axele de coordonate trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentele statice ale secțiunii sunt egale cu zero:
Momentele axiale de inerție secțiunile față de axele x și y se numesc integrale de forma:
moment polar inerţie secțiunea față de origine se numește integrală de forma:
moment de inerție centrifugal secțiunea se numește integrală de forma:
Axele principale de inerție ale secțiunii se numesc două axe reciproc perpendiculare, față de care I xy =0. Dacă una dintre axele reciproc perpendiculare este axa de simetrie a secțiunii, atunci I xy \u003d 0 și, prin urmare, aceste axe sunt principalele. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale de inerție ale secțiunii
2. Teorema Steiner-Huygens privind translația paralelă a axelor
Teorema Steiner-Huygens (teorema Steiner).
Momentul de inerție axial al secțiunii I relativ la arbitrar axă fixă x este egal cu suma momentului de inerție axial al acestei secțiuni I cu axa relativă x * paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă al secțiunii și produsul dintre aria secțiunii A și pătratul distanței d între cele două axe.
Dacă sunt cunoscute momentele de inerție I x și I y față de axele x și y, atunci în raport cu axele ν și u rotite printr-un unghi α, momentele de inerție axiale și centrifuge sunt calculate prin formulele:
Din formulele de mai sus se vede că
Acestea. suma momentelor axiale de inerție nu se modifică atunci când axele reciproc perpendiculare se rotesc, adică axele u și v, față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero și momente axiale inerția І u și I v au valori extreme max sau min, numite axele principale ale secțiunii. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale ale secţiunii. Pentru secțiunile simetrice, axele lor de simetrie sunt întotdeauna axele centrale principale. Poziția axelor principale ale secțiunii față de alte axe este determinată folosind raportul:
unde α 0 este unghiul cu care axele x și y trebuie rotite astfel încât să devină principalele (se obișnuiește să se lase deoparte un unghi pozitiv în sens invers acelor de ceasornic, unul negativ - în sensul acelor de ceasornic). Momentele axiale de inerție în jurul axelor principale se numesc principalele momente de inerție:
semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.
Să fie cunoscute și Ix, Iy, Ixy. Să desenăm o nouă axă x 1 , y 1 paralelă cu axele xy.
Și determinăm momentul de inerție al aceleiași secțiuni față de noile axe.
X 1 \u003d x-a; y 1 =y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Dacă axa x trece prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentul static Sx =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Similar cu noua axă y 1, vom avea formula I y 1 = Iy + a 2 A
moment centrifugal inerția față de axe noi
Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.
Dacă axele xy trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Dacă secțiunea este simetrică, cel puțin una dintre axele centrale coincide cu axa de simetrie, atunci Ixy \u003d 0, ceea ce înseamnă Ix 1 y 1 \u003d abA
Modificarea momentelor de inerție la rotirea axelor.
Fie cunoscute momentele axiale de inerție în jurul axelor xy.
Noul sistem de coordonate xy va fi obținut prin rotirea vechiului sistem cu un unghi (a > 0), dacă rotația este în sens invers acelor de ceasornic.
Stabiliți o relație între coordonatele vechi și noi ale site-ului
y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de
din triunghi acd:
ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α
din triunghiul oed:
de/od=sinα dc=od*sinα
Înlocuiți aceste valori în expresia pentru y
y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.
În mod similar
x 1 \u003d x cos α + y sin α.
Calculați momentul axial de inerție în jurul noii axe x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
În mod similar, Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Adăugăm părțile din stânga și din dreapta expresiilor rezultate:
Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
Suma momentelor axiale de inerție nu se modifică în timpul rotației.
Să determinăm momentul de inerție centrifugal față de noile axe. Să reprezentăm valorile x 1 ,y 1 .
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Momentele principale și axele principale de inerție.
Momentele principale de inerție numite valorile lor extreme.
Axele despre care se obțin valorile extreme se numesc axe principale de inerție. Ele sunt întotdeauna reciproc perpendiculare.
Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor principale este întotdeauna 0. Deoarece se știe că există o axă de simetrie în secțiune, momentul centrifugal este 0, ceea ce înseamnă că axa de simetrie este axa principală. Dacă luăm prima derivată a expresiei I x 1 , atunci o echivalăm cu „0”, atunci obținem valoarea unghiului = corespunzătoare poziției axelor principale de inerție.
tg2 α 0 = - 
Dacă α 0 >0, atunci pentru o anumită poziție a axelor principale, vechea axă trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic. Una dintre axele principale este max, iar cealaltă este min. În acest caz, axa maximă corespunde întotdeauna unui unghi mai mic cu axa aleatorie față de care are un moment de inerție axial mai mare. Valorile extreme ale momentului axial de inerție sunt determinate de formula:
Capitolul 2. Concepte de bază de rezistenţă a materialelor. Sarcini și metode.
La proiectarea diferitelor structuri, este necesar să se rezolve diverse probleme de rezistență, rigiditate și stabilitate.
Putere- abilitate corp dat rezista la diferite sarcini fără distrugere.
Rigiditate- capacitatea structurii de a percepe sarcini fără deformații mari (deplasări). Valorile de deformare admise în prealabil sunt reglementate de codurile și reglementările construcțiilor (SNIP).
Durabilitate
Luați în considerare compresia unei tije flexibile
Dacă sarcina crește treptat, atunci tija se va scurta mai întâi. Când forța F atinge o anumită valoare critică, tija se va flamba. - scurtare absolută.
În acest caz, tija nu este distrusă, dar își schimbă brusc forma. Acest fenomen se numește flambaj și duce la distrugere.
Sopromat- acestea sunt bazele științelor rezistenței, rigidității, stabilității structurilor inginerești. Metodele sunt utilizate în sopromat mecanică teoretică, fizica, matematica. Spre deosebire de mecanica teoretică, rezistența materialelor ia în considerare modificările de dimensiune și formă a corpurilor sub influența sarcinii și temperaturii.
Figura 7
,
,
,
Unde eu x, eu y sunt momentele de inerție axiale în raport cu axele de referință;
Ixy este momentul de inerție centrifugal față de axele de referință;
eu xc, eu yc sunt momentele axiale de inerție față de axele centrale;
eu xcyc este momentul de inerție centrifugal față de axele centrale;
a, b- distanta dintre osii.
Determinarea momentelor de inerție a secțiunii la rotirea axelor
Sunt cunoscute toate caracteristicile geometrice ale secțiunii în raport cu axele centrale x C,la C(Fig. 8). Determinați momentele de inerție față de axe x 1,1 rotite faţă de cele centrale cu un anumit unghi A.
Figura 8
,
Unde I x 1, I y 1 sunt momentele axiale de inerție față de axe x 1,1 ;
I x 1 y 1 este momentul de inerție centrifugal în jurul axelor x 1,1 .
Determinarea poziţiei principalelor axe centrale de inerţie
Poziția principalelor axe centrale de inerție ale secțiunii este determinată de formula:
,
Unde un 0 este unghiul dintre axa centrală și principală de inerție.
Determinarea momentelor principale de inerție
Momentele principale de inerție ale secțiunii sunt determinate de formula:
Secvența de calcul a unei secțiuni complexe
1) Împărțiți o secțiune complexă în altele simple figuri geometrice [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]
2) Selectați axe arbitrare XOY .
3) Determinați poziția centrului de greutate al secțiunii [x c , y c].
4) Desenați axele centrale X c OY c.
5) Calculați momentele de inerție x c, Iy c , folosind teorema translației paralele a axelor.
6) Calculați momentul de inerție centrifugal Ix c y c.
7) Determinați poziția axelor principale de inerție tg2a 0.
8) Calculați momentele principale de inerție Imax, Sunt în.
EXEMPLUL 2
Pentru figura prezentată în Figura 13, determinați punctele principale
inerţia şi poziţia axelor principale de inerţie.
1) Împărțim o secțiune complexă în forme geometrice simple
S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.
2) Alegeți axe XOY arbitrare.
3) Determinați poziția centrului de greutate al secțiunii
x c = 25 mm, Y c=35 mm.
4) Desenați axele centrale X c OY c
5) Calculați momentele de inerție Ix c , Iy c
6) Calculați momentul de inerție centrifugal Ix c y c
7) Determinați poziția axelor principale de inerție
Dacă I x >I y Și a 0 >0 , apoi unghiul un 0 în afara axei X s în sens invers acelor de ceasornic.
8) Calculați momentele principale de inerție Imax, Sunt în
EXEMPLUL 3
 |
Pentru figura prezentată în fig. 8 determinați poziția axelor principale
Figura 8
inerția și momentele principale de inerție.
1) Scriem datele inițiale principale pentru fiecare figură
Canal
S 1 = 10,9 cm2
I x = 20,4 cm 4
eu y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
colț inegal
S 3 = 6,36 cm2
I x = 41,6 cm 4
eu y = 12,7 cm 4
eu min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Dreptunghi
S2 = 40 cm 2
cm 4
cm 4
2) Desenăm o secțiune pe o scară
3) Desenați axe de coordonate arbitrare
4) Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii
5) Desenați axele centrale
6) Determinați momentele axiale de inerție față de axele centrale
7) Determinați momentul de inerție centrifug în jurul axelor centrale
Momentul de inerție centrifugal pentru oțelul laminat de colț în raport cu centrul său de greutate este determinat din unul dintre următoarele formule:
-4
Semnul momentului de inerție centrifugal pentru oțelul laminat unghiular se determină conform fig. 9, deci I xy 3\u003d -13,17 cm 4.
8) Determinați poziția axelor principale de inerție
 |
a0 = 21,84°
9) Determinați principalele momente de inerție
SARCINA 4
Pentru schemele date (Tabelul 6) este necesar:
1) Desenați secțiunea transversală la o scară strictă.
2) Determinați poziția centrului de greutate.
3) Aflați valorile momentelor axiale de inerție față de axele centrale.
4) Aflați valoarea momentului de inerție centrifugal față de axele centrale.
5) Determinați poziția axelor principale de inerție.
6) Aflați principalele momente de inerție.
Preluați date numerice din tabel. 6.
Scheme de proiectare pentru sarcina nr. 4
 |
|||
 | |||
 |
Tabelul 6
Date inițiale pentru sarcina nr. 4
| № | Colț cu raft egal | Colț inegal | I-beam | Canal | Dreptunghi | numărul schemei |
| 30´5 | 50'32'4 | 100'30 | ||||
| 40´6 | 56'36'4 | 100'40 | ||||
| 50´4 | 63'40'8 | 100'20 | ||||
| 56´4 | 70'45'5 | 80'40 | ||||
| 63´6 | 80'50'6 | 14a | 80'60 | |||
| 70'8 | 90'56'6 | 80'100 | ||||
| 80'8 | 100'63'6 | 20a | 16a | 80'20 | ||
| 90'9 | 90'56'8 | 60'40 | ||||
| 75'9 | 140'90'10 | 22a | 18a | 60'60 | ||
| 100'10 | 160'100'12 | 60'40 | ||||
| d | dar | b | în | G | d |
Instrucțiuni pentru sarcina 5
O îndoire este un tip de deformare în care apare un V.S.F în secțiunea transversală a tijei. - momentul de îndoire.
Pentru a calcula grinda pentru încovoiere, este necesar să se cunoască valoarea celui mai mare moment încovoietor Mși poziția secțiunii în care apare. În același mod, trebuie să cunoașteți cea mai mare forță laterală Q. În acest scop, sunt construite diagrame ale momentelor încovoietoare și ale forțelor tăietoare. Din diagrame, este ușor de judecat unde va fi valoarea maximă a momentului sau a forței laterale. Pentru a determina valorile MȘi Q folosind metoda secționării. Luați în considerare circuitul prezentat în fig. 9. Compuneți suma forțelor pe ax Y acționând asupra părții tăiate a grinzii.
 |
Figura 9
Forța transversală este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor care acționează pe o parte a secțiunii.
Compuneți suma momentelor care acționează asupra părții tăiate a grinzii, raportat la secțiune.
Momentul încovoietor este egal cu suma algebrică a tuturor momentelor care acționează asupra părții tăiate a grinzii, raportat la centrul de greutate al secțiunii.
Pentru a putea calcula de la orice capăt al grinzii, este necesar să se accepte regula semnului pentru factorii de forță interni.
Pentru forța de forfecare Q.
Figura 10.
Dacă o forță externă rotește partea tăiată a fasciculului în sensul acelor de ceasornic, atunci forța este pozitivă, dacă o forță externă rotește partea tăiată a fasciculului în sens invers acelor de ceasornic, atunci forța este negativă.
Pentru momentul de încovoiere M.
Figura 11.
Daca se afla sub influenta forta externa axa curbată a grinzii ia forma unui bol concav, astfel încât ploaia venită de sus o va umple cu apă, atunci momentul încovoietor este pozitiv (Fig. 11a). Dacă, sub acțiunea unei forțe exterioare, axa îndoită a grinzii ia forma unui vas convex, astfel încât ploaia care cade de sus nu o va umple cu apă, atunci momentul încovoietor este negativ (Fig. 11b).
Între intensitatea sarcinii distribuite q, forță transversală Qși momentul încovoietor M, acționând într-o anumită secțiune, există următoarele dependențe diferențiale:
Aceste dependențe diferențiale în încovoiere ne permit să stabilim unele caracteristici ale diagramelor de forțe transversale și momente încovoietoare.
1) În acele zone în care nu există sarcină distribuită, diagrama Q este limitată la linii drepte paralele cu axa diagramei, iar diagrama M , în cazul general, sunt drepte oblice (Fig. 19).
2) În acele zone în care grinzii este aplicată o sarcină uniform distribuită, diagrama Q limitat de linii drepte oblice și diagramă M – parabole pătratice(Fig. 20). La complot M pe fibrele comprimate, convexitatea parabolei este rotită în direcția opusă acțiunii sarcinii distribuite (Fig. 21a, b).
Figura 12.
Figura 13.
3) În acele secțiuni în care Q= 0, tangentă la grafic M paralel cu axa parcelei (Fig. 12, 13). Momentul încovoietor în astfel de secțiuni ale grinzii este extrem de mărime ( M max,Mmin).
4) În zonele în care Q > 0, M crește, adică de la stânga la dreapta, ordonatele pozitive ale diagramei M crestere, negativ - scadere (Fig. 12, 13); în acele zone în care Q < 0, M scade (Fig. 12, 13).
5) În acele secțiuni în care se aplică forțe concentrate asupra grinzii:
a) pe teren Q vor exista salturi de magnitudine si in directia fortelor aplicate (Fig. 12, 13).
b) pe parcela M vor exista fracturi (Fig. 12, 13), vârful fracturii este îndreptat împotriva acțiunii forței.
6) În acele tronsoane în care se aplică momente concentrate grinzii, pe diagramă M vor fi salturi în amploarea acestor momente, pe plot Q nu vor exista modificări (Fig. 14).
Figura 14.
Figura 15.
7) Dacă un concentrat
moment, atunci în această secțiune momentul încovoietor este egal cu momentul exterior (secțiuni CȘi Bîn fig. 15).
8) Diagrama Q este o diagramă a derivatei diagramei M. Deci ordonatele Q proporţional cu tangenta pantei tangentei la diagramă M(Fig. 14).
Ordinea complotării QȘi M:
1) Se întocmește o diagramă de calcul a grinzii (sub forma unei axe) cu o imagine a sarcinilor care acționează asupra acesteia.
2) Influența suporturilor asupra grinzii se înlocuiește cu reacțiile corespunzătoare; sunt date denumirile reacţiilor şi direcţiile lor acceptate.
3) Sunt compilate ecuații de echilibru pentru grinda, a căror soluție determină valorile reacțiilor de sprijin.
4) Grinda este împărțită în secțiuni, ale căror limite sunt punctele de aplicare a forțelor și momentelor concentrate exterioare, precum și punctele de început și de sfârșit ale acțiunii sau modificării naturii sarcinilor distribuite.
5) Expresii compilate ale momentelor încovoietoare Mși forțe transversale Q pentru fiecare secțiune a fasciculului. Schema de calcul indică începutul și direcția numărării distanțelor pentru fiecare secțiune.
6) Pe baza expresiilor obținute, ordonatele diagramelor pentru un număr de secțiuni ale grinzii sunt calculate într-o cantitate suficientă pentru a afișa aceste diagrame.
7) Se determină secțiuni în care forțele transversale sunt egale cu zero și în care, deci, acționează momente Mmax sau Mmin pentru această secțiune a grinzii; se calculează valorile acestor momente.
8) Diagramele sunt construite în funcție de valorile ordonatelor obținute.
9) Diagramele construite sunt verificate prin compararea lor între ele.
Diagramele factorilor de forță interni în timpul îndoirii sunt construite pentru a determina secțiunea periculoasă. După ce se găsește secțiunea periculoasă, fasciculul este calculat pentru rezistență. În general încovoiere transversală, când în secțiunile grinzii acționează un moment încovoietor și o forță transversală, în secțiunea grinzii apar tensiuni normale și de forfecare. Prin urmare, este logic să luăm în considerare două condiții de rezistență:
a) prin tensiuni normale
b) tensiuni de forfecare
Deoarece principalul factor distructiv pentru grinzi sunt tensiunile normale, atunci dimensiunile secțiunii transversale a grinzii cu forma acceptată sunt determinate din condiția de rezistență pentru solicitările normale:
Apoi se verifică dacă secțiunea grinzii selectate satisface condiția de rezistență la forfecare.
Cu toate acestea, o astfel de abordare a calculului grinzilor nu caracterizează încă rezistența fasciculului. În multe cazuri, există puncte în secțiunile grinzii în care acționează simultan solicitări mari normale și forfecare. În astfel de cazuri, devine necesară verificarea rezistenței grinzii pentru tensiunile principale. Cele mai aplicabile pentru o astfel de verificare sunt a treia și a patra teorie a puterii:
, 
.
EXEMPLUL 1
Construiți diagrame de forță de forfecare Qși momentul încovoietor M pentru grinda prezentată în fig. 16 dacă: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, dar = 2m, b = 1 m, din = 3m.
Figura 16.
1) Determinați reacțiile de sprijin.
;
;
Examinare:
Reacții găsite corect
2) Împărțiți fasciculul în secțiuni CA,ANUNȚ,DE,EK,KB.
3) Determinați valorile QȘi Mîn fiecare zonă.
SA
, ; 
, .
ANUNȚ
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Găsiți momentul încovoietor maxim pe secțiune KB.
Echivalează ecuația Q pe această secțiune la zero și exprimă coordonatele zmax , cu care Q= 0, iar momentul are o valoare maximă. În continuare, înlocuim zmax în ecuația momentului din această secțiune și găsiți Mmax.
EC
, 
.
4) Construim diagrame (Fig. 16)
EXEMPLUL 2
Pentru fasciculul prezentat în fig. 16 determinați dimensiunile unui rotund, dreptunghiular ( h/b = 2) și o secțiune I. Verificați rezistența grinzii în I în funcție de solicitările principale, dacă [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Determinăm momentul de rezistență necesar din condiția de rezistență
2) Determinați dimensiunile secțiunii circulare
3) Determinați dimensiunile secțiunii dreptunghiulare
4) Selectăm o grindă în I nr. 10 în funcție de sortiment (GOST 8239-89)
W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, eu X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
Pentru a verifica rezistența grinzii în ceea ce privește tensiunile principale, este necesar să se traseze tensiunile normale și de forfecare în secțiunea periculoasă. Deoarece mărimea tensiunilor principale depinde atât de tensiunile normale, cât și de forfecarea, încercarea de rezistență trebuie efectuată în acea secțiune a grinzii în care MȘi Q sunt suficient de mari. pe un suport ÎN(fig. 16) forță tăietoare Q are o valoare maximă, dar aici M= 0. de aceea considerăm periculoasă secțiunea despre suport DAR, unde momentul încovoietor este maxim și forța transversală este relativ mare.
Tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, respectă legea liniară:
Unde y- coordonata punctului de sectiune (Fig. 24).
la la= 0, s = 0;
la ymax
, 
Legea modificării tensiunilor tăietoare este determinată de legea modificării momentului static al zonei, care, la rândul său, se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii parabolice. După ce am calculat valoarea punctelor caracteristice ale secțiunii, construim o diagramă a tensiunilor tăietoare. La calcularea valorilor lui t, folosim notația pentru dimensiunile secțiunii adoptate în Fig. 17.
Condiția de rezistență pentru stratul 3-3 este îndeplinită.
SARCINA 5
Pentru schemele date de grinzi (Tabelul 12), construiți diagrame ale forței transversale Qși momentul încovoietor M. Alegeți o secțiune transversală pentru schema a) rotundă [s]= 10 MPa; b) grindă în I [s]= 150 MPa.
Preluați date numerice din tabel. 7.
Tabelul 7
Date inițiale pentru sarcina nr. 6
| № | a, m | q 1 \u003d q 3, kN / m | q2, kN/m | F1, kN | F2, kN | F3, kN | M1, kN∙m | M2, kN∙m | M3, kN∙m | numărul schemei | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Tabelul 12 a continuat | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Fie z din, tu s sunt axele centrale ale sectiunilor, sunt momentele de inertie ale sectiunii despre aceste axe. Să determinăm momentele de inerție ale secțiunii în raport cu noile axe z1, 1, paralel cu axele centrale și decalat față de acestea prin distanțe AȘi d. Lasa dA este o zonă elementară în vecinătatea unui punct M cu coordonate yȘi zîn sistemul central de coordonate. Din fig. 4.3 se poate observa că coordonatele punctului C în sistem nou coordonatele vor fi egale, .
Să determinăm momentul de inerție al secțiunii în jurul axei y 1 :
|
| z c |
| Y c |
| z1 |
| y 1 |
| d |
| A |
| C |
În acest fel,
În mod similar
Modificarea momentelor de inerție ale secțiunii la rotirea axelor
Găsiți relația dintre momentele de inerție față de axe y, zși momente de inerție față de axe y 1, z1, rotit într-un unghi A. Lasa Jy> Jzși unghi pozitiv A măsurată de pe axă yîn sens invers acelor de ceasornic. Fie coordonatele punctului Mînainte de viraj y, z, după întoarcere y 1, z1(Fig. 4.4).
Din figură urmează:
Acum determinăm momentele de inerție în jurul axelor y 1Și z1:
|
| M |
| z |
| z1 |
| y 1 |
| y |
| A |
| y |
| y 1 |
| z1 |
| z |
În mod similar:
Adunând ecuațiile termen cu termen (4.13) și (4.14), obținem:
acestea. suma momentelor de inerție în jurul oricăror axe reciproc perpendiculare rămâne constantă și nu se modifică atunci când sistemul de coordonate este rotit.
Axele principale de inerție și momentele principale de inerție
Cu o modificare a unghiului de rotație al axelor A fiecare dintre cantități și modificări, dar suma lor rămâne neschimbată. Prin urmare, există o astfel de valoare
a = a 0 , la care momentele de inerție ajung la valori extreme, i.e. unul dintre ele atinge valoarea maximă, iar celălalt atinge valoarea minimă. Pentru a găsi valoarea A 0 luăm prima derivată a lui (sau) și o echivalăm cu zero:
Să arătăm că față de axele obținute, momentul de inerție centrifugal este egal cu zero. Pentru a face acest lucru, echivalăm partea dreaptă a ecuației (4.15) cu zero: , de unde, i.e. obține aceeași formulă pentru A 0 .
Axele față de care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero, iar momentele axiale de inerție iau valori extreme, se numesc axe principale. Dacă aceste axe sunt și centrale, atunci ele se numesc axe centrale principale. Momentele axiale de inerție în jurul axelor principale se numesc momente principale de inerție.
Notăm axele principale prin y 0Și z0. Apoi
Dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci această axă este întotdeauna una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii.
Dacă axele sunt centrale, atunci axele de moment vor arăta astfel: 
15.Relație între momente de inerție la rotirea axelor:
J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;
Unghiul a>0, dacă trecerea de la vechiul sistem de coordonate la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. J y 1 + J x 1 = J y + J x
Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele față de care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale = 0, i.e. axe principale de inerție - axe față de care momentul de inerție centrifugal = 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci ele sunt principale. Unghi care definește poziția axelor principale: 
, dacă a 0 >0 Þ axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic. Axa maximului face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor, față de care momentul de inerție are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție asupra acestor axe: 
J max + J min = J x + J y . Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor centrale principale de inerție este 0. Dacă se cunosc momentele principale de inerție, atunci formulele pentru trecerea la axele rotite sunt:
J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;
Scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale secțiunii este determinarea principalului momente centrale inerţia şi poziţiile principalelor axe centrale de inerţie. 
Raza de inerție - 
; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .
Dacă J x și J y sunt momentele principale de inerție, atunci i x și i y - razele principale de rotație. Se numește o elipsă construită pe razele principale de inerție ca pe semiaxe elipsa de inertie. Folosind elipsa de inerție, puteți găsi grafic raza de rotație i x 1 pentru orice axă x 1. Pentru a face acest lucru, trageți o tangentă la elipsă, paralel cu axa x 1 și măsurați distanța de la această axă la tangentă. Cunoscând raza de inerție, puteți găsi momentul de inerție al secțiunii despre axa x 1:. Pentru secțiuni cu mai mult de două axe de simetrie (de exemplu: un cerc, un pătrat, un inel etc.), momentele axiale de inerție în jurul tuturor axelor centrale sunt egale între ele, J xy \u003d 0, elipsa lui inerția se transformă într-un cerc de inerție.