FERMAT MAREA TEOREMĂ - afirmația lui Pierre Fermat (un avocat francez și matematician cu jumătate de normă) conform căreia ecuația diofantină X n + Y n = Z n, cu un exponent n>2, unde n = un număr întreg, nu are soluții în numere întregi numere pozitive. Textul autorului: „Este imposibil să descompune un cub în două cuburi, sau un bi-pătrat în două bi-pătrat sau, în general, o putere mai mare de două în două puteri cu același exponent.”

„Fermat și teorema lui”, Amadeo Modigliani, 1920

Pierre a venit cu această teoremă la 29 martie 1636. Și după vreo 29 ​​de ani, a murit. Dar de aici a început totul. La urma urmei, un matematician german bogat pe nume Wolfskel a lăsat moștenire o sută de mii de mărci celui care prezintă demonstrația completă a teoremei lui Fermat! Dar entuziasmul din jurul teoremei era legat nu numai de aceasta, ci și de entuziasmul matematic profesional. Fermat însuși a dat de înțeles comunității matematice că știa dovada - cu puțin timp înainte de moartea sa, în 1665, a lăsat următoarea intrare în marginea cărții Diophantus din Alexandria „Aritmetica”: „Am o dovadă foarte uimitoare, dar este prea mare pentru a fi pus pe câmpuri”.

Acest indiciu (plus, desigur, un premiu în bani) a fost cel care i-a făcut pe matematicieni să-și cheltuiască fără succes cei mai buni ani(Conform calculelor oamenilor de știință americani, numai matematicienii profesioniști au petrecut 543 de ani în acest sens în total).

La un moment dat (în 1901), lucrările la teorema lui Fermat au căpătat faima îndoielnică de „muncă asemănătoare cu căutarea unei mașini cu mișcare perpetuă” (a existat chiar un termen derogatoriu - „fermatisti”). Și brusc, pe 23 iunie 1993, la o conferință de matematică despre teoria numerelor la Cambridge, profesorul englez de matematică de la Universitatea Princeton (New Jersey, SUA) Andrew Wiles a anunțat că a dovedit în sfârșit Fermat!

Dovada, însă, nu a fost doar complicată, ci și evident eronată, așa cum a subliniat Wiles de colegii săi. Dar profesorul Wiles a visat să demonstreze teorema toată viața, așa că nu este de mirare că în mai 1994 a prezentat comunității științifice o versiune nouă, îmbunătățită a dovezii. Nu era armonie, frumusețe în ea și era încă foarte complicat - faptul că matematicienii au analizat această dovadă de un an întreg (!) Pentru a înțelege dacă nu este eronată, vorbește de la sine!

Dar, în cele din urmă, dovada lui Wiles s-a dovedit a fi corectă. Dar matematicienii nu l-au iertat pe Pierre Fermat pentru însuși aluziile lui în Aritmetică și, de fapt, au început să-l considere un mincinos. De fapt, prima persoană care a pus la îndoială integritatea morală a lui Fermat a fost însuși Andrew Wiles, care a remarcat că „Fermat nu ar fi putut avea o asemenea dovadă. Aceasta este dovada secolului al XX-lea”. Apoi, printre alți oameni de știință, a devenit mai puternică opinia că Fermat „nu și-a putut demonstra teorema într-un alt mod, iar Fermat nu a putut să o demonstreze în felul în care a procedat Wiles, din motive obiective”.

De fapt, Fermat, desigur, ar putea dovedi acest lucru, iar puțin mai târziu această dovadă va fi recreată de analiștii Noii Enciclopedii Analitice. Dar - care sunt aceste „motive obiective”?
De fapt, există un singur astfel de motiv: în acei ani în care a trăit Fermat, nu putea apărea conjectura lui Taniyama, pe care Andrew Wiles și-a construit dovada, deoarece funcțiile modulare pe care operează conjectura lui Taniyama au fost descoperite abia la sfârșitul secolului al XIX-lea. .

Cum a demonstrat Wiles însuși teorema? Întrebarea nu este inactivă - aceasta este importantă pentru a înțelege cum și-ar putea demonstra Fermat însuși teorema. Wiles și-a construit demonstrația pe baza conjecturii lui Taniyama prezentată în 1955 de matematicianul japonez în vârstă de 28 de ani Yutaka Taniyama.

Conjectura sună astfel: „fiecărei curbe eliptice îi corespunde o anumită formă modulară”. Curbele eliptice, cunoscute de multă vreme, au o formă bidimensională (situate pe un plan), în timp ce funcțiile modulare au o formă bidimensională. Adică, ipoteza lui Taniyama a combinat concepte complet diferite - curbe plate simple și forme cu patru dimensiuni inimaginabile. Însuși faptul de a conecta figuri cu dimensiuni diferite în ipoteză părea absurd oamenilor de știință, motiv pentru care în 1955 nu i s-a acordat nicio importanță.

Cu toate acestea, în toamna anului 1984, „ipoteza Taniyama” a fost brusc amintită din nou și nu numai că a fost amintită, dar posibila sa demonstrație a fost legată de demonstrarea teoremei lui Fermat! Acest lucru a fost făcut de matematicianul de Saarbrücken Gerhard Frey, care a spus comunității științifice că „dacă cineva ar putea dovedi conjectura lui Taniyama, atunci Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi demonstrată”.

Ce a făcut Frey? El a convertit ecuația lui Fermat într-una cubică, apoi a atras atenția asupra faptului că o curbă eliptică obținută prin conversia ecuației lui Fermat într-una cubică nu poate fi modulară. Cu toate acestea, conjectura lui Taniyama a afirmat că orice curbă eliptică ar putea fi modulară! În consecință, o curbă eliptică construită din ecuația lui Fermat nu poate exista, ceea ce înseamnă că nu pot exista soluții întregi și teorema lui Fermat, ceea ce înseamnă că este adevărată. Ei bine, în 1993, Andrew Wiles a demonstrat pur și simplu conjectura lui Taniyama și, prin urmare, teorema lui Fermat.

Cu toate acestea, teorema lui Fermat poate fi demonstrată mult mai simplu, pe baza aceleiași multidimensionalități pe care au operat atât Taniyama, cât și Frey.

Pentru început, să fim atenți la condiția stipulată de însuși Pierre Fermat - n>2. De ce a fost necesară această condiție? Da, doar pentru faptul că pentru n=2 teorema obișnuită a lui Pitagora X 2 +Y 2 =Z 2 devine un caz special al teoremei lui Fermat, care are un număr infinit de soluții întregi - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 și așa mai departe. Astfel, teorema lui Pitagora este o excepție de la teorema lui Fermat.

Dar de ce exact în cazul lui n=2 apare o astfel de excepție? Totul cade la locul lui dacă vezi relația dintre gradul (n=2) și dimensiunea figurii în sine. Triunghiul lui Pitagora este o figură bidimensională. Nu este surprinzător, Z (adică ipotenuza) poate fi exprimat în termeni de catete (X și Y), care pot fi numere întregi. Mărimea unghiului (90) face posibilă considerarea ipotenuzei ca un vector, iar catetele sunt vectori situați pe axe și veniți de la origine. În consecință, este posibil să se exprime un vector bidimensional care nu se află pe niciuna dintre axe în termeni de vectori care se află pe ele.

Acum, dacă mergem la a treia dimensiune, și deci la n=3, pentru a ne exprima vector 3d, nu vor exista suficiente informații despre cei doi vectori și, prin urmare, se va putea exprima Z în ecuația Fermat în termeni de cel puțin trei termeni (respectiv trei vectori aflați pe cele trei axe ale sistemului de coordonate).

Dacă n=4, atunci ar trebui să existe 4 termeni, dacă n=5, atunci ar trebui să existe 5 termeni și așa mai departe. În acest caz, vor fi mai mult decât suficiente soluții întregi. De exemplu, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 și așa mai departe (puteți alege alte exemple pentru n=3, n=4 și așa mai departe).

Ce rezultă din toate acestea? De aici rezultă că teorema lui Fermat nu are într-adevăr soluții întregi pentru n>2 - ci doar pentru că ecuația în sine este incorectă! Cu același succes, s-ar putea încerca să exprime volumul unui paralelipiped în funcție de lungimile celor două margini ale sale - desigur, acest lucru este imposibil (soluții întregi nu vor fi găsite niciodată), ci doar pentru că pentru a găsi volumul unui paralelipiped , trebuie să cunoașteți lungimile tuturor celor trei margini ale sale.

Când celebrul matematician David Gilbert a fost întrebat care este cea mai importantă sarcină pentru știință acum, el a răspuns „a prinde o muscă în partea îndepărtată a lunii”. La întrebarea rezonabilă „Cine are nevoie?” el a răspuns astfel: "Nimeni nu are nevoie de el. Dar gândește-te la câte sarcini importante și complexe trebuie să rezolvi pentru a realiza acest lucru."

Cu alte cuvinte, Fermat (un avocat în primul rând!) a făcut o glumă juridică plină de spirit pe întreaga lume matematică, pe baza unei formulări incorecte a problemei. El, de fapt, a sugerat că matematicienii găsesc un răspuns de ce o muscă nu poate trăi pe cealaltă parte a Lunii, iar în marginile Aritmeticii a vrut doar să scrie că pur și simplu nu există aer pe Lună, adică. nu pot exista soluții întregi ale teoremei sale pentru n>2 numai pentru că fiecare valoare a lui n trebuie să corespundă unui anumit număr de termeni din partea stângă a ecuației sale.

Dar a fost doar o glumă? Deloc. Geniul lui Fermat constă tocmai în faptul că el a fost de fapt primul care a văzut relația dintre gradul și dimensiunea unei figuri matematice - adică ceea ce este absolut echivalent, numărul de termeni din partea stângă a ecuației. Semnificația celebrei sale teoreme a fost tocmai aceea de a nu doar împinge lumea matematică pe ideea acestei relații, dar și pentru a iniția dovada existenței acestei relații - intuitiv de înțeles, dar încă nefundamentat matematic.

Fermat, ca nimeni altcineva, a înțeles că stabilirea unei relații între obiecte aparent diferite este extrem de fructuoasă nu numai în matematică, ci și în orice știință. O astfel de relație indică un principiu profund care stă la baza ambelor obiecte și care permite o înțelegere mai profundă a acestora.

De exemplu, inițial fizicienii au considerat electricitatea și magnetismul drept fenomene complet nelegate, iar în secolul al XIX-lea, teoreticienii și experimentatorii și-au dat seama că electricitatea și magnetismul erau strâns legate. Rezultatul a fost o înțelegere mai profundă atât a electricității, cât și a magnetismului. Curenți electrici Genera campuri magnetice, iar magneții pot induce electricitate în conductorii din apropierea magneților. Acest lucru a dus la inventarea dinamurilor și a motoarelor electrice. În cele din urmă s-a descoperit că lumina este rezultatul oscilațiilor armonice coordonate ale câmpurilor magnetice și electrice.

Matematica din vremea lui Fermat consta din insule de cunoaștere într-o mare a ignoranței. Geometrii au studiat formele pe o insulă, iar matematicienii au studiat probabilitatea și șansa pe cealaltă insulă. Limbajul geometriei era foarte diferit de limbajul teoriei probabilităților, iar terminologia algebrică era străină celor care vorbeau doar despre statistică. Din păcate, matematica timpului nostru constă aproximativ din aceleași insule.

Ferma a fost prima care a realizat că toate aceste insule sunt interconectate. Iar celebra lui teoremă - MAREA TEOREMĂ a lui Fermat - este o confirmare excelentă a acestui lucru.

Pentru numerele întregi n mai mari decât 2, ecuația x n + y n = z n nu are soluții diferite de zero în numere naturale.

Probabil îți amintești din zilele tale de școală teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. De asemenea, vă puteți aminti de triunghiul dreptunghic clasic cu laturile ale căror lungimi sunt legate ca 3: 4: 5. Pentru aceasta, teorema lui Pitagora arată astfel:

Acesta este un exemplu de rezolvare a ecuației lui Pitagora generalizate în numere întregi diferite de zero pt n= 2. Ultima Teoremă a lui Fermat (numită și „Ultima Teoremă a lui Fermat” și „Ultima Teoremă a lui Fermat”) este afirmația că, pentru valori n> 2 ecuații de formă x n + y n = z n nu au soluții diferite de zero în numere naturale.

Istoria ultimei teoreme a lui Fermat este foarte distractiv și instructiv, și nu numai pentru matematicieni. Pierre de Fermat a contribuit la dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii, dar cea mai mare parte a moștenirii sale științifice a fost publicată doar postum. Cert este că matematica pentru Fermat era ceva ca un hobby, nu o ocupație profesională. A corespondat cu matematicienii de seamă ai timpului său, dar nu a căutat să-și publice opera. Scrierile științifice ale lui Fermat se regăsesc în cea mai mare parte sub formă de corespondență privată și note fragmentare, deseori făcute în marjele diferitelor cărți. Se află pe margine (al doilea volum al Aritmeticii grecești antice de Diophantus. - Notă. traducător) la scurt timp după moartea matematicianului, urmașii au descoperit formularea celebrei teoreme și a postscriptului:

« Am găsit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste margini sunt prea înguste pentru el.».

Din păcate, se pare că Fermat nu s-a obosit niciodată să noteze „dovada miraculoasă” pe care a găsit-o, iar descendenții au căutat-o ​​fără succes timp de mai bine de trei secole. Dintre toată moștenirea științifică disparată a lui Fermat, care conține multe afirmații surprinzătoare, Marea Teoremă a fost cea care s-a încăpățânat să reziste soluției.

Cine nu a preluat demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat - totul în zadar! Un alt mare matematician francez, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), l-a numit pe Fermat „lăudăros”, iar matematicianul englez John Wallis (John Wallis, 1616-1703) l-a numit „al naibii de francez”. Fermat însuși, totuși, a lăsat în urmă o demonstrație a teoremei sale pentru acest caz n= 4. Cu dovada pt n= 3 a fost rezolvat de marele matematician elvețian-rus al secolului al XVIII-lea Leonard Euler (1707–83), după care, nefiind găsit dovezi pentru n> 4, s-a oferit în glumă să cerceteze casa lui Fermat pentru a găsi cheia dovezilor pierdute. În secolul al XIX-lea, noile metode ale teoriei numerelor au făcut posibilă demonstrarea afirmației pentru multe numere întregi în 200, dar, din nou, nu pentru toate.

În 1908 a fost stabilit un premiu de 100.000 DM pentru această sarcină. Fondul de premii i-a fost lăsat moștenire industrialului german Paul Wolfskehl, care, conform legendei, era pe cale să se sinucidă, dar a fost atât de purtat de Ultima Teoremă a lui Fermat încât s-a răzgândit cu privire la moarte. Odată cu apariția mașinilor de adăugare, și apoi a computerelor, bara de valori n a început să crească din ce în ce mai sus - până la 617 până la începutul celui de-al doilea război mondial, până la 4001 în 1954, până la 125.000 în 1976. La sfârșitul secolului al XX-lea, cele mai puternice calculatoare ale laboratoarelor militare din Los Alamos (New Mexico, SUA) au fost programate pentru a rezolva problema Fermat în fundal (similar modului de economizor de ecran al unui computer personal). Astfel, a fost posibil să se arate că teorema este adevărată pentru valori incredibil de mari x, y, zși n, dar aceasta nu poate servi ca o dovadă riguroasă, deoarece oricare dintre următoarele valori n sau tripleti numere naturale ar putea infirma teorema în ansamblu.

În cele din urmă, în 1994, matematicianul englez Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, n. 1953), în timp ce lucra la Princeton, a publicat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat, care, după unele modificări, a fost considerată exhaustivă. Dovada a luat mai mult de o sută de pagini de revistă și s-a bazat pe utilizarea aparatului modern al matematicii superioare, care nu fusese dezvoltat în epoca lui Fermat. Deci, ce a vrut să spună Fermat lăsând un mesaj în marginea cărții că găsise dovezi? Majoritatea matematicienilor cu care am vorbit pe acest subiect au subliniat că de-a lungul secolelor au existat mai mult decât suficiente dovezi incorecte ale ultimei teoreme a lui Fermat și că este probabil ca Fermat însuși să fi găsit o demonstrație similară, dar nu a reușit să vadă eroarea. în ea. Cu toate acestea, este posibil să existe încă o dovadă scurtă și elegantă a ultimei teoreme a lui Fermat, pe care nimeni nu a găsit-o încă. Un singur lucru poate fi spus cu certitudine: astăzi știm sigur că teorema este adevărată. Majoritatea matematicienilor, cred, ar fi de acord fără rezerve cu Andrew Wiles, care a remarcat despre demonstrația sa: „Acum, în sfârșit, mintea mea este în pace”.

Cu mulți ani în urmă, am primit o scrisoare de la Tașkent de la Valery Muratov, judecând după scriere de mână, un bărbat adolescent, care locuia atunci pe strada Kommunisticheskaya la numărul 31. Tipul a fost hotărât: "Imediat la obiect. Cât îmi veți plăti pentru a demonstra teorema lui Fermat? Sunt mulțumit cu cel puțin 500 de ruble. bani..."

Un paradox uimitor: puțini oameni știu cine este Fermat, când a trăit și ce a făcut. Mai mult mai puțini oameni poate chiar să descrie marea sa teoremă în cei mai generali termeni. Dar toată lumea știe că există un fel de teoremă a lui Fermat, pentru demonstrarea căreia matematicieni din întreaga lume se luptă de mai bine de 300 de ani, dar nu o pot dovedi!

Există mulți oameni ambițioși și însăși conștiința că există ceva ce alții nu pot face, le stimulează și mai mult ambiția. Prin urmare, mii (!) de dovezi ale Marii Teoreme au venit și au venit în academii, institute științifice și chiar în redacțiile ziarelor din întreaga lume - un record fără precedent și niciodată doborât de performanță pseudoștiințifică de amatori. Există chiar și un termen: „fermatiști”, adică oameni obsedați de dorința de a demonstra Marea Teoremă, care i-au epuizat complet pe matematicienii profesioniști cu cerințele de a-și evalua munca. Celebrul matematician german Edmund Landau a pregătit chiar și un standard, conform căruia a răspuns: „Există o eroare pe pagină în demonstrația ta a teoremei lui Fermat...”, iar absolvenții săi au scris numărul paginii. Și în vara lui 1994, ziarele din întreaga lume relatează ceva cu totul senzațional: Marea Teoremă este dovedită!

Deci, cine este Fermat, care este esența problemei și a fost cu adevărat rezolvată? Pierre Fermat s-a născut în 1601 în familia unui tăbăcar, un om bogat și respectat - a servit ca al doilea consul în orașul său natal Beaumont - acesta este ceva ca un asistent al primarului. Pierre a studiat mai întâi cu călugării franciscani, apoi la Facultatea de Drept din Toulouse, unde a practicat apoi advocacy. Cu toate acestea, gama de interese a lui Fermat a depășit cu mult jurisprudența. A fost interesat în special de filologia clasică, sunt cunoscute comentariile sale asupra textelor autorilor antici. Iar a doua pasiune este matematica.

În secolul al XVII-lea, ca, într-adevăr, pentru mulți ani mai târziu, nu exista o astfel de profesie: matematician. Prin urmare, toți marii matematicieni ai vremii erau matematicieni „part-time”: Rene Descartes a slujit în armată, Francois Viet a fost avocat, Francesco Cavalieri a fost călugăr. reviste științifice atunci nu a fost, iar clasicul științei Pierre Fermat nu a publicat o singură lucrare științifică în timpul vieții sale. A existat un cerc destul de restrâns de „amatori” care le-au rezolvat diverse probleme interesante și și-au scris scrisori despre asta, uneori certându-se (ca Fermat cu Descartes), dar, practic, au rămas la fel. Ei au devenit fondatorii noilor matematici, semănătorii de semințe strălucitoare, din care puternicul copac al cunoștințelor matematice moderne a început să crească, căpătând putere și ramificându-se.

Deci, Fermat era același „amator”. La Toulouse, unde a locuit 34 de ani, toată lumea îl cunoștea, în primul rând, ca consilier al Camerei de anchetă și avocat cu experiență. La 30 de ani, s-a căsătorit, a avut trei fii și două fiice, a plecat uneori în călătorii de afaceri, iar în timpul uneia dintre ele a murit subit, la vârsta de 63 de ani. Toate! Viața acestui om, contemporan al celor Trei Muschetari, este surprinzător de fără evenimente și lipsită de aventură. Aventurile au căzut în marea sa teoremă. Nu vom vorbi despre întreaga moștenire matematică a lui Fermat și este dificil să vorbim despre el într-un mod popular. Crede-mă pe cuvânt: această moștenire este mare și variată. Afirmația că Marea Teoremă este punctul culminant al lucrării sale este foarte discutabilă. Doar că soarta Marii Teoreme este surprinzător de interesantă, iar lumea vastă a oamenilor neinițiați în misterele matematicii a fost întotdeauna interesată nu de teorema în sine, ci de tot ce este în jurul ei...

Rădăcinile întregii povești trebuie căutate în antichitate, atât de îndrăgită de Fermat. Aproximativ în secolul al III-lea, în Alexandria a locuit matematicianul grec Diophantus, un om de știință care a gândit într-un mod original, gândind în afara cutiei și exprimându-și gândurile în afara cutiei. Din cele 13 volume ale Aritmeticii sale, la noi au ajuns doar 6. Tocmai când Fermat avea 20 de ani, a apărut o nouă traducere a lucrărilor sale. Fermat îi plăcea foarte mult Diophantus, iar aceste scrieri erau cartea lui de referință. Pe câmpurile sale, Fermat și-a scris Marea Teoremă, care în cea mai simplă formă modernă arată astfel: ecuația Xn + Yn = Zn nu are soluție în numere întregi pentru n - mai mult de 2. (Pentru n = 2, soluția este evidentă : Z2 + 42 = 52). În același loc, pe marginile volumului Diofantin, Fermat adaugă: „Am descoperit această dovadă cu adevărat minunată, dar aceste margini sunt prea înguste pentru el”.

La prima vedere, micul lucru este simplu, dar când alți matematicieni au început să demonstreze această „simplu” teoremă, nimeni nu a reușit timp de o sută de ani. În cele din urmă, marele Leonhard Euler a demonstrat-o pentru n = 4, apoi după 20 (!) ani - pentru n = 3. Și din nou lucrarea a blocat mulți ani. Următoarea victorie aparține germanului Peter Dirichlet (1805–1859) și francezului Andrien Legendre (1752–1833), care au recunoscut că Fermat avea dreptate pentru n = 5. Apoi francezul Gabriel Lamet (1795–1870) a făcut același lucru pentru n = 7. În cele din urmă, la mijlocul secolului trecut, germanul Ernst Kummer (1810-1893) a demonstrat Marea Teoremă pentru toate valorile lui n mai mici sau egale cu 100. Mai mult, a demonstrat-o folosind metode care puteau nu era cunoscut de Fermat, ceea ce a întărit și mai mult vălul misterului din jurul Marii Teoreme.

Astfel, s-a dovedit că ei dovedeau teorema lui Fermat „bucată cu bucată”, dar nimeni nu a fost în stare să o facă „complet”. Noi încercări de dovezi au condus doar la o creștere cantitativă a valorilor lui n. Toată lumea a înțeles că, după ce a petrecut un abis de muncă, era posibil să se demonstreze Marea Teoremă pentru un număr arbitrar de mare n, dar Fermat a vorbit despre orice valoare. din ea mai mare de 2! În această diferență dintre „arbitrar de mare” și „orice” a fost concentrat întregul sens al problemei.

Cu toate acestea, trebuie menționat că încercările de a demonstra teorema lui Fermg nu au fost doar un fel de joc matematic, soluția unui rebus complex. În cursul acestor dovezi s-au deschis noi orizonturi matematice, au apărut și s-au rezolvat probleme, care au devenit noi ramuri ale arborelui matematic. Marele matematician german David Hilbert (1862-1943) a citat Marea Teoremă ca exemplu al „ce efect stimulativ poate avea asupra științei o problemă specială și aparent nesemnificativă”. Același Kummer, lucrând la teorema lui Fermat, a demonstrat el însuși teoremele care au stat la baza teoriei numerelor, algebrei și teoriei funcțiilor. Deci, demonstrarea Marii Teoreme nu este un sport, ci o adevărată știință.

Timpul a trecut, iar electronica a venit în ajutorul „fsrmatnts” profesioniști. Creierele electronice de noi metode nu au putut fi inventate, dar au luat viteza. Pe la începutul anilor 80, teorema lui Fermat a fost demonstrată cu ajutorul unui calculator pentru n mai mic sau egal cu 5500. Treptat, această cifră a crescut la 100.000, dar toată lumea a înțeles că o astfel de „acumulare” era o chestiune de tehnologie pură, dând nimic pentru minte sau inimă. Nu au putut să ia „cu cap” cetatea Marii Teoreme și au început să caute manevre giratorii.

La mijlocul anilor 1980, tânărul matematician G. Filettings a dovedit așa-numita „conjectura lui Mordell”, care, apropo, a fost și „de neatins” de vreunul dintre matematicieni timp de 61 de ani. A apărut speranța că acum, ca să spunem așa, „atacând din flanc”, ar putea fi rezolvată și teorema lui Fermat. Cu toate acestea, atunci nu s-a întâmplat nimic. În 1986, matematicianul german Gerhard Frei a propus o nouă metodă de demonstrare în Esesseche. Nu mă angajez să o explic strict, dar nu în matematică, ci în limbajul general uman, sună cam așa: dacă suntem convinși că demonstrarea unei alte teoreme este o demonstrație indirectă, într-un fel transformată, a teoremei lui Fermat, atunci, prin urmare, vom demonstra Marea Teoremă. Un an mai târziu, americanul Kenneth Ribet din Berkeley a arătat că Frey are dreptate și, într-adevăr, o dovadă se putea reduce la alta. Mulți matematicieni au urmat această cale. tari diferite pace. Am făcut multe pentru a demonstra Marea Teoremă a lui Viktor Aleksandrovich Kolyvanov. Zidurile vechi de trei sute de ani ale cetății inexpugnabile au tremurat. Matematicienii și-au dat seama că nu va dura mult.

În vara anului 1993, în vechiul Cambridge, la Institutul de Științe Matematice Isaac Newton, 75 dintre cei mai importanți matematicieni din lume s-au adunat pentru a discuta problemele lor. Printre ei s-a numărat și profesorul american Andrew Wiles de la Universitatea Princeton, un specialist proeminent în teoria numerelor. Toată lumea știa că a lucrat la Marea Teoremă de mulți ani. Wiles a făcut trei prezentări, iar la ultima, pe 23 iunie 1993, la final, întorcându-se de la tablă, a spus zâmbind:

Presupun că nu voi continua...

La început s-a lăsat o tăcere moartă, apoi o rundă de aplauze. Cei care stăteau în sală erau suficient de calificați pentru a înțelege: Ultima Teoremă a lui Fermat este dovedită! În orice caz, niciunul dintre cei prezenți nu a găsit erori în proba de mai sus. Directorul asociat al Institutului Newton, Peter Goddard, a declarat reporterilor:

„Majoritatea experților nu credeau că vor afla pentru tot restul vieții. Aceasta este una dintre cele mai mari realizări ale matematicii ale secolului nostru...

Au trecut câteva luni, nu au urmat comentarii sau refuzuri. Adevărat, Wiles nu și-a publicat dovada, ci a trimis doar așa-numitele amprente ale lucrării sale unui cerc foarte restrâns de colegi, ceea ce, firesc, îi împiedică pe matematicieni să comenteze această senzație științifică și îl înțeleg pe academicianul Ludwig Dmitrievich Faddeev, care a spus:

- Pot spune că senzația s-a întâmplat când văd dovada cu ochii mei.

Faddeev crede că probabilitatea ca Wiles să câștige este foarte mare.

„Tatăl meu, un cunoscut specialist în teoria numerelor, era, de exemplu, sigur că teorema va fi demonstrată, dar nu prin mijloace elementare”, a adăugat el.

Un alt academician de-al nostru, Viktor Pavlovici Maslov, a fost sceptic cu privire la știri și crede că demonstrarea Marii Teoreme nu este deloc o problemă matematică reală. În ceea ce privește interesele sale științifice, Maslov, președintele Consiliului pentru Matematică Aplicată, este departe de „fermatist”, iar când spune că soluția completă a Marii Teoreme este doar de interes sportiv, se poate înțelege. Cu toate acestea, îndrăznesc să observ că conceptul de relevanță în orice știință este o variabilă. Cu 90 de ani în urmă, lui Rutherford, probabil, i s-a spus și el: „Ei bine, ei bine, teoria dezintegrarii radioactive... Și ce? La ce folosește? .."

Lucrarea privind demonstrarea Marii Teoreme a dat deja multă matematică și se poate spera că va da mai mult.

„Ceea ce a făcut Wiles îi va muta pe matematicieni în alte domenii”, a spus Peter Goddard. - Mai degrabă, acest lucru nu închide una dintre liniile de gândire, ci ridică noi întrebări care vor necesita un răspuns...

Profesorul Universității de Stat din Moscova, Mihail Ilici Zelikin, mi-a explicat situația actuală astfel:

Nimeni nu vede greșeli în munca lui Wiles. Dar pentru ca această lucrare să devină un fapt științific, este necesar ca mai mulți matematicieni reputați să repete în mod independent această dovadă și să confirme corectitudinea ei. Aceasta este o condiție indispensabilă pentru recunoașterea muncii lui Wiles de către comunitatea matematică...

Cât va dura pentru asta?

Am pus această întrebare unuia dintre specialiștii noștri de frunte în domeniul teoriei numerelor, doctorul în științe fizice și matematice Alexei Nikolaevich Parshin.

Andrew Wiles are mult timp înaintea lui...

Cert este că la 13 septembrie 1907, matematicianul german P. Wolfskel, care, spre deosebire de marea majoritate a matematicienilor, era un om bogat, a lăsat moștenire 100 de mii de mărci celui care avea să dovedească Marea Teoremă în următorii 100 de ani. La începutul secolului, dobânda din suma lăsată în moștenire a mers către trezoreria celebrei Universități Getgangent. Acești bani au fost folosiți pentru a invita matematicieni de seamă să susțină prelegeri și să conducă lucrări științifice. La acea vreme, David Hilbert, pe care l-am menționat deja, era președintele comisiei de atribuire. Nu a vrut să plătească prima.

„Din fericire”, a spus marele matematician, „se pare că nu avem un matematician, în afară de mine, care să poată face această sarcină, dar nu voi îndrăzni niciodată să omor gâsca care ne depune ouă de aur. ”

Înainte de termenul limită – 2007, desemnat de Wolfskel, au mai rămas câțiva ani și, mi se pare, un pericol serios planează asupra „puiului lui Hilbert”. Dar nu e vorba de premiu, de fapt. Este vorba despre curiozitatea gândirii și perseverența umană. Au luptat mai bine de trei sute de ani, dar tot au dovedit-o!

Și mai departe. Pentru mine, cel mai interesant lucru din toată această poveste este: cum și-a dovedit Fermat însuși Marea Teoremă? La urma urmei, toate trucurile matematice de astăzi îi erau necunoscute. Și a dovedit-o deloc? Până la urmă, există o versiune pe care părea să o fi dovedit-o, dar el însuși a găsit o eroare și, prin urmare, nu a trimis dovezile altor matematicieni, ci a uitat să tache intrarea în marjele volumului diofantin. Prin urmare, mi se pare că demonstrația Marii Teoreme, evident, a avut loc, dar secretul teoremei lui Fermat a rămas și este puțin probabil să o vom dezvălui vreodată...

Poate că Fermat s-a înșelat atunci, dar nu s-a înșelat când a scris: „Poate că posteritatea îmi va fi recunoscătoare pentru că i-am arătat că vechii nu știau totul și asta poate pătrunde în conștiința celor care vor veni după mine. torța fiilor săi...”

Este puțin probabil ca cel puțin un an în viața redacției noastre să fi trecut fără ca acesta să primească o duzină bună de dovezi ale teoremei lui Fermat. Acum, după „victoria” asupra lui, fluxul s-a domolit, dar nu s-a secat.

Desigur, pentru a nu-l usca complet, publicăm acest articol. Și nu în propria mea apărare – că, spun ei, de aceea am tăcut, noi înșine nu ne-am maturizat încă să discutăm probleme atât de complexe.

Dar dacă articolul pare cu adevărat complicat, uită-te imediat la sfârșitul lui. Va trebui să simți că pasiunile s-au liniștit temporar, știința nu s-a terminat și, în curând, noi dovezi ale unor noi teoreme vor fi trimise editorilor.

Se pare că secolul XX nu a fost în zadar. În primul rând, oamenii au creat un al doilea Soare pentru un moment prin detonarea unei bombe cu hidrogen. Apoi au mers pe Lună și au demonstrat în cele din urmă faimoasa teoremă a lui Fermat. Dintre aceste trei minuni, primele două sunt pe buzele tuturor, pentru că au provocat enorm consecințe sociale. Dimpotrivă, al treilea miracol arată ca o altă jucărie științifică - la egalitate cu teoria relativității, mecanica cuanticăși teorema lui Gödel privind incompletitudinea aritmeticii. Cu toate acestea, relativitatea și quanta i-au condus pe fizicieni la bombă cu hidrogen, iar cercetarea matematicienilor ne-a umplut lumea cu calculatoare. Va continua acest șir de miracole în secolul XXI? Este posibil să urmărim legătura dintre următoarele jucării științifice și revoluțiile din viața noastră de zi cu zi? Ne permite această legătură să facem predicții de succes? Să încercăm să înțelegem acest lucru folosind exemplul teoremei lui Fermat.

Să remarcăm pentru început că s-a născut mult mai târziu decât termenul ei natural. La urma urmei, primul caz special al teoremei lui Fermat este ecuația lui Pitagora X 2 + Y 2 = Z 2 , care raportează lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. După ce a demonstrat această formulă în urmă cu douăzeci și cinci de secole, Pitagora și-a pus imediat întrebarea: există multe triunghiuri în natură în care ambele catete și ipotenuza au o lungime întreagă? Se pare că egiptenii cunoșteau un singur astfel de triunghi - cu laturi (3, 4, 5). Dar nu este greu să găsești alte opțiuni: de exemplu (5, 12, 13) , (7, 24, 25) sau (8, 15, 17) . În toate aceste cazuri, lungimea ipotenuzei are forma (A 2 + B 2), unde A și B sunt numere coprime de paritate diferită. În acest caz, lungimile picioarelor sunt egale cu (A 2 - B 2) și 2AB.

Observând aceste relații, Pitagora a demonstrat cu ușurință că orice triplu de numere (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) este o soluție a ecuației X 2 + Y 2 \u003d Z 2 și stabilește un dreptunghi cu lungimi de laturi reciproc simple. De asemenea, se vede că numărul de triple diferite de acest fel este infinit. Dar toate soluțiile ecuației lui Pitagora au această formă? Pitagora a fost incapabil să demonstreze sau să infirme o astfel de ipoteză și a lăsat această problemă în seama posterității fără a atrage atenția asupra ei. Cine vrea să-și evidențieze eșecurile? După aceasta se pare că problema numerelor întregi triunghiuri dreptunghiulare a rămas în uitare timp de șapte secole – până când un nou geniu matematic, numit Diophantus, a apărut în Alexandria.

Știm puține despre el, dar este clar că nu semăna deloc cu Pitagora. S-a simțit ca un rege în geometrie și chiar dincolo de asta - fie în muzică, astronomie sau politică. Prima conexiune aritmetică între lungimile laturilor unei harpe armonioase, primul model al Universului din sfere concentrice care poartă planete și stele, cu Pământul în centru și, în sfârșit, prima republică a oamenilor de știință din orașul italian Crotone - acestea sunt realizările personale ale lui Pitagora. Ce ar putea opune Diophantus unor asemenea succese - un modest cercetător al marelui Muzeu, care de mult a încetat să mai fie mândria mulțimii orașului?

Un singur lucru: o mai bună înțelegere lumea antica numerele, ale căror legi Pitagora, Euclid și Arhimede abia au avut timp să le simtă. Rețineți că Diophantus nu a stăpânit încă sistemul pozițional de scriere a numerelor mari, dar știa ce sunt numerele negative și probabil a petrecut multe ore gândindu-se de ce produsul a două numere negative este pozitiv. Lumea numerelor întregi i-a fost dezvăluită pentru prima dată lui Diophantus ca un univers special, diferit de lumea stelelor, segmentelor sau poliedrelor. Principala ocupație a oamenilor de știință din această lume este rezolvarea ecuațiilor, un adevărat maestru găsește toate soluțiile posibile și demonstrează că nu există alte soluții. Așa a făcut Diophantus ecuație pătratică Pitagora, apoi s-a gândit: are cel puțin o soluție o ecuație cubică similară X 3 + Y 3 = Z 3?

Diophantus nu a reușit să găsească o astfel de soluție; încercarea sa de a dovedi că nu există soluții a fost, de asemenea, fără succes. Prin urmare, întocmind rezultatele lucrării sale în cartea „Aritmetică” (a fost primul manual din lume despre teoria numerelor), Diophantus a analizat în detaliu ecuația lui Pitagora, dar nu a făcut aluzie la un cuvânt despre posibilele generalizări ale acestei ecuații. Dar ar putea: la urma urmei, Diophantus a fost cel care a propus primul notația pentru puterile numerelor întregi! Dar vai: conceptul de „caiet de sarcini” era străin de știința și pedagogia elenă, iar publicarea listelor de probleme nerezolvate era considerată o ocupație indecentă (doar Socrate a acționat diferit). Dacă nu poți rezolva problema - taci! Diophantus a tăcut, iar această tăcere a durat paisprezece secole - până la debutul New Age, când interesul pentru procesul gândirii umane a fost reînviat.

Cine nu fanteza cu nimic la începutul secolelor XVI-XVII! Calculatorul neobosit Kepler a încercat să ghicească legătura dintre distanțele de la Soare la planete. Pitagora a eșuat. Succesul lui Kepler a venit după ce a învățat cum să integreze polinoame și alte funcții simple. Dimpotrivă, visătorului Descartes nu-i plăceau calculele lungi, dar el a fost primul care a prezentat toate punctele planului sau spațiului ca seturi de numere. Acest model îndrăzneț reduce orice problemă geometrică despre figuri la o problemă algebrică despre ecuații - și invers. De exemplu, soluțiile întregi ale ecuației lui Pitagora corespund punctelor întregi de pe suprafața unui con. Suprafața corespunzătoare ecuației cubice X 3 + Y 3 = Z 3 pare mai complicată, proprietățile ei geometrice nu i-au sugerat nimic lui Pierre Fermat și a trebuit să deschidă noi căi prin sălbăticia numerelor întregi.

În 1636, o carte a lui Diophantus, tocmai tradusă în latină dintr-un original grecesc, a căzut în mâinile unui tânăr avocat din Toulouse, supraviețuind accidental într-o arhivă bizantină și adusă în Italia de unul dintre fugarii romani pe vremea turcilor. ruina. Citind o discuție elegantă despre ecuația lui Pitagora, Fermat s-a gândit: este posibil să găsim o astfel de soluție, care să fie formată din trei numere pătrate? Nu există numere mici de acest fel: este ușor de verificat prin enumerare. Dar deciziile mari? Fără un computer, Fermat nu ar putea efectua un experiment numeric. Dar a observat că pentru fiecare soluție „mare” a ecuației X 4 + Y 4 = Z 4, se poate construi o soluție mai mică. Deci suma puterilor a patra a două numere întregi nu este niciodată egală cu aceeași putere a celui de-al treilea număr! Dar suma a două cuburi?

Inspirat de succesul pentru gradul 4, Fermat a încercat să modifice „metoda de coborâre” pentru gradul 3 – și a reușit. S-a dovedit că a fost imposibil să compune două cuburi mici din acele cuburi unice în care s-a destrămat un cub mare cu o lungime întreagă a unei margini. Triumfătorul Fermat a făcut o scurtă notă în marginea cărții lui Diofantus și a trimis o scrisoare la Paris cu un raport detaliat al descoperirii sale. Dar nu a primit un răspuns - deși, de obicei, matematicienii din capitală au reacționat rapid la următorul succes al singurului lor coleg-rival din Toulouse. Ce se întâmplă aici?

Pur și simplu: pe la mijlocul secolului al XVII-lea, aritmetica a demodat. Marile succese ale algebriștilor italieni din secolul al XVI-lea (când s-au rezolvat ecuațiile polinomiale de gradele 3 și 4) nu au devenit începutul unei revoluții științifice generale, deoarece nu au permis rezolvarea de noi probleme strălucitoare în domenii adiacente ale științei. Acum, dacă Kepler ar putea ghici orbitele planetelor folosind aritmetică pură... Dar, din păcate, aceasta necesita analiză matematică. Aceasta înseamnă că trebuie dezvoltată – până la triumful complet al metodelor matematice în știința naturii! Dar analiza se dezvoltă din geometrie, în timp ce aritmetica rămâne un teren de joc pentru avocații inactiv și pentru alți iubitori ai științei eterne a numerelor și a cifrelor.

Așadar, succesele aritmetice ale lui Fermat s-au dovedit a fi intempestive și au rămas neapreciate. Nu a fost supărat de acest lucru: pentru faima unui matematician, faptele de calcul diferențial, geometria analitică și teoria probabilității i-au fost dezvăluite pentru prima dată. Toate aceste descoperiri ale lui Fermat au intrat imediat în fondul de aur al noii științe europene, în timp ce teoria numerelor a dispărut în fundal pentru încă o sută de ani - până când a fost reînviată de Euler.

Acest „rege al matematicienilor” al secolului al XVIII-lea a fost un campion în toate aplicațiile analizei, dar nu a neglijat nici aritmetica, deoarece noile metode de analiză au condus la fapte neașteptate despre numere. Cine ar fi crezut că suma infinită a pătratelor inverse (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) este egală cu π 2 /6? Cine dintre eleni ar fi putut prevedea că serii similare ar face posibilă demonstrarea iraționalității numărului π?

Astfel de succese l-au forțat pe Euler să recitească cu atenție manuscrisele supraviețuitoare ale lui Fermat (din fericire, fiul marelui francez a reușit să le publice). Adevărat, dovada „teoremei mari” pentru gradul 3 nu a fost păstrată, dar Euler a restaurat-o cu ușurință doar indicând „metoda coborârii” și a încercat imediat să transfere această metodă la următorul grad prim - 5.

Nu era acolo! În raționamentul lui Euler a apărut numere complexe, pe care Fermat a reușit să nu-l observe (așa este mulțimea obișnuită de descoperitori). Dar factorizarea numerelor întregi complexe este o chestiune delicată. Nici Euler nu a înțeles-o pe deplin și a lăsat „problema Fermat” deoparte, grăbindu-se să-și finalizeze lucrarea principală - manualul „Fundamentals of Analysis”, care trebuia să ajute fiecare tânăr talentat să fie la egalitate cu Leibniz și Euler. Publicarea manualului a fost finalizată la Sankt Petersburg în 1770. Dar Euler nu s-a întors la teorema lui Fermat, fiind sigur că tot ceea ce a atins mâinile și mintea lui nu va fi uitat de noua tinerețe științifică.

Și așa s-a întâmplat: francezul Adrien Legendre a devenit succesorul lui Euler în teoria numerelor. La sfârșitul secolului al XVIII-lea, a finalizat demonstrația teoremei lui Fermat pentru gradul 5 - și, deși a eșuat pentru puteri prime mari, a alcătuit un alt manual de teoria numerelor. Fie ca tinerii săi cititori să-l depășească pe autor în același mod în care cititorii Principiilor matematice ale filosofiei naturale l-au depășit pe marele Newton! Legendre nu a fost pe măsură pentru Newton sau Euler, dar au existat două genii printre cititorii săi: Carl Gauss și Evariste Galois.

O concentrare atât de mare de genii a fost facilitată de Revoluția Franceză, care a proclamat cultul de stat al Rațiunii. După aceea, fiecare om de știință talentat s-a simțit ca Columb sau Alexandru cel Mare, capabil să descopere sau să cucerească o lume nouă. Mulți au reușit, pentru că în secolul al XIX-lea progresul științific și tehnic a devenit principalul motor al evoluției omenirii și toți conducătorii rezonabili (începând cu Napoleon) erau conștienți de acest lucru.

Gauss avea un caracter apropiat de Columb. Dar el (ca Newton) nu a știut să captiveze imaginația conducătorilor sau a studenților cu discursuri frumoase și, prin urmare, și-a limitat ambițiile la sfera conceptelor științifice. Aici putea face tot ce voia. De exemplu, problema antică a trisecțiunii unui unghi din anumite motive nu poate fi rezolvată cu o busolă și o linie dreaptă. Cu ajutorul numerelor complexe care înfățișează puncte ale planului, Gauss traduce această problemă în limbajul algebrei - și obține o teorie generală a fezabilității anumitor construcții geometrice. Astfel, a apărut, în același timp, o dovadă riguroasă a imposibilității construirii unui 7- sau 9-gon obișnuit cu busolă și riglă și un astfel de mod de a construi un 17-gon regulat, pe care au făcut-o cei mai înțelepți geometri din Hellas. nu visezi.

Desigur, un astfel de succes nu se dă în zadar: trebuie să inventăm noi concepte care să reflecte esența problemei. Newton a introdus trei astfel de concepte: flux (derivat), fluent (integral) și serie de puteri. Au fost suficiente pentru a crea analize matematice și prima model științific lumea fizică, inclusiv mecanica și astronomia. Gauss a introdus și trei concepte noi: spațiu vectorial, câmp și inel. Din ele a apărut o nouă algebră, subordonând aritmetica greacă și teoria funcțiilor numerice creată de Newton. A rămas să subordonăm algebrei logica creată de Aristotel: atunci ar fi posibil să se dovedească deductibilitatea sau nederivabilitatea oricăror afirmații științifice din acest set de axiome cu ajutorul calculelor! De exemplu, teorema lui Fermat derivă din axiomele aritmeticii sau postulatul lui Euclid al dreptelor paralele derivă din alte axiome ale planimetriei?

Gauss nu a avut timp să realizeze acest vis îndrăzneț – deși a avansat departe și a ghicit posibilitatea existenței unor algebre exotice (necomutative). Doar îndrăznețul rus Nikolai Lobachevsky a reușit să construiască prima geometrie non-euclidiană, iar prima algebră necomutativă (Teoria grupurilor) a fost condusă de francezul Evariste Galois. Și doar mult mai târziu decât moartea lui Gauss - în 1872 - tânărul german Felix Klein a ghicit că varietatea de geometrii posibile poate fi adusă în corespondență unu-la-unu cu varietatea de algebre posibile. Mai simplu spus, fiecare geometrie este definită de grupul său de simetrie - în timp ce algebra generală studiază toate grupurile posibile și proprietățile lor.

Dar o astfel de înțelegere a geometriei și algebrei a venit mult mai târziu, iar atacul asupra teoremei lui Fermat a reluat în timpul vieții lui Gauss. El însuși a neglijat teorema lui Fermat din principiu: nu este treaba regelui să rezolve probleme individuale care nu se potrivesc cu cele strălucitoare. teorie științifică! Dar studenții lui Gauss, înarmați cu noua sa algebră și cu analiza clasică a lui Newton și Euler, au raționat diferit. În primul rând, Peter Dirichlet a demonstrat teorema lui Fermat pentru gradul 7 folosind inelul de numere întregi complexe generate de rădăcinile acestui grad de unitate. Apoi Ernst Kummer a extins metoda Dirichlet la TOT puteri simple(!) - așa i s-a părut neplăcut și a triumfat. Dar în curând a venit o problemă serioasă: dovada trece fără cusur numai dacă fiecare element al inelului este descompus în mod unic în factori primi! Pentru numerele întregi obișnuite, acest fapt era deja cunoscut lui Euclid, dar numai Gauss și-a dat dovada riguroasă. Dar cum rămâne cu numerele complexe întregi?

Conform „principiului celei mai mari răutăți”, poate și TREBUIE să apară o factorizare ambiguă! De îndată ce Kummer a învățat să calculeze gradul de ambiguitate prin metode de analiză matematică, a descoperit acest truc murdar în inel pentru gradul de 23. Gauss nu a avut timp să învețe despre această versiune a algebrei comutative exotice, dar studenții lui Gauss au crescut. sus, în locul unui alt truc murdar, o nouă și frumoasă Teorie a idealurilor. Adevărat, acest lucru nu a ajutat prea mult la rezolvarea problemei lui Fermat: doar complexitatea ei naturală a devenit mai clară.

De-a lungul secolului al XIX-lea, acest idol antic a cerut din ce în ce mai multe sacrificii de la admiratorii săi sub forma unor noi teorii complexe. Nu este de mirare că până la începutul secolului al XX-lea, credincioșii s-au descurajat și s-au răzvrătit, respingându-și fostul idol. Cuvântul „fermatist” a devenit un termen peiorativ printre matematicienii profesioniști. Și deși a fost acordat un premiu considerabil pentru demonstrarea completă a teoremei lui Fermat, însă solicitanții acesteia erau în mare parte ignoranți încrezători în sine. Cei mai puternici matematicieni ai vremii - Poincaré și Hilbert - au evitat cu sfidătoare acest subiect.

În 1900, Hilbert nu a inclus Teorema lui Fermat în lista celor douăzeci și trei de probleme majore cu care se confruntă matematica secolului XX. Adevărat, el a inclus în seria lor problema generală a solubilității ecuațiilor diofantine. Sugestia era clară: urmați exemplul lui Gauss și Galois, creați teorii generale ale noilor obiecte matematice! Apoi, într-o bună zi (dar nu previzibilă în avans), vechea așchie va cădea de la sine.

Așa a procedat marele romantic Henri Poincaré. Neglijând multe probleme „eterne”, toată viața a studiat SIMETRIILE diverselor obiecte de matematică sau fizică: fie funcții ale unei variabile complexe, fie traiectorii de mișcare ale corpurilor cerești, fie curbe algebrice sau varietăți netede (acestea sunt generalizări multidimensionale ale curbelor). linii). Motivul acțiunilor sale a fost simplu: dacă două obiecte diferite au simetrii similare, înseamnă că există o relație internă între ele, pe care încă nu suntem capabili să o înțelegem! De exemplu, fiecare dintre geometriile bidimensionale (Euclid, Lobachevsky sau Riemann) are propriul grup de simetrie, care acționează în plan. Dar punctele planului sunt numere complexe: în acest fel acțiunea oricărui grup geometric este transferat în lumea nemărginită a funcțiilor complexe. Este posibil și necesar să se studieze cele mai simetrice dintre aceste funcții: AUTOMORF (care sunt supuse grupului Euclid) și MODULAR (care sunt supuse grupului Lobachevsky)!

Există și curbe eliptice în plan. Ele nu au nimic de-a face cu elipsa, ci sunt date de ecuații de forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX și, prin urmare, se intersectează cu orice dreaptă din trei puncte. Acest fapt ne permite să introducem înmulțirea între punctele unei curbe eliptice - să o transformăm într-un grup. Structura algebrică a acestui grup reflectă proprietățile geometrice ale curbei; poate este determinată în mod unic de grupul său? Această întrebare merită studiată, deoarece pentru unele curbe grupul de interes pentru noi se dovedește a fi modular, adică este legat de geometria Lobachevsky ...

Așa a raționat Poincaré, seducând tinerețea matematică a Europei, dar la începutul secolului XX aceste ispite nu au dus la teoreme sau ipoteze strălucitoare. S-a dovedit diferit cu apelul lui Hilbert: să studiem soluțiile generale ale ecuațiilor diofante cu coeficienți întregi! În 1922, tânărul american Lewis Mordell a conectat multe soluții la o astfel de ecuație (aceasta este - spațiu vectorial de o anumită dimensiune) cu genul geometric al curbei complexe dată de această ecuaţie. Mordell a ajuns la concluzia că, dacă gradul ecuației este suficient de mare (mai mult de doi), atunci dimensiunea spațiului soluției este exprimată în termeni de genul curbei și, prin urmare, această dimensiune este FINITĂ. Dimpotrivă - la puterea lui 2, ecuația lui Pitagora are o familie INFINIT-DIMENSIONALĂ de soluții!

Desigur, Mordell a văzut legătura dintre ipoteza lui și teorema lui Fermat. Dacă se știe că pentru fiecare grad n > 2 spațiul soluțiilor întregi ale ecuației lui Fermat este de dimensiuni finite, acest lucru va ajuta să se demonstreze că nu există deloc astfel de soluții! Dar Mordell nu a văzut nicio modalitate de a-și demonstra ipoteza – și deși a trăit o viață lungă, nu a așteptat transformarea acestei ipoteze în teorema lui Faltings. Acest lucru s-a întâmplat în 1983, într-o cu totul altă eră, după marile succese ale topologiei algebrice a varietăților.

Poincaré a creat această știință ca din întâmplare: a vrut să știe ce sunt varietățile tridimensionale. La urma urmei, Riemann și-a dat seama de structura tuturor suprafețelor închise și a primit un răspuns foarte simplu! Dacă nu există un astfel de răspuns într-un caz tridimensional sau multidimensional, atunci trebuie să veniți cu un sistem de invarianți algebrici ai varietății care determină structura sa geometrică. Cel mai bine este dacă astfel de invarianți sunt elemente ale unor grupuri - comutative sau necomutative.

Oricât de ciudat ar părea, acest plan îndrăzneț al lui Poincaré a reușit: a fost realizat între 1950 și 1970 datorită eforturilor multor geometri și algebriști. Până în 1950, a existat o acumulare liniștită de diverse metode de clasificare a varietăților, iar după această dată, o masă critică de oameni și idei părea să se fi acumulat și a avut loc o explozie, comparabilă cu invenția analizei matematice din secolul al XVII-lea. Dar revoluția analitică a durat un secol și jumătate, biografii creative patru generații de matematicieni – de la Newton și Leibniz la Fourier și Cauchy. Dimpotrivă, revoluția topologică a secolului al XX-lea a avut loc în decurs de douăzeci de ani - datorită un numar mare membrii săi. În același timp, a apărut o mare generație de tineri matematicieni încrezători în sine, rămași brusc fără muncă în patria lor istorică.

În anii șaptezeci s-au repezit în domeniile adiacente ale matematicii și fizicii teoretice. Mulți și-au creat propriile școli științifice în zeci de universități din Europa și America. Mulți studenți de diferite vârste și naționalități, cu abilități și înclinații diferite, încă circulă între aceste centre și toată lumea își dorește să fie celebru pentru o descoperire. În acest pandemoniu s-au dovedit în cele din urmă conjectura lui Mordell și teorema lui Fermat.

Cu toate acestea, prima rândunica, neștiind de soarta ei, a crescut în Japonia în anii de după război înfometați și șomeri. Numele rândunica era Yutaka Taniyama. În 1955, acest erou a împlinit 28 de ani și a decis (împreună cu prietenii Goro Shimura și Takauji Tamagawa) să reînvie cercetările matematice în Japonia. Unde sa încep? Desigur, cu depășirea izolării față de colegii străini! Așadar, în 1955, trei tineri japonezi au găzduit prima conferință internațională despre algebră și teoria numerelor la Tokyo. Se pare că a fost mai ușor să faci asta în Japonia reeducată de americani decât în ​​Rusia înghețată de Stalin...

Printre invitații de onoare s-au numărat doi eroi din Franța: Andre Weil și Jean-Pierre Serre. Aici japonezii au fost foarte norocoși: Weil a fost șeful recunoscut al algebriștilor francezi și membru al grupului Bourbaki, iar tânărul Serre a jucat un rol similar în rândul topologilor. În discuții aprinse cu ei, capetele tineretului japonez au crăpat, creierul li s-a topit, dar în cele din urmă s-au cristalizat astfel de idei și planuri care cu greu s-ar fi putut naște într-un alt mediu.

Într-o zi, Taniyama l-a abordat pe Weil cu o întrebare despre curbele eliptice și funcțiile modulare. La început, francezul nu a înțeles nimic: Taniyama nu era un maestru în vorbirea engleză. Atunci esența problemei a devenit clară, dar Taniyama nu a reușit să-și dea o formulare exactă speranților. Tot ce i-a putut răspunde Weil tânărului japonez a fost că, dacă ar fi fost foarte norocos în ceea ce privește inspirația, atunci ceva sensibil ar ieși din ipotezele sale vagi. Dar în timp ce speranța este slabă!

Evident, Weil nu a observat focul ceresc din privirea lui Taniyama. Și a fost foc: se pare că, pentru o clipă, gândul nestăpânit al regretatului Poincaré s-a mutat în japonezi! Taniyama a ajuns să creadă că fiecare curbă eliptică este generată de funcții modulare - mai precis, este „uniformizată printr-o formă modulară”. Din păcate, această formulare exactă s-a născut mult mai târziu - în conversațiile lui Taniyama cu prietenul său Shimura. Și apoi Taniyama s-a sinucis într-o criză de depresie... Ipoteza lui a rămas fără proprietar: nu era clar cum să o dovedească sau unde să o testeze și, prin urmare, nimeni nu a luat-o în serios mult timp. Primul răspuns a venit doar treizeci de ani mai târziu - aproape ca în epoca lui Fermat!

Gheața s-a spart în 1983, când germanul Gerd Faltings, în vârstă de douăzeci și șapte de ani, a anunțat lumii întregi: Conjectura lui Mordell fusese dovedită! Matematicienii erau în garda lor, dar Faltings era un german adevărat: nu existau lacune în demonstrația lui lungă și complicată. Doar că a sosit momentul, faptele și conceptele s-au acumulat - și acum un algebrist talentat, bazându-se pe rezultatele altor zece algebriști, a reușit să rezolve o problemă care a așteptat maestrul timp de șaizeci de ani. Acest lucru nu este neobișnuit în matematica secolului al XX-lea. Merită să ne amintim problema seculară a continuumului în teoria mulțimilor, cele două conjecturi ale lui Burnside în teoria grupurilor sau conjectura Poincaré în topologie. În sfârșit, în teoria numerelor, a sosit timpul să recoltem vechile culturi... Care va fi următorul dintr-o serie de matematicieni cuceriți? Se va prăbuși problema lui Euler, ipoteza lui Riemann sau teorema lui Fermat? Este bine să!

Și acum, la doi ani după revelația lui Faltings, un alt matematician inspirat a apărut în Germania. Numele lui era Gerhard Frey și a susținut ceva ciudat: că teorema lui Fermat este DERIVATĂ din conjectura lui Taniyama! Din păcate, stilul lui Frey de a-și exprima gândurile amintea mai mult de nefericitul Taniyama decât de clar compatriotul său Faltings. În Germania, nimeni nu l-a înțeles pe Frey și a plecat peste ocean - în gloriosul oraș Princeton, unde, după Einstein, s-au obișnuit cu astfel de vizitatori. Nu e de mirare că Barry Mazur, un topolog versatil, unul dintre eroii recentului asalt asupra colectoarelor netede, și-a făcut cuibul acolo. Și un student a crescut alături de Mazur - Ken Ribet, la fel de experimentat în complexitatea topologiei și algebrei, dar care nu s-a glorificat în niciun fel.

Când a auzit pentru prima dată discursurile lui Frey, Ribet a decis că asta era o prostie și aproape ficțiune științifică (probabil, Weil a reacționat la dezvăluirile lui Taniyama în același mod). Dar Ribet nu a putut uita această „fantezie” și uneori a revenit la ea mental. Șase luni mai târziu, Ribet a crezut că există ceva sensibil în fanteziile lui Frey, iar un an mai târziu a decis că el însuși aproape că ar putea dovedi ciudata ipoteză a lui Frey. Au rămas însă niște „găuri”, iar Ribet a decis să-i mărturisească șefului său Mazur. L-a ascultat cu atenție pe student și i-a răspuns calm: „Da, ați făcut totul! Aici trebuie să aplicați transformarea Ф, aici - folosiți lemele B și K și totul va lua o formă impecabilă! Așa că Ribet a făcut un salt de la obscuritate la nemurire, folosind o catapultă în persoana lui Frey și Mazur. Pentru dreptate, toate - împreună cu regretatul Taniyama - ar trebui considerate dovezi ale ultimei teoreme a lui Fermat.

Dar iată problema: ei și-au derivat afirmația din ipoteza Taniyama, care ea însăși nu a fost dovedită! Dacă e infidelă? Matematicienii știu de mult că „orice decurge dintr-o minciună”, dacă presupunerea lui Taniyama este greșită, atunci raționamentul impecabil al lui Ribet nu are valoare! Trebuie urgent să dovedim (sau să infirmăm) conjectura lui Taniyama - altfel cineva ca Faltings va demonstra teorema lui Fermat într-un mod diferit. Va deveni un erou!

Este puțin probabil să știm vreodată câți algebriști tineri sau experimentați au sărit pe teorema lui Fermat după succesul lui Faltings sau după victoria lui Ribet în 1986. Toți au încercat să lucreze în secret, pentru ca în caz de eșec să nu se încadreze în comunitatea „maniștilor”-fermatişti. Se știe că cel mai de succes dintre toate - Andrew Wiles de la Cambridge - a simțit gustul victoriei abia la începutul anului 1993. Acest lucru nu l-a încântat pe Wiles, ci l-a înspăimântat: ce se întâmplă dacă dovada lui despre conjectura Taniyama ar arăta o eroare sau o lacună? Atunci reputația lui științifică a pierit! Este necesar să notați cu atenție dovada (dar vor fi multe zeci de pagini!) Și să o amânați timp de șase luni sau un an, pentru ca mai târziu să o puteți reciti cu sânge rece și meticulos... Dar ce dacă cineva își publică dovada în acest timp? O necaz...

Cu toate acestea, Wiles a venit cu o modalitate dublă de a-și testa rapid dovada. În primul rând, trebuie să ai încredere în unul dintre prietenii și colegii tăi de încredere și să-i spui tot cursul raționamentului. Din exterior toate greselile sunt mai vizibile! În al doilea rând, este necesar să citiți un curs special pe această temă pentru studenții inteligenți și absolvenți: acești oameni deștepți nu vor rata nici măcar o greșeală a lectorului! Doar nu le spuneți scopul final al cursului până în ultimul moment - altfel toată lumea va ști despre asta! Și, desigur, trebuie să cauți un astfel de public departe de Cambridge - este mai bine nici măcar în Anglia, ci în America ... Ce ar putea fi mai bun decât îndepărtatul Princeton?

Wiles a mers acolo în primăvara anului 1993. Prietenul său răbdător Niklas Katz, după ce a ascultat raportul lung al lui Wiles, a găsit o serie de lacune în el, dar toate au fost corectate cu ușurință. Dar absolvenții de la Princeton au fugit curând de cursul special al lui Wiles, nedorind să urmeze gândul capricios al lectorului, care îi conduce pe nimeni nu știe unde. După o astfel de revizuire (nu deosebit de profundă) a operei sale, Wiles a decis că era timpul să dezvăluie lumii un mare miracol.

În iunie 1993, a avut loc o altă conferință la Cambridge, dedicată „teoriei Iwasawa” - o secțiune populară a teoriei numerelor. Wiles a decis să-și spună dovada conjecturii Taniyama pe ea, fără a anunța rezultatul principal până la sfârșit. Reportajul a durat mult timp, dar cu succes, treptat, au început să se aglomereze jurnaliştii care au simţit ceva. În cele din urmă, a lovit tunetul: teorema lui Fermat este demonstrată! Bucuria generală nu a fost umbrită de nicio îndoială: totul pare să fie clar... Dar două luni mai târziu, Katz, citind textul final al lui Wiles, a observat o altă lacună în el. O anumită tranziție în raționament s-a bazat pe „sistemul Euler” – dar ceea ce a construit Wiles nu a fost un astfel de sistem!

Wiles a verificat blocajul și și-a dat seama că s-a înșelat aici. Și mai rău: nu este clar cum să înlocuim raționamentul eronat! Au urmat cele mai negre luni din viața lui Wiles. Anterior, el a sintetizat liber o dovadă fără precedent din materialul la îndemână. Acum este legat de o sarcină îngustă și clară - fără certitudinea că are o soluție și că o va putea găsi în viitorul apropiat. Recent, Frey nu a putut rezista aceleiași lupte - și acum numele lui a fost ascuns de numele norocosului Ribet, deși presupunerea lui Frey s-a dovedit a fi corectă. Și ce se va întâmpla cu presupunerea MEA și cu numele MEU?

Această muncă grea a durat exact un an. În septembrie 1994, Wiles era gata să admită înfrângerea și să lase ipoteza Taniyama unor succesori mai norocoși. După ce a luat o astfel de decizie, a început să-și recitească încet dovada - de la început până la sfârșit, ascultând ritmul raționamentului, reexperimentând plăcerea descoperirilor de succes. Ajuns la locul „blestemat”, Wiles, însă, nu a auzit mental o notă falsă. Mersul raționamentului său era încă impecabil, iar eroarea a apărut doar în descrierea VERBALĂ a imaginii mentale? Dacă nu există un „sistem Euler” aici, atunci ce este ascuns aici?

Deodată, mi-a venit un simplu gând: „sistemul Euler” nu funcționează acolo unde este aplicabilă teoria Iwasawa. De ce să nu aplicați această teorie direct - din fericire, este apropiată și familiară lui Wiles însuși? Și de ce nu a încercat această abordare încă de la început, ci s-a lăsat dus de viziunea altcuiva asupra problemei? Wiles nu-și mai putea aminti aceste detalii – și a devenit inutil. El a efectuat raționamentul necesar în cadrul teoriei Iwasawa și totul s-a dovedit în jumătate de oră! Astfel – cu o întârziere de un an – ultimul decalaj în dovada conjecturii lui Taniyama a fost închis. Textul final a fost dat la mila unui grup de recenzori ai celei mai cunoscute reviste de matematică, un an mai târziu au declarat că acum nu există erori. Astfel, în 1995, ultima presupunere a lui Fermat a murit la vârsta de trei sute șaizeci de ani, transformându-se într-o teoremă dovedită care va intra inevitabil în manualele de teoria numerelor.

Rezumând agitația de trei secole în jurul teoremei lui Fermat, trebuie să tragem o concluzie ciudată: această epopee eroică nu s-ar fi putut întâmpla! Într-adevăr, teorema lui Pitagora exprimă o legătură simplă și importantă între obiectele naturale vizuale - lungimile segmentelor. Dar nu același lucru se poate spune despre Teorema lui Fermat. Arată mai mult ca o suprastructură culturală pe un substrat științific - ca o realizare polul Nord Pământ sau zbor spre lună. Să ne amintim că ambele isprăvi au fost cântate de scriitori cu mult înainte de a fi îndeplinite - în cele mai vechi timpuri, după apariția „Elementelor” lui Euclid, dar înainte de apariția „Aritmeticii” a lui Diofantus. Deci, atunci era o nevoie publică de fapte intelectuale de acest gen – cel puțin imaginare! Anterior, elenii se săturaseră de poeziile lui Homer, la fel cum cu o sută de ani înainte de Fermat, francezii se săturaseră de pasiunile religioase. Dar apoi pasiunile religioase s-au potolit – iar știința a stat lângă ele.

În Rusia, astfel de procese au început în urmă cu o sută cincizeci de ani, când Turgheniev l-a pus pe Evgheni Bazarov la egalitate cu Evgheni Onegin. Adevărat, scriitorul Turgheniev a înțeles prost motivele acțiunilor omului de știință Bazarov și nu a îndrăznit să le cânte, dar acest lucru a fost făcut curând de omul de știință Ivan Sechenov și de jurnalistul luminat Jules Verne. O revoluție științifică și tehnologică spontană are nevoie de un înveliș cultural care să pătrundă în mintea majorității oamenilor, iar aici vine mai întâi science-fiction, iar apoi literatura științifică populară (inclusiv revista „Knowledge is Power”).

În același timp, o temă științifică anume nu este deloc importantă pentru publicul larg și nu este foarte importantă nici măcar pentru eroii-interpreți. Așadar, după ce a auzit despre realizarea Polului Nord de către Peary și Cook, Amundsen și-a schimbat instantaneu obiectivul expediției sale deja pregătite - și a ajuns curând la Polul Sud, înaintea lui Scott cu o lună. Mai târziu, circumnavigarea cu succes a Pământului de către Yuri Gagarin l-a forțat pe președintele Kennedy să schimbe fostul obiectiv al programului spațial american cu unul mai scump, dar mult mai impresionant: aterizarea oamenilor pe Lună.

Chiar mai devreme, perspicactul Hilbert, ca răspuns la întrebarea naivă a studenților: „Soluția căreia sarcina științifică ar fi cel mai util acum? - a răspuns cu o glumă: „Prindă o muscă în partea îndepărtată a lunii!” La întrebarea perplexă: „De ce este necesar acest lucru?” - urmat de un răspuns clar: „Nimeni nu are nevoie de ASTA! Dar gândește-te la acestea metode științifice si mijloacele tehnice pe care va trebui sa le dezvoltam pentru a rezolva o astfel de problema – si ce multe alte probleme frumoase vom rezolva pe parcurs!

Este exact ceea ce s-a întâmplat cu teorema lui Fermat. Euler ar fi putut foarte bine să treacă cu vederea.

În acest caz, o altă problemă ar deveni idolul matematicienilor - poate și din teoria numerelor. De exemplu, problema lui Eratosthenes: mulțime finită sau infinită numere prime-gemeni (cum ar fi 11 și 13, 17 și 19 și așa mai departe)? Sau problema lui Euler: este fiecare număr par suma a două numere prime? Sau: există o relație algebrică între numerele π și e? Aceste trei probleme nu au fost încă rezolvate, deși în secolul al XX-lea matematicienii s-au apropiat de a le înțelege esența. Dar acest secol a dat naștere și la multe probleme noi, nu mai puțin interesante, mai ales la intersecția matematicii cu fizica și alte ramuri ale științelor naturale.

În 1900, Hilbert a evidențiat una dintre ele: să creeze un sistem complet de axiome ale fizicii matematice! O sută de ani mai târziu, această problemă este departe de a fi rezolvată, fie și doar pentru că arsenalul de mijloace matematice ale fizicii este în continuă creștere și nu toate au o justificare riguroasă. Dar după 1970, fizica teoretică s-a împărțit în două ramuri. Unul (clasic) încă de pe vremea lui Newton modelează și prezice procese STABLE, celălalt (nou-născut) încearcă să oficializeze interacțiunea proceselor INSTABILE și modalități de a le controla. Este clar că aceste două ramuri ale fizicii trebuie axiomatizate separat.

Primul dintre ele va fi probabil tratat peste douăzeci sau cincizeci de ani...

Și ce lipsește din a doua ramură a fizicii - cea care se ocupă de tot felul de evoluție (inclusiv fractali ciudați și atractori ciudați, ecologia biocenozelor și teoria pasionalității a lui Gumilyov)? Este puțin probabil să înțelegem acest lucru în curând. Dar venerarea oamenilor de știință față de noul idol a devenit deja un fenomen de masă. Probabil că aici se va desfășura o epopee, comparabilă cu biografia de trei secole a teoremei lui Fermat. Astfel, la intersecția diferitelor științe se nasc noi idoli - asemănători celor religioși, dar mai complexi și dinamici...

Aparent, o persoană nu poate rămâne o persoană fără să răstoarne din când în când vechii idoli și fără să creeze alții noi - cu durere și cu bucurie! Pierre Fermat a avut norocul să se afle într-un moment fatidic aproape de punctul fierbinte al nașterii unui nou idol – și a reușit să-și lase amprenta personalității nou-născutului. Se poate invidia o astfel de soartă și nu este păcat să o imit.

Serghei Smirnov
"Cunoașterea este putere"