Să luăm în considerare încă o problemă specială.

Se știe că modulul de viteză al corpului pe parcursul întregii mișcări a rămas constant și egal cu 5 m/s. Găsiți legea mișcării acestui corp. Începutul numărării lungimilor căilor coincide cu punctul de pornire al mișcării corpului.

Pentru a rezolva problema, folosim formula

De aici puteți găsi creșterea în lungime a căii pentru orice perioadă mică de timp

Prin condiție, modulul de viteză este constant. Aceasta înseamnă că incrementele în lungimea căii pentru orice intervale de timp egale vor fi aceleași. Prin definiție, aceasta este mișcare uniformă. Ecuația pe care am obținut-o nu este altceva decât legea unui astfel de lucru mișcare uniformă. Dacă înlocuim expresii în această ecuație, atunci este ușor de obținut

Să presupunem că începutul referinței de timp coincide cu începutul mișcării corpului. Luăm în considerare că, prin condiție, originea lungimii traseului coincide cu punctul inițial al mișcării corpului. Să luăm ca interval timpul de la începutul mișcării până la momentul de care avem nevoie.Atunci trebuie să stabilim După înlocuirea acestor valori, legea mișcării luate în considerare va avea forma

Exemplul luat în considerare ne permite să dăm o nouă definiție a mișcării uniforme (§ 13): mișcarea uniformă este o mișcare cu o viteză modulo constantă.

Același exemplu ne permite să obținem formula generală pentru legea mișcării uniforme.

Dacă originea timpului coincide cu începutul mișcării, iar originea lungimii căilor coincide cu punctul de început al mișcării, atunci legea mișcării uniforme va avea forma

Dacă ora începerii mișcării și lungimea drumului către punct de start mișcarea, atunci legea mișcării uniforme ia o formă mai complexă:

Să fim atenți la încă un rezultat important, care poate fi obținut din legea mișcării uniforme pe care am găsit-o. Să presupunem că pentru o mișcare uniformă este dat un grafic al dependenței vitezei de timp (Fig. 1.60). Legea acestei mișcări Se poate observa din figură că produsul este numeric egal cu aria figurii delimitate de axele de coordonate, graficul dependenței vitezei de timp și ordonata corespunzătoare

La un moment dat, în conformitate cu graficul vitezei, este posibil să se calculeze incrementele lungimii traseelor ​​în timpul mișcării.

Folosind un mai complex aparate matematice, se poate arăta că acest rezultat, obținut de noi pentru un anumit caz, se dovedește a fi valabil pentru orice mișcări neuniforme. Creșterea lungimii traseului în timpul mișcării este întotdeauna egală numeric cu aria figurii, limitată de graficul vitezei de axele de coordonate și de ordonata corespunzătoare momentului final de timp selectat.

Această posibilitate de căutare grafică a legii mișcări complexe va fi folosit în viitor.

Și de ce este nevoie. Știm deja ce este un cadru de referință, relativitatea mișcării și punct material. Ei bine, este timpul să trecem mai departe! Aici vom trece în revistă conceptele de bază ale cinematicii, vom reuni cele mai utile formule privind elementele de bază ale cinematicii și vom oferi un exemplu practic de rezolvare a problemei.

Să rezolvăm următoarea problemă: Un punct se deplasează într-un cerc cu o rază de 4 metri. Legea mișcării sale este exprimată prin ecuația S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. În ce moment al timpului accelerație normală punctul este 9 m/s^2? Aflați viteza, accelerația tangențială și totală a punctului pentru acest moment de timp.

Soluție: știm că pentru a găsi viteza, trebuie să luăm derivata primară a legii mișcării, iar accelerația normală este egală cu pătratul privat al vitezei și cu raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul . Înarmați cu aceste cunoștințe, găsim valorile dorite.

Ai nevoie de ajutor pentru rezolvarea problemelor? Un serviciu pentru studenți profesioniști este pregătit să îl ofere.

DERIVATUL ŞI APLICAREA SA LA STUDIUL FUNCŢIILOR X

§ 218. Legea mișcării. Viteza de mișcare instantanee

La o caracterizare mai completă a mișcării se poate ajunge după cum urmează. Să împărțim timpul de mișcare al corpului în mai multe intervale separate ( t 1 , t 2), (t 2 , t 3), etc. (nu neapărat egale, vezi Fig. 309) și pe fiecare dintre ele setăm viteza medie de mișcare.

Aceste viteze medii, desigur, vor caracteriza mai pe deplin mișcarea pe întreaga secțiune decât viteza medie pe toată durata mișcării. Cu toate acestea, ei nu vor da un răspuns la o astfel de întrebare, de exemplu, la întrebarea: în ce moment al intervalului de la t 1 la t 2 (Fig. 309) trenul mergea mai repede: pe moment t" 1 sau momentan t" 2 ?

Viteza medie caracterizează mișcarea mai pe deplin, cu atât secțiunile traseului pe care este determinată sunt mai scurte. Prin urmare, una dintre modalitățile posibile de a descrie mișcarea neuniformă este de a seta vitezele medii ale acestei mișcări pe secțiuni din ce în ce mai mici ale traseului.

Să presupunem că ni se dă o funcție s (t ), indicând ce cale parcurge corpul, mișcându-se rectiliniu în aceeași direcție, în timp t de la începutul mișcării. Această funcție determină legea mișcării corpului. De exemplu, mișcarea uniformă are loc conform legii

s (t ) = vt ,

Unde v - viteza de miscare; cădere liberă tel apare conform legii

Unde g - accelerarea unui corp în cădere liberă etc.

Luați în considerare calea parcursă de un corp care se mișcă conform unei legi s (t ) , pentru timpul de la t inainte de t + τ .

Până când t corpul va merge pe drum s (t ), și până la momentul respectiv t + τ - cale s (t + τ ). Prin urmare, în timpul timpului t inainte de t + τ va merge pe drum s (t + τ ) - s (t ).

Împărțind această cale la timpul mișcării τ , obținem viteza medie pentru timpul de la t inainte de t + τ :

Limita acestei viteze la τ -> 0 (doar dacă există) este numit viteza instantanee de mișcare la un moment dat t:

(1)

Viteza instantanee de mișcare la un moment dat t se numeste limita vitezei medii de miscare in timpul de la t inainte de t+ τ , când τ tinde spre zero.

Să luăm în considerare două exemple.

Exemplul 1. Mișcare uniformă în linie dreaptă.

În acest caz s (t ) = vt , Unde v - viteza de miscare. Sa gasim viteza instantanee această mișcare. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să găsiți viteza medie în intervalul de timp de la t inainte de t + τ . Dar pentru o mișcare uniformă, viteza medie în orice parte a turbidității coincide cu viteza de mișcare v . Deci viteza instantanee v (t ) va fi egal cu:

v (t ) =v = v

Deci, pentru o mișcare uniformă, viteza instantanee (precum și viteza medie pe orice secțiune a traseului) coincide cu viteza de mișcare.

Același rezultat, desigur, ar putea fi obținut formal, pe baza egalității (1).

Într-adevăr,

Exemplul 2 Mișcare uniform accelerată cu viteză și accelerație inițială zero dar . În acest caz, după cum se știe din fizică, corpul se mișcă conform legii

Conform formulei (1), obținem că viteza instantanee a unei astfel de mișcări v (t ) este egal cu:

Deci viteza instantanee mișcare uniform accelerată atunci t este egal cu produsul dintre accelerație și timp t . Spre deosebire de mișcarea uniformă, viteza instantanee a mișcării uniform accelerate variază în timp.

Exerciții

1741. Punctul se mişcă conform legii (s - distanta in metri t - timp în minute). Găsiți viteza instantanee a acestui punct:

b) la momentul respectiv t 0 .

1742. Aflați viteza instantanee a unui punct care se deplasează conform legii s (t ) = t 3 (s - calea în metri, t - timp în minute):

a) la începutul mișcării

b) 10 secunde de la începerea mișcării;

c) în prezent t= 5 min;

1743. Aflați viteza instantanee a unui corp care se mișcă conform legii s (t ) = √t , într-un moment arbitrar t .

Toată lumea a acordat atenție întregii varietăți de tipuri de mișcări pe care le întâlnește în viața lui. Cu toate acestea, orice mișcare mecanică corp este redus la unul din două tipuri: liniar sau rotațional. Luați în considerare în articol legile de bază ale mișcării corpurilor.

Despre ce tipuri de mișcare vorbim?

După cum sa menționat în introducere, toate tipurile de mișcare a corpului care sunt luate în considerare în fizica clasică sunt asociate fie cu o traiectorie rectilinie, fie cu una circulară. Orice alte traiectorii pot fi obținute prin combinarea acestor două. În continuare, în articol, vor fi luate în considerare următoarele legi ale mișcării corpului:

1. Uniformă în linie dreaptă.
2. Accelerată uniform (încetinită uniform) în linie dreaptă.
3. Uniformă în jurul circumferinței.
4. Accelerată uniform în jurul circumferinței.
5. Mișcarea de-a lungul unui traseu eliptic.

Mișcare uniformă sau stare de odihnă

Din punct de vedere științific, Galileo s-a interesat pentru prima dată de această mișcare la sfârșitul secolului al XVI-lea - începutul secolului al XVII-lea. Studiind proprietățile inerțiale ale corpului, precum și introducerea conceptului de sistem de referință, el a ghicit că starea de repaus și mișcarea uniformă sunt una și aceeași (totul depinde de alegerea obiectului în raport cu care viteza este calculat).

Ulterior, Isaac Newton a formulat prima sa lege a mișcării unui corp, conform căreia viteza acestuia din urmă este o valoare constantă ori de câte ori nu există forțe exterioare care modifică caracteristicile mișcării.

Este descrisă mișcarea rectilinie uniformă a unui corp în spațiu următoarea formulă:

Unde s este distanța pe care o va parcurge corpul în timpul t, deplasându-se cu viteza v. Această expresie simplă este scrisă și în următoarele forme (totul depinde de cantitățile cunoscute):

Deplasarea în linie dreaptă cu accelerație

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, prezența unei forțe externe care acționează asupra unui corp duce inevitabil la apariția unei accelerații la acesta din urmă. De la (rata de schimbare a vitezei) urmează expresia:

a=v/t sau v=a*t

Dacă acţionează asupra corpului forta externa va rămâne constantă (nu va schimba modulul și direcția), apoi accelerația nu se va modifica. Acest tip de mișcare se numește uniform accelerat, unde accelerația acționează ca un factor de proporționalitate între viteză și timp (viteza crește liniar).

Pentru aceasta miscare se calculeaza distanta parcursa prin integrarea vitezei in timp. Legea mișcării unui corp pentru o cale cu mișcare uniform accelerată ia forma:

Cel mai comun exemplu al acestei mișcări este căderea oricărui obiect de la înălțime, în care gravitația îi spune o accelerație g \u003d 9,81 m / s 2.

Mișcare rectilinie accelerată (lentă) cu viteza inițială

De fapt, vorbim despre o combinație a celor două tipuri de mișcare discutate în paragrafele precedente. Imaginează-ți o situație simplă: o mașină circula cu o oarecare viteză v 0 , apoi șoferul a apăsat frâna, iar vehiculul s-a oprit după ceva timp. Cum se descrie mișcarea în acest caz? Pentru funcția viteză în funcție de timp, expresia este adevărată:

Aici v 0 este viteza inițială (înainte de frânarea mașinii). Semnul minus indică faptul că forța externă (frecarea de alunecare) este îndreptată împotriva vitezei v 0 .

Ca și în paragraful anterior, dacă luăm integrala de timp a lui v(t), obținem formula pentru cale:

s \u003d v 0 * t - a * t 2 / 2

Rețineți că această formulă calculează doar distanța de frânare. Pentru a afla distanța parcursă de mașină pe toată durata mișcării sale, ar trebui să găsiți suma a două căi: pentru o mișcare uniformă și pentru o mișcare uniformă lentă.

În exemplul descris mai sus, dacă șoferul nu a apăsat pedala de frână, ci pedala de accelerație, atunci semnul „-” s-ar schimba în „+” în formulele prezentate.

Mișcare circulară

Orice mișcare într-un cerc nu poate avea loc fără accelerație, deoarece chiar dacă modulul de viteză este menținut, direcția acestuia se schimbă. Accelerația asociată cu această schimbare se numește centripetă (aceasta accelerație îndoiește traiectoria corpului, transformându-l într-un cerc). Modulul acestei accelerații se calculează după cum urmează:

a c \u003d v 2 / r, r - raza

În această expresie, viteza poate depinde de timp, așa cum se întâmplă în cazul mișcării uniform accelerate într-un cerc. În acest din urmă caz, a c va crește rapid (dependență pătratică).

Accelerația centripetă determină forța care trebuie aplicată pentru a menține corpul pe o orbită circulară. Un exemplu este competiția de aruncare a ciocanului, în care sportivii depun un efort semnificativ pentru a învârti proiectilul înainte de a fi aruncat.

Rotire în jurul unei axe cu o viteză constantă

Acest tip de mișcare este identic cu cel precedent, doar că este obișnuit să o descriem nefolosind liniar mărimi fizice, și folosind caracteristici unghiulare. Legea mișcării de rotație a unui corp, când viteza unghiulară nu se modifică, se scrie sub formă scalară după cum urmează:

Aici L și I sunt momentele momentului și, respectiv, inerția, ω este viteza unghiulară, care este legată de viteza liniară prin egalitate:

Valoarea lui ω arată câți radiani se va transforma corpul într-o secundă. Mărimile L și I au aceeași semnificație ca impulsul și masa pt mișcare rectilinie. În consecință, unghiul θ prin care corpul se va întoarce în timpul t se calculează după cum urmează:

Un exemplu de acest tip de mișcare este rotirea unui volant situat pe arborele cotit al unui motor de mașină. Volanul este un disc masiv care este foarte greu de accelerat. Datorită acestui lucru, oferă o schimbare lină a cuplului, care este transmisă de la motor la roți.

Rotație în jurul unei axe cu accelerație

Dacă se aplică o forță externă unui sistem care este capabil să se rotească, atunci acesta va începe să-și crească viteză unghiulară. Această situație este descrisă de următoarea lege a mișcării corpului în jurul:

Aici F este o forță externă care este aplicată sistemului la o distanță d de axa de rotație. Produsul din partea stângă a egalității se numește momentul de forță.

Pentru mișcarea uniform accelerată într-un cerc, aflăm că ω depinde de timp după cum urmează:

ω = α * t, unde α = F * d / I - accelerația unghiulară

În acest caz, unghiul de rotație în timp t poate fi determinat prin integrarea ω în timp, adică:

Dacă corpul se învârtea deja cu o anumită viteză ω 0 și atunci momentul extern al forței F * d a început să acționeze, atunci prin analogie cu cazul liniar, se pot scrie următoarele expresii:

ω = ω 0 + α * t;

θ \u003d ω 0 * t + α * t 2 / 2

Astfel, apariția unui moment extern al forțelor este motivul prezenței accelerației într-un sistem cu axă de rotație.

Pentru caracterul complet al informațiilor, observăm că este posibilă modificarea vitezei de rotație ω nu numai cu ajutorul momentului extern al forțelor, ci și datorită unei modificări a caracteristicilor interne ale sistemului, în special, a momentului său de inerție. . Această situație a fost văzută de fiecare persoană care a urmărit rotația patinatorilor pe gheață. Prin grupare, sportivii cresc ω prin scăderea I, conform unei legi simple a mișcării corpului:

Mișcarea de-a lungul unei traiectorii eliptice pe exemplul planetelor sistemului solar

După cum știți, Pământul nostru și alte planete sistem solar se învârt în jurul stelei lor nu într-un cerc, ci pe o traiectorie eliptică. Pentru prima dată, celebrul om de știință german Johannes Kepler a formulat legi matematice pentru a descrie această rotație la începutul secolului al XVII-lea. Folosind rezultatele observațiilor profesorului său Tycho Brahe asupra mișcării planetelor, Kepler a ajuns la formularea celor trei legi ale sale. Ele sunt formulate după cum urmează:

1. Planetele sistemului solar se mișcă pe orbite eliptice, Soarele fiind situat la unul dintre focarele elipsei.
2. Vectorul rază care leagă Soarele și planeta descrie aceleași zone în intervale de timp egale. Acest fapt rezultă din conservarea momentului unghiular.
3. Dacă împărțim pătratul perioadei de revoluție la cubul semiaxei majore a orbitei eliptice a planetei, atunci obținem o anumită constantă, care este aceeași pentru toate planetele sistemului nostru. Din punct de vedere matematic, aceasta este scrisă astfel:

T 2 / a 3 \u003d C \u003d const

Ulterior, Isaac Newton, folosind aceste legi ale mișcării corpurilor (planete), a formulat celebra sa lege a gravitației universale sau gravitației. Aplicând-o, se poate arăta că constanta C din a treia este:

C = 4 * pi 2 / (G * M)

Unde G este constanta universală gravitațională și M este masa Soarelui.

Rețineți că mișcarea de-a lungul unei orbite eliptice în cazul acțiunii unei forțe centrale (gravitația) duce la faptul că viteza liniei v este în continuă schimbare. Este maxim atunci când planeta este cel mai aproape de stea și minim departe de aceasta.