Există un întreg grup de sarcini (incluse în tipurile de sarcini de examinare) asociate cu planul de coordonate. Sunt sarcini care pornesc de la cele mai elementare, care se rezolvă oral (determinarea ordonatei sau a abscisei). punct dat, sau puncte ale unuia dat simetric și altele), care se termină cu sarcini care necesită cunoștințe de înaltă calitate, înțelegere și bune abilități (sarcini legate de panta unei drepte).

Treptat, le vom lua în considerare pe toate. În acest articol, vom începe cu elementele de bază. Acestea sunt sarcini simple de determinat: abscisa și ordonata unui punct, lungimea unui segment, punctul de mijloc al unui segment, sinusul sau cosinusul unghiului de înclinare al unei drepte.Majoritatea acestor sarcini nu vor fi interesante. Dar cred că este necesar să le precizăm.

Chestia este că nu toată lumea merge la școală. Mulți oameni trec examenul la 3-4 ani sau mai mult după absolvire și își amintesc vag care sunt abscisa și ordonatele. Vom analiza și alte sarcini legate de planul de coordonate, nu-l ratați, abonați-vă la actualizarea blogului. Acum n putina teorie.

Să construim pe plan de coordonate punctul A cu coordonatele x=6, y=3.

Ei spun că abscisa punctului A este șase, ordonata punctului A este trei.

Pentru a spune simplu, axa x este axa absciselor, axa y este axa y.

Adică abscisa este un punct de pe axa x în care este proiectat un punct dat pe planul de coordonate; Ordonata este punctul de pe axa y în care este proiectat punctul specificat.

Lungimea segmentului pe planul de coordonate

Formula pentru determinarea lungimii unui segment, dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor sale:

După cum puteți vedea, lungimea segmentului este lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu

X B - X A și Y B - Y A

* * *

Mijlocul tăieturii. Coordonatele ei.

Formula pentru găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment:

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este:

unde (x 1; y 1) și (x 2; y 2 ) coordonatele punctelor date.

Înlocuind valorile coordonatelor în formulă, se reduce la forma:

y = kx + b, unde k este panta dreptei

Vom avea nevoie de aceste informații atunci când vom rezolva un alt grup de probleme legate de planul de coordonate. Va fi un articol despre asta, nu-l ratați!

Ce altceva se mai poate adăuga?

Unghiul de înclinare al unei linii drepte (sau segment) este unghiul dintre axa oX și această linie dreaptă, variind de la 0 la 180 de grade.

Să luăm în considerare sarcinile.

Din punctul (6;8) perpendiculara este coborâtă pe axa y. Aflați ordonata bazei perpendicularei.

Baza perpendicularei coborâte pe axa y va avea coordonatele (0; 8). Ordinata este opt.

Raspuns: 8

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa y.

Distanța de la punctul A la axa y este egală cu abscisa punctului A.

Raspuns: 6.

A(6;8) în jurul axei Bou.

Un punct simetric cu punctul A în raport cu axa oX are coordonatele (6; - 8).

Ordinata este minus opt.

Răspuns: - 8

Aflați ordonata unui punct simetric față de un punct A(6;8) relativ la origine.

Un punct simetric cu punctul A în raport cu originea are coordonate (- 6; - 8).

ordonata sa este -8.

Raspuns: -8

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă puncteleO(0;0) și A(6;8).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (0;0) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (3;4). Abscisa este trei.

Raspuns: 3

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calcul prin formulă, prin construcție acest segment pe planul de coordonate pe o foaie într-o cușcă. Mijlocul segmentului va fi ușor de determinat de către celule.

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă punctele A(6;8) și B(–2;2).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (–2;2) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (2;5). Abscisa este două.

Raspuns: 2

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calculare prin formulă prin construirea acestui segment pe planul de coordonate de pe foaia dintr-o celulă.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele (0;0) și (6;8).

Lungimea segmentului la coordonatele date ale capetelor sale se calculează prin formula:

în cazul nostru avem O(0;0) și A(6;8). Mijloace,

*Ordinea coordonatelor la scădere nu contează. Puteți scădea abscisa și ordonata punctului A din abscisa și ordonata punctului O:

Răspuns: 10

Aflați cosinusul pantei segmentului care leagă punctele O(0;0) și A(6;8), cu axa x.

Unghiul de înclinare al unui segment este unghiul dintre acest segment și axa x.

Din punctul A coborâm perpendiculara pe axa x:

Adică unghiul de înclinare al segmentului este unghiulSAIîn triunghiul dreptunghic ABO.

Cosinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este

raportul catetei adiacente la ipotenuză

Trebuie să găsiți ipotenuzaOA.

Conform teoremei lui Pitagora:Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Astfel, cosinusul unghiului de înclinare este 0,6

Răspuns: 0,6

Din punctul (6;8) se coboară perpendiculara pe axa absciselor. Aflați abscisa bazei perpendicularei.

Se trasează o linie dreaptă prin punctul (6; 8), axă paralelă abscisă. Aflați ordonata punctului său de intersecție cu axa OU.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa x.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la origine.

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt rearanjate: Și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Secțiune - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar există câteva puncte importante pe care aș dori să le clarific:

În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm material scolar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:

fi atent la truc tehnic important – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea factorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată astfel mai detaliat: . Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru stricaciune din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea sub rădăcină se dovedește suficient număr mare, de exemplu . Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, împărțiți complet, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . În acest fel: . Ultima cifră a numărului este impară, deci împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca rezultat:
Gata.

Ieșire: dacă sub rădăcină obținem un număr întreg care nu poate fi extras, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

În cursul rezolvării diverselor probleme se găsesc adesea rădăcini, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.

Să repetăm ​​în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:

Reguli pentru acțiuni cu grade în vedere generala poate fi găsit într-un manual școlar de algebră, dar cred că totul sau aproape totul este deja clar din exemplele date.

Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Dacă atingeți o foaie de caiet cu un creion bine ascuțit, va rămâne o urmă care dă o idee despre rost. (Fig. 3).

Pe o coală de hârtie notăm două puncte A și B. Aceste puncte pot fi conectate prin diferite linii ( fig. 4). Cum se conectează punctele A și B linie scurtă? Acest lucru se poate face folosind o riglă ( fig. 5). Linia rezultată este numită segment.

Punct și linie - Exemple forme geometrice.

Punctele A și B sunt numite capetele segmentului.

Există un singur segment ale cărui capete sunt punctele A și B. Prin urmare, un segment este notat prin notarea punctelor care sunt capetele sale. De exemplu, segmentul din figura 5 este desemnat într-unul din două moduri: AB sau BA. Citiți: „segment AB” sau „segment BA”.

Figura 6 prezintă trei segmente. Lungimea segmentului AB este egală cu 1 cm.Se așează exact de trei ori în segmentul MN și exact de 4 ori în segmentul EF. Vom spune asta lungimea segmentului MN este de 3 cm, iar lungimea segmentului EF este de 4 cm.

De asemenea, se obișnuiește să se spună: „segmentul MN este de 3 cm”, „segmentul EF este de 4 cm”. Ei scriu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Am măsurat lungimile segmentelor MN și EF un singur segment, a cărui lungime este de 1 cm. Pentru a măsura segmente, puteți alege altele unități de lungime, de exemplu: 1 mm, 1 dm, 1 km. În figura 7, lungimea segmentului este de 17 mm. Se măsoară printr-un singur segment, a cărui lungime este de 1 mm, folosind o riglă cu diviziuni. De asemenea, folosind o riglă, puteți construi (desena) un segment de o lungime dată (vezi fig. 7).

Deloc, a măsura un segment înseamnă a număra câte segmente unice contine.

Lungimea unui segment are următoarea proprietate.

Dacă punctul C este marcat pe segmentul AB, atunci lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și CB(Fig. 8).

Ei scriu: AB = AC + CB.

Figura 9 prezintă două segmente AB și CD. Aceste segmente vor coincide atunci când sunt suprapuse.

Două segmente sunt numite egale dacă coincid atunci când sunt suprapuse.

Prin urmare, segmentele AB și CD sunt egale. Ei scriu: AB = CD.

Segmentele egale au lungimi egale.

Dintre cele două segmente inegale, îl vom considera mai mare pe cel cu lungimea mai mare. De exemplu, în Figura 6, segmentul EF este mai mare decât segmentul MN.

Se numește lungimea segmentului AB distanţăîntre punctele A și B.

Dacă mai multe segmente sunt aranjate așa cum se arată în Figura 10, atunci obținem figură geometrică, Care e numit linie frântă. Rețineți că toate segmentele din Figura 11 nu formează o linie întreruptă. Se crede că segmentele formează o linie întreruptă dacă sfârșitul primului segment coincide cu sfârșitul celui de-al doilea, iar celălalt capăt al celui de-al doilea segment coincide cu sfârșitul celui de-al treilea etc.

Punctele A, B, C, D, E − vârfuri de polilinie ABCDE, punctele A și E − capete de linie întreruptă, iar segmentele AB, BC, CD, DE sunt ale acestuia link-uri(vezi fig. 10).

Lungimea liniei întrerupte este suma lungimilor tuturor legăturilor sale.

Figura 12 prezintă două linii întrerupte, ale căror capete coincid. Astfel de linii întrerupte sunt numite închis.

Exemplu 1 . Segmentul BC este cu 3 cm mai mic decât segmentul AB, a cărui lungime este de 8 cm (Fig. 13). Aflați lungimea segmentului AC.

Soluţie. Avem: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Folosind proprietatea lungimii unui segment, putem scrie AC = AB + BC. Prin urmare, AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Raspuns: 13 cm.

Exemplu 2 . Se știe că MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Aflați lungimea segmentului NK.

Soluţie. Avem: MN = MP − NP.

Prin urmare MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Avem: NK = MK − MN.

Prin urmare, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Raspuns: 6 cm.

Instruire

Dacă coordonatele punctelor extreme segment sunt date în coordonate bidimensionale, apoi trasând linii prin aceste puncte perpendiculare pe axele de coordonate, veți obține triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa va fi segmentul original, iar catetele formează segmente, a căror lungime este egală cu ipotenuza de pe fiecare dintre axele de coordonate. Din teorema lui Pitagora, care definește lungimea ipotenuzei ca fiind suma pătratelor lungimilor catetelor, putem face asta pentru a găsi lungimea originalului. segment este suficient să găsim lungimile celor două proiecții ale sale pe axele de coordonate.

Aflați lungimile (X și Y) ale proiecțiilor originalului segment pentru fiecare axă a sistemului de coordonate. Într-un sistem bidimensional din puncte extreme este reprezentată de o pereche de valori numerice (X1;Y1 și X2;Y2). Lungimile proiecției sunt calculate prin găsirea diferenței de coordonate a acestor puncte de-a lungul fiecărei axe: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Este posibil ca una sau ambele valori rezultate să fie , dar în acest caz nu este un rol.

calculati lungime original segment(A) constatare Rădăcină pătrată din pătratele lungimilor de proiecție pe axele de coordonate calculate în pasul anterior: A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1)² + (Y2-Y1)²). De exemplu, dacă segmentul este desenat între puncte cu coordonatele 2;4 și 4;1, atunci lungimea sa va fi egală cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Dacă coordonatele punctelor care mărginesc segmentul sunt date într-un sistem de coordonate tridimensional (X1;Y1;Z1 și X2;Y2;Z2), atunci lungimile (A) ale acestui segment va fi similar cu cel obtinut in pasul anterior. În acest caz, trebuie să găsiți rădăcina pătrată a sumei pătratelor proiecțiilor pe trei axe de coordonate: A = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²) . De exemplu, dacă segmentul este desenat între puncte, cu coordonatele 2;4;1 și 4;1;3, atunci lungimea sa va fi egală cu √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12 .

Surse:

• formula lungimii segmentului

Fie ca segmentul să fie dat de două puncte în planul de coordonate, apoi îi poți găsi lungimea folosind teorema lui Pitagora.

Instruire

După ce am prezentat această schemă pentru găsirea lungimii unui segment în cazul general, este ușor să calculați un segment fără a construi un segment. Să calculăm lungimea segmentului, coordonatele capetelor (1;3) și (2;5). Atunci |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, deci lungimea segmentului dorit este 5^1/2.

Videoclipuri similare

Surse:

• Lungimea tăiată
• care este lungimea segmentului

Uneori, în activitățile zilnice, poate fi necesar să găsiți mijloc segment de linie dreaptă. De exemplu, dacă trebuie să faceți un model, o schiță a unui produs sau pur și simplu să tăiați un bloc de lemn în două părți egale. Geometria și puțină ingeniozitate lumească vin în ajutor.

Vei avea nevoie

• Compas, riglă; ac, creion, ață

Instruire

Utilizați instrumentele obișnuite concepute pentru lungime. Acesta este cel mai simplu mod de a găsi mijloc segment. Măsurați cu o riglă sau lungimea segmentului, împărțiți rezultatul la jumătate și măsurați rezultatul obținut de la unul dintre capetele segmentului. Veți obține un punct corespunzător mijlocului segmentului.

Setați distanța dintre picioarele busolei astfel încât să fie egală cu lungimea segmentului sau mai mare de jumătate din segment. Apoi puneți acul busolei la un capăt al segmentului și trageți-l astfel încât să traverseze segmentul. Mutați acul la celălalt capăt al segmentului și, fără a schimba anvergura picioarelor busolei, desenați al doilea semicerc exact în același mod.

Dacă nu a fost nicio busolă la îndemână sau lungimea segmentului depășește semnificativ distanța permisă a picioarelor sale, puteți folosi un simplu dispozitiv improvizat. O poți face dintr-un ac obișnuit, ață și creion. Legați capetele firului de un ac și un creion, în timp ce lungimea firului ar trebui să fie puțin mai mare decât lungimea segmentului. Cu un astfel de înlocuitor de busolă improvizat, rămâne să urmați pașii descriși mai sus.

Videoclipuri similare

Sfat util

Puteți găsi cu precizie mijlocul unei plăci sau al unei bare folosind un fir obișnuit sau un șnur. Pentru a face acest lucru, tăiați firul astfel încât să se potrivească cu lungimea plăcii sau a barei. Rămâne să îndoiți firul exact în jumătate și să îl tăiați în două părți egale. Atașați un capăt al măsurătorii primite la capătul obiectului măsurat, iar celălalt capăt va corespunde mijlocului acestuia.

Există trei sisteme principale de coordonate utilizate în geometrie, mecanică teoretică, alte ramuri ale fizicii: carteziană, polară și sferică. În aceste sisteme de coordonate, fiecare punct are trei coordonate. Cunoscând coordonatele a două puncte, puteți determina distanța dintre aceste două puncte.

Vei avea nevoie

• Coordonatele carteziene, polare și sferice ale capetelor unui segment

Instruire

Luați în considerare coordonatele carteziene dreptunghiulare pentru început. Poziția unui punct în spațiu la această coordonată este determinată de coordonatele x,y și z. Se trasează o rază de la originea coordonatelor până la un punct. Proiecțiile acestui vector rază pe axele de coordonate vor fi coordonatele acest punct.
Să presupunem că acum aveți două puncte cu coordonatele x1,y1,z1 și, respectiv, x2,y2 și z2. Notați cu r1 și, respectiv, r2, vectorii de rază ai primului și ai punctului. În mod evident, distanța dintre aceste puncte va fi modulul vectorului r = r1-r2, unde (r1-r2) este diferența de vector.
Coordonatele vectorului r vor fi în mod evident următoarele: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Atunci vectorul r sau distanța dintre două puncte va fi: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Să considerăm acum un sistem de coordonate polare în care coordonata unui punct va fi dată de coordonata radială r (vector rază XY), coordonata unghiulară? (unghiul dintre vectorul r și axa X) și coordonata z, care este similară coordonatei z în sistemul cartezian.Coordonatele polare ale unui punct pot fi în cartezian după cum urmează: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Apoi distanța dintre două puncte cu coordonatele r1, ?1 ,z1 și r2, ?2, z2 va fi egal cu R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Acum luați în considerare sistem sferic coordonate. În ea, poziția punctului este dată de trei coordonatele r, ? Și?. r - distanta de la origine, ? Și? sunt unghiurile azimut și, respectiv, zenit. Injecţie? similar cu unghiul cu aceeași denumire în sistemul de coordonate polare, nu? - unghiul dintre vectorul rază r și axa Z și 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с coordonatele r1, ?1, ?1 și r2, ?2 și ?2 vor fi egale cu R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Videoclipuri similare

Un segment de linie este definit de două puncte extreme și constă dintr-un set de puncte situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele extreme. Dacă segmentul este plasat în orice sistem de coordonate, atunci găsind punctele medii ale proiecțiilor sale pe fiecare dintre axe, puteți afla coordonatele mijloc segment. De fapt, operația se reduce la găsirea mediei aritmetice a perechilor de numere pentru fiecare dintre axele de coordonate.

Instruire

Împărțiți în jumătate suma coordonatelor de început și de sfârșit ale punctelor extreme segment de-a lungul fiecărei axe până la punctul de mijloc de-a lungul acelei axe. De exemplu, lăsați segmentul să fie plasat în sistemul de coordonate tridimensional XYZ și coordonatele punctele sale extreme A(Xa,Ya,Za) și C(Xc,Yc,Zc). Apoi coordonatele punctul său de mijloc E(Xe,Ye,Ze) poate fi dat prin formulele Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

Utilizați oricare dintre calculatoare dacă calculați valorile medii ale coordonatelor punctelor extreme segmentîn minte nu este posibil. Dacă nu există un astfel de gadget la îndemână, atunci utilizați software-ul din sistemul de operare Windows. Poate fi lansat făcând clic pe butonul „Start” pentru a deschide meniul de sistem. În meniu, mergeți la secțiunea „Standard”, apoi la subsecțiunea „Utilități”, apoi în secțiunea „Toate”, selectați elementul „Calculator”. Puteți ocoli meniul principal apăsând WIN + R, tastând calc, apoi apăsând Enter.

Însumați în perechi inițiala și finala coordonatele puncte extreme segment de-a lungul fiecărei axe și împărțiți rezultatul la două. Interfața calculatorului software imită un calculator convențional și puteți introduce valori numerice și simboluri ale operațiilor matematice fie făcând clic pe butoanele cu cursorul mouse-ului de pe ecran, fie apăsând tastele de pe tastatură. Nu există dificultăți cu aceste calcule.

Notați operațiile matematice sub formă de text și introduceți-le în câmpul de căutare de pe pagina principală a site-ului Google, dacă nu puteți folosi un calculator, dar aveți acces la Internet. Acest motor de căutare are încorporat un calculator multifuncțional, care este mult mai ușor de utilizat decât oricare altul. Nu există interfață cu butoane - toate datele trebuie introduse sub formă de text într-un singur câmp. De exemplu, dacă se știe coordonatele puncte extreme segmentîn sistemul de coordonate tridimensional A(51,34 17,2 13,02) și A(-11,82 7,46 33,5), atunci coordonatele punct de mijloc segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Introducând (51.34-11.82) / 2 în câmpul de căutare, apoi (17.2 + 7.46) / 2 și (13.02 + 33.5) / 2, puteți folosi Google pentru a obține coordonatele C (19,76 12,33 23,26).