Cum se rezolvă modulele. Ecuații de modul

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Este posibil să vi se ceară să furnizați Informații personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Una dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să vedem pentru început cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor fac clic pe ecuații pătratice ca pe nucile, dar cu un concept atât de departe de cel mai complex, cum ar fi un modul are atât de multe probleme?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Da, hotărând ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă, iar apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar pentru cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre sens geometric modul, trebuie amintit că fiecărui număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - it to coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Tot numere reale să-l împărțim în trei grupe: cele care sunt mai mari decât zero, cele mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Să scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -cinci< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. O ecuație de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpăm de modul. O facem astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum este necesar să se rezolve separat fiecare dintre ecuațiile obținute. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinați soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Aceasta metoda Soluțiile sunt explicate cel mai bine cu un exemplu concret. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 - 6t + 5 = 0. Rezolvarea ecuația dată, obținem că t = 1 sau t = 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar pentru cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - este să coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar a treia grupă este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -cinci< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinați soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Această metodă de soluție este cel mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Instruire

Dacă modulul este în formular functie continua, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este modulul său. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele opusului sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modul număr complex se află prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul este prezent ca multiplicator număr pozitiv, atunci poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la putere se află simultan sub semnul rădăcinii de același ordin - se rezolvă cu: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în care nu este specificată condiția de extindere a parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - aceasta va fi rezultat final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, astfel încât orice număr negativ este convertit într-unul pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| > 0, atunci rezultatul este 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Elementul necunoscut poate fi de asemenea dat număr specific, de care ar trebui luată în considerare, deoarece va afecta semnul expresiei.

Un modul este unul dintre acele lucruri despre care toată lumea pare să fi auzit, dar în realitate nimeni nu le înțelege cu adevărat. Prin urmare, astăzi va exista o mare lecție dedicată rezolvării ecuațiilor cu module.

Vă spun imediat: lecția va fi simplă. În general, modulele sunt în general un subiect relativ simplu. „Da, desigur, este ușor! Îmi face creierul să explodeze!” – vor spune mulți studenți, dar toate aceste rupturi de creier se datorează faptului că majoritatea oamenilor nu au cunoștințe în cap, ci un fel de porcărie. Și scopul acestei lecții este de a transforma prostiile în cunoștințe. :)

Un pic de teorie

Deci să mergem. Să începem cu cel mai important: ce este un modul? Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul unui număr este pur și simplu același număr, dar luat fără semnul minus. Adică, de exemplu, $\left| -5 \right|=5$. Sau $\left| -129,5\right|=129,5$.

Este atât de simplu? Da, simplu. Care este atunci modulul unui număr pozitiv? Aici este și mai simplu: modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși: $\left| 5\right|=5$; $\stânga| 129,5 \right|=129,5$ etc.

\[\stanga| -a \right|=\left| a\dreapta|\]

Încă una fapt important: modulul nu este niciodată negativ. Orice număr luăm - chiar și pozitiv, chiar negativ - modulul său se dovedește întotdeauna a fi pozitiv (sau, în cazuri extreme, zero). De aceea, modulul este adesea numit valoarea absolută a unui număr.

În plus, dacă combinăm definiția modulului pentru un număr pozitiv și negativ, obținem o definiție globală a modulului pentru toate numerele. Și anume: modulul unui număr este egal cu acest număr însuși, dacă numărul este pozitiv (sau zero), sau egal cu numărul opus, dacă numărul este negativ. Puteți scrie asta ca o formulă:

Există și un modul de zero, dar este întotdeauna egal cu zero. De asemenea, zero este singurul număr care nu are un opus.

Astfel, dacă luăm în considerare funcția $y=\left| x \right|$ și încercați să-i desenați graficul, veți obține un astfel de „daw”:

Exemplu de soluție pentru graficul modulului și ecuația

Din această imagine puteți vedea imediat acel $\left| -m \right|=\stânga| m \right|$, iar graficul modulului nu scade niciodată sub axa x. Dar asta nu este tot: linia roșie marchează linia dreaptă $y=a$, care, cu $a$ pozitiv, ne dă două rădăcini deodată: $((x)_(1))$ și $((x) _(2)) $, dar despre asta vom vorbi mai târziu. :)

Pe lângă o definiție pur algebrică, există una geometrică. Să presupunem că există două puncte pe dreapta numerică: $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$. În acest caz, expresia $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ este doar distanța dintre punctele specificate. Sau, dacă doriți, lungimea segmentului care leagă aceste puncte:

Modulul este distanța dintre punctele de pe dreapta numerică

De asemenea, din această definiție rezultă că modulul este întotdeauna nenegativ. Dar destule definiții și teorie - să trecem la ecuații reale. :)

Formula de bază

Bine, ne-am dat seama de definiție. Dar nu a devenit mai ușor. Cum se rezolvă ecuațiile care conțin acest modul?

Calm, doar calm. Să începem cu cele mai simple lucruri. Luați în considerare ceva de genul acesta:

\[\stanga| x\dreapta|=3\]

Deci modulo$x$ este 3. Cu ce poate fi egal $x$? Ei bine, judecând după definiție, $x=3$ ne va potrivi foarte bine. Într-adevăr:

\[\stanga| 3\dreapta|=3\]

Mai sunt si alte numere? Cap pare să sugereze că există. De exemplu, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, adică egalitatea cerută este îndeplinită.

Deci poate dacă căutăm, gândim, vom găsi mai multe numere? Și iată o pauză: mai multe numere Nu. Ecuația $\left| x \right|=3$ are doar două rădăcini: $x=3$ și $x=-3$.

Acum să complicăm puțin sarcina. Să fie, în locul variabilei $x$, funcția $f\left(x \right)$ să atârnă sub semnul modulului, iar în dreapta în loc de triplu punem număr arbitrar$a$. Obtinem ecuatia:

\[\stanga| f\stânga(x\dreapta) \dreapta|=a\]

Ei bine, cum te decizi? Permiteți-mi să vă reamintesc: $f\left(x \right)$ este o funcție arbitrară, $a$ este orice număr. Acestea. oricare! De exemplu:

\[\stanga| 2x+1 \dreapta|=5\]

\[\stanga| 10x-5 \dreapta|=-65\]

Să ne uităm la a doua ecuație. Poți spune imediat despre el: nu are rădăcini. De ce? Așa este: pentru că necesită ca modulul să fie egal cu un număr negativ, ceea ce nu se întâmplă niciodată, deoarece știm deja că modulul este întotdeauna un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero.

Dar cu prima ecuație, totul este mai distractiv. Există două opțiuni: fie există o expresie pozitivă sub semnul modulului și apoi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, sau această expresie este încă negativă, caz în care $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. În primul caz, ecuația noastră va fi rescrisă astfel:

\[\stanga| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Și dintr-o dată se dovedește că expresia submodulului $2x+1$ este într-adevăr pozitivă - este egală cu numărul 5. Adică, putem rezolva în siguranță această ecuație - rădăcina rezultată va fi o parte din răspuns:

Cei care sunt deosebit de neîncrezători pot încerca să înlocuiască rădăcina găsită în ecuația originală și să se asigure că va exista într-adevăr un număr pozitiv sub modul.

Acum să ne uităm la cazul unei expresii submodulului negativ:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Săgeată la dreapta 2x+1=-5\]

Hopa! Din nou, totul este clar: am presupus că $2x+1 \lt 0$ și, ca rezultat, am obținut că $2x+1=-5$ - într-adevăr, această expresie este mai mică decât zero. Rezolvăm ecuația rezultată, în timp ce știm deja cu siguranță că rădăcina găsită ne va potrivi:

În total, am primit din nou două răspunsuri: $x=2$ și $x=3$. Da, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi puțin mai mare decât în ecuația foarte simplă $\left| x \right|=3$, dar în principiu nimic nu s-a schimbat. Deci poate că există un fel de algoritm universal?

Da, un astfel de algoritm există. Și acum o vom analiza.

A scăpa de semnul modulului

Să ne dăm ecuația $\left| f\left(x \right) \right|=a$ și $a\ge 0$ (altfel, așa cum știm deja, nu există rădăcini). Apoi puteți scăpa de semnul modulo conform următoarei reguli:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Astfel, ecuația noastră cu modulul se împarte în două, dar fără modul. Asta e toată tehnologia! Să încercăm să rezolvăm câteva ecuații. Să începem cu asta

\[\stanga| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vom lua în considerare separat când există un zece cu un plus în dreapta și separat când este cu un minus. Avem:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

Asta e tot! Avem două rădăcini: $x=1.2$ și $x=-2.8$. Întreaga soluție a luat literalmente două rânduri.

Ok, fără îndoială, hai să ne uităm la ceva mai serios:

\[\stanga| 7-5x \right|=13\]

Din nou, deschideți modulul cu un plus și un minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Din nou câteva rânduri - și răspunsul este gata! După cum am spus, nu este nimic complicat în module. Trebuie doar să vă amintiți câteva reguli. Prin urmare, mergem mai departe și continuăm cu sarcini cu adevărat mai dificile.

Carcasa variabila pe partea dreapta

Acum luați în considerare această ecuație:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\]

Această ecuație este fundamental diferită de toate precedentele. Cum? Și faptul că expresia $2x$ se află în dreapta semnului egal - și nu putem ști dinainte dacă este pozitivă sau negativă.

Cum să fii în acest caz? În primul rând, trebuie să înțelegem asta odată pentru totdeauna dacă partea dreaptă a ecuației este negativă, atunci ecuația nu va avea rădăcini- știm deja că modulul nu poate fi egal cu un număr negativ.

Și în al doilea rând, dacă partea dreaptă este încă pozitivă (sau egală cu zero), atunci puteți proceda exact în același mod ca înainte: deschideți modulul separat cu semnul plus și separat cu semnul minus.

Astfel, formulăm o regulă pentru funcțiile arbitrare $f\left(x \right)$ și $g\left(x \right)$ :

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

În ceea ce privește ecuația noastră, obținem:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ei bine, ne putem ocupa cumva de cerința $2x\ge 0$. În cele din urmă, putem înlocui prostește rădăcinile pe care le obținem din prima ecuație și putem verifica dacă inegalitatea este valabilă sau nu.

Deci, să rezolvăm ecuația în sine:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Ei bine, care dintre aceste două rădăcini satisface cerința $2x\ge 0$? Da, ambele! Prin urmare, răspunsul va fi două numere: $x=(4)/(3)\;$ și $x=0$. asta e solutia. :)

Bănuiesc că unul dintre elevi a început deja să se plictisească? Ei bine, luați în considerare o ecuație și mai complexă:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Deși pare rău, de fapt este aceeași ecuație de forma „modulul este egal cu funcția”:

\[\stanga| f\stanga(x \dreapta) \dreapta|=g\stanga(x \dreapta)\]

Și se rezolvă în același mod:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ne vom ocupa de inegalitatea mai târziu - este cumva prea vicios (de fapt simplu, dar nu o vom rezolva). Deocamdată, să aruncăm o privire la ecuațiile rezultate. Luați în considerare primul caz - acesta este momentul în care modulul este extins cu un semn plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ei bine, iată că trebuie să adunați totul din stânga, să aduceți altele similare și să vedeți ce se întâmplă. Și iată ce se întâmplă:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Punând factorul comun $((x)^(2))$ din paranteză, obținem o ecuație foarte simplă:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(aliniere) \dreapta.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Aici am folosit o proprietate importantă a produsului, de dragul căreia am factorizat polinomul original: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Acum, în același mod, ne vom ocupa de a doua ecuație, care se obține prin extinderea modulului cu semnul minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Din nou, același lucru: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Avem:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ei bine, avem trei rădăcini: $x=0$, $x=1.5$ și $x=(2)/(3)\;$. Ei bine, ce va intra în răspunsul final din acest set? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că avem o constrângere suplimentară de inegalitate:

Cum să ținem cont de această cerință? Să înlocuim doar rădăcinile găsite și să verificăm dacă inegalitatea este valabilă pentru acești $x$ sau nu. Avem:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-(((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Astfel, rădăcina $x=1,5$ nu ni se potrivește. Și doar două rădăcini vor merge ca răspuns:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

După cum puteți vedea, chiar și în acest caz nu a fost nimic dificil - ecuațiile cu module sunt întotdeauna rezolvate conform algoritmului. Trebuie doar să înțelegeți bine polinoamele și inegalitățile. Prin urmare, trecem la sarcini mai complexe - vor exista deja nu unul, ci două module.

Ecuații cu două module

Până acum, am studiat doar cele mai simple ecuații - a existat un singur modul și altceva. Am trimis acest „altceva” unei alte părți a inegalității, departe de modul, astfel încât în final totul să fie redus la o ecuație de genul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ sau chiar mai simplu $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Dar Grădiniţă peste - este timpul să luăm în considerare ceva mai serios. Să începem cu ecuații ca aceasta:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\stanga(x \dreapta) \dreapta|\]

Aceasta este o ecuație de forma „modulul este egal cu modulul”. Un punct fundamental este absența altor termeni și factori: un singur modul în stânga, încă un modul în dreapta - și nimic mai mult.

S-ar crede acum că astfel de ecuații sunt mai greu de rezolvat decât ceea ce am studiat până acum. Dar nu: aceste ecuații se rezolvă și mai ușor. Iată formula:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tot! Pur și simplu echivalăm expresiile submodulelor prefixând una dintre ele cu un semn plus sau minus. Și apoi rezolvăm cele două ecuații rezultate - și rădăcinile sunt gata! Fără restricții suplimentare, fără inegalități etc. Totul este foarte simplu.

Să încercăm să rezolvăm această problemă:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \dreapta|\]

Primar Watson! Deschiderea modulelor:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Să luăm în considerare fiecare caz separat:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Prima ecuație nu are rădăcini. Pentru că când este $3=-7$? Pentru ce valori de $x$? „Ce dracu este $x$? Esti drogat? Nu există $x$ deloc”, spuneți. Și vei avea dreptate. Am obținut o egalitate care nu depinde de variabila $x$ și, în același timp, egalitatea în sine este incorectă. De aceea nu există rădăcini.

Cu a doua ecuație, totul este puțin mai interesant, dar și foarte, foarte simplu:

După cum puteți vedea, totul a fost decis literalmente în câteva rânduri - nu ne așteptam la nimic altceva de la o ecuație liniară. :)

Ca rezultat, răspunsul final este: $x=1$.

Ei bine, cum? Dificil? Desigur că nu. Să încercăm altceva:

\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \dreapta|\]

Din nou avem o ecuație ca $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Prin urmare, îl rescriem imediat, dezvăluind semnul modulului:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Poate că cineva va întreba acum: „Hei, ce fel de prostii? De ce este plus-minus pe partea dreaptă și nu pe partea stângă? Calmează-te, o să explic totul. Într-adevăr, într-un mod bun, ar fi trebuit să ne rescriem ecuația după cum urmează:

Apoi trebuie să deschideți parantezele, să mutați toți termenii într-o singură direcție din semnul egal (deoarece ecuația, evident, va fi pătrată în ambele cazuri) și apoi să găsiți rădăcinile. Dar trebuie să recunoașteți: când „plus sau minus” este în fața a trei termeni (mai ales când unul dintre acești termeni este expresie pătrată), acest lucru pare cumva mai complicat decât situația în care „plus sau minus” este doar în fața a doi termeni.

Dar nimic nu ne împiedică să rescriem ecuația originală după cum urmează:

Ce s-a întâmplat? Da, nimic special: am schimbat doar partea stângă și cea dreaptă. Un fleac, care până la urmă ne va simplifica puțin viața. :)

În general, rezolvăm această ecuație, luând în considerare opțiunile cu plus și minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Prima ecuație are rădăcini $x=3$ și $x=1$. Al doilea este, în general, un pătrat exact:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Prin urmare, are o singură rădăcină: $x=1$. Dar am primit deja această rădăcină mai devreme. Astfel, doar două numere vor intra în răspunsul final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misiune indeplinita! Poți să-l iei de pe raft și să mănânci o plăcintă. Sunt 2, media ta. :)

Notă importantă. Prezența acelorași rădăcini pentru diferite versiuni ale extinderii modulului înseamnă că polinoamele originale sunt descompuse în factori, iar printre acești factori va fi neapărat unul comun. Într-adevăr:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\stânga| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Una dintre proprietățile modulului: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (adică modulul produsului este egal cu produsul modulelor), deci ecuația originală poate fi rescrisă ca

\[\stanga| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|\]

După cum puteți vedea, avem într-adevăr un factor comun. Acum, dacă colectați toate modulele pe o singură parte, atunci puteți scoate acest multiplicator din paranteză:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|; \\&\stânga| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\stânga| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ei bine, acum ne amintim că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Astfel, ecuația originală cu două module a fost redusă la cele mai simple două ecuații despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Astfel de ecuații pot fi rezolvate în doar câteva rânduri. :)

Această remarcă poate părea inutil de complicată și inaplicabilă în practică. Cu toate acestea, în realitate, puteți întâlni sarcini mult mai complexe decât cele pe care le analizăm astăzi. În ele, modulele pot fi combinate cu polinoame, rădăcini aritmetice, logaritmi etc. Și în astfel de situații, capacitatea de a scădea gradul general al ecuației prin scoaterea a ceva din paranteză poate fi foarte, foarte utilă. :)

Acum aș vrea să analizez o altă ecuație, care la prima vedere poate părea o nebunie. Mulți studenți se „lipesc” de el - chiar și cei care cred că au o bună înțelegere a modulelor.

Cu toate acestea, această ecuație este chiar mai ușor de rezolvat decât ceea ce am considerat mai devreme. Și dacă înțelegeți de ce, veți obține un alt truc pentru rezolvarea rapidă a ecuațiilor cu module.

Deci ecuația este:

\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar: este un plus între module. Și trebuie să aflăm pentru care $x$ suma a două module este egală cu zero. :)

Care este problema? Și problema este că fiecare modul este un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero. Ce se întâmplă când adunăm două numere pozitive? Evident, din nou un număr pozitiv:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima linie vă poate da o idee: singurul caz în care suma modulelor este zero este dacă fiecare modul este egal cu zero:

Când este modulul egal cu zero? Doar într-un caz - când expresia submodulului este egală cu zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Astfel, avem trei puncte la care primul modul este setat la zero: 0, 1 și −1; precum și două puncte în care al doilea modul este pus la zero: −2 și 1. Totuși, avem nevoie ca ambele module să fie puse la zero în același timp, așa că dintre numerele găsite, trebuie să le alegem pe cele care sunt incluse în ambele mulțimi. Evident, există un singur astfel de număr: $x=1$ - acesta va fi răspunsul final.

metoda de divizare

Ei bine, am acoperit deja o grămadă de sarcini și am învățat o mulțime de trucuri. Crezi că asta este? Dar nu! Acum vom lua în considerare tehnica finală - și, în același timp, cea mai importantă. Vom vorbi despre împărțirea ecuațiilor cu un modul. Ce se va discuta? Să ne întoarcem puțin și să luăm în considerare o ecuație simplă. De exemplu, aceasta:

\[\stanga| 3x-5\right|=5-3x\]

În principiu, știm deja cum să rezolvăm o astfel de ecuație, deoarece este un $\left| standard f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Dar să încercăm să privim această ecuație dintr-un unghi ușor diferit. Mai precis, luați în considerare expresia de sub semnul modulului. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul oricărui număr poate fi egal cu numărul în sine sau poate fi opus acestui număr:

\[\stanga| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

De fapt, această ambiguitate este întreaga problemă: deoarece numărul de sub modul se modifică (depinde de variabilă), nu ne este clar dacă este pozitiv sau negativ.

Dar ce se întâmplă dacă inițial solicităm ca acest număr să fie pozitiv? De exemplu, să cerem că $3x-5 \gt 0$ - în acest caz, suntem garantați să obținem un număr pozitiv sub semnul modulului și putem scăpa complet de acest modul:

Astfel, ecuația noastră se va transforma într-una liniară, care se rezolvă ușor:

Adevărat, toate aceste considerații au sens numai în condiția $3x-5 \gt 0$ - noi înșine am introdus această cerință pentru a dezvălui fără ambiguitate modulul. Deci, să înlocuim $x=\frac(5)(3)$ găsit în această condiție și să verificăm:

Se pare că pentru valoarea specificată de $x$, cerința noastră nu este îndeplinită, deoarece expresia sa dovedit a fi egală cu zero și trebuie să fie strict mai mare decât zero. Trist. :(

Dar este în regulă! La urma urmei, există o altă opțiune $3x-5 \lt 0$. Mai mult: există și cazul $3x-5=0$ - trebuie luat în considerare și acest lucru, altfel soluția va fi incompletă. Deci, luați în considerare cazul $3x-5 \lt 0$:

Este evident că modulul se va deschide cu semnul minus. Dar atunci apare o situație ciudată: aceeași expresie va ieși atât în stânga, cât și în dreapta în ecuația originală:

Mă întreb pentru ce astfel de $x$ va fi expresia $5-3x$ egală cu expresia $5-3x$? Din astfel de ecuații, chiar și Căpitanul s-ar îneca evident cu salivă, dar știm că această ecuație este o identitate, adică. este valabil pentru orice valoare a variabilei!

Și asta înseamnă că orice $x$ ne va potrivi. Cu toate acestea, avem o limitare:

Cu alte cuvinte, răspunsul nu va fi un singur număr, ci un întreg interval:

În cele din urmă, mai rămâne un caz de luat în considerare: $3x-5=0$. Totul este simplu aici: va fi zero sub modul, iar modulul lui zero este, de asemenea, egal cu zero (acest lucru decurge direct din definiție):

Dar apoi ecuația originală $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ va fi rescris astfel:

Am obținut deja această rădăcină mai sus când am luat în considerare cazul $3x-5 \gt 0$. Mai mult, această rădăcină este o soluție a ecuației $3x-5=0$ - aceasta este restricția pe care noi înșine am introdus-o pentru a anula modulul. :)

Astfel, pe lângă interval, vom fi mulțumiți și de numărul care se află la sfârșitul acestui interval:

Combinarea rădăcinilor în ecuații cu modul

Răspuns final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nu este foarte obișnuit să vezi o astfel de prostie în răspunsul la o ecuație destul de simplă (în esență liniară) cu modul Ei bine, obișnuiește-te cu asta: complexitatea modulului constă în faptul că răspunsurile în astfel de ecuații pot fi complet imprevizibile.

Mult mai important este altceva: tocmai am demontat un algoritm universal pentru rezolvarea unei ecuații cu un modul! Și acest algoritm constă din următorii pași:

Echivalați fiecare modul din ecuație cu zero. Să obținem câteva ecuații;
Rezolvați toate aceste ecuații și marcați rădăcinile pe dreapta numerică. Drept urmare, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale, pe fiecare dintre acestea toate modulele sunt extinse în mod unic;
Rezolvați ecuația inițială pentru fiecare interval și combinați răspunsurile.

Asta e tot! Rămâne o singură întrebare: ce să faci cu rădăcinile în sine, obținute la primul pas? Să presupunem că avem două rădăcini: $x=1$ și $x=5$. Ei vor sparge linia numerică în 3 bucăți:

Împărțirea unei linii numerice în intervale folosind puncte

Deci care sunt intervalele? Este clar că sunt trei dintre ele:

Cel mai din stânga: $x \lt 1$ - unitatea în sine nu este inclusă în interval;
Central: $1\le x \lt 5$ - aici unul este inclus în interval, dar cinci nu este inclus;
Cea din dreapta: $x\ge 5$ — cele cinci sunt incluse doar aici!

Cred că ai înțeles deja modelul. Fiecare interval include capătul din stânga și nu include capătul din dreapta.

La prima vedere, o astfel de înregistrare poate părea incomodă, ilogică și, în general, un fel de nebunească. Dar credeți-mă: după puțină practică, veți descoperi că această abordare este cea mai fiabilă și, în același timp, nu interferează cu dezvăluirea fără ambiguitate a modulelor. Este mai bine să folosiți o astfel de schemă decât să vă gândiți de fiecare dată: dați capătul din stânga/dreapta intervalului curent sau „aruncați-l” celui următor.

Aici se termină lecția. Descărcați sarcini pentru auto-rezolvare, exersați, comparați cu răspunsurile - și ne vedem în lecția următoare, care va fi dedicată inegalităților cu module. :)