Distanța de la o linie dreaptă la un avion online. Distanța de la punct la plan

Considerăm un plan π și un punct arbitrar M 0 în spațiu. Să alegem pentru avion vector normal unitar n s startîntr-un anumit punct M 1 ∈ π, și fie p(M 0 ,π) distanța de la punctul M 0 la planul π. Apoi (Fig. 5.5)

p(M0,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM1M0 |, (5,8)

din moment ce |n| = 1.

Dacă planul π este dat în sistem de coordonate dreptunghiular cu ecuația sa generală Ax + By + Cz + D = 0, atunci vectorul său normal este vectorul cu coordonatele (A; B; C) și ca vector normal unitar putem alege

Fie (x 0 ; y 0 ; z 0) și (x 1 ; y 1 ; z 1) coordonatele punctelor M 0 și M 1 . Atunci egalitatea Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 este satisfăcută, deoarece punctul M 1 aparține planului și puteți găsi coordonatele vectorului M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x1;y0-y1;z0-z1). notând produs scalar nM 1 M 0 în formă de coordonate și transformând (5.8), se obține

deoarece Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Deci, pentru a calcula distanța de la un punct la un plan, trebuie să înlocuiți coordonatele punctului din ecuație generală plan și apoi împărțiți valoarea absolută a rezultatului la un factor de normalizare egal cu lungimea vectorului normal corespunzător.

Acest articol vorbește despre determinarea distanței de la un punct la un plan. vom analiza metoda coordonatelor, care ne va permite să aflăm distanța de la punct dat spatiu tridimensional. Pentru a consolida, luați în considerare exemple de mai multe sarcini.

Distanța de la un punct la un plan se găsește prin intermediul unei distanțe cunoscute de la un punct la un punct, unde unul dintre ele este dat, iar celălalt este o proiecție pe un plan dat.

Când un punct M 1 cu un plan χ este dat în spațiu, atunci prin punct poate fi trasată o dreaptă perpendiculară pe plan. H 1 este un punct comun al intersecției lor. De aici rezultă că segmentul M 1 H 1 este o perpendiculară, care a fost trasată din punctul M 1 în planul χ, unde punctul H 1 este baza perpendicularei.

Definiția 1

Ei numesc distanța de la un punct dat până la baza perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat până la avion dat.

Definiția poate fi scrisă în diferite formulări.

Definiția 2

Distanța de la punct la plan numită lungimea perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat pe un plan dat.

Distanța de la punctul M 1 la planul χ se definește astfel: distanța de la punctul M 1 la planul χ va fi cea mai mică de la un punct dat la orice punct din plan. Dacă punctul H 2 este situat în planul χ și nu este egal cu punctul H 2, atunci obținem un triunghi dreptunghic de forma M 2 H 1 H 2 , care este dreptunghiular, unde există un picior M 2 H 1, M 2 H 2 - ipotenuza. Prin urmare, aceasta implică că M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 este considerată înclinată, care este trasă din punctul M 1 spre planul χ. Avem că perpendiculara trasată dintr-un punct dat pe un plan este mai mică decât cea înclinată trasată dintr-un punct către un plan dat. Luați în considerare acest caz în figura de mai jos.

Distanța de la un punct la un plan - teorie, exemple, soluții

Există un număr probleme geometrice, ale căror soluții trebuie să conțină distanța de la punct la plan. Modalitățile de a detecta acest lucru pot fi diferite. Pentru a rezolva, utilizați teorema lui Pitagora sau asemănarea triunghiurilor. Când, conform condiției, este necesar să se calculeze distanța de la un punct la un plan, dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se rezolvă folosind metoda coordonatelor. Acest paragraf tratează această metodă.

După condiția problemei, avem că este dat un punct din spațiul tridimensional cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) cu planul χ, este necesar să se determine distanța de la M 1 la planul χ. Pentru rezolvare se folosesc mai multe soluții.

Prima cale

Această metodă se bazează pe găsirea distanței de la un punct la un plan folosind coordonatele punctului H 1, care sunt baza perpendicularei de la punctul M 1 la planul χ. Apoi, trebuie să calculați distanța dintre M 1 și H 1.

Pentru a rezolva problema în al doilea mod, se folosește ecuația normală a unui plan dat.

A doua cale

Prin condiție, avem că H 1 este baza perpendicularei, care a fost coborâtă din punctul M 1 în planul χ. Apoi determinăm coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1. Distanța dorită de la M 1 la planul χ se găsește prin formula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, unde M 1 (x1, y1, z1) şi H1 (x2, y2, z2). Pentru a rezolva, trebuie să cunoașteți coordonatele punctului H 1.

Avem că H 1 este punctul de intersecție al planului χ cu dreapta a, care trece prin punctul M 1 situat perpendicular pe planul χ. Rezultă că este necesar să se formuleze ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat. Atunci putem determina coordonatele punctului H 1 . Este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului.

Algoritm pentru găsirea distanței de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ:

Definiția 3

compune ecuaţia unei drepte a care trece prin punctul M 1 şi în acelaşi timp
perpendicular pe planul χ;
găsiți și calculați coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1, care sunt puncte
intersecția dreptei a cu planul χ ;
calculați distanța de la M 1 la χ folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

A treia cale

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat O x y z există un plan χ, atunci obținem o ecuație normală a planului de forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . De aici rezultă că distanța M 1 H 1 cu punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trasat în planul χ, calculată prin formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Această formulă este valabilă, deoarece se stabilește datorită teoremei.

Teorema

Dacă punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) este dat în spatiu tridimensional, care are o ecuație normală a planului χ de forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, atunci distanța de la punct la planul M 1 H 1 se calculează din formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p deoarece x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dovada

Demonstrarea teoremei se reduce la găsirea distanței de la un punct la o dreaptă. De aici rezultă că distanța de la M 1 la planul χ este modulul diferenței dintre proiecția numerică a vectorului rază M 1 cu distanța de la origine la planul χ. Atunci obținem expresia M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vectorul normal al planului χ are forma n → = cos α , cos β , cos γ , iar lungimea lui este egală cu unu, n p n → O M → este proiecția numerică a vectorului O M → = (x 1 , y 1 , z 1) în direcția determinată de vectorul n → .

Să aplicăm formula pentru calcularea vectorilor scalari. Apoi obținem o expresie pentru găsirea unui vector de forma n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , deoarece n → = cos α , cos β , cos γ z și O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma de coordonate a notației va lua forma n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, apoi M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema a fost demonstrată.

De aici obținem că distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ se calculează prin substituirea în partea stângă a ecuației normale a planului cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 în loc de coordonatele x, y, z x 1 , y 1 și z1 raportat la punctul M 1 , luând valoarea absolută a valorii obţinute.

Luați în considerare exemple de găsire a distanței de la un punct cu coordonate la un plan dat.

Exemplul 1

Calculați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) până la planul 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Decizie

Să rezolvăm problema în două moduri.

Prima metodă va începe prin a calcula vectorul de direcție al dreptei a . Prin condiție, avem că ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 este ecuația planului vedere generala, iar n → = (2, - 1, 5) este vectorul normal al planului dat. Este folosit ca vector de direcție pentru dreapta a, care este perpendiculară pe planul dat. Ar trebui notat ecuație canonică o linie dreaptă în spațiu care trece prin M 1 (5 , - 3 , 10) cu un vector de direcție cu coordonatele 2 , - 1 , 5 .

Ecuația va arăta ca x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Punctele de intersecție ar trebui definite. Pentru a face acest lucru, combinați ușor ecuațiile într-un sistem pentru trecerea de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două drepte care se intersectează. punct dat luați pentru H 1. Înțelegem asta

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Apoi trebuie să activați sistemul

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Să ne întoarcem la regula pentru rezolvarea sistemului după Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Obținem că H 1 (1, - 1, 0) .

Calculăm distanța de la un punct dat la un plan. Luăm punctele M 1 (5, - 3, 10) și H 1 (1, - 1, 0) și obținem

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

A doua soluție este să aduceți mai întâi ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 la forma normală. Determinăm factorul de normalizare și obținem 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . De aici derivăm ecuația planului 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Partea stângă a ecuației este calculată prin înlocuirea x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 și trebuie să luați distanța de la M 1 (5, - 3, 10) la 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Obținem expresia:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Raspuns: 2 30 .

Când planul χ este dat de una dintre metodele secțiunii metode de definire a planului, atunci trebuie mai întâi să obțineți ecuația planului χ și să calculați distanța dorită folosind orice metodă.

Exemplul 2

Punctele cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) sunt stabilite în spațiul tridimensional. Calculați distanța de la M 1 la planul A B C.

Decizie

Mai întâi trebuie să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4, 0, - unu).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Rezultă că problema are o soluție similară celei precedente. Prin urmare, distanța de la punctul M 1 la planul A B C este 2 30 .

Raspuns: 2 30 .

Găsirea distanței de la un punct dat dintr-un plan sau la un plan cu care sunt paralele este mai convenabilă prin aplicarea formulei M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . De aici rezultă că ecuațiile normale ale planelor se obțin în mai mulți pași.

Exemplul 3

Aflați distanța de la un punct dat cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) la plan de coordonate Despre x y z și planul dat de ecuația 2 y - 5 = 0 .

Decizie

Planul de coordonate O y z corespunde unei ecuații de forma x = 0. Pentru planul O y z, este normal. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile x \u003d - 3 în partea stângă a expresiei și să luați valoarea absolută a distanței de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) la plan. . Obținem valoarea egală cu - 3 = 3 .

După transformare, ecuația normală a planului 2 y - 5 = 0 va lua forma y - 5 2 = 0 . Apoi puteți găsi distanța necesară de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) până la planul 2 y - 5 = 0 . Înlocuind și calculând, obținem 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Răspuns: Distanța dorită de la M 1 (- 3 , 2 , - 7) la O y z are valoarea 3 , iar la 2 y - 5 = 0 are valoarea 5 2 - 2 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se ceară să furnizați informatii personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

SARCINI C2 ALE EXAMENULUI DE STAT UNIFICAT LA MATEMATICĂ PENTRU GĂSIREA DISTANȚEI DE LA UN PUNCT LA UN AVION

Kulikova Anastasia Iurievna

Student în anul 5, Departamentul de Matematică. Analiză, Algebră și Geometrie EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

conducător științific, Ph.D. ped. Științe, profesor asociat, EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

LA USE sarcini la matematică la anul trecut există probleme pentru a calcula distanța de la un punct la un plan. În acest articol, folosind exemplul unei probleme, sunt luate în considerare diferite metode pentru găsirea distanței de la un punct la un plan. Pentru a rezolva diverse probleme, puteți folosi cea mai potrivită metodă. După ce a rezolvat problema cu o metodă, o altă metodă poate verifica corectitudinea rezultatului.

Definiție. Distanța de la un punct la un plan care nu conține acest punct este lungimea segmentului de perpendiculară coborât din acest punct în planul dat.

Sarcină. Dan cuboid DARBCuDA 1 B 1 C 1 D 1 cu laterale AB=2, î.Hr=4, AA 1=6. Găsiți distanța de la un punct D până la avion ACD 1 .

1 cale. Folosind definiție. Aflați distanța r( D, ACD 1) dintr-un punct D până la avion ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Prima cale

Să cheltuim D.H.⊥AC, prin urmare, prin teorema pe trei perpendiculare D 1 H⊥ACși (DD 1 H)⊥AC. Să cheltuim direct DT perpendicular D 1 H. Drept DT zace în avion DD 1 H, prin urmare DT⊥AC. Prin urmare, DT⊥ACD 1.

DARDC afla ipotenuza AC si inaltime D.H.

Dintr-un triunghi dreptunghic D 1 D.H. afla ipotenuza D 1 H si inaltime DT

Răspuns: .

2 sensuri.Metoda volumului (utilizarea unei piramide auxiliare). O problemă de acest tip poate fi redusă la problema calculării înălțimii unei piramide, unde înălțimea piramidei este distanța dorită de la un punct la un plan. Demonstrați că această înălțime este distanța dorită; găsiți volumul acestei piramide în două moduri și exprimați această înălțime.

Rețineți că atunci când aceasta metoda nu este nevoie de a construi o perpendiculară dintr-un punct dat pe un plan dat.

Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt dreptunghiuri.

AB=CD=2, î.Hr=ANUNȚ=4, AA 1 =6.

Distanța dorită va fi înălțimea h piramide ACD 1 D, scăpat de sus D pe pământ ACD 1 (Fig. 2).

Calculați volumul piramidei ACD 1 D doua feluri.

Calculând, în primul mod, luăm ca bază ∆ ACD 1, atunci

Calculând, în al doilea mod, luăm ca bază ∆ ACD, apoi

Echivalăm părțile din dreapta ale ultimelor două egalități, obținem

Figura 2. A doua cale

Din triunghiuri dreptunghiulare ACD, ADĂUGA 1 , CDD 1 găsiți ipotenuzele folosind teorema lui Pitagora

ACD

Calculați aria unui triunghi ACD 1 folosind formula lui Heron

Răspuns: .

3 căi. metoda coordonatelor.

Să se acorde un punct M(X 0 ,y 0 ,z 0) și avion α , dat de ecuație topor+de+cz+d=0 în dreptunghi Sistemul cartezian coordonatele. Distanța de la punct M la planul α poate fi calculat prin formula: