Acest articol vorbește despre determinarea distanței de la un punct la un plan. să analizăm metoda coordonatelor, care ne va permite să aflăm distanța de la un punct dat din spațiul tridimensional. Pentru a consolida, luați în considerare exemple de mai multe sarcini.

Distanța de la un punct la un plan se găsește prin intermediul unei distanțe cunoscute de la un punct la un punct, unde unul dintre ele este dat, iar celălalt este o proiecție pe un plan dat.

Când un punct M 1 cu un plan χ este dat în spațiu, atunci prin punct poate fi trasată o dreaptă perpendiculară pe plan. H 1 este un punct comun al intersecției lor. De aici rezultă că segmentul M 1 H 1 este o perpendiculară, care a fost trasată din punctul M 1 în planul χ, unde punctul H 1 este baza perpendicularei.

Definiția 1

Ei numesc distanța de la un punct dat până la baza perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat până la avion dat.

Definiția poate fi scrisă în diferite formulări.

Definiția 2

Distanța de la punct la plan numită lungimea perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat pe un plan dat.

Distanța de la punctul M 1 la planul χ se definește astfel: distanța de la punctul M 1 la planul χ va fi cea mai mică de la un punct dat la orice punct din plan. Dacă punctul H 2 este situat în planul χ și nu este egal cu punctul H 2, atunci obținem un triunghi dreptunghic de forma M 2 H 1 H 2 , care este dreptunghiular, unde există un picior M 2 H 1, M 2 H 2 - ipotenuza. Prin urmare, aceasta implică că M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 este considerată înclinată, care este trasă din punctul M 1 spre planul χ. Avem că perpendiculara trasată dintr-un punct dat pe un plan este mai mică decât cea înclinată trasată dintr-un punct către un plan dat. Luați în considerare acest caz în figura de mai jos.

Distanța de la un punct la un plan - teorie, exemple, soluții

Există un număr probleme geometrice, ale căror soluții trebuie să conțină distanța de la punct la plan. Modalitățile de a detecta acest lucru pot fi diferite. Pentru a rezolva, utilizați teorema lui Pitagora sau asemănarea triunghiurilor. Când, conform condiției, este necesar să se calculeze distanța de la un punct la un plan, dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular de spațiu tridimensional, se rezolvă folosind metoda coordonatelor. Acest paragraf tratează această metodă.

După condiția problemei, avem că este dat un punct din spațiul tridimensional cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) cu planul χ, este necesar să se determine distanța de la M 1 la planul χ. Pentru rezolvare se folosesc mai multe soluții.

Prima cale

Această metodă se bazează pe găsirea distanței de la un punct la un plan folosind coordonatele punctului H 1, care sunt baza perpendicularei de la punctul M 1 la planul χ. Apoi, trebuie să calculați distanța dintre M 1 și H 1.

Pentru a rezolva problema în al doilea mod, se folosește ecuația normală a unui plan dat.

A doua cale

Prin condiție, avem că H 1 este baza perpendicularei, care a fost coborâtă din punctul M 1 în planul χ. Apoi determinăm coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1. Distanța dorită de la M 1 la planul χ se găsește prin formula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, unde M 1 (x1, y1, z1) şi H1 (x2, y2, z2). Pentru a rezolva, trebuie să cunoașteți coordonatele punctului H 1.

Avem că H 1 este punctul de intersecție al planului χ cu dreapta a, care trece prin punctul M 1 situat perpendicular pe planul χ. De aici rezultă că este necesar să se formuleze ecuația unei drepte care trece prin punct dat perpendicular pe planul dat. Atunci putem determina coordonatele punctului H 1 . Este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului.

Algoritm pentru găsirea distanței de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ:

Definiția 3

• compune ecuaţia unei drepte a care trece prin punctul M 1 şi în acelaşi timp
• perpendicular pe planul χ;
• găsiți și calculați coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1, care sunt puncte
• intersecția dreptei a cu planul χ ;
• calculați distanța de la M 1 la χ folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

A treia cale

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat O x y z există un plan χ, atunci obținem o ecuație normală a planului de forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . De aici rezultă că distanța M 1 H 1 cu punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trasat în planul χ, calculată prin formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Această formulă este valabilă, deoarece se stabilește datorită teoremei.

Teorema

Dacă punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) este dat în spatiu tridimensional, care are o ecuație normală a planului χ de forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, atunci distanța de la punct la planul M 1 H 1 se calculează din formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p deoarece x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dovada

Demonstrarea teoremei se reduce la găsirea distanței de la un punct la o dreaptă. De aici rezultă că distanța de la M 1 la planul χ este modulul diferenței dintre proiecția numerică a vectorului rază M 1 cu distanța de la origine la planul χ. Atunci obținem expresia M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vectorul normal al planului χ are forma n → = cos α , cos β , cos γ , iar lungimea lui este egală cu unu, npn → OM → este proiecția numerică a vectorului OM → = (x 1 , y 1 , z 1) în direcția determinată de vectorul n → .

Să aplicăm formula pentru calcularea vectorilor scalari. Apoi obținem o expresie pentru găsirea unui vector de forma n → , OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM → , deoarece n → = cos α , cos β , cos γ z și OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma de coordonate a notației va lua forma n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, apoi M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema a fost demonstrată.

De aici obținem că distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ se calculează prin substituirea în partea stângă a ecuației normale a planului cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 în loc de coordonatele x, y, z x 1 , y 1 și z1 raportat la punctul M 1 , luând valoarea absolută a valorii obţinute.

Luați în considerare exemple de găsire a distanței de la un punct cu coordonate la un plan dat.

Exemplul 1

Calculați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) până la planul 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Soluţie

Să rezolvăm problema în două moduri.

Prima metodă va începe prin a calcula vectorul de direcție al dreptei a . Prin condiție, avem că ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 este o ecuație plană generală, iar n → = (2 , - 1 , 5) este vectorul normal al planului dat. Este folosit ca vector de direcție pentru dreapta a, care este perpendiculară pe planul dat. Ar trebui notat ecuație canonică o linie dreaptă în spațiu care trece prin M 1 (5 , - 3 , 10) cu un vector de direcție cu coordonatele 2 , - 1 , 5 .

Ecuația va arăta ca x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Punctele de intersecție ar trebui definite. Pentru a face acest lucru, combinați ușor ecuațiile într-un sistem pentru trecerea de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două drepte care se intersectează. punct dat luați pentru H 1. Înțelegem asta

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Apoi trebuie să activați sistemul

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Să ne întoarcem la regula pentru rezolvarea sistemului după Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Obținem că H 1 (1, - 1, 0) .

Calculăm distanța de la un punct dat la un plan. Luăm punctele M 1 (5, - 3, 10) și H 1 (1, - 1, 0) și obținem

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

A doua soluție este să aduceți mai întâi ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 la forma normală. Determinăm factorul de normalizare și obținem 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . De aici derivăm ecuația planului 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Partea stângă a ecuației este calculată prin înlocuirea x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 și trebuie să luați distanța de la M 1 (5, - 3, 10) la 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Obținem expresia:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Raspuns: 2 30 .

Când planul χ este dat de una dintre metodele secțiunii metode de definire a planului, atunci trebuie mai întâi să obțineți ecuația planului χ și să calculați distanța dorită folosind orice metodă.

Exemplul 2

Punctele cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) sunt stabilite în spațiul tridimensional. Calculați distanța de la M 1 la planul A B C.

Soluţie

Mai întâi trebuie să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4, 0, - unu).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Rezultă că problema are o soluție similară celei precedente. Prin urmare, distanța de la punctul M 1 la planul A B C este 2 30 .

Raspuns: 2 30 .

Găsirea distanței de la un punct dat dintr-un plan sau la un plan cu care sunt paralele este mai convenabilă prin aplicarea formulei M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . De aici rezultă că ecuațiile normale ale planelor se obțin în mai mulți pași.

Exemplul 3

Aflați distanța de la un punct dat cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) la plan de coordonate Despre x y z și planul dat de ecuația 2 y - 5 = 0 .

Soluţie

Planul de coordonate O y z corespunde unei ecuații de forma x = 0. Pentru planul O y z, este normal. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile x \u003d - 3 în partea stângă a expresiei și să luați valoarea absolută a distanței de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) la plan. . Obținem valoarea egală cu - 3 = 3 .

După transformare, ecuația normală a planului 2 y - 5 = 0 va lua forma y - 5 2 = 0 . Apoi puteți găsi distanța necesară de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) până la planul 2 y - 5 = 0 . Înlocuind și calculând, obținem 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Răspuns: Distanța dorită de la M 1 (- 3 , 2 , - 7) la O y z are valoarea 3 , iar la 2 y - 5 = 0 are valoarea 5 2 - 2 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

SARCINI C2 ALE EXAMENULUI DE STAT UNIFICAT LA MATEMATICĂ PENTRU GĂSIREA DISTANȚEI DE LA UN PUNCT LA UN AVION

Kulikova Anastasia Iurievna

Student în anul 5, Departamentul de Matematică. Analiză, Algebră și Geometrie EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

conducător științific, Ph.D. ped. Științe, profesor asociat, EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

ÎN USE sarcini la matematică la anul trecut există probleme pentru a calcula distanța de la un punct la un plan. În acest articol, folosind exemplul unei probleme, sunt luate în considerare diferite metode pentru găsirea distanței de la un punct la un plan. Pentru a rezolva diverse probleme, puteți folosi cea mai potrivită metodă. După ce a rezolvat problema cu o metodă, o altă metodă poate verifica corectitudinea rezultatului.

Definiție. Distanța de la un punct la un plan care nu conține acest punct este lungimea segmentului de perpendiculară coborât din acest punct în planul dat.

O sarcină. Dan cuboid DARBDINDA 1 B 1 C 1 D 1 cu laterale AB=2, î.Hr=4, AA 1=6. Găsiți distanța de la un punct D până la avion ACD 1 .

1 cale. Folosind definiție. Aflați distanța r( D, ACD 1) dintr-un punct D până la avion ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Prima cale

Să cheltuim D.H.⊥AC, prin urmare, prin teorema pe trei perpendiculare D 1 H⊥ACȘi (DD 1 H)⊥AC. Să cheltuim direct DT perpendicular D 1 H. Drept DT zace în avion DD 1 H, Prin urmare DT⊥AC. Prin urmare, DT⊥ACD 1.

DARDC afla ipotenuza AC si inaltime D.H.

Dintr-un triunghi dreptunghic D 1 D.H. afla ipotenuza D 1 H si inaltime DT

Răspuns: .

2 sensuri.Metoda volumului (utilizarea unei piramide auxiliare). O problemă de acest tip poate fi redusă la problema calculării înălțimii unei piramide, unde înălțimea piramidei este distanța dorită de la un punct la un plan. Demonstrați că această înălțime este distanța dorită; găsiți volumul acestei piramide în două moduri și exprimați această înălțime.

Rețineți că cu această metodă nu este nevoie să construiți o perpendiculară dintr-un punct dat la un plan dat.

Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt dreptunghiuri.

AB=CD=2, î.Hr=ANUNȚ=4, AA 1 =6.

Distanța dorită va fi înălțimea h piramide ACD 1 D, scăpat de sus D pe pământ ACD 1 (Fig. 2).

Calculați volumul piramidei ACD 1 D doua feluri.

Calculând, în primul mod, luăm ca bază ∆ ACD 1, atunci

Calculând, în al doilea mod, luăm ca bază ∆ ACD, apoi

Echivalăm părțile din dreapta ale ultimelor două egalități, obținem

Figura 2. A doua cale

Din triunghiuri dreptunghiulare ACD, ADĂUGA 1 , CDD 1 găsiți ipotenuzele folosind teorema lui Pitagora

ACD

Calculați aria unui triunghi ACD 1 folosind formula lui Heron

Răspuns: .

3 căi. metoda coordonatelor.

Să se acorde un punct M(X 0 ,y 0 ,z 0) și avion α , dat de ecuație topor+de+cz+d=0 în coordonate carteziene dreptunghiulare. Distanța de la punct M la planul α poate fi calculat prin formula:

Să introducem un sistem de coordonate (Fig. 3). Originea la punct ÎN;

Drept AB- axa X, Drept soare- axa y, Drept BB 1 - axa z.

Figura 3. A treia cale

B(0,0,0), DAR(2,0,0), DIN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Lasa Ax+de+ cz+ d=0 – ecuație plană ACD unu . Substituind în el coordonatele punctelor A, C, D 1 obținem:

Ecuația plană ACD 1 va lua forma

Răspuns: .

4 moduri. metoda vectoriala.

Introducem baza (Fig. 4) , .

Figura 4. A patra cale

Să fie un avion . Să desenăm un normal
prin originea O. Fie
sunt unghiurile formate de normală cu axe de coordonate.
. Lasa este lungimea segmentului normal
înainte de a traversa avionul. Presupunând că cosinusurile de direcție ale normalei sunt cunoscute , derivăm ecuația planului .

Lasa
) este un punct arbitrar al planului. Vectorul normal unitar are coordonate. Să găsim proiecția vectorului
la normal.

De la punctul M aparține avionului, atunci

.

Aceasta este ecuația pentru un plan dat, numită normal .

Distanța de la punct la plan

Să fie dat un avion ,M*
- un punct în spațiu d este distanța sa față de avion.

Definiție. deviere puncte M* din avion se numește numărul ( + d), dacă M* se află de cealaltă parte a planului unde direcția pozitivă a punctelor normale , și numărul (- d) dacă punctul este situat pe cealaltă parte a planului:

.

Teorema. Lasă avionul cu unitatea normală dat de ecuația normală:

Lasa M*
– punct al spațiului Abaterea t. M* din plan este dat de expresia

Dovada. proiecție t.
* denota normalul Q. Abaterea punctului M* din avion este

.

Regulă. A găsi deviere T. M* din plan, trebuie să înlocuiți coordonatele t în ecuația normală a planului. M* . Distanța de la un punct la un plan este .

Reducerea ecuației generale a planului la forma normală

Fie același plan dat de două ecuații:

Ecuația generală,

ecuația normală.

Deoarece ambele ecuații definesc același plan, coeficienții lor sunt proporționali:

Punem la patrat primele trei egalitati si adaugam:

De aici găsim este factorul de normalizare:

. (10)

Înmulțind ecuația generală a planului cu factorul de normalizare, obținem ecuația normală a planului:

Exemple de sarcini pe tema „Avion”.

Exemplul 1 Compuneți ecuația planului trecând printr-un punct dat
(2,1,-1) și paralel cu planul.

Soluţie. Normal la avion :
. Deoarece planurile sunt paralele, normalul este de asemenea normala planului dorit . Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3), obținem pentru plan ecuația:

Răspuns:

Exemplul 2 Baza perpendicularei a coborât de la origine la plan , este un punct
. Aflați ecuația planului .

Soluţie. Vector
este normalul avionului . Punct M 0 aparține avionului. Puteți folosi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3):

Răspuns:

Exemplul 3 Construiește avionul trecând prin puncte

și perpendicular pe plan :.

Prin urmare, pentru un moment dat M (X, y, z) aparținea avionului , este necesar ca trei vectori
au fost coplanari:

=0.

Rămâne să deschidem determinantul și să aducem expresia rezultată la forma ecuației generale (1).

Exemplul 4 Avion dat de ecuația generală:

Găsiți abaterea punctului
dintr-un plan dat.

Soluţie. Aducem ecuația planului la forma normală.

,

.

Înlocuiți în ecuația normală rezultată coordonatele punctului M*.

.

Răspuns:
.

Exemplul 5 Dacă segmentul intersectează planul.

Soluţie. A tăia AB traversat planul, abateri Și din avion trebuie să aibă semne diferite:

.

Exemplul 6 Intersecția a trei plane într-un punct.

.

Sistemul are o soluție unică, prin urmare cele trei plane au un punct comun.

Exemplul 7 Aflarea bisectoarelor unui unghi diedru format din două plane date.

Lasa Și - abaterea unui punct
din primul și al doilea plan.

Pe unul dintre planurile bisectoriale (corespunzător unghiului în care se află originea coordonatelor), aceste abateri sunt egale ca mărime și semn, iar pe de altă parte, sunt egale ca mărime și opuse ca semn.

Aceasta este ecuația primului plan bisectorial.

Aceasta este ecuația celui de-al doilea plan bisectorial.

Exemplul 8 Găsirea locației a două puncte de date Și raportat la unghiurile diedrice formate de aceste plane.

Lasa
. Determinați: într-unul, în colțurile adiacente sau în colțuri verticale există puncte Și .

dar). Dacă Și intins pe o parte a iar din , apoi se află în același unghi diedric.

b). Dacă Și intins pe o parte a si diferit de , apoi se află în colțurile adiacente.

în). Dacă Și culcați pe părțile opuse ale Și , apoi se află în unghiuri verticale.

Sistemele de coordonate 3

Linii pe planul 8

Linii de ordinul întâi. Linii drepte pe un plan. 10

Unghiul dintre linii 12

Ecuația generală a unei drepte 13

Ecuația incompletă de gradul I 14

Ecuația unei drepte „în segmente” 14

Studiul comun al ecuațiilor a două drepte 15

Normal la linia 15

Unghiul dintre două linii drepte 16

Ecuația canonică a unei drepte 16

Ecuații parametrice ale unei drepte 17

Ecuația normală (normalizată) a unei linii drepte 18

Distanța de la punct la linia 19

Ecuația pachetului de linii 20

Exemple de probleme pe tema „linie dreaptă pe un plan” 22

Produsul încrucișat al vectorilor 24

Proprietăți încrucișate ale produsului 24

Proprietăți geometrice 24

Proprietăți algebrice 25

Exprimarea produsului încrucișat în termeni de coordonatele factorilor 26

Produs mixt a trei vectori 28

Semnificația geometrică a produsului mixt 28

Exprimarea produsului mixt în termeni de coordonate vectoriale 29

Exemple de rezolvare a problemelor

, Concurs „Prezentare pentru lecție”

Clasă: 11

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor;
• dezvoltarea abilităților de a analiza, compara, trage concluzii.

Echipament:

• proiector multimedia;
• un calculator;
• fișe de sarcini

PROCESUL DE STUDIU

eu. Organizarea timpului

II. Etapa de actualizare a cunoștințelor(diapozitivul 2)

Repetăm ​​modul în care se determină distanța de la un punct la un plan

III. Lectura(diapozitivele 3-15)

În clasă, ne vom uita la diferite căi aflarea distantei de la un punct la un plan.

Prima metoda: de calcul pas cu pas

Distanța de la punctul M la planul α:
– este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe dreapta a, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α;
– este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe planul β, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α.

Vom rezolva următoarele sarcini:

№1. În cubul A ... D 1 găsiți distanța de la punctul C 1 la planul AB 1 C.

Rămâne de calculat valoarea lungimii segmentului O 1 N.

№2. Într-o prismă hexagonală regulată A ... F 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la punctul A la planul DEA 1.

Următoarea metodă: metoda volumului.

Dacă volumul piramidei ABCM este V, atunci distanța de la punctul M până la planul α care conține ∆ABC se calculează prin formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Când rezolvăm probleme, folosim egalitatea volumelor unei figuri, exprimată în două moduri diferite.

Să rezolvăm următoarea problemă:

№3. Muchia AD a piramidei DABC este perpendiculară pe planul bazei ABC. Aflați distanța de la A până la planul care trece prin punctele mijlocii ale muchiilor AB, AC și AD, dacă.

La rezolvarea problemelor metoda coordonatelor distanța de la punctul M la planul α poate fi calculată prin formula ρ(M; α) = , unde M(x 0; y 0; z 0), iar planul este dat de ecuația ax + by + cz + d = 0

Să rezolvăm următoarea problemă:

№4. În cubul unității A…D 1 găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1 .

Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A, axa y va trece de-a lungul muchiei AB, axa x - de-a lungul muchiei AD, axa z - de-a lungul muchiei AA 1. Apoi coordonatele punctelor B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Să compunem ecuația planului care trece prin punctele B, D, C 1 .

Atunci – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prin urmare, ρ =

Următoarea metodă, care poate fi utilizată în rezolvarea problemelor de acest tip - metoda sarcinilor de referință.

Aplicație aceasta metoda constă în aplicarea unor probleme de bază binecunoscute, care sunt formulate ca teoreme.

Să rezolvăm următoarea problemă:

№5. Într-un cub unitate A ... D 1 găsiți distanța de la punctul D 1 la planul AB 1 C.

Luați în considerare aplicarea metoda vectoriala.

№6. Într-un cub unitate A ... D 1 găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1.

Așadar, am luat în considerare diverse metode care pot fi utilizate în rezolvarea acestui tip de problemă. Alegerea uneia sau alteia metode depinde de sarcina specifică și de preferințele dvs.

IV. Lucru de grup

Încercați să rezolvați problema în moduri diferite.

№1. Muchia cubului А...D 1 este egală cu . Aflați distanța de la vârful C la planul BDC 1 .

№2. Într-un tetraedru regulat ABCD cu muchie, găsiți distanța de la punctul A la planul BDC

№3. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul BCA 1.

№4. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul SCD.

V. Rezumatul lecției, temele, reflecția

Găsirea distanței de la un punct la un plan este o problemă frecventă care apare la rezolvarea diferitelor probleme de geometrie analitică, de exemplu, găsirea distanței dintre două drepte care se intersectează sau între o dreaptă și un plan paralel cu acesta se poate reduce la această problemă.

Se consideră planul $β$ și punctul $M_0$ cu coordonatele $(x_0;y_0; z_0)$, care nu aparține planului $β$.

Definiția 1

Cea mai scurtă distanță dintre un punct și un plan este perpendiculara coborâtă de la punctul $M_0$ la planul $β$.

Figura 1. Distanța de la un punct la un plan. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Mai jos este cum să găsiți distanța de la un punct la un plan folosind metoda coordonatelor.

Derivarea formulei pentru metoda coordonatelor de găsire a distanței de la un punct la un plan în spațiu

Perpendiculara din punctul $M_0$, care intersectează planul $β$ în punctul $M_1$ cu coordonatele $(x_1;y_1; z_1)$, se află pe o dreaptă al cărei vector direcție este vectorul normal al planului $ β$. În același timp, lungimea vector unitar$n$ este egal cu unu. În consecință, distanța de la $β$ până la punctul $M_0$ va fi:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, unde $\vec(M_1M_0)$ este vectorul normal al lui $β$ și $\vec(n)$ - vector normal unitar al planului considerat.

În cazul în care ecuația planului este dată în vedere generala$Ax+ Prin + Cz + D=0$, coordonatele vectorului normal al planului sunt coeficienții ecuației $\(A;B;C\)$, iar vectorul normal unitar în acest caz are coordonatele calculate prin următoarea ecuație:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Acum putem găsi coordonatele vectorului normal $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

De asemenea, exprimăm coeficientul $D$ folosind coordonatele unui punct situat în planul $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Coordonatele vectorului normal unitar din egalitatea $(2)$ pot fi substituite în ecuația planului $β$, atunci avem:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\stanga(4\dreapta)$

Egalitatea $(4)$ este o formulă pentru găsirea distanței de la un punct la un plan în spațiu.

Algoritm general pentru găsirea distanței de la punctul $M_0$ la plan

1. Dacă ecuația plană nu este dată într-o formă generală, mai întâi trebuie să o aduceți la una generală.
2. După aceea, este necesar să se exprime din ecuație generală planul este vectorul normal al planului dat prin punctul $M_0$ și punctul aparținând planului dat, pentru aceasta trebuie să folosim egalitatea $(3)$.
3. Următoarea etapă este căutarea coordonatelor vectorului normal unitar al planului folosind formula $(2)$.
4. În cele din urmă, puteți începe să căutați distanța de la un punct la un plan, acest lucru se face folosind calculul produs punctual vectorii $\vec(n)$ și $\vec(M_1M_0)$.