Se i movimenti relativi e traslazionali del corpo sono rotazionali assi paralleli(Fig. 133), allora la distribuzione delle velocità assolute nel corpo in un dato momento è la stessa che durante il moto di rotazione attorno all'asse istantaneo, che è parallelo agli assi delle rotazioni costituenti e divide la distanza tra loro internamente (se le direzioni delle rotazioni traslazionali e relative coincidono) o esternamente (se le direzioni di queste rotazioni sono all'indietro) in parti inversamente proporzionali alle velocità angolari relative e traslazionali, cioè
dove sono rispettivamente le velocità angolari traslazionali, relative e assolute.
Se indicazioni velocità angolari e coincidono (Fig. 133, a), quindi la velocità angolare assoluta è diretta nella stessa direzione ed è uguale in valore assoluto alla somma dei loro moduli:
Se i vettori e sono diretti in direzioni opposte (Fig. 133, b), allora la velocità angolare assoluta è diretta verso il maggiore di essi ed è uguale in valore assoluto alla differenza nei loro moduli, cioè
Se le velocità angolari relative e portatili formano una coppia di velocità angolari, cioè (Fig. 133, c), la distribuzione delle velocità assolute nel corpo è la stessa del movimento traslatorio e la velocità assoluta di qualsiasi punto del corpo in un dato momento è uguale al vettore - il momento delle coppie specificate:
Quando risolvono problemi sull'addizione di rotazioni attorno ad assi paralleli, spesso operano non con i moduli delle velocità angolari, ma con i loro valori algebrici, che sono proiezioni di velocità angolari su un asse parallelo agli assi delle rotazioni considerate. La scelta della direzione positiva dell'asse indicato è arbitraria.
In questo caso, le velocità angolari di una direzione sono positive e quelle della direzione opposta sono valori negativi e la velocità angolare assoluta è espressa come somma algebrica delle componenti delle velocità angolari.
Esempio 94. In un meccanismo differenziale (Fig. 134, aeb), i collegamenti principali sono la ruota 1 e la portante H, che porta l'asse del doppio satellite. Conoscendo le velocità angolari e la ruota 1 e il supporto H, nonché il numero di denti di tutte le ruote, trova la velocità angolare della ruota 3.
Decisione. metodo (metodo Willis). L'essenza del metodo sta nel ridurre il problema dell'analisi dei meccanismi planetari e differenziali all'analisi dei normali meccanismi ad ingranaggi passando dal moto assoluto delle maglie del meccanismo planetario in esame al loro moto relativo rispetto al vettore.
Supponiamo di avere un meccanismo planetario, gli assi delle ruote di cui sono paralleli. Indichiamo con i valori algebrici delle velocità angolari assolute, rispettivamente, dei collegamenti e della portante H.
Per passare al movimento relativo al vettore, informiamo mentalmente l'intero sistema di rotazione attorno all'asse del vettore con una velocità angolare (cioè uguale alla velocità angolare del vettore, ma diretta nella direzione opposta). Quindi il vettore si fermerà e i collegamenti e, in base al teorema di addizione di rotazione, riceveranno velocità angolari. Poiché con un supporto fisso otteniamo un normale meccanismo ad ingranaggi, i cui collegamenti ruotano attorno ad assi fissi, la formula (97) per i rapporti di trasmissione può essere applicata a questo meccanismo, che ci porta alla cosiddetta formula di Willis:
dove è il rapporto di trasmissione tra le maglie e nel loro movimento rispetto al vettore H (come indicato dall'apice). Questo rapporto di trasmissione, come già accennato, può essere espresso in termini di design e parametri geometrici del meccanismo (il numero di denti o i raggi dei cerchi iniziali che si trovano nell'innesto delle ruote).
Nel nostro problema applichiamo la formula di Willis ai link 1 e 3:
(il rapporto di trasmissione tra le ruote 5 e 2 è positivo in quanto le ruote sono dotate di ingranaggi interni);
(qui il rapporto di trasmissione è negativo, in quanto le ruote 2 hanno ingranaggi esterni).
Così,
Lasciamo, ad esempio, e, inoltre, la ruota e il supporto H ruotino nella stessa direzione con velocità angolari e . In questo caso . Se la ruota e il supporto H ruotassero in direzioni opposte, la velocità angolare di uno di questi collegamenti dovrebbe essere considerata un valore positivo e l'altro negativo.
In questo caso, a parità di valori assoluti delle velocità angolari delle maglie e di H, avremmo:
cioè, la ruota 3 ruoterebbe nella stessa direzione del supporto, poiché i segni delle loro velocità angolari coincidono.
Se ripariamo la ruota, otteniamo un semplice meccanismo planetario. La formula di Willis in questo caso rimane in vigore, è solo necessario inserire questa formula, che dà:
2° metodo (metodo dei centri istantanei di velocità). Poiché i collegamenti di un meccanismo planetario o differenziale con assi paralleli eseguono un movimento piano-parallelo, quando si analizza un tale meccanismo, si può applicare la teoria del movimento piano-parallelo e, in particolare, utilizzare il metodo dei centri istantanei di velocità. È utile accompagnare la soluzione del problema con la costruzione di triangoli di velocità, che di solito vengono estratti dal meccanismo (Fig. 134, c). I raggi delle ruote del meccanismo considerato saranno indicati con . Poi abbiamo.
| Fig.44 |
| M |
ruotando a sua volta attorno ad un asse Oz sistema di coordinate fisso (assoluto). Oxyz; il vettore della velocità angolare di rotazione del corpo attorno all'asse ", diretto lungo questo asse, denotiamo e chiamiamo la velocità angolare relativa. Rotazione del sistema di coordinate stesso in relazione al sistema Oxyz volere movimento portatile; il vettore di velocità angolare di questa rotazione, diretto lungo l'asse Oz, denotiamo e chiamiamo la velocità angolare portatile. Innanzitutto notiamo che dalla condizione di parallelismo dei vettori, tutti i punti del corpo, sia in moto relativo che traslatorio, rimangono in piani perpendicolari a questi vettori, quindi il moto assoluto del corpo sarà piatto. Punto M di questa figura piatta, che ha un vettore raggio rispetto a oh" e il vettore raggio rispetto a o, si muoverà con una velocità assoluta pari a D'altra parte, il moto piano in esame può essere rappresentato come rotazione istantanea attorno ad un asse passante per il centro istantaneo e perpendicolare al piano di moto. Per trovare la posizione di questo asse, indichiamo il vettore raggio del centro istantaneo R attraverso e scrivi la condizione che la velocità assoluta di un punto di una figura piatta Rè uguale a zero. Assumendo in uguaglianza (2.41) 
e 
noi abbiamo
 |
| Fig.45. |
Moltiplica vettorialmente entrambi i lati di questa uguaglianza per il vettore unitario dell'asse oz; poi, rivelando il doppio prodotto vettoriale e poiché i vettori e sono perpendicolari vettore unitario, noi abbiamo: 
, dove e secondo la notazione accettata rappresentano i valori algebrici delle velocità angolari (un segno più se la rotazione è positiva per un osservatore che guarda dall'asse di Oz, altrimenti un segno meno). Quindi, a 
(2.43)
Si può vedere dall'ultima uguaglianza che per eventuali dipendenze tra e il centro istantaneo Rè in linea 00" .Per trovare la velocità angolare di rotazione attorno al centro istantaneo, sottrarre (2.42) da (2.41); noi abbiamo:
Questa è la formula per la velocità di rotazione attorno a un punto R, con velocità angolare assoluta pari a
Quindi, il moto assoluto considerato di un corpo rigido è equivalente alla rotazione attorno all'asse istantaneo passante per il centro istantaneo R, con velocità angolare assoluta pari a somma geometrica velocità angolari portatili e relative. Notiamo i possibili casi di localizzazione dell'asse istantaneo.
 |
| Fig.46. |
lo stesso segno, ad esempio positivo. In questo caso, le equazioni (2.43) mostrano che il punto si trova tra i centri o ea distanze inversamente proporzionali alle grandezze delle velocità angolari (fig. 46). Velocità angolare assoluta di rotazione attorno ad un asse passante per un punto R, secondo la (63) è uguale alla somma delle velocità angolari.
2. Il senso di rotazione è diverso, ovvero ha segni diversi, ad esempio > 0, a< 0, причем положим для определенности, что >. In questo caso, la formula (62) implica: 
.Punto R, quindi, si trova oltre il punto o.
Come applicazione, si consideri la questione della determinazione delle velocità angolari nell'ingranaggio epicicloidale degli ingranaggi (Fig. 47) Di solito, un meccanismo epicicloidale o planetario è l'innesto di due o più ruote, una delle quali ruota attorno ad un asse fisso, il altri attorno agli assi montati su una maniglia mobile, inoltre l'aggancio può essere sia esterno che interno. Le ruote collegate a una maniglia rotante sono chiamate satelliti.
 |
| Riso. 47. |
Desumiamo il rapporto generale tra le velocità angolari delle ruote e dell'impugnatura rispetto alla base del meccanismo nei casi di ingranaggio esterno ed interno. Nella figura, tutte le velocità angolari sono mostrate in senso orario; il segno mostrerà in seguito il vero senso di rotazione. La velocità angolare dell'impugnatura è indicata da . Diamo al meccanismo un'intera rotazione con una velocità angolare (- ), uguale in grandezza alla velocità angolare dell'impugnatura, ma in direzione opposta ad essa. Quindi, secondo il teorema sull'addizione delle velocità angolari, la base del meccanismo diventerà un anello mobile avente una velocità angolare (-), e l'impugnatura, al contrario, diventerà stazionaria e svolgerà il ruolo di base del meccanismo. In questo caso il meccanismo ad assi mobili si trasformerà in un sistema di ingranaggi ad assi fissi, ma le velocità angolari delle ruote saranno già uguali rispettivamente 
e 
. Quindi, utilizzando la nota relazione tra velocità angolari e raggi, troviamo:
qui il segno "-" per ingranaggi esterni e "+" per interni.
3. I sensi di rotazione sono diversi, ma le loro velocità angolari sono uguali in grandezza (=-) Questo caso rappresenta una certa particolarità, poiché i vettori e formano una coppia di vettori. In questo caso, c'è un movimento di traslazione istantaneo del corpo.
Combinando tutti e tre i casi, otteniamo il seguente risultato: quando si aggiungono rotazioni attorno ad assi paralleli, le velocità angolari vengono aggiunte allo stesso modo delle forze parallele nella statica. Quando si traccia questa analogia, le velocità angolari traslazionali e relative sono considerate come termini della forza e la velocità angolare assoluta corrisponde alla forza risultante.
2. Teorema sull'addizione di rotazioni attorno ad assi intersecanti.
 |
| Fig.48. |
Lascia che la rotazione relativa del corpo con velocità angolare relativa avvenga attorno all'asse Oz", e il movimento traslatorio è la rotazione del sistema Bue"y"z" con velocità angolare portatile attorno ad un asse fisso Oz, intersecandosi con l'asse Oz" al punto o. Il movimento assoluto sarà il movimento del corpo rispetto al sistema di coordinate Oxyz. Il movimento assoluto considerato del corpo è una rotazione attorno a un centro fisso o. Qualsiasi rotazione di un corpo attorno a un centro fisso può essere rappresentata come una rotazione attorno a un asse istantaneo. Determiniamo la direzione dell'asse istantaneo e troviamo il vettore della velocità angolare assoluta di rotazione del corpo. Per fare questo, prendi un punto M corpi con raggio vettoriale e scrivi secondo il teorema sull'addizione delle velocità: in questo caso
Considera il caso quando moto relativo il corpo è una rotazione con una velocità angolare attorno all'asse aa ", montata sulla manovella ba (Fig. 74, a), e figurativamente - la rotazione della manovella ba attorno a un asse parallelo, con una velocità angolare. Quindi il movimento di il corpo sarà piano-parallelo rispetto al piano perpendicolare agli assi Qui sono possibili tre casi particolari.
1. Le rotazioni sono dirette in una direzione. Rappresentiamo la sezione S del corpo con un piano perpendicolare agli assi (Fig. 74, b). Indichiamo le tracce degli assi nella sezione S con le lettere A e B. Il punto A, in quanto giacente sull'asse, riceve velocità solo dalla rotazione attorno all'asse Bb", quindi,. Allo stesso modo. In questo caso , i vettori e sono paralleli tra loro (entrambi perpendicolari ad AB) e diretti Quindi il punto C è il centro istantaneo delle velocità (), e quindi l'asse Cc "parallelo agli assi Aa" e Bb "è l'asse istantaneo di rotazione del corpo.
a) b) Fig. 74. Aggiunta di rotazioni attorno a due assi paralleli (le rotazioni sono dirette in una direzione)
Per determinare la velocità angolare ω della rotazione assoluta del corpo attorno all'asse Cc" e la posizione dell'asse stesso, ovvero il punto C, utilizziamo l'uguaglianza
L'ultimo risultato è ottenuto dalle proprietà della proporzione. Sostituendo in queste uguaglianze, troviamo infine:
Quindi, se il corpo partecipa contemporaneamente a due rotazioni dirette nella stessa direzione attorno ad assi paralleli, il suo movimento risultante sarà una rotazione istantanea con una velocità angolare assoluta attorno ad un asse istantaneo parallelo ai dati; la posizione di questo asse è determinata dalle proporzioni.
Con il passare del tempo, l'asse istantaneo di rotazione Cc" cambia posizione, descrivendo una superficie cilindrica.
2. Le rotazioni sono dirette in direzioni diverse. Rappresentiamo ancora la sezione S del corpo (Fig. 75) e assumiamo per certezza quella. Allora, argomentando come nel caso precedente, troviamo che le velocità dei punti A e B saranno numericamente uguali, ; mentre entrambi sono paralleli tra loro e diretti nella stessa direzione. Quindi l'asse istantaneo di rotazione passa per il punto C (Fig. 75), e
L'ultimo risultato si ottiene anche dalle proprietà della proporzione. Sostituendo i valori e in queste uguaglianze, troviamo infine:
Quindi, in questo caso, il moto risultante è anche una rotazione istantanea con velocità angolare assoluta attorno all'asse Cc, la cui posizione è determinata dalle proporzioni.
3. Un paio di rotazioni. Consideriamo un caso particolare in cui le rotazioni attorno ad assi paralleli sono dirette in direzioni diverse (Fig. 76), ma modulo. Tale insieme di rotazioni è chiamato una coppia di rotazioni e i vettori e formano una coppia di velocità angolari.
Riso. Fig. 75. Aggiunta di rotazioni attorno a due assi paralleli (le rotazioni sono dirette in direzioni diverse) 76. Coppia di giri
In questo caso, otteniamo quello e, cioè, . Allora il centro istantaneo delle velocità è all'infinito e tutti i punti del corpo in un dato momento hanno le stesse velocità.
Di conseguenza, il moto risultante del corpo sarà un moto traslatorio (o istantaneamente traslatorio) con velocità numericamente uguale e diretto perpendicolarmente al piano passante per i vettori e; la direzione del vettore è determinata allo stesso modo in cui in statica è stata determinata la direzione del momento di una coppia di forze. In altre parole, una coppia di rotazioni equivale a un moto traslatorio (o istantaneamente traslatorio) con una velocità uguale al momento della coppia di velocità angolari di queste rotazioni.
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Consideriamo il caso in cui il moto relativo del corpo è una rotazione con una velocità angolare attorno all'asse, montata su una manovella attorno all'asse con una velocità angolare.
Se e sono paralleli, allora il movimento del corpo sarà piano-parallelo rispetto al piano perpendicolare agli assi.
Studiamo separatamente i casi in cui le rotazioni sono dirette in una direzione e in direzioni diverse.
6.2.1. Le rotazioni sono dirette in una direzione.
Rappresentiamo la sezione (S) del corpo con un piano perpendicolare agli assi. Le tracce degli assi nella sezione (S) sono indicate dalle lettere A e B. È facile notare che il punto A, in quanto giacente sull'asse Aa /, riceve velocità solo dalla rotazione attorno all'asse Bv /, quindi. Simile . In questo caso, i vettori e sono paralleli tra loro (entrambi sono perpendicolari ad AB) e diretti in direzioni diverse. Allora il punto C è il MCS(), e quindi l'asse Cc / , parallelo agli assi Aa / e Bv / è asse di rotazione istantaneo corpo.
Per determinare la velocità angolare della rotazione assoluta del corpo attorno all'asse Сс / e la posizione dell'asse stesso, ad es. punto C, usiamo l'uguaglianza
Dalle proprietà delle proporzioni, otteniamo
Sostituendo e otteniamo:
Quindi, se il corpo partecipa contemporaneamente a due rotazioni dirette nella stessa direzione attorno ad assi paralleli, il suo moto risultante sarà una rotazione istantanea con una velocità angolare assoluta attorno ad un asse istantaneo parallelo a quello dato.
Nel tempo, l'asse istantaneo di rotazione Cc / cambierà la sua posizione, descrivendo una superficie cilindrica.
6.2.2. Le rotazioni sono dirette in diverse direzioni.
Definiamo. Discutendo come nel caso precedente
Allo stesso tempo, sono diretti in una direzione.
Quindi l'asse istantaneo di rotazione passa per il punto C, e
o proprietà delle proporzioni
Sostituendo i valori e , otteniamo
Quindi, in questo caso, il movimento risultante è anche una rotazione istantanea con una velocità angolare assoluta attorno all'asse Сс / , la cui posizione è determinata dalla proporzione
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Dal teorema dei momenti si possono ottenere i seguenti importanti corollari. uno). Sia uguale a zero la somma dei momenti attorno al centro O di tutte le forze esterne agenti sul sistema:
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Teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema
Indicato nel paragrafo 3.5. il teorema vale per qualsiasi punto del sistema. Pertanto, se consideriamo un punto del sistema con massa mk e velocità Vk, allora
Campo di forza potenziale e funzione di forza
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Energia potenziale
Per le forze potenziali si può derivare il concetto di energia potenziale come una quantità che "caratterizza lo stock di lavoro" che punto materiale in questo paragrafo campo di forza
Dal contenuto dei paragrafi precedenti si può vedere che gli elementi cinematici più semplici introdotti sopra - le velocità angolari di rotazione del corpo (o sistema di coordinate) e la velocità dei movimenti traslatori obbediscono alle stesse leggi delle forze e delle coppie nella statica. Infatti, coppie di rotazioni o moti traslatori sono analoghi a coppie di forze. Come nella statica, l'insieme delle coppie cinematiche è equivalente a una coppia il cui momento (o la velocità del moto traslatorio risultante)è uguale alla somma dei momenti dei termini delle coppie.
Le velocità angolari di rotazione attorno agli assi che si intersecano in un punto sono sostituite da una velocità angolare, proprio come un sistema di forze convergenti nella statica viene ridotto a una forza (risultante). L'analogia tra le velocità angolari delle componenti di rotazione e le forze non si limita a questo. Stabiliremo ora che l'addizione di rotazioni attorno ad assi paralleli è esattamente la stessa dell'addizione di forze parallele.
Assumiamo che il corpo ruoti con una velocità angolare ω 2 attorno all'asse o 2 z 2 rispetto al sistema di coordinate o 2 X 2 y 2 z 2, e quest'ultimo ruota con una velocità angolare ω 1 attorno all'asse o 1 z 1 rispetto al sistema di coordinate o 1 X 1 y 1 z 1 , con gli assi o 1 z 1 e o 2 z 2 sono paralleli (Fig. 14.7).
Quindi la velocità assoluta di qualsiasi punto M corpo
Velocità vr e v e punti M posto su un piano perpendicolare agli assi o 1 z 1 e o 2 z 2 , da cui la velocità assoluta v punti M giace su un piano perpendicolare a questi assi. Dal momento che il punto M arbitrario, ciò significa che il corpo è coinvolto in un movimento piano. Troviamo nell'aereo X 1 o 1 y 1 centro istantaneo delle velocità nel caso in cui ω 1 e ω 2 siano diretti nella stessa direzione (Fig. 14.7, a).
Per punto R sdraiato su una linea retta O 1 O 2, vr e v e collineari, ma diretti in direzioni diverse. Affinché la loro somma geometrica sia uguale a zero, l'uguaglianza deve valere
(14.11)
Punto R divide il segmento O 1 O 2 internamente in parti inversamente proporzionali ai moduli delle velocità angolari delle rotazioni dei componenti.
Procediamo ora all'addizione di rotazioni aventi direzioni opposte. Let Speed vr e v e in questo mio O 1 O 2 situato al di fuori del segmento O 1 O 2(Fig. 14.7, b). Troviamo un punto R, in cui queste velocità sono uguali:
(14.12)
Punto R divide il segmento O 1 O 2 esternamente in parti inversamente proporzionali ai moduli delle velocità angolari. Un tale punto può sempre essere trovato se solo
In ciascuno dei casi considerati, il punto R ha una velocità uguale a zero, cioè
Troviamo ora la velocità di un punto arbitrario M:
Qui r"- vettore raggio punto M rispetto al centro istantaneo delle velocità R. Espandendo le parentesi sul lato destro e usando l'uguaglianza (14.13), otteniamo
dove 
Ciò implica, che l'insieme delle due rotazioni che avvengono attorno ad assi paralleli, ma non rappresentano una coppia di rotazioni, si riduce ad una rotazione, il cui asse istantaneo divide internamente o esternamente la distanza tra gli assi delle rotazioni dei componenti in parti inversamente proporzionali ai moduli di velocità angolari. La velocità angolare della rotazione risultante è uguale alla somma geometrica delle velocità angolari dei movimenti costituenti.
Se le velocità angolari sono dirette in una direzione, l'asse istantaneo di rotazione si trova tra gli assi Circa 1 z 1 e Circa 2 z 2 e il modulo della velocità angolare risultante 
Nel caso di rotazioni dirette opposte, l'asse istantaneo si trova dietro l'asse attorno al quale avviene la rotazione ad una velocità angolare maggiore e 
La velocità angolare risultante è diretta verso la maggiore delle velocità angolari.
Compiti
Problema 14.3. Nel supporto del cambio (Fig. 14.8). Sistema operativo fa n=720 giri/min, e gli ingranaggi mobili 2 e 3 ruotano attorno al proprio asse rispetto al conducente nella stessa direzione con una velocità angolare corrispondente a n 23 = 240 giri/min. Definisci raggio r1 ruota fissa 1 e il numero di giri dell'albero II, Se Sistema operativo\u003d 240 mm, r 4 \u003d 40 mm (r 4 è il raggio dell'ingranaggio 4).
Gli ingranaggi mobili 2 e 3 eseguono un movimento complesso. Ruotano attorno ad un asse MN rispetto al guinzaglio e insieme a questo asse attorno all'asse dell'asta.
Il raggio r 1 della ruota fissa 1 si ricava dalla condizione che l'asse istantaneo di rotazione assoluta degli ingranaggi 2 e 3, parallelo all'asse MN, passa per il punto di contatto della ruota fissa 1 e dell'ingranaggio mobile 2. In base alla relazione (14.11), possiamo scrivere:
dove ω 23 è la velocità angolare degli ingranaggi 2 e 3 durante la loro rotazione attorno all'asse MN, e ω - velocità angolare dell'albero io.
Tra la velocità angolare e il numero di giri al minuto c'è una relazione della forma
quindi,
Velocità angolare assoluta ω a ingranaggi 2 e 3 durante la rotazione attorno all'asse istantaneo in base alla (14.14) è uguale a
ω a = ω+ ω 23
Caratterizzando la velocità angolare per il numero di giri, otteniamo
n a \u003d n + n 23 \u003d 720 + 240 \u003d 960 giri/min.
Per determinare il numero di giri dell'ingranaggio 4, e quindi l'albero II, useremo il fatto che le velocità assolute dei punti delle marce 3 e 4 al punto A i loro impegni sono uguali tra loro (non c'è slittamento relativo):
Così,
Problema 14.4. Quanti giri al minuto dovrebbe fare l'albero motore io cambio (Fig. 14.9) in modo che l'albero condotto II ha n 4 \u003d 1800 giri/min?
La prima ruota con denti interni è ferma. Dato: r 1 \u003d 150 mm, r 2 \u003d 30 mm, r 4 \u003d 50 mm.
Gli ingranaggi mobili 2 e 3 nel loro insieme fanno un movimento complesso. Ruotano attorno ad un asse MN rispetto al guinzaglio e insieme ad esso ruotano attorno all'asse io.
L'asse istantaneo di rotazione assoluta di questi ingranaggi passa per il punto A- il punto di innesto dell'ingranaggio mobile 2 e dell'ingranaggio fisso io. Questo asse è parallelo all'asse MN. Poiché l'asse istantaneo di rotazione assoluta degli ingranaggi 2 e 3 si trova al di fuori degli assi dei termini dei movimenti, la rotazione di questi ingranaggi attorno all'asse MN avviene nel senso opposto al senso di rotazione dell'albero io.