Do sada, govoreći o udaljenosti, uvijek smo mislili na Euklidsku udaljenost. Dakle, udaljenost između vektora definirali smo kao dužinu vektora, naime:
Ali udaljenosti se mogu izračunati na drugi način, koristeći različite mjere dužine. Na primjer, razmotrite pojednostavljenu kartu grada u obliku pravokutne mreže dvosmjernih ulica. Tada adekvatna mjera dužine može biti najkraća udaljenost koju treba savladati da bi se došlo od jedne raskrsnice do druge. Ponekad se ova udaljenost naziva Manhattan.
Umjesto nabrajanja svih vrsta mjera dužine, od kojih nam većina neće biti potrebna, sada ćemo razmotriti zahtjeve (aksiome) koje proizvoljna mjera dužine mora zadovoljiti. Sve naknadne teoreme udaljenosti će se dokazati u okviru ovih aksioma, odnosno u većini opšti pogled. U matematici je uobičajeno koristiti izraz metrika umjesto izraza "mjera dužine".
metrika.
metrika na skupu X je realna funkcija d(x, y) definirana na proizvodu x i koja zadovoljava sljedeće aksiome:
b) podrazumijeva
d) za sve (nejednakost trougla).
Par se zove metrički prostor.Dokaz da euklidska udaljenost zadovoljava aksiome (a), (b) i (c) je trivijalan. Nejednakost trokuta:
dokazali smo u § 3.1 (Teorema 3.1.2). Dakle, Euklidska udaljenost je metrika, koju ćemo u nastavku zvati Euklidska metrika.
Razmotrimo jednu važnu klasu metrike u prostoru, naime klasu -metrike. -metric je generalizacija euklidske metrike i poklapa se s njom za . Za p-metriku je definirana kako slijedi:
Ostavićemo bez dokaza sledeću činjenicu:
Dokaz da je -metrika zaista metrika, tj. zadovoljava aksiome koje također izostavljamo. Djelomično, ovo pitanje je uključeno u vježbe.
Imajte na umu da u definiciji metrike nismo zahtijevali da elementi x i y pripadaju prostoru . Ovo nam omogućava da definiramo skup X, kao i njegove elemente x, y, itd., na mnogo različitih načina. Naš zadatak je da ukažemo pod kojim uslovima fraktalna konstrukcija konvergira. Da biste to učinili, morate biti u mogućnosti izmjeriti udaljenost između kompaktnih skupova, odnosno morate odrediti odgovarajuću metriku.
Teorija skupova u metričkim prostorima.
Moramo napraviti veliki korak naprijed i proširiti teorijske definicije iz odjeljka 3.1, koje su podrazumijevale euklidsku metriku, na proizvoljne metrike. Otvorena lopta u metričkom prostoru (X, d) definirana je na sljedeći način:
Uzimajući u obzir (3.4), možemo ostaviti nepromijenjene gornje definicije sljedećih pojmova:
Na primjer, skup je otvoren skup ako i samo ako za bilo koji može specificirati otvorenu loptu (u smislu definicije (3.4)), koja je sadržana u E. Sve definicije su uključene u listu bez promjena, osim za koncept kompaktnosti. Rigorozna definicija kompaktnog skupa u proizvoljnom metričkom prostoru data je u App. Budući da nas uglavnom zanima kompaktnost podskupova prostora, gore navedena definicija (zatvorenost i ograničenost) ostaje važeća.
Ako je metrika na skupu X, a onda je realna funkcija jedan-na-jedan
postoji i metrika na X. Aksiomi (a) i (c) su očigledno zadovoljeni. zadovoljava aksiom (b), budući da je funkcija jedan-na-jedan. Aksiom (d) se može napisati kao nejednakost:
odnosno nejednakosti klasičnog trougla za realni brojevi. Primjer ovako definirane metrike:
Za dvije metrike, definirane na skupu X, kaže se da su ekvivalentne ako se može specificirati tako da:
Može se pokazati da su bilo koje dvije -metrike u prostoru gdje su ekvivalentne (slučaj je razmotren u vježbi 3 na kraju ovog odjeljka). S druge strane, metrike na skupu R nisu ekvivalentne (Primjer 4 na kraju ovog odjeljka).
Očigledno, glavna posljedica ekvivalencije metrike za teoriju fraktala je činjenica da je fraktalna dimenzija (poglavlje 5) očuvana kada se metrika zamijeni ekvivalentnom. Štaviše, ako je skup otvoren (zatvoren) u jednoj metrici, onda je također otvoren (zatvoren) u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Nadalje, ako je skup ograničen na jednu metriku, onda je omeđen u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Isto vrijedi i za savršene, povezane i potpuno diskontinuirane skupove.
Konvergencija.
Neka je metrika na skupu X. Niz tačaka metričkog prostora X konvergira do granice u metrici d ako niz brojeva konvergira na nulu u uobičajenom smislu, to jest, ako:
Ovdje se ekvivalencija metrike izražava na sljedeći način. Ako su metrika ekvivalentna, onda u -metrici ako i samo ako je u -metrici, jer:
Ako je tako, i obrnuto.
Kontinuitet.
U toku matematičke analize, funkcija definisana na X naziva se kontinuirana u tački if.
Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebarskom prirodom realnih brojeva (tj. sa činjenicom da oni formiraju polje), već se zasnivaju samo na konceptu udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.
metrički prostor pozvao par (X, r), koji se sastoji od nekih setovi(razmaci) X elementi(bodovi) i razdaljina, tj. nenegativna realna funkcija r(x, y), definisano za bilo koje X I at od X i podložan sljedeća tri aksioma:
1) r(x, y)= 0 ako i samo ako X = y,
2) r(x, y) = r(y, x)(aksiom simetrije),
3) r(x, r)≤ r(x, y)+ r(y, r)(aksiom trougla).
Sam metrički prostor, odnosno par (X, p), označavaćemo, po pravilu, jednim slovom:
R = (X, p).
U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam "zaliha tačaka". x.
Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi. važnu ulogu.
1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa
dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.
2. Mnogi realni brojevi sa udaljenosti
ρ(x, y) = | x - y |
formira metrički prostor R 1 .
3. Skup uređenih kolekcija iz P realni brojevi sa rastojanjem
pozvao P-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor Rn.
4. Razmotrimo isti skup skupova iz P realni brojevi, ali je udaljenost u njemu definirana formulom
Ovdje je očigledna valjanost aksioma 1)-3). Ovaj metrički prostor označavamo simbolom Rn 1 .
5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli
Valjanost aksioma 1)-3) je očigledna. Ovo je prostor koji ćemo odrediti Rn¥ u mnogim pitanjima analize nije ništa manje zgodan od euklidskog prostora Rn.
Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se isti skup tačaka može metrizovati na različite načine.
6. Mnogi OD svih kontinuiranih realnih funkcija definiranih na segmentu sa udaljenosti
takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1)-3) se direktno provjeravaju. Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom OD, što je skup tačaka u samom ovom prostoru.
7. Razmotrimo, kao u primjeru 6, kolekciju svih funkcija kontinuiranih na intervalu IZ , ali mi razdaljinu drugačije definišemo, naime postavljamo
Takav metrički prostor ćemo označiti OD 2 i nazovi prostor kontinuirane funkcije sa kvadratnom metrikom.
1. Prostor izolovanih tačaka.
Proizvoljan skup i
2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem formira metrički prostor.
3. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa naziva se - dimenzionalni aritmetički euklidski prostor.
Dokaz.
Da bi se dokazalo da je prostor metrički, potrebno je provjeriti zadovoljivost aksioma.
Neka biti , , .
, , …, , tj.
A3. Provjerimo da li vrijedi aksiom trougla. Zapisujemo aksiom u obliku:
Uz pretpostavku , , Dobivamo i .
Za dokazivanje ove nejednakosti koristi se nejednakost Cauchy–Bunyakovsky.
stvarno,
Dakle, aksiom trougla je zadovoljen, a skup koji se razmatra sa datom metrikom je metrički prostor.
Q.E.D.
4. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .
5. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .
Primjeri 3, 4 i 5 pokazuju da se ista količina bodova može različito mjeriti.
6. Skup svih kontinuiranih realnih funkcija definiranih na segmentu s udaljenosti . Ovaj metrički prostor se označava kao skup tačaka u samom prostoru: . Konkretno, umjesto pisanja.
7. Označava metrički prostor čije tačke su svi mogući nizovi realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet , a metrika je definirana formulom .
Dokaz.
Pošto, ima smisla za sve. One. serija konvergira ako i .
Hajde da pokažemo šta zadovoljava aksiome.
Aksiomi 1, 2 su očigledni. Aksiom trougla ima oblik:
Svi redovi su konvergentni.
Nejednakost vrijedi za svakoga (vidi primjer 3). Za , Dobijamo nejednakost za .
Q.E.D.
8. Razmotrimo skup svih funkcija koje su kontinuirane na intervalu i . Takav metrički prostor se označava i naziva prostor neprekidnih funkcija s kvadratnom metrikom.
9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova realnih brojeva. Hajde da definišemo. Ovaj metrički prostor je označen sa .
10. Skup uređenih grupa realnih brojeva s udaljenosti , gdje je bilo koji fiksni broj , je metrički prostor označen sa .
Metrika razmatrana u ovom primjeru pretvara se u euklidsku metriku za (vidi primjer 3) i u metriku iz primjera 4 za . Može se pokazati da je metrika (vidi primjer 5) granični slučaj .
11. Razmotrimo sve moguće nizove realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet , gdje je neki fiksni broj, a udaljenost je određena formulom . Imamo metrički prostor.
12. Neka - skup svih beskonačnih nizova - kompleksni brojevi. Hajde da definišemo. Imamo metrički prostor.
definicija: Neka biti metrički prostor i biti bilo koji podskup od . Zatim s istom funkcijom , koja je sada definirana za , je metrički prostor, koji se zove podprostor prostori.
Osnovni koncepti
Označite metrički prostor sa .
definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove fundamentalno, ako svaki odgovara broju takav da je nejednakost vrijedi za bilo .
definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove konvergirajući, ako postoji takav da svakom odgovara broj takav da je nejednakost istinita za sve. Onda zove limit sekvence.
Teorema: Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.
Dokaz.
Doista, ako i , Tada . Budući da i , Tada , tj. .
Teorema je dokazana.
definicija: Kompletan metrički prostor naziva se metrički prostor u kojem konvergira svaki osnovni niz.
Teorema: metrika kao funkcija dva argumenta je kontinuirana funkcija, tj. ako i , onda .
dokaz:
Neka biti , , , .
Po nejednakosti trougla:
Iz (1) dobijamo:
Iz (2) dobijamo:
jer ,
Označimo .
IN metrički prostor može se uzeti u obzir razni setovi, susjedstva tačaka, granične tačke i drugi koncepti klasične analize.
definicija: Ispod susjedstvo tačke razumeju skup koji sadrži otvorenu kuglu poluprečnika sa centrom u tački , tj.
definicija: Tačka se zove granična tačka za skup ako bilo koje susjedstvo točke sadrži barem jednu točku iz , koja je različita od .
definicija: Tačka se zove unutrašnja tačka postavlja ako je uključeno zajedno sa nekim svojim susjedstvom.
definicija: Skup se zove otvoren ako se sastoji samo od unutrašnjih tačaka. Skup se zove zatvoreno samo po sebi ako sadrži sve svoje granične tačke.
Metrički prostor je zatvoren.
Podprostori mogu biti i nezatvoreni podskupovi.
Ako spojimo sve njegove granične točke, onda ćemo dobiti zatvaranje .
definicija: Skup koji leži u metričkom prostoru naziva se zatvoreno, ako se poklapa s njegovim zatvaranjem: .
Zatvoren set, ima najmanje zatvoren set koji sadrže .
definicija: Neka bude . Skup se zove gusto u ako . Skup se zove svuda gusto, ako . Skup se zove nigdje gusto unutra, ako je lopta , postoji još jedna lopta slobodna od poena u setu .
definicija: Prostor se naziva odvojivim ako sadrži svuda gust prebrojiv skup.
IN matematička analiza važnu ulogu igra svojstvo potpunosti realne brojevne prave, odnosno činjenica da bilo koji fundamentalni niz realnih brojeva konvergira do određene granice (Cauchyjev kriterij konvergencije).
Brojevna prava je primjer potpunih metričkih prostora.
Prostori izolovanih tačaka, , , , , , su potpuni metrički prostori.
Prostor nije kompletan.
U analizi je tzv lema o ugniježđenom segmentu :
Neka je sistem ugniježđenih segmenata. Zatim za segment imamo .
To znači da svi segmenti iz skupa imaju zajedničku tačku.
U teoriji metričkih prostora, teorema o ugrađenim kuglicama igra sličnu ulogu.
Teorema: Da bi metrički prostor bio potpun, potrebno je i dovoljno da u njemu bilo koji niz kuglica ugniježđenih jedna u drugu, čiji radijusi imaju neprazan presek.
dokaz:
treba:
Neka je kompletan metrički prostor i neka je niz ugniježđenih zatvorenih kuglica.
Neka biti polumjer i biti centar lopte.
Niz centara je fundamentalan, budući da na , i na . Budući da je - kompletan, onda . Recimo onda. Zaista, lopta sadrži sve točke niza , s mogućim izuzetkom bodova . Dakle, tačka je dodirna tačka (granična tačka) za svaku loptu. Ali budući da je zatvoren skup, onda .
Adekvatnost:
Neka je osnovni niz. Hajde da dokažemo da ima granicu. Zbog toga što smo fundamentalni, možemo odabrati tačku u nizu tako da je za sve . Uzmimo točku kao centar zatvorene lopte polumjera . Označimo ovu loptu kao . , ugniježđene jedna u drugu, i lopta - neka zatvorena lopta radijusa sadrži neku tačku po završetku
metrički prostor.
metrički prostor je skup u kojem je definirana udaljenost između bilo kojeg para elemenata.
Metrički prostor je par, gdje je skup ( predmet skup metrički prostor, set bodova metrički prostor), i - numerička funkcija (metrika prostor), koji je definisan na Kartezijanski proizvod i uzima vrijednosti u skupu realnih brojeva - takve da za bodove
Bilješka: Iz aksioma slijedi da je funkcija udaljenosti nenegativna, jer
Kompresovani displeji.
Komprimirana preslikavanja jedna od glavnih odredbi teorije metrički prostori o postojanju i jedinstvenosti fiksne tačke skupa pod nekim posebnim („ugovarajućim“) preslikavanjem istog u sebe. S. o. p. koriste se uglavnom u teoriji diferencijalnih i integralnih jednadžbi.
Proizvoljan prikaz ALI metrički prostor M u sebe, koji svakoj tački X od M poklapa se sa nekom tačkom y = ax od M, stvara u prostoru M jednačina
Ax = x. (*)
Display Action ALI tačka X može se protumačiti kao pomicanje u neku tačku y = ax. Dot X naziva se fiksna tačka mapiranja ALI ako vrijedi jednakost (*). To. pitanje rješivosti jednadžbe (*) je pitanje nalaženja fiksnih tačaka preslikavanja ALI.
Display ALI metrički prostor M u sebe se kaže da je skupljeno ako postoji pozitivan broj a< 1, что для любых точек X I at od M nejednakost
d( Axe, ay) £ a d(x, y),
gdje simbol d(u, u) označava udaljenost između tačaka u i u metričkog prostora M.
S. o. tvrdi da svako ugovoreno preslikavanje kompletnog metričkog prostora u sebe ima, štoviše, samo jedno, fiksna tačka. Osim toga, za bilo koje polazna tačka x0 od M podsekvenca ( x n) određena rekurentnim odnosima
x n \u003d Sjekira n-1, n = 1,2,...,
ima fiksnu tačku kao svoju granicu X displej ALI. U ovom slučaju vrijedi sljedeća procjena greške:
.
S. o. n. omogućava dokazivanje važnih teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja diferencijalnih, integralnih i drugih jednačina jedinstvenom metodom. Pod uslovima primjenjivosti S. o. n. rješenje se može izračunati sa unaprijed određenom tačnošću uzastopne aproksimacije metoda.
Uz pomoć određenog izbora kompletnog metričkog prostora M i konstrukcija prikaza ALI ovi problemi se prvo svode na jednačinu (*), a zatim pronalaze uslove pod kojima se vrši preslikavanje ALI izgleda da je komprimiran.
Konvergencija preslikavanja u odnosu na ovu metriku je ekvivalentna njihovoj uniformnoj konvergenciji na cijelom prostoru.
U konkretnom slučaju kada je kompaktni prostor, realna linija, dobija se prostor svih kontinuiranih funkcija na prostoru X sa metrikom uniformne konvergencije.
Da bi ova funkcija postala metrika, u prva dva prostora potrebno je identificirati funkcije koje se razlikuju po skupu mjere 0. U suprotnom, ova funkcija će biti samo semimetrija. (U prostoru funkcija koje su kontinuirane na intervalu, funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0 ionako se poklapaju.)