Razmotrimo još jedan poseban problem.

Poznato je da je modul brzine tijela tokom cijelog kretanja ostao konstantan i jednak 5 m/s. Pronađite zakon kretanja ovog tijela. Početak brojanja dužina putanja poklapa se sa početnom tačkom kretanja tijela.

Za rješavanje problema koristimo formulu

Odavde možete pronaći povećanje dužine putanje za bilo koji mali vremenski period

Prema uslovu, modul brzine je konstantan. To znači da će prirast dužine putanje za sve jednake vremenske intervale biti isti. Po definiciji, ovo je jednolično kretanje. Jednačina koju smo dobili nije ništa drugo do zakon takvog ravnomerno kretanje. Ako u ovu jednačinu zamijenimo izraze, onda je lako dobiti

Pretpostavimo da se početak vremenske reference poklapa sa početkom kretanja tijela. Uzimamo u obzir da se, pod uslovom, ishodište dužina putanja poklapa sa početnom tačkom kretanja tela. Uzmimo kao interval vrijeme od početka kretanja do trenutka koji nam je potreban.Tada moramo postaviti Nakon zamjene ovih vrijednosti, zakon razmatranog kretanja će imati oblik

Razmatrani primjer nam omogućava da damo novu definiciju ravnomjernog kretanja (§ 13): ravnomjerno kretanje je kretanje sa konstantnom modulo brzinom.

Isti primjer nam omogućava da dobijemo opću formulu za zakon ravnomjernog kretanja.

Ako se ishodište vremena poklapa sa početkom kretanja, a ishodište dužina putanja sa početnom tačkom kretanja, tada će zakon ravnomernog kretanja imati oblik

Ako je vrijeme početka kretanja i dužina puta do polazna tačka gibanja, tada zakon ravnomjernog kretanja poprima složeniji oblik:

Obratimo pažnju na još jedan važan rezultat, koji se može dobiti iz zakona ravnomjernog kretanja koji smo pronašli. Pretpostavimo da je za neko ravnomerno kretanje dat grafik zavisnosti brzine od vremena (slika 1.60). Zakon ovog gibanja Iz slike se može vidjeti da je proizvod brojčano jednak površini figure ograničene koordinatnim osama, grafom ovisnosti brzine o vremenu i ordinatom koja odgovara

U datom trenutku, prema grafu brzine, moguće je izračunati priraštaje dužina putanja tokom kretanja.

Koristeći složeniji matematički aparat, može se pokazati da se ovaj rezultat, koji smo dobili za određeni slučaj, ispostavi da vrijedi za bilo koje neujednačeno kretanje. Prirast dužine putanje tokom kretanja je uvijek numerički jednak površini figure ograničene grafikom brzine koordinatnim osama i ordinatom koja odgovara odabranom konačnom vremenu.

Ova mogućnost grafičkog pretraživanja zakona složeni pokretiće se koristiti u budućnosti.

I zašto je to potrebno. Već znamo šta je referentni okvir, relativnost kretanja i materijalna tačka. Pa, vrijeme je da krenemo dalje! Ovdje ćemo pregledati osnovne pojmove kinematike, okupiti najkorisnije formule o osnovama kinematike i dati praktičan primjer rješavanja problema.

Hajde da rešimo sledeći problem: Tačka se kreće u krugu poluprečnika 4 metra. Zakon njegovog kretanja izražava se jednačinom S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. U kom trenutku normalno ubrzanje tačka je 9 m/s^2? Pronađite brzinu, tangencijalnu i puno ubrzanje bodova za ovu tačku u vremenu.

Rješenje: znamo da da bismo pronašli brzinu, moramo uzeti prvi vremenski izvod zakona kretanja, a normalno ubrzanje je jednako privatnom kvadratu brzine i polumjera kružnice po kojoj se tačka kreće . Naoružani ovim znanjem, pronalazimo željene vrijednosti.

Trebate pomoć u rješavanju problema? Profesionalni studentski servis je spreman da to pruži.

DERIVAT I NJEGOVA PRIMJENA NA PROUČAVANJE FUNKCIJA X

§ 218. Zakon o kretanju. Trenutna brzina kretanja

Do potpunije karakterizacije kretanja može se doći na sljedeći način. Podijelimo vrijeme kretanja tijela na nekoliko odvojenih intervala ( t 1 , t 2), (t 2 , t 3), itd. (ne nužno jednake, vidi sl. 309) i na svakom od njih postavljamo prosječnu brzinu kretanja.

Ove prosječne brzine će, naravno, potpunije karakterizirati kretanje po cijeloj dionici nego prosječna brzina za sve vreme trajanja kretanja. Međutim, oni neće dati odgovor na takvo, na primjer, pitanje: u kojem trenutku u intervalu od t 1 to t 2 (Sl. 309) voz je išao brže: u ovom trenutku t" 1 ili trenutno t" 2 ?

Prosječna brzina potpunije karakterizira kretanje, što su dionice puta na kojima je određena, kraće. Stoga je jedan od mogućih načina za opisivanje neujednačenog kretanja postavljanje prosječnih brzina ovog kretanja na sve manjim dijelovima puta.

Pretpostavimo da nam je data funkcija s (t ), koji označava put kojim tijelo putuje, krećući se pravolinijski u istom smjeru, u vremenu t od početka pokreta. Ova funkcija određuje zakon kretanja tijela. Na primjer, ravnomjerno kretanje se dešava u skladu sa zakonom

s (t ) = vt ,

gdje v - brzina kretanja; slobodan pad tel se odvija po zakonu

gdje g - ubrzanje tijela koje slobodno pada itd.

Razmotrimo put koji je prešlo tijelo koje se kreće prema nekom zakonu s (t ) , za vrijeme od t prije t + τ .

Do vremena t tijelo će krenuti putem s (t ), i do tada t + τ - put s (t + τ ). Dakle, tokom vremena t prije t + τ to će ići putem s (t + τ ) - s (t ).

Podijeli ovu putanju vremenom kretanja τ , dobijamo prosječnu brzinu za vrijeme iz t prije t + τ :

Granica ove brzine na τ -> 0 (samo ako postoji) se poziva trenutnu brzinu kretanja u jednom trenutku t:

(1)

Trenutna brzina kretanja u trenutku t naziva se granica prosječne brzine kretanja u vremenu od t prije t+ τ , kada τ teži nuli.

Razmotrimo dva primjera.

Primjer 1. Ujednačeno kretanje u pravoj liniji.

U ovom slučaju s (t ) = vt , gdje v - brzina kretanja. Pronađite trenutnu brzinu ovog kretanja. Da biste to učinili, prvo morate pronaći prosječnu brzinu u vremenskom intervalu od t prije t + τ . Ali za ravnomjerno kretanje, prosječna brzina u bilo kojem dijelu zamućenosti poklapa se sa brzinom kretanja v . Dakle, trenutna brzina v (t ) će biti jednako:

v (t ) =v = v

Dakle, za ravnomjerno kretanje, trenutna brzina (kao i prosječna brzina na bilo kojem dijelu puta) poklapa se sa brzinom kretanja.

Isti rezultat, naravno, mogao bi se dobiti i formalno, na osnovu jednakosti (1).

stvarno,

Primjer 2 Ravnomjerno ubrzano kretanje s nultom početnom brzinom i ubrzanjem a . U ovom slučaju, kao što je poznato iz fizike, tijelo se kreće po zakonu

Prema formuli (1) dobijamo da je trenutna brzina takvog kretanja v (t ) je jednako:

Dakle, trenutna brzina ravnomerno ubrzano kretanje u to vrijeme t jednak je proizvodu ubrzanja i vremena t . Za razliku od ravnomjernog kretanja, trenutna brzina ravnomjerno ubrzanog kretanja varira s vremenom.

Vježbe

1741. Stvar se kreće po zakonu (s - udaljenost u metrima t - vrijeme u minutama). Pronađite trenutnu brzinu ove tačke:

b) u to vrijeme t 0 .

1742. Nađi trenutnu brzinu tačke koja se kreće po zakonu s (t ) = t 3 (s - put u metrima, t - vrijeme u minutama):

a) na početku pokreta

b) 10 sekundi nakon početka pokreta;

c) trenutno t= 5 min;

1743. Nađi trenutnu brzinu tijela koje se kreće po zakonu s (t ) = √t , u proizvoljnom trenutku t .

Svi su obraćali pažnju na svu raznolikost kretanja sa kojima se susreće u životu. Međutim, bilo koji mehaničko kretanje tijelo se svodi na jedan od dva tipa: linearni ili rotacijski. Razmotrite u članku osnovne zakone kretanja tijela.

O kojim vrstama kretanja je reč?

Kao što je navedeno u uvodu, sve vrste kretanja tijela koje se razmatraju u klasičnoj fizici povezane su ili s pravocrtnom putanjom ili s kružnom. Bilo koja druga putanja se može dobiti kombinacijom ove dvije. Dalje u članku će se razmatrati sljedeći zakoni kretanja tijela:

1. Uniforma u pravoj liniji.
2. Ravnomjerno ubrzan (jednako usporen) u pravoj liniji.
3. Uniforma po obimu.
4. Ravnomjerno ubrzan po obimu.
5. Kretanje po eliptičnoj stazi.

Ujednačeno kretanje, ili stanje mirovanja

Sa naučne tačke gledišta, Galileo se prvi put zainteresovao za ovaj pokret krajem 16. - početkom 17. veka. Proučavajući inercijska svojstva tijela, kao i uvodeći koncept referentnog sistema, pretpostavio je da su stanje mirovanja i ravnomjernog kretanja jedno te isto (sve ovisi o izboru objekta u odnosu na koji je brzina izračunato).

Nakon toga, Isak Newton je formulirao svoj prvi zakon kretanja tijela, prema kojem je brzina potonjeg konstantna vrijednost kad god ne postoje vanjske sile koje mijenjaju karakteristike kretanja.

Opisano je ravnomjerno pravolinijsko kretanje tijela u prostoru sljedeću formulu:

Gdje je s udaljenost koju će tijelo preći za vrijeme t, krećući se brzinom v. Ovaj jednostavan izraz je također napisan u sljedećim oblicima (sve ovisi o količinama koje su poznate):

Kretanje pravolinijski uz ubrzanje

Prema drugom Newtonovom zakonu, prisustvo vanjske sile koja djeluje na tijelo neizbježno dovodi do pojave ubrzanja u potonjem. Iz (brzina promjene brzine) slijedi izraz:

a=v/t ili v=a*t

Ako deluje na telo spoljna silaće ostati konstantan (neće promijeniti modul i smjer), tada se ubrzanje također neće promijeniti. Ova vrsta kretanja naziva se jednoliko ubrzano, pri čemu ubrzanje djeluje kao faktor proporcionalnosti između brzine i vremena (brzina raste linearno).

Za ovo kretanje, pređeni put se izračunava integracijom brzine tokom vremena. Zakon gibanja tijela za stazu s ravnomjerno ubrzanim kretanjem ima oblik:

Najčešći primjer ovog kretanja je pad bilo kojeg objekta s visine, u kojem mu gravitacija govori ubrzanje g = 9,81 m / s 2.

Pravolinijsko ubrzano (usporeno) kretanje s početnom brzinom

Zapravo, govorimo o kombinaciji dvije vrste pokreta o kojima smo govorili u prethodnim paragrafima. Zamislite jednostavnu situaciju: automobil je vozio nekom brzinom v 0 , zatim je vozač pritisnuo kočnicu i vozilo se nakon nekog vremena zaustavilo. Kako opisati kretanje u ovom slučaju? Za funkciju brzine u odnosu na vrijeme, izraz je tačan:

Ovdje je v 0 početna brzina (prije kočenja automobila). Znak minus označava da je vanjska sila (trenje klizanja) usmjerena protiv brzine v 0 .

Kao iu prethodnom pasusu, ako uzmemo integral vremena od v(t), dobićemo formulu za putanju:

s \u003d v 0 * t - a * t 2 / 2

Imajte na umu da ova formula izračunava samo put kočenja. Da biste saznali udaljenost koju je automobil prešao za cijelo vrijeme njegovog kretanja, trebali biste pronaći zbir dva puta: za ravnomjerno i za ravnomjerno usporeno kretanje.

U gore opisanom primjeru, ako vozač nije pritisnuo papučicu kočnice, već papučicu gasa, tada bi se znak "-" promijenio u "+" u predstavljenim formulama.

Kružno kretanje

Bilo kakvo kretanje u krugu ne može se dogoditi bez ubrzanja, jer čak i ako se modul brzine zadrži, njegov smjer se mijenja. Ubrzanje povezano s ovom promjenom naziva se centripetalno (to je ubrzanje koje savija putanju tijela, pretvarajući ga u krug). Modul ovog ubrzanja se izračunava na sljedeći način:

a c \u003d v 2 / r, r - polumjer

U ovom izrazu brzina može zavisiti od vremena, kao što se dešava u slučaju jednoliko ubrzanog kretanja u krugu. U potonjem slučaju, a c će brzo rasti (kvadratna ovisnost).

Centripetalno ubrzanje određuje silu koja se mora primijeniti da bi se tijelo držalo u kružnoj orbiti. Primjer je takmičenje u bacanju kladiva, gdje sportisti ulažu značajan napor da zavrte projektil prije nego što se baci.

Rotacija oko ose konstantnom brzinom

Ova vrsta kretanja je identična prethodnoj, samo što je uobičajeno da se opisuje bez linearnog fizičke veličine, i korištenje ugaone karakteristike. Zakon rotacionog kretanja tijela, kada se ugaona brzina ne mijenja, zapisuje se u skalarnom obliku na sljedeći način:

Ovdje su L i I momenti zamaha, odnosno inercije, ω je ugaona brzina, koja je povezana s linearnom brzinom jednakošću:

Vrijednost ω pokazuje za koliko radijana će se tijelo okrenuti u sekundi. Veličine L i I imaju isto značenje kao impuls i masa za pravolinijsko kretanje. Prema tome, ugao θ kroz koji će se tijelo okrenuti u vremenu t izračunava se na sljedeći način:

Primjer ove vrste kretanja je rotacija zamašnjaka koji se nalazi na radilici u motoru automobila. Zamajac je masivan disk kojem je vrlo teško dati bilo kakvo ubrzanje. Zahvaljujući tome, obezbeđuje glatku promjenu obrtnog momenta, koji se prenosi sa motora na točkove.

Rotacija oko ose sa ubrzanjem

Ako se vanjska sila primjenjuje na sistem koji je sposoban da se rotira, tada će početi da se povećava ugaona brzina. Ova situacija je opisana sljedećim zakonom kretanja tijela okolo:

Ovdje je F vanjska sila koja se primjenjuje na sistem na udaljenosti d od ose rotacije. Proizvod na lijevoj strani jednakosti naziva se moment sile.

Za ravnomjerno ubrzano kretanje u krugu, nalazimo da ω ovisi o vremenu na sljedeći način:

ω = α * t, gdje je α = F * d / I - kutno ubrzanje

U ovom slučaju, ugao rotacije u vremenu t može se odrediti integracijom ω tokom vremena, tj.:

Ako se tijelo već rotiralo određenom brzinom ω 0, a tada je počeo djelovati vanjski moment sile F * d, onda se po analogiji s linearnim slučajem mogu napisati sljedeći izrazi:

ω = ω 0 + α * t;

θ \u003d ω 0 * t + α * t 2 / 2

Dakle, pojava spoljašnjeg momenta sila je razlog za prisustvo ubrzanja u sistemu sa osom rotacije.

Radi potpunosti informacija, napominjemo da je moguće promijeniti brzinu rotacije ω ne samo uz pomoć vanjskog momenta sila, već i zbog promjene unutrašnjih karakteristika sistema, posebno njegovog momenta inercije. . Ovakvu situaciju su vidjeli svi koji su gledali rotaciju klizača na ledu. Grupiranjem, sportisti povećavaju ω smanjenjem I, prema jednostavnom zakonu kretanja tijela:

Kretanje po eliptičnoj putanji na primjeru planeta Sunčevog sistema

Kao što znate, naša Zemlja i druge planete Solarni sistem okreću se oko svoje zvijezde ne u krug, već po eliptičnoj putanji. Po prvi put je poznati njemački naučnik Johannes Kepler formulisao matematičke zakone da opiše ovu rotaciju početkom 17. vijeka. Koristeći rezultate posmatranja kretanja planeta svog učitelja Tycho Brahea, Kepler je došao do formulacije svoja tri zakona. Formulirani su na sljedeći način:

1. Planete Sunčevog sistema kreću se po eliptičnim orbitama, a Sunce se nalazi u jednom od žarišta elipse.
2. Radijus vektor koji povezuje Sunce i planetu opisuje iste oblasti u jednakim vremenskim intervalima. Ova činjenica slijedi iz očuvanja ugaonog momenta.
3. Ako kvadrat perioda okretanja podijelimo kubom velike poluose eliptične orbite planete, onda ćemo dobiti određenu konstantu, koja je ista za sve planete našeg sistema. Matematički, ovo se piše ovako:

T 2 / a 3 \u003d C \u003d konst

Kasnije je Isak Newton, koristeći ove zakone kretanja tijela (planeta), formulirao svoj poznati zakon univerzalne gravitacije, ili gravitacije. Primjenjujući ga, može se pokazati da je konstanta C u 3.:

C = 4 * pi 2 / (G * M)

Gdje je G gravitaciona univerzalna konstanta, a M masa Sunca.

Imajte na umu da kretanje po eliptičnoj orbiti u slučaju djelovanja središnje sile (gravitacije) dovodi do toga da linijska brzina v se stalno mijenja. Maksimalna je kada je planeta najbliža zvijezdi, a minimalno udaljena od nje.