sa početnim uslovima

i granični uslovi

Rješenje ovog problema tražit ćemo u obliku Fourierovog reda u odnosu na sistem vlastitih funkcija (94)

one. u obliku raspadanja

prilikom razmatranja t parametar.

Neka funkcije f(x, t) je kontinuiran i ima po komadima kontinuirani izvod 1. reda u odnosu na X i za sve t>0 uslova je ispunjeno

Pretpostavimo sada da su funkcije f(x, t) i
može se proširiti u Fourierov red u smislu sinusa

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Zamjenjujemo (116) u jednačinu (113) i, uzimajući u obzir (117), dobijamo

.

Ova jednakost vrijedi kada

, (121)

ili ako
, onda se ova jednačina (121) može zapisati kao

. (122)

Koristeći početni uslov (114), uzimajući u obzir (116), (117) i (119), dobijamo

. (123)

Dakle, pronaći željenu funkciju
dolazimo do Cauchyjevog problema (122), (123) za običnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu prvog reda. Koristeći Ojlerovu formulu, možemo napisati opšte rješenje jednačine (122)

,

i uzimajući u obzir (123), rješenje Cauchyjevog problema

.

Stoga, kada vrijednost ove funkcije zamijenimo izrazom (116), na kraju ćemo dobiti rješenje originalnog problema

(124)

gdje funkcionira f(x, t) i
definisani su formulama (118) i (120).

Primjer 14 Pronađite rješenje homogena jednačina paraboličnog tipa

pod početnim stanjem

(14.2)

i granični uslovi

. (14.3)

▲ Hajde da prvo izaberemo takvu funkciju  da zadovolji granične uslove (14.3). Neka, na primjer,  = xt 2. Onda

Stoga je funkcija definirana kao

zadovoljava jednačinu

(14.5)

homogeni granični uslovi

i nula početnih uslova

. (14.7)

Primjena Fourierove metode za rješavanje homogene jednadžbe

pod uslovima (14.6), (14.7), postavljamo

.

Dolazimo do sljedećeg Sturm-Liouville problema:

,
.

Rješavajući ovaj problem, nalazimo svojstvene vrijednosti

i njihove odgovarajuće vlastite funkcije

. (14.8)

Rješenje zadatka (14.5)-(14.7) traži se u obliku niza

, (14.9)

(14.10)

Zamena
od (14.9) do (14.5) dobijamo

. (14.11)

Da biste pronašli funkciju T n (t) proširiti funkciju (1- X) u Fourierovom redu u sistemu funkcija (14.8) na intervalu (0,1):

. (14.12)

,

a iz (14.11) i (14.12) dobijamo jednačinu

, (14.13)

koja je obična nehomogena linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Njegovo opće rješenje nalazimo pomoću Eulerove formule

i uzimajući u obzir uslov (14.10), nalazimo rješenje Cauchyjevog problema

. (14.14)

Iz (14.4), (14.9) i (14.14) nalazimo rješenje originalnog problema (14.1)-(14.3)

Zadaci za samostalan rad

Riješite početne granične probleme

3.4. Cauchyjev problem za jednadžbu topline

Prije svega, razmotrimo Cauchy problem za homogena jednačina toplote.

zadovoljavajući

Počnimo sa promjenom varijabli x i t na
i predstaviti funkciju
. Zatim funkcije
će zadovoljiti jednačine

gdje
- Greenova funkcija, definisana formulom

, (127)

i posjedovanje imovine

; (130)

. (131)

Množenje prve jednačine sa G* , a drugi za i a zatim zbrajanjem dobijenih rezultata dobijamo jednakost

. (132)

Nakon integracije po dijelovima jednakosti (132) preko u rasponu od -∞ do +∞ i u rasponu od 0 do t, dobijamo

Ako pretpostavimo da je funkcija
i njen derivat ograničeno na
, onda je, zbog svojstava (131), integral na desnoj strani (133) jednak nuli. Dakle, može se pisati

Zamjenjujući u ovoj jednakosti sa
, a
na
, dobijamo omjer

.

Dakle, koristeći formulu (127), konačno dobijamo

. (135)

Formula (135) se zove Poissonova formula i određuje rješenje Cauchyjevog problema (125), (126) za homogenu jednadžbu topline s nehomogenim početnim uvjetom.

Rjesenje Cauchyjev problem za nehomogenu toplotnu jednačinu

zadovoljavajući nehomogeno početno stanje

je zbir rješenja:

gdje je rješenje Cauchyjevog problema za homogenu toplotnu jednačinu . , koje zadovoljava nehomogen početni uslov, i rješenje je koje zadovoljava homogeni početni uvjet. Dakle, rješenje Cauchyjevog problema (136), (137) je određeno formulom

Primjer 15 Pronađite rješenje jednačine

(15.1)

za sljedeću raspodjelu temperature štapa:

▲ Štap je beskonačan, pa se rješenje može napisati pomoću formule (135)

.

As
u intervalu
jednaka konstantnoj temperaturi , a izvan ovog intervala temperatura je jednaka nuli, tada rješenje poprima oblik

. (15.3)

Pretpostavljajući u (15.3)
, dobijamo

.

Ukoliko

je integral vjerovatnoća, onda se konačno rješenje originalnog problema (13.1), (13.2) može izraziti formulom

.▲

Jednačina topline za nestacionarni slučaj

nestacionarni, ako temperatura tijela zavisi i od položaja tačke i od vremena.

Označiti sa i = i(M, t) temperatura u tački M uniformno telo, ograničena površinom S, u trenutku vremena t. Poznato je da je količina toplote dQ apsorbuje se tokom vremena dt, izražava se jednakošću

gdje dS− element površine, k− koeficijent unutrašnje toplotne provodljivosti, − izvod funkcije i u smjeru vanjske normale na površinu S. Pošto se širi u pravcu opadanja temperature, onda dQ> 0 ako je > 0, i dQ < 0, если < 0.

Iz jednakosti (1) slijedi

Sad hajde da nađemo Q drugi način. Odaberite element dV volumen V, omeđen površinom S. Količina toplote dQ primio element dV tokom dt, proporcionalno porastu temperature ovog elementa i masi samog elementa, tj.

gdje je gustina tvari, koeficijent proporcionalnosti, koji se naziva toplinski kapacitet tvari.

Iz jednakosti (2) slijedi

dakle,

gdje . Uzimajući u obzir da je = , , dobijamo

Zamjenom desne strane jednakosti uz pomoć formule Ostrogradskog-Greena, dobivamo

za bilo koju zapreminu V. Iz ovoga dobijamo diferencijalnu jednačinu

koji se zove jednačina toplote za nestacionarni slučaj.

Ako je tijelo štap usmjeren duž ose Oh, tada jednačina toplote ima oblik

Razmotrimo Cauchyjev problem za sljedeće slučajeve.

1. Slučaj neograničenog štapa. Pronađite rješenje jednačine (3) ( t> 0, ) koji zadovoljava početni uslov . Koristeći Fourierovu metodu, dobijamo rješenje u obliku

− Poissonov integral.

2. Stud case, ograničeno na jednoj strani. Rješenje jednadžbe (3), koje zadovoljava početni uvjet i granični uvjet , izražava se formulom

3. Stud case, omeđen sa obe strane. Cauchyjev problem je da X= 0 i X = l pronaći rješenje jednačine (3) koje zadovoljava početni uvjet i dva granična uvjeta, na primjer, ili .

U ovom slučaju, određeno rješenje se traži u obliku serije

za granične uslove,

i to u obliku serije

za granične uslove.

Primjer. Pronađite rješenje jednačine

zadovoljavanje početnih uslova

i granični uslovi.

□ Rješenje Cauchyjevog problema tražit ćemo u obliku

dakle,

Jednačina topline za stacionarni slučaj

Raspodjela toplote u tijelu se naziva stacionarno ako telesna temperatura i zavisi od položaja tačke M(X, at, z), ali ne zavisi od vremena t, tj.

i = i(M) = i(X, at, z).

U ovom slučaju, 0 i jednačina topline za stacionarni slučaj se pretvara u Laplaceova jednadžba

koji se često piše kao .

Na temperaturu i u tijelu je nedvosmisleno određeno iz ove jednačine, potrebno je znati temperaturu na površini S tijelo. Dakle, za jednačinu (1) problem graničnih vrijednosti je formulisan na sledeći način.

Pronađite funkciju i, zadovoljavajući jednačinu (1) unutar volumena V i primanje u svakoj tački M površine S setpoints

Ovaj zadatak se zove Dirichletov problem ili prvi granični problem za jednačinu (1).

Ako je temperatura na površini tijela nepoznata, a poznat je toplinski tok u svakoj točki površine, što je proporcionalno , tada na površini S umjesto graničnog uslova (2) imaćemo uslov

Problem pronalaženja rješenja jednadžbe (1) koje zadovoljava granični uvjet (3) naziva se Neumannov problem ili drugi granični problem.

Za ravne figure, Laplaceova jednačina se piše kao

Isti oblik ima Laplaceova jednadžba za prostor, ako i ne zavisi od koordinata z, tj. i(M) ostaje konstantan kako se tačka pomiče M u pravoj liniji paralelna osa Oz.

Zamjenom , jednačina (4) se može transformirati u polarne koordinate

Koncept harmonijske funkcije povezan je s Laplaceovom jednačinom. Funkcija se poziva harmonično u oblasti D, ako je u ovom području kontinuirano zajedno sa svojim derivatima do zaključno drugog reda i zadovoljava Laplaceovu jednačinu.

Primjer. Nađite stacionarnu raspodjelu temperature u tankom štapu s termoizoliranom bočnom površinom, ako je na krajevima štapa , .

□ Imamo jednodimenzionalni slučaj. Treba pronaći funkciju i, zadovoljavajući jednadžbu i granične uslove , . Opća jednačina navedene jednadžbe ima oblik . Uzimajući u obzir granične uslove, dobijamo

Dakle, raspodjela temperature u tankom štapu s termoizoliranom bočnom površinom je linearna. ■

Dirichletov problem za krug

Neka je zadan krug poluprečnika R centriran na polu O polarni koordinatni sistem. Potrebno je pronaći funkciju koja je harmonična u krugu i zadovoljava uvjet na svojoj kružnici, gdje je − datu funkciju, kontinuirano na kružnici. Željena funkcija mora zadovoljiti Laplaceovu jednačinu u krugu

Koristeći Fourierovu metodu, može se dobiti

− Poissonov integral.

Primjer. Pronađite stacionarnu raspodjelu temperature na homogenoj tankoj okrugloj ploči polumjera R, gornja polovina se drži na , a donja polovina na .

□ Ako , onda , i ako , onda . Raspodjela temperature je izražena integralom

Neka je tačka lokacije u gornjem polukrugu, tj. ; zatim se mijenja od do , a ovaj interval dužine ne sadrži točke . Stoga, uvodimo zamjenu , odakle , . Onda dobijamo

Pošto je desna strana negativna, onda i za zadovoljava nejednakosti . Za ovaj slučaj dobijamo rešenje

Ako se tačka nalazi u donjem polukrugu, tj. , tada interval promjene sadrži tačku, ali ne sadrži 0, i možemo napraviti zamjenu, odakle je , . Tada za ove vrijednosti imamo

Nakon sličnih transformacija nalazimo

Pošto je desna strana sada pozitivna, onda . ■

Metoda konačnih razlika za rješavanje jednadžbe topline

Neka je potrebno pronaći rješenje jednačine

zadovoljavajući:

početno stanje

i granični uslovi

Dakle, potrebno je pronaći rješenje jednačine (1) koje zadovoljava uslove (2), (3), (4), tj. potrebno je pronaći rješenje u pravokutniku omeđenom pravim linijama , , , , ako su vrijednosti željene funkcije date na njegove tri strane , , .

Konstruiramo pravokutnu mrežu koju čine linije

− korak duž ose Oh;

− korak duž ose Od.

Hajde da uvedemo notaciju:

Iz koncepta konačnih razlika možemo pisati

isto tako

Uzimajući u obzir formule (6), (7) i uvedenu notaciju, zapisujemo jednačinu (1) u obliku

Odavde dobijamo formulu za proračun

Iz (8) slijedi da ako su poznate tri vrijednosti k k sloj mreže: , , , tada možete odrediti vrijednost u ( k+ 1)ti sloj.

Početno stanje(2) omogućava vam da pronađete sve vrijednosti na liniji; granični uslovi (3), (4) nam omogućavaju da pronađemo vrijednosti na linijama i . Prema formuli (8) nalazimo vrijednosti na svim unutrašnjim tačkama sljedećeg sloja, tj. za k= 1. Vrijednosti željene funkcije u ekstremnim tačkama poznate su iz graničnih uslova (3), (4). Prelazeći s jednog sloja mreže na drugi, određujemo vrijednosti željenog rješenja na svim čvorovima mreže. ;

Toplotna provodljivost je jedan od vidova prenosa toplote. Prijenos topline može se vršiti različitim mehanizmima.

Sva tela emituju elektromagnetne talase. Na sobnoj temperaturi to je uglavnom infracrveno zračenje. Ovako to ide prenos toplote zračenja.

U prisustvu gravitacionog polja može biti još jedan mehanizam za prenos toplote u fluidima konvekcija. Ako se toplina dovodi u posudu koja sadrži tekućinu ili plin kroz dno, prije svega se zagrijavaju donji dijelovi tvari, njihova gustoća se smanjuje, oni isplivaju i odaju dio primljene topline u gornje slojeve.

Kod provođenja topline, prijenos energije se odvija kao rezultat direktnog prijenosa energije od čestica (molekula, atoma, elektrona) s većom energijom na čestice sa nižom energijom.

U našem kursu ćemo razmotriti prenos toplote provodnošću.

Razmotrimo prvo jednodimenzionalni slučaj, kada temperatura zavisi samo od jedne koordinate X. Neka dva medija budu razdvojena ravnom pregradom debljine l(Sl. 23.1). Temperature medija T 1 i T 2 se održavaju konstantnim. Empirijski se može utvrditi da je količina toplote Q prenosi se kroz dio particije sa površinom S tokom t jednaki

, (23.1)

pri čemu koeficijent proporcionalnosti k zavisi od materijala zida.

At T 1 > T 2 toplina se prenosi u smjeru pozitivne ose X, at T 1 < T 2 - u negativu. Smjer širenja topline može se uzeti u obzir ako u jednačini (23.1) zamijenimo ( T 1 - T 2)/l na (- dT/dx). U jednodimenzionalnom slučaju, derivacija dT/dx predstavlja temperaturni gradijent. Podsjetimo da je gradijent vektor čiji se smjer poklapa sa smjerom najbržeg porasta skalarna funkcija koordinate (u našem slučaju T), a modul je jednak omjeru prirasta funkcije s malim pomakom u ovom smjeru i udaljenosti na kojoj je došlo do ovog prirasta.

Da bismo jednadžbama koje opisuju prijenos topline dali opštiji i univerzalniji oblik, razmotrimo gustina toplotnog fluksa j - količina prenesene topline po jedinici površine u jedinici vremena

Tada se relacija (23.1) može zapisati kao

Ovdje znak minus odražava činjenicu da je smjer toka topline suprotan smjeru gradijenta temperature (smjer njegovog povećanja). Dakle, gustina toplotnog toka je vektorska veličina. Vektor gustine toplotnog toka je usmeren u pravcu opadanja temperature.

Ako temperatura medija zavisi od sve tri koordinate, onda relacija (23.3) poprima oblik

gdje , - temperaturni gradijent ( e 1 ,e 2 ,e 3 - jedinični vektori koordinatnih osa).

Relacije (23.3) i (23.4) predstavljaju osnovni zakon provođenja toplote (Fourierov zakon): gustina toplotnog toka je proporcionalna temperaturnom gradijentu. Koeficijent proporcionalnosti k se zove toplotna provodljivost(ili samo toplotnu provodljivost). Jer dimenzija gustine toplotnog fluksa [ j] = J / (m 2 s), a temperaturni gradijent [ dT/dx] = K/m, tada je dimenzija koeficijenta toplotne provodljivosti [k] = J/(m×s×K).

U općenitom slučaju, temperatura na različitim mjestima neravnomjerno zagrijane tvari mijenja se s vremenom. Razmotrimo jednodimenzionalni slučaj kada temperatura zavisi samo od jedne prostorne koordinate X i vrijeme t, i dobijamo toplotna jednačina je diferencijalna jednadžba koju funkcija zadovoljava T = T(x,t).

Mentalno izdvojimo u mediju element malog volumena u obliku cilindra ili prizme, čija je generatrisa paralelna s osi X, a osnovice su okomite (slika 23.2). Područje baze S, i visina dx. Masa ovog volumena dm= r sdx, i njegov toplinski kapacitet c×dm gdje je r gustina materije, sa - specifična toplota. Ostavite na kratko dt temperatura u ovoj zapremini se promenila za dT. Da biste to učinili, tvar u volumenu mora primiti količinu topline jednaku umnošku njenog toplinskog kapaciteta i promjene temperature: . S druge strane, d Q može ući u zapreminu samo kroz osnove cilindra: (gustine toplotnih tokova j može biti pozitivan ili negativan). Izjednačavanje izraza za d Q, dobijamo

.

Zamjenom odnosa malih prirasta odgovarajućim derivatima dolazimo do relacije

. (23.5)

Zamijenite u formuli (23.5) izraz (23.3) za gustinu toplotnog fluksa

. (23.6)

Rezultirajuća jednačina se zove toplotna jednačina. Ako je medij homogen i toplinska provodljivost k ne ovisi o temperaturi, jednačina poprima oblik

, (23.7)

gdje se zove konstanta termička difuzivnost okruženje.

Jednačine (23.6) - (23.8) su zadovoljene nebrojenim skupom funkcija T = T(x,t).

Da bi se izolovalo jedinstveno rešenje jednačine toplote, potrebno je jednačini dodati početne i granične uslove.

Početni uslov je postavljanje distribucije temperature u mediju T(X,0) u početno vrijeme t = 0.

Granični uslovi mogu biti različiti u zavisnosti od temperaturnog režima na granicama. Najčešće postoje situacije kada je temperatura ili gustina toplotnog toka specificirana na granicama kao funkcija vremena.

U nekim slučajevima mogu postojati izvori topline u okolini. Toplota se može osloboditi kao rezultat prolaska električna struja, hemijske ili nuklearne reakcije. Prisutnost izvora topline može se uzeti u obzir uvođenjem volumetrijske gustine oslobađanja energije q(x,y,z), jednak količini toplote koju oslobađaju izvori po jedinici zapremine medija u jedinici vremena. U ovom slučaju, termin će se pojaviti na desnoj strani jednačine (23.5) q:

.

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko problema za određivanje temperaturnih polja za relativno jednostavne geometrijske i fizičke uslove koji omogućavaju analitička rješenja koja su jednostavna po obliku i istovremeno pružaju korisnu ilustraciju karakteristike fizički procesi povezan sa prenosom toplote u čvrstom stanju.

Zamislite štap sa termoizolovanom bočnom površinom (slika 38). U tom slučaju prijenos topline se može odvijati duž štapa. Ako kombinujete štap sa osovinom Kartezijanski sistem koordinate, tada će stacionarna jednačina topline imati oblik

Pri konstantnim vrijednostima koeficijenta toplinske provodljivosti zapreminske snage oslobađanja topline, posljednja jednadžba se može integrirati dva puta

(75)

Konstante integracije se mogu naći iz graničnih uslova. Na primjer, ako je temperatura na krajevima štapa , . Tada iz (75) imamo

Odavde nalazimo konstante integracije i . Rješenje pod naznačenim graničnim uslovima će poprimiti oblik

Iz posljednje formule se vidi da u nedostatku izvora topline . Temperatura u štapu linearno varira od jedne granične vrijednosti do druge

Razmotrimo sada drugu kombinaciju graničnih uslova. Neka vanjski izvor stvara toplinski tok na lijevom kraju štapa. Na desnom kraju štapa zadržavamo prethodni uslov, tako da imamo

Izražavajući ove uslove uz pomoć opšteg integrala (75), dobijamo sistem u odnosu na konstante integracije

Nakon što smo pronašli nepoznate konstante iz rezultujućeg sistema, dobijamo rešenje u obliku

Kao iu prethodnom primjeru, u nedostatku unutrašnjih izvora oslobađanja topline, raspodjela temperature duž štapa bit će linearna

U ovom slučaju, temperatura na lijevom kraju štapa, gdje se nalazi vanjski izvor topline, bit će jednaka .

Kao sljedeći primjer, pronađimo stacionarnu raspodjelu temperature duž radijusa u kontinuiranom dugom kružnom cilindru (slika 39). U ovom slučaju, upotreba od cilindrični sistem koordinate. U slučaju cilindra sa velikim odnosom dužine i poluprečnika i konstantama distribucije

Kao unutrašnji izvor oslobađanja toplote, temperatura daleko od krajeva cilindra može se smatrati nezavisnom od aksijalne koordinate cilindričnog sistema. Tada jednačina stacionarne topline (71) poprima oblik

Dvostruka integracija posljednje jednadžbe (za konstantu) daje

Uslov simetrije za raspodjelu temperature na osi cilindra () daje

Gde da stignemo

Posljednji uvjet će biti zadovoljen za . Neka se temperatura podesi na površini cilindra (). Tada se iz jednačine može naći druga konstanta integracije

Odavde nalazimo i zapisujemo rješenje u konačnom obliku

Kao numerički primjer primjene dobivenog rezultata razmatramo raspodjelu temperature u plazmi cilindričnog lučnog pražnjenja polumjera mm. Granica kanala pražnjenja formira se kao područje u kojem se zaustavljaju procesi jonizacije. Videli smo iznad da primetna jonizacija gasa tokom zagrevanja prestaje na K. Stoga se smanjena vrednost može uzeti kao granica K. Zapreminska gustina snage oslobađanja toplote u pražnjenoj plazmi može se naći iz Joule–Lenzovog zakona , gdje σ je električna provodljivost plazme, E- tenzija električno polje u kanalu za pražnjenje. Karakteristične vrijednosti za lučno pražnjenje su 1/Ohm m, V/m. Toplotna provodljivost lučne plazme je veća nego u neutralnom gasu; na temperaturama reda od 10.000 K njena vrijednost se može uzeti jednakom. Dakle, parametar . Raspodjela temperature duž radijusa prikazana je na sl. 39. U ovom slučaju, temperatura na osi pražnjenja () će biti 8000 K.

U sljedećem primjeru razmatramo termalno polje sa sfernom simetrijom. Takvi uvjeti nastaju, posebno, ako se u njemu nalazi mali izvor topline veliki niz, na primjer, međuzavojni kvar u namotaju velike električne mašine. U ovom slučaju, poravnavanje centra sferni sistem koordinira sa izvorom oslobađanja toplote, stacionarnu toplotnu jednačinu (64) možemo dovesti do oblika:

Integrirajući ovu jednačinu dvaput, nalazimo

Da se vratimo na naš primjer, pretpostavimo da se lučni rasjed odvija unutar sferne šupljine polumjera (slika 40). Uzmimo otpor lučnog pražnjenja jednak Ohm, struja pražnjenja A. Tada će snaga oslobođena u šupljini biti . Razmotrimo rješenje izvan opsega izvora topline.

Tada integral jednadžbe topline postaje jednostavniji

Da bismo izračunali integracione konstante, prvo koristimo uslov u tačkama beskonačno udaljenim od mesta pražnjenja, gde je C temperatura okoline. Iz posljednjeg izraza nalazimo . Da bismo odredili konstantu, pretpostavljamo da je pražnjenje toplotnu energiju ravnomjerno raspoređena po površini sferne šupljine polumjera . Stoga će toplinski tok na granici šupljine biti

Ukoliko , onda iz posljednje dvije jednačine imamo

i konačnu odluku

U ovom slučaju, temperatura na granici šupljine (mm) na W/mK će biti K (Sl. 40).

Kao prvi primjer ove grupe, razmotrite termičko polje u poprečnom presjeku okrugle žice sa kanalom za hlađenje (Sl. 41, a). Žice sa kanalima za hlađenje koriste se u namotajima snažnih električnih mašina i zavojnica za proizvodnju jakih magnetnih polja. Ove uređaje karakterizira dug tok struja s amplitudom od stotina, pa čak i hiljada ampera. Na primjer, pumpa se tekućina, kao što je voda, ili plin (vodik, zrak), što osigurava odabir toplinske energije sa unutrašnje površine kanala i hlađenje žice u cjelini. U ovom slučaju radi se o prisilnom konvektivnom hlađenju površine kanala, za šta možemo koristiti granični uvjet treće vrste koji je gore opravdan (67). Ako kombinujemo os cilindričnog koordinatnog sistema sa osom žice, tada će temperatura zavisiti samo od radijalne koordinate. Opšti integral jednadžbe stacionarne topline za ovaj slučaj smo dobili ranije

Volumetrijska gustina snage oslobađanja topline nalazi se iz Joule-Lenzovog zakona: , j- gustina struje, σ - električna provodljivost,

gdje R- radijus preseka žice, a- radijus rashladnog kanala. Žica je sa vanjske strane okružena slojevima izolacije, koja u odnosu na vodič ima relativno nisku toplinsku provodljivost. Stoga, u prvoj aproksimaciji, prihvaćamo vanjsku površinu žice kao toplinski izoliranu, tj. toplinski tok na njoj

Na površini rashladnog kanala, toplotni tok je određen stanjem treće vrste

gdje je koeficijent prolaza topline, temperatura rashladnog toka. Znak minus na desnoj strani uzima se zbog činjenice da je normala na unutrašnju površinu kanala usmjerena u smjeru suprotnom od osi.

Zamjenom izraza za temperaturu (76) u prvi od napisanih graničnih uslova, dobijamo

gdje . Drugi granični uslov daje

gde da nađemo

Međutim, od (76)

Upoređujući posljednja dva izraza, nalazimo

Nakon zamjene pronađenih konstanti u opće rješenje (76) i transformacija, dobijamo

Temperatura na granicama preseka žice iz dobijenog rastvora izračunava se po formulama

Raspodjela temperature duž radijusa presjeka za žicu sa kanalom za hlađenje sa parametrima: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm je prikazano na sl. 41, b.

Od sl. 41, b proizilazi da je unutar poprečnog presjeka žice promjena temperature relativno mala u odnosu na njenu prosječnu vrijednost, što se objašnjava visokom toplotnom provodljivošću λ i relativno male dimenzije poprečnog presjeka žice.

Drugačija situacija nastaje u raspodjeli temperature duž žice, koja se sastoji od odvojenih dijelova koji su u kontaktu jedan s drugim. Pogoršanje kvalitete kontakata između spojenih vodiča dovodi do povećanja proizvodnje topline na spoju dvije žice u odnosu na samu žicu. Daljinsko mjerenje temperature žice pomoću termovizira ili pirometara omogućava dijagnosticiranje kvaliteta kontaktnih veza.

Izračunajmo raspodjelu temperature duž žice u prisustvu neispravnog kontakta. Prethodni primjer je pokazao da je čak i pod najtežim uvjetima promjena temperature unutar presjeka žice vrlo mala. Stoga, za naš proračun možemo, u prvoj aproksimaciji, pretpostaviti da je raspodjela temperature unutar poprečnog presjeka žice ujednačena. Raspodjela proizvodnje topline duž žice ovisi o distribuciji električni otpor duž žice, koja je ujednačena dalje od kontakta i povećava se kako se približava. Kombinujmo osu Dekartovog koordinatnog sistema sa osom žice, a ishodište koordinata - sa centrom kontaktne površine (Sl. 42). Kao model raspodjele otpora duž žice uzimamo sljedeću raspodjelu linearnog otpora

gdje je , parametar koji karakterizira linearnu veličinu kontaktne površine . Snaga odvođenja topline po jedinici dužine žice je . Po jedinici zapremine, snaga oslobađanja toplote je

gdje S- presek žice. Žica se hladi prirodnom konvekcijom sa svoje površine. Konvektivni toplotni tok po jedinici dužine žice je

gdje α - koeficijent prolaza toplote, - temperatura ambijentalnog vazduha, str- perimetar presjeka žice. Rasipanje toplote u okruženje po jedinici zapremine provodnika će biti

Stacionarna raspodjela temperature duž žice će odgovarati jednadžbi provodljivosti topline

Za dalje transformacije rezultirajuće jednačine uzimamo konstantu koeficijenta toplinske provodljivosti duž žice, zamjenjujemo gornje izraze za i , a također kao željenu funkciju umjesto T uzmimo:

dolazimo do linearne nehomogene diferencijalna jednadžba

Rješenje rezultirajuće jednačine tražit ćemo u obliku zbira općeg rješenja homogene jednačine

i posebno rješenje u obliku desne strane

.