Combiniamo l'origine delle coordinate con il punto di intersezione delle linee d'azione delle forze del sistema. Proiettiamo tutte le forze sugli assi delle coordinate e riassumiamo le proiezioni corrispondenti (Fig. 7.4). Otteniamo le proiezioni della risultante sugli assi delle coordinate:

Il modulo del sistema risultante di forze convergenti è determinato dalla formula

La direzione del vettore risultante è determinata dagli angoli

Sistema spaziale arbitrario di forze

Portare al centro un sistema spaziale arbitrario di forze O.

Viene fornito un sistema spaziale di forze (Fig. 7.5, a). Portiamolo al centro O.

Le forze devono essere mosse in parallelo, formando così un sistema di coppie di forze. Il momento di ciascuna di queste coppie è uguale al prodotto del modulo di forza per la distanza dal centro di riduzione.

Nel centro di riduzione sorge un raggio di forze, che può essere sostituito da una forza totale (vettore principale) FGL (Fig. 7.5, B).

I momenti delle coppie di forze possono essere sommati per ottenere il momento totale del sistema M ch (momento principale).

Pertanto, un sistema spaziale arbitrario di forze è ridotto al vettore principale e al momento principale.

È consuetudine scomporre il vettore principale in tre componenti dirette lungo gli assi delle coordinate (Fig. 7.5, c).

Di solito, il momento totale viene scomposto in componenti: tre momenti attorno agli assi delle coordinate.

Il valore assoluto del vettore principale (Fig. 7.5b) è

Il valore assoluto del momento principale è determinato dalla formula.

Equazioni di equilibrio del sistema spaziale delle forze

In equilibrio F cap = 0; Mhl = 0. Otteniamo sei equazioni di equilibrio:

Sei equazioni di equilibrio del sistema spaziale di forze corrispondono a sei indipendenti possibili movimenti corpi nello spazio: tre spostamenti lungo gli assi coordinati e tre rotazioni attorno a questi assi.

Esempi di problem solving

Esempio 1 Sul corpo a forma di cubo con un bordo ma\u003d 10 cm, agiscono tre forze (Fig. 7.6). Determina i momenti delle forze attorno agli assi coordinati che coincidono con i bordi del cubo.

Soluzione

1. Momenti di forze attorno all'asse Oh:

2. Momenti di forze attorno all'asse UO.

Esempio 2 Due ruote sono fissate su un albero orizzontale, r 1 = 0,4 m; g 2 \u003d 0,8 m Le dimensioni rimanenti sono in fig. 7.7. Forza applicata alla ruota 1 F1, alla ruota 2 - forza F2= 12 kN, F3= 4 kN.

Determina la forza F1 e reazioni nei cardini MA e IN in uno stato di equilibrio.

Richiamare:

1. All'equilibrio, sono soddisfatte sei equazioni di equilibrio.

Le equazioni dei momenti dovrebbero essere scritte rispetto ai supporti A e B.

2. Forze F 2 \\O X; F 2 \\Oy;F 3 \\Oy.

I momenti di queste forze attorno agli assi corrispondenti sono uguali a zero.

3. Il calcolo deve essere completato controllando utilizzando equazioni di equilibrio aggiuntive.

Soluzione

1. Determina la forza F\, compilando l'equazione dei momenti delle forze attorno all'asse Oz:

2. Determinare le reazioni nel supporto MA. Due componenti della reazione agiscono sul supporto ( Y A ; X A ).

Componiamo l'equazione dei momenti delle forze attorno all'asse Oh"(in aiuto IN).

Rotazione attorno ad un asse Oh" non sta succedendo:

Il segno meno significa che la reazione è nella direzione opposta.

Rotazione attorno ad un asse UO" non si verifica, elaboriamo l'equazione dei momenti delle forze attorno all'asse UO"(in aiuto IN):

3. Determiniamo le reazioni nel supporto B. Due componenti della reazione agiscono sul supporto ( X B , Y B ). Componiamo l'equazione dei momenti delle forze attorno all'asse Oh(sostegno MA):

Componiamo l'equazione dei momenti attorno all'asse UO(sostegno MA):

4. Verifica. Usiamo le equazioni di proiezione:

Il calcolo è stato eseguito correttamente.

Esempio 3 Determina il valore numerico della forza P1 , in cui l'albero sole(Fig. 1.21, ma) sarà in equilibrio. Con il valore trovato della forza R 1 definire reazioni di supporto.

Forze agenti sugli ingranaggi R e R 1 diretto lungo le tangenti ai cerchi iniziali delle ruote; forza T e T1 - lungo i raggi delle ruote; forza A 1 parallela all'asse dell'albero. T \u003d 0.36P, 7T 1 \u003d P 1; A 1 \u003d 0,12P 1.

Soluzione

I supporti dell'albero mostrati in fig. 1.21, a, devono essere considerati come supporti spaziali incernierati che impediscono movimenti lineari nelle direzioni degli assi e e v(il sistema di coordinate selezionato è mostrato in Fig. 1.21, B).

Liberiamo l'albero dai legami e sostituiamo la loro azione con reazioni V B, H B, V C, H C (Fig. 1.21, B). Abbiamo ottenuto un sistema spaziale di forze, per il quale componiamo le equazioni di equilibrio utilizzando il sistema di coordinate selezionato (Fig. 1.21.6):

dove A 1*1.25D/2 - momento relativo all'asse e forza A 1 , attaccato alla marcia giusta.

Momenti sull'asse e forze T1 e A 1(applicato all'ingranaggio centrale), P 1 (applicato all'ingranaggio destro) e P sono uguali a zero, poiché le forze P, T 1, P 1 sono parallele all'asse E, e la forza A 1 attraversa l'asse E.

dove V C \u003d 0,37P;

dove VB=0.37P.

da qui le reazioni VB e V C definito correttamente;

dove A 1 * 1,25D/2- momento attorno all'asse v forza A 1 , applicato all'ingranaggio centrale.

Momenti sull'asse v forze T, P 1 (applicato alla marcia centrale), A 1 e T1(applicato alla marcia destra) sono pari a zero, poiché le forze T, R 1 , T 1 parallelo all'asse v, forza A 1 incrocia l'asse v.

da cui H C \u003d 0,81 P;

da cui H C \u003d 1.274 P

Facciamo un'equazione di prova:

da qui le reazioni H B e H S definito correttamente.

In conclusione, notiamo che le reazioni di supporto si sono rivelate con un segno più. Ciò indica che le direzioni scelte V B, H B, V C e H S coincidono con le effettive direzioni delle reazioni di legame.

Esempio 4 La pressione della biella del motore a vapore P = 25 kN viene trasmessa al centro del perno dell'albero a gomiti in quel punto D ad angolo α \u003d 30 ° all'orizzonte con una disposizione verticale delle guance del ginocchio (Fig. 1.22). Una puleggia della cinghia è montata all'estremità dell'albero. La tensione del ramo conduttore della cinghia è doppia di quella condotta, cioè S 1 \u003d 2S 2. Gravità del volano G = 10 kN.

Determinare la tensione dei rami della trasmissione a cinghia e la reazione dei cuscinetti MA e IN, trascurando la massa dell'albero.

Soluzione

Consideriamo l'equilibrio di un albero motore orizzontale con una puleggia. Applichiamo in base alla condizione del problema date forze P, S 1 , S 2 e G . Rilasciamo l'albero dai dispositivi di fissaggio del supporto e sostituiamo la loro azione con reazioni VA, HA, V B e NV. Coordinare gli assi scegliere come mostrato in Fig. 1.22. nei cardini MA e IN nessuna reazione avviene lungo l'asse w, poiché la tensione dei rami della cintura e tutte le altre forze agiscono in piani perpendicolari a tale asse.

Componiamo le equazioni di equilibrio:

Inoltre, a seconda della condizione del problema, abbiamo un'altra equazione

Quindi ci sono sei sforzi sconosciuti qui. S 1, S 2, HA, VA, H B e VB e sei equazioni che li mettono in relazione.

Equazione delle proiezioni sull'asse w nell'esempio in esame diventa l'identità 0 = 0, poiché tutte le forze giacciono su piani perpendicolari all'asse w.

Sostituendo S 1 \u003d 2S 2 nelle equazioni di equilibrio e risolvendole, troviamo:

Valore di reazione H B si è rivelato con un segno meno. Ciò significa che in realtà la sua direzione è opposta a quella presa in Fig. 1.22.

Controllare le domande e le attività

1. Annotare le formule per calcolare il vettore principale del sistema spaziale delle forze convergenti.

2. Annotare la formula per calcolare il vettore principale di un sistema spaziale di forze localizzate arbitrariamente.

3. Annotare la formula per calcolare il momento principale del sistema spaziale di forze.

4. Annotare il sistema di equazioni di equilibrio per il sistema spaziale di forze.

5. Quale delle equazioni di equilibrio dovrebbe essere utilizzata per determinare la reazione dell'asta R 1 (Fig. 7.8)?

6. Determinare il momento principale del sistema di forze (Fig. 7.9). Il punto di riferimento è l'origine delle coordinate. Gli assi delle coordinate coincidono con i bordi del cubo, il bordo del cubo è di 20 cm; F 1 - 20 kN; F 2 - 30 kN.

7. Determinare la reazione Xv (Fig. 7.10). Un asse verticale con una puleggia è caricato con due forze orizzontali. Forze F1 e F2 parallelo all'asse Oh. AO = 0,3 m; OV= 0,5 m; F 1 = 2 kN; F 2 = 3,5 kN.

Raccomandazione. Scrivi l'equazione dei momenti attorno all'asse UO" al punto MA.

8. Rispondi alle domande del test.

Vengono presi in considerazione metodi per risolvere problemi di equilibrio con un sistema di forze spaziale arbitrario. Un esempio di soluzione del problema dell'equilibrio di una soletta sostenuta da aste in spazio tridimensionale. Viene mostrato come, grazie alla scelta degli assi durante la compilazione delle equazioni di equilibrio, sia possibile semplificare la soluzione del problema.

Contenuto

La procedura per risolvere problemi di equilibrio con un sistema spaziale arbitrario di forze

Per risolvere il problema dell'equilibrio corpo solido con un sistema spaziale arbitrario di forze, è necessario scegliere un sistema di coordinate rettangolare e, rispetto ad esso, elaborare equazioni di equilibrio.

Le equazioni di equilibrio per un sistema arbitrario di forze distribuite nello spazio tridimensionale sono due equazioni vettoriali:
somma vettoriale le forze che agiscono sul corpo sono nulle
(1) ;
la somma vettoriale dei momenti delle forze, relativa all'origine, è uguale a zero
(2) .

Sia Oxyz il nostro sistema di coordinate scelto. Proiettando le equazioni (1) e (2) sull'asse di questo sistema, otteniamo sei equazioni:
le somme delle proiezioni delle forze sull'asse xyz sono uguali a zero
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
le somme dei momenti delle forze attorno agli assi coordinati sono uguali a zero
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Qui consideriamo che n forze agiscono sul corpo, comprese le forze di reazione degli appoggi.

Lascia stare forza arbitraria, con i componenti , è fissato al corpo in corrispondenza del punto . Quindi i momenti di questa forza rispetto agli assi delle coordinate sono determinati dalle formule:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Pertanto, la procedura per risolvere il problema, per l'equilibrio con un sistema spaziale arbitrario di forze, è la seguente.

1. Scartiamo i supporti e li sostituiamo con forze di reazione. Se il supporto è un'asta o una filettatura, la forza di reazione è diretta lungo l'asta o la filettatura.
2. Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare Oxyz.
3. Troviamo le proiezioni dei vettori di forza sugli assi delle coordinate, e i loro punti di applicazione, . Il punto di applicazione della forza può essere spostato lungo una linea retta tracciata attraverso il vettore della forza. Da tale spostamento, i valori dei momenti non cambieranno. Pertanto, scegliamo i punti più convenienti per il calcolo dell'applicazione delle forze.
4. Componiamo tre equazioni di equilibrio per le forze (1.x,y,z).
5. Per ciascuna forza, secondo le formule (3.x,y,z), troviamo le proiezioni dei momenti di forza sugli assi coordinati.
6. Componiamo tre equazioni di equilibrio per i momenti delle forze (2.x, y, z).
7. Se il numero di variabili più numero equazioni, allora il problema è staticamente indeterminato. Non può essere risolto con metodi statici. È necessario utilizzare metodi di resistenza dei materiali.
8. Risolviamo le equazioni risultanti.

Semplificazione dei calcoli

In alcuni casi, è possibile semplificare i calcoli utilizzando una condizione di equilibrio equivalente invece dell'Eq. (2).
La somma dei momenti delle forze attorno ad un asse arbitrario AA′ è uguale a zero:
(4) .

Cioè, puoi selezionare diversi assi aggiuntivi che non coincidono con gli assi delle coordinate. E riguardo a questi assi fare le equazioni (4).

Un esempio di soluzione del problema dell'equilibrio di un sistema spaziale arbitrario di forze

L'equilibrio della lastra, nello spazio tridimensionale, è mantenuto da un sistema di aste.

Trova le reazioni delle aste che sostengono una lastra orizzontale sottile e uniforme in tre dimensioni. Il sistema di attacco dell'asta è mostrato in figura. La piastra risente di: gravità G; e la forza P applicata nel punto A, diretta lungo il lato AB.

Dato:
G= 28 kN; P= 35 kN; un = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

La soluzione del problema

In primo luogo, risolveremo questo problema in un modo standard applicabile a un sistema spaziale arbitrario di forze. E poi otteniamo una soluzione più semplice, basata sulla geometria specifica del sistema, dovuta alla scelta degli assi durante la compilazione delle equazioni di equilibrio.

Risolvere il problema in modo standard

Sebbene questo metodo ci porti a calcoli piuttosto ingombranti, è applicabile a un sistema spaziale arbitrario di forze e può essere utilizzato nei calcoli al computer.

Scartiamo i legami e sostituiamoli con forze di reazione. Le connessioni qui sono le aste 1-6. Al loro posto, introduciamo forze dirette lungo le aste. Le direzioni delle forze sono scelte a caso. Se non indoviniamo con la direzione di alcuna forza, otterremo un valore negativo per essa.

Disegna un sistema di coordinate Oxyz con origine nel punto O .

Troviamo le proiezioni delle forze sugli assi delle coordinate.

Per forza abbiamo:
.
Qui α 1 - angolo tra LQ e BQ. Da triangolo rettangolo LQB:
m;
;
.

Forze e sono parallele all'asse z. I loro componenti:
;
;
.

Per forza troviamo:
.
Qui α 3 - angolo tra QT e DT. Dal triangolo rettangolo QTD:
m;
;
.

Per forza:
.
Qui α 5 - angolo tra LO e LA. Dal triangolo rettangolo LOA:
m;
;
.

La forza è diretta in diagonale cuboide. Ha le seguenti proiezioni sugli assi delle coordinate:
.
Ecco i coseni di direzione della diagonale AQ:
m;
;
;
.

Selezioniamo i punti di applicazione delle forze. Sfruttiamo il fatto che possono essere spostati lungo le linee tracciate attraverso i vettori di forza. Quindi, come punto di applicazione della forza, puoi prendere qualsiasi punto sulla linea TD. Prendiamo un punto T, perché per esso xez - le coordinate sono uguali a zero:
.
In modo simile, selezioniamo i punti di applicazione delle forze rimanenti.

Di conseguenza, otteniamo i seguenti valori delle componenti di forza e dei punti della loro applicazione:
; (punto B );
; (punto Q );
; (punto T );
; (punto O );
; (punto A );
; (punto A );
; (punto A );
; (punto K).

Componiamo le equazioni di equilibrio per le forze. Le somme delle proiezioni delle forze sugli assi delle coordinate sono uguali a zero.

;

;

.

Troviamo le proiezioni dei momenti delle forze sugli assi coordinati.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Componiamo le equazioni di equilibrio per i momenti delle forze. La somma dei momenti delle forze attorno agli assi coordinati è uguale a zero.


;


;


;

Quindi, abbiamo il seguente sistema di equazioni:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(P6) .

Questo sistema ha sei equazioni e sei incognite. Inoltre, qui puoi sostituire i valori numerici e ottenere la soluzione del sistema utilizzando un programma matematico per il calcolo del sistema equazioni lineari.

Ma, per questo compito, puoi ottenere una soluzione senza utilizzare fondi informatica.

Un modo efficiente per risolvere un problema

Sfrutteremo il fatto che le equazioni di equilibrio possono essere scritte in più di un modo. È possibile scegliere arbitrariamente il sistema di coordinate e gli assi rispetto ai quali vengono calcolati i momenti. A volte, grazie alla scelta degli assi, si possono ottenere equazioni che si risolvono in modo più semplice.

Approfittiamo del fatto che, a conti fatti, la somma dei momenti delle forze attorno a qualsiasi asse è zero. Prendiamo l'asse AD. La somma dei momenti delle forze attorno a questo asse è zero:
(P7) .
Inoltre, si noti che tutte le forze tranne che attraversano questo asse. Pertanto, i loro momenti sono uguali a zero. Solo una forza non attraversa l'asse AD. Inoltre non è parallelo a questo asse. Pertanto, affinché l'equazione (A7) sia valida, la forza N 1 dovrebbe essere zero:
n 1 = 0 .

Ora prendiamo l'asse AQ. La somma dei momenti delle forze ad essa relativi è uguale a zero:
(P8) .
Questo asse è attraversato da tutte le forze tranne . Poiché la forza non è parallela a questo asse, allora affinché l'equazione (A8) sia soddisfatta, è necessario che
n 3 = 0 .

Prendiamo ora l'asse AB. La somma dei momenti delle forze ad essa relativi è uguale a zero:
(P9) .
Questo asse è attraversato da tutte le forze tranne , e . Ma n 3 = 0 . Ecco perché
.
Il momento della forza attorno all'asse è uguale al prodotto del braccio della forza per la proiezione della forza sul piano perpendicolare all'asse. La spalla è uguale alla distanza minima tra l'asse e la retta tracciata attraverso il vettore forza. Se la torsione è nella direzione positiva, la coppia è positiva. Se è negativo, allora è negativo. Quindi
.
Da qui
kN.

Le forze rimanenti possono essere trovate dalle equazioni (P1), (P2) e (P3). Dall'equazione (P2):
n 6 = 0 .
Dalle equazioni (P1) e (P3):
kN;
kN

Quindi, risolvendo il problema nel secondo modo, abbiamo utilizzato le seguenti equazioni di equilibrio:
;
;
;
;
;
.
Di conseguenza, abbiamo evitato calcoli ingombranti relativi al calcolo dei momenti delle forze attorno agli assi delle coordinate e ottenuti sistema lineare equazioni con una matrice diagonale di coefficienti, che è stata immediatamente risolta.

n 1 = 0 ; n 2 = 14,0 kN; n 3 = 0 ; n 4 = -2,3 kN; n 5 = 38,6 kN; n 6 = 0 ;

Il segno meno indica che la forza N 4 diretto nel senso opposto a quello mostrato in figura.

DIR= 0 e m R x= R y= R z = 0 e m x= m y= m

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale arbitrario di forze.

Un sistema spaziale arbitrario di forze, come uno piatto, può essere portato a un centro DI e sostituire con una forza risultante e una coppia con un momento. Argomentando in modo tale che per l'equilibrio di questo sistema di forze sia necessario e sufficiente che allo stesso tempo R= 0 e m o \u003d 0. Ma i vettori possono svanire solo quando tutte le loro proiezioni sugli assi delle coordinate sono uguali a zero, cioè quando R x= R y= R z = 0 e m x= m y= m z = 0 o quando le forze agenti soddisfano le condizioni

Pertanto, per l'equilibrio di un sistema spaziale arbitrario di forze, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze su ciascuno dei tre assi coordinati e la somma dei loro momenti attorno a questi assi sia uguale a zero.

Principi di risoluzione dei problemi sull'equilibrio di un corpo sotto l'azione di un sistema spaziale di forze.

Il principio di risoluzione dei problemi in questa sezione rimane lo stesso di sistema piatto forze. Stabilito l'equilibrio di quale corpo sarà considerato, sostituiscono i legami imposti al corpo con le loro reazioni e creano le condizioni per l'equilibrio di questo corpo, considerandolo libero. Le quantità richieste sono determinate dalle equazioni ottenute.

Per ottenere sistemi di equazioni più semplici, si consiglia di disegnare gli assi in modo che intersechino più forze sconosciute o siano perpendicolari ad esse (a meno che ciò non complichi inutilmente il calcolo delle proiezioni e dei momenti di altre forze).

Un nuovo elemento nella formulazione delle equazioni è il calcolo dei momenti delle forze attorno agli assi delle coordinate.

Nei casi in cui è difficile vedere dal disegno generale quale sia il momento di una data forza rispetto a qualche asse, si raccomanda di rappresentare sul disegno ausiliario la proiezione del corpo in questione (insieme alla forza) su un piano perpendicolare a questo asse.

Nei casi in cui, nel calcolo del momento, ci sono difficoltà nel determinare la proiezione della forza sul piano corrispondente o sulle spalle di tale proiezione, si raccomanda di scomporre la forza in due componenti reciprocamente perpendicolari (di cui una parallela a qualsiasi asse delle coordinate), quindi utilizzare il teorema di Varignon.

Esempio 5

Telaio AB(fig.45) è tenuto in equilibrio da un cardine MA e asta sole. Sul bordo del telaio c'è un carico che pesa R. Determiniamo le reazioni della cerniera e la forza nell'asta.

Fig.45

Consideriamo l'equilibrio del telaio insieme al carico.

Costruiamo uno schema di calcolo, raffigurando il telaio come un corpo libero e mostrando tutte le forze che agiscono su di esso: le reazioni dei legami e il peso del carico R. Queste forze formano un sistema di forze posizionate arbitrariamente sul piano.

È desiderabile comporre tali equazioni in modo che ciascuna abbia una forza sconosciuta.

Nel nostro problema, questo è il punto MA, dove vengono applicate le incognite e; punto DA, dove le linee di azione di forze sconosciute e si intersecano; punto D- il punto di intersezione delle linee di azione delle forze e. Facciamo l'equazione delle proiezioni delle forze su un asse a(per asse Xè impossibile progettare, perché è perpendicolare alla linea corrente alternata).

E, prima di scrivere le equazioni, facciamo un'altra utile osservazione. Se c'è una forza sullo schema di progettazione che si trova in modo tale che la sua spalla non sia facile, quando si determina il momento, si consiglia di scomporre prima il vettore di questa forza in due, più convenientemente diretti. In questo problema, scomponiamo la forza in due: e (Fig. 37) in modo tale che i loro moduli

Facciamo equazioni:

Dalla seconda equazione troviamo . Dal terzo E dal primo

Allora come è andata a finire S<0, то стержень sole sarà compresso.

Condizioni di equilibrio del vettore per un sistema arbitrario di forze: per l'equilibrio di un sistema di forze applicato ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che il vettore principale del sistema di forze sia uguale a zero e che sia anche il momento principale del sistema di forze relativo ad un qualsiasi centro di riduzione uguale a zero. Altrimenti: per ~0, sono necessarie e sufficienti le seguenti condizioni:

,
o
,
. (19)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze in forma analitica

Per l'equilibrio del sistema spaziale delle forze applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che le tre somme delle proiezioni di tutte le forze sugli assi delle coordinate cartesiane siano uguali a zero e le tre somme dei momenti di tutte le forze intorno anche i tre assi delle coordinate sono uguali a zero.

. (20)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze convergenti

Per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze convergenti applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni delle forze su ciascuno dei tre assi coordinati rettangolari sia uguale a zero:

;
;
, (21)

Nel caso di un sistema piano di forze convergenti, solitamente uno degli assi coordinati
, sono scelti perpendicolarmente alle forze, e gli altri due assi, rispettivamente, nel piano delle forze. D Per l'equilibrio di un sistema piano di forze convergenti agenti su un corpo rigido, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di queste forze su ciascuno dei due assi coordinati rettangolari giacenti nel piano delle forze sia uguale a zero:

;
, (22)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze parallele

Dirigiamo l'asse
parallelamente alle forze per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze parallele applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che la somma algebrica di queste forze sia uguale a zero e che sia anche la somma dei momenti delle forze attorno a due assi coordinati perpendicolari alle forze uguale a zero:

Condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze

Assi di posizione
e
nel piano della forza.

Condizioni per l'equilibrio di un sistema piano di forze nella prima forma: per l'equilibrio di un sistema piano di forze agenti su un corpo rigido è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tali forze su ciascuno dei due assi coordinati rettangolari posti nel piano d'azione delle forze sia uguale a zero e anche la somma dei momenti algebrici delle forze rispetto a qualsiasi punto situato nel piano delle forze d'azione, era uguale a zero:

(24)

Per l'equilibrio di un sistema piano di forze parallele applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle forze sia uguale a zero e la somma dei momenti algebrici delle forze rispetto ad un punto qualsiasi situato nel piano delle forze è anche uguale a zero:

(25)

Teorema dei tre momenti (seconda forma di condizioni di equilibrio): per l'equilibrio di un sistema piano di forze applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che la somma dei momenti algebrici delle forze del sistema rispetto a tre punti qualsiasi situati nel piano di azione delle forze e non giacente su una retta, sia uguale a zero:

La terza forma di condizioni di equilibrio: per l'equilibrio di un sistema piano di forze applicate ad un corpo rigido, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti algebrici delle forze attorno a due punti qualsiasi giacenti nel piano di azione delle forze sia uguale a zero e la somma algebrica delle proiezioni di queste forze su un qualsiasi asse del piano che non sia perpendicolare alla retta, passante per due momenti, era pari a zero, cioè.

Sopra (6.5, caso 6) si è riscontrato che

Dato che , , proiettiamo le formule (6.18) sugli assi delle coordinate cartesiane. abbiamo la forma analitica delle equazioni di equilibrio di un arbitrario sistema spaziale di forze:

(6.19)

Le ultime tre equazioni sono dovute al fatto che la proiezione del momento di forza attorno ad un punto dell'asse che passa per questo punto è uguale al momento di forza attorno all'asse (formula (6.9)).

Produzione sistema spaziale arbitrario di forze, che si applica ad un corpo rigido, dobbiamo comporre sei equazioni di equilibrio(6.19), quindi, con l'aiuto di queste equazioni, abbiamo la possibilità di determinare sei incognite.

Considera il caso sistema spaziale di forze parallele. Scegliamo il sistema di coordinate in modo che l'asse Oz era parallela alle linee d'azione delle forze (Fig. 6.11).

Quindi rimangono tre equazioni:

Produzione. Quando si risolvono problemi di equilibrio sistema spaziale parallelo di forze, che si applica a un corpo rigido, dobbiamo comporre tre equazioni di equilibrio e abbiamo la possibilità con l'aiuto di queste equazioni determinare tre incognite.

Nella prima lezione sulla sezione "statica", abbiamo scoperto che ci sono sei varietà di sistemi di forze, che può verificarsi nella tua pratica di calcoli ingegneristici. Inoltre, ci sono due possibilità per la localizzazione di coppie di forze: nello spazio e in un piano. Riassumiamo tutte le equazioni di equilibrio per le forze e per le coppie di forze in una tabella (Tabella 6.2), in cui nell'ultima colonna annotiamo il numero di incognite che il sistema di equazioni di equilibrio ci permetterà di determinare.

Tabella 6.2 - Equazioni di equilibrio per diversi sistemi di forze

	Tipo di sistema di forze	Equazioni di equilibrio	Numero di incognite definite
	Piano convergente
	Piano parallelo ( asse 0 a)	v.A 0xy
	Piatto arbitrario (nel piano 0xy)	v.A- arbitrario, appartenente all'aereo 0xy

La tabella 6.2 continua

La tabella 6.2 continua

Domande per l'autocontrollo sull'argomento 6

1. Come trovare il momento della forza attorno all'asse?

2. Che relazione esiste tra il momento della forza attorno a un punto e il momento della stessa forza attorno a un asse che passa per questo punto?

3. In quali casi il momento della forza relativo all'asse è uguale a zero? Quando è il massimo?

4. In quali casi il sistema delle forze si riduce alla risultante?

5. In qual caso il sistema spaziale delle forze è dato:

- a una coppia di forze;

– alla vite dinamica?

6. Cosa viene chiamato invariante statico? Cosa sai delle invarianti statiche?

7. Annotare le equazioni di equilibrio per un sistema spaziale arbitrario di forze.

8. Formulare la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un sistema spaziale parallelo di forze.

9. Il vettore principale del sistema di forze cambierà quando cambia il centro di riduzione? E il punto principale?

Argomento 7. FATTORIE. DEFINIZIONE DI SFORZO