Intorno al suo asse, puoi ottenere una normale ellittica. È un cavo corpo isometrico, le cui sezioni sono ellissi e parabole. Un paraboloide ellittico è dato come:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Tutte le sezioni principali di un paraboloide sono parabole. Quando si tagliano i piani XOZ e YOZ, si ottengono solo parabole. Se disegniamo una sezione perpendicolare rispetto a Aereo Xoy, puoi ottenere un'ellisse. Inoltre le sezioni, che sono parabole, sono date da equazioni della forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Le sezioni dell'ellisse sono date da altre equazioni:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Un paraboloide ellittico con a=b si trasforma in un paraboloide di rivoluzione. La costruzione di un paraboloide ha una serie di alcune caratteristiche che devono essere prese in considerazione. Inizia l'operazione preparando la base: un disegno del grafico della funzione.

Per iniziare a costruire un paraboloide, devi prima costruire una parabola. Disegna una parabola nel piano di Oxz come mostrato. Dai al futuro paraboloide una certa altezza. Per fare ciò, traccia una linea retta in modo che tocchi i punti superiori della parabola e sia parallela all'asse Ox. Quindi disegna una parabola sul piano di Yoz e traccia una linea retta. Otterrai due piani paraboloidi perpendicolari tra loro. Successivamente, nel piano Xoy, costruisci un parallelogramma che ti aiuterà a disegnare un'ellisse. Iscrivi un'ellisse in questo parallelogramma in modo che tocchi tutti i suoi lati. Dopo queste trasformazioni, cancella il parallelogramma e l'immagine tridimensionale del paraboloide rimane.

C'è anche un paraboloide iperbolico che è più concavo che ellittico. Le sue sezioni hanno anche parabole e, in alcuni casi, iperboli. Le sezioni principali lungo Oxz e Oyz, come quelle di un paraboloide ellittico, sono parabole. Sono dati da equazioni della forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Se disegni una sezione sull'asse Oxy, puoi ottenere un'iperbole. Quando costruisci un paraboloide iperbolico, lasciati guidare dalla seguente equazione:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - equazione del paraboloide iperbolico

Inizialmente costruire una parabola fissa nel piano di Oxz. Disegna una parabola mobile sul piano di Oyz. Successivamente, impostare l'altezza del paraboloide h. Per fare ciò, segna due punti sulla parabola fissa, che saranno i vertici di altre due parabole mobili. Quindi disegna un altro sistema di coordinate O"x"y" per tracciare le iperboli. Il centro di questo sistema di coordinate dovrebbe coincidere con l'altezza del paraboloide. Dopo tutte le costruzioni, disegna le due parabole mobili sopra menzionate in modo che tocchino i punti estremi delle iperboli Nel risultato è un paraboloide iperbolico.

L'altezza del paraboloide può essere determinata dalla formula

Il volume del paraboloide che tocca il fondo è pari alla metà del volume del cilindro con raggio di base R e altezza H, lo stesso volume occupa lo spazio W' sotto il paraboloide (Fig. 4.5a)

Fig.4.5. Il rapporto tra i volumi in un paraboloide che tocca il fondo.

Wp - volume del paraboloide, W' - volume sotto il paraboloide, Hp - altezza del paraboloide

Fig.4.6. Il rapporto tra i volumi nel paraboloide che tocca i bordi del cilindro Hп è l'altezza del paraboloide., R è il raggio della nave, Wzh è il volume sotto l'altezza del liquido nella nave prima dell'inizio della rotazione, z 0 è la posizione della sommità del paraboloide, H è l'altezza del liquido nel recipiente prima dell'inizio della rotazione.

In Fig.4.6a, il livello del liquido nel cilindro prima dell'inizio della rotazione H. Il volume del liquido Wzh prima e dopo la rotazione viene preservato e è uguale alla somma volume Wc di un cilindro con altezza z 0 più il volume del fluido sotto il paraboloide, che è uguale al volume del paraboloide Wp con altezza Hp

Se il paraboloide tocca il bordo superiore del cilindro, l'altezza del liquido nel cilindro prima dell'inizio della rotazione H divide l'altezza del paraboloide Hp in due parti uguali, il punto inferiore (alto) del paraboloide si trova rispetto a la base (Fig. 4.6c)

Inoltre, l'altezza H divide il paraboloide in due parti (Fig. 4.6c), i cui volumi sono uguali a W 2 \u003d W 1. Dall'uguaglianza dei volumi dell'anello parabolico W 2 e della coppa parabolica W 1, Fig.4.6c

Quando la superficie del paraboloide attraversa il fondo della nave (Fig. 4.7) W 1 \u003d W 2 \u003d 0,5 W dell'anello

Fig. 4.7 Volumi e altezze quando la superficie del paraboloide attraversa il fondo del cilindro

Altezze in Fig.4.6

volumi in Fig.4.6.

La posizione della superficie libera nella nave

Fig.4.8. Tre casi di riposo relativo durante la rotazione

1. Se il vaso è aperto, Po = Ratm (Fig. 4.8a). La parte superiore del paraboloide durante la rotazione scende al di sotto del livello iniziale-H e i bordi salgono al di sopra del livello iniziale, la posizione della parte superiore

2. Se il recipiente è completamente riempito, coperto con un coperchio, non ha superficie libera, è sotto pressione eccessiva Po> Ratm, prima della rotazione, la superficie (P.P.), su cui Po = Ratm sarà al di sopra del livello del coperchio ad un'altezza h 0i = M / ρg, H 1 \u003d H + M / ρg.

3. Se il recipiente è pieno, è sotto vuoto Ro<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotazione ad alta velocità angolare (Fig. 4.9)

Quando un recipiente con un liquido ruota ad una velocità angolare elevata, la gravità può essere trascurata rispetto alle forze centrifughe. La legge di variazione della pressione in un liquido può essere ottenuta dalla formula

(4.22),

Le superfici piane formano cilindri con un asse comune attorno al quale ruota la nave. Se la nave non è completamente riempita prima dell'inizio della rotazione, la pressione P0 agirà su un raggio r = r0 , invece dell'espressione (4.22) avremo

dove prendiamo g(z 0 - z) = 0,

Riso. 4.9 Localizzazione delle superfici di rivoluzione in assenza di gravità.

Il raggio della superficie interna con H e h noti

Un ellissoide è una superficie la cui equazione in un rettangolo sistema cartesiano coordinate Oxyz ha la forma dove a ^ b ^ c > 0. Per scoprire che aspetto ha l'ellissoide, procediamo come segue. Prendiamo un'ellisse sul piano di Oxz e la ruotiamo attorno all'asse di Oz (Fig. 46). Fig.46 La superficie risultante Ellissoide. Iperboloidi. Paraboloidi. Cilindri e un cono del secondo ordine. - ellissoide di rivoluzione - dà già un'idea di come funziona l'ellissoide vista generale. Per ottenerne l'equazione basta comprimere l'ellissoide di rivoluzione in modo uguale lungo l'asse Oy con il coefficiente J^!, t.s. sostituire y nella sua equazione con Jt/5). 10.2. Iperboloidi Ruotare l'iperbole fl i! \u003d a2 c2 1 attorno all'asse di Oz (Fig. 47), otteniamo una superficie chiamata iperboloide di rivoluzione a un foglio. La sua equazione è *2 + y; ottenuto allo stesso modo del caso di un ellissoide di rivoluzione. 5) Un ellissoide di rivoluzione può essere ottenuto per compressione uniforme della sfera +yJ + *J = n" lungo l'asse di Oz con un coefficiente ~ ^ 1. Comprimendo uniformemente questa superficie lungo l'asse di Oy con un coefficiente di 2 ^ 1 , otteniamo un iperboloide di un foglio di forma generale. La sua equazione è Ellissoide. Iperboloidi Paraboloidi Cilindri e un cono del secondo ordine si ottengono allo stesso modo del caso dell'ellissoide discusso sopra. Ruotando l'iperbole coniugata attorno sull'asse di Oz, otteniamo un iperboloide di rivoluzione a due fogli (Fig. 48) la cui equazione è a2 C2 Per compressione uniforme di questa superficie lungo l'asse Oy con un coefficiente di 2 ^ 1, si arriva a un iperboloide a due fogli di forma generale. Sostituendo y con -y, otteniamo la sua equazione rotazione lungo l'asse Oy con il coefficiente yj* ^ 1, otteniamo paraboloide ellittico. La sua equazione si ottiene dall'equazione del paraboloide di rotazione sostituendo If, quindi otteniamo un paraboloide della forma mostrata in Fig. 50.10.4. Paraboloide iperbolico Un paraboloide iperbolico è una superficie la cui equazione in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxyz ha la forma della superficie in studio e, modificando la configurazione delle curve piane risultanti, si giunge a una conclusione sulla struttura della superficie stessa. Iniziamo con sezioni per piani z = h = cost, parallela piano delle coordinate Oh. Per h > 0, otteniamo iperboli per h - iperboli coniugate, e per - una coppia di linee incrociate Notare che queste linee sono asintoti per tutte le iperboli (cioè, per ogni h Φ 0). Proiettiamo le curve risultanti sul piano Oxy. Otteniamo la seguente immagine (Fig. 51). Già questa considerazione permette di trarre una conclusione sulla struttura a sella della superficie in esame (Fig. 52). Fig.51 Fig.52 Consideriamo ora le sezioni per piani Sostituendo la superficie y con L nell'equazione, otteniamo le equazioni delle parabole (Fig.53). Un'immagine simile si verifica durante la dissezione data superficie piani In questo caso si ottengono anche parabole i cui rami sono diretti verso il basso (e non verso l'alto, come per la sezione per piani y \u003d h) (Fig. 54). Commento. Utilizzando il metodo della sezione, si può comprendere la struttura di tutte le superfici del secondo ordine precedentemente considerate. Tuttavia, ruotando le curve del secondo ordine e poi schiacciandole uniformemente, si può arrivare a una comprensione della loro struttura più facilmente e molto più velocemente. Il resto delle superfici del secondo ordine è già stato considerato in sostanza. Questi sono cilindri: ellittica iperbolica Fig. 56 e una parabolica e cono del secondo ordine, la cui idea può essere ottenuta sia ruotando una coppia di linee intersecantisi attorno all'asse di Oz e successiva contrazione, sia con il metodo delle sezioni. Naturalmente, in entrambi i casi otteniamo che la superficie in studio ha la forma mostrata in Fig. 59. a) calcolare le coordinate delle prese; , . b) calcolare l'eccentricità; . c) scrivere le equazioni degli asintoti e delle direttrici; d) scrivere l'equazione dell'iperbole coniugata e calcolarne l'eccentricità. 2. Componi equazione canonica parabole se la distanza dal fuoco al vertice è uguale a 3. 3. Scrivi l'equazione della tangente all'ellisse ^ + = 1 punto di veto M(4, 3). 4. Determinare il tipo e la posizione della curva data dall'equazione: Le risposte sono un'ellisse, l'asse maggiore è parallelo all'ellissoide. Iperboloidi. Paraboloidi. Cilindri e un cono del secondo ordine. assi Bue; b) centro dell'iperbole O (-1.2), il coefficiente angolare dell'asse reale X è 3; c) parabola Y2 = , vertice (3, 2), vettore asse diretto verso la concavità della parabola è uguale a (-2, -1); d) un'iperbole con un centro, gli asintoti sono paralleli agli assi delle coordinate; e) una coppia di rette intersecanti f) una coppia di rette parallele

La comprovata proprietà della tangente ad una parabola è molto importante, poiché ne consegue che i raggi emanati dal fuoco di uno specchio parabolico concavo, cioè un tale specchio, la cui superficie è ottenuta dalla rotazione della parabola attorno suo asse, sono riflessi da un raggio parallelo, cioè asse parallelo dello specchio (Fig.).

Questa proprietà degli specchi parabolici viene utilizzata nella costruzione di proiettori, nei fari di qualsiasi auto e nei telescopi a specchio. Inoltre, in quest'ultimo caso, al contrario, i raggi provenienti dal corpo celeste; quasi paralleli, sono concentrati vicino al fuoco dello specchio del telescopio, e poiché i raggi provenienti da punti diversi del luminare sono molto non paralleli, sono concentrati vicino al fuoco in punti diversi, in modo da ottenere l'immagine del luminare vicino al fuoco, maggiore è la lunghezza focale della parabola. Questa immagine è già stata osservata attraverso un microscopio (oculare del telescopio). A rigor di termini, solo i raggi strettamente paralleli all'asse dello specchio vengono raccolti in un punto (a fuoco), mentre i raggi paralleli che vanno ad angolo rispetto all'asse dello specchio vengono raccolti solo in quasi un punto e il più lontano questo punto è dalla messa a fuoco, l'immagine è più sfocata. Questa circostanza limita il "campo visivo del telescopio".

Lascia che la sua superficie interna - una superficie speculare - sia uno specchio parabolico illuminato da un raggio di raggi luminosi parallelo all'asse OS. Tutti i raggi paralleli all'asse y, dopo la riflessione, si intersecheranno in un punto dell'asse y (fuoco F). Il progetto dei telescopi parabolici si basa su questa proprietà. I raggi di stelle lontane arrivano a noi sotto forma di un raggio parallelo. Realizzando un telescopio parabolico e ponendo al suo fuoco una lastra fotografica, abbiamo l'opportunità di amplificare il segnale luminoso proveniente dalla stella.

Lo stesso principio è alla base della realizzazione di un'antenna parabolica, che permette di amplificare i segnali radio. Se, invece, una sorgente luminosa è posta al fuoco di uno specchio parabolico, dopo la riflessione dalla superficie dello specchio, i raggi provenienti da questa sorgente non saranno dispersi, ma saranno raccolti in un fascio stretto parallelo all'asse dello specchio. Questo fatto viene utilizzato nella fabbricazione di proiettori e lanterne, vari proiettori, i cui specchi sono realizzati sotto forma di paraboloidi.

La proprietà ottica di uno specchio parabolico sopra menzionato viene utilizzata nella creazione di telescopi a specchio, vari impianti di riscaldamento solare e proiettori. Posizionando una potente sorgente puntiforme di luce al fuoco di uno specchio parabolico, otteniamo un denso flusso di raggi riflessi paralleli all'asse dello specchio.

Quando una parabola ruota attorno al proprio asse, si ottiene una figura, che si chiama paraboloide. Se la superficie interna del paraboloide è resa speculare e un raggio di raggi è diretto su di essa, asse parallelo simmetria della parabola, quindi i raggi riflessi si raccoglieranno in un punto, che è chiamato fuoco. Allo stesso tempo, se la sorgente luminosa è posta a fuoco, i raggi riflessi dalla superficie speculare del paraboloide saranno paralleli e non si disperderanno.

La prima proprietà permette di ottenere una temperatura elevata al fuoco del paraboloide. Secondo la leggenda, questa proprietà fu utilizzata dall'antico scienziato greco Archimede (287-212 aC). Durante la difesa di Siracusa nella guerra contro i romani, fece costruire un sistema di specchi parabolici, che permetteva di concentrare i raggi riflessi del sole sulle navi romane. Di conseguenza, la temperatura ai fuochi degli specchi parabolici si è rivelata così alta che è scoppiato un incendio sulle navi e si sono estinte.

La seconda proprietà viene utilizzata, ad esempio, nella produzione di proiettori e fari di automobili.

Iperbole

4. La definizione di un'iperbole ci dà un modo semplice per costruirla in moto continuo: prendi due fili la cui differenza di lunghezza è 2a, e attacca un'estremità di questi fili ai punti F "e F. Se tieni insieme le altre due estremità con la mano e guidare lungo i fili con la punta di una matita, avendo cura che i fili siano premuti contro la carta, tesi e toccandosi, partendo dal punto di disegno fino alla giunzione delle estremità, la punta disegnerà una parte di uno di i rami dell'iperbole (più grandi, più lunghi sono i fili) (Fig.).

Invertendo i ruoli dei punti F" e F, otteniamo una parte di un altro ramo.

Per esempio, sull'argomento "Curve del 2° ordine" puoi considerare il seguente problema:

Un compito. Due stazioni ferroviarie A e B si trovano a una distanza di s km l'una dall'altra. In qualsiasi punto M, la merce può essere consegnata dalla stazione A sia con il trasporto diretto su strada (il primo percorso), sia tramite ferrovia alla stazione B, e da lì in auto (seconda via). La tariffa ferroviaria (prezzo di trasporto di 1 tonnellata per 1 km) è di m rubli, la tariffa del trasporto su strada è di n rubli, n > m, la tariffa di carico e scarico è di k rubli. Definire l'area di influenza stazione ferroviaria B, cioè l'area in cui è più conveniente consegnare la merce dalla stazione A in modo misto - su rotaia, e poi su strada, cioè determinare il luogo dei punti per i quali il secondo percorso è più redditizio del primo.

Soluzione. Indichiamo AM = r , BM = r , quindi il costo di consegna (trasporto e carico e scarico) lungo il percorso AM è pari a nr + k, e il costo di consegna lungo il percorso ABM è pari a ms + 2k + nг . Allora i punti M, per i quali entrambi i costi sono uguali, soddisfano l'equazione nr + k = ms + 2k + ng , oppure

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

quindi la linea che delimita la regione è uno dei rami dell'iperbole | r - r | = cost. Per tutti i punti del piano che giacciono sullo stesso lato del punto A di questa iperbole, il primo percorso è più vantaggioso, e per i punti che giacciono dall'altro lato, il secondo, quindi il ramo dell'iperbole delinea l'area di influenza di stazione B.

Variante di questo compito.

Due stazioni ferroviarie A e B si trovano ad una distanza di 1 km l'una dall'altra. La merce può essere consegnata al punto M dalla stazione A sia con il trasporto diretto su strada che su rotaia fino alla stazione B, e da lì in auto (Fig. 49). Allo stesso tempo, la tariffa ferroviaria (il prezzo del trasporto di 1 tonnellata per 1 km) è di m rubli, i costi di carico e scarico k rubli (per 1 tonnellata) e la tariffa del trasporto su strada è di n rubli (n > m). Definiamo la cosiddetta zona di influenza della stazione ferroviaria B, ovvero la zona in cui è più conveniente consegnare merci da A in modo misto: su rotaia e poi su strada.

Soluzione. Il costo di consegna di 1 tonnellata di carico lungo la rotta AM è r n, dove r = AM, e lungo la rotta ABM sarà pari a 1m + k + r n. Dobbiamo risolvere la doppia disuguaglianza r n 1m+ k+ r n e determinare come sono distribuiti i punti sul piano (x, y), a cui è più economico consegnare i beni sia nel primo che nel secondo modo.

Troviamo l'equazione della retta che forma il confine tra queste due zone, cioè il luogo dei punti per i quali entrambi i percorsi sono "ugualmente vantaggiosi":

r n = 1 m+ k+ r n

Da questa condizione otteniamo r - r = = const.

Pertanto, la linea di demarcazione è un'iperbole. Per tutti i punti esterni di questa iperbole il primo percorso è più vantaggioso e per i punti interni il secondo. Pertanto, l'iperbole delineerà la zona di influenza della stazione B. Il secondo ramo dell'iperbole delineerà la zona di influenza della stazione A (il carico viene consegnato dalla stazione B). Troviamo i parametri della nostra iperbole. Il suo asse maggiore è 2a = , e la distanza tra i fuochi (che sono le stazioni A e B) in questo caso è 2c = l.

Quindi, la condizione per la possibilità di questo problema, determinata dalla relazione a< с, будет

Questo compito collega l'astratto concetto geometrico iperboli con un problema di trasporto ed economico.

Il luogo dei punti desiderato è l'insieme dei punti che si trovano all'interno del ramo destro dell'iperbole contenente il punto B.

6. Lo so " Macchine agricole» Importanti caratteristiche prestazionali di un trattore operante in pendenza, che ne dimostrano la stabilità, sono l'angolo di beccheggio e l'angolo di rollio.

Per semplicità, considereremo un trattore a ruote. La superficie su cui lavora il trattore (almeno una parte sufficientemente piccola di essa) può essere considerata un piano (piano di movimento). L'asse longitudinale del trattore è la proiezione della linea retta che collega i punti medi degli assi anteriore e posteriore sul piano di movimento. L'angolo del rullo trasversale è l'angolo formato con il piano orizzontale da una retta perpendicolare all'asse longitudinale e giacente nel piano di movimento.

Quando studiamo l'argomento "Linee e piani nello spazio" nel corso di matematica, consideriamo i seguenti compiti:

a) Trovare l'angolo di inclinazione longitudinale del trattore che si muove lungo il pendio, se sono noti l'angolo di inclinazione e l'angolo di deviazione della traiettoria del trattore dalla direzione longitudinale.

b) L'angolo limite del rollio trasversale del trattore è l'angolo di inclinazione massimo consentito del pendio, attraverso il quale il trattore può sostare senza ribaltarsi. Quali parametri del trattore sono sufficienti per determinare l'angolo di rollio limite; come trovarlo
angolo?

7. La presenza di generatrici rettilinee trova impiego nelle macchine movimento terra. Il fondatore dell'applicazione pratica di questo fatto è il famoso ingegnere russo Vladimir Grigoryevich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov ha realizzato la costruzione di alberi, torri e supporti, costituiti da travi metalliche, posizionati lungo generatori rettilinei iperboloide di rivoluzione a un foglio. L'elevata resistenza di tali strutture, unita alla leggerezza, al basso costo di fabbricazione e all'eleganza, ne garantisce un uso diffuso nell'edilizia moderna.

8. LE LEGGI DEL MOTO DI UN CORPO RIGIDO LIBERO

Per corpo libero tutti i tipi di moto sono ugualmente possibili, ma ciò non significa che il moto di un corpo libero sia disordinato, non soggetto ad alcuna legge; al contrario, il moto traslatorio di un corpo rigido, indipendentemente dalla sua forma esterna, è vincolato dalla legge del baricentro e si riduce al moto di un solo punto, e il moto rotatorio dei cosiddetti assi principali di inerzia o ellissoide di inerzia. Quindi, un bastone lanciato nello spazio libero, o un grano che vola fuori da una selezionatrice, ecc., si muove in avanti come un unico punto (centro di massa) e allo stesso tempo ruota attorno al centro di massa. In generale, quando movimento in avanti qualsiasi corpo rigido, indipendentemente dalla sua forma, o una macchina complessa può essere sostituito da un unico punto (centro di massa), e con uno rotazionale, da un ellissoide di inerzia , i cui vettori raggio sono uguali a --, dove / è il momento di inerzia di questo corpo rispetto agli assi passanti per il centro dell'ellissoide.

Se il momento di inerzia del corpo cambia per qualche motivo durante la rotazione, la velocità di rotazione cambierà di conseguenza. Ad esempio, durante un salto sopra la testa, gli acrobati si restringono in una palla, il che fa diminuire il momento di inerzia del corpo e aumenta la velocità di rotazione, necessaria per la buona riuscita del salto. Allo stesso modo, quando si scivola, le persone allungano le braccia ai lati, il che aumenta il momento di inerzia e diminuisce la velocità di rotazione. Allo stesso modo, il momento d'inerzia del ranghinatore della mietitrice attorno all'asse verticale è variabile in quanto ruota attorno all'asse orizzontale.

Anche il paraboloide iperbolico appartiene alle superfici del secondo ordine. Questa superficie non può essere ottenuta applicando un algoritmo che utilizza la rotazione di una linea attorno ad un asse fisso.

Un modello speciale viene utilizzato per costruire un paraboloide iperbolico. Questo modello include due parabole posizionate su due piani reciprocamente perpendicolari.

Lascia che la parabola I giaccia su un piano e sia fissa. La parabola II si impegna movimento complesso:

▫ la sua posizione iniziale coincide con il piano
, e il vertice della parabola coincide con l'origine: =(0,0,0);

▫ allora questa parabola si muove trasferimento parallelo, e la sua cima
compie una traiettoria coincidente con la parabola I;

▫ si considerano due diverse posizioni iniziali della parabola II: una - i rami della parabola verso l'alto, la seconda - i rami verso il basso.

Scriviamo le equazioni: per la prima parabola I:
- invariato; per la seconda parabola II:
– posizione iniziale, equazione del moto:
È facile vedere che il punto
ha coordinate:
. Poiché è necessario visualizzare la legge del moto di un punto
: questo punto appartiene alla parabola I, quindi devono sempre essere soddisfatte le seguenti relazioni: =
e
.

Dalle caratteristiche geometriche del modello, è facile notare che la parabola mobile spazza qualche superficie. In questo caso, l'equazione della superficie descritta dalla parabola II ha la forma:

o →
. (1)

La forma della superficie risultante dipende dalla distribuzione dei segni dei parametri
. Sono possibili due casi:

uno). Segni di quantità p e q coincidono: le parabole I e II si trovano sullo stesso lato del piano OSSI. Accettiamo: p = un 2 e q = b 2 . Quindi otteniamo l'equazione della superficie nota:

→ paraboloide ellittico . (2)

2). Segni di quantità p e q diverso: le parabole I e II si trovano ai lati opposti del piano OSSI. Permettere p = un 2 e q = - b 2 . Ora otteniamo l'equazione della superficie:

→paraboloide iperbolico . (3)

Non è difficile immaginare la forma geometrica della superficie definita dall'equazione (3), se ricordiamo il modello cinematico dell'interazione di due parabole coinvolte nel movimento.

Nella figura è mostrata condizionatamente in rosso la parabola I. Viene mostrato solo l'intorno della superficie all'origine. A causa del fatto che la forma della superficie allude espressamente a una sella di cavalleria, questo quartiere è spesso chiamato - sella .

In fisica, quando si studia la stabilità dei processi, vengono introdotti tipi di equilibrio: stabile - un foro, convesso verso il basso, instabile - una superficie convessa verso l'alto e una intermedia - una sella. Un equilibrio del terzo tipo viene anche chiamato equilibrio instabile e solo sulla linea rossa (parabola I) è possibile l'equilibrio.

§ 4. Superfici cilindriche.

Quando si considerano le superfici di rivoluzione, abbiamo definito la superficie cilindrica più semplice: un cilindro di rivoluzione, cioè un cilindro circolare.

In geometria elementare, un cilindro è definito per analogia con definizione comune prismi. È abbastanza complesso:

▫ abbiamo un poligono piatto nello spazio
- indicato come , e il poligono coincide con esso
- indicato come
;

▫ applica al poligono
movimento traslazione parallela: punti
muoversi lungo traiettorie parallele ad una determinata direzione ;

▫ se smetti di muovere il poligono
, quindi il suo aereo
parallela al piano ;

▫ la superficie di un prisma si chiama: insieme di poligoni ,
– motivi prismi e parallelogrammi
,
,... – superficie laterale prismi.

A utilizzeremo la definizione elementare di prisma per costruire una definizione più generale di prisma e della sua superficie, ovvero distingueremo:

▫ prisma illimitato è un corpo poliedrico delimitato da bordi ,,... e piani tra questi bordi;

▫ un prisma limitato è un corpo poliedrico delimitato da bordi ,,... e parallelogrammi
,
,...; la superficie laterale di questo prisma è un insieme di parallelogrammi
,
,...; basi di un prisma - un insieme di poligoni ,
.

Prendiamo un prisma illimitato: ,,... Intersechiamo questo prisma con un piano arbitrario . Intersechiamo lo stesso prisma con un altro piano
. Nella sezione otteniamo un poligono
. In generale, assumiamo che l'aereo
non parallela al piano . Ciò significa che il prisma non è stato costruito per traslazione parallela del poligono .

La costruzione proposta di un prisma comprende non solo prismi dritti e inclinati, ma anche quelli troncati.

In geometria analitica, capiremo le superfici cilindriche in modo così generalizzato che un cilindro illimitato include un prisma illimitato come un caso speciale: si deve solo supporre che un poligono possa essere sostituito da una linea arbitraria, non necessariamente chiusa - guida cilindro. Direzione chiamato generatrice cilindro.

Da quanto detto ne consegue che per determinare una superficie cilindrica è necessario stabilire una linea guida e la direzione della generatrice.

Le superfici cilindriche sono ottenute sulla base di curve piane del 2° ordine, che servono guide per generare .

Nella fase iniziale dello studio delle superfici cilindriche, faremo ipotesi semplificative:

▫ la guida della superficie cilindrica si trovi sempre in uno dei piani coordinati;

▫ direzione della generatrice coincide con uno degli assi coordinati, cioè perpendicolare al piano in cui è definita la guida.

Le restrizioni accettate non portano a una perdita di generalità, poiché resta possibile grazie alla scelta delle sezioni in aereo e
costruire forme geometriche arbitrarie: cilindri dritti, inclinati, tronchi.

Cilindro ellittico .

Prendiamo l'ellisse come guida del cilindro :
, situato nel piano delle coordinate

: cilindro ellittico.

cilindro iperbolico .

:

e la direzione della generatrice determina l'asse
. In questo caso, l'equazione del cilindro è la retta stessa : cilindro iperbolico.

cilindro parabolico .

Prendiamo l'iperbole come guida del cilindro :
situato nel piano delle coordinate
e la direzione della generatrice determina l'asse
. In questo caso, l'equazione del cilindro è la retta stessa : cilindro parabolico.

Commento: tenendo conto delle regole generali per la costruzione di equazioni di superfici cilindriche, nonché degli esempi particolari presentati di cilindri ellittici, iperbolici e parabolici, notiamo: la costruzione di un cilindro per qualsiasi altra generatrice, per le condizioni semplificative accettate, non dovrebbe creare difficoltà!

Considera ora di più Termini generali e condizioni costruire equazioni di superfici cilindriche:

▫ la guida della superficie cilindrica si trova su un piano dello spazio arbitrario
;

▫ direzione della generatrice arbitrariamente nel sistema di coordinate accettato.

Le condizioni accettate sono illustrate nella figura.

▫ guida superficiale cilindrica situato su un piano arbitrario spazio
;

▫ sistema di coordinate
ottenuto dal sistema di coordinate
trasferimento parallelo;

▫ posizione di guida in aereo il più preferibile: per una curva del 2° ordine, assumeremo l'origine delle coordinate coincide con centro simmetria della curva in esame;

▫ direzione della generatrice arbitrario (può essere specificato in uno qualsiasi dei modi: vettoriale, diretto, ecc.).

In quanto segue, assumeremo che i sistemi di coordinate
e
incontro. Ciò significa che il primo passaggio dell'algoritmo generale per la costruzione di superfici cilindriche, riflettendo la traslazione parallela:
→
, precedentemente eseguito.

Ricordiamo come nel caso generale si tenga conto del trasferimento parallelo considerando un semplice esempio.

Esempio 6–13 : Nel sistema di coordinate
come:
=0. Scrivi l'equazione di questa guida nel sistema
.

Soluzione:

uno). Indica un punto arbitrario
: nel sistema
come
, e nel sistema
come
.

2). Scriviamo l'uguaglianza vettoriale:
=
+
. In forma coordinata, questo può essere scritto come:
=
+
. Oppure nella forma:
=
–
, o:
=.

3). Scriviamo l'equazione della guida del cilindro nel sistema di coordinate
:

Risposta: l'equazione trasformata della guida: =0.

Assumiamo quindi che il centro della curva che rappresenta la guida del cilindro si trovi sempre all'origine del sistema di coordinate
in aereo .

Riso. A . Disegno di base durante la costruzione di un cilindro.

Facciamo un'altra ipotesi che semplifica i passaggi finali della costruzione di una superficie cilindrica. Poiché utilizzando la rotazione del sistema di coordinate è facile combinare la direzione dell'asse
sistemi di coordinate
con piano normale e le direzioni degli assi
e
con assi di simmetria della guida , quindi lo assumeremo come posizione iniziale della guida abbiamo una curva situata nel piano
, e uno dei suoi assi di simmetria coincide con l'asse
, e il secondo con l'asse
.

Commento: poiché l'esecuzione delle operazioni di traslazione e rotazione parallela attorno all'asse fisso dell'operazione è abbastanza semplice, le ipotesi fatte non restringono l'applicabilità dell'algoritmo sviluppato per la costruzione di una superficie cilindrica nel caso più generale!

Abbiamo visto che quando si costruisce una superficie cilindrica nel caso in cui la guida situato nell'aereo
e la generatrice è parallela all'asse
, basta definire solo la guida .

Poiché una superficie cilindrica può essere determinata in modo univoco specificando qualsiasi linea ottenuta nella sezione di questa superficie da un piano arbitrario, adotteremo il seguente algoritmo generale per risolvere il problema:

1 ▫ . Sia la direzione della generatrice la superficie cilindrica è data dal vettore . Progettiamo una guida dato dall'equazione:
=0, su un piano perpendicolare alla direzione della generatrice , cioè sull'aereo
. Di conseguenza, la superficie cilindrica verrà specificata nel sistema di coordinate
equazione:
=0.

2 ▫
attorno all'asse
all'angolo
: significato di angolo
compatibile con il sistema
, e l'equazione della superficie conica viene trasformata nell'equazione:
=0.

3 ▫ . Applicare la rotazione del sistema di coordinate
attorno all'asse
all'angolo
: significato di angolo abbastanza chiaro dalla figura. Come risultato della rotazione, il sistema di coordinate
compatibile con il sistema
, e l'equazione della superficie conica viene trasformata in
=0. Questa è l'equazione di una superficie cilindrica, per la quale è stata fornita una guida e generatrice nel sistema di coordinate
.

L'esempio seguente illustra l'implementazione dell'algoritmo scritto e le difficoltà computazionali di tali problemi.

Esempio 6–14 : Nel sistema di coordinate
data l'equazione della guida del cilindro come:
=9. Scrivi un'equazione per un cilindro i cui generatori sono paralleli al vettore =(2,–3,4).

R
soluzione:

uno). Disegniamo la guida del cilindro su un piano perpendicolare a . È noto che tale trasformazione trasforma un determinato cerchio in un'ellisse, i cui assi sono: =9, e piccolo =
.

Questa figura illustra il disegno di un cerchio definito nel piano
al piano delle coordinate
.

2). Il risultato della proiezione di un cerchio è un'ellisse:
=1, o
. Nel nostro caso, questo è:
, dove
==.

3
). Quindi, l'equazione di una superficie cilindrica nel sistema di coordinate
ricevuto. Poiché, in base alla condizione del problema, dobbiamo avere l'equazione di questo cilindro nel sistema di coordinate
, resta quindi da applicare una trasformazione di coordinate che traduca il sistema di coordinate
al sistema di coordinate
, insieme all'equazione del cilindro:
in un'equazione espressa in termini di variabili
.

quattro). Usiamo di base figura, e annota tutti i valori trigonometrici necessari per risolvere il problema:

==,
==,
==.

5). Scriviamo le formule per la trasformazione delle coordinate nel passaggio dal sistema
al sistema
:
(A)

6). Scriviamo le formule per la trasformazione delle coordinate nel passaggio dal sistema
al sistema
:
(DA)

7). Variabili sostitutive
dal sistema (B) al sistema (C), e tenendo conto anche dei valori delle funzioni trigonometriche utilizzate, scriviamo:

=
=
.

=
=
.

otto). Resta da sostituire i valori trovati e nell'equazione della guida del cilindro :
nel sistema di coordinate
. Dopo aver completato con attenzione tutte le trasformazioni algebriche, otteniamo l'equazione della superficie conica nel sistema di coordinate
: =0.

Risposta: equazione del cono: =0.

Esempio 6–15 : Nel sistema di coordinate
data l'equazione della guida del cilindro come:
=9, =1. Scrivi un'equazione per un cilindro i cui generatori sono paralleli al vettore =(2,–3,4).

Soluzione:

uno). È facile notare che questo esempio differisce dal precedente solo per il fatto che la guida è stata spostata in parallelo di 1 in su.

2). Ciò significa che nelle relazioni (B) si dovrebbe prendere: =-uno. Tenendo conto delle espressioni del sistema (C), correggiamo la voce per la variabile :

=
.

3). La modifica può essere facilmente presa in considerazione correggendo il record finale dell'equazione per il cilindro dell'esempio precedente:

Risposta: equazione del cono: =0.

Commento: è facile vedere che la principale difficoltà nelle trasformazioni multiple di sistemi di coordinate in problemi con superfici cilindriche è precisione e resistenza nelle maratone algebriche: viva il sistema educativo adottato nel nostro longanime Paese!