SEQUENZE NUMERICHE VI

§ l48. La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente

Finora, parlando di somme, abbiamo sempre ipotizzato che il numero di termini in queste somme sia finito (ad esempio 2, 15, 1000, ecc.). Ma quando si risolvono alcuni problemi (soprattutto di matematica superiore), si deve fare i conti con le somme di un numero infinito di termini

S= un 1 + un 2 + ... + un n + ... . (1)

Quali sono questi importi? Per definizione la somma di un numero infinito di termini un 1 , un 2 , ..., un n , ... è chiamato limite della somma S n primo P numeri quando P -> ∞ :

S=S n = (un 1 + un 2 + ... + un n ). (2)

Il limite (2), ovviamente, può esistere o meno. Di conseguenza, si dice che la somma (1) esiste o non esiste.

Come scoprire se la somma (1) esiste in ogni caso particolare? Una soluzione generale a questa domanda va ben oltre lo scopo del nostro programma. Tuttavia, c'è un caso speciale importante che dobbiamo considerare ora. Parleremo della somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Permettere un 1 , un 1 q , un 1 q 2 , ... è una progressione geometrica infinitamente decrescente. Ciò significa che | q |< 1. Сумма первых P membri di questa progressione è uguale a

Dai teoremi di base sui limiti delle variabili (vedi § 136) si ottiene:

Ma 1 = 1, a q n = 0. Pertanto

Quindi, la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente è uguale al primo termine di questo progresso diviso per uno meno il denominatore di questa progressione.

1) La somma della progressione geometrica 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... è

e la somma di una progressione geometrica è 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... uguale

2) Una frazione periodica semplice 0,454545 ... trasformarsi in una frazione ordinaria.

Per risolvere questo problema, rappresentiamo questa frazione come una somma infinita:

Il lato destro di questa uguaglianza è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente, il cui primo termine è 45/100 e il denominatore è 1/100. Ecco perchè

Nel modo descritto si può anche ottenere la regola generale per convertire semplici frazioni periodiche in frazioni ordinarie (vedi Capitolo II, § 38):

Per convertire una semplice frazione periodica in una ordinaria, devi procedere come segue: metti il ​​periodo della frazione decimale al numeratore e al denominatore - un numero composto da nove preso tante volte quante sono le cifre nel periodo della frazione decimale.

3) Frazione periodica mista 0,58333 .... trasformarsi in una frazione ordinaria.

Rappresentiamo questa frazione come una somma infinita:

Sul lato destro di questa uguaglianza, tutti i termini, a partire da 3/1000, formano una progressione geometrica infinitamente decrescente, il cui primo termine è 3/1000 e il denominatore è 1/10. Ecco perchè

Nel modo descritto si può anche ottenere la regola generale per la conversione delle frazioni periodiche miste in frazioni ordinarie (cfr. Capitolo II, § 38). Non lo includiamo deliberatamente qui. Non c'è bisogno di memorizzare questa ingombrante regola. È molto più utile sapere che qualsiasi frazione periodica mista può essere rappresentata come la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente e di un numero. E la formula

per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente, bisogna naturalmente ricordare.

A titolo di esercizio, vi invitiamo, oltre ai problemi n. 995-1000 che seguono, a passare ancora una volta al problema n. 301 § 38.

Esercizi

995. Come si chiama la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente?

996. Trova somme di progressioni geometriche infinitamente decrescenti:

997. Per quali valori X progressione

è infinitamente decrescente? Trova la somma di una tale progressione.

998. In un triangolo equilatero con un lato un un nuovo triangolo è inscritto collegando i punti medi dei suoi lati; un nuovo triangolo è inscritto in questo triangolo allo stesso modo, e così via all'infinito.

a) la somma dei perimetri di tutti questi triangoli;

b) la somma delle loro aree.

999. In una piazza con un lato un un nuovo quadrato è inscritto collegando i punti medi dei suoi lati; un quadrato è inscritto in questo quadrato allo stesso modo, e così via all'infinito. Trova la somma dei perimetri di tutti questi quadrati e la somma delle loro aree.

1000. Fare una progressione geometrica infinitamente decrescente, tale che la sua somma sia uguale a 25 / 4, e la somma dei quadrati dei suoi termini sia uguale a 625 / 24.

Una progressione geometrica è una sequenza numerica il cui primo termine è diverso da zero e ogni termine successivo è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero.

Il concetto di progressione geometrica

La progressione geometrica è indicata da b1,b2,b3, …, bn, … .

Il rapporto di qualsiasi termine dell'errore geometrico con il suo termine precedente è uguale allo stesso numero, cioè b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/mld = …. Ciò deriva direttamente dalla definizione di progressione aritmetica. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica. Solitamente il denominatore di una progressione geometrica è indicato dalla lettera q.

La somma di una progressione geometrica infinita per |q|<1

Un modo per impostare una progressione geometrica consiste nell'impostare il suo primo termine b1 e il denominatore dell'errore geometrico q. Ad esempio, b1=4, q=-2. Queste due condizioni danno una progressione geometrica di 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q non è uguale a 1), la progressione è una sequenza monotona. Ad esempio, la sequenza 2, 4,8,16,32, ... è una sequenza monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se il denominatore q=1 nell'errore geometrico, allora tutti i membri della progressione geometrica saranno uguali tra loro. In questi casi, si dice che la progressione è una sequenza costante.

Affinché la sequenza numerica (bn) sia una progressione geometrica, è necessario che ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, sia la media geometrica degli elementi vicini. Cioè, è necessario soddisfare la seguente equazione
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), per ogni n>0, dove n appartiene all'insieme dei numeri naturali N.

Ora mettiamo (Xn) - una progressione geometrica. Il denominatore della progressione geometrica q, con |q|∞).
Se ora indichiamo con S la somma di una progressione geometrica infinita, allora vale la seguente formula:
S=x1/(1-q).

Considera un semplice esempio:

Trova la somma di una progressione geometrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Per trovare S, utilizziamo la formula per la somma di una progressione infinitamente aritmetica. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Consideriamo ora la questione della somma di una progressione geometrica infinita. Chiamiamo somma dei suoi primi termini la somma parziale di una data progressione infinita. Indica la somma parziale con il simbolo

Per ogni progressione infinita

si può comporre una sequenza (anche infinita) delle sue somme parziali

Lascia che una sequenza con aumento illimitato abbia un limite

In questo caso il numero S, cioè il limite delle somme parziali della progressione, è detto somma di una progressione infinita. Dimostreremo che una progressione geometrica decrescente infinita ha sempre una somma, e derivare una formula per questa somma (possiamo anche mostrare che per una progressione infinita non ha somma, non esiste).

Scriviamo l'espressione per la somma parziale come somma dei membri della progressione secondo la formula (91.1) e consideriamo il limite della somma parziale a

Dal teorema del punto 89 è noto che per una progressione decrescente; quindi, applicando il teorema del limite di differenza, troviamo

(si usa anche qui la regola: il fattore costante viene tolto dal segno del limite). L'esistenza è dimostrata, e contemporaneamente si ottiene la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente:

L'uguaglianza (92.1) può anche essere scritta come

Qui può sembrare paradossale che alla somma di un insieme infinito di termini venga assegnato un valore finito ben definito.

Una chiara illustrazione può essere fornita per spiegare questa situazione. Si consideri un quadrato di lato uguale a uno (Fig. 72). Dividiamo questo quadrato per una linea orizzontale in due parti uguali e applichiamo la parte superiore a quella inferiore in modo da formare un rettangolo di lati 2 e . Successivamente, dividiamo nuovamente la metà destra di questo rettangolo a metà con una linea orizzontale e fissiamo la parte superiore a quella inferiore (come mostrato in Fig. 72). Continuando questo processo, trasformiamo costantemente il quadrato originario di area pari a 1 in figure di uguali dimensioni (che assumono la forma di una scala con gradini diradati).

Con una continuazione infinita di questo processo, l'intera area del quadrato si decompone in un numero infinito di termini - le aree dei rettangoli con base uguale a 1 e altezze.Le aree dei rettangoli formano solo una progressione decrescente infinita, la sua somma

cioè, come previsto, è uguale all'area del quadrato.

Esempio. Trova le somme delle seguenti progressioni infinite:

Soluzione, a) Notiamo che questa progressione Pertanto, dalla formula (92.2) troviamo

b) Qui significa che con la stessa formula (92.2) abbiamo

c) Troviamo che questa progressione Pertanto, questa progressione non ha somma.

Nella Sezione 5 è stata illustrata l'applicazione della formula per la somma dei termini di una progressione infinitamente decrescente alla conversione di una frazione decimale periodica in una frazione ordinaria.

Esercizi

1. La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente è 3/5 e la somma dei suoi primi quattro termini è 13/27. Trova il primo termine e denominatore della progressione.

2. Trova quattro numeri che formano una progressione geometrica alternata, in cui il secondo termine è minore del primo di 35 e il terzo è maggiore del quarto di 560.

3. Mostra se sequenza

forma una progressione geometrica infinitamente decrescente, quindi la sequenza

per ogni forma una progressione geometrica infinitamente decrescente. Questa affermazione vale

Ricavare una formula per il prodotto dei termini di una progressione geometrica.

La matematica è cosale persone controllano la natura e se stesse.

Matematico sovietico, accademico A.N. Kolmogorov

Progressione geometrica.

Insieme ai compiti per le progressioni aritmetiche, anche i compiti relativi al concetto di progressione geometrica sono comuni nei test di ingresso in matematica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario conoscere le proprietà di una progressione geometrica e avere buone abilità nell'usarle.

Questo articolo è dedicato alla presentazione delle principali proprietà di una progressione geometrica. Fornisce anche esempi di risoluzione di problemi tipici, mutuato dai compiti dei test di ammissione in matematica.

Notiamo preliminarmente le principali proprietà di una progressione geometrica e ricordiamo le formule e le affermazioni più importanti, associato a questo concetto.

Definizione. Una sequenza numerica si dice progressione geometrica se ciascuno dei suoi numeri, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero. Il numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.

Per una progressione geometricale formule sono valide

, (1)

dove . La formula (1) è chiamata formula del termine generale di una progressione geometrica, e la formula (2) è la proprietà principale di una progressione geometrica: ogni membro della progressione coincide con la media geometrica dei suoi membri vicini e .

Nota, che è proprio per questa proprietà che la progressione in questione viene chiamata "geometrica".

Le formule (1) e (2) di cui sopra sono riassunte come segue:

, (3)

Per calcolare la somma primo membri di una progressione geometricasi applica la formula

Se designiamo

dove . Poiché , la formula (6) è una generalizzazione della formula (5).

Nel caso in cui e progressione geometricaè infinitamente decrescente. Per calcolare la sommadi tutti i membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente, viene utilizzata la formula

. (7)

Per esempio , usando la formula (7), si può mostrare, che cosa

dove . Queste uguaglianze si ottengono dalla formula (7) a condizione che , (la prima uguaglianza) e , (la seconda uguaglianza).

Teorema. Se poi

Prova. Se poi ,

Il teorema è stato dimostrato.

Passiamo a considerare esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione geometrica".

Esempio 1 Dati: , e . Trova .

Soluzione. Se viene applicata la formula (5), allora

Risposta: .

Esempio 2 Lascia e . Trova .

Soluzione. Poiché e , utilizziamo le formule (5), (6) e otteniamo il sistema di equazioni

Se la seconda equazione del sistema (9) è divisa per la prima, quindi o . Da ciò ne consegue . Consideriamo due casi.

1. Se , quindi dalla prima equazione del sistema (9) abbiamo.

2. Se , allora .

Esempio 3 Lascia , e . Trova .

Soluzione. Dalla formula (2) segue che o . Dal momento che , allora o .

Per condizione. Tuttavia, quindi. Perché e, allora qui abbiamo un sistema di equazioni

Se la seconda equazione del sistema è divisa per la prima, allora o .

Poiché, l'equazione ha un'unica radice adatta. In questo caso, la prima equazione del sistema implica .

Tenendo conto della formula (7), otteniamo.

Risposta: .

Esempio 4 Dato: e . Trova .

Soluzione. Da allora .

Perché , allora o

Secondo la formula (2), abbiamo . A questo proposito, dall'uguaglianza (10) si ottiene o .

Tuttavia, a condizione, quindi.

Esempio 5È risaputo che . Trova .

Soluzione. Secondo il teorema, abbiamo due uguaglianze

Dal momento che , allora o . Perché poi .

Risposta: .

Esempio 6 Dato: e . Trova .

Soluzione. Tenendo conto della formula (5), otteniamo

Da allora . Da , e , allora .

Esempio 7 Lascia e . Trova .

Soluzione. Secondo la formula (1), possiamo scrivere

Pertanto, abbiamo o . È noto che e , quindi e .

Risposta: .

Esempio 8 Trova il denominatore di una progressione geometrica decrescente infinita se

e .

Soluzione. Dalla formula (7) segue e . Da qui e dalla condizione del problema si ottiene il sistema di equazioni

Se la prima equazione del sistema è al quadrato, e quindi dividere l'equazione risultante per la seconda equazione, allora otteniamo

O .

Risposta: .

Esempio 9 Trova tutti i valori per i quali la sequenza , , è una progressione geometrica.

Soluzione. Lascia , e . Secondo la formula (2), che definisce la proprietà principale di una progressione geometrica, possiamo scrivere o .

Da qui otteniamo l'equazione quadratica, le cui radici sono e .

Controlliamo: se, quindi e ; se , allora , e .

Nel primo caso abbiamo e , e nel secondo - e .

Risposta: , .

Esempio 10risolvere l'equazione

, (11)

dove e .

Soluzione. Il lato sinistro dell'equazione (11) è la somma di una progressione geometrica decrescente infinita, in cui e , a condizione: e .

Dalla formula (7) segue, che cosa . A questo proposito, l'equazione (11) assume la forma o . radice adatta l'equazione quadratica è

Risposta: .

Esempio 11. P sequenza di numeri positiviforma una progressione aritmetica, un - progressione geometrica, cosa ha a che fare con . Trova .

Soluzione. Perché sequenza aritmetica, poi (la proprietà principale di una progressione aritmetica). Perché il, quindi o . Ciò implica , che è la progressione geometrica. Secondo la formula (2), quindi lo scriviamo .

Da e , allora . In tal caso, l'espressione assume la forma o . Per condizione, quindi dall'equazioneotteniamo l'unica soluzione del problema in esame, cioè. .

Risposta: .

Esempio 12. Calcola somma

. (12)

Soluzione. Moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza (12) per 5 e ottieni

Se sottraiamo (12) dall'espressione risultante, poi

o .

Per calcolare, sostituiamo i valori nella formula (7) e otteniamo . Da allora .

Risposta: .

Gli esempi di risoluzione dei problemi forniti qui saranno utili ai candidati in preparazione per gli esami di ammissione. Per uno studio più approfondito dei metodi di problem solving, associato ad una progressione geometrica, puoi utilizzare i tutorial dall'elenco della letteratura consigliata.

1. Raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun VP Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 pag.

3. Medynsky MM Un corso completo di matematica elementare in compiti ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Edito, 2015. - 208 pag.

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Consideriamo una serie.

7 28 112 448 1792...

È assolutamente chiaro che il valore di uno qualsiasi dei suoi elementi è esattamente quattro volte maggiore del precedente. Quindi questa serie è una progressione.

Una progressione geometrica è una sequenza infinita di numeri, la cui caratteristica principale è che il numero successivo si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un numero specifico. Ciò è espresso dalla seguente formula.

a z +1 =a z q, dove z è il numero dell'elemento selezionato.

Di conseguenza, z ∈ N.

Il periodo in cui si studia una progressione geometrica a scuola è il grado 9. Gli esempi ti aiuteranno a capire il concetto:

0.25 0.125 0.0625...

Sulla base di questa formula, il denominatore della progressione può essere trovato come segue:

Né q né b z possono essere zero. Inoltre, ciascuno degli elementi della progressione non dovrebbe essere uguale a zero.

Di conseguenza, per scoprire il numero successivo della serie, devi moltiplicare l'ultimo per q.

Per specificare questa progressione, è necessario specificare il suo primo elemento e denominatore. Successivamente, è possibile trovare uno qualsiasi dei termini successivi e la loro somma.

Varietà

A seconda di q e a 1, questa progressione è suddivisa in diversi tipi:

• Se sia a 1 che q sono maggiori di uno, allora tale sequenza è una progressione geometrica crescente con ogni elemento successivo. Un esempio di tale è presentato di seguito.

Esempio: a 1 =3, q=2 - entrambi i parametri sono maggiori di uno.

Quindi la sequenza numerica può essere scritta in questo modo:

3 6 12 24 48 ...

• Se |q| minore di uno, cioè moltiplicare per esso equivale a divisione, quindi una progressione con condizioni simili è una progressione geometrica decrescente. Un esempio di tale è presentato di seguito.

Esempio: a 1 =6, q=1/3 - a 1 è maggiore di uno, q è minore.

Quindi la sequenza numerica può essere scritta come segue:

6 2 2/3 ... - qualsiasi elemento è 3 volte maggiore dell'elemento che lo segue.

• Segno-variabile. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esempio: a 1 = -3 , q = -2 - entrambi i parametri sono minori di zero.

Quindi la sequenza può essere scritta in questo modo:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Per un comodo utilizzo delle progressioni geometriche, ci sono molte formule:

• Formula del membro z-esimo. Consente di calcolare l'elemento sotto un numero specifico senza calcolare i numeri precedenti.

Esempio:q = 3, un 1 = 4. Occorre calcolare il quarto elemento della progressione.

Soluzione:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somma dei primi elementi il ​​cui numero è z. Consente di calcolare la somma di tutti gli elementi di una sequenza fino aazcompreso.

Dal (1-q) è al denominatore, quindi (1 - q)≠ 0, quindi q non è uguale a 1.

Nota: se q=1, la progressione sarebbe una serie di numeri che si ripetono all'infinito.

La somma di una progressione geometrica, esempi:un 1 = 2, q= -2. Calcola S 5 .

Soluzione:S 5 = 22 - calcolo per formula.

• Importo se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esempio:un 1 = 2 , q= 0,5. Trova l'importo.

Soluzione:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Alcune proprietà:

• proprietà caratteristica. Se la seguente condizione eseguita per qualsiasiz, allora la serie numerica data è una progressione geometrica:

az 2 = az -1 · unz+1

• Inoltre, il quadrato di qualsiasi numero di una progressione geometrica si trova sommando i quadrati di altri due numeri qualsiasi in una data serie, se equidistanti da questo elemento.

az 2 = az - t 2 + az + t 2 , dovetè la distanza tra questi numeri.

• Elementidifferiscono in quna volta.
• Anche i logaritmi degli elementi di progressione formano una progressione, ma già aritmetica, cioè ciascuno di essi è maggiore del precedente di un certo numero.

Esempi di alcuni problemi classici

Per capire meglio cos'è una progressione geometrica, possono essere utili esempi con una soluzione per il grado 9.

• Termini:un 1 = 3, un 3 = 48. Trovaq.

Soluzione: ogni elemento successivo è maggiore del precedente inq una volta.È necessario esprimere alcuni elementi attraverso altri utilizzando un denominatore.

Di conseguenza,un 3 = q 2 · un 1

Quando si sostituisceq= 4

• Termini:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcola S 6 .

Soluzione:Per fare ciò, è sufficiente trovare q, il primo elemento e sostituirlo nella formula.

un 3 = q· un 2 , Di conseguenza,q= 2

a 2 = q un 1,Ecco perchè un 1 = 3

S 6 = 189

• · un 1 = 10, q= -2. Trova il quarto elemento della progressione.

Soluzione: per fare ciò è sufficiente esprimere il quarto elemento attraverso il primo e attraverso il denominatore.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Esempio di applicazione:

• Il cliente della banca ha effettuato un deposito per un importo di 10.000 rubli, in base ai quali ogni anno il cliente aggiungerà il 6% all'importo principale. Quanti soldi ci saranno sul conto dopo 4 anni?

Soluzione: l'importo iniziale è di 10 mila rubli. Quindi, un anno dopo l'investimento, il conto avrà un importo pari a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Di conseguenza, l'importo nel conto dopo un altro anno sarà espresso come segue:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Cioè, ogni anno l'importo aumenta di 1,06 volte. Ciò significa che per trovare l'importo dei fondi sul conto dopo 4 anni, è sufficiente trovare il quarto elemento della progressione, che è dato dal primo elemento pari a 10mila, e il denominatore pari a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esempi di attività per il calcolo della somma:

In vari problemi viene utilizzata una progressione geometrica. Un esempio per trovare la somma può essere dato come segue:

un 1 = 4, q= 2, calcolaS5.

Soluzione: tutti i dati necessari per il calcolo sono noti, basta sostituirli nella formula.

S 5 = 124

• un 2 = 6, un 3 = 18. Calcola la somma dei primi sei elementi.

Soluzione:

Geom. progressione, ogni elemento successivo è q volte maggiore del precedente, cioè per calcolare la somma è necessario conoscere l'elementoun 1 e denominatoreq.

un 2 · q = un 3

q = 3

Allo stesso modo, dobbiamo trovareun 1 , sapendoun 2 eq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.