Tabella dei valori della funzione di moebius. Striscia di Möbius: una scoperta straordinaria

Quasi tutti sanno che aspetto ha il simbolo dell'infinito, simile a un otto invertito. Questo segno è anche chiamato "lemniscate", che in greco antico significa nastro. Immagina che il simbolo dell'infinito sia molto simile a una figura matematica della vita reale. Incontra la striscia di Moebius!

Cos'è una striscia di Möbius?

la striscia di Möbius(o è anche chiamato anello di Mobius, striscia di Mobius e persino anello di Mobius) è una delle superfici più famose in matematica. Un ciclo di Möbius è un anello con una superficie e un bordo.

Per capire cosa c'è in gioco, e come può essere, prendi un foglio di carta, tagliare una striscia rettangolare e al momento di collegare le sue estremità, ruotarne una di 180 gradi, quindi collegarla. L'immagine qui sotto ti aiuterà a capire come realizzare una striscia Mobius.

Cosa c'è di così straordinario nella striscia di Möbius?

la striscia di Möbius- un esempio di superficie unilaterale non orientabile con un bordo nel consueto spazio euclideo tridimensionale. La maggior parte degli oggetti sono orientabili, avendo due lati, come un foglio di carta.

Come può quindi una striscia di Möbius essere una superficie non orientabile e unilaterale - dirai, perché la carta da cui è composta ha due lati. E provi a prendere un pennarello e riempire uno dei lati del nastro con il colore, alla fine raggiungerai la posizione iniziale e l'intero nastro sarà completamente dipinto, il che conferma che ha solo un lato.

Per credere che il ciclo di Möbius abbia solo un bordo, fai scorrere il dito lungo uno dei bordi del nastro senza interruzioni e tu, proprio come nel caso della colorazione, colpirai il punto da cui hai iniziato a muoverti. Incredibile, vero?

Lo studio della striscia di Möbius e di molti altri oggetti interessanti è impegnato in - topologia, una branca della matematica che esplora le proprietà invariabili di un oggetto durante la sua continua deformazione - allungamento, compressione, flessione, senza violarne l'integrità.

Scoperta di August Möbius

Un matematico tedesco è riconosciuto come il "padre" di questo insolito nastro August Ferdinand Möbius, allievo di Gauss, che scrisse più di un'opera sulla geometria, ma divenne famoso soprattutto per la scoperta di una superficie unilaterale nel 1858.

Sorprendente è il fatto che un nastro con una superficie nello stesso 1858 sia stato scoperto da un altro studente di Gauss, un matematico di talento Elenco di Giovanni, che coniò il termine "topologia" e scrisse una serie di opere fondamentali su questa branca della matematica. Tuttavia, l'insolito nastro ha ancora preso il nome dal nome di Möbius.

C'è una credenza popolare che il prototipo del modello "ciclo infinito" fosse un nastro cucito in modo errato dalla cameriera del professor August Möbius.

In realtà, il nastro è stato scoperto molto tempo fa in mondo antico. Una delle conferme è un antico mosaico romano situato in Francia, nel museo della città di Arles, con lo stesso nastro ritorto. Raffigura Orfeo che incanta animali con i suoni di un'arpa. Sullo sfondo è raffigurato ripetutamente un ornamento con un nastro attorcigliato.

"Magia" della striscia di Möbius

Nonostante l'apparente presenza di due lati della striscia di Möbius, in realtà c'è solo un lato, e non funzionerà per colorare il nastro in due colori.
Se disegna una linea lungo l'intera lunghezza dell'anello con una penna o una matita senza togliere la mano dal foglio, lo stilo alla fine si fermerà nel punto da cui hai iniziato a disegnare la linea;
Quando si taglia il nastro si ottengono esperienze notevoli, che possono sorprendere sia un adulto che un bambino in particolare.

In primo luogo, incollare la striscia di Möbius, come descritto in precedenza. Quindi lo tagliamo per tutta la lunghezza esattamente al centro, come mostrato di seguito:

Rimarrai piuttosto sorpreso dal risultato, perché contrariamente alle aspettative, non rimarranno due pezzi di nastro nelle tue mani e nemmeno due cerchi separati, ma un altro nastro ancora più lungo. Questa non sarà più una striscia di Mobius ruotata di 180 gradi, ma una striscia con una rotazione di 360 gradi.

Ora condurremo un altro esperimento: faremo un altro ciclo di Mobius, dopo di che misureremo 1/3 della larghezza del nastro e lo taglieremo lungo questa linea. Il risultato ti stupirà ancora di più: nelle tue mani rimarranno due nastri separati di dimensioni diverse, collegati tra loro, come in una catena: un nastrino e un secondo più lungo.

La striscia di Möbius più piccola avrà 1/3 della larghezza della striscia originale, lunghezza L e ruotata di 180 gradi. Anche il secondo nastro più lungo sarà largo 1/3 dell'originale, ma lungo 2 litri e ruotato di 360 gradi.

Puoi continuare ulteriormente l'esperimento, tagliando i nastri risultanti in quelli ancora più stretti, vedrai tu stesso il risultato.

Perché abbiamo bisogno di un loop Mobius? Applicazione

La striscia di Möbius non è affatto una figura astratta, necessaria solo ai fini matematici, ha trovato applicazione anche nella vita reale di tutti i giorni. Secondo il principio di questa cintura, una cintura opera in aeroporto, spostando le valigie dal bagagliaio. Questo design gli consente di durare più a lungo a causa dell'usura uniforme. La scoperta di August Möbius è ampiamente utilizzata nell'industria delle macchine utensili. Il design viene utilizzato per tempi di registrazione più lunghi su pellicola, nonché nelle stampanti che utilizzano il nastro durante la stampa.

Grazie alla sua visibilità, il circuito di Möbius consente agli scienziati moderni di fare sempre più nuove scoperte. Dalla scoperta delle straordinarie proprietà del loop, un'ondata di nuove invenzioni brevettate ha spazzato il mondo. Ad esempio, un miglioramento significativo delle proprietà dei nuclei magnetici costituiti da un nastro ferromagnetico avvolto con il metodo Mobius.

N. Tesla ha ricevuto un brevetto per un sistema a corrente alternata multifase, che utilizza l'avvolgimento delle bobine del generatore come un circuito Mobius.

Lo scienziato americano Richard Davis ha progettato un resistore Moebius non reattivo, in grado di smorzare la resistenza reattiva (capacitiva e induttiva) senza causare interferenze elettromagnetiche.

Striscia di Mobius: un ampio campo di ispirazione

È difficile apprezzare il significato della scoperta del ciclo di Möbius, che ha ispirato non solo un gran numero di scienziati, ma anche scrittori e artisti.

L'opera più famosa dedicata alla striscia di Möbius è il dipinto Moebius Strip II, Red Ants o Red Forms del grafico olandese Maurits Escher. L'immagine mostra le formiche che si arrampicano sull'anello di Moebius su entrambi i lati, infatti c'è solo un lato. Le formiche strisciano in un ciclo infinito uno dopo l'altro sulla stessa superficie.

L'artista traeva le sue idee da articoli e lavori sulla matematica, era profondamente affascinato dalla geometria. A questo proposito, le sue litografie e incisioni contengono spesso varie forme geometriche, frattali, sbalorditive illusioni ottiche.

Finora, l'interesse per il circuito di Möbius è a un livello molto basso. alto livello, anche gli atleti hanno introdotto l'omonima figura acrobatica.

Più di un film è stato realizzato sulla base del lavoro della striscia di Möbius dello scrittore di fantascienza Armin Deutsch. Sotto forma di un anello Mobius, viene creata un'enorme varietà di gioielli, scarpe, sculture e molti altri oggetti e forme.

La striscia di Möbius ha segnato la produzione, il design, l'arte, la scienza, la letteratura e l'architettura.

Le menti di molte persone erano preoccupate per la somiglianza della forma della molecola del DNA e dell'anello di Möbius. C'era un'ipotesi avanzata dal citologo sovietico Navashin che la forma cromosoma ad anello simile nella struttura alla striscia di Möbius. Questa idea dello scienziato è stata suggerita dal fatto che il cromosoma ad anello, moltiplicandosi, si trasforma in un anello più lungo rispetto all'inizio, o in due piccoli anelli, ma come in una catena infilata l'una nell'altra, che ricorda molto gli esperimenti sopra descritti con la striscia di Möbius.

Nel 2015, un gruppo di scienziati provenienti da Europa e Stati Uniti è stato in grado di girare luce nell'anello di Möbius. Nell'esperimento scientifico, gli scienziati hanno utilizzato lenti ottiche e luce strutturata, un raggio laser focalizzato con un'intensità e una polarizzazione predeterminate in ogni punto del suo movimento. Di conseguenza, sono state ottenute strisce di Möbius leggere.

C'è un'altra teoria più ampia. L'universo è un enorme ciclo di Möbius. Einstein aderì a questa idea. Ha suggerito che l'universo è chiuso e navicella spaziale, partendo da un certo punto e volando sempre dritto, tornerà nello stesso punto nello spazio e nel tempo da cui è iniziato il suo movimento.

Finora, queste sono solo ipotesi che hanno sia sostenitori che oppositori. Chissà quale scoperta porterà gli scienziati, sembrerebbe, a un oggetto così semplice come la striscia di Möbius.

Bilancio comunale Istituto d'Istruzione scuola secondaria con approfondimento dell'individuo

articoli con. Terbunio

la striscia di Möbius

Completato da: Chepurina Anna Vitalievna,

Studente di 10a elementare

Responsabile: Kirikova MA,

primo insegnante di matematica

categoria di qualificazione

s.Terbuny

2015

Introduzione……………………………………………………………………………………………………............... .....3

Riferimento storico ……………………………………………4

La striscia di Möbius è l'inizio di una nuova scienza della topologia..................................5

Realizzazione di una striscia di Möbius ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

Esperimenti con la striscia di Möbius ................................................ .. .................nove

Proprietà topologiche della striscia di Möbius ……………………..11

Teoremi della striscia di Möbius……………………………………… .12

Trucchi con la striscia di Mobius………………………………………………15

Applicazione della striscia di Möbius…………………………………………..16

Conclusione................................................. ..................................23

Lista di referenze ............................................... ............................. .25

Appendice

introduzione

Ai nostri giorni, lo studio di varie proprietà e applicazioni non standard di figure insolite è rilevante.

Hai mai sentito parlare della striscia di Möbius? Come può essere fatto, come è legato alla matematica e dove viene applicato nella vita.

Mentre facevo questo lavoro, sono giunto alla conclusione che sebbene la striscia di Möbius sia stata scoperta nel XΙX secolo, era rilevante nel XX secolo e nel XXΙ. Le straordinarie proprietà della striscia di Möbius sono state utilizzate e vengono utilizzate in cucina, tecnologia, fisica, pittura, architettura, gioielli e bigiotteria. Ha ispirato il lavoro di molti scrittori e artisti.

L'interesse per la striscia di Möbius non è svanito nemmeno oggi. Nel settembre 2006 si è svolto a Mosca il Festival di Matematica Artistica. La presentazione di un professore della città di Tokyo è stata accolta con grande successo.

Ero molto interessato, incuriosito da questo argomento. Ho studiato letteratura, poi ho fatto io stesso la striscia di Möbius, e poi ho condotto ricerche, sperimentando, studiando le sue proprietà magiche e straordinarie.

Una striscia di Möbius è un pezzo di carta con un'estremità girata di mezzo giro (cioè 180 gradi) e incollata all'altra estremità. Milioni di persone in tutte le parti del mondo non sono nemmeno consapevoli di utilizzare la striscia di Möbius ogni giorno.

Bersaglio : racconta e mostra ai compagni di classe che sembra un semplice nastro girato

mezzo giro con le estremità incollate, può contenerne molti

sorprese.

Oggetto di studio: Striscia di Möbius.

Compiti: identificare le fonti e la letteratura sull'argomento e analizzarle;

conoscere la storia dell'emergere della striscia di Möbius;

impara come realizzare una striscia di Möbius;

studiare le varie proprietà della striscia di Möbius;

Lavorando sul tema, ho usato quanto segue metodi: analisi, sintesi,

osservazione, sperimentazione, confronto e indagine sociologica.

CAPITOLO io

"Striscia di Möbius - l'inizio di una nuova scienza"

1. 1. Cenni storici

La misteriosa e famosa striscia di Möbius fu inventata nel 1858 da un geometra tedesco.August Ferdinand Möbius . Dicono che una cameriera abbia aiutato Möbius ad aprire la sua "foglia" cucendo insieme le estremità di un lungo nastro in modo errato. Per sette anni ha atteso la considerazione del suo lavoro e, senza aspettare, ne ha pubblicato i risultati.

Contemporaneamente a Möbius, questa foglia fu inventata da un altro studente di K.F. Gauss -Elenco di Giovanni Benedetto, professore all'Università di Gottinga. Ha pubblicato il suo lavoro tre anni prima di Möbius, nel 1862. AF Möbius è nato nella città di Schulpfort. Per qualche tempo, sotto la guida di K. Gauss, studiò astronomia. Iniziò a condurre osservazioni astronomiche indipendenti presso l'Osservatorio di Pleisenburg nel 1818. ne divenne il direttore. A quei tempi la matematica non era supportata e l'astronomia dava abbastanza soldi per non pensarci e lasciava il tempo per le proprie riflessioni. Divenuto professore all'Università di Lipsia, dal 1816 Möbius introdusse per la prima volta la geometria proiettiva, un sistema di coordinate e metodi analitici di ricerca; ha stabilito l'esistenza di superfici unilaterali (strisce di Möbius), poliedri, per i quali la "legge del bordo" è inapplicabile e che non hanno volume. Möbius è uno dei fondatori della teoria delle trasformazioni geometriche, così come della topologia. Ottenne importanti risultati nella teoria dei numeri (la funzione di Möbius) e divenne uno dei più grandi geometri del suo tempo.

1.2. Striscia di Möbius - l'inizio di una nuova scienza della topologia

Dal momento in cui il matematico tedesco A. F. Möbius scoprì l'esistenza di uno straordinario foglio di carta a un lato, iniziò a svilupparsi un'intera nuova branca della matematica chiamata topologia. Il termine "topologia" può essere riferito a due rami della matematica. Una topologia, il cui antenato era Poincaré, è stata a lungo chiamata combinatoria. All'altro, all'origine dello scienziato tedesco Georg Cantor, fu dato il nome di generale o insiemistico.

La topologia combinatoria è una branca della geometria. "Geometria" è una parola greca, tradotta in russo significa "rilevamento", ("geo" - in greco - terra e "metreo" - misura) studia le proprietà delle figure. Come ogni scienza, la geometria è divisa in sezioni.

1. Planimetria (parola latina, "planum" - superficie + geometria), una sezione della geometria che studia le proprietà delle figure su un piano (triangolo, quadrato, cerchio, cerchio, ecc.)

2. Stereometria (greco, "stereos" - spazio + metrica) - una sezione della geometria che studia le proprietà delle figure nello spazio (palla, cubo, parallelepipedo, ecc.)

3. La topologia (in greco "topos" - luogo, area + logica) è una delle sezioni "più giovani" della geometria moderna, che studia le proprietà di tali figure che non cambiano se sono piegate, allungate, compresse, ma non incollate e non strappare, cioè non cambiare con le deformazioni. Un esempio di oggetti topologici sono: le lettere I e H, palloncini lunghi e sottili.

La topologia combinatoria studia le proprietà forme geometriche, che rimangono invariati nelle mappature uno-a-uno e continue. A lungo la topologia era percepita come una scienza lontana dalla vita, progettata solo per "glorificare la mente umana". Ma ai nostri tempi si è scoperto che è più direttamente correlato alla spiegazione della struttura dell'universo.

La topologia generale confina con la teoria degli insiemi e sta alla base della matematica. Questo è teoria assiomatica, progettato per esplorare concetti come "limite", "convergenza", "continuità", ecc. Le basi dell'assiomatica di uno spazio topologico furono gettate da Felix Hausdorff e completate dal matematico russo Pavel Sergeevich Aleksandrov.

1.3. Come è fatta una striscia di Möbius?

● La striscia di Möbius è una delle (sorprese matematiche).Per realizzare la striscia di Möbius, prendi una striscia rettangolare ABCD, ruotalo di 180 gradi e incolla i lati opposti AB eCD, cioè. quindi i punti A eC e punti D e V.

Vedi app. undici.

● Forme e dimensioni della striscia di carta per la striscia di Möbius.

La striscia dovrebbe essere stretta e lunga, con il rapporto lunghezza-larghezza più ampio possibile. Non puoi fare una striscia di Möbius da un foglio quadrato. Questo è vero, ma non bisogna sottovalutare il fatto che le restrizioni sulle dimensioni contano quando la carta non può raggrinzirsi. Se non è vietato accartocciare la carta, la striscia di Möbius può essere incollata non solo da un quadrato, ma da un rettangolo di qualsiasi dimensione: i lati incollati possono essere anche un numero di volte più lungo di quelli non incollati.

● Superficie di alesatura.

Poiché l'obbligo di non stropicciare la carta è importante, vediamo qual è il suo significato matematico.

È facile comprendere che il divieto di raggrinzire limita notevolmente la

la capacità di manipolare un foglio di carta. Ad esempio, un foglio di carta può essere piegato in un tubo o piegato a metà senza piegarsi, ma non può essere piegato in quattro. Puoi fare un cono da un foglio di carta senza arricciarlo, ma non puoi farne una sfera e nemmeno un pezzo: premi un foglio di carta contro un globo e appariranno sicuramente delle rughe. Come puoi vedere, non tutte le forme possono essere date a un foglio di carta. Vedi app. 2.

Le superfici che possono essere realizzate da un foglio di carta piegandolo ma non schiacciandolo sono chiamate superfici spiegabili dai matematici. In matematica le superfici sviluppabili sono definite in modo diverso: nel linguaggio metamatematico sono assenti le parole “carta”, “stropicciare”, “fare”. Esistere tutta la teoria superfici dispiegabili, i cui risultati includono una risposta soddisfacente alla domanda su cosa possono essere; i matematici chiamano questa "classificazione" (la risposta si deve a Leonardo Euler). Presentiamo solo alcune proprietà delle superfici sviluppabili come fatti sperimentali.

Vedi app. 3

1. Attraverso ogni punto A della superficie sviluppabile che non giace sul suo bordo, passa un segmento che giace sulla superficie che non termina in A. In altre parole, ogni punto può essere attaccato alla superficie sviluppabile (una curva ma foglio di carta non accartocciato) in modo che aderisse alla superficie per una certa distanza su entrambi i lati del punto preso. Tale segmento è chiamato generatrice della superficie (siamo d'accordo che questo nome si applica solo ai segmenti lunghezza massima giacente interamente in superficie, cioè a segmenti non contenuti in grandi segmenti con questa proprietà).

2. Se due diversi generatori passano per un punto A che non giace sul confine della superficie, e A non è l'estremità di nessuno dei due, allora un pezzo sufficientemente piccolo della superficie circostante A è piatto. In questo caso, il punto A sarà chiamato piatto.

3. Se il punto A, non giacente al limite della superficie, è l'estremità di qualche generatrice, diciamo:un , allora l'intorno del punto A si dispone come segue: l'unico generatore che non finisce in esso passa per il punto A, diciamob . Questa generatrice divide la superficie in due parti. Dall'altro lato della generatriceb , con cui si trova la generatriceun , alla generatrice b pezzo piatto adiacente, sull'altro lato dib , arbitrariamente dal punto A, ci sono punti non piatti. Punto A in questa situazione chiameremo semipiatto.

Sottolineiamo che se un punto della superficie non è né bordo né piatto, allora l'unica generatrice che non finisce in essa passa attraverso di essa, e le estremità di questa generatrice giacciono sul bordo della superficie.

●Esempi: un foglio di carta arrotolato in un cilindro o in un cono non ha punti piatti (o semipiatti). Per un cilindro, i generatori costituiscono una famiglia di segmenti paralleli, per un cono, una famiglia di segmenti che si aprono a ventaglio da un punto. Sono possibili disposizioni più complesse dei generatori.

Vedi app. 4.

Ad esempio, nella figura sono mostrate le generatrici e i punti piatti di una superficie in via di sviluppo (su cui la superficie è dispiegata in un foglio di carta piatto): le linee sottili sono generatori e le aree riempite sono costituite da punti piatti.

I punti che si trovano sul confine dell'area dei punti piatti sono confine per l'intera superficie o semi-piatti. Se la superficie è costituita da un poligono di carta (diciamo, un rettangolo), i punti piatti formano uno o più poligoni piatti, ciascuno di questi poligoni con vertici sul confine della superficie e lati che giacciono sul confine o sono costituiti da punte semipiatte.

CAPITOLO 2

2.1. Esperimenti con la striscia di Möbius

Ognuno di noi ha un'idea intuitiva di cosa sia una "superficie". La superficie di un foglio di carta, la superficie delle pareti dell'aula, la superficie il globo noto a tutti. Può esserci qualcosa di misterioso in un concetto così ordinario? Sì, forse un esempio è la striscia di Möbius. Per studiarne le proprietà, ho condotto da solo diversi esperimenti (dividendoli in due gruppi).

io gruppo di esperimenti

Esperienza numero 1. Siamo abituati al fatto che ogni superficie con cui

abbiamo una custodia (foglio di carta, fotocamera per bicicletta o pallavolo) -

due lati.

Ho iniziato a dipingere la striscia di Möbius senza capovolgerla.

Risultato . La striscia di Möbius è completamente verniciata.

“Se qualcuno decide di dipingere solo un lato

superficie della striscia di Moebius, fatelo immediatamente immergere in un secchio di vernice, scrive in modo eccellente Richard Courant e Herbert Robins

libro Che cos'è la matematica?

Esperienza numero 2. Ho fatto un ragno e una mosca di carta e l'ho mandato a "camminare".

un normale anello, ma proibiva loro di strisciare oltre i confini.

Risultato. Il ragno non poteva arrivare al volo.

Esperienza n. 3. Ho inviato questi ragni e voli solo sulla striscia di Möbius. E

proibì loro di attraversare il confine.

Risultato.La povera mosca verrà mangiata, a meno che, ovviamente, il ragno non stia correndo.

Più veloce!

Esperienza numero 4. Ho fatto un omino di carta e l'ho mandato a viaggiare lungo la striscia di Möbius.

Risultato. L'omino tornerà al punto di partenza, dove incontrerà la sua immagine speculare.

II gruppo di esperimenti

associati al taglio della striscia di Möbius, i risultati sono elencati nella tabella

Esperienza

Descrizione dell'esperienza

Risultato

Ho tagliato un semplice anello lungo il centro.

Ho ricevuto due semplici anelli, della stessa lunghezza, due volte più larghi, con due bordi.

La striscia di Möbius è stata tagliata al centro.

Ho ricevuto 1 anello, la cui lunghezza è due volte più lunga, la larghezza è due volte più stretta, attorcigliata di 1 giro completo, con un bordo.

Larghezza della striscia di Möbius

Tagliare 5 cm nel senso della lunghezza ad una distanza di 1 cm dal bordo.

Ho ricevuto due anelli legati tra loro: 1) Mobius strip - lunghezza = lunghezza dell'originale, larghezza 3 cm; 2) larghezza 1 cm, lunghezza doppia rispetto all'originale, attorcigliata di due giri pieni, con due bordi.

Larghezza della striscia di Möbius

Tagliare 5 cm nel senso della lunghezza ad una distanza di 2 cm dal bordo.

Ho ricevuto due anelli legati tra loro: 1) l'anello è una striscia di Möbius larga 1 cm, lunghezza = lunghezza dell'originale; 2) anello - largo 2 cm, lungo il doppio dell'originale attorcigliato uno per due giri completi, con due bordi.

Striscia di Möbius larga 5 cm, tagliata per il lungo ad una distanza di 3 cm, dal bordo.

Ho ricevuto due anelli collegati tra loro: 1) l'anello è una striscia di Möbius con una larghezza

1 cm della stessa lunghezza; 2) un anello - largo 2 cm, la sua lunghezza è due volte più grande dell'originale, attorcigliato di due giri completi.

I risultati di un'indagine sociologica condotta con gli studenti delle classi 10.

Domande

sì

Non

Sentito

1. Sai cos'è la topologia?

2. Sai cos'è una striscia Mobius?

3. Lo sai Proprietà della striscia di Mobius?

Solo il 5% degli studenti della classe 10 sa cos'è la topologia. Il 30% degli studenti sa cos'è una striscia di Möbius, il 20% ne ha sentito parlare. Il 50% non ha idea della striscia di Möbius. Il 25% degli studenti conosce le proprietà del nastro, il 10% ne ha sentito parlare, il 65% non sa nulla delle proprietà del nastro di Möbius.

2.2 Proprietà topologiche della striscia di Möbius

Sulla base dei risultati degli esperimenti, possiamo formulare le seguenti proprietà topologiche della striscia di Möbius, relative a sorprese matematiche.

L'unilateralità è una proprietà topologica della striscia di Möbius, che è caratteristica solo per essa.

Continuità: è possibile collegare qualsiasi punto della striscia Möbius

con qualsiasi altro punto. Non ci sono lacune: la continuità è completa.

Dal punto di vista topologico, un cerchio è indistinguibile da un quadrato,

perché possono essere facilmente convertiti dall'uno all'altro senza rompersi

continuità.

Connettività: per dividere l'anello a metà sono necessari due tagli. Per quanto riguarda la striscia di Möbius, il numero di connessioni viene sostituito in base alla variazione del numero di giri del nastro: se un giro è collegato doppiamente, se due giri sono semplicemente collegati, se tre sono collegati doppiamente, ecc. Ma per dividere il quadrato in due parti, abbiamo solo bisogno di un taglio. La connettività è solitamente stimata dal numero di Betti, o talvolta viene utilizzata la caratteristica di Eulero.

4. L'orientamento è una proprietà assente dalla striscia di Möbius. Quindi, se una persona potesse percorrere tutte le curve della striscia di Möbius, tornerebbe al punto di partenza, ma si trasformerebbe nella sua immagine speculare.

5. "Numero cromatico" è il numero massimo di aree che si possono disegnare sulla superficie in modo che ciascuna di esse abbia un bordo comune con tutte le altre. Il numero cromatico di una striscia di Möbius è sei.

6.Teoremi sulla striscia di Möbius

Teorema 1: λ ≥ π/2

A causa della complessità della dimostrazione, non la considero nel mio lavoro.

Teorema 2: λ ≤ √3

Questo teorema è più semplice del precedente: per dimostrarlo basta spiegare come incollare una striscia di Möbius da una striscia di lunghezza maggiore di √3. Supponiamo prima che la sua lunghezza sia esattamente √3. Quindi due triangoli regolari possono essere posizionati su questa striscia. Piega la striscia lungo i lati di questi triangoli, alternando la direzione della piega. I bordi delle strisce AB e CD saranno allineati, e il punto A sarà allineato con il punto D e il punto B sarà allineato con il punto C. Otterrai una striscia di Möbius, i cui bordi sono intestati (vedi Appendice 1.2). )

In questa costruzione, la regola principale è stata violata: non accartocciare la carta. Ma è facile capire che se la lunghezza della striscia è almeno un po' più di √3, allora la piega lungo la generatrice può essere sostituita dalla flessione prodotta in una sezione stretta. Insomma, non abbiamo paura di una rottura lungo un tratto rettilineo: può essere sostituita da una curva ad essa vicina. (La piega irreparabile della carta si verifica quando due linee di piegatura si intersecano, cioè quando il foglio si piega come un fazzoletto - tutto questo ci è noto dall'esperienza quotidiana.). La sua struttura può essere immaginata come segue: tre triangoli regolari identici ABC, A"B"C", A"B"C" giacciono paralleli tra loro, i vertici corrispondenti sono al di sopra dei vertici corrispondenti; i lati AB e A"B", B"C" e B"C", C"A" e CA sono ponticellati. La linea di incollaggio corre lungo la mediana di uno dei triangoli.

Perché non possiamo trovare λ più precisamente?

Finché il problema non è risolto, è difficile dire perché non è stato risolto. Tuttavia, a volte in vari problemi irrisolti è possibile tracciare difficoltà comuni, segnare, per così dire, luoghi difficili su una mappa matematica, il che a volte consente di prevedere il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema.

Teorema 3. Una striscia di Möbius con autointersezioni può essere incollata insieme da una striscia di qualsiasi lunghezza maggiore di π/2.

Si fa così. Prendi una n dispari sufficientemente grande e costruisci regolare n-gon inscritto in una circonferenza di diametro 1. Consideriamo quindi n triangoli contenenti il centro della circonferenza, ciascuno dei quali è delimitato da un lato e da due diagonali di un n-gon (n=7). Questi triangoli coprono il nostro n-gon, alcuni dei suoi posti - diverse volte. Ora uniamo questi n triangoli l'uno all'altro, dopodiché tagliamo metà del triangolo più a sinistra lungo la mediana lunga e lo attacciamo al triangolo più a destra. Otterrai una striscia rettangolare con un rapporto lunghezza/larghezza maggiore di π/2 e tendente a π/2 poiché n tende a ∞ (la larghezza della striscia tende a 1 e la lunghezza tende a π/2). Piegheremo successivamente questa striscia lungo tutte le linee disegnate su di essa, alternando le direzioni della piega. In questo caso, i segmenti AB e CD coincideranno quasi: ci saranno solo pochi strati di carta piegata tra di loro. Con questa “quasi corrispondenza”, il punto A sarà allineato con D, e il punto B con C, quindi se potessimo “passare il nastro attraverso se stesso” e incollare |AB| con |CD|, sarebbe una striscia di Möbius. Se il nastro viene impiegato un po' più a lungo, si possono evitare le grinze, proprio come abbiamo fatto nella dimostrazione del Teorema 2. Abbiamo ottenuto una striscia di Möbius, i cui bordi sono separati da diversi strati di carta, vedere l'Appendice 1.3. Ma torniamo alla striscia di Möbius. Il teorema 1, come abbiamo visto, si applica effettivamente ai nastri autointersecanti. È improbabile che la condizione di non autointersezione non influisca su λ; tuttavia, questo effetto non può essere preso in considerazione, poiché la matematica non dispone di mezzi tecnici sufficienti per studiare le autointersezioni spazio tridimensionale. Al contrario, è abbastanza probabile che il Teorema 2 non possa essere migliorato. Dopotutto, migliorarlo significa inventare un nuovo design del nastro. L'esperienza mostra che le costruzioni ottimali possono essere semplici e armoniose, che è la costruzione della dimostrazione del Teorema 2. È naturale presumere che se esistesse una costruzione migliore, sarebbe trovata - in così tanti anni!

Ecco perché possiamo aspettarci che λ = √3.

Trucchi con la striscia di Mobius

Il problema dei nodi

Come fare un nodo su una sciarpa senza lasciarne le estremità? Si può fare così. Metti la sciarpa sul tavolo. Incrocia le braccia sul petto. Continuando a tenerli in questa posizione, piegati al tavolo e prendi un'estremità della sciarpa alternativamente con ciascuna mano. Dopo che le mani sono state separate, un nodo risulterà da solo nel mezzo della sciarpa. Usando la terminologia topologica, possiamo dire che le mani dello spettatore, il suo corpo e la sciarpa formano una curva chiusa a forma di nodo "a tre foglie". Quando si allargano le mani, il nodo si sposta solo dalle mani al fazzoletto.

Fai un nodo nella sciarpa con una mano, tenendo l'estremità della sciarpa in mano. La risposta a questo enigma può essere trovata nel libro Mathematical Wonders and Mysteries di M. Gardner.

Dal punto di vista della topologia, il giubbotto può essere considerato come una superficie a due lati con tre bordi non collegati, ciascuno dei quali è una normale curva chiusa. Il gilet abbottonato è una superficie a due lati con quattro bordi.

Ciclo misterioso.

Uno spettatore che indossa un giubbotto viene messo su un cappio sul braccio e poi gli viene chiesto di sdraiarsi pollice nella tasca inferiore del gilet. Ora puoi invitare i presenti a rimuovere il passante dalla tua mano senza tirare fuori il dito dalla tasca del gilet. La soluzione è la seguente: l'anello deve essere tirato nel foro del giubbotto per la manica, gettato sopra la testa dello spettatore, estratto attraverso il secondo foro per la manica e trasferito sotto il secondo braccio. Come risultato di queste azioni, l'anello sarà sotto il giubbotto, circondando il petto. Abbassalo finché non appare da sotto il giubbotto, quindi lascialo cadere a terra.

Capovolgere il giubbotto senza rimuoverlo dalla persona.

Il proprietario del giubbotto deve stringere le dita dietro la schiena. Altri devono capovolgere il giubbotto senza separare le mani di chi lo indossa. Per dimostrare questa esperienza, è necessario sbottonare il giubbotto e tirarlo giù per le mani dietro la schiena di chi lo indossa. Il giubbotto sarà sospeso in aria, ma ovviamente non si staccherà perché le mani sono giunte. Ora devi prendere la metà sinistra del giubbotto e, cercando di non piegare il giubbotto, spingerlo il più lontano possibile nello scalfo destro. Quindi prendere lo scalfo destro e inserirlo nello stesso scalfo e nella stessa direzione. Resta da raddrizzare il giubbotto e tirarlo sul proprietario. Il giubbotto sarà capovolto. Abbiamo eseguito questo trucco e l'abbiamo filmato in video con i compagni di classe. È contenuto nella presentazione di Moebius Strip.

2.3. Applicazione della striscia di Möbius

∞ All'ingresso del Museo di Storia e Tecnologia di Washington, DC, una fascia d'acciaio a mezzo giro ruota lentamente su un piedistallo. Nel 1967, quando si tenne in Brasile un congresso internazionale di matematica, i suoi organizzatori emisero un francobollo commemorativo in tagli da cinque centavos. Aveva una striscia di Möbius. Sia il monumento, alto più di due metri, sia il minuscolo francobollo sono monumenti originali al matematico e astronomo tedesco August Ferdinand Möbius.

Vedi appendice 5.

L'Ufficio Brevetti ha registrato molte invenzioni basate sulla stessa superficie unilaterale.

∞ La striscia di Möbius è utilizzata in molte invenzioni ispirate da un attento studio delle proprietà di una superficie unilaterale. Una striscia di un nastro trasportatore, realizzata a forma di striscia di Möbius, gli consente di lavorare il doppio del tempo, perché l'intera superficie della lastra si consuma in modo uniforme. Nel 1923 fu rilasciato un brevetto all'inventore Lee de Force, che propose di registrare il suono su una striscia di pellicola senza cambiare le bobine su entrambi i lati contemporaneamente. Sono state inventate le cassette per un registratore, in cui il nastro viene attorcigliato e incollato in un anello, mentre diventa possibile registrare o leggere informazioni da entrambi i lati contemporaneamente, il che raddoppia la capacità della cassetta e, di conseguenza, il tempo di riproduzione. Nelle stampanti a matrice di punti, il nastro inchiostrato aveva la forma di una striscia di Möbius per aumentare la durata. Ciò fornisce risparmi tangibili. La striscia di Möbius viene utilizzata nella camera delle biciclette e della pallavolo.

∞ Più recentemente, è stato trovato un altro uso per lei: ha iniziato a interpretare il ruolo di una molla, ma le molle sono speciali. Come sapete, una molla armata funziona nella direzione opposta. La striscia di Möbius, contrariamente a tutte le leggi, non cambia la direzione di funzionamento, come i meccanismi con due posizioni stabili. Una tale molla potrebbe avere un valore inestimabile nei giocattoli a orologeria - non può essere ruotata come una normale - una specie di macchina a moto perpetuo.

Vedi app. 6.

∞ Nel 1971, l'inventore degli Urali Chesnokov P.N. applicato un filtro a forma di striscia di Möbius.

∞ La striscia di Möbius viene utilizzata in cucina per creare un aspetto interessante e appetitoso per panini, essiccatori, sterpaglie. E anche nella produzione di strumenti per cucinare e decorare vari piatti, strutture di potenza (miscelatore).

Vedi app. 7.

∞ Con l'aiuto della striscia di Möbius, vengono creati interi capolavori.

La striscia di Möbius è servita da ispirazione per le sculture e per arte grafica. Escher fu uno degli artisti che ne fu particolarmente affezionato e dedicò molte delle sue litografie a questo oggetto matematico. Uno di quelli famosi mostra le formiche che strisciano sulla superficie di una striscia di Möbius.

Vedi appendice 9.

∞ La striscia di Möbius è ricorrente anche nella fantascienza, come nel racconto di Arthur C. Clarke "The Wall of Darkness". A volte le storie di fantascienza suggeriscono che il nostro universo potrebbe essere una striscia di Möbius generalizzata. Nella storia dell'autore A.J. Deutsch, la metropolitana di Boston sta costruendo una nuova linea, il cui percorso diventa così confuso da trasformarsi in una striscia di Möbius, dopodiché i treni iniziano a scomparire su questa linea.

∞ C'è un'ipotesi che l'elica del DNA stessa sia anche un frammento della striscia di Möbius, e solo per questo motivo codice genetico così difficile da decifrare e capire. Inoltre, una tale struttura spiega abbastanza logicamente la causa dell'inizio della morte biologica: la spirale si chiude su se stessa e si verifica l'autodistruzione.

Allegato 10.

∞ La striscia di Möbius piaceva non solo ai matematici, ma anche ai maghi

Per oltre 100 anni, la striscia di Möbius è stata utilizzata per eseguire trucchi e intrattenimento. Le straordinarie proprietà del foglio sono state dimostrate anche nel circo, dove venivano appesi nastri luminosi, incollati insieme sotto forma di strisce di Möbius. Il mago accese una sigaretta e toccò la punta che bruciava linea di mezzo ogni nastro, che era fatto di nitrato di potassio. Il sentiero infuocato ha trasformato il primo nastro in uno più lungo e il secondo in due nastri, infilati l'uno nell'altro. (In questo caso, il mago ha tagliato la striscia di Möbius non al centro, ma a una distanza di un terzo della sua larghezza).

∞ I fisici dicono che tutto leggi ottiche si basano sulle proprietà della striscia di Möbius, in particolare la riflessione in uno specchio è una specie di trasferimento nel tempo, a breve termine, della durata di centesimi di secondo, perché vediamo davanti a noi... a destra, il nostro specchio doppio .

∞C'è un'ipotesi che il nostro Universo sia molto probabilmente chiuso nella stessa striscia di Möbius, secondo la teoria della relatività, maggiore è la massa, maggiore è la curvatura dello spazio. Questa teoria conferma pienamente l'assunto che un'astronave che vola sempre dritta può tornare al punto di partenza, questo conferma l'illimitatezza e la finitezza dell'Universo.

Vedi app. undici.

∞ L'interesse per la striscia di Möbius non è svanito nemmeno oggi. Nel settembre 2006 si è svolto a Mosca il Festival di Matematica Artistica. Il discorso del professor Jin Akiyama di Tokyo è stato accolto con grande successo. La sua performance ricordava uno spettacolo di illusionisti, dove c'era posto per la striscia di Möbius (lavoro con la carta "Möbius Strip e le sue modifiche").

SPORT

Espansione manuale "Robur"

Vedi app. 12.

Uno dicose preferite di tutti gli insegnanti di educazione fisica della scuola, che secondo loropropria espressione "non si allenasolo i muscoli della mano, mae muscolo cerebrale. "Espansore carpale daStudio Art. Lebedev ripete la forma della striscia di Möbius. Ottimo antistressinfinito esolo un modo utile per tenere le mani occupate.

PROFUMO

Profumo Bugatti

Vedi app. tredici

AziendaBugattiha lanciato la produzione non solo di auto ultra-costose (modelloVeyroncosta 1,3 milioni di euro), ma anche... distillati. ogni bottiglia, realizzata in cristallo e ricoperta di oro vero, ha la forma di un'insolita striscia di Möbius, che ha un solo lato. prezzo del profumoBugattiè di 3500 euro.

Profumo Loewe Quza, Quiza, Quiza

Vedi app. quattordici .

Nell'autunno del 2011 è stata rilasciata una versione viola della fragranza, la cui bottiglia è avvolta da un nastro Mobius, simbolo del ciclo delle passioni in natura. La ricchezza della composizione consiste nella freschezza di arance asiatiche, bergamotto, bacche rosse, prosegue con un cuore floreale di magnolia, fresia e petali d'arancio, e termina con una composizione di sensuale legno di cashmere, ambra dorata e vetiver.

Profumo UFO Edizione Limitata, Kenzo

Vedi app. quindici .

Presentazione dell'aromaKenzoha avuto luogo nel 2009 in una mostra retrospettiva di opere di Ron Arad (RonArad) al Centre Pompidou di Parigi. È stato questo artista e architetto a inventare il design cosmico della bottiglia a forma di striscia di Möbius. È progettato per adattarsi esattamente al palmo della tua mano.Non identificatoFragranzaOggetto, o Oggetto aromatico non identificato, è limitato a 180 copie e costa $ 188.

ARREDAMENTO

Tavolo Möbius

Vedi app. sedici

Un tavolo a una superficie per stare in piedi, seduti e sdraiati comodamente.

Libreria Infinito

Vedi app. 17.

Il designer Job Kelevius ha rotto gli schemi quando ha progettato la sua libreria Infiniti. Utilizzando il concetto matematico del Lemniscate e qualcosa di simile alla striscia di Moebius, il designer ha incarnato l'idea fisica dell'infinito nello scaffale Infinity. Ciò significa che se hai letto tutti i libri su questo scaffale, considera di aver compreso l'intera infinità della letteratura.

Divano Möbius

Vedi app. diciotto.

Nata sotto il motto "Doppia sedia - doppio piacere", poltrona da divanoMoebiusDoppiopoltronacreato dal designerGaeabbronzaturaVandeWyerdal Belgio e porta una nuova visione dei mobili per gli amanti.

LOGHI

Logo aziendale Woolmark

Vedi app. diciannove.

Il logo è stato creato nel 1964 a seguito di un concorso di design. Membro della giuriaFrancoGrignaninon ha resistito e ha offerto la sua versione, nascondendosi sotto uno pseudonimoFrancescoSerraglio. Questo logo ricorda una striscia di Möbius ed è un simbolo dell'eternità e della flessibilità dell'azienda.

Simbolo di riciclaggio

Vedi app. 20.

Il simbolo internazionale del riciclaggio è la striscia di Möbius. Riciclaggio (altri termini: riciclaggio, riciclaggio dei rifiuti, riciclaggio e raccolta differenziata)- riutilizzo o rimessa in circolazione di scarti di produzione o rifiuti. Le più comuni secondarie, terziarie e t. e. Lavorazione su scala di materiali come vetro, carta, alluminio, asfalto, ferro, tessuti e vari tipi di plastica. Utilizzato anche fin dall'antichità in agricoltura rifiuti organici agricoli e domestici.

Simbolo di matematica

Vedi app. 21.

La striscia di Möbius è considerata un simbolo della matematica moderna, poiché è stato lui a dare impulso a nuove ricerche matematiche.

VESTITI E SCARPE

Scarpe

Vedi app. 22.

Fondata nel 2003 dall'architetto Ram Dee Koolhaas e dal calzolaio Galahad ClarkUnitoNudoè specializzata nella produzione di scarpe di design innovative. Uno degli sviluppi di maggior successo dell'azienda sono le scarpeMobio , dal nome del geometra August Möbius e della sua idea di una superficie unilaterale. L'idea delle scarpe è la seguente: la tomaia in pelle delle scarpe e la suola sono un unico nastro, attorcigliato in un certo modo.

Sciarpa di Moebius

Vedi app. 23.

Una cosa interessante è la sciarpa di Moebius che compare nei guardaroba del 21° secolo. Puoi realizzare tu stesso una sciarpa Mobius legando le estremità della sciarpa ruotandola di un giro.

PITTURA

Graffiti

Vedi app. 24.

Una moderna striscia di Möbius è dipinta su un muro a Praga, Repubblica Ceca.   Lungo il nastro si muovono due tipi di veicoli: carri armati e macchine per la costruzione di strade Il simbolo della civiltà moderna: distruggiamo-costruiamo-distruggiamo-costruiamo...

ARCHITETTURA

edificio della biblioteca

Vedi app. 25.

Attualmente è allo studio un progetto per costruire una biblioteca a forma di striscia di Möbius in Kazakistan.

Le curve dell'edificio formano una fascia di Möbius, quindi lo spazio interno passa nell'esterno e viceversa; allo stesso modo, le pareti diventano il tetto e il tetto si trasforma di nuovo nelle pareti. La luce naturale entra nei corridoi interni attraverso aperture geometriche nel guscio esterno, creando spazi splendidamente illuminati ideali per la lettura.

attrazioni

Vedi app. 26.

L'attrazione "montagne russe" ricorda la forma di una striscia di Möbius. Mosca ha le montagne russe invertite più grandi del mondo, dove una persona siede su una sedia sospesa e le sue gambe sono in aria. Velocità - 81 km / h, altezza 30 m L'altezza, rispetto agli analoghi stranieri, è piccola, ma questo più che ripaga con un'abbondanza di spirali, anelli e anelli morti.

bobina

Vedi app. 27.

Nel 1923 fu rilasciato un brevetto all'inventore Lee de Force, che propose di registrare il suono su pellicola senza cambiare bobina, da entrambi i lati contemporaneamente.

Cassetta

Vedi app. 28.

Sono state inventate le cassette per un registratore, in cui il nastro viene attorcigliato e incollato in un anello, mentre diventa possibile registrare o leggere informazioni da entrambi i lati contemporaneamente, il che aumenta la capacità della cassetta e, di conseguenza, il tempo di riproduzione.

Auto Toyota MOB

Vedi app. 29.

Il Möbius Bollid è stato progettato dal designer spagnolo Jorge Marti Vidal e combina la bellezza e il mistero della striscia Möbius. La forma unica del corpo fornisce all'auto da corsa una buona aerodinamica

Stampante a matrice

Vedi app. trenta.

In molte stampanti a matrice di punti, il nastro inchiostrato ha anche la forma di una striscia di Möbius per aumentarne le risorse.

Resistenza di Möbius

Vedi app. 31.

Questo è un elemento elettronico di nuova invenzione che non ha una propria induttanza.

nastro abrasivo

Vedi app. 32.

Nel 1969, l'inventore sovietico Gubaidullin propose un nastro abrasivo senza fine a forma di striscia di Möbius.

Conclusione

La striscia di Möbius è la prima superficie unilaterale scoperta da uno scienziato. Più tardi, i matematici scoprirono di più intera linea superfici unilaterali. Ma

questo - il primo in assoluto, che ha gettato le basi per un'intera direzione nella geometria, attira ancora l'attenzione di scienziati, inventori, artisti e noi studenti. Ero molto interessato proprietà pubbliche Striscia di Möbius:

La striscia di Moebius ha un bordo, un lato

La striscia di Möbius è un oggetto topologico. Come ogni figura topologica, non cambia le sue proprietà fino a quando non viene tagliata, fatta a pezzi o i suoi singoli pezzi non vengono incollati insieme.

Un bordo e un lato della striscia di Möbius non sono legati alla sua posizione nello spazio, né ai concetti di distanza.

La striscia di Möbius ha numerosi usi in cucina, ingegneria, fisica, pittura, architettura, design di gioielli e studio delle proprietà dell'universo. Ha ispirato il lavoro di molti scrittori e artisti.

1. Ricordiamo innanzitutto la definizione dell'importante funzione di Möbiou della teoria dei numeri

1 se n = 1

µ (n)=0 se esiste un numero primo p, p2 n (-1)k se n = p1 … pk è il prodotto di k fattori primi distinti.

Dimostriamo la proprietà principale della funzione di Möbius:

Teorema 1.

♦ Se n = 1, allora l'unico divisore è d = 1 e (1) è vera, perché µ (1) = 1. Sia ora n > 1. Lo rappresentiamo nella forma

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

dove pi , i 1, k sono numeri primi, si sono le loro potenze. Se d è un divisore di n, allora d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

dove 0 ≤ di ≤ si , io 1, k . Se di > 1 per alcuni i 1, k , allora µ (d) = 0. Quindi, in (1) dobbiamo considerare solo quelli d per i quali di ≤ 1, i 1, k . Ciascuno di questi divisori

è il prodotto di r distinto numeri primi, dove r 1, k , e il suo contributo alla somma

(1) è uguale a (-1)r e ci sono k in totale. Così, otteniamo


	µ (d) = 1 -	K + (-1)k	0. ♦



	Teorema 2. (formula di inversione di Möbius). Siano f(n) e g(n) funzioni del naturale
vero argomento. Poi l'uguaglianza
			∑f(d)

è vero se e solo se l'uguaglianza è vera
			∑µ (d)g(
			∑µ (d)g(

♦ Sia (2) vera per ogni n. Quindi

g(d n ) = ∑ f(d′ )

Sostituendo a destra della (3), otteniamo

∑µ (d)g(	) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )

		d'

La doppia somma a destra si effettua su tutte le coppie d, d′ tali che d d′ n . Se scegliamo d′ , allora d scorrerà attraverso tutti i divisori di d n ′ . così

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

n > d′

Ma secondo (1) abbiamo ∑

µ (d′ ) =

n = d′

Quindi, l'uguaglianza (3) è stabilita. Sia ora (3) valida per qualsiasi n. Quindi

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - è un divisore di n e la doppia somma può

n d'

essere riscritto come

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d′ )

d''

n d'

d''

Secondo (1), l'ultima somma diventa unità nel caso di d′′ = n, negli altri casi

tè è zero. Ciò dimostra (2). ♦ 2. Si consideri l'applicazione dell'inversione di Möbius.

Sia dato un alfabeto A di s lettere. Ci sono sn parole di lunghezza n nell'alfabeto dato. Per ogni parola w0 = a1 a2 … si possono definire n - 1 parole

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , ottenuti l'uno dall'altro per spostamenti ciclici. Sull'insieme di tutte le sn parole introduciamo una relazione di equivalenza: due parole sono dichiarate equivalenti se l'una dell'altra è ottenuta da uno spostamento ciclico. Saremo interessati al numero di classi che contengono esattamente n parole. Un tale problema sorge nella teoria della sincronizzazione dei codici.

Chiameremo degenerata una parola w se la classe di equivalenza contenente w è composta da meno di n parole. Chiamiamo w periodico se esiste una parola u e un numero naturale m tale che w = u u … u (m volte).

Teorema 3. Una parola w è periodica se e solo se è degenerata.

come te possiamo prendere un 1 a 2 … a p , e come m =

♦ È chiaro che se w è periodico, allora è degenere. Sia w degenerato. Sia p l'intero più piccolo tale che w = wp . Allora se

w = a1 a2 … an , quindi wp = a1+p a2+p … an+p (indici modulo n). Quindi otteniamo che in n p . (È facile vedere che p n). ♦ Sfondo

è significativo in termini di M(d) - il numero di quadrati che contengono d parole. Dal precedente abbiamo

dn. Quindi, la formula∑ dM(d) = s n . dn

Applichiamo la formula di inversione di Möbius al caso g(n) = sn , f(d) = dM(d). Allora arriviamo

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Pertanto, M(n) è il numero che ci interessa. Se n = p è un numero primo, allora

− s)

Esiste una versione moltiplicativa dell'inversione di Möbius. giusto

Teorema 4. Siano f(n) eg(n) funzioni di un argomento naturale correlato

logorante

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

e viceversa, da (5) segue (4).

Usando la formula di inversione di Möbius, si può risolvere il problema praticamente importante del numero di polinomi irriducibili di grado fisso su un campo finito. Sia GF(q) un campo di q elementi e m un numero naturale. Poi per il numero

Φ m (q) di polinomi irriducibili nel campo GF(q), abbiamo la formula

Diamo una tabella di diversi primi valori della funzione Φ m (2)


Φm(2)

§ 5. Permanenti e loro applicazione alle enumerazioni

1. Per risolvere molti problemi combinatori, vengono utilizzati permanenti. Considera una matrice numerica

UN = (ai , j), io = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

Il permanente della matrice A (notazione - per A) è definito dall'uguaglianza

per A = ∑			a 2 j L a nj
(j1, K, jn)
(j1, K, jn)

dove la somma viene eseguita su tutte le n-permutazioni di m elementi 1, 2, m. In altre parole, il permanente di una matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi presi uno alla volta da ogni riga e colonne diverse.

La formula (1) implica alcune ovvie proprietà del permanente, simili a quelle del determinante per matrici quadrate.

1. Se una delle righe(n × m)-matrice A (n ≤ m) consiste di zeri, quindi per A = 0. Per n = m, lo stesso vale per le colonne.

2. Quando si moltiplicano tutti gli elementi di una delle righe della matrice A per un numero, il valore della A permanente viene moltiplicato per lo stesso numero.

3. Un permanente non cambia quando le sue righe e colonne vengono riorganizzate.

Indichiamo con Aij la matrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.

4. La formula per l'espansione del permanente nella i-esima riga è valida per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + obiettivo per Obiettivo (2)

quindi, molte proprietà dei permanenti sono simili a quelle dei determinanti.

Tuttavia, la proprietà principale dei determinanti det(AB) = detA detB non vale per i permanenti, e questa circostanza complica notevolmente il loro calcolo.


Per esempio,


	2, per


Tuttavia, 4 = per		≠ per

Consideriamo una delle applicazioni più importanti del concetto di permanente nei problemi combinatori.

dacie. Sia X = (x1 , xm ) un insieme finito e X1 , … , Xn un sistema di sottoinsiemi

In questo caso, si dice che l'elemento xi rappresenti l'insieme Xi . La necessità di trovare un sistema di diversi rappresentanti sorge nel risolvere molti problemi applicati. Considera il seguente problema di codifica. Lascia che ci sia una frase, ad es. un insieme ordinato di parole in un alfabeto. È necessario codificare questa frase in modo che ogni parola sia associata a una lettera e questa lettera deve far parte di questa parola e lettere diverse devono corrispondere a parole diverse.

Esempio: la frase a bc ab d abe c de cd e può essere codificata come abecd. Allo stesso tempo, la frase ab ab bc abc bcd non può essere codificata in questo modo, poiché le prime quattro parole in totale contengono solo tre lettere.

Per un sistema di insiemi X1 , … , Xn definiamo matrice di incidenza A = (aij ), io = 1, n ,


	1 se xi
un ij =
	0 altrimenti.
giusto
Teorema 1. Sia A = (aij ), i =		(n ≤ m) matrice di incidenza
Teorema 1. Sia A = (aij ), i =		(n ≤ m) matrice di incidenza

imposta X1 , … , Xn , dove Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Poi per il numero di sistemi

rappresentanti personali R(X1 , … , Xn ) degli insiemi X1 , … , Xn

R(X1 , … , Xn ) = per A

♦ Infatti, poiché l'elemento aij = 1 nella matrice A, se xj Xi e aij = 0 ,

se xj

K, xi

) elementi di X è un sistema di differenti pre-

Xi , quindi l'insieme (xi

fornitori per X1 , … , Xn

se e solo se a1i

K, un ni

poliziotti a1i

K, un ni

sono in diverse colonne della matrice A. Somma i numeri

a1i ,K ,a ni

su tutte le n-permutazioni degli elementi 1, 2, ... , m. Poi ne otteniamo cento

d'altra parte, il numero di sistemi di diversi rappresentanti per X1 , … , Xn e, dall'altra, il valore della per-

matrice A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Conseguenza. Esiste un sistema di diversi rappresentanti per X1 , … , Xn se e solo se per la matrice corrispondente vale l'occorrenza A:

Poiché ci sono m(m - 1) ... (m - n +1) termini nella formula (1), il calcolo del permanente basato sulla definizione è difficile. Diamo una formula generale per questo scopo.

2. Ci limitiamo a considerare matrici numeriche quadrate А = (aij ), i, j = 1, n .

Allora per A = ∑

(i1 ,K ,in )

dove la somma si estende su tutte le permutazioni i1 , … , negli elementi

1, 2, …, n. Applichiamo la formula di inclusione-esclusione per calcolare il permanente della matrice A. Ad ogni insieme i1 , … , in sarà assegnato un peso pari a a1i 1 ,K ,a ni n .

Quindi il permanente A è la somma dei pesi di quegli insiemi che corrispondono alle permutazioni. Introduciamo n proprietà P1 , … , Pn sull'insieme di tutte le collezioni i1 , i2 , … , in da 1, 2, … , n, dove la proprietà Pi significa che la collezione i1 , … , in non ha elemento i. Quindi, il permanente A è la somma dei pesi degli insiemi i1 , … , in quanto non hanno nessuna delle proprietà P1 , … , Pn . Resta da determinare la somma dei pesi W(Pi 1 ,K , Pi k ) di insiemi con k proprietà

Pi 1 , K , Pi k . Abbiamo per la somma dei pesi W(0) di tutti gli insiemi i1 , … , ik .
W(0) = ∑		K, un ni	= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1,K,in
i1,K,in

W(N(Pi)) =		a1i ,K , un ni		= (un 11 + L + un 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)

	≠i

dove il segno ^ su un elemento della matrice A significa che questo elemento deve essere omesso. Allo stesso modo per sij (i< j) имеем


W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Ora, usando la formula di inclusione-esclusione, otteniamo la formula Raiser per A permanente:


per A = ∏ io n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +

+ (− 1)s	∑∏n
+ (− 1)s	∑∏n	(un k1 + L + un ki1	L+un ki	L + un kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Il calcolo del permanente secondo la formula Raiser può essere organizzato in modo tale che sia richiesto

(2n - 1)(n - 4) moltiplicazioni e (2n - 2)(n + 1) addizioni. Sebbene questo valore cresca rapidamente con n, questa formula fornisce il massimo metodo efficace calcoli permanenti.

3. Chiariamo ora la questione delle condizioni per l'uguaglianza a zero del permanente della matrice (0, 1). Ci limitiamo al caso di una matrice quadrata.

Teorema 2. Sia A = (aij ), i, j = 1, n una matrice (0, 1) di ordine n. Quindi

per A= 0 se e solo se A ha una sottomatrice s × t di zeri, dove s + t = n + 1.

♦ Sia tale sottomatrice nulla in A. Poiché il permanente non cambia dalle permutazioni di righe e colonne, possiamo supporre che questa sottomatrice si trovi nell'angolo in basso a sinistra, ad es.

dove O - (s × t) è una matrice di zeri, la sottomatrice B ha dimensione (n - s) × t. Qualsiasi membro del permanente A deve contenere un elemento ciascuno dalle prime t colonne. Pertanto, se cerchi termine positivo permanente, allora gli elementi di queste colonne devono appartenere a due righe diverse con i numeri 1, 2, …, n - s. Tuttavia, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Sia ora per A = 0. Dimostriamo il teorema per induzione su n. Per n = 1 l'asserzione è ovvia (A = (0)). Sia valido per tutti gli ordini inferiori a n. Se A è una matrice nulla di ordine n, l'asserzione è ovvia. Se A non è una matrice zero, allora sia aij = 1. Scriviamo la scomposizione di A nella riga i:

per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Poiché per А = 0, quindi per Аij = 0. Ma Аij ha dimensione (n - 1) × (n - 1) e, per ipotesi induttiva, esiste una sottomatrice di zeri di dimensione

s1 × t1 e s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Riorganizza le righe e le colonne in modo che questa sottomatrice zero si trovi nell'angolo in basso a sinistra:


A→B=

dove О - sottomatrice zero di dimensione s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - ha dimensione (n - s1 ) × t1 , D -

ha dimensione s1 × (n - t) . Quindi, le matrici С e D sono quadrate e hanno rispettivamente l'ordine (t1 × t1 ) e (s1 × s1 ). Secondo la definizione di permanente, abbiamo per B = per A e,

per B = per C per D e quindi da per A = 0 ne segue che o per C = 0 o per D = 0.

Sia per C = 0. Per l'ipotesi induttiva, C ha una sottomatrice di dimensione zero

u × v, dove u + v = t1 + 1. Sia posizionato in righe con numeri i1 , … , iu e colonne con numeri j1 , … , jv . Si consideri una sottomatrice B composta da righe

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n e colonne j1 , … , jv . Questa è una sottomatrice nulla di dimensione (u + n - t1 ) × v,

dove u + n - t1 + v = n + +1. Quindi, la matrice B contiene una sottomatrice zero di dimensione s × t, dove s + t = n + 1. Poiché le matrici A e B differiscono nella permutazione di righe e colonne, il teorema è dimostrato. ♦

Consideriamo ora un caso particolare importante della matrice A. Indichiamo con A(k, n) la matrice n × n di 0.1 elementi con k unità per ogni riga e ogni colonna (k > 0).

Teorema 3. Per ogni matrice A(k, n) abbiamo per A(k, n) > 0.

♦ Assumiamo al contrario che per A(k, n) = 0. Allora, per il Teorema 2, esiste zero

sottomatrice di dimensione s × t, dove s + t = n + 1. Quindi, riordinando le righe e le colonne della matrice A(k, n), otteniamo la matrice

dove O è la matrice zero (s × t).

Contiamo il numero di 1 nelle matrici B e D. Poiché A(k, n) ha k 1 in ogni riga e ogni colonna, ci sono esattamente k 1 in ogni colonna di B e ogni riga di D.

unità. Ci sono n k unità in totale in A(k, n), quindi nk ≥ tk + sk = (t + s)n. così

zom, n ≥ t + s, il che è impossibile, perché s + t = n + 1

validità dell'affermazione. ♦ Si dimostra in modo simile

Teorema 3a. Sia A una matrice (0,1) di dimensione n × m (n≤ m). Allora perA = 0 se e solo se contiene una sottomatrice zero di dimensione s × t, dove s+t=m+1.

4. Consideriamo ora l'applicazione delle questioni in esame alla costruzione di una latitudine.

quadrati di latta. latino (n × m)-rettangolo sull'insieme X=(x1 ,…,xm )

è chiamata matrice (n × m) degli elementi di X, in cui ogni riga è una permutazione n di X e ogni colonna è una permutazione m dell'insieme X. Per n=m, il rettangolo latino è chiamata Piazza latina.

È chiaro che per n=1 il numero di rettangoli latini 1 × m è uguale a m!. Per n=2, dopo aver selezionato la prima riga, qualsiasi permutazione può essere considerata come seconda.

innovazione che contraddice il prescelto. Il numero di tali permutazioni è Dm , quindi il numero 2× m -

rettangoli latini è uguale a m! Dm.

Una domanda naturale sorge in connessione con la costruzione induttiva dei quadrati latini. Costruiamo un rettangolo latino (n × m) (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

giusto

Teorema 4. Ogni latino (n × m) -rettangolo n

♦ Siano X=(x1 ,…,xm ) e L-latino (n × m)-rettangolo con elementi di X. Si consideri un insieme di insiemi A1 ,… ,Am dove Ai sono gli elementi dell'i-esima colonna del rettangolo latino L. Sia A - la matrice di incidenza del sistema di insiemi A1 ,… ,Am . Ha dimensione m × m e ogni riga della matrice A contiene esattamente n unità, perché Ai = n, i = 1, m . Ogni elemento xi X può apparire nelle colonne L non più di m volte, altrimenti ci sarebbe una riga in cui questo elemento ricorre due volte. Numero totale di elementi

L è uguale a m n, quindi ogni elemento xi X appare esattamente n volte nelle colonne. Ciò implica che ogni colonna della matrice A contiene esattamente n unità. Consideriamo ora la matrice A ottenuta sostituendo ogni 1 con uno zero e ogni zero con un 1.

La matrice A è la matrice di incidenza del sistema di insiemi X1 , … , Xn , dove Xi = X\Ai ,

io = 1, m . Contiene m - n unità in ogni riga e in ogni colonna. Per teorema

> 0. Sia ai1

…un mi

≠ 0 . Allora abbiamo xi X1 ,K , xi

Xm e tutti gli elementi

xi ,K , xi

sono diversi a coppie. Linea

xi ,K , xi

può essere preso come (n + 1)esimo

per il latino (n × m)-rettangolo L. Continuando questo procedimento, otteniamo il latino

piazza del cielo. ♦

Denota l n - il numero di quadrati latini di ordine n, con elementi dell'insieme X = (1, 2, ... , n), in cui gli elementi della prima colonna e della prima riga sono in ordine naturale. Ecco una tabella di diversi valori noti del numero l n:

5. Viene chiamata una matrice n × n A = (aij ) con elementi reali non negativi doppiamente stocastico, Se

μ( n) è definito per tutti i numeri naturali n e assume valori a seconda della natura della scomposizione del numero n in fattori primi:

μ( n) = 1 se n senza quadrato (cioè non divisibile per il quadrato di alcun numero primo) e la scomposizione n un numero pari di fattori;
μ( n) = − 1 se n esente da quadrati e decomposizione n in fattori primi consiste in un numero dispari di fattori;
μ( n) = 0 se n non esente da quadrati.

Per definizione si assume anche μ(1) = 1.

Proprietà e applicazioni

La funzione di Möbius è moltiplicativa: per qualsiasi numero primo relativamente un e b uguaglianza μ( unb) = μ( un)μ( b) .

La somma dei valori della funzione di Möbius su tutti i divisori di un intero n, diverso da uno, è uguale a zero

Style="larghezza massima: 98%; altezza: auto; larghezza: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Da ciò, in particolare, ne consegue che per ogni insieme finito non vuoto, il numero di diversi sottoinsiemi costituiti da un numero dispari di elementi è uguale al numero di diversi sottoinsiemi costituiti da un numero pari di elementi - un fatto utilizzato nella prova.

La funzione di Möbius è correlata alla funzione di Mertens dalla relazione

La funzione di Mertens, a sua volta, è strettamente correlata al problema degli zeri della funzione zeta di Riemann, si veda l'articolo sulla congettura di Mertens.

Inversione di Möbius

La prima formula di inversione di Möbius

Per funzioni aritmetiche f e g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d \| n

se e solo se

La seconda formula di inversione di Möbius

Per funzioni a valori reali f(X) e g(X) definito a ,

se e solo se

Qui la somma è interpretata come .

Fondazione Wikimedia. 2010.

Guarda cos'è la "funzione Mobius" in altri dizionari:

La funzione di Möbius μ(n) è una funzione aritmetica moltiplicativa utilizzata nella teoria dei numeri e nella combinatoria, dal nome del matematico tedesco Möbius, che la considerò per la prima volta nel 1831. Contenuti 1 Definizione 2 Proprietà e applicazioni ... Wikipedia

Tipo di trasformazioni su piano complesso(grigio) e la sfera di Riemann (nera) Indice 1 Definizione 2 Proprietà algebriche ... Wikipedia

frazionario funzione lineare funzione della forma dove z = (z1,...,zn) sono variabili complesse o reali, ai,b,ci,d sono coefficienti complessi o reali. Spesso il termine "funzione frazionaria lineare" è usato per il suo caso speciale di trasformazione ... ... Wikipedia

La serie di Möbius è una serie funzionale della forma Questa serie è stata studiata da Möbius, che ha trovato una formula di inversione per questa serie: dove μ (s) è la funzione di Möbius ... Wikipedia

METODI DI RICERCA MEDICA - І. Principi generali ricerca medica. La crescita e l'approfondimento delle nostre conoscenze, attrezzature sempre più tecniche della clinica, basate sull'uso degli ultimi risultati in fisica, chimica e tecnologia, la complicazione associata dei metodi ... ... Grande enciclopedia medica

Una condizione patologica che si sviluppa durante il parto ed è caratterizzata da danni ai tessuti e agli organi del bambino, accompagnati, di regola, da un disturbo nelle loro funzioni. I fattori predisponenti allo sviluppo della cosiddetta R. non sono corretti ... ... Enciclopedia medica