Nézzünk meg még egy konkrét problémát.
Ismeretes, hogy a test sebességi modulusa a teljes mozgás alatt állandó maradt és 5 m/s. Keresse meg ennek a testnek a mozgástörvényét! Az utak hosszának számolásának kezdete egybeesik a test mozgásának kezdőpontjával.
A probléma megoldásához a képletet használjuk
Innen megtekintheti az útvonal hosszának növekedését bármely kis időre
Feltétel szerint a sebesség modulusa állandó. Ez azt jelenti, hogy az útvonal hosszának növelése bármely egyenlő időintervallumra azonos lesz. Értelemszerűen ez egyenletes mozgás. A kapott egyenlet nem más, mint ennek törvénye egyenletes mozgás. Ha ebbe az egyenletbe behelyettesítünk kifejezéseket, akkor könnyen beszerezhető
Tegyük fel, hogy az időreferencia kezdete egybeesik a test mozgásának kezdetével. Figyelembe vesszük, hogy feltétel szerint az úthosszak origója egybeesik a test mozgásának kezdőpontjával. Vegyük intervallumnak a mozgás kezdetétől a szükséges pillanatig eltelt időt, majd be kell állítanunk Ezen értékek behelyettesítése után a vizsgált mozgás törvénye a következő alakot kapja
A vizsgált példa lehetővé teszi, hogy új definíciót adjunk az egyenletes mozgásnak (13. §): az egyenletes mozgás egy állandó modulo sebességű mozgás.
Ugyanez a példa lehetővé teszi, hogy megkapjuk az egyenletes mozgás törvényének általános képletét.
Ha az időreferencia kezdőpontja egybeesik a mozgás kezdetével, és az utak hosszának origója egybeesik a mozgás kezdőpontjával, akkor az egyenletes mozgás törvényének alakja lesz
Ha a mozgás kezdetének időpontja és a hozzá vezető út hossza kiindulópont mozgás, akkor az egyenletes mozgás törvénye bonyolultabb formát ölt:
Figyeljünk még egy fontos eredményre, amelyet az egyenletes mozgás általunk talált törvényből kaphatunk. Tegyük fel, hogy valamilyen egyenletes mozgásra adott a sebesség és az idő grafikonja (1.60. ábra). Ennek a mozgásnak a törvénye Az ábráról látható, hogy a szorzat numerikusan egyenlő a koordinátatengelyek által határolt ábra területével, a sebesség időtől való függésének grafikonjával és a megfelelő ordinátával.
Adott időpontban a sebesség grafikon szerint ki lehet számítani a mozgás során az utak hosszának növekedését.
Bonyolultabbat használva matematikai berendezés, kimutatható, hogy ez az általunk adott esetre kapott eredmény minden nem egyenletes mozgásra érvényesnek bizonyul. Az út hosszának növekedése a mozgás során számszerűen mindig megegyezik az ábra területével, amelyet a koordinátatengelyek és a kiválasztott végső időpillanatnak megfelelő ordináta korlátoz a sebességgrafikon.
A jog grafikus keresésének ez a lehetősége összetett mozgások használni fogják a jövőben.
És miért van rá szükség. Már tudjuk, mi az a vonatkoztatási rendszer, a mozgás relativitáselmélete és anyagi pont. Nos, ideje továbblépni! Itt áttekintjük a kinematika alapfogalmait, összegyűjtjük a leghasznosabb képleteket a kinematika alapjairól, és gyakorlati példát adunk a probléma megoldására.
Oldjuk meg a következő problémát: Egy pont 4 méter sugarú körben mozog. A mozgásának törvényét az S=A+Bt^2 egyenlet fejezi ki. A=8m, B=-2m/s^2. Milyen időpontban normál gyorsulás pont 9 m/s^2? Határozza meg a pont sebességét, érintőleges és teljes gyorsulását az adott pillanatban.
Megoldás: tudjuk, hogy a sebesség meghatározásához fel kell venni a mozgástörvény első deriváltját, és a normál gyorsulás egyenlő a sebesség és a kör sugarának privát négyzetével, amelyen a pont mozog. . Ezzel a tudással felvértezve megtaláljuk a kívánt értékeket.
Segítségre van szüksége a problémák megoldásához? Professzionális diákszolgálat készen áll a biztosítására.
A SZÁRMAZÉK ÉS ALKALMAZÁSA AZ X FUNKCIÓK VIZSGÁLATÁBAN
218. § Mozgásjog. Azonnali mozgási sebesség
A mozgás teljesebb jellemzésére a következőképpen juthatunk el. Osszuk fel a test mozgási idejét több különálló intervallumra ( t 1 , t 2), (t 2 , t 3) stb. (nem feltétlenül egyenlő, lásd 309. ábra), és mindegyiken beállítjuk az átlagos mozgási sebességet.
Ezek az átlagsebességek természetesen jobban jellemzik majd a mozgást a teljes szakaszon, mint átlagsebesség a mozgás teljes időtartamára. Arra azonban nem adnak választ, például arra a kérdésre, hogy a től-től való intervallum mely időpontjában t 1-től t 2 (309. kép) gyorsabban ment a vonat: abban a pillanatban t" 1 vagy pillanatnyilag t" 2 ?
Az átlagos sebesség annál teljesebben jellemzi a mozgást, minél rövidebbek az útszakaszok, amelyeken meghatározzák. Ezért az egyenetlen mozgás leírásának egyik lehetséges módja ennek a mozgásnak az átlagos sebességének beállítása az út egyre kisebb szakaszaira.
Tegyük fel, hogy kapunk egy függvényt s (t ), jelzi, hogy a test melyik utat járja be, egyenes vonalúan haladva ugyanabban az irányban, időben t a mozgás kezdetétől. Ez a funkció határozza meg a test mozgásának törvényét. Például egyenletes mozgás történik a törvény szerint
s (t ) = vt ,
ahol v - mozgási sebesség; szabadesés tel törvény szerint történik
ahol g - szabadon eső test gyorsulása stb.
Tekintsük a valamilyen törvény szerint mozgó test által megtett utat s (t ) , a kezdeti időszakra t előtt t + τ .
Mire t a test megy az úton s (t ), és mire t + τ - mód s (t + τ ). Ezért az idő alatt t előtt t + τ úgy fog menni s (t + τ ) - s (t ).
Ezt az utat elosztva a mozgás idejével τ , az idő átlagsebességét innen kapjuk t előtt t + τ :
Ennek a sebességnek a határa a τ -> 0 (ha csak létezik) meghívásra kerül pillanatnyi mozgási sebesség egy időben t:
(1)
A mozgás pillanatnyi sebessége egy adott pillanatban t-tól kezdődően az átlagos mozgási sebesség határának nevezzük t előtt t+ τ , amikor τ nullára hajlik.
Nézzünk két példát.
1. példa. Egyenletes mozgás egyenes vonalban.
Ebben az esetben s (t ) = vt , ahol v - mozgási sebesség. Találjuk ki pillanatnyi sebesség ezt a mozgást. Ehhez először meg kell találnia az átlagos sebességet a tól kezdődő időintervallumban t előtt t + τ . De az egyenletes mozgáshoz az átlagos sebesség a zavarosság bármely részén egybeesik a mozgás sebességével v . Tehát a pillanatnyi sebesség v (t ) egyenlő lesz:
v (t ) =v = v
Tehát az egyenletes mozgás érdekében a pillanatnyi sebesség (valamint az átlagsebesség az út bármely szakaszán) egybeesik a mozgás sebességével.
Ugyanezt az eredményt természetesen megkaphatnánk formálisan is, az egyenlőség alapján (1).
Igazán,
2. példa Egyenletesen gyorsított mozgás nulla kezdősebességgel és gyorsulással de . Ebben az esetben, mint a fizikából ismeretes, a test a törvény szerint mozog
Az (1) képlet szerint azt kapjuk, hogy egy ilyen mozgás pillanatnyi sebessége v (t ) egyenlő:
Tehát a pillanatnyi sebesség egyenletesen gyorsított mozgás akkor t egyenlő a gyorsulás és az idő szorzatával t . Az egyenletes mozgással ellentétben az egyenletesen gyorsított mozgás pillanatnyi sebessége idővel változik.
Feladatok
1741. A pont a törvény szerint mozog 
(s
- távolság méterben t
- idő percben). Keresse meg ennek a pontnak a pillanatnyi sebességét:
b) abban az időben t 0 .
1742. Határozza meg a törvény szerint mozgó pont pillanatnyi sebességét! s (t ) = t 3 (s - út méterben, t - idő percben):
a) a mozgás elején
b) 10 másodperccel a mozgás megkezdése után;
c) pillanatnyilag t= 5 perc;
1743. Határozza meg a törvény szerint mozgó test pillanatnyi sebességét! s (t ) = √t , tetszőleges időpontban t .
Mindenki odafigyelt mindenféle mozgástípusra, amellyel életében találkozik. Azonban bármelyik mechanikus mozgás test két típusra redukálódik: lineáris vagy forgó. Tekintsük a cikkben a testek mozgásának alapvető törvényeit.
Milyen mozgástípusokról beszélünk?
Amint a bevezetőben megjegyeztük, a klasszikus fizikában figyelembe vett testmozgások minden típusa vagy egyenes vonalú, vagy körkörös pályához kapcsolódik. E kettő kombinálásával bármilyen más pálya is elérhető. A cikk további részében a testmozgás alábbi törvényeit tárgyaljuk:
- Egyenletes egyenes vonalban.
- Egyenletesen gyorsított (egyenletesen lassított) egyenes vonalban.
- Egyenruha a kerület körül.
- Egyenletesen gyorsított a kerület körül.
- Mozgás elliptikus pályán.
Egységes mozgás, vagy nyugalmi állapot
Tudományos szempontból Galilei először a 16. század végén - a 17. század elején érdeklődött e mozgalom iránt. A test tehetetlenségi tulajdonságait tanulmányozva, valamint a vonatkoztatási rendszer fogalmát bevezetve arra a következtetésre jutott, hogy a nyugalmi állapot és az egyenletes mozgás egy és ugyanaz (minden a tárgy megválasztásától függ, amelyhez viszonyítva a sebesség számított).
Ezt követően Isaac Newton megfogalmazta a test első mozgási törvényét, amely szerint az utóbbi sebessége állandó érték, ha nincsenek külső erők, amelyek megváltoztatnák a mozgás jellemzőit.
Leírják egy test egyenletes egyenes vonalú mozgását a térben a következő képlet:
Ahol s az a távolság, amelyet a test t idő alatt megtesz, v sebességgel haladva. Ezt az egyszerű kifejezést a következő formákban is írják (minden az ismert mennyiségektől függ):
Egyenes vonalban haladva gyorsulással
Newton második törvénye szerint a testre ható külső erő jelenléte elkerülhetetlenül a gyorsulás megjelenéséhez vezet az utóbbiban. From (sebességváltozás sebessége) következik a kifejezés:
a=v/t vagy v=a*t
Ha a testre hat külső erőállandó marad (nem változtatja meg a modult és az irányt), akkor a gyorsulás sem változik. Ezt a fajta mozgást egyenletesen gyorsítottnak nevezzük, ahol a gyorsulás a sebesség és az idő arányossági tényezőjeként működik (a sebesség lineárisan növekszik).
Ennél a mozgásnál a megtett távolságot a sebesség időbeli integrálásával számítják ki. A test mozgásának törvénye egy egyenletesen gyorsuló mozgású pályára a következőképpen alakul:
Ennek a mozgásnak a leggyakoribb példája bármely tárgy leesése a magasságból, amelyben a gravitáció g \u003d 9,81 m / s 2 gyorsulást jelez.
Egyenes vonalú gyorsított (lassú) mozgás kezdősebességgel
Valójában az előző bekezdésekben tárgyalt két mozgástípus kombinációjáról beszélünk. Képzeljünk el egy egyszerű helyzetet: egy autó valami v 0 sebességgel haladt, majd a sofőr lenyomta a féket, és a jármű egy idő után megállt. Hogyan írható le ebben az esetben a mozgás? A sebesség és idő függvényében a kifejezés igaz:
Itt v 0 a kezdeti sebesség (az autó fékezése előtt). A mínusz jel azt jelzi, hogy a külső erő (csúszási súrlódás) a v 0 sebesség ellen irányul.
Az előző bekezdéshez hasonlóan, ha v(t) időintegrálját vesszük, megkapjuk az elérési út képletét:
s \u003d v 0 * t - a * t 2/2
Vegye figyelembe, hogy ez a képlet csak a féktávot számítja ki. Az autó által a teljes mozgási idő alatt megtett távolság meghatározásához két út összegét kell megkeresnie: az egyenletes és az egyenletesen lassított mozgáshoz.
A fent leírt példában, ha a vezető nem a fékpedált, hanem a gázpedált nyomta meg, akkor a „-” jel „+”-ra változik a bemutatott képletekben.
Körkörös mozgás
Bármilyen kör mentén történő mozgás nem jöhet létre gyorsulás nélkül, hiszen a sebességi modulus fenntartása esetén is változik az iránya. Az ehhez a változáshoz kapcsolódó gyorsulást centripetálisnak nevezik (ez a gyorsulás az, amely elhajítja a test pályáját, és körré alakítja). Ennek a gyorsulásnak a modulusát a következőképpen számítjuk ki:
a c \u003d v 2 / r, r - sugár
Ebben a kifejezésben a sebesség függhet az időtől, ahogy ez egyenletesen gyorsuló körmozgás esetén történik. Ez utóbbi esetben a c gyorsan növekszik (kvadratikus függőség).
A centripetális gyorsulás határozza meg azt az erőt, amelyet a test körpályán tartásához ki kell fejteni. Példa erre a kalapácsvető verseny, ahol a sportolók jelentős erőfeszítéseket tesznek azért, hogy a lövedéket eldobják.
Egy tengely körüli forgás állandó sebességgel
Ez a fajta mozgás megegyezik az előzővel, csak nem lineárisan szokás leírni fizikai mennyiségek, és használata szögjellemzők. A test forgási törvényét, amikor a szögsebesség nem változik, skaláris formában a következőképpen írjuk fel:
Itt L és I az impulzus, illetve a tehetetlenségi nyomaték, ω a szögsebesség, amely a lineáris sebességhez kapcsolódik az egyenlőséggel:
Az ω értéke megmutatja, hány radiánt fog megfordulni a test egy másodperc alatt. Az L és I mennyiségek jelentése ugyanaz, mint a lendület és a tömeg egyenes vonalú mozgás. Ennek megfelelően azt a θ szöget, amelyen keresztül a test t idő alatt elfordul, a következőképpen számítjuk ki:
Az ilyen típusú mozgásra példa az autómotor főtengelyén található lendkerék forgása. A lendkerék egy hatalmas tárcsa, amelyen nagyon nehéz bármilyen gyorsulást adni. Ennek köszönhetően zökkenőmentes nyomatékváltozást biztosít, amely a motorról a kerekekre továbbítódik.
Egy tengely körüli forgás gyorsulással
Ha külső erő hat egy forgásra képes rendszerre, akkor az elkezdi növelni szögsebesség. Ezt a helyzetet a test körüli mozgásának következő törvénye írja le:
Itt F egy külső erő, amely a forgástengelytől d távolságra hat a rendszerre. Az egyenlőség bal oldalán lévő szorzatot erőnyomatéknak nevezzük.
Egyenletesen gyorsított körmozgás esetén azt találjuk, hogy ω az időtől függ a következőképpen:
ω = α * t, ahol α = F * d / I - szöggyorsulás
Ebben az esetben a forgásszög t időben meghatározható ω időbeli integrálásával, azaz:
Ha a test már egy bizonyos ω 0 sebességgel forgott, és ekkor az F * d külső erőnyomaték hatni kezdett, akkor a lineáris esethez hasonlóan a következő kifejezéseket írhatjuk fel:
ω = ω 0 + α * t;
θ \u003d ω 0 * t + α * t 2/2
Így az erők külső nyomatékának megjelenése az oka a gyorsulás jelenlétének egy forgástengelyű rendszerben.
Az információk teljessége érdekében megjegyezzük, hogy az ω forgási sebességet nemcsak a külső erőnyomatékok segítségével lehet megváltoztatni, hanem a rendszer belső jellemzőiben, különösen a tehetetlenségi nyomatékában is megváltozik. . Ezt a helyzetet mindenki látta, aki a korcsolyázók forgását nézte a jégen. Csoportosítással a sportolók növelik ω-t az I csökkentésével, a testmozgás egyszerű törvénye szerint:
Mozgás elliptikus pálya mentén a Naprendszer bolygóinak példáján
Mint tudod, a Földünk és más bolygóink Naprendszer nem körben, hanem elliptikus pályán keringenek csillaguk körül. A híres német tudós, Johannes Kepler először a 17. század elején fogalmazott meg matematikai törvényeket ennek a forgásnak a leírására. Tanítója, Tycho Brahe a bolygók mozgására vonatkozó megfigyelései alapján Kepler eljutott három törvényének megfogalmazásához. A következőképpen vannak megfogalmazva:
- A Naprendszer bolygói elliptikus pályán mozognak, a Nap az ellipszis egyik gócában helyezkedik el.
- A Napot és a bolygót összekötő sugárvektor azonos időközönként ugyanazokat a területeket írja le. Ez a tény a szögimpulzus megmaradásából következik.
- Ha a forgási periódus négyzetét elosztjuk a bolygó elliptikus pályája fél-nagytengelyének kockájával, akkor valamilyen állandót kapunk, amely rendszerünk összes bolygójára azonos. Matematikailag ez így van leírva:
T 2 / a 3 \u003d C \u003d konst
Ezt követően Isaac Newton a testek (bolygók) mozgásának e törvényeit felhasználva megfogalmazta az egyetemes gravitáció vagy gravitáció híres törvényét. Alkalmazásával kimutatható, hogy a 3. konstans C:
C = 4 * pi 2 / (G * M)
Ahol G a gravitációs univerzális állandó és M a Nap tömege.
Megjegyzendő, hogy az elliptikus pálya mentén történő mozgás központi erő (gravitáció) hatására arra a tényre vezet, hogy vonalsebesség v folyamatosan változik. Maximum akkor van, amikor a bolygó a legközelebb van a csillaghoz, a minimum pedig távol van tőle.