Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Rješenja ove vrste jednadžbi mogu se izvoditi prema općoj shemi za rješavanje jednačina višim stepenima. Jednačine ove vrste imaju rješenja u radikalima zahvaljujući Ferrari metodi, koja omogućava svođenje rješenja na kubnu jednadžbu. Međutim, u većini slučajeva, faktoringom polinoma, moguće je brzo pronaći rješenje jednadžbe.
Pretpostavimo da nam je data binomna jednačina četvrtog stepena:
Faktorizirajmo \ u polinomske faktore:
Određujemo korijene prvog kvadratni trinom:
Određujemo korijene drugog trinoma:
Kao rezultat toga, originalna jednadžba ima četiri kompleksna korijena:
Gdje mogu riješiti jednačine 4. stepena na mreži?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video instrukciju i naučiti kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.
Za jednačine četvrtog stepena, sve one opšte šeme rješenja jednačina viših stupnjeva, koje smo analizirali u prethodnom materijalu. Međutim, postoji niz nijansi u rješavanju dvočlanih, bikvadratnih i recipročnih jednačina, na kojima bismo se željeli detaljnije zadržati.
Također u članku ćemo analizirati umjetnu metodu faktoringa polinoma, rješenje u radikalima i Ferrarijevu metodu koja se koristi za svođenje rješenja jednačine četvrtog stepena na kubnu jednačinu.
Rješenje binarne jednadžbe četvrtog stepena
Ovo je najjednostavniji tip jednadžbi četvrtog stepena. Jednačina je zapisana kao A x 4 + B = 0.
Definicija 1
Za rješavanje ove vrste jednadžbi koriste se skraćene formule za množenje:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Ostaje samo pronaći korijene kvadratnih trinoma.
Primjer 1
Riješite jednačinu četvrtog stepena 4 x 4 + 1 = 0 .
Rješenje
Prvo, hajde da faktorizujemo polinom 4 x 4 + 1:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)
Sada pronađimo korijene kvadratnih trinoma.
2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2-i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i
Dobili smo četiri kompleksna korijena.
odgovor: x = 1 2 ± i i x = - 1 2 ± i .
Rješenje recipročne jednačine četvrtog stepena
Definicija 2Povratne jednačine četvrtog reda imaju oblik A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
x = 0 nije korijen ove jednadžbe: A 0 4 + B 0 3 + C 0 2 + B 0 + A = A ≠ 0 . Stoga se oba dijela ove jednačine mogu sigurno podijeliti sa x 2:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Napravimo promjenu varijabli x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0
Dakle, sprovodimo redukciju recipročne jednačine četvrtog stepena na kvadratnu jednačinu.
Primjer 2
Pronađite sve složeni koreni jednadžbe 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .
Rješenje
Simetrija koeficijenata nam govori da imamo posla sa recipročnom jednačinom četvrtog stepena. Podijelimo oba dijela sa x 2:
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
Grupirajmo:
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Promijenimo varijablu x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Rešimo rezultujuću kvadratnu jednačinu:
D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3
Vratimo se zamjeni: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .
Rešimo prvu jednačinu:
x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - i 14 4
Rešimo drugu jednačinu:
x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i 1 2
odgovor: x = - 2 4 ± i 14 4 i x = - 3 2 ± i 1 2 .
Rješavanje bikvadratne jednadžbe
Bikvadratne jednadžbe četvrtog stepena imaju oblik A x 4 + B x 2 + C = 0 . Možemo kvadrirati takvu jednačinu A y 2 + B y + C = 0 zamjenom y = x 2 . Ovo je standardno.
Primjer 3
Riješite bikvadratnu jednačinu 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0 .
Rješenje
Promijenimo varijablu y = x 2, što će nam omogućiti da svedemo originalnu jednačinu na kvadratnu:
2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 \u003d - 5 - 7 4 \u003d - 3
Dakle, x 2 = 1 2 ili x 2 = - 3.
Prva jednakost nam omogućava da dobijemo korijen x = ± 1 2 . Druga jednakost nema realne korijene, ali ima kompleksne konjugirane korijene x = ± i · 3 .
odgovor: x = ± 1 2 i x = ± i · 3 .
Primjer 4
Pronađite sve kompleksne korijene bi kvadratna jednačina 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .
Rješenje
Koristimo metodu zamjene y = x 2 kako bismo sveli originalnu bikvadratnu jednadžbu na kvadratnu:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 = - D 2 145 - 143 32 = - 9
Dakle, na osnovu promjene varijable, x 2 = - 1 16 ili x 2 = - 9 .
odgovor: x 1, 2 = ± 1 4 i, x 3, 4 = ± 3 i.
Rješenje jednadžbi četvrtog stepena sa racionalnim korijenima
Algoritam pronalaženja racionalni koreni jednačine četvrtog stepena date su u materijalu "Rješenje jednačina viših stepeni".
Rješenje jednadžbi četvrtog stepena Ferarijevom metodom
Jednačine četvrtog stepena oblika x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 se generalno mogu riješiti Ferarijevom metodom. Da biste to učinili, morate pronaći y 0 . Ovo je bilo koji od korijena kubna jednačina y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 . Nakon toga, potrebno je riješiti dvije kvadratne jednadžbe x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D \u003d 0 , u kojem je radikalni izraz savršen kvadrat.
Koreni dobijeni tokom proračuna biće koreni originalne jednačine četvrtog stepena.
Primjer 5
Pronađite korijene jednadžbe x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0 .
Rješenje
Imamo A = 3, B = 3, C \u003d - 1, D = 6. Za rješavanje ove jednačine primjenjujemo Ferrarijev metod.
Sastavljamo i rješavamo kubnu jednačinu:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0
Jedan od korijena kubične jednadžbe bit će y 0 = 1, budući da je 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.
Napišimo dvije kvadratne jednadžbe:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 ili x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 ili x 2 + x - 2 = 0
Korijeni prve jednadžbe bit će x = 1 ± i 2, korijeni druge x = 1 i x = 2.
odgovor: x 1, 2 \u003d - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Zadatak №1
Riješite jednačinu trećeg stepena koristeći Cardano formulu:
x 3 -3x 2 -3x-1=0.
Rješenje: Dovedemo jednačinu u oblik koji ne sadrži drugi stepen nepoznate. Da bismo to učinili, koristimo formulu
x \u003d y - , gdje je a koeficijent na x 2.
Imamo: x=y+1.
(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.
Otvarajući zagrade i donoseći slične pojmove, dobijamo:
Za korijene kubične jednadžbe y 3 +py+q=0 postoji Cardano formula:
yi= (i=1,2,3,), gdje je vrijednost radikala
,
=
.
Neka je α1 jedna /bilo koja/ vrijednost radikala α. Zatim se druge dvije vrijednosti nalaze na sljedeći način:
α 2 = α 1 ε 1, α 3 = α 1 ε 2, gdje je ε 1 \u003d + i, ε 2 \u003d - i korijen jedinstva trećeg stepena.
Ako stavimo β 1 = - , onda dobijamo β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1
Zamjenom dobijenih vrijednosti u formulu yi = αi+βi, nalazimo korijene jednadžbe
y 1 \u003d α 1 + β 1,
y 2 \u003d -1/2 (α 1 + β 1) + i (α 1 -β 1),
y 3 \u003d -1 / 2 (α 1 + β 1) - i (α 1 -β 1),
U našem slučaju p = -6, q= - 6.
α=
=
Jedna od vrijednosti ovog radikala je . Stoga, stavljamo α 1 = . Tada je β 1 = – = – = ,
y 2 = ) – i ).
Konačno, nalazimo vrijednost x koristeći formulu x = y+1.
x 2 = ) + i ) + 1,
x 3 = ) – i ) + 1.
Zadatak№2
Rešite jednačinu četvrtog stepena koristeći Ferrarijev metod:
x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.
Rješenje: Posljednja tri člana pomjerimo na desnu stranu i dopunimo preostala dva člana u puni kvadrat.
x 4 -4x 3 \u003d -2x 2 + 4x-1,
x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,
(x 2 -2x) 2 \u003d 2x 2 + 4x-1.
Uvodimo novu nepoznanicu na sljedeći način:
(x 2 -2x+) 2 \u003d 2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+,
(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.
Odaberimo y tako da desna strana jednakosti bude savršen kvadrat.To će biti kada je B 2 -4AC=0, gdje je A=2+y, B=4-2y, C= -1.
Imamo: B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0
Ili y 3 -2y 2 +12y-24=0.
Dobili smo kubičnu rezoluciju čiji je jedan od korijena y=2. Zamijenite rezultujuću vrijednost y=2 u /1/,
Dobijamo (x 2 -2x+1) 2 =4x 2. Odakle (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 ili (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+ 1+ 2x)=0.
Dobijamo dvije kvadratne jednadžbe:
x 2 -4x+1=0 i x 2 +1=0.
Rješavajući ih, nalazimo korijene originalne jednadžbe:
x 1 = 2-, x 2 = 2+, x 3 = I, x 4 \u003d i.
6. Racionalni korijeni polinoma
Zadatak #1
Pronađite racionalne korijene polinoma
f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.
Rješenje: Da bismo pronašli racionalne korijene polinoma, koristimo sljedeće teoreme.
Teorema 1. Ako je nesvodljivi razlomak korijen polinoma f(x) sa cjelobrojnim koeficijentima, tada je p djelitelj slobodnog člana, a q djelitelj vodećeg koeficijenta polinoma f(x).
komentar: Teorema 1 daje neophodno stanje u cilju racionalnog broja . To je bio korijen polinoma, ali ovaj uvjet nije dovoljan, tj. uslov teoreme 1 može biti zadovoljen i za takav razlomak koji nije korijen polinoma.
Teorema 2: Ako je nesvodljivi razlomak korijen polinoma f(x) sa cjelobrojnim koeficijentima, tada je za bilo koji cijeli broj m osim , broj f(m) djeljiv brojem p-qm, tj. cijelim brojem.
Konkretno, postavljanjem m=1, a zatim m=-1, dobijamo:
ako korijen polinoma nije jednak ±1, tada f(x) 
(p-q) i f(-x):.(p+q) , tj. - cijeli brojevi.
komentar: Teorema 2 daje još jedan neophodan uslov za racionalne korijene polinoma. Ovaj uslov je pogodan jer se lako može proveriti u praksi. Prvo pronađemo f(1) i f(-1), a zatim za svaki testirani razlomak provjeravamo specificirani uvjet. Ako je barem jedan od brojeva razlomačan, tada korijen polinoma f(x) nije.
Rješenje: Prema teoremi 1, korijene ovog polinoma treba tražiti među nesvodljivim razlomcima čiji su brojnici djelitelji 18 i čiji su imenioci 8. Prema tome, ako je nesvodljivi razlomak korijen od f(x), tada je p jednako jednom od brojevi: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q je jednako jednom od brojeva
±1, ±2, ±4, ±8.
S obzirom na to = , = , imenioci razlomaka će se uzeti samo pozitivni.
Dakle, sljedeći brojevi mogu biti racionalni korijeni ovog polinoma: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .
Koristimo drugu.
Pošto je f(1)=72, f(-1)=120, posebno slijedi da 1 i -1 nisu korijeni f(x). Sada ćemo za svaki mogući razlomak provjeriti uslove teoreme 2 za m=1 i m=-1, tj. ustanovit ćemo da li su brojevi cijeli ili razlomak: = i =
Rezultate sumiramo u tabeli, gdje slova “c” i “d” označavaju, respektivno, da li je broj ili razlomak cijeli ili razlomak.
Iz rezultirajuće tablice se vidi da su i cijeli brojevi samo u onim slučajevima kada je jednak jednom od brojeva: 2, -2, 3, -3, , , , .
Kao posledica Bezoutove teoreme, broj je α-koren od f(x) ako i samo ako je f(x) 
(x-α). Stoga, da bi se testiralo preostalih devet cijelih brojeva, može se primijeniti Hornerova shema dijeljenja polinoma binomom.
2 - korijen.
Otuda imamo: x=2 je jednostavan korijen od f(x). Preostali korijeni ovog polinoma poklapaju se s korijenima polinoma.
F 1 (x) = 8x 4 + 2x 3 -73x 2 -18x + 9.
Provjerimo ostale brojeve na isti način.
2 - ne korijen, 3 - korijen, -3 - korijen, 9 - ne korijen, ½ - ne korijen, -1/2 - korijen, 3/2 - ne korijen, ¼ - korijen.
Dakle, polinom f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 ima pet racionalnih korijena: (2, 3, -3, -1/2, ¼).
2. Jednačina Ako je jedno slovo uključeno u jednakost, tada se jednakost naziva jednačina.
Jednačina može biti tačna za neke vrijednosti ovog slova
i netačno za druge vrijednosti.
Na primjer, jednadžba x + 6 = 7
tačno za x = 1
i netačno za x = 2 .
3.
Ekvivalentne jednačine Linearna jednadžba ima oblik ax + by + c = 0 .
Na primjer: 5x - 4y + 6 = 0 .
Izrazi y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5 .
Rezultirajuća jednačina, koja je ekvivalentna prvoj, ima oblik
y = kx + m ,
gdje je: x - nezavisna varijabla (argument);
y - zavisna varijabla (funkcija);
k i m - koeficijenti (parametri).
4 Ekvivalentne jednačine
Dve jednačine se nazivaju ekvivalentno (ekvivalentno) ako se skupovi svih njihovih rješenja poklapaju ili oba nemaju rješenja i označavaju .
5/Jednačina prvog stepena.
Jednačina prvog stepena može se svesti na oblik:
ax+b = 0,
gdje x- varijabilna, a i b su neki brojevi, i a ≠ 0.
Odavde je lako zaključiti vrijednost x:
b
x = - -
a
Ova vrijednost x je korijen jednadžbe.
Jednačine prvog stepena imaju jedan koren.
Jednačina drugog stepena.
Jednačina drugog stepena može se svesti na oblik:
ax2 + bx + c = 0,
gdje x- varijabilna, a, b, c su neki brojevi, i a ≠ 0.
Broj korijena jednadžbe drugog stepena zavisi od diskriminanta:
Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena;
Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen;
Ako je D< 0, то уравнение корней не имеет.
Jednačina drugog stepena ne može imati više od dva korena.
(za informacije o tome šta je diskriminanta i kako pronaći korijene jednadžbe, pogledajte odeljke “Formule za korijene kvadratne jednačine. Diskriminant” i “Drugi način rješavanja kvadratne jednačine”).
Jednačina trećeg stepena.
Jednačina trećeg stepena se može svesti na oblik:
sjekira 3 + bx 2 + cx + d = 0,
gdje x- varijabilna, a b c d su neki brojevi, i a ≠ 0.
Jednačina trećeg stepena ne može imati više od tri korijena.
Jednačina četvrtog stepena.
Jednačina četvrtog stepena može se svesti na oblik:
sjekira 4 + bx 3 + cx 2 + dx+e = 0,
gdje x- varijabilna, a, b, c, d, e su neki brojevi, i a ≠ 0.
Jednačina trećeg stepena ne može imati više od četiri korijena.
generalizacija:
1) jednačina pete, šeste itd. stupnjevi se mogu lako izvesti nezavisno, slijedeći gornju shemu;
2) jednačina n-. stepen ne može imati više od n korijenje.
6/ Jednačina sa jednom promenljivom je jednačina koja sadrži samo jednu varijablu. Korijen (ili rješenje) jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj se jednačina pretvara u pravu numeričku jednakost.
1. 8/-11/Sistemi linearne jednačine: osnovni pojmovi Sistem linearnih jednačina.
Nekonzistentni i neodređeni sistemi linearnih jednačina. Skup linearnih jednadžbi Zajednički i nekompatibilni skup linearnih jednadžbi.
Sistem linearnih jednačina je sindikat n linearne jednadžbe, od kojih svaka sadrži k varijable. Napisano je ovako:
Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.
Rješavanje sistema jednačina je niz brojeva ( k 1 , k 2 , ..., k n), što je rješenje svake jednačine sistema, tj. prilikom zamjene u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku vrijednost.
Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:
1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
3. Sistem je kompatibilan i nije definisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.
Varijabilna x i pozvao dozvoljeno, ako je uključen samo u jednu jednačinu sistema, i sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama, koeficijent varijable x i treba biti jednak nuli.
Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem može se svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:
Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i xčetiri . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem relativno dozvoljen x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati posljednju jednačinu kao x 5 = x 4 .
Sada razmotrite opštiji slučaj. Daj nam sve k varijable, od kojih r su dozvoljeni. Tada su moguća dva slučaja:
1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačine u kojima r = k dozvoljene varijable. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r manji od ukupnog broja varijabli k: r < k. Ostalo ( k − r) varijable se nazivaju slobodnim - mogu poprimiti bilo koje vrijednosti iz kojih se lako izračunavaju dozvoljene varijable.
Dakle, u gore navedenim sistemima, varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su besplatni. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:
Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete konačni sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina tutora višu matematiku preporučljivo je pisati varijable leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.
Teorema. Ako je u sistemu od n varijable jednadžbi x 1 , x 2 , ..., x r- dozvoljeno, i x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- besplatno, onda:
1. Ako postavite vrijednosti slobodnih varijabli ( x r + 1 = r + 1 , x r + 2 = r + 2 , ..., x k = t k), a zatim pronađite vrijednosti x 1 , x 2 , ..., x r, dobijamo jedno od rješenja.
2. Ako se vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja poklapaju, onda se poklapaju i vrijednosti dozvoljenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.
Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Zatim, dodjeljivanje slobodnim varijablama različita značenja, primićemo rješenja po sistemu ključ u ruke. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.
Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti određen, a ako je manji, biće neodređen.
Formira se nekoliko jednačina Skup jednadžbi
2. 12,13/ Linearna nejednakost./ Stroge i nestroge nejednakosti Šta je nejednakost? Uzima se bilo koja jednačina, znak "=" ("jednako") zamjenjuje se drugom ikonom ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) i dobije se nejednakost.) Jednačina može biti bilo koja: linearna, kvadratna, razlomka, eksponencijalna, trigonometrijska, logaritamska itd. itd. Shodno tome, dobićemo linearne, kvadratne itd. nejednakosti.
Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manje (< ) su pozvani stroga. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) su pozvani nestrog. Ikona nije jednako (≠ ) stoji samostalno, ali morate stalno rješavati primjere sa takvom ikonicom. I hoćemo.)
Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...
Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je tačna nejednakost. 5 < 2 je netačno.
Linearne, kvadratne, frakcijske, eksponencijalne, trigonometrijske i druge nejednakosti rješavaju se na različite načine. Svaka vrsta ima svoj način, svoju posebnu tehniku. Ali! Sve ove posebne tehnike se mogu primijeniti samo nekome standardni pogled nejednakosti. One. nejednakost bilo koje vrste mora prvo pripremiti da koristite svoj metod.
3. 14,16/Glavna svojstva nejednakosti/. Radnje sa dvije nejednakosti.
1) Ako 
2) Svojstvo tranzitivnosti. Ako a
3) Ako oba dijela prave nejednakosti dodamo isti broj, dobijamo pravu nejednakost, tj. ako
4) Ako se bilo koji član prenese iz jednog dijela prave nejednakosti u drugi, mijenjajući njegov predznak u suprotan, dobiće se prava nejednakost, tj. ako
5) Ako se oba dijela tačne nejednakosti pomnože istim pozitivan broj, tada dobijamo ispravnu nejednakost. Na primjer, ako
6) Ako se oba dijela tačne nejednačine pomnože istim negativnim brojem i promijeniti predznak nejednakosti na suprotno, onda dobijamo ispravnu nejednakost. Na primjer, ako
7) Slično pravilima 5) i 6), važe pravila za dijeljenje istim brojem. Ako a 