1-12. Projekcija tačke na ravan ili pravu
FORMULACIJA PROBLEMA. Pronađite koordinate projekcije P" tačke P(^PiURCHzp) na ravan Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O,
PLAN RJEŠENJA. Projekcija P" tačke P na ravan je osnova okomice spuštene iz tačke P na ovu ravan.
1. Sastavljamo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku P okomito na datu ravan. Da bismo to učinili, uzimamo vektor normale ravnine kao usmjeravajući vektor prave linije: a = n = (A, B, C). Tada kanonske jednadžbe prave imaju oblik
X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.
3. Zamjenom x^y^z u jednadžbu ravnine i rješavanjem u odnosu na t, nalazimo vrijednost parametra t = na kojoj se prava i ravan sijeku.
4. Pronađena vrijednost ^o se zamjenjuje u parametarske jednadžbe prave linije i dobijamo tražene koordinate tačke R".
KOMENTAR. Slično se rješava i problem nalaženja koordinata projekcije tačke na pravu.
PRIMJER. Pronađite koordinate projekcije P "tačke P (1,2, -1) na ravan ZŽ - 2/4-22: - 4 = 0.
1. Sastavljamo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku P okomito na datu ravan. Da bismo to učinili, uzimamo vektor normale ravnine kao usmjeravajući vektor prave linije: a = n =
Ch. 1. Ansiitska geometrija |
||||
= (3, -1,2). Tada kanonske jednadžbe prave imaju oblik |
||||
U-2 _ z-hl |
||||
2. Naći koordinate TAČKE preseka P" ove prave sa datom |
||||
avion. Hajde da stavimo |
||||
x-~1 __ y-2 __ Z + 1 _ |
||||
Tada parametarske jednačine prave imaju oblik |
||||
3. Zamjenom ovih izraza za x^ y i z u jednadžbu ravni, nalazimo vrijednost parametra ^ na kojoj se prava i ravan sijeku:
3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => do = 2.
4. Zamjenom pronađene vrijednosti u = 2 u parametarske jednačine prave linije, dobijamo x0 = 7, y0 = 0, y0 = 1.
Dakle, tačka preseka prave i ravni i, posledično, projekcija tačke P na ravan ima koordinate (7,0,1).
Odgovori. Projekcija P" ima koordinate (7,0,1).
USLOVI ZADATAKA. Pronađite koordinate |
projekcija tačke I^ na ravan |
||||
4x + boo -f 4z - |
|||||
2x + 6y "-2g-\-11 |
|||||
4 x - 5 2 / - g - 7 |
|||||
f-f-42/+ Z2: 4-5 = 0. |
|||||
2x -h Yuu + lOz - |
|||||
2x -MO2 / -f- lOz - |
|||||
Odgovori. 1.(2.3/2.2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2.0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1.1/2.0).
1.13. Simetrija oko prave ili ravni
FORMULACIJA PROBLEMA. Pronađite koordinate tačke Q, simetrične
PLAN RJEŠENJA. Željena tačka Q leži na pravoj pravoj okomitoj na datu i siječe je u tački P". Pošto tačka P" dijeli segment PQ na pola, koordinate w, w i ZQ TAČKE Q određene su iz uslove
2 "^, ur" = |
2 ~ ^ . ^P" = |
||||
gdje je xp,yp,zp |
Koordinate tačaka P i xp^^ypf^zp/ - koordinate |
||||
njegova projekcija P" na datu pravu.
1. Pronađite projekciju tačke R na datu pravu liniju, tj. tačka P "(pogledajte problem 1.12). Da biste to učinili:
a) sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku P okomita na datu pravu. Kao normalni vektor p ove ravni možemo uzeti usmjeravajući vektor date prave, tj. n = a = (l^m^n). Dobijamo
1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;
b) pronaći koordinate tačke preseka R" ove ravni sa datom pravom. Da bismo to uradili, zapisujemo jednačine prave u parametarskom obliku
X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.
Zamjenom x^y^z u jednadžbu ravnine i rješavanjem u odnosu na t, nalazimo vrijednost parametra t = do na kojoj se prava i ravan sijeku;
c) nađenu vrijednost zamenimo u parametarske jednačine prave i dobijemo željene koordinate tačke R".
2. Koordinate tačke Q, koja je simetrična tački R u odnosu na datu pravu, određuju se iz uslova (1). Dobijamo
XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;p/ - zp.
KOMENTAR. Slično se rješava i problem nalaženja koordinata tačke simetrične datoj u odnosu na ravan.
PRIMJER. Pronađite koordinate tačke Q, simetrične tački P(2, -1,2) u odnosu na pravu
X - 1 _ y __ Z -\-1
RJEŠENJE.
1. Pronađite projekciju tačke R na datu pravu liniju, tj. tačka P". Da biste to učinili:
a) sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku P okomita na datu pravu. Kao normalni vektor p ove ravni možemo uzeti usmjeravajući vektor ove prave: n = a = (1,0,-2). Onda
Zamjenom ovih izraza za x, y i z u jednačinu ravni, nalazimo vrijednost parametra t na kojoj se prava i ravan sijeku: to = -1;
c) zamjenom pronađene vrijednosti u = -1 u parametarske jednačine prave linije, dobijamo
zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.
Dakle, tačka preseka prave i ravni i, posledično, projekcija tačke P na pravu je P"(0,0,1).
2. Koordinate tačke Q, koja je simetrična tački R u odnosu na datu pravu liniju, određuju se iz uslova (1):
XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,
VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,
ZQ = 2zpf - zp = 0.
Odgovori. Tačka Q ima koordinate (-2,1,0).
USLOVI ZADATAKA. Pronađite koordinate tačke simetrične tački P u odnosu na datu pravu.
X - 1 |
||||||||
Ovaj članak razmatra koncept projekcije tačke na pravu liniju (os). Definisaćemo ga pomoću obrazloženja; proučavat ćemo metodu za određivanje koordinata projekcije tačke na pravu (na ravan ili u trodimenzionalni prostor); pogledajmo primjere.
U članku “Projekcija tačke na ravan, koordinate” spomenuli smo da je projekcija figure generalizirani koncept okomite ili ortogonalne projekcije.
Sve geometrijske figure sastoje se od tačaka, odnosno projekcija ove figure je skup projekcija svih njenih tačaka. Dakle, da bi se figura mogla projektovati na pravu, potrebno je steći vještinu projektovanja tačke na pravu.
Definicija 1
Projekcija tačke na pravu- ovo je ili sama tačka, ako pripada datoj pravoj, ili osnova okomice spuštene iz ove tačke na datu pravu.
Razmotrite donju sliku: tačka H 1 služi kao projekcija tačke M 1 na pravu a, a tačka M 2 koja pripada pravoj je projekcija same sebe.
Ova definicija vrijedi za slučaj na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.
Da bi se dobila projekcija tačke M 1 na pravu a na ravan, povlači se prava b koja prolazi kroz datu tačku M 1 i okomita na pravu a. Dakle, tačka preseka pravih a i b biće projekcija tačke M 1 na pravu a.
U trodimenzionalnom prostoru, tačka preseka prave a i ravni α koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na pravu a služiće kao projekcija tačke na pravu liniju.
Pronalaženje koordinata projekcije tačke na pravu liniju
Razmislite ovo pitanje u slučajevima projekcije na ravan iu trodimenzionalni prostor.
Neka nam je dat pravougaoni koordinatni sistem O x y, tačka M 1 (x 1, y 1) i prava linija a. Potrebno je pronaći koordinate projekcije tačke M 1 na pravu a.
Položimo kroz datu tačku M 1 (x 1, y 1) pravu b okomitu na pravu a. Tačku presjeka označavamo kao H 1 . Tačka H 1 će biti tačka projekcije tačke M 1 na pravu a.
Iz opisane konstrukcije možemo formulirati algoritam koji vam omogućava da pronađete koordinate projekcije tačke M 1 (x 1, y 1) na pravu a:
Sastavljamo jednačinu prave (ako nije postavljena). Za izvođenje ove radnje potrebna je vještina sastavljanja osnovnih jednačina na ravni;
Zapisujemo jednačinu prave b (koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na pravu a). Ovdje će pomoći članak o jednadžbi prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju;
Željene koordinate projekcije definiramo kao koordinate presječne točke pravih a i b. Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina, čije su komponente jednačine pravih a i b.
Primjer 1
Tačke M 1 (1, 0) i prava linija a date su na ravni O x y (opšta jednačina je 3 x + y + 7 = 0). Potrebno je odrediti koordinate projekcije tačke M 1 na pravu a.
Rješenje
Jednačina date linije je poznata, pa prema algoritmu prelazimo na korak pisanja jednačine prave b. Prava b je okomita na pravu a, što znači da vektor normale prave a služi kao vektor smjera prave b. Tada se usmjeravajući vektor prave b može zapisati kao b → = (3, 1) . Pišemo i kanonsku jednačinu prave b, jer su nam date i koordinate tačke M 1 kroz koju prolazi prava b:
Poslednji korak je određivanje koordinata tačke preseka linija a i b. Idemo dalje od kanonske jednačine prava b na njenu opštu jednačinu:
x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0
Sastavljamo sistem jednačina od opštih jednačina pravih a i b i rješavamo ga:
3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2
Na kraju smo dobili koordinate projekcije tačke M 1 (1, 0) na pravu 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1) .
odgovor: (- 2 , - 1) .
Razmotrimo detaljnije slučaj kada je potrebno odrediti koordinate projekcije dati poen na koordinatnim i njima paralelnim linijama.
Neka su date koordinatne prave O x i O y, kao i tačka M 1 (x 1 , y 1) . Jasno je da će projekcija date tačke na koordinatnu pravu O x oblika y = 0 biti tačka sa koordinatama (x 1 , 0). Dakle, projekcija date tačke na koordinatnu pravu O y imat će koordinate 0 , y 1 .
Bilo koja proizvoljna linija paralelno sa osom apscisa, moguće je postaviti nepotpuno opšta jednačina B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, i ravna linija paralelna s ordinatnom osom - A x + C = 0 ⇔ x \u003d - C A.
Tada će projekcije tačke M 1 (x 1, y 1) na prave y = - C B i x = - C A biti tačke sa koordinatama x 1, - C B i - C A, y 1.
Primjer 2
Odredite koordinate projekcije tačke M 1 (7, - 5) na koordinatnu pravu O y, kao i na pravu paralelnu pravoj O y 2 y - 3 = 0.
Rješenje
Zapišimo koordinate projekcije date tačke na pravu O y: (0 , - 5) .
Zapisujemo jednačinu prave 2 y - 3 = 0 u obliku y = 3 2 . Postaje jasno da će projekcija date tačke na pravu y = 3 2 imati koordinate 7 , 3 2 .
odgovor:(0 , - 5) i 7 , 3 2 .
Neka su u trodimenzionalnom prostoru dati pravougaoni koordinatni sistem O x y z , tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i prava a. Nađimo koordinate projekcije tačke M 1 na pravu a.
Konstruirajmo ravan α koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na pravu a. Projekcija date tačke na pravu a biće tačka preseka prave a i ravni α. Na osnovu ovoga predstavljamo algoritam za pronalaženje koordinata projekcije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na pravu a:
Zapišimo jednačinu prave a (ako nije data). Da biste riješili ovaj problem, morate pročitati članak o jednadžbama prave u prostoru;
Sastavimo jednačinu ravni α, koja prolazi kroz tačku M 1 i okomita na pravu a (pogledajte članak „Jednačina ravni koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu pravu liniju“);
Pronađite željene koordinate projekcije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na pravu a - to će biti koordinate tačke preseka prave α i ravni α (u pomoć - članak „Koordinate tačke preseka prave i ravni”).
Primjer 3
Dat je pravougaoni koordinatni sistem O x y z, a u njemu se nalazi tačka M 1 (0, 1, - 1) i prava a. Prava a odgovara kanonskim jednačinama oblika: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Odrediti koordinate projekcije tačke M 1 na pravu a.
Rješenje
Koristimo gornji algoritam. Jednačine prave a su poznate, tako da preskačemo prvi korak algoritma. Napišimo jednačinu ravni α . Da bismo to učinili, odredimo koordinate vektora normale ravni α. Iz zadatih kanonskih jednadžbi prave a biramo koordinate usmjeravajućeg vektora ove prave: (3 , - 4 , 1) , koji će biti vektor normale ravni α okomite na pravu a . Onda n → = (3, - 4, 1) je vektor normale ravni α. Dakle, jednadžba ravni α će izgledati ovako:
3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0
Sada nalazimo koordinate točke presjeka prave a i ravnine α, za to koristimo dvije metode:
- Date kanonske jednadžbe nam omogućavaju da dobijemo jednadžbe dvije ravnine koje se sijeku koje definiraju pravu a:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0
Da bismo pronašli tačke preseka prave 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 i ravni 3 x - 4 y + z + 5 = 0, rešavamo sistem jednačina:
4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - pet
U ovom slučaju koristimo Cramerovu metodu, ali je moguće primijeniti bilo koju pogodnu:
∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0 - 78 = 0
Dakle, projekcija date tačke na pravu a je tačka sa koordinatama (1 , 2 , 0)
- Na osnovu datih kanonskih jednadžbi, lako je napisati parametarske jednačine prave u prostoru:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ
Zamenimo u jednadžbu ravnine, koja ima oblik 3 x - 4 y + z + 5 = 0, umesto x, y i z, njihove izraze kroz parametar:
3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1
Izračunajmo željene koordinate tačke preseka prave a i ravni α koristeći parametarske jednačine pravac a za λ = 1:
x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0
Dakle, projekcija date tačke na pravu a ima koordinate (1 , 2 , 0)
odgovor: (1 , 2 , 0)
Konačno, napominjemo da će projekcije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) na koordinatne prave O x, O y i O z biti tačke sa koordinatama (x 1, 0, 0) , (0 , y 1 , 0 ) i (0 , 0 , z 1) respektivno.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Projekcija tačke na pravu liniju nalazi se prilično jednostavno, a pri izvođenju nekih operacija, nulta aproksimacija se računa kao projekcija tačke na tangentu. Razmotrimo ovaj poseban slučaj opšteg problema.
Neka je data prava linija
i tačka. Pretpostavljamo da vektor linije w ima proizvoljnu dužinu. Prava linija prolazi kroz tačku u kojoj je parametar t jednak nuli i ima smjer vektora w. Potrebno je pronaći projekciju tačke na pravu liniju. Ovaj problem ima jedinstveno rješenje. Konstruišemo vektor od tačke prave do tačke i računamo skalarni proizvod ovaj vektor i linijski vektor w. Na sl. 4.5.1 pokazuje vektor smjera prave w, its polazna tačka Ko i projekcija; dati poen. Ako ovaj skalarni proizvod podijelimo sa dužinom vektora w, dobićemo dužinu projekcije vektora na pravu liniju.
Rice. 4.5.1. Projekcija tačke na pravu liniju
Ako ovaj skalarni proizvod podijelimo s kvadratom dužine vektora w, onda ćemo dobiti dužinu projekcije vektora na pravu liniju u jedinicama dužine vektora w, tj. dobiti parametar t za projekcija tačke na pravu liniju.
Dakle, parametar projekcije tačke na pravu liniju i vektor radijusa projekcije; izračunato po formulama
(4.5.3)
Ako je dužina vektora w jednaka jedan, tada u (4.5.2) nije potrebno dijeliti sa Udaljenost od tačke do njene projekcije na krivu općenito se izračunava kao dužina vektora . Udaljenost od tačke do njene projekcije na pravu liniju može se odrediti bez izračunavanja projekcije tačke, već pomoću formule
Posebni slučajevi.
Projekcija tačke na analitičke krive može se naći i bez upotrebe numeričkih metoda. Na primjer, da biste pronašli projekciju točke na konusni presjek, trebate prevesti projektovanu tačku u lokalni koordinatni sistem konusnog presjeka, projicirati ovu tačku na ravan konusnog presjeka i pronaći parametar dva -dimenzionalna projekcija date tačke.
Opšti slučaj.
Neka je potrebno pronaći sve projekcije tačke na krivu liniju. Svaka željena tačka krive zadovoljava jednačinu
(4.5.5)
Ova jednačina sadrži jednu nepoznatu veličinu - parametar t. Kao što je već pomenuto, rešavanje ovog problema podelićemo u dve faze. U prvoj fazi određujemo nulte aproksimacije parametara projekcije tačke na krivulju, a u drugoj fazi nalazimo tačne vrijednosti parametara krive koji određuju projekcije date tačke na krivu liniju sa
Uz pomoć ovoga online kalkulator naći projekciju tačke na pravu. dato detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste izračunali projekciju tačke na pravu liniju, navedite dimenziju (2-ako se prava linija smatra na ravni, 3- ako se u prostoru razmatra prava linija), unesite koordinate tačke i elemente jednadžbu u ćelijama i kliknite na dugme "Riješi".
×
Upozorenje
Obrisati sve ćelije?
Zatvori Clear
Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.
Projekcija tačke na pravu - teorija, primjeri i rješenja
Razmotrimo ovaj problem u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim prostorima.
1. Neka je data tačka u dvodimenzionalnom prostoru M 0 (x 0 , y 0) i direktno L:
Algoritam za pronalaženje projekcije tačke na pravu liniju L sadrži sljedeće korake:
- izgraditi pravu liniju L 1 prolazi kroz tačku M 0 i okomito na pravu L,
- pronađite presek linija L I L 1 (tačka M 1)
Jednadžba prave koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) ima sljedeći oblik:
Hajde da otvorimo zagrade
 | (5) |
Zamijenite vrijednosti x I y u 4):
gdje x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".
Primjer 1. Pronađite projekciju tačke M 0 (1, 3) direktno
One. m=4, str=5. Iz jednačine prave (6) može se vidjeti da ona prolazi kroz tačku M" (x", y")=(2, −3)(to je lako provjeriti - zamjenom ovih vrijednosti u (6) dobijamo identitet 0=0), tj. x"=2, y"=-3. Zamijenite vrijednosti m, p, x 0 , y 0 ,x", y" na 5"):
2. Neka je data tačka u trodimenzionalnom prostoru M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i direktno L:
Pronalaženje projekcije tačke na pravu L sadrži sljedeće korake:
- napravi avion α prolazeći kroz tačku M 0 i okomito na pravu L,
- pronađite presek ravnine α i direktno L(tačka M 1)
Jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ima sljedeći oblik:
Hajde da otvorimo zagrade
| (10) |
Zamijenite vrijednosti x I y u 9):
| m(mt+x")+str(pt+y")+l(lt+z")−mx 0 −stry 0 −lz 0 =0 |
| m 2 t+mx"+str 2 t+py"+l 2 t+laž"−mx 0 −stry 0 −lz 0 =0 |