Kompleks sonning logarifmi. Murakkab logarifmlar

Reja:

1 Haqiqiy logarifm
- 1.1 Xususiyatlari
- 1.2 logarifmik funktsiya
- 1.3 tabiiy logarifmlar
- 1.4 O'nlik logarifmlar
2 Kompleks logarifm
- 2.1 Ta'rif va xususiyatlar
- 2.2 Misollar
- 2.3 Analitik davomi
- 2.4 Riemann yuzasi
3 Tarixiy tasavvur
- 3.1 Haqiqiy logarifm
- 3.2 Kompleks logarifm
4 Logarifmik jadvallar
5 Ilovalar

Kirish

Guruch. 1. Logarifmik funksiyalarning grafiklari

Raqamning logarifmi b sabab bilan a (yunon tilidan. λόγος - "so'z", "munosabat" va ἀριθμός - "raqam") bazani ko'tarish darajasining ko'rsatkichi sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b. Belgilanishi: . Ta'rifdan kelib chiqadiki, va yozuvlari ekvivalentdir.

Masalan, chunki.

1. Haqiqiy logarifm

Haqiqiy sonlar jurnalining logarifmi a b qachon mantiqiy bo'ladi. Ma'lumki, eksponensial funktsiya y = a x monotonik va har bir qiymat faqat bir marta qabul qilinadi va uning qiymatlari diapazoni barcha ijobiy haqiqiy raqamlarni o'z ichiga oladi. Bundan kelib chiqadiki, haqiqiy logarifmning qiymati ijobiy raqam har doim mavjud va yagona tarzda belgilanadi.

Eng ko'p ishlatiladigan logarifmlarning quyidagi turlari.

1.1. Xususiyatlari

Isbot

Keling, buni isbotlaylik.

(chunki bc > 0 sharti bo'yicha). ■

Isbot

Keling, buni isbotlaylik

(chunki shart bo'yicha ■

Isbot

Keling, buni isbotlash uchun shaxsdan foydalanamiz. Biz identifikatsiyaning ikkala tomonini c asosiga logarifm qilamiz. Biz olamiz:

Isbot

Keling, buni isbotlaylik.

(chunki b p> 0 shart bo'yicha). ■

Isbot

Keling, buni isbotlaylik

Isbot

Chap va o'ng tomonlarning logarifmini asosga olib boring c :

Chap tomoni: o'ng tomoni:

Ifodalarning tengligi aniq. Logarifmlar teng bo'lganligi sababli, monotonlik tufayli logarifmik funktsiya ifodalarning o'zi tengdir. ■

1.2. logarifmik funktsiya

Agar logarifmik sonni o'zgaruvchi deb hisoblasak, olamiz logarifmik funktsiya y= jurnal a x (1-rasmga qarang). da aniqlanadi. Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya uchun qat'iy ortib bormoqda a> 1 va 0 da qat'iy kamayadi< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Streyt x= 0 - chap vertikal asimptota, chunki at a> 1 va 0 da< a < 1 .

Logarifmik funktsiyaning hosilasi:

Isbot

I. Keling, buni isbotlaylik

Keling, shaxsni yozamiz e ln x = x va uning chap va o'ng tomonlarini farqlang

Biz buni tushunamiz, shundan kelib chiqadi

II. Keling, buni isbotlaylik

Logarifmik funksiya izomorfizmni amalga oshiradi multiplikativ guruh ijobiy haqiqiy raqamlar va barcha haqiqiy sonlarning qo'shimchalar guruhi.

1.3. tabiiy logarifmlar

O'nlik logarifm bilan aloqasi: .

Yuqorida aytib o'tilganidek, natural logarifmning hosilasi oddiy formulaga ega:

Shuning uchun ham tabiiy logarifmlardan asosan matematik tadqiqotlarda foydalaniladi. Ular ko'pincha qachon paydo bo'ladi differensial tenglamalar, statistik bog'liqliklarni o'rganish (masalan, taqsimot tub sonlar) va h.k.

Tabiiy logarifmning noaniq integralini qismlar bo'yicha integrallash orqali topish oson:

Teylor seriyasining kengayishi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
tenglik bo'lganda

(1)

Ayniqsa,

Bu qator tezroq yaqinlashadi va bundan tashqari, formulaning chap tomoni endi istalgan musbat sonning logarifmini ifodalashi mumkin.

1.4. O'nlik logarifmlar

Guruch. 2a. Logarifmik masshtab

Guruch. 2b. Belgilar bilan logarifmik masshtab

10 ta asosga logarifmlar (belgi: lg a) Kalkulyatorlar ixtiro qilinishidan oldin hisob-kitoblar uchun keng foydalanilgan. O'nlik logarifmlarning bir xil bo'lmagan shkalasi odatda slayd qoidalariga ham qo'llaniladi. Shunga o'xshash shkala fanning ko'plab sohalarida qo'llaniladi, masalan:

Fizika - tovush intensivligi (desibel).
Astronomiya yulduzlarning yorqinligini ko'rsatadigan o'lchovdir.
Kimyo - vodorod ionlarining faolligi (pH).
Seysmologiya - Rixter shkalasi.
Musiqa nazariyasi - musiqiy tovushlarning chastotalariga nisbatan musiqiy o'lchov.
Tarix logarifmik vaqt o'lchovidir.

Logarifmik shkala ko'rsatkichli bog'liqliklarda ko'rsatkichni va ko'rsatkichdagi koeffitsientni aniqlash uchun ham keng qo'llaniladi. Shu bilan birga, bir yoki ikkita o'q bo'ylab logarifmik masshtabda qurilgan grafik to'g'ri chiziq shaklini oladi, uni o'rganish osonroq.

2. Kompleks logarifm

2.1. Ta'rif va xususiyatlar

Kompleks sonlar uchun logarifm haqiqiy bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Amalda, tabiiy kompleks logarifm deyarli faqat qo'llaniladi, biz uni barcha kompleks sonlar to'plami sifatida belgilaymiz va aniqlaymiz. z shu kabi e z = w . Murakkab logarifm har qanday uchun mavjud va uning haqiqiy qismi yagona aniqlanadi, xayoliy esa cheksiz sonli qiymatlarga ega. Shuning uchun u ko'p qiymatli funktsiya deb ataladi. Tasavvur qilsangiz w eksponensial shaklda:

u holda logarifm quyidagi formula bilan topiladi:

Mana haqiqiy logarifm, r = | w | , k ixtiyoriy butun sondir. Qachon olingan qiymat k= 0 deyiladi asosiy ahamiyati murakkab natural logarifm; undagi argumentning qiymatini (− p,p] oraliqda olish odatiy holdir. Tegishli (allaqachon bir qiymatli) funksiya deyiladi. asosiy filiali logarifm va bilan belgilanadi. Ba'zan asosiy filialda yotmaydigan logarifmning qiymatini ham bildiradi.

Formuladan quyidagicha:

Logarifmning haqiqiy qismi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Salbiy sonning logarifmi quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Murakkab trigonometrik funktsiyalar eksponensial (Eyler formulasi) bilan bog'langanligi sababli, kompleks logarifm ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi sifatida teskari funktsiya bilan bog'liq. trigonometrik funktsiyalar. Bunday ulanishga misol:

2.2. Misollar

Ba'zi argumentlar uchun logarifmning asosiy qiymati:

Murakkab logarifmlarni konvertatsiya qilishda ehtiyot bo'lish kerak, chunki ular ko'p qiymatli ekanligini hisobga olish kerak va shuning uchun har qanday iboralarning logarifmlarining tengligi bu iboralarning tengligini anglatmaydi. Noto'g'ri fikrlash misoli:

i p = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− i p / 2) = - iπ - aniq absurdlik.

E'tibor bering, logarifmning asosiy qiymati chap tomonda, asosiy filialning qiymati esa o'ng tomonda ( k= − 1). Xatoning sababi, umuman olganda, murakkab holatda faqat asosiy qiymatni emas, balki logarifmning cheksiz qiymatlari to'plamini nazarda tutadigan mulkdan beparvo foydalanishdir.

2.3. Analitik davomi

Guruch. 3. Kompleks logarifm (xayoliy qism)

Logarifm murakkab son haqiqiy logarifmning butun kompleks tekislikka analitik davomi sifatida ham aniqlash mumkin. D egri chizig'i 1 dan boshlansin, noldan o'tmang va haqiqiy o'qning manfiy qismini kesib o'tmang. Keyin oxirgi nuqtada logarifmning asosiy qiymati w D egri chizig'ini quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

Agar D oddiy egri chiziq bo'lsa (o'z-o'zidan kesishmasdan), unda yotgan raqamlar uchun logarifmik identifikatsiyalar qo'rqmasdan qo'llanilishi mumkin, masalan

Agar D egri chizig'iga haqiqiy o'qning manfiy qismini kesishga ruxsat berilsa, unda birinchi bunday kesishma natijani asosiy qiymat tarmog'idan qo'shni filialga o'tkazadi va har bir keyingi kesishish logarifmik funktsiyaning shoxlari bo'ylab xuddi shunday siljishni keltirib chiqaradi ( rasmga qarang).

Analitik davom formulasidan kelib chiqadiki, logarifmning istalgan bo'limida

Har qanday doira uchun S 0 nuqtani qamrab olish:

Integral musbat yo'nalishda (soat miliga teskari) olinadi. Bu o'ziga xoslik qoldiqlar nazariyasiga asoslanadi.

Murakkab logarifmning analitik davomini yuqoridagi (1) qatordan foydalanib, holatga umumlashtirilgan holda ham aniqlash mumkin. murakkab argument. Biroq, kengayish turidan kelib chiqadiki, u birlikda nolga teng, ya'ni qator faqat kompleks logarifmning ko'p qiymatli funktsiyasining asosiy tarmog'iga tegishli.

2.4. Riemann yuzasi

Kompleks logarifmik funksiya Riman sirtiga misol bo'la oladi; uning xayoliy qismi (3-rasm) spiral shaklida o'ralgan cheksiz ko'p novdalardan iborat. Bu sirt oddiygina bog'langan; uning yagona noli (birinchi tartibdagi) tomonidan olinadi z= 1 , maxsus nuqtalar: z= 0 va (cheksiz tartibli filial nuqtalari).

Logarifmning Riemann yuzasi universal qoplama hisoblanadi murakkab tekislik 0 nuqtasiz.

3. Tarixiy tasavvur

3.1. Haqiqiy logarifm

16-asrda murakkab hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj tez sur'atlar bilan o'sib bordi va qiyinchiliklarning aksariyati ko'p xonali raqamlarni ko'paytirish va bo'lish, shuningdek, ildizlarni olish bilan bog'liq edi. Asrning oxirida deyarli bir vaqtning o'zida bir nechta matematiklar g'oya bilan chiqdilar: ko'p vaqt talab qiladigan ko'paytirishni oddiy qo'shish bilan almashtirish, geometrik va arifmetik progressiyalarni maxsus jadvallar yordamida solishtirish, geometrik esa asl bo'ladi. Keyin bo'linish avtomatik ravishda o'lchovsiz sodda va ishonchli ayirish bilan almashtiriladi va darajaning ildizi olinadi. n radikal ifodaning logarifmini ga bo'lishgacha qisqartiradi n. U birinchi bo'lib bu fikrni o'z kitobida e'lon qildi Arifmetika integrasi» Maykl Stifel, ammo u o'z g'oyasini amalga oshirish uchun jiddiy harakat qilmadi.

1614 yilda shotlandiyalik havaskor matematik Jon Nepier nashr etdi lotin sarlavhali insho Ajoyib logarifm jadvalining tavsifi"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). bor edi qisqa Tasvir logarifmlar va ularning xossalari, shuningdek, 1" qadamli sinuslar, kosinuslar va tangenslarning 8 xonali logarifmlari jadvallari. Termin logarifm, Napier tomonidan taklif qilingan, fanda o'zini namoyon qildi. Nepier o'zining boshqa kitobida logarifmlar nazariyasini bayon qilgan. Logarifmlarning ajoyib jadvalini yaratish"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), o'limidan keyin 1619 yilda o'g'li tomonidan nashr etilgan.

Funksiya tushunchasi hali mavjud emas edi va Neyper logarifmni kinematik tarzda aniqladi, bir xil va logarifmik sekin harakatni solishtirdi; masalan, u sinusning logarifmini quyidagicha aniqlagan:

Berilgan sinusning logarifmi - bu har doim to'liq sinusning geometrik kamayib borishi bilan bir xil tezlikda arifmetik ravishda ortib boruvchi son.

Zamonaviy yozuvda Nepierning kinematik modeli differentsial tenglama bilan ifodalanishi mumkin: dx/x = -dy/M, bu erda M - qiymatni kerakli sonli raqamlar bilan butun songa aylantirish uchun kiritilgan masshtablash omili ( o'nli kasrlar hali keng qo'llanilmagan). Napier M = 10000000 ni oldi.

To'g'risini aytganda, Napier noto'g'ri funktsiyani jadvalga kiritdi, bu endi logarifm deb ataladi. Agar uning funksiyasini LogNap(x) deb belgilasak, u tabiiy logarifm bilan quyidagicha bog‘lanadi:

Shubhasiz, LogNap (M) = 0, ya'ni "to'liq sinus" ning logarifmi nolga teng - bu Napier o'z ta'rifi bilan qidirgan. .

Napier logarifmining asosiy xossasi: agar miqdorlar hosil bo'lsa geometrik progressiya, keyin ularning logarifmlari arifmetik progressiya hosil qiladi. Biroq, Pier bo'lmagan funksiya uchun logarifm qoidalari zamonaviy logarifm qoidalaridan farq qiladi.

Misol uchun, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Afsuski, Napier jadvalidagi barcha qiymatlarda oltinchi raqamdan keyin hisoblash xatosi mavjud edi. Biroq, bu yangi hisoblash usulining keng ommalashishiga to'sqinlik qilmadi va ko'plab evropalik matematiklar, shu jumladan Kepler logarifmik jadvallarni tuzish bilan shug'ullanishdi. 5 yil o'tgach, 1619 yilda London matematika o'qituvchisi Jon Spydell ( Jon Spidell) Napier jadvallarini qayta nashr etdi, ular aslida tabiiy logarifmlar jadvaliga aylantirildi (garchi Spydell butun sonlarga masshtablashni saqlab qolgan bo'lsa ham). "Tabiiy logarifm" atamasi italiyalik matematik Pietro Mengoli tomonidan kiritilgan. Pietro Mengoli)) XVI asr o'rtalarida.

1620-yillarda Edmund Uingeyt va Uilyam Oughtred muhandis uchun ajralmas vosita bo'lgan cho'ntak kalkulyatorlari paydo bo'lishidan oldin birinchi slayd qoidasini ixtiro qildilar.

Logarifmning zamonaviy tushunchasiga yaqin - kuchga ko'tarishga teskari operatsiya sifatida - birinchi marta Uollis va Iogan Bernullida paydo bo'lgan va nihoyat 18-asrda Eyler tomonidan qonuniylashtirilgan. Eyler «Cheksizlar tahliliga kirish» (1748) asarida bergan zamonaviy ta'riflar ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalar, ularning darajali qatorlarga kengayishiga olib keldi, ayniqsa, tabiiy logarifmning rolini ta'kidladi.

Eyler logarifmik funktsiyani murakkab sohaga ham kengaytirishga loyiqdir.

3.2. Kompleks logarifm

Logarifmlarni murakkab raqamlarga kengaytirishga birinchi urinishlar 17-18-asrlar oxirida Leybnits va Iogan Bernulli tomonidan qilingan, ammo ular yaxlit nazariyani yarata olmadilar - birinchi navbatda logarifm tushunchasining o'zi hali aniq emasligi sababli. belgilangan. Bu masala bo'yicha munozara birinchi bo'lib Leybnits va Bernulli o'rtasida, XVIII asr o'rtalarida esa d'Alember va Eyler o'rtasida bo'lgan. Bernoulli va d'Alembert aniqlash zarur deb hisoblagan log(-x) = log(x). To'liq nazariya manfiy va murakkab sonlarning logarifmlari Eyler tomonidan 1747-1751 yillarda nashr etilgan va zamonaviydan deyarli farq qilmaydi.

Garchi bahs davom etsa-da (D'Alember o'z nuqtai nazarini himoya qilgan va uni "Entsiklopediya"dagi maqolasida va boshqa asarlarida batafsil bayon qilgan), Eylerning nuqtai nazari tezda umumiy e'tirofga sazovor bo'ldi.

4. Logarifmik jadvallar

Logarifmik jadvallar

Logarifmning xususiyatlaridan kelib chiqadiki, ko'p qiymatli raqamlarni ko'p vaqt talab qiladigan ko'paytirish o'rniga (jadvallardan) ularning logarifmlarini topish va qo'shish, so'ngra xuddi shu jadvallar yordamida potentsiallashtirishni amalga oshirish kifoya, ya'ni natijaning qiymati uning logarifmi bo'yicha. Bo'linish faqat logarifmlarni ayirish bilan farq qiladi. Laplasning aytishicha, logarifmlar ixtirosi hisob-kitob jarayonini ancha tezlashtirib, “astronomlarning umrini uzaytirdi”.

Raqamdagi kasr nuqtasini ko'chirishda n raqamlar, bu sonning o'nlik logarifmi qiymati tomonidan o'zgartiriladi n. Masalan, lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Bundan kelib chiqadiki, 1 dan 10 gacha bo'lgan sonlar uchun o'nlik logarifmlar jadvalini tuzish kifoya.

Logarifmlarning birinchi jadvallari Jon Nepier (1614) tomonidan nashr etilgan va ularda faqat trigonometrik funktsiyalarning logarifmlari va xatolar mavjud edi. Undan mustaqil ravishda, Keplerning do'sti Joost Burgi o'z jadvallarini nashr etdi (1620). 1617 yilda Oksford matematika professori Genri Briggs 1 dan 1000 gacha bo'lgan 8 ta (keyinroq 14) raqamdan iborat o'nlik logarifmlarini o'z ichiga olgan jadvallarni nashr etdi. Ammo Briggs jadvallarida ham xatolar bor edi. Vega jadvallari (1783) asosidagi birinchi xatosiz nashr faqat 1857 yilda Berlinda (Bremiver jadvallari) paydo bo'ldi.

Rossiyada logarifmlarning birinchi jadvallari 1703 yilda L. F. Magnitskiy ishtirokida nashr etilgan. SSSRda logarifmlar jadvallarining bir nechta to'plamlari nashr etilgan.

Bradis V. M. To'rt xonali matematik jadvallar. 44-nashr, M., 1973 yil.

Bradys (1921) jadvallari ishlatilgan ta'lim muassasalari va katta aniqlikni talab qilmaydigan muhandislik hisoblarida. Ularda sonlarning oʻnlik logarifmlari va trigonometrik funksiyalarning mantislari, natural logarifmlari va boshqa foydali hisoblash vositalari mavjud edi.

Vega G. Etti xonali logarifmlar jadvallari, 4-nashr, M., 1971 yil.

To'g'ri hisob-kitoblar uchun professional to'plam.

Trigonometrik miqdorlarning tabiiy qiymatlarining besh xonali jadvallari, ularning logarifmlari va raqamlarning logarifmlari, 6-nashr, M .: Nauka, 1972.
Tabiiy logarifmlar jadvallari, 2-nashr, 2 jildda, Moskva: Nauka, 1971 yil.

Hozirgi vaqtda kalkulyatorlarning tarqalishi bilan logarifmlar jadvallaridan foydalanish zarurati yo'qoldi.

M, Xususiyat (kompleks tahlil).

(yunoncha lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam" dan) raqamlar b sabab bilan a(log a b) shunday son deyiladi c, Va b= a c, ya'ni log a b=c Va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b sabab bilan lekin raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Misol uchun:

log 2 8 = 3, chunki 8=2 3 .

Shuni ta'kidlaymizki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati logarifm belgisi ostidagi son asosning ma'lum bir kuchi bo'lganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng dan. Logarifm mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqam darajasi.

Logarifmni hisoblashga murojaat qilinadi logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm qabul qilinganda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylanadi.

Potentsiyalash logarifmga teskari matematik amaldir. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha asoslari 2 (ikkilik), e Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) bo'lgan haqiqiy logarifmlar qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda buni ko'rib chiqishga arziydi logarifmlar namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Va lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy sonda joylashgan. tayanch, uchinchisida esa - va logarifm belgisi ostidagi manfiy raqam va bazadagi birlik.

Logarifmni aniqlash shartlari.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bu bizga x = log a shaklidagi tenglik bilan yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifmning ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Shartni oling a≠1. Har qanday darajaga bir birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a bo'ladi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf etish uchun biz olamiz a≠1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va keyin mos ravishda log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni bartaraf qilish uchun shart a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shishga, ayirishga bo'lish va darajaga ko'tarish va ildiz olish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'lishga aylantiriladi.

Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va kompyuterlar qo‘llanila boshlanmaguncha o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.

Logarifmning asosiy xossalari, logarifmning grafigi, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, asosiy formulalari, o‘sish va kamayishi berilgan. Logarifmning hosilasini topish ko'rib chiqiladi. Va shuningdek, integral, kengayish quvvat seriyasi va kompleks sonlar yordamida ifodalash.

Tarkib

Domen, qiymatlar to'plami, o'sish, pasayish

Logarifm bu monoton funktsiya, shuning uchun uning ekstremumlari yo'q. Logarifmning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.


Domen	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monoton ravishda ortadi	monoton tarzda kamayadi
Nollar, y= 0	x= 1	x= 1
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0	Yo'q	Yo'q
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Shaxsiy qadriyatlar

10 ta asosiy logarifm deyiladi o'nlik logarifm va shunday belgilanadi:

asosiy logarifm e chaqirdi tabiiy logarifm:

Asosiy logarifm formulalari

Teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadigan logarifmning xususiyatlari:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.
Potentsiyalash - logarifmga teskari matematik operatsiya. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indilari omillar mahsulotiga aylantiriladi.

Logarifmlarning asosiy formulalarini isbotlash

Logarifmlar bilan bog'liq formulalar ko'rsatkichli funktsiyalar formulalaridan va teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Mulkni ko'rib chiqing eksponensial funktsiya
.
Keyin
.
Ko‘rsatkichli funksiya xossasini qo‘llang
:
.

Keling, asosiy o'zgarish formulasini isbotlaylik.
;
.
c = b sozlamasi, bizda:

Teskari funksiya

Logarifm asosining o'zaro nisbati a ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyadir.

Agar , keyin

Logarifmning hosilasi

X logarifm modulining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Logarifmaning hosilasini topish uchun uni asosga qisqartirish kerak e.
;
.

Integral

Logarifmning integrali qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi: .
Shunday qilib,

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
.
Kompleks sonni ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Keyin, logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki

Biroq, argument φ aniq belgilanmagan. Agar qo'ysak
, bu yerda n butun son,
keyin har xil uchun bir xil raqam bo'ladi n.

Demak, logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

, uchun kengayish sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

Shuningdek qarang:

Haqiqiy o'zgaruvchining eksponensial funktsiyasi (uchun ijobiy asos) bir necha bosqichda aniqlanadi. Birinchidan, tabiiy qadriyatlar uchun - teng omillar mahsuloti sifatida. Keyin ta'rif qoidalar bo'yicha manfiy butun va nolga teng bo'lmagan qiymatlarga kengaytiriladi. Keyinchalik, kasr ko'rsatkichlari ko'rib chiqiladi, ularda ko'rsatkichli funktsiyaning qiymati ildizlar yordamida aniqlanadi: . Irratsional qiymatlar uchun ta'rif allaqachon matematik tahlilning asosiy kontseptsiyasi bilan - uzluksizlik sabablari bilan chegaraga o'tish bilan bog'liq. Bu mulohazalarning barchasi eksponensial funktsiyani indikatorning murakkab qiymatlariga kengaytirishga urinishlar uchun hech qanday tarzda qo'llanilmaydi va, masalan, umuman tushunarsiz.

Birinchi marta integral hisobining bir qator konstruksiyalarini tahlil qilish asosida Eyler tomonidan tabiiy asosli kompleks ko‘rsatkichli daraja kiritildi. Ba'zida juda o'xshash algebraik iboralar integratsiyalashganda butunlay boshqacha javob beradi:

Shu bilan birga, bu erda ikkinchi integral birinchisidan uni almashtirish orqali rasmiy ravishda olinadi

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, murakkab darajali ko'rsatkichli funktsiyani to'g'ri ta'riflagan holda, teskari trigonometrik funktsiyalar logarifmlar bilan bog'liq va shuning uchun ko'rsatkichli funktsiya trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq.

Eylerda asosli eksponensial funktsiyaga oqilona ta'rif berish uchun jasorat va tasavvur bor edi, ya'ni

Bu ta'rif va shuning uchun bu formula isbotlanmagan, faqat bunday ta'rifning asosliligi va maqsadga muvofiqligi foydasiga dalillarni izlash mumkin. Matematik tahlil shunga o'xshash ko'plab dalillar keltiradi. Biz faqat bittasi bilan cheklanamiz.

Ma'lumki, real uchun chegara munosabati amal qiladi: . O'ng tomonda uchun murakkab qiymatlar uchun ham mantiqiy bo'lgan polinom mavjud. Kompleks sonlar ketma-ketligi chegarasi natural tarzda aniqlanadi. Haqiqiy va xayoliy qismlar ketma-ketligi yaqinlashsa, ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi va shunday deb taxmin qilinadi.

Keling, topamiz. Buning uchun biz trigonometrik shaklga o'tamiz va argument uchun biz intervaldan qiymatlarni tanlaymiz. Ushbu tanlov bilan, bu aniq. Keyinchalik,

Cheklovga o'tish uchun chegaralar mavjudligini tekshirish va bu chegaralarni topish kerak. Bu aniq va

Shunday qilib, ifodada

Haqiqiy qism ga, xayoliy qism - shunga intiladi

Ushbu oddiy argument Eylerning eksponensial funktsiya ta'rifi foydasiga argumentlardan birini beradi.

Endi aniqlaylikki, ko'rsatkichli funktsiyaning qiymatlarini ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi. Haqiqatan ham:

2. Eyler formulalari.

Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifini kiritamiz. Biz olamiz:

b ni -b bilan almashtirsak, olamiz

Bu tengliklarni davr bo‘yicha qo‘shib va ayirib, formulalarni topamiz

Eyler formulalari deb ataladi. Ular trigonometrik funktsiyalar va xayoliy ko'rsatkichlar bilan ko'rsatkichlar o'rtasida aloqa o'rnatadilar.

3. Kompleks sonning natural logarifmi.

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni ko rinishda yozish mumkin Kompleks sonni yozishning bunday shakli ko rsatkichli deyiladi. U trigonometrik shaklning barcha yaxshi xususiyatlarini saqlab qoladi, lekin undan ham ixchamroqdir. Bundan tashqari, shuning uchun kompleks son logarifmining haqiqiy qismi uning modulining logarifmi deb taxmin qilish tabiiydir, xayoliy qism uning argumentidir. Bu argumentning "logarifmik" xususiyatini ma'lum darajada tushuntiradi - mahsulot argumenti omillar argumentlari yig'indisiga teng.

Formulaning isboti .

= =

chunki sinus va kosinus karrali bo'lgan burchak qo'shilishiga bog'liq emas

Va bu tenglik allaqachon aniq, chunki bu murakkab sonning trigonometrik shakli.

Shunday qilib, logarifm noldan tashqari tekislikning barcha nuqtalari uchun mavjud. Haqiqiy ijobiy son uchun argument 0 ga teng, shuning uchun bu cheksiz nuqtalar to'plami , ya'ni qiymatlardan biri, ya'ni at , haqiqiy o'qga tushadi. Agar manfiy sonning logarifmini hisoblasak, hosil bo'ladi, ya'ni nuqtalar to'plami yuqoriga siljiydi va ularning hech biri haqiqiy o'qga tushmaydi.

Formuladan ko'rinib turibdiki, faqat asl sonning argumenti nolga teng bo'lsa, logarifmning qiymatlaridan biri haqiqiy o'qga tushadi. Va bu to'g'ri yarim o'qga mos keladi va shuning uchun maktab matematikasi kursida faqat ijobiy sonlarning logarifmlari ko'rib chiqildi. Manfiy va xayoliy sonlarning logarifmlari ham mavjud, lekin ular haqiqiy o'qda bitta qiymatga ega emas.

Quyidagi rasmda musbat son logarifmining barcha qiymatlari tekislikda qayerda joylashganligi ko'rsatilgan. Ulardan biri haqiqiy o'qda, qolganlari yuqorida va pastda , va hokazo. Salbiy yoki murakkab son uchun argument nolga teng emas, shuning uchun bu nuqtalar ketma-ketligi vertikal ravishda siljiydi, natijada haqiqiy o'qda nuqta yo'q.

Misol. Hisoblang.

Yechim. Keling, sonning modulini (2 ga teng) va argumentni aniqlaymiz 180 0 , ya'ni . Keyin = .

Ilova 1. Dalil uchun savollar (chiptalar uchun).

№1 ma'ruza

1. Bo‘laklar bo‘yicha integrallash formulasini isbotlang.

Ma'ruza №2

1. r = LCM (r 1 ,...,r k) bo‘lgan o‘zgarish integralni ratsional kasrning integraliga qisqartirishini isbotlang.

2. Almashtirish shaklning integralini kamaytirishini isbotlang ratsional kasrning integraliga.

3. Sinus va kosinusni o‘zgartirish formulalarini chiqaring

Umumjahon trigonometrik o'zgarish uchun.

4. Funksiya kosinusga nisbatan toq bo lganda, almashtirish integralni ratsional kasrga keltirishini isbotlang.

5. Qachon holatda buni isbotlang

almashtirish: integralni ratsional kasrga qisqartiradi.

6. Shaklning integrali uchun buni isbotlang

7. Formulani isbotlang

8. Shaklning integrali uchun ekanligini isbotlang almashtirish ratsional kasrga o'z integraliga ega.

9. Shaklning integrali uchun ekanligini isbotlang almashtirish integralni ratsional kasrga qisqartiradi.

№3 ma'ruza

1. Funktsiya ekanligini isbotlang funktsiyaning antiderivatividir.

2. Nyuton-Leybnits formulasini isbotlang: .

3. Aniq berilgan egri chiziq uzunligi formulasini isbotlang:

4. Qutb koordinatalarida berilgan egri chiziq uzunligi formulasini isbotlang

№4 ma'ruza

Teoremani isbotlang: yaqinlashadi, yaqinlashadi.

№5 ma'ruza

1. Maydon formulasini aniq chiqaring (isbotlang). berilgan sirt .

2. Qutbli koordinatalarga o`tish formulalarini chiqarish.

3. Qutb koordinatalarining Yakobi determinantini chiqarish.

4. Silindrsimon koordinatalarga o`tish formulalarini chiqarish.

5. Yakobi determinantining hosilasi silindrsimon koordinatalar.

6. Sferik koordinatalarga o`tish formulalarini chiqarish:

Ma'ruza №6

1. O‘zgartirish bir jinsli tenglamani ajratiladigan o‘zgaruvchilari bo‘lgan tenglamaga keltirishini isbotlang.

2. Olib tashlash umumiy shakl chiziqli bir jinsli tenglama.

3. Chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamani Lagranj usulida yechishning umumiy ko‘rinishini keltiring.

4. Almashtirish Bernulli tenglamasini chiziqli tenglamaga keltirishini isbotlang.

Dars raqami 7.

1. Almashtirish tenglama tartibini k ga kamaytirishini isbotlang.

2. Almashtirish tenglama tartibini bittaga kamaytirishini isbotlang .

3. Teoremani isbotlang: Funksiya chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimidir, xarakteristik ildiz mavjud.

4. Bu teoremani isbotlang chiziqli birikma chiziqli bir jinsli diffning yechimlari. tenglama ham uning yechimidir.

5. Yechimlarni qo‘yish teoremasini isbotlang: Agar chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning yechimi o‘ng tomoni bo‘lsa va bir xil differensial tenglamaning yechimi bo‘lsa, lekin o‘ng tomoni bo‘lsa, yig‘indisi yechim bo‘ladi. o'ng tomoni bilan tenglamaning.

Dars raqami 8.

1. Funktsiyalar sistemasi chiziqli bog'liq degan teoremani isbotlang.

2. n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjudligi haqidagi teoremani isbotlang.

3. Agar 0 ko'plikning ildizi bo'lsa, bu ildizga mos keladigan yechimlar sistemasi shaklga ega ekanligini isbotlang.

Dars raqami 9.

1. Kompleks sonlarni ko‘paytirishda modullar ko‘paytirilishi va argumentlar qo‘shilishini ko‘rsatkichli shakl yordamida isbotlang.

2. n daraja uchun De Moivr formulasini isbotlang

3. Kompleks sonning n tartibli ildizi formulasini isbotlang

4. Buni isbotlang Va

sinus va kosinusning umumlashtirilishi, ya'ni. uchun haqiqiy raqamlar bu formulalarga ko'ra sinus (kosinus) olinadi.

5. Kompleks sonning logarifmi formulasini isbotlang:

2-ilova

Nazariy bilim bo'yicha kichik va og'zaki savollar (kollokvium uchun).

№1 ma'ruza

1. Antiderivativ nima va noaniq integral, Farqi nimada?

2. Nima uchun u ham antiderivativ ekanligini tushuntiring.

3. Qismlar bo‘yicha integrallash formulasini yozing.

4. Integrali shaklda qanday almashtirish kerak va u ildizlarni qanday yo'q qiladi?

5. Ratsional kasr integralining barcha ildizlari har xil va haqiqiy bo'lgan holda eng oddiy kasrlarga kengayish turini yozing.

6. Ratsional kasrlar integralini barcha ildizlari haqiqiy bo‘lgan va ko‘paytma k ning bir karrali ildizi bo‘lgan holatda oddiy kasrlarga kengayish turini yozing.

Dars raqami 2.

1. Ratsional kasrning maxraji manfiy diskriminant bilan 2 daraja koeffitsientga ega bo'lgan holda eng oddiy kasrlarga parchalanishi nima ekanligini yozing.

2. Qaysi almashtirish integralni ratsional kasrga keltiradi?

3. Umumjahon trigonometrik almashtirish nima?

4. Integral belgisi ostidagi funksiya sinus (kosinus) ga nisbatan toq bo lgan hollarda qanday almashtirishlar amalga oshiriladi?

5. Agar integralda , yoki ifodalari bo‘lsa, qanday almashtirishlar bajariladi.

Dars raqami 3.

1. Aniq integralning ta’rifi.

2. Aniq integralning asosiy xossalarini sanab o‘ting.

3. Nyuton-Leybnits formulasini yozing.

4. Aylanma jismning hajmi formulasini yozing.

5. Aniq egri chiziq uzunligi formulasini yozing.

6. Parametrik egri chiziq uzunligi formulasini yozing.

Dars raqami 4.

1. Noto'g'ri integralning ta'rifi (chegara yordamida).

2. 1 va 2 turdagi noto'g'ri integrallar qanday farqlanadi.

3. 1 va 2 turdagi yaqinlashuvchi integrallarga oddiy misollar keltiring.

4. Qaysi integrallar uchun (T1) yaqinlashadi.

5. Konvergentsiya antiderivativning chekli chegarasi bilan qanday bog'liq (T2)

6. Nima zarur xususiyat konvergentsiya, uni shakllantirish.

7. Yakuniy shakldagi taqqoslash belgisi

8. Cheklovchi shakldagi taqqoslash testi.

9. Ko'paytmali integralning ta'rifi.

Dars raqami 5.

1. Integratsiya tartibini o'zgartirish, eng oddiy misolda ko'rsating.

2. Sirt maydoni formulasini yozing.

3. Nima qutb koordinatalari, o‘tish formulalarini yozing.

4. Qutb koordinata sistemasining yakobiyi nima?

5. Silindrsimon va sferik koordinatalar nima, ularning farqi nimada.

6. Silindrsimon (sferik) koordinatalarning yakobiyi nima.

Dars raqami 6.

1. 1-tartibli differensial tenglama nima (umumiy ko'rinish).

2. Hosilaga nisbatan yechilgan 1-tartibli differensial tenglama nimaga aytiladi. Misol keltiring.

3. Ajraladigan o‘zgaruvchilarga ega tenglama nima.

4. Umumiy, xususiy yechim nima, Koshi shartlari.

5. Bir jinsli tenglama nima, uni yechishning umumiy usuli qanday.

6. Nima chiziqli tenglama, uni yechish algoritmi nima, Lagranj usuli nima.

7. Bernulli tenglamasi nima, uni yechish algoritmi.

Dars raqami 7.

1. Shaklning tenglamasi uchun qanday almashtirish kerak.

2. Shaklning tenglamasi uchun qanday almashtirish kerak .

3. Uni qanday ifodalash mumkinligini misollar bilan ko‘rsating.

4. n tartibli chiziqli differensial tenglama nimaga aytiladi.

5. Xarakteristik ko'phad, xarakterli tenglama nima.

6. r funksiya chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo‘lgan teoremani tuzing.

7. Chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining chiziqli birikmasi ham uning yechimi ekanligi haqidagi teoremani tuzing.

8. Yechim qo‘yish teoremasini va uning natijalarini tuzing.

9. Chiziqli bog`liq va chiziqli mustaqil funksiyalar sistemasi nima, bir necha misollar keltiring.

10. n funksiyali sistemaning Vronskiy determinanti nima, LZS va LNS tizimlari uchun Vronskiy determinantiga misol keltiring.

Dars raqami 8.

1. Agar sistema chiziqli bog’liq funksiya bo’lsa, Vronskiy determinanti qanday xususiyatga ega.

2. N tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning nechta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.

3. FSR ta'rifi ( asosiy tizim yechimlari) n tartibli chiziqli bir jinsli tenglama.

4. SRF tarkibida nechta funksiya mavjud?

5. n=2 uchun Lagranj usulida topish uchun tenglamalar sistemasi shaklini yozing.

6. Qachon holatda alohida yechim turini yozing

7. Nima chiziqli tizim differensial tenglamalar, misol yozing.

8. Differensial tenglamalarning avtonom sistemasi nima.

9. jismoniy ma'no differensial tenglamalar tizimlari.

10. Agar ma'lum bo'lsa, tenglamalar tizimining FSR qanday funktsiyalardan iboratligini yozing xos qiymatlar va bu sistemaning bosh matritsasining xos vektorlari.

Dars raqami 9.

1. Xayoliy birlik nima.

2. Konjugat son nima va uni asl songa ko'paytirganda nima sodir bo'ladi.

3. Trigonometrik nima, indikativ shakl murakkab son.

4. Eyler formulasini yozing.

5. Kompleks sonning moduli, argumenti nima.

6. ko'paytirish (bo'lish) paytida modullar va argumentlar bilan nima sodir bo'ladi.

7. n daraja uchun De Moivr formulasini yozing.

8. N tartibli ildiz formulasini yozing.

9. Kompleks argument uchun umumiy sinus va kosinus formulalarini yozing.

10. Kompleks sonning logarifmi formulasini yozing.

Ilova 3. Ma’ruzalardan topshiriqlar.

№1 ma'ruza

Misol. . Misol. .

Misol. Misol. .

Misol. . Misol. .

Ma'ruza №2

Misol. . Misol. .

Misol. . Misol.. , qaerda, raqam.

Misol. Eksponensial shaklda bo'ling.

Misol. De Moivr formulasi bo‘yicha toping.

Misol. Barcha ildiz qiymatlarini toping.