Ta'rif 8.3 (1).

Uzunlik |z| vektor z = (x, y) z = x + yi kompleks sonning moduli deyiladi

Uchburchakning har bir tomonining uzunligi uning qolgan ikki tomonining uzunliklari yig'indisidan oshmaganligi sababli, uchburchakning ikki tomonining uzunliklari farqining mutlaq qiymati uchinchi tomonining uzunligidan kam emas. , u holda har qanday ikkita z 1 va z 2 kompleks sonlar uchun tengsizliklar bajariladi

Ta'rif 8.3 (2).

Murakkab son argumenti. Agar ph nolga teng bo'lmagan z vektorning haqiqiy o'qi bilan hosil qilgan burchak bo'lsa, u holda ko'rinishdagi istalgan burchak (ph + 2pn, bu erda n - butun son va faqat shunday burchak) vektor tomonidan hosil qilingan burchak ham bo'ladi. z haqiqiy o'q bilan.

Nolga teng bo'lmagan vektor z = (x, y) haqiqiy o'q bilan hosil qiladigan barcha burchaklar to'plami z = x + yi kompleks sonining argumenti deb ataladi va arg z bilan belgilanadi. Ushbu to'plamning har bir elementi z soni argumentining qiymati deb ataladi (8.3-rasm (1)).

Guruch. 8.3(1).

Nolga teng bo'lmagan tekislik vektori uning uzunligi va x o'qi bilan hosil qiladigan burchak bilan yagona aniqlanganligi sababli, ikkita murakkab sonlar nolga teng bo'lmagan , agar ularning mutlaq qiymatlari va argumentlari teng bo'lsa, teng bo'ladi.

Agar, masalan, z sonining ph argumenti qiymatlariga 0≤ph sharti qo'yilgan bo'lsa<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Ta'rif 8.3.(3)

Kompleks sonning trigonometrik shakli. z = x + yi ≠ 0 kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari uning moduli r= |z| va ph argumenti quyidagicha (sinus va kosinus ta'rifidan):

Bu tenglikning o'ng tomoni z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi. Biz uni z = 0 uchun ham ishlatamiz; bu holda r = 0, va ph har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin - 0 raqamining argumenti aniqlanmagan. Demak, har qanday kompleks sonni trigonometrik shaklda yozish mumkin.

Bundan tashqari, agar kompleks son z kabi yozilsa, aniq

u holda r soni uning moduli, chunki

Va ph uning argumentining qiymatlaridan biridir

Kompleks sonlarni yozishning trigonometrik shakli kompleks sonlarni ko'paytirishda foydalanish uchun qulay bo'lishi mumkin, xususan, u kompleks sonlar ko'paytmasining geometrik ma'nosini aniqlash imkonini beradi.

Kompleks sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish formulalarini ularning yozuvining trigonometrik ko‘rinishida topamiz. Agar

keyin murakkab sonlarni ko'paytirish qoidasi bo'yicha (yig'indining sinusi va kosinasi uchun formulalar yordamida)

Shunday qilib, murakkab sonlar ko'paytirilganda, ularning mutlaq qiymatlari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi:

Ushbu formulani ketma-ket n ta kompleks songa qo'llasak, biz hosil bo'lamiz

Agar barcha n ta raqam teng bo'lsa, biz olamiz

Qayerga

amalga oshirildi

Demak, mutlaq qiymati 1 bo'lgan kompleks son uchun (shuning uchun u shaklga ega

Bu tenglik deyiladi De Moivre formulalari

Boshqacha qilib aytganda, kompleks sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi,

va argumentlar ayiriladi.

Misollar 8.3(1).

Kompleks C tekisligida quyidagi shartlarni qondiradigan nuqtalar to'plamini chizing:

Kompleks son z = x + i * y ko'rinishdagi son bo'lib, bu erda x va y haqiqiydir raqamlar, va i = xayoliy birlik (ya'ni, kvadrati -1 bo'lgan son). Kontseptsiyani aniqlash uchun dalil integratsiyalashgan raqamlar, qutb koordinata tizimidagi kompleks tekislikdagi kompleks sonni hisobga olish kerak.

Ko'rsatma

Kompleks joylashgan samolyot raqamlar, kompleks deb ataladi. Bu tekislikda gorizontal o'qni real egallaydi raqamlar(x) va vertikal o'q - xayoliy raqamlar(y). Bunday tekislikda son ikkita z = (x, y) koordinatalari bilan berilgan. Qutbli koordinatalar tizimida nuqtaning koordinatalari modul va argument hisoblanadi. Modul - bu masofa |z| nuqtadan kelib chiqishigacha. Argument nuqtani va koordinata tizimining koordinata tizimining gorizontal o'qi bilan bog'lovchi vektor orasidagi burchakdir (rasmga qarang).

Rasmdan ko'rinib turibdiki, kompleksning moduli raqamlar z = x + i * y Pifagor teoremasi orqali topiladi: |z| = ? (x^2 + y^2). Qo'shimcha dalil raqamlar z uchburchakning o'tkir burchagi sifatida topiladi - trigonometrik funksiyalarning qiymatlari orqali sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

Masalan, z = 5 * (1 + ?3 * i) soni berilsin. Avvalo, haqiqiy va xayoliy qismlarni tanlang: z = 5 +5 * ?3 * i. Haqiqiy qism x = 5, xayoliy qism esa y = 5 * ?3 ekanligi ma'lum bo'ladi. Modulni hisoblash raqamlar: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Keyin burchakning sinusini toping: sin \u003d 5/10 \u003d 1/2. Bu dalilni beradi. raqamlar z 30°.

2-misol. z = 5 * i soni berilsin. Rasm burchak = 90 ° ekanligini ko'rsatadi. Ushbu qiymatni yuqoridagi formula bilan tekshiring. Buning koordinatalarini yozing raqamlar kompleks tekislikda: z = (0, 5). Modul raqamlar|z| = 5. Burchakning tangensi tg = 5 / 5 = 1. Shundan kelib chiqadiki, = 90 °.

3-misol. Ikkita z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i kompleks sonlar yig'indisining argumentini topish kerak bo'lsin. Qo'shish qoidalariga ko'ra, bu ikkita kompleksni qo'shing raqamlar: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Keyinchalik, yuqoridagi sxema bo'yicha, argumentni hisoblang: tg = 9/3 = 3.

Ushbu raqamga mos keladigan: .
z kompleks sonining moduli odatda | bilan belgilanadi z| yoki r.

Keling va shunday haqiqiy sonlar bo'lsinki, kompleks son (odatiy belgi). Keyin

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Kompleks sonning moduli" nima ekanligini ko'ring:

kompleks sonlar moduli- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kompleks sonining moduli vok. Betrag der kompleksen Zahl, m rus. kompleks son moduli, m pranc. modul du nombre kompleksi, m … Fizikos terminų žodynas

- (modul) Sonning 0 dan masofa bo‘yicha kattaligi. X haqiqiy sonning moduli yoki mutlaq qiymati (|x| bilan belgilanadi) belgisidan qat’i nazar, x va 0 o‘rtasidagi farqdir. Shuning uchun, agar x0 bo'lsa, u holda |x|=x va agar x 0 bo'lsa, u holda |x|=–x... Iqtisodiy lug'at

Murakkab son uchun mutlaq qiymatga qarang. a asosidagi logarifmalar tizimidan b asosdagi tizimga o'tish moduli 1/logab ... sonidir. Katta ensiklopedik lug'at

Haqiqiy yoki kompleks x sonning mutlaq qiymati yoki moduli x dan koordinatagacha bo'lgan masofadir. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak: x haqiqiy sonning mutlaq qiymati manfiy bo'lmagan son bo'lib, |x| bilan belgilanadi. va quyidagicha ta'riflangan: ... ... Vikipediya

Matematikadagi modul, 1) z \u003d x + iy kompleks sonining M. (yoki mutlaq qiymati) ═ soni (ildiz ortiqcha belgisi bilan olinadi). Kompleks z sonini trigonometrik ko'rinishda z \u003d r (cos j + i sin j) ko'rinishida ifodalashda haqiqiy r soni ... ...

- (matematikada) bir jinsli miqdorlarni solishtirish va ulardan birini ikkinchisidan foydalanib ifodalash uchun o‘lchov; m. son sifatida ifodalanadi. Rus tiliga kiritilgan xorijiy so'zlarning lug'ati. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) ular ko'payadigan raqam ... ... Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati

Kompleks sonning MODULI, Mutlaq qiymatga qarang (MUTLAK QIYMATga qarang). a asosidagi logarifmalar tizimidan b asosdagi tizimga o'tish moduli 1/logab ... sonidir. ensiklopedik lug'at

Arxitekturada I modul (lotincha modulus o'lchovidan), bino yoki majmua qismlarining o'lchamlarini muvofiqlashtirish uchun qabul qilingan an'anaviy birlik. Turli xalqlar arxitekturasida qurilish texnikasining xususiyatlariga va M. uchun binolarning tarkibiga qarab ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

men; m. [latdan. modul o‘lchovi] 1. nima. Mutaxassis. Nimani tavsiflovchi qiymat l. qattiq jismning xossasi. M. siqish. M. elastiklik. 2. Matematika. Haqiqiy son, manfiy yoki musbat sonning mutlaq qiymati. M. kompleks son. M... ensiklopedik lug'at

Har qanday matematikaning raqamli xarakteristikasi. ob'ekt. Odatda M.ning qiymati manfiy boʻlmagan haqiqiy son, maʼlum xususiyatga ega boʻlgan element hisoblanadi. ko'rib chiqilayotgan ob'ektlar to'plamining xususiyatlari tufayli xossalar. M. tushunchasi ...... Matematik entsiklopediya

Berilgan kompleks sonni ifodalovchi $z=a+bi$ berilgan kompleks sonning moduli deyiladi.

Berilgan kompleks sonning moduli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

1-misol

Berilgan kompleks sonlarning modulini hisoblang $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

$z=a+bi$ kompleks sonining moduli quyidagi formula bilan hisoblanadi: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Dastlabki kompleks son $z_(1) =13$ uchun $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = ni olamiz. \sqrt (169) =13$

Asl kompleks son $\, z_(2) =4i$ uchun $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ni olamiz. ) = \sqrt(16) =4$

Dastlabki $\, z_(3) =4+3i$ uchun $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^() ni olamiz. 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Ta'rif 2

Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va $\overrightarrow(OM) $ radius vektori tomonidan hosil qilingan $\varphi $ burchak, berilgan $z=a+bi$ kompleks soniga mos keladi, bu sonning argumenti deyiladi va $\arg z$ bilan belgilanadi.

Eslatma 1

Berilgan kompleks sonning moduli va argumenti kompleks sonni trigonometrik yoki eksponensial shaklda ifodalashda aniq ishlatiladi:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrik shakl;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponensial shakl.

2-misol

Kompleks sonni quyidagi ma'lumotlar orqali berilgan trigonometrik va ko'rsatkichli shakllarda yozing: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) $r=3;\varphi =\pi $ maʼlumotlarini mos keladigan formulalar bilan almashtiring va quyidagini oling:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrik shakl

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponensial shakl.

2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ maʼlumotlarini tegishli formulalar bilan almashtiring va quyidagini oling:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrik shakl

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponensial shakl.

3-misol

Berilgan kompleks sonlarning moduli va argumentini aniqlang:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Berilgan kompleks sonni mos ravishda trigonometrik va eksponensial shakllarda yozish uchun formulalar yordamida modul va argumentni topamiz.

\ \

1) Dastlabki $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ uchun $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ olamiz. .

2) Dastlabki kompleks son uchun $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ biz $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ oling.

3) Dastlabki kompleks son $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ uchun $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Dastlabki kompleks son $z=13\cdot e^(i\pi ) $ uchun $r=13;\varphi =\pi $ olamiz.

Berilgan $z=a+bi$ kompleks sonining $\varphi $ argumentini quyidagi formulalar yordamida hisoblash mumkin:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

Amalda $z=a+bi$ berilgan kompleks son argumentining qiymatini hisoblash uchun odatda quyidagi formuladan foydalaniladi:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(massiv)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

yoki tenglamalar sistemasini yeching

$\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(massiv)\oʻng. $. (**)

4-misol

Berilgan kompleks sonlarning argumentini hisoblang: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

$z=3$ ekan, u holda $a=3,b=0$. Formula (*) yordamida asl kompleks sonning argumentini hisoblang:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

$z=4i$ ekan, $a=0,b=4$. Formula (*) yordamida asl kompleks sonning argumentini hisoblang:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

$z=1+i$ ekan, $a=1,b=1$. (**) sistemani yechish orqali asl kompleks sonning argumentini hisoblang:

\[\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(massiv)\oʻng.\]

Trigonometriya kursidan ma'lumki, $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ birinchi koordinata kvadrantiga mos keladigan va $\varphi =\frac ga teng burchak uchun. (\pi )( 4) $.

$z=-5$ ekan, u holda $a=-5,b=0$. Formula (*) yordamida asl kompleks sonning argumentini hisoblang:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

$z=-2i$ ekan, $a=0,b=-2$. Formula (*) yordamida asl kompleks sonning argumentini hisoblang:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Eslatma 2

$z_(3) $ soni $(0;1)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi 1 ga teng, ya'ni. $r=1$ va $\varphi =\frac(\pi )(2) $ argumenti 3-eslatmaga muvofiq.

$z_(4) $ soni $(0;-1)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi 1 ga teng, ya'ni. $r=1$ va $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ argumenti 3-eslatmaga muvofiq.

$z_(5) $ soni $(2;2)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = ga teng. \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ya'ni. $r=2\sqrt(2) $ va $\varphi =\frac(\pi )(4) $ argumenti toʻgʻri burchakli uchburchak xossasi boʻyicha.

Kompleks sonlar

Xayoliy Va murakkab sonlar. Abscissa va ordinata

murakkab son. Murakkab sonlarni birlashtirish.

Kompleks sonlar bilan amallar. Geometrik

kompleks sonlarni ifodalash. murakkab tekislik.

Kompleks sonning moduli va argumenti. trigonometrik

murakkab son shakli. Kompleks bilan operatsiyalar

trigonometrik shakldagi raqamlar. Moivre formulasi.

Haqida asosiy ma'lumotlar xayoliy Va murakkab sonlar “Hayoliy va kompleks sonlar” bo‘limida berilgan. Ish uchun kvadrat tenglamalarni echishda yangi turdagi bu raqamlarga ehtiyoj paydo bo'ldiD< 0 (здесь Dkvadrat tenglamaning diskriminantidir). Uzoq vaqt davomida bu raqamlar jismoniy foydalanishni topa olmadi, shuning uchun ularni "xayoliy" raqamlar deb atashgan. Biroq, hozir ular fizikaning turli sohalarida juda keng qo'llaniladi.

va texnologiya: elektrotexnika, gidro- va aerodinamika, elastiklik nazariyasi va boshqalar.

Kompleks sonlar quyidagicha yoziladi:a+bi. Bu yerda a Va b – haqiqiy raqamlar , lekin i – xayoliy birlik. e. i 2 = –1. Raqam a chaqirdi abscissa, a b - ordinatamurakkab sona + b.Ikkita murakkab sona+bi Va a-bi chaqirdi konjugat murakkab sonlar.

Asosiy shartnomalar:

1. Haqiqiy raqamlekinshaklida ham yozilishi mumkinmurakkab raqam:a + 0 i yoki a - 0 i. Masalan, 5 + 0 yozuvlarii va 5 - 0 ibir xil raqamni bildiradi 5 .

2. Kompleks son 0 + bichaqirdi sof xayoliy raqam. Yozib olishbi0 bilan bir xil degan ma'noni anglatadi + bi.

3. Ikki kompleks sona+bi Vac + diteng deb hisoblanadi, agara = c Va b = d. Aks holda murakkab sonlar teng emas.

Qo'shish. Kompleks sonlar yig'indisia+bi Va c + dikompleks son deyiladi (a+c ) + (b+d ) men.Shunday qilib, qo'shilganda kompleks sonlar, ularning abscissalari va ordinatalari alohida qo'shiladi.

Bu ta'rif oddiy ko'phadlar bilan ishlash qoidalariga amal qiladi.

Ayirish. Ikki kompleks son o'rtasidagi farqa+bi(kamaytirilgan) va c + di(ayiriladi) kompleks son deyiladi (a-c ) + (b-d ) men.

Shunday qilib, ikkita kompleks sonni ayirishda ularning abscissa va ordinatalari alohida ayiriladi.

Ko'paytirish. Kompleks sonlarning mahsulotia+bi Va c + di kompleks son deyiladi.

(ac-bd ) + (ad+bc ) men.Ushbu ta'rif ikkita talabdan kelib chiqadi:

1) raqamlar a+bi Va c + dialgebraik kabi ko'paytirish kerak binomlar,

2) raqam iasosiy xususiyatga ega:i 2 = – 1.

MISOL ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Binobarin, ish

ikkita konjugatli kompleks son haqiqiyga teng

ijobiy raqam.

Bo'lim. Kompleks sonni ajratinga+bi (bo'linadigan) boshqasigac + di(bo'luvchi) - uchinchi raqamni topishni bildiradie + fi(chat), qaysi, bo'luvchiga ko'paytirilgandac + di, bu dividendga olib keladia + b.

Agar bo'linuvchi nolga teng bo'lmasa, bo'linish har doim mumkin.

MISOL Toping (8+i ) : (2 – 3 i) .

Yechim.Bu nisbatni kasr shaklida qayta yozamiz:

Uning soni va maxrajini 2 + 3 ga ko'paytirishi

VA Barcha o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Kompleks sonlarning geometrik tasviri. Haqiqiy sonlar sonlar qatoridagi nuqtalar bilan ifodalanadi:

Gap shundaki A-3 son, nuqta degan ma'noni anglatadiB 2 raqami va O- nol. Aksincha, kompleks sonlar koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Buning uchun ikkala o'qda bir xil masshtabli to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalarni tanlaymiz. Keyin kompleks sona+bi nuqta bilan ifodalanadi Abtsissa bilan P a va ordinata b (rasmga qarang). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi murakkab tekislik .

modul kompleks son vektor uzunligi deyiladiOP, koordinatada kompleks sonni tasvirlash ( keng qamrovli) tekislik. Kompleks sonlar modulia+bi| bilan belgilanadi a+bi| yoki xat r