Kompleks sonlar
Xayoliy Va murakkab sonlar. Abscissa va ordinata
murakkab son. Murakkab sonlarni birlashtirish.
Kompleks sonlar bilan amallar. Geometrik
kompleks sonlarni ifodalash. murakkab tekislik.
Kompleks sonning moduli va argumenti. trigonometrik
murakkab son shakli. Kompleks bilan operatsiyalar
trigonometrik shakldagi raqamlar. Moivre formulasi.
Haqida asosiy ma'lumotlar xayoliy Va murakkab sonlar “Hayoliy va kompleks sonlar” bo‘limida berilgan. Ushbu yangi turdagi raqamlarga ehtiyoj qarorda paydo bo'ldi kvadrat tenglamalar ish uchun
D< 0 (здесь Dkvadrat tenglamaning diskriminantidir). Uzoq vaqt bu raqamlar jismoniy qo'llanilishini topa olmadi, shuning uchun ularni "xayoliy" raqamlar deb atashgan. Biroq, hozir ular fizikaning turli sohalarida juda keng qo'llaniladi.va texnologiya: elektrotexnika, gidro- va aerodinamika, elastiklik nazariyasi va boshqalar.
Kompleks sonlar quyidagicha yoziladi:a+bi. Bu yerda a Va b – haqiqiy raqamlar , lekin i – xayoliy birlik. e. i 2 = –1. Raqam a chaqirdi abscissa, a b - ordinatamurakkab sona + b.Ikkita murakkab sona+bi Va a-bi chaqirdi konjugat murakkab sonlar.
Asosiy shartnomalar:
1. Haqiqiy raqam
lekinshaklida ham yozilishi mumkinmurakkab raqam:a + 0 i yoki a - 0 i. Masalan, 5 + 0 yozuvlarii va 5 - 0 ibir xil raqamni bildiradi 5 .2. Kompleks son 0 + bichaqirdi sof xayoliy raqam. Yozib olishbi0 bilan bir xil degan ma'noni anglatadi + bi.
3. Ikki kompleks sona+bi Vac + diteng deb hisoblanadi, agara = c Va b = d. Aks holda murakkab sonlar teng emas.
Qo'shish. Kompleks sonlar yig'indisia+bi Va c + dikompleks son deyiladi (a+c ) + (b+d ) men.Shunday qilib, qo'shilganda kompleks sonlar, ularning abscissalari va ordinatalari alohida qo'shiladi.
Bu ta'rif oddiy ko'phadlar bilan ishlash qoidalariga amal qiladi.
Ayirish. Ikki kompleks son o'rtasidagi farqa+bi(kamaytirilgan) va c + di(ayiriladi) kompleks son deyiladi (a-c ) + (b-d ) men.
Shunday qilib, ikkita kompleks sonni ayirishda ularning abscissa va ordinatalari alohida ayiriladi.
Ko'paytirish. Kompleks sonlarning mahsulotia+bi Va c + di kompleks son deyiladi.
(ac-bd ) + (ad+bc ) men.Ushbu ta'rif ikkita talabdan kelib chiqadi:
1) raqamlar a+bi Va c + dialgebraik kabi ko'paytirish kerak binomlar,
2) raqam iasosiy xususiyatga ega:i 2 = – 1.
MISOL ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Binobarin, ish
ikkita konjugatli kompleks son haqiqiyga teng
ijobiy raqam.
Bo'lim. Kompleks sonni ajratinga+bi (bo'linadigan) boshqasigac + di(bo'luvchi) - uchinchi raqamni topishni bildiradie + fi(chat), qaysi, bo'luvchiga ko'paytirilgandac + di, bu dividendga olib keladia + b.
Agar bo'linuvchi nolga teng bo'lmasa, bo'linish har doim mumkin.
MISOL Toping (8+i ) : (2 – 3 i) .
Yechim.Bu nisbatni kasr shaklida qayta yozamiz:
Uning soni va maxrajini 2 + 3 ga ko'paytirishi
VA Barcha o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:
Kompleks sonlarning geometrik tasviri. Haqiqiy sonlar sonlar qatoridagi nuqtalar bilan ifodalanadi:
Gap shundaki A-3 son, nuqta degan ma'noni anglatadiB 2 raqami va O- nol. Bundan farqli o'laroq, murakkab sonlar nuqtalar bilan ifodalanadi koordinata tekisligi. Buning uchun ikkala o'qda bir xil masshtabli to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalarni tanlaymiz. Keyin kompleks sona+bi nuqta bilan ifodalanadi Abtsissa bilan P a va ordinata b (rasmga qarang). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi murakkab tekislik .
modul kompleks son vektor uzunligi deyiladiOP, koordinatada kompleks sonni tasvirlash ( keng qamrovli) tekislik. Kompleks sonlar modulia+bi| bilan belgilanadi a+bi| yoki xat r
Kalkulyatordan foydalanish
Ifodani baholash uchun baholash uchun satrni kiritishingiz kerak. Raqamlarni kiritishda kasr ajratuvchi nuqta hisoblanadi. Qavslardan foydalanish mumkin. Kompleks sonlar ustidagi amallar ko'paytirish (*), bo'lish (/), qo'shish (+), ayirish (-), darajaga ko'tarish (^) va boshqalar. Murakkab sonlar yozuvi sifatida siz eksponensial va algebraik shakldan foydalanishingiz mumkin. Xayoliy birlikni kiriting i ko'paytirish belgisisiz mumkin bo'lsa, boshqa hollarda ko'paytirish belgisi kerak bo'ladi, masalan, qavslar orasida yoki son va doimiy o'rtasida. Konstantalardan ham foydalanish mumkin: p soni pi, ko'rsatkich sifatida kiritiladi e, ko'rsatkichdagi har qanday iboralar qavs ichiga olinishi kerak.
Hisoblash uchun misol qatori: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), bu \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\] ifodasiga mos keladi
Kalkulyator konstantalardan foydalanishi mumkin, matematik funktsiyalar, qo'shimcha operatsiyalar va boshqalar murakkab ifodalar, ushbu saytdagi kalkulyatorlardan foydalanishning umumiy qoidalari sahifasida ushbu xususiyatlar bilan tanishishingiz mumkin.
Sayt qurilmoqda, ba'zi sahifalar mavjud bo'lmasligi mumkin.
Yangiliklar
07.07.2016
Chiziqli bo'lmagan tizimlarni echish uchun kalkulyator qo'shildi algebraik tenglamalar: .
30.06.2016
Sayt sezgir dizaynga ega, sahifalar katta monitorlarda ham, mobil qurilmalarda ham yetarli darajada namoyish etiladi.
Homiy
RGOnline.ru - onlayn elektr ishlari uchun tezkor yechim.
Ishg'ol 12 . Kompleks sonlar.
12.1. Kompleks sonlarning algebraik shakldagi ta’rifi. Kompleks sonlarni kompleks tekislikda taqqoslash va tasvirlash. Murakkab konjugatsiya. Kompleks sonlarni qo‘shish, ko‘paytirish, bo‘lish.
12.2. Modul, kompleks sonning argumenti.
12.3. Kompleks sonni yozishning trigonometrik va eksponensial shakllari.
12.4. Butun son darajasiga ko'tarish va murakkab sondan ildiz chiqarish.
Kompleks sonlarning algebraik shakldagi ta’rifi. Kompleks sonlarni kompleks tekislikda taqqoslash va tasvirlash. Murakkab konjugatsiya. Kompleks sonlarni qo‘shish, ko‘paytirish, bo‘lish.
Algebraik shakldagi kompleks son sondir
qayerda 
chaqirdi xayoliy birlik Va 
- haqiqiy raqamlar: 
chaqirdi haqiqiy (haqiqiy) qism;
- xayoliy qism murakkab son 
. Shaklning murakkab raqamlari 
chaqirdi sof xayoliy raqamlar
. Barcha murakkab sonlar to'plami harf bilan belgilanadi 
.
Ta'rifiga ko'ra,
Barcha haqiqiy sonlar to'plami 
to'plamning bir qismidir 
: . Boshqa tomondan, to'plamga tegishli bo'lmagan murakkab sonlar mavjud 
. Misol uchun, 
Va 
, chunki 
.
Algebraik shakldagi murakkab sonlar manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalarni yechishda tabiiy ravishda paydo bo'ladi.
1-misol. tenglamani yeching 
.
Yechim. ,
Demak, berilgan kvadrat tenglama murakkab ildizlarga ega
,
.
2-misol. Kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarini toping
,
,
.
Shunga ko'ra, sonning haqiqiy va xayoliy qismlari 
,
Har qanday murakkab son 
kompleks tekislikdagi vektor bilan ifodalanadi 
, Dekart koordinata tizimiga ega tekislikni ifodalaydi 
. Vektorning boshlanishi nuqtada yotadi 
, va oxiri koordinatali nuqtada 
(1-rasm.) Eksa 
haqiqiy o'q va o'q deb ataladi 
- kompleks tekislikning xayoliy o'qi 
.
Murakkab sonlar bir-biri bilan faqat belgilar bilan taqqoslanadi. 
. . Agar tengliklardan kamida bittasi bo'lsa: 
keyin buzilgan 
.
Turdagi yozuvlar 
mantiqsiz.
Ta'rifiga ko'ra, murakkab raqam 
sonning kompleks konjugati deyiladi 
. Bunday holda, yozing 
. Bu aniq 
. Pastdagi hamma joyda murakkab sonning ustidagi chiziq murakkab konjugatsiyani anglatadi.
Misol uchun, .
Kompleks sonlar ustida qo‘shish (ayirish), ko‘paytirish va bo‘lish kabi amallarni bajarish mumkin.
1. Kompleks sonlarni qo‘shish quyidagicha amalga oshiriladi:
Qo'shimcha operatsiya xususiyatlari:
- kommutativlik xususiyati;
- uyushma mulki.
Kompleks sonlarning geometrik qo'shilishini ko'rish oson 
tekislikda ularga mos keladiganlarni qo'shishni bildiradi 
vektorlar parallelogramm qoidasiga muvofiq.
Raqamni ayirish amali 
raqamdan 
quyidagicha amalga oshiriladi:
2. Kompleks sonlarni ko‘paytirish quyidagicha amalga oshiriladi:
Ko'paytirish amalining xususiyatlari:
- kommutativlik xususiyati;
- uyushma mulki;
- taqsimot qonuni.
3. Kompleks sonlarning bo‘linishi 
faqat qachon amalga oshirilishi mumkin 
va shunday amalga oshiriladi:
.
3-misol. Topmoq 
, agar.
4-misol. Hisoblash 
, agar.
z, chunki 
.
.(uh!)
Quyidagi bayonotlarning to'g'riligini tekshirish oson (buni o'zingiz qilishingiz tavsiya etiladi): 
Modul, kompleks sonning argumenti.
Kompleks sonlar moduli 
(modul 
belgilangan 
) manfiy bo‘lmagan sondir 
, ya'ni.
.
geometrik ma'no 
- sonni ifodalovchi vektor uzunligi 
murakkab tekislikda 
. Tenglama 
barcha raqamlar to'plamini belgilaydi 
(vektorlar boshiga 
) uchlari birlik aylanasida joylashgan 
.
Murakkab son argumenti 
(dalil 
belgilangan 
) burchak hisoblanadi 
haqiqiy o'q orasidagi radianlarda 
va raqam 
murakkab tekislikda 
, va
dan hisoblansa ijobiy hisoblanadi 
oldin 
soat sohasi farqli o'laroq, va 
salbiy bo'lsa 
o'qdan o'lchanadi 
oldin 
soat yo'nalishi bo'yicha.
Shunday qilib, raqam argumenti 
muddatgacha, noaniq tarzda belgilanadi 
, qayerda 
. Albatta, raqam argumenti 
birlik aylanasining bir o'tish oralig'ida aniqlanadi 
yuzada 
.
Odatda siz topishingiz kerak 
interval ichida 
,bunday qiymat son argumentining asosiy qiymati deb ataladi 
va belgilandi 
.
Va 
raqamlar 
tenglamadan topish mumkin 
, unda albatta hisobga olinishi kerak samolyotning qaysi choragida 
vektorning oxiri joylashgan 
- nuqta 
:
agar 
(samolyotning 1-choragi 
), keyin;
agar 
(samolyotning 2-choragi 
), keyin;
agar 
(samolyotning 3-choragi 
), keyin;
agar 
(samolyotning 4-choragi 
), keyin.
Aslida, sonning moduli va argumenti
, bu qutb koordinatalari 
ball 
- vektorning oxiri 
yuzada 
.
5-misol. Raqamlar argumentining moduli va asosiy qiymatini toping:
.
Raqamlarning argumentlari yotgan o'qlar 
kompleks tekislikning 1,2,3,4 choraklarini ajratib turadi 
, bu raqamlarning tekislikdagi grafik tasvirlari bilan darhol topiladi 
.
Kompleks sonni yozishning trigonometrik va eksponensial shakllari. Trigonometrik va ko'rsatkichli yozuvlarda kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish.
Trigonometrik belgilar murakkab son 
kabi ko'rinadi:
,
(2)
qayerda 
- modul, 
- kompleks son argumenti 
. Kompleks sonlarning bunday ko'rinishi tengliklardan kelib chiqadi.
Namoyish(eksponentsial) kompleks sonning yozuv shakli 
kabi ko'rinadi:
,
(3)
qayerda 
- modul, 
- raqam argumenti 
. Kompleks sonlarni eksponensial shaklda (3) ifodalash imkoniyati trigonometrik shakl (2) va Eyler formulasidan kelib chiqadi:
.
(4)
Ushbu formula TFKP (Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi) kursida isbotlangan.
6-misol. Kompleks sonlarning trigonometrik va ko‘rsatkichli shakllarini toping: 5-misoldan.
Yechim. Keling, 5-misol natijalaridan foydalanamiz, unda barcha ko'rsatilgan raqamlarning modullari va argumentlari topilgan.
,
.
- sonni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonni yozishning eksponensial (eksponensial) shakli 
.
3)
- sonni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonni yozishning eksponensial (eksponensial) shakli 
.
Raqamni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonni yozishning eksponensial (eksponensial) shakli 
.
5)
- sonni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonni yozishning eksponensial (eksponensial) shakli 
.
Sonning trigonometrik shakli 
,
.
7)
- sonni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonning ko'rsatkichli (eksponensial) shakli 
.
- sonni yozishning trigonometrik shakli 
,
- sonni yozishning eksponensial (eksponensial) shakli 
.
Kompleks sonlarni yozishning ko'rsatkichli shakli kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish amallarini quyidagi geometrik talqin qilishga olib keladi. Bo'lsin 
- sonlarning ko'rsatkichli shakllari 
.
1. Kompleks sonlarni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi.
2.
Kompleks sonni bo'lishda 
raqam uchun 
murakkab sonni oling 
, modul 
modullar nisbatiga teng 
, va argument 
- farqlar 
raqam argumentlari 
.
Butun son darajasiga ko'tarish va murakkab sondan ildiz chiqarish.
Ta'rifiga ko'ra,
Butun son darajasiga ko'tarilganda 
murakkab son 
, siz quyidagicha harakat qilishingiz kerak: birinchi navbatda modulni toping 
va argument 
bu raqam; tasavvur qiling 
ko'rgazmali shaklda 
; topmoq 
quyidagi amallarni bajarish orqali
Qayerda. (besh)
Izoh. Dalil 
raqamlar 
intervalga tegishli bo'lmasligi mumkin 
. Bunday holda, olingan qiymatga ko'ra 
asosiy qiymatni toping 
dalil
raqamlar 
, raqamni qo'shish (yoki ayirish). 
shu ma'no bilan 
, uchun 
intervalga tegishli edi 
. Shundan so'ng, formulalar bilan almashtirish kerak (5) 
ustida 
.
7-misol. Topmoq 
Va 
, agar 
.
1)
=
(raqamga qarang 
6-misoldan).
2)
, qayerda 
.
.
.
Binobarin, 
va bilan almashtirilishi mumkin, shuning uchun
Qayerda 
.
3)
, qayerda 
.
.
Keling, almashtiramiz 
ustida . Binobarin,
ildiz chiqarish 
th daraja 
murakkab sondan 
Moivre-Laplas formulasiga muvofiq amalga oshiriladi
Kompleks sonlar haqida kerakli ma'lumotlarni eslang.
Kompleks raqam shaklning ifodasidir a + bi, qayerda a, b haqiqiy sonlar va i- deb atalmish xayoliy birlik, kvadrati -1 bo'lgan belgi, ya'ni. i 2 = -1. Raqam a chaqirdi haqiqiy qismi, va raqam b - xayoliy qism murakkab son z = a + bi. Agar b= 0, keyin o'rniga a + 0i oddiygina yozing a. Ko'rinib turibdiki, haqiqiy sonlar kompleks sonlarning alohida holatidir.
Kompleks sonlar ustidagi arifmetik amallar haqiqiy sonlar bilan bir xil: ularni bir-biriga qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin. Qo'shish va ayirish qoidaga muvofiq amalga oshiriladi ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, va ko'paytirish - qoida bo'yicha ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (e'lon + mil. avv)i(bu erda faqat shunday ishlatiladi i 2 = -1). Raqam = a – bi chaqirdi murakkab konjugat uchun z = a + bi. Tenglik z · = a 2 + b 2 bitta kompleks sonni boshqa (noldan farqli) kompleks songa qanday bo'lishni tushunishga imkon beradi:
(Misol uchun, 
.)
Murakkab sonlar qulay va vizual geometrik tasvirga ega: raqam z = a + bi koordinatali vektor sifatida ifodalanishi mumkin ( a; b) Dekart tekisligida (yoki deyarli bir xil bo'lgan nuqta - bu koordinatalar bilan vektorning oxiri). Bunday holda, ikkita murakkab sonning yig'indisi mos keladigan vektorlarning yig'indisi sifatida tasvirlanadi (uni parallelogramma qoidasi bilan topish mumkin). Pifagor teoremasi bo'yicha vektor uzunligi koordinatali ( a; b) ga teng. Bu qiymat deyiladi modul murakkab son z = a + bi va | bilan belgilanadi z|. Bu vektorning x o'qining musbat yo'nalishi (soat miliga teskari hisoblangan) bilan hosil qiladigan burchak deyiladi dalil murakkab son z va Arg bilan belgilanadi z. Argument yagona aniqlangan emas, faqat 2 ga karrali qo'shilishgacha π
radianlar (yoki gradus bilan hisoblasangiz, 360 °) - axir, boshlang'ich atrofida bunday burchakni burish vektorni o'zgartirmasligi aniq. Ammo uzunlik vektori bo'lsa r burchak hosil qiladi φ
x o'qining musbat yo'nalishi bilan uning koordinatalari ( r cos φ
; r gunoh φ
). Shunday qilib, chiqadi trigonometrik belgilar murakkab raqam: z = |z| (cos(Arg z) + i gunoh (Arg z)). Ko'pincha bu shaklda murakkab raqamlarni yozish qulay, chunki u hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Trigonometrik shaklda murakkab sonlarni ko'paytirish juda oddiy ko'rinadi: z bir · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i gunoh (Arg z 1+arg z 2)) (ikkita kompleks sonni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi). Bu yerdan kuzatib boring De Moivre formulalari: z n = |z|n(chunki( n(Arg z)) + i gunoh( n(Arg z))). Ushbu formulalar yordamida murakkab sonlardan istalgan darajadagi ildizlarni ajratib olishni o'rganish oson. Ildiz n z raqamidan daraja shunday murakkab son w, nima w n = z. Bu aniq 
, qayerda k to'plamdan istalgan qiymatni olishi mumkin (0, 1, ..., n- bitta). Bu har doim aniq borligini anglatadi n ildizlar n murakkab sondan th daraja (tekislikda ular muntazamning uchlarida joylashgan n-gon).