Kuchli qatorlar yordamida differensial tenglamalarni integrallash mumkin.

Quyidagi shakldagi chiziqli differentsial tenglamani ko'rib chiqing:

Agar bu tenglamaning barcha koeffitsientlari va o'ng tomoni ma'lum bir intervalda yaqinlashuvchi darajali qatorlarga kengayib ketsa, u holda bu tenglamaning nol nuqtasining kichik qo'shnisida boshlang'ich shartlarni qondiradigan yechim mavjud.

Ushbu yechim quvvat seriyasi sifatida ifodalanishi mumkin:

Yechim topish uchun noma'lum konstantalarni aniqlash qoladi c i .

Bu vazifa hal qilindi noaniq koeffitsientlarni solishtirish usuli. Biz kerakli funktsiyaning yozma ifodasini asl differensial tenglamaga almashtiramiz, bunda darajali qatorlar bilan barcha kerakli amallarni bajaramiz (farqlash, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va boshqalar).

Keyin koeffitsientlarni bir xil kuchlarda tenglashtiramiz X tenglamaning chap va o'ng tomonlarida. Natijada, dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, biz tenglamalar tizimini olamiz, undan koeffitsientlarni ketma-ket aniqlaymiz. c i .

E'tibor bering, bu usul chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalarga ham tegishli.

Misol. Tenglamaning yechimini toping
dastlabki shartlar bilan y(0)=1, y’(0)=0.

Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz

Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:

Bu erdan biz olamiz:

………………

Biz almashtirish orqali olamiz boshlang'ich sharoitlar kerakli funksiya va uning birinchi hosilasi uchun ifodalarga:

Nihoyat, biz olamiz:

Jami:

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechishning yana bir usuli mavjud. Bu nomga ega ketma-ket farqlash usuli.

Keling, xuddi shu misolni ko'rib chiqaylik. Differensial tenglama yechimini Maklaurin qatorida noma’lum funksiyaning kengayishi ko‘rinishida izlaymiz.

Agar berilgan dastlabki shartlar y(0)=1, y’(0)=0 asl differensial tenglamaga almashtirsak, biz buni olamiz

Keyinchalik, differentsial tenglamani shaklda yozamiz
va biz uni bo'yicha ketma-ket farqlaymiz X.

Olingan qiymatlarni almashtirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Koshi mezoni.

(ketmalarning yaqinlashishi uchun zarur va etarli shartlar)

Ketma-ketlik uchun
konvergent edi, bu har qanday uchun zarur va etarli
raqam bor ediN, qaysi dan > Nva har qandayp> 0, bu erda p butun son bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi:

.

Isbot. (kerak)

Bo'lsin
, keyin istalgan raqam uchun
tengsizlik bo'ladigan N soni mavjud

n>N uchun bajariladi. n>N va har qanday butun p>0 uchun tengsizlik ham o'rinli bo'ladi
. Ikkala tengsizlikni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Ehtiyoj isbotlangan. Biz etarlilik isbotini ko'rib chiqmaymiz.

Keling, seriya uchun Koshi mezonini tuzamiz.

Raqam olish uchun
konvergent zarur va har qanday uchun etarli edi
raqam bor ediNshunday dan> Nva har qandayp>0 tengsizlikni qondiradi

.

Biroq, amalda, Koshi mezonidan bevosita foydalanish juda qulay emas. Shuning uchun, qoida tariqasida, oddiyroq konvergentsiya mezonlari qo'llaniladi:

Natija. Agar f(x) Va  (X) – uzluksiz funktsiyalar oraliqda (a, b] va
keyin integrallar
Va
konvergentsiya nuqtai nazaridan xuddi shunday yo'l tutadi.

quvvat seriyasi.

Kuchli qatorlar yordamida differensial tenglamalarni integrallash mumkin.

Quyidagi shakldagi chiziqli differentsial tenglamani ko'rib chiqing:

Agar bu tenglamaning barcha koeffitsientlari va o'ng tomoni ma'lum bir intervalda yaqinlashuvchi darajali qatorlarga kengayib ketsa, u holda bu tenglamaning nol nuqtasining kichik qo'shnisida boshlang'ich shartlarni qondiradigan yechim mavjud.

Ushbu yechim quvvat seriyasi sifatida ifodalanishi mumkin:

Yechim topish uchun noma'lum konstantalarni aniqlash qoladi c i.

Bu vazifa hal qilindi noaniq koeffitsientlarni solishtirish usuli. Biz kerakli funktsiyaning yozma ifodasini asl differensial tenglamaga almashtiramiz, bunda darajali qatorlar bilan barcha kerakli amallarni bajaramiz (farqlash, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va boshqalar).

Keyin koeffitsientlarni bir xil kuchlarda tenglashtiramiz X tenglamaning chap va o'ng tomonlarida. Natijada, dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, biz tenglamalar tizimini olamiz, undan koeffitsientlarni ketma-ket aniqlaymiz. c i.

E'tibor bering, bu usul chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalarga ham tegishli.

Misol. Boshlang'ich shartlari bilan tenglamaning yechimini toping y(0)=1, y'(0)=0.

Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz

Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:

Bu erdan biz olamiz:

………………

Biz boshlang'ich shartlarni kerakli funktsiya va uning birinchi hosilasi uchun iboralarga almashtirish orqali olamiz:

Nihoyat, biz olamiz:

Yechishning yana bir usuli bor differensial tenglamalar qatorlar yordamida. Bu nomga ega ketma-ket farqlash usuli.

Keling, xuddi shu misolni ko'rib chiqaylik. Differensial tenglama yechimini Maklaurin qatorida noma’lum funksiyaning kengayishi ko‘rinishida izlaymiz.

Agar berilgan dastlabki shartlar y(0)=1, y'(0)=0 asl differensial tenglamaga almashtirsak, biz buni olamiz

Olingan qiymatlarni almashtirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Furye seriyasi.

(Jan Baptiste Jozef Furye (1768 - 1830) - fransuz matematigi)

trigonometrik qator.

Ta'rif. trigonometrik qator bir qator shakl deb ataladi:

yoki qisqasi,

Haqiqiy raqamlar a i , b i trigonometrik qator koeffitsientlari deyiladi.

Agar yuqorida keltirilgan turdagi qator yaqinlashsa, uning yig'indisi 2p davriga ega davriy funktsiyadir, chunki gunoh vazifalari nx va cos nx 2p davri bilan davriy funktsiyalar ham.

Trigonometrik qatorlar [-p oraliqda bir xilda yaqinlashsin; p] va, demak, davriylik tufayli har qanday segmentda va uning yig'indisi ga teng f(x).

Keling, ushbu qatorning koeffitsientlarini aniqlaymiz.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz quyidagi tengliklardan foydalanamiz:

Ushbu tengliklarning haqiqiyligi integrandga qo'llanilishidan kelib chiqadi trigonometrik formulalar. Tafsilotlar uchun Trigonometrik funksiyalarning integratsiyasiga qarang.

Chunki funktsiyasi f(x)[-p oraliqda uzluksiz; p], u holda integral mavjud

Bu natija, buning natijasida olinadi.

Bu erdan biz olamiz:

Xuddi shunday, qatordagi funktsiyaning kengayish ifodasini gunohga ko'paytiramiz nx va -p dan p gacha integrallash.

Biz olamiz:

Koeffitsient uchun ifoda a 0 koeffitsientlarni ifodalash uchun alohida holat hisoblanadi a n.

Shunday qilib, agar funktsiya f(x)– 2p davrining istalgan davriy funksiyasi, [-p segmentida uzluksiz; p] yoki ushbu segmentda birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega bo'lsa, keyin koeffitsientlar

mavjud va deyiladi Furye koeffitsientlari funktsiya uchun f(x).

Ta'rif. Furye yaqinida funktsiya uchun f(x) koeffitsientlari Furye koeffitsientlari bo'lgan trigonometrik qator deyiladi. Funktsiyaning Furye qatori bo'lsa f(x) unga uzluksizlikning barcha nuqtalarida yaqinlashadi, keyin funksiya deymiz f(x) Furye seriyasida kengayadi.

Etarli belgilar Furye seriyasida kengayish qobiliyati.

Teorema. (Diriklet teoremasi) Agar f(x) funksiya 2p davriga va intervalga ega bo'lsa

[-p;p] uzluksiz yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega va segment

[-p;p] chekli sonli segmentlarga bo'linishi mumkin, shunda ularning har birida f (x) funktsiyasi monoton bo'ladi, keyin f (x) funktsiyasi uchun Furye seriyasi x ning barcha qiymatlari uchun yaqinlashadi, f (x) funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida uning yig‘indisi f(x) ga, uzilish nuqtalarida esa yig‘indisi ga teng, ya’ni. chap va o'ngdagi chegara qiymatlarining arifmetik o'rtachasi. Bunda f(x) funksiyaning Furye qatori f(x) funksiyaning uzluksizlik intervaliga mansub har qanday segmentga bir xilda yaqinlashadi.

Dirixle teoremasining shartlari bajariladigan f(x) funksiya deyiladi qisman monoton segmentida [-p;p].

Teorema. Agar f(x) funksiya 2p davriga ega bo'lsa, qo'shimcha ravishda f(x) va uning hosilasi f'(x) [-p;p] segmentida uzluksiz funksiyalar yoki chekli sonli uzilish nuqtalariga ega. Bu segmentda birinchi tur, keyin Furye funktsiyasi f(x) x ning barcha qiymatlari uchun yaqinlashadi va uzluksizlik nuqtalarida uning yig'indisi f(x) ga, uzilish nuqtalarida esa teng bo'ladi. ga. Bunda f(x) funksiyaning Furye qatori f(x) funksiyaning uzluksizlik intervaliga mansub har qanday segmentga bir xilda yaqinlashadi.

Bu teorema shartlarini qanoatlantiradigan funksiya deyiladi bo'lak-bo'lak silliq segmentida [-p;p].

Davriy bo'lmagan funktsiyaning Furye kengayishi.

Davriy bo'lmagan funktsiyani Furye qatoriga kengaytirish masalasi printsipial jihatdan davriy funktsiyaning Furye qatoriga kengaytirishdan farq qilmaydi.

Funktsiyani aytaylik f(x) segmentda berilgan va bu segmentda parcha-parcha monotonikdir. Ixtiyoriy davriy qismlarni ko'rib chiqing monoton funktsiya f 1 (x) davr bilan 2T ³ ïb-aï, segmentdagi f(x) funksiya bilan mos keladi.

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Shunday qilib, funktsiya f(x) to‘ldirildi. Endi funksiya f 1 (x) Furye seriyasida kengayadi. Bu qatorning segmentning barcha nuqtalaridagi yig'indisi funktsiyaga to'g'ri keladi f(x), bular. funksiya ekanligini taxmin qilishimiz mumkin f(x) oraliqda Furye qatoriga kengaytirildi.

Shunday qilib, f(x) funksiya 2p ga teng segmentda berilgan bo'lsa, u davriy funktsiya qatoriga kengayishdan hech qanday farq qilmaydi. Agar funktsiya berilgan segment 2p dan kichik bo'lsa, u holda funktsiya (b, a + 2p) oraliqgacha cho'ziladi, shuning uchun Furye kengayish shartlari saqlanib qoladi.

Umuman olganda, bu holda berilgan funktsiyani uzunligi 2p bo'lgan segmentga (intervalga) kengaytirish cheksiz ko'p usullar bilan amalga oshirilishi mumkin, shuning uchun hosil bo'lgan qatorlarning yig'indilari har xil bo'ladi, lekin ular berilgan bilan mos keladi. f(x) funksiyasi segmentida.

Juft va toq funksiyalar uchun Furye seriyalari.

Juft va toq funksiyalarning quyidagi xossalarini qayd etamiz:

2) Ikki juft va toq funksiyalarning ko‘paytmasi juft funktsiyadir.

3) Juft va toq funksiyalarning mahsuloti toq funksiyadir.

Bu xossalarning haqiqiyligini juft va toq funksiyalarning ta’rifi asosida osongina isbotlash mumkin.

Agar f(x) 2p davriga ega bo‘lgan, Furye kengayish shartlarini qanoatlantiradigan teng davriy funksiya bo‘lsa, unda biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Shunday qilib, teng funktsiya uchun Furye qatori yoziladi:

Xuddi shunday, biz toq funktsiya uchun Furye seriyasida kengayishni olamiz:

Misol.[-p;p] oralig'ida davri T = 2p bo'lgan davriy funktsiyani Furye qatorida kengaytiring.

Funktsiyani o'rnatish g'alati, shuning uchun biz Furye koeffitsientlarini quyidagi shaklda qidiramiz:

Ta'rif. Furye yonida ortogonal tizim funktsiyalari j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) ko‘rinishdagi qator:

koeffitsientlari quyidagi formula bilan aniqlanadi:

qayerda f(x)= - funksiyalarning ortogonal tizimidagi segmentga bir xilda yaqinlashuvchi qatorlar yig'indisi. f(x) - uzluksiz yoki intervalda birinchi turdagi sonli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lgan har qanday funktsiya.

Ortonormal funktsiyalar tizimida koeffitsientlar aniqlanadi:

Kompyuter versiyasidan foydalanganda " Oliy matematika kursi” ixtiyoriy funksiyani Furye qatoriga kengaytiruvchi dasturni ishga tushirish mumkin.

0

Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi

ta'lim muassasasi

"Mogilevskiy Davlat universiteti A.A nomidagi. Kuleshov"

MA&VT kafedrasi

Differensial tenglamalar yechimlarini qatorlar yordamida qurish

Kurs ishi

To‘ldiruvchi: B guruhi 3 kurs talabasi

Fizika-matematika fakulteti

Yuskaeva Aleksandra Maratovna

Ilmiy maslahatchi:

Morozov Nikolay Porfiryevich

MOGILEV, 2010 yil

Kirish 1. Yuqori tartibli differensial tenglamalar 1.1. n-tartibli chiziqli differensial tenglama haqida tushuncha 2. Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash 2.1. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash. 2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash. 3. Differensial tenglamalarni integrallashda umumlashtirilgan darajali qatorlardan foydalanishning alohida holatlari. 3.1. Bessel tenglamasi. 3.2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi. 4. Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo‘llash. Xulosa Adabiyot

Kirish

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani integrallash orqali aniq yechimini topish mumkin emas. Bundan tashqari, oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun buni amalga oshirish mumkin emas. Bu holat oddiy differensial tenglamalar va ularning sistemalarini echishning ko'p sonli taxminiy usullarini yaratishga olib keldi. Taxminiy usullarning uchta guruhi mavjud: analitik, grafik va raqamli. Albatta, bunday tasnif biroz o'zboshimchalik bilan. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqning grafik usuli yotadi.

Oddiy differensial tenglamalarni quvvat qatorlari yordamida integratsiyalash taxminan analitik usul bo'lib, odatda kamida ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarga qo'llaniladi.

Analitik usullar differensial tenglamalar jarayonida uchraydi. Birinchi tartibli tenglamalar uchun (ajraladigan o'zgaruvchilar, bir hil, chiziqli va boshqalar), shuningdek, yuqori tartibli tenglamalarning ayrim turlari uchun (masalan, chiziqli doimiy koeffitsientlar) analitik o’zgartirishlar yordamida formulalar ko’rinishidagi yechimlarni olish mumkin.

Ishning maqsadi oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash va ularni differentsial tenglamalarni yechishda qo‘llash kabi taxminiy analitik usullardan birini tahlil qilishdan iborat.

1. Yuqori tartibli differensial tenglamalar

n-tartibli oddiy differensial tenglama ko'rinishdagi munosabatdir

Bu erda F - uning argumentlarining ma'lum funktsiyasi, ba'zi sohalarda berilgan;

x - mustaqil o'zgaruvchi;

y - aniqlanadigan x o'zgaruvchining funktsiyasi;

y’, y”, …, y (n) y funksiyaning hosilalari.

Bu y (n) ning haqiqatan ham differentsial tenglamaga kiritilganligini taxmin qiladi. F funksiyaning qolgan argumentlaridan birortasi bu munosabatda aniq ishtirok eta olmaydi.

Berilgan differensial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday funksiya uning yechimi yoki integrali deyiladi. Differensial tenglamani yechish deganda uning barcha yechimlarini topish tushuniladi. Agar kerakli funktsiya y uchun berilgan differensial tenglamaning barcha yechimlarini va faqat ularni beradigan formulani olish mumkin bo'lsa, uning umumiy yechimi yoki umumiy integralini topdik deymiz.

n-darajali differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy c 1 , c 2 ,..., c n konstantalarni o'z ichiga oladi va ko'rinishga ega.

1.1. Chiziqli differensial tenglama haqida tushunchan-chi tartib

n-tartibli differensial tenglama y, y ', ..., y (n) miqdorlar yig'indisiga nisbatan birinchi darajali bo'lsa, chiziqli deyiladi. Shunday qilib, n-darajali chiziqli differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

Bu erda x ning ma'lum uzluksiz funktsiyalari.

Bu tenglama bir jinsli chiziqli tenglama yoki o'ng tomoni bo'lgan tenglama deyiladi. Agar tenglamaning o'ng tomoni xuddi shunday nolga teng bo'lsa, u holda chiziqli tenglama bir jinsli differensial chiziqli tenglama deyiladi va shaklga ega

Agar n 2 ga teng bo'lsa, ikkinchi tartibli chiziqli tenglamani olamiz, u n-darajali chiziqli tenglama kabi yoziladi, ikkinchi tartibli tenglama bir jinsli () va bir jinsli bo'lishi mumkin.

1. Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash.

Oʻzgaruvchan koeffitsientli birinchi tartibdan yuqori boʻlgan oddiy differensial tenglamaning yechimlari har doim ham elementar funksiyalar koʻrinishida ifodalanavermaydi va bunday tenglamaning integrasiyasi kamdan-kam hollarda kvadratlarga keltiriladi.

2.1. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.

Ushbu tenglamalarni integrallashning eng keng tarqalgan usuli kerakli yechimni kuch qatori shaklida ifodalashdir. O'zgaruvchan koeffitsientli ikkinchi tartibli tenglamalarni ko'rib chiqing

Izoh 1. Funktsiyalarning etarlicha keng sinfi sifatida ifodalanishi mumkin

qayerda, ba'zi konstantalar. Bu ifoda kuch qatori deyiladi. Agar uning qiymatlari har qanday x oraliqdagi funktsiyaning mos qiymatlariga teng bo'lsa (x 0 - T; x 0 + T), unda bunday qator bu intervalda konvergent deb ataladi.

Faraz qilaylik, a(x), b(x) funksiyalar (2.1) tenglamaning (x 0 - T; x 0 + T), T > 0 oraliqdagi analitik funksiyalari, ya’ni. quvvat seriyasiga kengaytirilgan:

Quyidagi teorema o'rinli (isbotni qoldirib, biz faqat uning bayonotini keltiramiz).

Teorema_1. Agar a(x), b(x) funksiyalar (2.2) ko‘rinishga ega bo‘lsa, (2.1) oddiy differensial tenglamaning har qanday y(x) yechimini |x - x 0 | uchun konvergent sifatida ko‘rsatish mumkin.< Т степенного ряда:

Bu teorema yechimni darajalar qatori ko’rinishida ifodalash imkonini beribgina qolmay, eng muhimi (2.3) qatorning yaqinlashuvini asoslaydi.

Bunday tasvirlash algoritmi quyidagicha. Qulaylik uchun (2.2) va (2.3) da x 0 = 0 ni o'rnatamiz va oddiy differensial tenglamaning (2.1) yechimini ko'rinishda qidiramiz.

(2.4) ni (2.1) ga almashtirib, tenglikka erishamiz

(2.5) ni qondirish uchun x ning har bir darajasidagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak. Bu shartdan biz cheksiz chiziqli sistemani olamiz algebraik tenglamalar

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Olingan cheksiz chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan ketma-ket, ... topish mumkin, agar qiymatlar o'rnatilsa va (oddiy differensial tenglama uchun (2.1) Koshi masalasida), boshlang'ich shartlarni kiritish mumkin = , =).

Agar a(x), b(x) funksiyalar ratsional bo'lsa, ya'ni. , b , bu erda ko'phadlar, u holda nuqta qo'shnilarida yoki, daraja qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin va agar mavjud bo'lsa, u hamma joyda ajralib chiqishi mumkin, x = 0 nuqtasidan tashqari. Bu holat allaqachon mavjud edi. birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqan L. Eylerga ma'lum

Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi

Biroq, bu seriya har qanday kishi uchun farqlanishini ko'rish oson. Oddiy differentsial tenglamaning divergent darajali qator ko'rinishidagi yechimi formal deyiladi.

Ilovaning eng yorqin va tushunarli misollaridan biri bu usul integratsiya Airy tenglamasi yoki

Bu tenglamaning barcha yechimlari x ning butun funksiyalaridir. Keyin Airy tenglamasining yechimi darajalar qatori (2.4) shaklida izlanadi. Keyin tenglik (2.5) shaklni oladi

X ning har bir darajasidagi koeffitsientni nolga tenglashtiramiz. Bizda ... bor

……………………………

x ning nol darajasidagi koeffitsient 2u 2 ga teng. Demak, y 2 = 0. Keyin koeffitsientning nolga tengligidan = ni topamiz. at koeffitsienti teng. Bu yerdan.

Ushbu formuladan biz olamiz

Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun avval = 1, = 0 ni o'rnatamiz, keyin esa aksincha. Birinchi holda bizda bor

va ikkinchisida

Teorema_1ga asoslanib, bu qatorlar haqiqiy chiziqning hamma joyida yaqinlashadi.

Va funksiyalari Airy funktsiyalari deb ataladi. X ning katta qiymatlari uchun ushbu funktsiyalarning asimptotik harakati bilan tavsiflanadi quyidagi formulalar Va.

Ushbu funktsiyalarning grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 2.1. Biz shuni olamizki, x ning cheksiz ko'payishi bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz ravishda yaqinlashadi, bu ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ham ko'rinadi, lekin Airy funktsiyalarini shaklda tasvirlashdan umuman aniq emas. yaqinlashuvchi kuch qatorlari. Bundan kelib chiqadiki, oddiy differensial tenglamaning yechimini ketma-ketlik yordamida izlash usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo'llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko'rinishining o'zi sifat jihatidan tahlil qilishni qiyinlashtiradi. olingan eritmaning xossalari.

2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash.

Demak, agar (2.1) tenglamada a(x), b(x) funksiyalar ratsional bo’lsa, u holda yoki joylashgan nuqtalar (2.1) tenglamaning yagona nuqtalari deyiladi.

Ikkinchi tartibli tenglama uchun

bu yerda a(x), b(x) |x - x 0 | intervalidagi analitik funksiyalar< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

X = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda darajalar qatori ko'rinishidagi yechimlar mavjud bo'lmasligi mumkin, bu holda echimlarni umumlashtirilgan darajalar qatori shaklida izlash kerak:

Bu erda l va, …, () aniqlanadi.

Teorema_2. (2.6) tenglama x = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajali qator (2.7) ko'rinishida kamida bitta maxsus yechimga ega bo'lishi uchun bu tenglama ko'rinishga ega bo'lishi kifoya.

Mohiyati konvergent kuch qatoridir va koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki aks holda x = x 0 nuqta yagona nuqta emas va x = x 0 nuqtada golomorf bo'lgan ikkita chiziqli mustaqil yechim mavjud. . Bunda (2,7') tenglama koeffitsientlariga kiruvchi qator (2,7") mintaqada yaqinlashsa | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

x > 0 uchun (2.6) tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglamaga (2.7) ifodani x 0 = 0 o'rniga qo'ysak, bizda

X ning darajalaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz takroriy tenglamalar tizimini olamiz:

……..........................……………………………………………. (2.8)

ko'rsatilgan joyda

Chunki, u holda l tenglamani qondirishi kerak

aniqlovchi tenglama deyiladi. Ushbu tenglamaning ildizlari bo'lsin. Agar farq butun son bo'lmasa, u holda butun son uchun k > 0 bo'lmaydi, ya'ni yuqoridagi usul (2.6) tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil yechimini qurish mumkin:

Agar ayirma butun son bo'lsa, u holda umumlashtirilgan qator ko'rinishida bitta yechim qurish uchun yuqoridagi usuldan foydalanish mumkin. Ushbu yechimni bilib, Liouville - Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, siz ikkinchi yechimni chiziqli mustaqil ravishda topishingiz mumkin:

Xuddi shu formuladan kelib chiqadiki, yechimni shaklda izlash mumkin

(A raqami nolga teng bo'lishi mumkin).

1. Differensial tenglamalarni integrallashda umumlashtirilgan darajali qatorlardan foydalanishning alohida holatlari.

3.1. Bessel tenglamasi.

Bessel tenglamasi matematika va uning qo'llanilishidagi muhim differentsial tenglamalardan biridir. Uni tashkil etuvchi Bessel tenglamasining yechimlari asosiy tizim funktsiyalar emas elementar funktsiyalar. Ammo ular koeffitsientlari juda oddiy hisoblangan quvvat seriyalariga aylanadi.

Bessel tenglamasini umumiy shaklda ko'rib chiqing:

Matematik fizikaning ko'pgina masalalari bu tenglamaga keltiriladi.

X ni -x bilan almashtirganda tenglama o'zgarmasligi sababli, x ning manfiy bo'lmagan qiymatlarini hisobga olish kifoya. Yagona yagona nuqta x=0. x=0 ga mos keladigan aniqlovchi tenglama, . Agar 0 bo'lsa, aniqlovchi tenglama ikkita ildizga ega: va. Keling, yechim topaylik berilgan tenglama umumlashgan kuch qatori shaklida

keyin, y, y" va y" ni dastlabki tenglamaga almashtirsak, biz hosil bo'lamiz

Demak, kamaytirsak, bizda bor

Ushbu tenglik bir xil bo'lishi uchun koeffitsientlar tenglamalarni qondirishi kerak

Aniqlovchi tenglama l = n ildiziga mos yechim topilsin. Oxirgi tengliklarga l = n ni qo‘ysak, noldan boshqa istalgan sonni = 0 son sifatida olish mumkinligini ko‘ramiz va k = 2, 3, ... uchun bizda

Demak, hamma uchun m = 0, 1, 2, … .

Shunday qilib, barcha koeffitsientlar topildi, ya'ni (3.1) tenglamaning yechimini ko'rinishda yozish mumkin.

Funktsiyani kiritamiz

Eyler gamma funksiyasi deb ataladi. Butun sonlar uchun nima va nima ekanligini hisobga olib, shuningdek ixtiyoriy doimiyni tanlang, chunki u shaklda yoziladi.

n-tartibning birinchi turdagi Bessel funksiyasi deyiladi.

Bessel tenglamasining chiziqli mustaqil ikkinchi xususiy yechimi shaklda qidiriladi

Aniqlash uchun tenglamalar shaklga ega

Biz topamiz deb faraz qilamiz

Taxminlarga ko'ra, n butun son emas, shuning uchun barcha juft sonli koeffitsientlar yagona tarzda ifodalanadi:

Shunday qilib,

y 2 (x) ni shaklda ifodalaymiz deb faraz qilamiz

manfiy indeksli birinchi turdagi Bessel funksiyasi deyiladi.

Shunday qilib, agar n butun son bo'lmasa, asl Bessel tenglamasining barcha yechimlari chiziqli birikmalar Bessel funktsiyalari va: .

3.2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi.

Gipergeometrik tenglama (yoki Gauss tenglamasi) shakldagi tenglamadir

bu yerda a, b, g haqiqiy sonlar.

Nuqtalar tenglamaning yagona nuqtalaridir. Ularning ikkalasi ham muntazamdir, chunki bu nuqtalar yaqinida Gauss tenglamasining koeffitsientlari normal shaklda yozilgan.

umumlashgan kuch qatori sifatida ifodalanishi mumkin.

Biz buni nuqta uchun tekshiramiz. Darhaqiqat, buni sezish

(3.2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Bu tenglama tenglamaning maxsus holatidir

va bu erda, x=0 nuqta Gauss tenglamasining muntazam singulyar nuqtasi bo'lsin.

X=0 yagona nuqtaga yaqin joyda Gauss tenglamasining fundamental yechimlar sistemasini tuzamiz.

x=0 nuqtaga mos keladigan aniqlovchi tenglama ko'rinishga ega

Uning ildizlari va ularning farqi butun son emas.

Shuning uchun x=0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajalar qatori ko‘rinishidagi fundamental yechimlar tizimini qurish mumkin.

ularning birinchisi aniqlovchi tenglamaning nol ildiziga mos keladi va oddiy darajali qatordir, shuning uchun yechim x=0 birlik nuqtaga yaqin joyda golomorf bo'ladi. Ikkinchi yechim x=0 da golomorf emasligi aniq. Keling, avval aniqlovchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ma'lum bir yechimni tuzamiz.

Shunday qilib, (3.2) tenglamaning muayyan yechimini shaklda qidiramiz

(3.3) ni (3.2) ga almashtirib, biz hosil qilamiz

Erkin atamani nolga tenglashtirib, biz olamiz.

Keling, uni olamiz.

Koeffitsientni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Shunday qilib, kerakli maxsus yechim quyidagi shaklga ega:

O'ngdagi qator gipergeometrik qator deb ataladi, chunki a=1, b=g uchun u geometrik progressiyaga aylanadi.

Teorema_2 bo'yicha (3.4) qatorlar |x| uchun yaqinlashadi<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Ikkinchi maxsus yechim quyidagicha ko'rinadi:

Noaniq koeffitsientlar usuli bilan topish o'rniga, biz Gauss tenglamasida formula bo'yicha kerakli funktsiyani almashtiramiz.

Gauss tenglamasini olamiz

bunda a, b va g parametrlarining rolini va bajaradi.

Shuning uchun, aniqlovchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimini qurib, uni (3.6) ga almashtirib, biz ushbu Gauss tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini quyidagi ko'rinishda olamiz:

(3.2) Gauss tenglamasining umumiy yechimi:

Gauss tenglamasining yagona nuqta x=0 yaqinida qurilgan fundamental yechimlar sistemasidan foydalanib, x=1 singular nuqtaga yaqin joyda bu tenglamaning fundamental yechimlari tizimini osongina qurish mumkin, bu ham muntazamdir. yagona nuqta.

Shu maqsadda bizni qiziqtirgan x = 1 singulyar nuqtani t = 0 nuqtaga va u bilan birgalikda x = 0 yagona nuqtani x = mustaqil o'zgaruvchining chiziqli o'zgarishidan foydalanib, t = 1 nuqtaga o'tkazamiz. 1 - t.

Ushbu Gauss tenglamasida ushbu almashtirishni amalga oshirib, biz olamiz

Bu parametrlarga ega Gauss tenglamasi. Bu mahallada bor |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

X o'zgaruvchisiga qaytsak, ya'ni t = 1 - x ni o'rnatsak, biz nuqta yaqinidagi dastlabki Gauss tenglamasining asosiy yechimlar tizimini olamiz | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Gauss tenglamasining (3.2) sohadagi umumiy yechimi

1. Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo‘llash.

Misol_1. (#691) Dastlabki shartlar bilan seriyaning dastlabki bir necha koeffitsientlarini hisoblang (x 4 koeffitsientigacha)

Dastlabki shartlardan kelib chiqadiki, endi biz qolgan koeffitsientlarni topamiz:

Misol_2. (#696) Dastlabki shartlar bilan seriyaning dastlabki bir necha koeffitsientlarini hisoblang (x 4 koeffitsientigacha)

Yechish: Tenglama yechimini shaklda izlaymiz

Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:

O'ng tomonni darajalar qatori sifatida ifodalab, tenglamaning har ikki tomonidagi x ning bir xil darajadagi koeffitsientlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Shartga ko'ra, x 4 koeffitsientigacha bo'lgan qator koeffitsientlarini hisoblash kerak bo'lganligi sababli, koeffitsientlarni hisoblash kifoya.

Dastlabki shartlardan kelib chiqadiki va 2. Endi qolgan koeffitsientlarni topamiz:

Shuning uchun tenglamaning yechimini shaklda yozish mumkin

Misol_3. (№700) Tenglamaning darajali qator ko'rinishidagi chiziqli mustaqil yechimlarni toping. Iloji bo'lsa, elementar funksiyalar yordamida olingan qatorlar yig'indisini ifodalang.

Yechim. Tenglamaning yechimini qator shaklida izlaymiz

Bu qatorni ikki marta differensiallash va uni bu tenglamaga almashtirsak, biz bor

Olingan tenglamada qatorning birinchi bir necha shartlarini yozamiz:

X ning bir xil quvvatlarida koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz:

………………………………….

Ushbu tenglamalardan topamiz

Faraz qilaylik, u holda faqat koeffitsientlar noldan farq qiladi. Biz buni tushunamiz

Tenglamaning bitta yechimi tuziladi

Topilganidan chiziqli mustaqil bo'lgan ikkinchi yechim faraz qilish yo'li bilan olinadi. Shunda faqat koeffitsientlar noldan farq qiladi:

X ning istalgan qiymatlarini ifodalovchi va yaqinlashuvchi qatorlar analitik funksiyalardir. Shunday qilib, dastlabki tenglamaning barcha yechimlari x ning barcha qiymatlari uchun analitik funktsiyalardir. Barcha yechimlar formula bilan ifodalanadi, bunda C 1 , C 2 ixtiyoriy konstantalardir:

Olingan qatorlar yig‘indisini elementar funksiyalar yordamida ifodalash oson bo‘lgani uchun u quyidagicha yoziladi:

Misol_4. (711-son) 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y \u003d 0 tenglamasini yeching.

Yechim. x = 0 nuqtasi bu tenglamaning muntazam singulyar nuqtasidir. Biz aniqlovchi tenglamani tuzamiz: Uning ildizlari l 1 \u003d 1/2 va l 2 \u003d - 1. Biz l \u003d l 1 ko'rinishida ildizga mos keladigan asl tenglamaning yechimini qidiramiz.

Asl tenglamani almashtirib, bizda mavjud

Demak, kamaytirsak, olamiz

X ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni tenglashtirib, bizda aniqlash uchun tenglamalar mavjud:

y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz

Shunday qilib,

l = l 2 ildiziga mos keladigan asl tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz.

Ushbu ifodani asl tenglamaga qo'yib, koeffitsientlarni x ning bir xil darajalariga tenglashtirib, biz olamiz yoki y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz.

Asl tenglamaning umumiy yechimini va ixtiyoriy konstantalar shaklida yozamiz.

Xulosa

Noma'lum funksiyalar va ularning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamani birinchisidan kattaroq quvvatda yoki qandaydir murakkabroq usulda yechish ko'pincha juda qiyin.

So'nggi yillarda bunday differensial tenglamalar tobora ko'proq e'tiborni tortmoqda. Tenglamalar yechimlari ko'pincha juda murakkab va oddiy formulalar bilan ifodalash qiyin bo'lganligi sababli, zamonaviy nazariyaning muhim qismi ularning xatti-harakatlarini sifatli tahlil qilishga bag'ishlangan, ya'ni. Tenglamalarni yechmasdan, umuman yechimlarning tabiati haqida muhim narsani aytishga imkon beradigan usullarni ishlab chiqish: masalan, ularning barchasi cheklangan yoki davriy xususiyatga ega yoki ma'lum bir tarzda bog'liq. koeffitsientlar.

Kurs ishi jarayonida differensial tenglamalarni quvvat va umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida integrallash usuli tahlil qilindi.

Adabiyot:

1. Matveev N.V. Oddiy differensial tenglamalarni integrallash usullari. Ed. 4, rev. va qo'shimcha Minsk, “Eng yuqori. maktab”, 1974. - 768-yillar. kasaldan.
2. Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Differensial tenglamalar: Proc. universitetlar uchun / Ed. Miloddan avvalgi Zarubina, A.P. Krishchenko. - 3-nashr, stereotip. -M.: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2004. - 352 b.
3. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. T.3: Differensial tenglamalar. Ko'p integrallar. Qatorlar. Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari: Proc. universitetlar uchun: 3 jildda / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolskiy; Ed. V. A. Sadovnichiy. - 6-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 2004. -- 512p.: kasal.
4. Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differensial tenglamalar: misollar va muammolar. Proc. nafaqa. - 2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. - M .: Yuqori. maktab, 1989. - 383 b.: kasal.
5. Filippov AF Differensial tenglamalar bo'yicha masalalar to'plami. Proc. universitetlar uchun nafaqa. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 b.: kasal.

Yuklab oling: Bizning serverimizdan fayllarni yuklab olish huquqiga ega emassiz.

QOZOGISTON RESPUBLIKASI TA’LIM VA FAN VAZIRLIGI

Shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

ular. M.Qozibayeva

Axborot texnologiyalari fakulteti

“Matematika” kafedrasi

Kurs ishi himoyalangan

“_____________” bahosi

"___"___________ 2013 yil

bosh Bo'lim ____________

A. Tojigitov

Matematika bo'yicha KURS ishi

«DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI INTEGRASSIYA

POWER SERISI YORDAMIDA»

BOSHQARMASI Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013 yil

ANGDAPTA

Berilgen kurstyk zhūmysta katarlarmen zhane differensiallar tendemelermen baylanysty theorylyk suraqtar qarastyrylgan. Differensiallar endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ANNOTATSIYA

Bunda muddatli ish qator va differensial tenglamalarga oid nazariy savollar ko‘rib chiqiladi. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallashga misollar ko'rib chiqiladi.

berilgan ish qatorlar va differensial tenglamalar bilan bog'liq bo'lgan nazariy savollar hisoblanadi. Quvvat qatorlari yordamida integratsiyalangan qisman differentsial tenglamalarga misollar ko'rib chiqiladi.

KIRISH

SERIAL VA DIFFERENTSIAL TENGLAMALARGA BAG'LI ASOSIY TUSHUNCHALAR

1 qator. Asosiy tushunchalar. Konvergentsiyaning zaruriy mezoni

2 quvvat seriyasi. Quvvat seriyasining xususiyatlari

3 Teylor seriyasi. Maklaurin seriyasi

4 Differensial tenglamalar

5 Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash

DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI INTEGRASYONDA KUCH SERIALLARDAN FOYDALANISHGA NAMALLAR

1 Airy tenglama

2 Bessel tenglamasi

3 Integratsiyaga misollar

4 Maple-da integratsiyaga misollar

XULOSA

KIRISH

"Differentsial tenglama" atamasi Leybnits (1676, 1684 yilda nashr etilgan) tomonidan yaratilgan. Differensial tenglamalar bo'yicha tadqiqotlarning boshlanishi Leybnits va Nyuton davriga to'g'ri keladi, ularning asarlarida bunday tenglamalarga olib keladigan birinchi masalalar o'rganilgan. Leybnits, Nyuton, aka-uka J. va I. Bernullilar oddiy differensial tenglamalarni integrallash usullarini ishlab chiqdilar. Universal usul sifatida darajali qatorlarda differensial tenglamalar integrallarining kengayishlaridan foydalanilgan.

Hozirgi vaqtda yuqori quvvatli hisoblash vositalarining paydo bo'lishi bilan bog'liq bo'lgan hisoblash usullarining fanga keng joriy etilishi matematikaning turli bo'limlari va xususan, oddiy differensial tenglamalar nazariyasi bo'limlarining ahamiyatini qayta ko'rib chiqishni talab qiladi. Hozirgi vaqtda differensial tenglamalar yechimlarini sifat jihatidan o'rganish usullari, shuningdek, yechimlarni taxminan topish usullarining ahamiyati ortdi.

Ko'pgina differensial tenglamalarning yechimlari elementar funksiyalarda yoki kvadraturalarda ifodalanmaydi. Bunday hollarda differentsial tenglamalarni integrallashning taxminiy usullari qo'llaniladi. Shunday usullardan biri tenglamaning yechimini darajalar qatori sifatida ifodalashdir; bu qatordagi sonli hadlar yig'indisi taxminan kerakli yechimga teng bo'ladi. Bu tanlangan tadqiqot mavzusining dolzarbligini belgilaydi.

Ushbu ishning maqsadi: differensial tenglamalarni integrallashda darajali qatorlar usulini qo'llashni ko'rsatish.

Tadqiqot ob'ekti differensial tenglamalarni darajali qatorlar usuli bilan integrallash jarayonidir.

Tadqiqot mavzusi differensial tenglamalarni darajali qatorlar bo'yicha integrallash shakllari, usullari va vositalaridir.

Maqsadga muvofiq biz ushbu ishning asosiy vazifalarini shakllantirishimiz mumkin:

Seriyalar va differentsial tenglamalar bilan bog'liq asosiy tushunchalarni ko'rib chiqing.

Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usulini tahlil qiling.

Turli masalalarni yechish uchun quvvat qatorlari usulini qo'llang.

Ishning tuzilishi: sarlavha sahifasi, topshiriq shakli, referat, mazmun, kirish, asosiy qism, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati.

Ishning asosiy qismi ikki bobdan iborat. Birinchi bobda qatorlar, darajalar qatorlari, Teylor qatorlari, differensial tenglamalar tushunchalari ochib berilgan. Ikkinchi bobda differensial tenglamalarni darajali qatorlar bo'yicha integrallash misollari ko'rib chiqiladi.

Ishning nazariy qismini o'rganish uchun o'quv adabiyotlari va foydalanilgan adabiyotlar ro'yxatida ko'rsatilgan davriy nashrlar materiallaridan foydalanilgan.

Ish hajmi: 26 bet.

1. SERIAL VA DIFFERENTSIAL TENGLAMALARGA BAG'LI ASOSIY TUSHUNCHALAR

1.1 qatorlar. Asosiy tushunchalar. Konvergentsiyaning zaruriy mezoni

Matematik ilovalarda, shuningdek, iqtisod, statistika va boshqa sohalardagi ba'zi masalalarni yechishda cheksiz ko'p sonli yig'indilar ko'rib chiqiladi. Bu erda biz bunday miqdorlar nimani anglatishini aniqlaymiz.

Cheksiz sonlar ketma-ketligi berilsin. Raqamli qator yoki oddiygina qator - bu shaklning ifodasi (yig'indisi).

,(1.1)

sonlar qator a'zolari deb ataladi, - qatorning umumiy yoki n-a'zosi.

(1.1) qatorni o'rnatish uchun qatorning n-a'zosini uning soni bo'yicha hisoblash uchun natural argument funksiyasini o'rnatish kifoya.

1.1-misol. Bo'lsin. Qator

(1.2)

garmonik qator deb ataladi.

(1.1) qator shartlaridan biz qisman yig'indilarning sonli ketma-ketligini hosil qilamiz qayerda - n-chi qisman yig'indisi deb ataladigan qatorning birinchi hadlari yig'indisi, ya'ni.

(1.3)

Raqamli ketma-ketlik sonining cheksiz ko'payishi bilan:

) chegaralangan chegaraga ega;

) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).

Agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1.3) chekli chegaraga ega bo'lsa, (1.1) qator konvergent deb ataladi, ya'ni.

Bunda raqam (1.1) qator yig'indisi deb ataladi va yoziladi

Agar uning qisman yig’indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo’lmasa (1.1) qator divergent deyiladi. Divergent qatorga summa belgilanmaydi.

Shunday qilib, (1.1) yaqinlashuvchi qatorning yig'indisini topish masalasi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.

Teoremaning isboti shundan kelib chiqadi , va agar

S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin

Shart (1.4) ketma-ket yaqinlashish uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Ya'ni, qatorning umumiy hadi da nolga moyil bo'lsa, bu qator yaqinlashadi degani emas. Masalan, garmonik qator uchun (1.2)

ammo, u farq qiladi.

Natija (qatorning ajralishi uchun etarli mezon): agar qatorning umumiy hadi nolga moyil bo'lmasa, u holda bu qator ajralib chiqadi.

1.2-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Bu seriya uchun Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

1.1

1.2 Quvvat seriyasi. Quvvat seriyasining xususiyatlari

Quvvat seriyalari funksional qatorlarning alohida holatidir.

Quvvat qatori shaklning funksional qatoridir

bu erda - quvvat seriyasining koeffitsientlari deb ataladigan doimiy haqiqiy sonlar;

Ba'zi doimiy raqam;

Haqiqiy sonlar to'plamidan qiymatlarni oladigan o'zgaruvchi.

At , quvvat qatori (1.5) shaklni oladi

(1.6)

(1,5) darajalar qatori (1,6) darajalar qatori deyiladi - darajalar qatori Agar o'zgaruvchiga biron bir qiymat berilsa, u holda daraja seriyasi (1,5) (yoki (1,6)) sonli qatorga aylanadi. yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.

Quvvat seriyasining yaqinlashuv mintaqasi - bu darajalar qatori yaqinlashadigan qiymatlar to'plami.

Teorema 1.2 (Abel teoremasi): agar darajali qator (1.6) uchun yaqinlashsa, u tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha qiymatlar uchun mutlaqo yaqinlashadi, agar (1.6) qator uchun ajralib chiqsa, u tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlar uchun ajralib chiqadi.

Abel teoremasi darajalar qatorining yaqinlashish mintaqasining tuzilishi haqida aniq tasavvur beradi.

1.3 teorema: (1.6) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasi quyidagi intervallardan biriga to'g'ri keladi:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

qayerda qandaydir manfiy bo'lmagan haqiqiy son yoki

Raqam yaqinlashish radiusi deb ataladi, oraliq kuch seriyasining yaqinlashuv oralig'i deb ataladi (1.6).

Agar u holda yaqinlashish oralig'i butun haqiqiy o'q bo'lsa

Agar u holda konvergentsiya oralig'i nuqtaga aylansa

Eslatma: agar (1.2) darajali qator uchun yaqinlashish oralig'i bo'lsa, u holda darajalar qatori (1.5) uchun yaqinlashish intervalidir.

1.3-teoremadan kelib chiqadiki, (1.6) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasini amaliy aniqlash uchun uning yaqinlashish radiusini topish va bu qatorning yaqinlashish oralig'i oxiridagi yaqinlashuvi haqidagi savolga aniqlik kiritish kifoya, ya'ni, da va

Kuchli qatorning yaqinlashuv radiusini quyidagi formulalardan biri yordamida topish mumkin:

d'Alember formulasi:

Koshi formulasi:

1.3-misol. Bir darajali qatorning yaqinlashuv radiusini, yaqinlashish oralig'ini va yaqinlashuv maydonini toping.

Ushbu qatorning yaqinlashish radiusini formula bo'yicha toping

Bizning holatda

Shuning uchun bu qatorning yaqinlashish oralig'i shaklga ega

Keling, yaqinlashish intervalining uchlarida qatorning yaqinlashuvini o'rganamiz.

garmonik qator sifatida ajralib chiqadi.

Quvvat qatori sonlar qatoriga aylanganda

.

Bu muqobil qator bo'lib, uning shartlari mutlaq qiymat kamayadi va

Shuning uchun, Leybnits testiga ko'ra, bu sonlar qatori yaqinlashadi.

Shunday qilib, interval ma'lum darajali qatorning yaqinlashish mintaqasidir.

Quvvat seriyasi (1.6) yaqinlashuv oralig'ida aniqlangan funksiya, ya'ni.

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlari

Xossa 1. Funktsiya yaqinlashish oralig'iga tegishli bo'lgan har qanday segmentda uzluksizdir

Xossa 2. Funksiya oraliqda differensiallanadi va uning hosilasini (1.6) qatorni haddan-hajda differentsiallash yo’li bilan topish mumkin, ya’ni.

Barcha uchun

Xususiyat 3. Hamma uchun funksiyaning noaniq integrali (1.6) qatorni muddatlar bo'yicha integrallash yo'li bilan olinishi mumkin, ya'ni.

Barcha uchun

Shuni ta'kidlash kerakki, darajali qatorni haddan-mene differensiallash va integrasiyalashda uning yaqinlashish radiusi o'zgarmaydi, ammo oraliq oxiridagi yaqinlashuvi o'zgarishi mumkin.

Yuqoridagi xususiyatlar quvvat seriyalari uchun ham amal qiladi (1.5).

1.4-misol. Quvvat seriyasini ko'rib chiqing

1.3-misolda ko'rsatilganidek, bu qatorning yaqinlashish mintaqasi intervaldir

Keling, ushbu turkum atamasini atama bo'yicha farqlaylik:

(1.7)

Keling, konvergentsiya oralig'i oxirida ushbu qatorning harakatini o'rganamiz.

Bu sonli qator ajralib chiqadi, chunki yaqinlashuvning zarur mezoni qondirilmaydi.

qaysi mavjud emas.

, uchun kuch qatori (1.7) sonli qatorga aylanadi

kerakli yaqinlashuv mezoni qondirilmagani uchun ham ajralib chiqadi.

Shuning uchun, asl kuch seriyasini muddat bo'yicha differensiallash yo'li bilan olingan quvvat qatorlarining yaqinlashuv mintaqasi o'zgardi va intervalga to'g'ri keladi.

1.3 Teylor seriyasi. Maklaurin seriyasi

Nuqta qo‘shnisida cheksiz differentsiallanuvchi funksiya bo‘lsin, ya’ni. har qanday tartibdagi hosilalarga ega. Funktsiyaning bir nuqtadagi Teylor qatori darajalar qatori deyiladi

(1.8)

ning alohida holatida (1.8) qator Maklaurin seriyasi deb ataladi:

Savol tug'iladi: Qaysi hollarda nuqta qo'shnisida cheksiz marta differensiallangan funksiya uchun Teylor qatori funksiya bilan mos keladi?

Funksiyaning Teylor qatori yaqinlashadigan holatlar mavjud, lekin uning yig'indisi ga teng emas

Funksiyaning Teylor qatorining shu funksiyaga yaqinlashishi uchun yetarli shart beraylik.

1.4 teorema: agar intervalda bo'lsa funktsiya har qanday tartibli hosilalarga ega va ularning barchasi mutlaq qiymatda bir xil son bilan cheklangan, ya'ni. u holda bu funksiyaning Teylor qatori shu intervalning har qandayiga yaqinlashadi bular. tenglik mavjud

Konvergentsiya oralig'i oxirida ushbu tenglikning bajarilishini aniqlashtirish uchun alohida tadqiqotlar talab qilinadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar funktsiya darajali qatorga kengaytirilsa, u holda bu seriya ushbu funktsiyaning Teylor (Maklaurin) qatoridir va bu kengayish yagonadir.

1.4 Differensial tenglamalar

Argument funksiyasi uchun n-tartibli oddiy differensial tenglama ko‘rinishdagi munosabatdir.

bu yerda uning argumentlarining berilgan funksiyasi.

Matematik tenglamalarning ushbu sinfi nomida “differensial” atamasi ularning hosilalarni (differensiallanish natijasida hosil bo'lgan funksiyalarni) o'z ichiga olishini ta'kidlaydi; atamasi - "oddiy" kerakli funktsiya faqat bitta haqiqiy argumentga bog'liqligini aytadi.

Oddiy differensial tenglamada kerakli funksiya va uning hosilalaridan birortasining argumenti aniq bo‘lmasligi mumkin, lekin eng yuqori hosila n-tartibli tenglamaga kiritilishi kerak.

Misol uchun,

A) - birinchi tartibli tenglama;

B) uchinchi tartibli tenglamadir.

Oddiy differensial tenglamalarni yozishda ko'pincha differensiallar orqali hosilalarni belgilash qo'llaniladi:

IN) - ikkinchi tartibli tenglama;

G) - birinchi tartibli tenglama, bu tenglamani o'rnatishning ekvivalent shakliga bo'lingandan keyin:

Funksiya oddiy differensial tenglamaning yechimi deyiladi, agar unga almashtirilganda u bir xillikka aylansa.

Tenglamani qanoatlantiradigan u yoki bu usul, masalan, tanlash, bitta funktsiyani topish uni yechish degani emas. Oddiy differensial tenglamani yechish deganda tenglamaga almashtirilganda bir xillikni tashkil etuvchi barcha funksiyalarni topish tushuniladi. (1.10) tenglama uchun bunday funksiyalar turkumi ixtiyoriy konstantalar yordamida tuziladi va n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi va doimiylar soni tenglama tartibiga to'g'ri keladi: tenglamaning integrali (1.10). ).

Umumiy yechimda yoki umumiy integralda barcha ixtiyoriy doimiylar uchun ba'zi bir ruxsat etilgan qiymatlarni o'rnatish orqali biz ixtiyoriy konstantalarni o'z ichiga olmaydigan ma'lum bir funktsiyani olamiz. Bu funksiya (1.10) tenglamaning alohida yechimi yoki alohida integrali deyiladi. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlarini va shuning uchun aniq echimni topish uchun (1.10) tenglamaga turli xil qo'shimcha shartlar qo'llaniladi. Misol uchun, dastlabki shartlar deb ataladi:

Dastlabki shartlarning o'ng tomonida (1.11) funktsiya va hosilalarning raqamli qiymatlari berilgan va boshlang'ich shartlarning umumiy soni aniqlanayotgan ixtiyoriy doimiylar soniga teng.

Dastlabki shartlarga muvofiq (1.10) tenglamaning muayyan yechimini topish vazifasi Koshi masalasi deb ataladi.

1.5 Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani (ODE) integrallash orqali aniq yechimini topish mumkin emas. Bundan tashqari, bu ODE tizimi uchun amalga oshirilmaydi. Ushbu holat ODE va ​​ularning tizimlarini echishning ko'plab taxminiy usullarini yaratishga olib keldi. Taxminiy usullarning uchta guruhi mavjud: analitik, grafik va raqamli. Albatta, bunday tasnif biroz o'zboshimchalik bilan. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqning grafik usuli yotadi.

Quvvat seriyasidan foydalangan holda ODE ning integratsiyasi taxminan analitik usul bo'lib, odatda kamida ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarga qo'llaniladi. Oddiylik uchun biz o'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi darajali ODEni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.

(1.12)

Izoh: funktsiyalarning juda keng sinfi sifatida ifodalanishi mumkin

ba'zi konstantalar qayerda. Bu ifoda kuch qatori deyiladi.

Faraz qilaylik, funksiyalarni intervalda yaqinlashuvchi qatorlarga kengaytirish mumkin:

Quyidagi teorema o'rinli (isbotni qoldirmasdan, biz faqat uning formulasini keltiramiz).

1.5 teorema: agar funktsiyalar (1.13) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda ODE (1.12) ning har qanday yechimi quyidagicha yaqinlashuvchi kuch qatori sifatida ifodalanishi mumkin:

(1.14)

Bu teorema yechimni darajalar qatori ko’rinishida ifodalash imkonini beribgina qolmay, eng muhimi (1.14) qatorning yaqinlashuvini asoslaydi. Oddiylik uchun biz (1.13) va (1.14) ni qo'yamiz va ODE (1.12) ning echimini shaklda qidiramiz.

(1.15)

(1.15) ni (1.12) ga almashtirib, tenglikka erishamiz

(1.16) ni qondirish uchun har bir quvvatdagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak.

Bu shartdan chiziqli algebraik tenglamalarning cheksiz sistemasini olamiz

Agar qiymatlar ko'rsatilgan bo'lsa, ularni ketma-ket topish mumkin (ODE uchun Koshi muammosida (1.12) ular boshlang'ich shartlarga kiritilgan. ).

Funktsiyalar oqilona bo'lsa, ya'ni.

ko'phadlar qayerda bo'lsa, u holda yoki daraja qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin bo'lgan nuqtalar yaqinida, agar mavjud bo'lsa, nuqtadan tashqari hamma joyda ajralishi mumkin.Bu holat hatto L. Eylerga ham ma'lum edi. birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqanlar

Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi

Biroq, bu seriya har qanday kishi uchun farqlanishini ko'rish oson

ODE ning divergent darajali qator ko'rinishidagi yechimi formal deyiladi.

2. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI INTEGRASSIYADA KUCH QARSIYASIDAN FOYDALANISHGA NAMALLAR.

Havo tenglamasi

Airy tenglamasining yechimi

quvvat qatori shaklida qidiramiz (1.15). Keyin tenglik (1.16) shaklni oladi

Koeffitsient at teng Shuning uchun, at koeffitsientining tengligidan nolga teng bo'lgan koeffitsientni topamiz. Bu yerdan

Ushbu formuladan biz olamiz

Xuddi shunday, biz topamiz

Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun avvalo o'rnatamiz keyin esa aksincha. Birinchi holda bizda bor

va ikkinchisida

Teorema 1.5 ga asoslanib, bu qatorlar haqiqiy chiziqning hamma joyida yaqinlashadi

Funktsiyalar Airy funktsiyalari deb ataladi. Katta qiymatlar uchun bu funksiyalarning asimptotik harakati formulalar bilan tavsiflanadi

Bu funksiyalarning grafiklari 1-rasmda keltirilgan.

1-rasm

Cheksiz o'sish bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz ravishda yaqinlashadi, bu ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ko'rinadi, lekin Airy funktsiyalarini konvergent quvvat qatorlari shaklida tasvirlashdan umuman aniq emas. Bundan kelib chiqadiki, ketma-ketlik yordamida ODE yechimini topish usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo‘llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko‘rinishida ko‘rsatilishining o‘ziyoq sifat xususiyatlarini tahlil qilishni qiyinlashtiradi. natijada olingan yechim.

2.1 Bessel tenglamasi

O'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli differensial tenglama shaklga ega

Bessel tenglamasi deyiladi.

Biz (2.1) tenglamaning yechimini umumlashtirilgan quvvat qatori shaklida izlaymiz, ya'ni. dasht qatoridagi ma'lum darajada mahsulotlar:

(2.2)

Umumlashtirilgan quvvat qatorini (2.1) tenglamaga qo'yib, tenglamaning chap tomonidagi har bir quvvatdagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz tizimni olamiz.

Ushbu sistemadan biz sistemaning ikkinchi tenglamasidan Let Keyin ni topamiz va tenglamadan 3,5,7, ... qiymatlarini berib, juft sonli koeffitsientlar uchun quyidagini olamiz degan xulosaga kelamiz. ifodalar

Topilgan koeffitsientlarni ketma-ket (2.2) ga almashtirib, yechimni olamiz

bu erda koeffitsient ixtiyoriy bo'lib qoladi.

Barcha koeffitsientlar uchun xuddi butun songa teng bo'lmagan hollardagina aniqlanadi. Keyin oldingi yechimdagi qiymatni quyidagi bilan almashtirish orqali yechim olinishi mumkin:

Olingan quvvat seriyalari d'Alembert testi asosida osongina o'rnatiladigan barcha qiymatlari uchun birlashadi. Yechimlar chiziqli mustaqildir, chunki ularning nisbati doimiy emas.

Eritma doimiyga ko'paytiriladi birinchi turdagi tartibdagi Bessel funktsiyasi (yoki silindrsimon funktsiya) deb ataladi va belgisi bilan belgilanadi Yechim belgilanadi.

Konstantaning umumiy qabul qilingan tanlovi noto'g'ri integral bilan aniqlanadigan gamma funktsiyasini o'z ichiga oladi:

Binobarin, (2.1) tenglamaning umumiy yechimi butun songa teng bo'lmaganda ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda va ixtiyoriy doimiylar .

2.2 Integratsiyaga misollar

Tenglama Koshi muammosini dastlabki shartda yechishni talab qiladigan hollarda, yechimni Teylor qatori yordamida izlash mumkin:

bu yerda va keyingi hosilalar asl tenglamani ketma-ket differensiallash va qiymatlar va barcha boshqa topilgan keyingi hosilalar o‘rniga differentsiallanish natijasiga almashtirish yo‘li bilan topiladi. Xuddi shunday, yuqori tartibli tenglamalarni Teylor seriyasi yordamida integrallash mumkin.

2.1-misol. Tenglamani taxminan Teylor qatoridan foydalanib, kengayishning nolga teng bo'lmagan birinchi oltita shartini olib integrasiya qiling.

Dastlabki shartlar tenglamasidan topamiz Ushbu tenglamani differensiallash orqali biz ketma-ket hosil qilamiz

Qiymatlarni o'rnatish va ulardan foydalanish ketma-ket topamiz Istalgan yechim shaklga ega

2.2-misol. Kengayishning dastlabki to'rtta (noldan tashqari) shartlarini toping. Va

Topilgan qiymatlarni ketma-ket (2.3) ga almashtirib, belgilangan aniqlik bilan kerakli yechimni olamiz:

2.3 Maple-dagi integratsiya misollari

Maple’da differensial tenglamalarning analitik yechimlarini topish uchun dsolve(eq,var,options) buyrug‘i qo‘llaniladi, bunda eq – differensial tenglama, var – noma’lum funksiyalar, variantlar – variantlar. Parametrlar muammoni hal qilish usulini belgilashi mumkin, masalan, sukut bo'yicha, analitik yechim qidiriladi: type=aniq. Differensial tenglamalarni tuzishda hosilani belgilash uchun diff buyrug'i qo'llaniladi, masalan, differentsial tenglama quyidagicha yoziladi: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Differensial tenglamaning taqribiy yechimini quvvat qatori ko‘rinishida topish uchun dsolve buyrug‘ida o‘zgaruvchilardan keyin type=series (yoki oddiygina qator) parametrini ko‘rsating. Kengayish tartibini belgilash uchun, ya'ni. dekompozitsiyaning bajarilish darajasining tartibini dsolve buyrug'idan oldin Order:=n buyrug'i yordamida tartib ta'rifini kiriting.

Agar differensial tenglamaning umumiy yechimi darajali qatordagi kengayish ko'rinishida qidirilsa, topilgan kengayish darajalaridagi koeffitsientlar nolga teng funktsiyaning noma'lum qiymatlarini va uning hosilalarini va hokazolarni o'z ichiga oladi. Chiqish chizig'ida olingan ifoda kerakli eritmaning Maklaurin kengayishiga o'xshash shaklga ega bo'ladi, lekin quvvatlarda turli koeffitsientlar bilan. Muayyan yechimni ajratib olish uchun dastlabki shartlarni va hokazolarni o'rnatish kerak va bu boshlang'ich shartlar soni mos keladigan differensial tenglamaning tartibiga to'g'ri kelishi kerak.

Kuchli qatordagi kengaytma qator tipda bo‘ladi, shuning uchun bu qator bilan keyingi ishlash uchun uni convert(%,polynom) buyrug‘i yordamida ko‘phadga aylantirish kerak, so‘ngra hosil bo‘lgan ifodaning o‘ng tomonini tanlash kerak. rhs (%) buyrug'i.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, ( [elektron pochta himoyalangan]@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),seriya);

Eslatma: differensial tenglamaning ketma-ket shaklidagi yechim turi ketma-ketdir, shuning uchun bunday yechimdan keyingi foydalanish (hisoblash yoki chizma) uchun uni aylantirish buyrug'i yordamida polinomga aylantirish kerak.

differensial tenglama soni darajasi

> konvertatsiya qilish(%,polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, qalinligi=2, rang=qora):

> p2:=syujet(y2, x=-3..3, chiziq uslubi=3, qalinligi=2, rang=qora):

> with(plots): display(p1,p2);

2-rasm shuni ko'rsatadiki, aniq echimning quvvat seriyasi bo'yicha eng yaxshi yaqinlashishi taxminan intervalda erishiladi.

2-rasm

XULOSA

Kurs ishida belgilangan maqsadlarga to'liq erishildi, quyidagi vazifalar hal qilindi:

Seriya va differensial tenglamalar bilan bog'liq asosiy tushunchalar aniqlanadi.

Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usuli ko'rib chiqiladi.

Ushbu mavzu bo'yicha muammolar hal qilindi.

Ushbu kurs ishida o‘quv materiali o‘rganilib, talabalar tomonidan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usulini mustaqil o‘rganish jarayonida qo‘llash uchun tizimlashtirilgan. Seriya va differensial tenglamalar tushunchalari ko'rib chiqiladi. Taxminiy hisob-kitoblar seriyalar yordamida amalga oshiriladi.

Ishdan texnik va matematika mutaxassisliklari talabalari uchun o'quv qo'llanma sifatida foydalanish mumkin.

Ish natijalari keyingi tadqiqotlar uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI

1 Tricomi F. Differensial tenglamalar. Ingliz tilidan tarjima. - M.: Bookinist, 2003. - 352 b.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. Matematik fizikaning taxminiy usullari: Universitetlar uchun darslik. - M.: MSTU im. nashriyoti. N. E. Bauman, 2001. - 700 b.

Budak BM Fomin SV Ko'p integrallar va qatorlar. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 b.

Demidovich B.P. Masalalar va mashqlar to'plami matematik tahlil. - M .: Moskva nashriyoti. CheRo universiteti, 2000 yil. - 624 b.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. va boshqalar. Barcha oliy matematika: darslik. T. 3. - M.: URSS tahririyati, 2005. - 240 b.

Yablonskiy A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. va boshqalar Oliy matematika: Umumiy kurs: Darslik. - M .: Yuqori. maktab., 2000.- 351 b.

Malaxov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Oliy matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 b.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Oliy matematika. 2-qism. Matematik analiz asoslari va differentsial tenglamalar elementlari. - M .: Amalfeya, 2003. - 352 b.

Agafonov S. A., nemis A. D., Muratova T. V. Differensial tenglamalar. - M.: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2004. - 352 b.

Koddington E. A., Levinson N. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasi. - M .: Amalfeya, 2001. - 475 b.

Fixtengol's G. M. Differensial va integral hisoblash kursi. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 b.