Bu usul taxminiy usullar sinfining vakili hisoblanadi

Usulning g'oyasi juda oddiy va protseduraga tushadi

integral tenglamani yechish uchun taxminlar

asl differensial tenglama berilgan.

Koshi muammosi belgilansin

Biz yozma tenglamani integrallaymiz

. (5.2)

Pikard usulini ketma-ket yaqinlashtirish tartibi quyidagi sxema bo'yicha amalga oshiriladi

, (5.3)

Misol . Pikard tenglamasini yeching

Bu tenglamaning yechimi elementar funksiyalar bilan ifodalanmaydi.

Ko'rinib turibdiki, uchun seriyalar tez birlashadi. Agar integrallarni analitik tarzda olish mumkin bo'lsa, usul qulay.

Pikard usulining yaqinlashuvini isbotlaylik. Bir oz cheklangan bo'lsin

mintaqa, o'ng tomoni uzluksiz va qo'shimcha ravishda, o'zgaruvchiga nisbatan Lipschitz shartini qondiradi, ya'ni.

qayerda bir necha doimiy.

Mintaqaning chegaralanganligi, tengsizliklar tufayli

Biz (5.2) formulani (5.3) dan chiqaramiz, o'ng va chap modullar uchun olamiz

Nihoyat, Lipschitz uzluksizligi shartidan foydalanib, biz olamiz

, (5.4)

taxminiy yechimning xatosi qayerda.

(5.4) at formulasini ketma-ket qo'llash shuni hisobga olgan holda quyidagi munosabatlar zanjirini beradi

Chunki , keyin bizda bor

Stirling formulasi bilan almashtirib, biz nihoyat taxminiy yechimning xatosi uchun taxminni olamiz.

. (5.5)

(5.4) dan kelib chiqadiki, xato moduli uchun, ya'ni.

taxminiy yechim aniqga bir xilda yaqinlashadi.

5.2.2. Runge-Kutta usullari

Bu usullar raqamli hisoblanadi.

Amaliyotda Runge-Kutta usullari qo'llaniladi, ular keyingi bosqichlarni ta'minlaydi.

turli darajadagi aniqlikdagi to'dali farq sxemalari (usullari). Ko'pchilik

ikkinchi va to'rtinchi tartiblarning umumiy sxemalari (usullari). Biz va ular

quyida ko'rib chiqing.

Keling, avval ba'zi tushunchalar va ta'riflar bilan tanishaylik. to'r ustida

segment - bu segmentning belgilangan nuqtalari to'plami.

Ushbu nuqtalarda aniqlangan funktsiya to'r funktsiyasi deb ataladi.

Nuqtalarning koordinatalari shartlarni qondiradi

Nuqtalar to'rning tugunlaridir. Yagona panjara nuqtalar to'plamidir

, ,

panjara oralig'i qayerda.

Qaror qabul qilganda differensial tenglamalar taxminiy usul yaqinlashuvning asosiy savolidir. Farq usullariga nisbatan konvergentsiya tushunchasi an'anaviy ravishda keng tarqalgan. Grid funktsiyasining qiymatlarini differensial tenglamaning (5.1) tugunidagi aniq yechimining qiymatlari sifatida belgilaymiz - (ular taxminiy qiymatlar). Konvergentsiya quyidagilarni anglatadi. Biz nuqtani tuzatamiz va shunday qilib panjaralar to'plamini quramiz (bu erda). Shunda sonli usul if nuqtada yaqinlashadi deb hisoblanadi

da ,. Usul har bir nuqtada yaqinlashsa, segmentga yaqinlashadi. Agar shunday raqam topilsa, usul aniqlik darajasining th darajasiga ega deyiladi da.

Dastlabki tenglama yechimida berilgan differensial tenglama o‘rnini bosuvchi ayirma tenglamasining qoldiq yoki yaqinlashish xatosi tushunchasini qo‘shimcha kiritamiz, ya’ni. mos kelmaslik (5.1) tenglamaning aniq yechimini ayirma tenglamasiga almashtirish natijasidir. Masalan, (5.1) quyidagi oddiy ayirma tenglamasi bilan almashtirilishi mumkin

, .

Keyin nomuvofiqlik quyidagi ifoda bilan aniqlanadi

Taxminiy yechim odatda bilan mos kelmaydi, shuning uchun th nuqtadagi nomuvofiqlik nolga teng emas. Quyidagi ta'rif kiritiladi: raqamli usul agar bo'lsa, dastlabki differensial tenglamaga yaqinlashadi va agar bo'lsa, aniqlikning th tartibiga ega. .

Differensial tenglamani yechishning raqamli usulining aniqlik tartibi juda umumiy farazlar ostida yaqinlashish tartibi bilan mos kelishi isbotlangan.

Endi Runge-Kutta sxemalarini tahlil qilishga o'tamiz. Keling, avvaliga murojaat qilaylik

ikkinchi darajali aniqlik sxemalari.

Teylor formulasidan foydalanib, differensial tenglamani yechish

(5.1) sifatida ifodalanishi mumkin

, (5.6)

ko'rsatilgan joyda, ,.

E'tibor bering, (5.1) ga muvofiq ,.

hosilasi quyidagicha

noma'lum miqdorlar qayerda. Bo'lsin

Eritmaning taxminiy qiymatini tugundagi raqam bilan belgilaymiz (aynan shu yechim ketma-ketlikni ikkinchidan yuqori bo'lmagan tartibli shartlar bilan cheklaganimizdan keyin olinadi).

Bu erda kiritilgan parametrlar aniqlanishi kerak.

Teylor seriyasida o'ng tomonni kengaytirib, o'xshash shartlarni keltirsak, biz olamiz

ketma-ket

Parametrlarni tanlash sharti va biz ifodaning yaqinligini o'rnatamiz

(5.7) qatorga (5.6) munosabati, keyin

, ,.

Bitta parametr bepul qoladi. Shunday bo'lsin

, ,

va nihoyat (5.7) dan va uchun topilgan munosabatlarni hisobga olgan holda

Munosabatlar (5.8) ikki muddatli Runge-Kutta formulalarining bir parametrli oilasini tavsiflaydi.

Maxsus adabiyotlarda isbotlanganki, agar uzluksiz va uning ikkinchi hosilalari bilan chegaralangan bo‘lsa, (5.8) sxemaning taxminiy yechimi xato bilan bir xilda aniq yechimga yaqinlashadi. , ya'ni. sxema (5.8) ikkinchi aniqlik tartibiga ega.

Hisoblash amaliyotida parametr qiymatlari uchun formulalar (5.8) qo'llaniladi.

(5.8) dan xulosa chiqaramiz

(5.9) formulani qo'llash quyidagi bosqichlar ketma-ketligiga qisqartiriladi:

1. Funksiya qiymati taxminan hisoblab chiqiladi (siniq chiziq sxemasi bo'yicha)

2. Integral egri chiziqning () nuqtadagi qiyaligi aniqlanadi

3. Funktsiyaning qadamdagi hosilasining o'rtacha qiymati topiladi

4. Funksiyaning qiymati ()-chi tugunda hisoblanadi

Ushbu sxemada "prediktor-tuzatuvchi" maxsus nom mavjud.

(5.8) ga binoan biz olamiz

Muammo quyidagi bosqichlar orqali hal qilinadi:

1. Yarim tugundagi funksiyaning qiymati hisoblanadi

2. Tugundagi hosilaning qiymati aniqlanadi

3. Funksiyaning qiymati ()-chi tugunda topiladi

Hisoblash amaliyotida yuqorida ko'rib chiqilgan ikki muddatli sxemalardan tashqari Runge-Kutta sxemalari keng qo'llaniladi. to'rtinchi tartib aniqlik. Tegishli formulalar hosilasiz quyida keltirilgan.

(5.10)

Ko'p sonli a'zolar bo'lgan sxemalar amalda qo'llanilmaydi. besh -

a'zo formulalar aniqlikning to'rtinchi tartibini ta'minlaydi, olti muddatli formulalar oltinchi tartibga ega, ammo ularning shakli juda murakkab.

Yuqoridagi Runge-Kutta sxemalarining xatolari maksimal bilan aniqlanadi

tegishli hosilalarning qiymatlari.

Huquqning alohida ishi uchun xatolarning taxminiy bahosini olish oson

differensial tenglamaning qismlari

Bunda tenglamaning yechimini kvadraturaga keltirish mumkin va

barcha farqli yechim sxemalari raqamli integratsiya uchun formulalarga aylantiriladi

aylanma. Masalan, (5.9) sxema shaklni oladi

ya'ni trapetsiya formulasi ko'rinishiga ega va sxema (5.10) sxemaga o'tadi.

bu Simpsonning qadam bilan formulasi.

Trapezoid va Simpson formulalari uchun katta xatoliklarni baholash ma'lum (3.2-bo'limga qarang). (3.4) va (3.5) dan Runge-Kutta sxemalarining aniqligi ancha yuqori ekanligini ko'rish mumkin.

Muayyan muammoni hal qilish uchun yuqoridagi sxemalardan birini yoki boshqasini tanlash

dacha quyidagi fikrlar bilan belgilanadi. Agar funktsiya ichida

tenglamaning o'ng tomoni uzluksiz va chegaralangan, shuningdek uzluksiz va

uning to'rtinchi hosilalari cheklangan, keyin eng yaxshi natijaga erishiladi

sxemasidan foydalanganda (5.10). Funktsiya qachon bo'lsa

yuqoridagi hosilalarga ega emas, cheklovchi (to'rtinchi) tartib

(5.10) sxemaga erishib bo'lmaydi va bu maqsadga muvofiq bo'lib chiqadi

oddiy sxemalardan foydalanish.

Runge-Kutta sxemalariga qo'shimcha ravishda, ko'p bosqichli usullar amaliy qiziqish uyg'otadi, ularni quyidagi tenglamalar tizimi bilan tavsiflash mumkin.

qayerda , a - raqamli koeffitsientlar, ,.

Ushbu tenglamaga ko'ra, hisoblash bilan boshlanadi. Bu holda biz shaklning munosabatini olamiz

bular. hisoblashni boshlash uchun siz boshlang'ich qiymatlarga ega bo'lishingiz kerak. Ushbu qiymatlarni boshqa usul bilan hisoblash kerak, masalan, Runge-Kutta usuli.

Ko'p bosqichli usullar orasida Adams usuli eng keng tarqalgan bo'lib, uni amalga oshirish sxemasi (5.11) dan kelib chiqadi. va uchun :

uchun , Adams usuli aniq bo'lib chiqadi, for , esa yashirin bo'ladi.

1
18.01.2018

Muammoni shakllantirish
Differensial
tenglamalar
mustaqil o'rtasidagi aloqalarni o'rnatish
o'zgaruvchilar, kerakli funktsiyalar va ularning
hosilalari. Agar kerakli funktsiya bo'lsa
demak, bitta o'zgaruvchiga bog'liq
differensial tenglama deyiladi
oddiy.

Muammoni shakllantirish
Masalan, elastik muhit uchun muvozanat sharti
oddiy differensial bilan tavsiflanadi
tenglama:
dTx
fx 0
dx
Tx - mexanik komponent
kuchlanishlar, F - ta'sir qiladi
boshiga doimiy o'rta kuch
massa birligi
Bu erda kerakli funktsiya (mexanik
kuchlanish) T(x) bitta o'zgaruvchiga bog'liq
x (koordinata).

Muammoni shakllantirish

Agar kerakli funktsiyaga bog'liq bo'lsa
ko'p o'zgaruvchilar, differentsial tenglama
qisman differentsial tenglama bo'ladi.
Masalan, elastik muhitning harakatini tasvirlash mumkin
qisman differentsial tenglama:
2u x Tx
2
t
x
ux - muhitning siljishi, r - zichlik
o'rtacha, Tx - stress komponenti
Bu tenglamada u(t,x) funksiya vaqtga bog'liq
(t) va o'rtacha siljish yo'nalishi (x).

Muammoni shakllantirish
Oddiy differensial tenglamalar
(ODE) bir yoki o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi
y = y(x) funksiyasining bir nechta hosilalari:
F (x, y, y,..., y(n)) 0 ,
bu erda x mustaqil o'zgaruvchidir.
Tenglamadagi n ning eng yuqori tartibi
hosila differensialning tartibi deb ataladi
tenglamalar.
Misol uchun:
F (x, y, y ") 0 birinchi tartibli tenglama;
F (x, y, y " , y") 0 ikkinchi tartibli tenglama

Muammoni shakllantirish
Differensial tenglamaning umumiy yozuvidan
hosila aniq ifodalanishi mumkin:
y "f(x, y),
y" f(x, y, y")
Hosil tenglama cheksizga ega
ko'p echimlar. Yagona olish uchun
yechimlarni qo'shimcha belgilash kerak
istalgan tomonidan qondirilishi kerak bo'lgan shartlar
yechimlar.

Muammoni shakllantirish
Shartlar turiga qarab
isbotlangan uchta turdagi muammolarni ko'rib chiqing
yechimlarning mavjudligi va o'ziga xosligi.
Birinchi tur - boshlang'ich bilan bog'liq muammolar
sharoitlar.
Uchun
shunday
vazifalar
bundan mustasno
original
x0 nuqtadagi differensial tenglama
dastlabki shartlar ko'rsatilishi kerak, ya'ni.
y (x) funksiyaning qiymatlari va uning hosilalari: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Muammoni shakllantirish
Ikkinchi turdagi vazifalar shunday deb ataladi
chegara yoki chekka, unda
shaklda qo'shimcha shartlar keltirilgan
funktsional
nisbatlar
orasida
kerakli yechimlar.
Oddiy uchun uchinchi turdagi vazifalar
differensial tenglamalar masalalari
o'z qadriyatlari.

Muammoni shakllantirish
Keling, Koshi muammosini tuzamiz.
Oddiy differentsialning yechimini toping
birinchi tartibli tenglama (ODE), yechilgan
hosilaga nisbatan
y "f(x, y),
qoniqarli dastlabki holat
y (x0) y0

10.

Muammoni shakllantirish
Bunday segmentda topish kerak
uzluksiz funksiya
y = y (x), qaysi
differensial tenglamani qanoatlantiradi
y " f (x, y) va boshlang'ich sharti y (x0) y0
bular.
topmoq
yechim
differensial
tenglamalar. Bunday yechimni topish deyiladi
Koshi muammosining yechimi. Buning raqamli yechimi
vazifa taxminiy jadvalni tuzishdir
nuqtalardagi y(x) tenglama yechimining y1,y2,...,yn qiymatlari
x1,x2,...,xn qandaydir qadam bilan h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Oddiy
differensial tenglamalar
Shaxsiy tenglamalar
hosilalari
z z
dy
0
2(y3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=ydx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Birinchi tartibli tenglamalar
dy
2(y3)
dx
Ikkinchi tartibli tenglamalar
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=ydx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y'=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Misol 1. Differensial tenglama uchun
dy
2x
dx
x0 = 1 da y0 = 2
umumiy yechim: y = x2 +
FROM
2 \u003d 1 + C, ya'ni C \u003d 1
M0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Lipschitz holati
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Differensialni taxminiy yechish usullari
tenglamalar
Analitik usullar
Raqamli usullar
Ketma-ket usul
yaqinlashish - usul
Pikard
Eyler usuli va
modifikatsiyalar
Integratsiya usuli
differensial
tenglamalar yordamida
quvvat seriyasi
Runge-Kutta usuli
ekstrapolyatsiya usuli
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Differensial tenglamani yeching
y′=f(x, y) sonli usulda –
bu ma'lum bir narsani anglatadi
argumentlar ketma-ketligi
x0, x1,…, xn va y0 raqamlari,
y=F(x) funksiyasini aniqlamay turib,
y1, y2, …, yn kabi qiymatlarni toping,
ya’ni yi=F(xi) va F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Differensial tenglama bo'lsin
birinchi buyurtma
y'= f (x, y)
dastlabki holat bilan
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
integratsiya bosqichi
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
ya'ni
yk 1 yk
xk 1
f (x, y) dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x, y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y "k h
yk 1 yk y "k h
Belgilamoq
yk 1 yk yk
yk h y "k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Usul xatosi
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
qayerda
f (x1 , y1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018

24.

1-misol. y'=y-x ni boshlovchi bilan yeching
shart x0=0, y0=1,5 segmentda, h=0,25
Yechim
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi'=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Eyler usuli
X, y, h, b kiriting
Chiqish x, y
y: y hf x, y
x:x h
+
xb
tamom
18.01.2018

26.

Yaxshilangan Eyler usuli
yn+1 = yn + h/2
Teylor qatoridagi funksiyani kengaytirishga qaytaylik
saqlash orqali hisoblashning aniqligini oshirishga erishish mumkin
h2 bo'lgan element. y (t0) ni chekli farq bilan taxmin qilish mumkin:
Ushbu ifodani hisobga olgan holda, Teylor qatoridagi funksiyaning kengayishi shaklni oladi
xato h3 tartibida
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Vazifa. Differensial bo'lsin
birinchi tartibli tenglama
y'= f(x, y)
dastlabki holat bilan
x=x0, y(x0)=y0
Segmentdagi tenglamaning yechimini toping
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x, y)
2
2
h
k2
k3 hf (x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Rn(h5) usuli xatosi
18.01.2018

33.

Misol 1. Differensialni yeching
y'= y-x tenglama boshlang'ich bilan
usul bilan x0=0, y(x0)=y0=1,5 shart
Runge Kutta. 0,01 aniqlik bilan hisoblang.
Yechim
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1,50000+0,3920=1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Tizimlarni yechish uchun Runge-Kutta usuli
differensial tenglamalar
,
y "f (x, y, z)
z
"
g
x
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, qayerda
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi , yi
,zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi , yi
,zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi , yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Ketma-ket yaqinlashish usuli
43
18.01.2018

44.

Birinchi yondashuv:
Ikkinchi taxmin:
Uchinchi taxmin:
…
n-ga yaqinlik:
44
18.01.2018

45.

Teorema. (x0; y0) nuqtaga yaqin bo'lsin.
f(x, y) funksiya uzluksiz va ega
cheklangan qisman hosila f'y (x, y).
Keyin o'z ichiga olgan ba'zi intervalda
nuqta x0, ketma-ketlik ( yi(x))
y(x) funksiyaga yaqinlashadi
differensialning yechimi
tenglamalar y' = f(x, y) va
y(x0) = y0 shartni qondirish
45
18.01.2018

46.

47. Ketma-ket yaqinlashishlarning Pikard usuli

n-tartibli differentsial tenglama
Birinchisining differentsial tenglamasini ko'rib chiqing
buyurtma
y' = f(x, y)
(1)
dastlabki shartlar bilan
y(x0) = y0
(2).
Taxminlarga ko'ra, punktning ba'zi mahallalarida
M0(x0, y0) tenglama (1) teorema shartlarini qanoatlantiradi
yechimning mavjudligi va o'ziga xosligi.

48.

Qiymatlar uchun y = y(x) kerakli yechimni quramiz
x x0.
X x0 holati shunga o'xshash.
(1) tenglamaning o'ng va chap tomonlarini integrallash
x0 dan x gacha, biz olamiz
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
yoki boshlang'ich shart (2) tufayli biz ega bo'lamiz
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Istalgan funksiya y = y(x) ostida bo'lgani uchun
integral belgisi, u holda (3) tenglama bo'ladi
integral.
Shubhasiz, (3) integral tenglamaning yechimi
(1) differensial tenglamani qanoatlantiradi va
dastlabki holat (2).
Ushbu yechimni topish uchun biz usuldan foydalanamiz
ketma-ket taxminlar.
Tenglikda (3) noma'lum funktsiyani y o'rniga qo'yish
y0 ning berilgan qiymati, biz birinchi taxminiylikni olamiz
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Bundan tashqari, noma'lum o'rniga (3) tenglikda almashtirish
funktsiya y y1 funktsiyasini topdik, biz ikkinchisiga ega bo'lamiz
yaqinlashish
x
y2 y0 f(x, y1)dx
va hokazo.
x0
Barcha keyingi taxminlar formulaga muvofiq tuzilgan
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Geometrik jihatdan
ketma-ket
yaqinlashish
egri chiziqlar yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
M0(x0, y0) umumiy nuqtadan o'tish.

51.

y
0
x0
x x+h
x
Izoh.
Da
usuli
ketma-ket
kabi taxminlar dastlabki yaqinlashish y0,
ga etarlicha yaqin bo'lgan istalgan funksiyani tanlash mumkin
aniq yechim y.
Masalan, ba'zan y0 sifatida qabul qilish foydalidir
kerakli yechimning Teylor seriyasining yakuniy segmenti.

52.

Eslatma
nima
da
foydalanish
usuli
ketma-ket yaqinlashuvlar, huquqning analitikligi
differensial tenglamaning bir qismi ixtiyoriy,
Shuning uchun, bu usul bo'lgan hollarda foydalanish mumkin
qachon
parchalanish
yechimlar
differensial
ichida tenglamalar quvvat seriyasi imkonsiz.
Misol 1. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan
differensialning taxminiy yechimini toping
tenglamalar
y' = x - y,
y(0) = 1 boshlang‘ich shartni qondirish.

53.

Yechim. Sifatida
y0(x) = 1 ni oling
boshlang'ich
yaqinlashish
x
y 1 (x y)dx
0
keyin bizda bo'ladi
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Xuddi shunday
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Xuddi shu tarzda biz olamiz
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
va hokazo.

55. Differensial tenglamalar tizimi (Pikard usuli)

Differensial tenglamalar sistemasi berilgan
dy
f(x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
qayerda
(4) vektor tenglamani integralga yozish
shaklga ega bo'lamiz

56.

x
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
vektor funksiyaning integrali ostida
tushunilgan vektor
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

ketma-ket taxminlar
formula bilan aniqlanadi
x
y
(p)
y 0 f (x, y
(p1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Bundan tashqari, bu odatda taxmin qilinadi
y(0)y
Bu usul differensial uchun ham javob beradi
n-tartibli tenglama, agar u shaklda yozilsa
tizimlari.

58.

2-misol. Bir nechta ketma-ket tuzing
tizimni yechish uchun taxminlar
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
dastlabki shartlarni qondirish
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Yechim. Bizda ... bor:
x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Demak, taxmin qilish
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
olamiz
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x2
x 3
x4x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
va hokazo.

61.

Hisob-kitoblarning oxiri
n 1
h
| y yn | NM
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Biz birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani (ODE) ko'rib chiqamiz

dastlabki holat bilan

y(x 0) \u003d y 0, (2)

Bu erda f(x) - umumiy holatda ikkita o'zgaruvchining chiziqli bo'lmagan funksiyasi berilgan. Dastlabki masala yoki Koshi muammosi deb ataladigan berilgan (1)-(2) masala uchun uning yechimining [x 0 ,b] segmentida mavjudligi va yagonaligini taʼminlovchi talablar bajarilgan deb faraz qilamiz y=y( x).

(1) tenglamaning tashqi soddaligiga qaramay, uni analitik tarzda hal qiling, ya'ni. y=y(x, C) umumiy yechimni toping, shundan so‘ng undan o‘tuvchi y=y(x) integral egri chiziqni ajratib oling. berilgan nuqta(x 0 ; y 0) faqat bunday tenglamalarning ayrim maxsus turlari uchun mumkin. Shuning uchun, (1)-(2) ga tegishli integrallarni hisoblash masalasida bo'lgani kabi, uchta guruhga bo'linishi mumkin bo'lgan ODE uchun dastlabki muammolarni echishning taxminiy usullariga tayanish kerak:

1) taxminiy tahlil usullari;

2) grafik yoki kompyuter-grafik usullar;

3) sonli usullar.

Birinchi guruh usullariga y(x) yechimning yaqinlashuvini darhol qandaydir “yaxshi” funksiya ko‘rinishida topish imkonini beradigan usullar kiradi. φ (X). Masalan, taniqli quvvat seriyali usuli, uning amalga oshirilishidan biri Teylor qatorining segmenti tomonidan kerakli y(x) funksiyani ko'rsatishga asoslangan bo'lib, bu erda yuqori tartibli hosilalarni o'z ichiga olgan Teylor koeffitsientlari (1) tenglamaning o'zini ketma-ket differensiallash yo'li bilan topiladi. Ushbu usullar guruhining yana bir vakili ketma-ket yaqinlashish usuli bo'lib, uning mohiyati quyida keltirilgan.

Ism grafik usullar bu masalaning grafik talqini bilan bog'liq ma'lum qoidalarga muvofiq qurilishi mumkin bo'lgan grafik ko'rinishidagi interval bo'yicha kerakli yechim y (x) ning taxminiy tasviri haqida gapiradi. Ayrim turdagi tenglamalar uchun dastlabki masalalarni fizik yoki, ehtimol, elektr talqini taxminiy yechishning kompyuter-grafik usullari asosida yotadi. Berilganlarni jismoniy va texnik darajada amalga oshirish elektr jarayonlari, bu jarayonlarni tavsiflovchi differensial tenglamalar yechimlarining xatti-harakati osiloskop ekranida kuzatiladi. Tenglama parametrlarini o'zgartirish ixtisoslashtirilgan analog kompyuterlar (AKM) ning asosi bo'lgan echimlar xatti-harakatlarining adekvat o'zgarishiga olib keladi.

Va nihoyat, bugungi kunda eng muhimi, jadal rivojlanishi va inson faoliyatining barcha sohalariga kirib borishi bilan ajralib turadi, raqamli Kompyuter fanlari, differensial tenglamalarni echishning raqamli usullari bo'lib, ma'lum bir panjara bo'yicha kerakli y(x) yechimning y i taxminiy qiymatlarining raqamli jadvalini olishni o'z ichiga oladi.
x argumentining qiymatlari. Ushbu usullar keyingi muhokama mavzusi bo'ladi. Yechimning olingan raqamli qiymatlari bilan nima qilish kerakligi muammoning qo'llaniladigan formulasiga bog'liq. Agar biz faqat y(b) qiymatini topish haqida gapiradigan bo'lsak, u holda b nuqtasi xi hisoblangan nuqtalar tizimiga yakuniy nuqta sifatida kiritiladi va oxirgisidan tashqari barcha taxminiy qiymatlar yi ≈ y (xi) , faqat oraliq bo'lganlar sifatida ishtirok eting, ya'ni yodlash yoki qayta ishlashni talab qilmaydi. Agar har qanday x nuqtasida y(x) ning taxminiy yechimiga ega bo‘lishingiz kerak bo‘lsa, buning uchun y i qiymatlarining natijaviy sonli jadvaliga har qanday yaqinlashish usullarini qo‘llashingiz mumkin. jadval funktsiyalari, avvalroq muhokama qilingan, masalan, interpolyatsiya yoki spline interpolyatsiyasi. Yechim haqidagi raqamli ma'lumotlardan boshqa foydalanish ham mumkin.

Keling, (1)-(2) boshlang'ich muammoni echishning bitta taxminiy-analitik usuliga to'xtalib o'tamiz, bunda x 0 nuqtasining qandaydir o'ng qo'shnisida kerakli yechim y \u003d y (x) ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi. ma'lum bir tarzda olingan yn (x) funktsiyalari.

Biz (1) tenglamaning chap va o'ng qismlarini x 0 dan x gacha bo'lgan chegaralar ichida birlashtiramiz:

Demak, y"(x) ning antiderivativlaridan biri y(x) ekanligini hisobga olib, biz

yoki dastlabki shartdan (2) foydalangan holda,

(3)

Shunday qilib, (2) boshlang'ich shartli bu differentsial tenglama (1) integral tenglamaga aylantirildi (bu erda noma'lum funktsiya integral belgisi ostida kiradi).

Olingan integral tenglama (3) qo'zg'almas nuqtali masala ko'rinishiga ega operator uchun
Rasmiy ravishda bu muammoga oddiy takrorlash usuli qo'llanilishi mumkin

chiziqli va chiziqli bo'lmagan algebraik va transsendental tenglamalar tizimlariga nisbatan etarlicha batafsil ko'rib chiqiladi. (2) da ko'rsatilgan y 0 doimiysini y 0 (x) boshlang'ich funksiyasi sifatida qabul qilib, (4) formula bo'yicha n=0 da birinchi yaqinlikni topamiz.

Uning (4) da n=1 ga almashtirilishi ikkinchi yaqinlikni beradi

va hokazo. Shunday qilib, ketma-ket yaqinlashishlar usuli yoki Pikard usuli deb ataladigan bu taxminiy-analitik usul formula bilan aniqlanadi.

(5)

bu yerda n=0,1, 2,... va y 0 (x)=y 0 .

Pikardning ketma-ket yaqinlashish usulining ikkita xususiyatini qayd etamiz, ularni salbiy deb tasniflash mumkin. Birinchidan, antiderivativlarni samarali topish bilan bog'liq ma'lum muammolar tufayli (5) usul kamdan-kam hollarda uning sof shaklida qo'llaniladi. Ikkinchidan, yuqoridagi bayonotdan ko'rinib turibdiki, bu usul mahalliy deb hisoblanishi kerak, kichik o'ng mahallada yechimni yaqinlashtirish uchun mos keladi. boshlang'ich nuqtasi. Pikar metodi Koshi muammosi yechimining mavjudligi va o‘ziga xosligini isbotlash uchun uni amalda topishdan ko‘ra muhimroqdir.

Dars raqami 17. Eyler usullari.

Maqsad - oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishning Eyler usullari bilan talabalarni tanishtirish.

Bu ketma-ket yaqinlashish usulini umumlashtirish bo'lgan taxminiy yechim usulidir (V bob, 2-bandga qarang). Birinchi tartibli tenglama uchun Koshi muammosini ko'rib chiqing

Differensial tenglamani integrallash orqali biz bu masalani ekvivalent Volterra tipidagi integral tenglama bilan almashtiramiz.

Ushbu integral tenglamani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish, biz iterativ Picard jarayonini olamiz.

(taxminiy yechim aniqdan farqli ravishda y bilan belgilanadi). Ushbu jarayonning har bir iteratsiyasida integratsiya to'liq yoki IV bobda tasvirlangan sonli usullar bilan amalga oshiriladi.

Ba'zi bir chegaralangan sohada o'ng tomon uzluksiz va o'zgaruvchida va Lipschitz shartida qanoatlantiradi deb faraz qilib, usulning yaqinlashuvini isbotlaylik.

Mintaqaning chegaralanganligi uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi.(9) dan (8) ayirish va Lipschitz shartidan foydalanib, taxminiy yechim xatosini belgilaymiz.

Ushbu takrorlanish munosabatini yechish va biz ketma-ket topamiz

Bu xato taxminini nazarda tutadi

Ko'rinib turibdiki, uchun, ya'ni, taxminiy yechim butun mintaqada aniq yechimga bir xilda yaqinlashadi.

Misol. Yechimi elementar funksiyalar bilan ifodalanmagan (3) tenglama uchun Koshi masalasiga Pikar usulini qo‘llaymiz.

Bunday holda, kvadraturalar (9) aniq hisoblab chiqiladi va biz osonlik bilan olamiz

Ko'rinib turibdiki, For , bu yaqinlashuvlar tez birlashadi va yechimni yuqori aniqlik bilan hisoblash imkonini beradi,

Bu misol shuni ko'rsatadiki, agar (9) integrallarni elementar funksiyalar bo'yicha hisoblash mumkin bo'lsa, Pikard usulidan foydalanish foydalidir. Agar (7) tenglamaning o'ng tomoni murakkabroq bo'lsa, shuning uchun bu integrallarni sonli usullar bilan topish kerak bo'lsa, Picard usuli unchalik qulay bo'lmaydi.

Pikard usulini 2-bo'limda tasvirlangan usulda tenglamalar tizimlariga oson umumlashtirish mumkin.Ammo amalda tizimning tartibi qanchalik baland bo'lsa, (9) dagi integrallarni to'g'ri hisoblash imkoni shunchalik kam bo'ladi. bu holda usulning qo'llanilishi.

Boshqa ko'plab taxminiy usullar mavjud. Misol uchun, S. A. Chaplygin umumlashtirish bo'lgan usulni taklif qildi algebraik usul Nyuton differensial tenglamalar ishi haqida. Nyuton usulini umumlashtirishning yana bir usuli 1948-yilda L. V. Kantorovich tomonidan taklif qilingan.Ushbu usullarning ikkalasida ham, Pikar usulida ham takrorlash kvadraturalar yordamida amalga oshiriladi. Biroq, ulardagi kvadraturalar (9) ga qaraganda ancha murakkab shaklga ega va kamdan-kam hollarda olinadi elementar funktsiyalar. Shuning uchun bu usullar deyarli qo'llanilmaydi.

Pikard usuli Pikard Sharl Emil (1856-1941) fransuz matematigi.

Bu usul (1) differensial tenglamaning taxminiy yechimini analitik tarzda berilgan funksiya ko'rinishida olish imkonini beradi.

Mavjudlik teoremasi shartlariga ko'ra, boshlang'ich shart (2) bilan (1) tenglamaning yechimini topish talab qilinsin. Keling, (1) tenglamaning chap va o'ng qismlarini dan gacha bo'lgan chegaralarda integrallaylik:

(9) integral tenglamaning yechimi differensial tenglama (1) va dastlabki shart (2)ni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, da biz quyidagilarni olamiz:

Shu bilan birga, integral tenglama (9) ketma-ket yaqinlashish usulini qo'llash imkonini beradi. Biz (9) formulaning o'ng tomonini har qanday funktsiyani ((9) ga kiritilgan integral mavjud bo'lgan funktsiyalar sinfidan) xuddi shu sinfning boshqa funktsiyasiga moslashtiruvchi operator sifatida ko'rib chiqamiz:

Agar bu operator kontraktiv bo'lsa (bu Pikar teoremasi shartidan kelib chiqadi), u holda aniq yechimga yaqinlashuvchi yaqinlashishlar ketma-ketligini qurish mumkin. Sifatida dastlabki yaqinlik olinadi va birinchi yaqinlik topiladi

O'ng tomondagi integral faqat x o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi; bu integral topilgach, x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida yaqinlashishning analitik ifodasi olinadi. Keyinchalik, (9) tenglamaning o'ng tomonidagi y ni topilgan qiymat bilan almashtiramiz va ikkinchi taxminiylikni olamiz.

va hokazo. Umumiy holda, iterativ formula shaklga ega

(n=1, 2…) (10)

(10) formulaning siklik qo'llanilishi funksiyalar ketma-ketligini beradi

integral tenglama (9) yechimiga yaqinlashish (demak, differensial tenglama (1) boshlang'ich shartlari (2)). Bu ham shuni anglatadi k-chi a'zo ketma-ketlik (11) - (1) tenglamaning ma'lum bir boshqariladigan aniqlik darajasi bilan aniq yechimiga yaqinlashish.

E'tibor bering, ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanganda, differensial tenglamaning o'ng tomonining analitikligi shart emas, shuning uchun bu usulni darajali qatordagi differensial tenglamaning yechimini kengaytirish mumkin bo'lmagan hollarda ham qo'llash mumkin.

Picard xatosi

k-chi yaqinlik uchun xato bahosi formula bilan berilgan

bu yerda y(x) aniq yechim, (4) tengsizlikdan Lipshits doimiysi.

Amalda, Picard usuli juda kam qo'llaniladi. Buning sabablaridan biri shundaki, ketma-ket yaqinlashishlarni qurishda hisoblanishi kerak bo'lgan integrallar ko'pincha analitik tarzda topilmaydi va ulardan raqamli usullarni hisoblashda foydalanish yechimni shunchalik murakkablashtiradiki, dastlab boshqa usullarni bevosita qo'llash ancha qulayroq bo'ladi. raqamli.

Mapleda masalani yechishga misollar

№1 vazifa: Ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanib, qiymatni toping, bu erda differensial tenglamaning yechimi: boshlang'ich shartni qanoatlantirish, segment bo'yicha, qadam qo'yish (ikkinchi yaqinlashishgacha hisoblang).

Berilgan: - differensial tenglama

Dastlabki holat

Interval

Topmoq: ma'nosi

Yechim:

> y1:=simplify(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= soddalashtirish (1+int (x+soddalashtirish (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

x=0,5 dagi qiymatni toping:

Vazifa №2: Ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanib, differensial tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan taqribiy yechimini toping.

Berilgan: - differensial tenglama

Dastlabki holat

Topmoq: ma'nosi

Yechim:

Ushbu DE ning taxminiy yechimini bosqichli (o'zboshimchalik bilan tanlangan) segmentda topamiz.

Keling, bu holat uchun (10) shakl formulasini yozamiz.

> y1:=soddalashtirish(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=soddalashtirish (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Xuddi shunday, biz uchinchi taxminiylikni topamiz:

>y3:=soddalashtirish (1+int (x*soddalashtirish (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… x));

Keling, bu DE ning taxminiy yechimini topamiz, buning uchun uchinchi yaqinlashuvda x o'rniga, almashtiring va oling:

Olingan taxminiy natijani differentsial tenglamaning aniq yechimi bilan solishtiramiz:

Jadval natijalariga ko'ra, hisoblash xatosi juda kichik ekanligini ko'rish mumkin.