Maktabda matematika darslarida tenglamalarni yechish uchun qiynalayotgan ko'plab o'quvchilar ko'pincha vaqtlarini behuda sarflashlariga amin bo'lishadi va shu bilan birga, bunday mahorat nafaqat Dekart, Eyler izidan borishga qaror qilganlar uchun hayotda foydali bo'ladi. Lobachevskiy.

Amalda, masalan, tibbiyot yoki iqtisodda, ko'pincha mutaxassis ma'lum bir dorining faol moddasi kontsentratsiyasi bemorning qonida kerakli darajaga yetganini aniqlashi kerak bo'lgan holatlar mavjud yoki vaqtni hisoblash kerak. Muayyan biznesning daromadli bo'lishi uchun talab qilinadi.

Ko'pincha biz chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish haqida gapiramiz har xil turlari. Buni imkon qadar tezroq bajarish uchun, ayniqsa, kompyuterlardan foydalangan holda, raqamli usullar imkon beradi. Ular yaxshi o'rganilgan va ularning samaradorligini uzoq vaqtdan beri isbotlagan. Ular orasida ushbu maqola mavzusi bo'lgan Nyutonning tangens usuli mavjud.

Muammoni shakllantirish

Bunda (a, b) segmentda aniqlangan va uni qabul qiladigan g funksiya mavjud ma'lum qiymatlar, ya'ni (a, b) ga tegishli bo'lgan har bir x bog'lanishi mumkin aniq raqam g(x).

Funktsiya nolga o'rnatiladigan a va b nuqtalari (shu jumladan uchlari) orasidagi intervaldan tenglamaning barcha ildizlarini o'rnatish talab qilinadi. Shubhasiz, bu y = g(x) ning OX bilan kesishish nuqtalari bo'ladi.

Ba'zi hollarda g(x)=0 ni o'xshashi bilan almashtirish qulayroq, g 1 (x) = g 2 (x). Bunda g 1 (x) va g 2 (x) grafiklarning kesishish nuqtalarining abstsissalari (x qiymati) ildiz vazifasini bajaradi.

Nochiziqli tenglamaning yechimi optimallashtirish masalalari uchun ham muhim ahamiyatga ega mahalliy ekstremal- funksiya hosilasini 0 ga aylantirish. Boshqacha qilib aytganda, bunday masalani p(x) = 0 tenglamaning ildizlarini topishga keltirish mumkin, bunda p(x) g"(x) bilan bir xil.

Yechish usullari

Kvadrat yoki oddiy trigonometrik tenglamalar kabi nochiziqli tenglamalarning ayrim turlari uchun ildizlarni juda oddiy usullarda topish mumkin. Xususan, har bir talaba formulalarni biladi, ularning yordamida kvadrat trinomial nolga teng bo'lgan nuqtalar argumentining qiymatlarini osongina topishingiz mumkin.

Nochiziqli tenglamalarning ildizlarini olish usullari odatda analitik (to'g'ridan-to'g'ri) va iterativlarga bo'linadi. Birinchi holda, kerakli yechim formula shakliga ega bo'lib, uning yordamida ma'lum miqdordagi arifmetik operatsiyalarda siz kerakli ildizlarning qiymatini topishingiz mumkin. Shunga o'xshash usullar eksponensial, trigonometrik, logarifmik va oddiy uchun ishlab chiqilgan algebraik tenglamalar. Qolganlari uchun maxsus raqamli usullardan foydalanish kerak. Ularni kompyuterlar yordamida amalga oshirish oson, bu esa kerakli aniqlik bilan ildizlarni topish imkonini beradi.

Ular orasida tangenslarning son usuli deb ataladigan usul mavjud.Ikkinchini 17-asr oxirida buyuk olim Isaak Nyuton taklif qilgan. Keyingi asrlarda usul qayta-qayta takomillashtirildi.

Mahalliylashtirish

Analitik yechimga ega bo'lmagan murakkab tenglamalarni echishning raqamli usullari odatda 2 bosqichda amalga oshiriladi. Avval siz ularni mahalliylashtirishingiz kerak. Bu operatsiya yechishdagi tenglamaning bitta ildizi bo'lgan OXda shunday segmentlarni topishdan iborat.

Keling, bir segmentni ko'rib chiqaylik. Agar uning ustidagi g(x) uzilishlarga ega boʻlmasa va oxirgi nuqtalarda turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, a va b oʻrtasida yoki oʻzida g(x) = 0 tenglamaning kamida 1 ta ildizi boʻladi. yagona bo'lishi uchun g (x) ning monoton bo'lishi talab qilinadi. Ma’lumki, u g’(x) doimiy ishorali bo’lishi sharti bilan shunday xususiyatga ega bo’ladi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar g (x) uzilishlarga ega bo'lmasa va monoton ravishda ko'paysa yoki kamaysa va uning oxirgi nuqtalaridagi qiymatlari bir xil belgilarga ega bo'lmasa, u holda 1 va faqat 1 ildiz g (x) mavjud.

Bunday holda, bu mezon ko'p bo'lgan tenglamalarning ildizlari uchun ishlamasligini bilishingiz kerak.

Tenglamani yarmiga bo'lish yo'li bilan yechish

Keyinchalik murakkab raqamli tangenslar va uning navlarini ko'rib chiqishdan oldin, eng ko'p tanishish kerak. oddiy tarzda ildizlarni aniqlash. U dixotomiya deb ataladi va agar g (x) uchun uzluksiz bo'lsa, har xil belgilar sharti qanoatlansa, ko'rib chiqilayotgan segmentda kamida 1 ildiz g () bo'ladi, degan teorema asosida ildizlarni intuitiv topishga ishora qiladi. x) = 0.

Uni topish uchun siz segmentni yarmiga bo'lishingiz va belgilashingiz kerak o'rta nuqta x 2 kabi. Keyin ikkita variant mumkin: g (x 0) * g (x 2) yoki g (x 2) * g (x 1) 0 ga teng yoki 0 dan kichik. Biz ushbu tengsizliklardan biri to'g'ri bo'lganini tanlaymiz. Uzunlik tenglamaning ildizini aniqlashning to'g'riligini aniqlaydigan ma'lum, oldindan tanlangan qiymatdan kamroq bo'lguncha yuqorida tavsiflangan protsedurani takrorlaymiz.

Usulning afzalliklari uning ishonchliligi va soddaligini o'z ichiga oladi, kamchiligi esa dastlab g (x) ni oladigan nuqtalarni aniqlash zarurati. turli belgilar, shuning uchun uni ko'p sonli ildizlar uchun ishlatib bo'lmaydi. Bundan tashqari, u tenglamalar tizimi holatiga yoki murakkab ildizlarga kelsak, umumlashtirmaydi.

1-misol

Biz g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 tenglamasini yechmoqchimiz. Uzoq vaqt davomida mos segmentni qidirmaslik uchun, masalan, taniqli Excel dasturidan foydalanib, grafik tuzamiz. . Biz ildizni lokalizatsiya qilish uchun segment sifatida intervaldan qiymatlarni olish yaxshiroq ekanligini ko'ramiz. Unda kerakli tenglamaning kamida bitta ildizi mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, ya'ni bu monoton ravishda ortib borayotgan funktsiya, shuning uchun tanlangan segmentda faqat 1 ta ildiz mavjud.

Oxirgi nuqtalarni tenglamaga almashtiring. Bizda mos ravishda 0 va 1 bor. Birinchi bosqichda yechim sifatida 0,5 nuqtani olamiz. Keyin g (0,5) = -0,4375. Shunday qilib, yarmiga bo'lish uchun keyingi segment bo'ladi. Uning o'rta nuqtasi 0,75. Unda funksiyaning qiymati 0,226 ga teng. Biz segmentni va uning 0,625 nuqtasida joylashgan o'rta nuqtasini hisobga olamiz. g(x) qiymatini 0,625 gacha hisoblang. Bu -0,11 ga teng, ya'ni salbiy. Ushbu natijaga asoslanib, biz segmentni tanlaymiz. Biz x = 0,6875 ni olamiz. Keyin g(x) = -0,00532. Agar eritmaning aniqligi 0,01 bo'lsa, unda biz kerakli natijani 0,6875 deb hisoblashimiz mumkin.

Nazariy asos

Nyuton tangens usuli yordamida ildizlarni topishning bu usuli juda tez yaqinlashishi tufayli mashhurdir.

Bu isbotlangan faktga asoslanadiki, agar x n f(x)=0 ildizga yaqinlik bo'lsa, f" C 1 bo'lsa, keyingi yaqinlashish f(x) ga teginish tenglamasi yo'q bo'lib ketadigan nuqtada bo'ladi. , ya'ni.

x = x n+1 o'rniga qo'ying va y ni nolga qo'ying.

Keyin tangens quyidagicha ko'rinadi:

2-misol

Keling, klassik Nyutonning tangens usulidan foydalanishga harakat qilaylik va analitik yo'l bilan topish qiyin yoki imkonsiz bo'lgan ba'zi bir chiziqli bo'lmagan tenglamaning echimini topamiz.

X 3 + 4x - 3 = 0 ning ildizlarini biroz aniqlik bilan ochish talab qilinsin, masalan, 0,001. Ma'lumki, toq darajali ko'phad ko'rinishidagi har qanday funktsiyaning grafigi OX o'qini kamida bir marta kesib o'tishi kerak, ya'ni ildizlarning mavjudligiga shubha qilish uchun hech qanday sabab yo'q.

Tangens usuli yordamida misolimizni echishdan oldin biz f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 nuqtani chizamiz. Buni, masalan, Excel elektron jadvalidan foydalanish juda oson. Olingan grafikdan ko'rinib turibdiki, u OX o'qi bilan kesishadi va y \u003d x 3 + 4x - 3 funktsiyasi monoton ravishda ortadi. X 3 + 4x - 3 = 0 tenglama yechimga ega va u yagona ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.

Algoritm

Har qanday tenglamalarni tangens usuli bilan yechish f "(x) ni hisoblashdan boshlanadi. Bizda:

Keyin ikkinchi hosila x * 6 ga o'xshaydi.

Ushbu ifodalardan foydalanib, tenglamaning ildizlarini tangens usuli yordamida aniqlash formulasini quyidagi shaklda yozishimiz mumkin:

Keyinchalik, dastlabki taxminiylikni tanlash, ya'ni iterativ jarayon uchun qaysi nuqtani boshlang'ich nuqtasi (rev. x 0) sifatida ko'rib chiqish kerakligini aniqlash talab qilinadi. Biz segmentning uchlarini ko'rib chiqamiz. Funksiya sharti va uning x 0 dagi 2- hosilasi rost bo'lgan narsa bizga mos keladi. Ko'rib turganingizdek, x 0 = 0 o'rniga qo'yilganda, u buzilgan, ammo x 0 = 1 juda mos keladi.

u holda e aniqlikdagi tangenslar usuli bilan yechish bizni qiziqtirsa, u holda x n ning qiymatini |f(x n) / f’(x n)|< e.

Tangenslarning birinchi bosqichida bizda:

• x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0,2857 \u003d 0,71429;
• shart bajarilmagani uchun biz oldinga boramiz;
• biz x 2 uchun yangi qiymatni olamiz, bu 0,674 ga teng;
• funktsiya qiymatining x 2 dagi hosilasiga nisbati 0,0063 dan kichik ekanligini ko'ramiz, jarayonni to'xtatamiz.

Excelda tangent usuli

Agar siz hisob-kitoblarni qo'lda (kalkulyatorda) qilmasangiz, lekin Microsoft-dan elektron jadval protsessorining imkoniyatlaridan foydalansangiz, oldingi misolni ancha oson va tezroq hal qilishingiz mumkin.

Buning uchun Excelda siz yaratishingiz kerak yangi sahifa va uning katakchalarini quyidagi formulalar bilan to'ldiring:

• C7 da biz "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3" deb yozamiz;
• D7 da biz "= 4 + 3 * DEGREE (B7; 2)" ni kiritamiz;
• E7 da biz "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)" deb yozamiz;
• D7 da biz "= B7 - E7" ifodasini kiritamiz;
• B8 da biz formula-shartni kiritamiz “= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Muayyan vazifada, allaqachon B10 katakchasida "Takrorlanishni yakunlash" yozuvi paydo bo'ladi va muammoni hal qilish uchun siz yuqoridagi bir qatorda joylashgan katakchada yozilgan raqamni olishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun siz u erda shartli formulani kiritish orqali alohida "cho'ziladigan" ustunni tanlashingiz mumkin, unga ko'ra, agar B ustunining u yoki bu kataklari tarkibi "Takrorlanishlarni yakunlash" shaklini olgan bo'lsa, natija u erda yoziladi.

Paskalda amalga oshirish

y = x 4 - 4 - 2 * x chiziqli bo'lmagan tenglamaning yechimini Paskalda tangens usuli yordamida olishga harakat qilaylik.

Biz f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta taxminiy hisoblashni amalga oshirishga yordam beradigan yordamchi funktsiyadan foydalanamiz. Iterativ jarayonni yakunlash sharti sifatida biz ni tanlaymiz. |x 0 -x 1 | tengsizlikning bajarilishi< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Dastur lotinni qo'lda hisoblashni talab qilmasligi bilan ajralib turadi.

akkord usuli

Nochiziqli tenglamalarning ildizlarini aniqlashning boshqa usulini ko'rib chiqing. Takrorlash jarayoni shundan iboratki, f(x)=0 uchun kerakli ildizga ketma-ket yaqinlashish sifatida akkordning OX bilan oxirgi a va b nuqtalarining abssissalari bilan kesishish nuqtalarining qiymatlari olinadi. , x 1 , ..., x n sifatida belgilanadi. Bizda ... bor:

Akkord OX o'qi bilan kesishgan nuqta uchun ifoda quyidagicha yoziladi:

Ikkinchi hosila x £ uchun musbat bo'lsin (agar f(x) = 0 ni yozsak, qarama-qarshi holat ko'rib chiqilayotgan holatga qisqartiriladi). Bunday holda, y \u003d f (x) grafigi pastki qismida joylashgan va akkord ostida joylashgan egri konveksdir. AB. 2 ta holat bo'lishi mumkin: a nuqtada funktsiya musbat yoki b nuqtada manfiy bo'lganda.

Birinchi holda, biz a uchini sobit deb tanlaymiz va x 0 uchun b nuqtasini olamiz. Keyin yuqorida keltirilgan formula bo'yicha ketma-ket yaqinlashishlar monoton ravishda kamayib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.

Ikkinchi holda, b uchi x 0 = a da o'rnatiladi. Har bir iteratsiya bosqichida olingan x qiymatlari monoton ravishda ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.

Shunday qilib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:

• akkordlar usulida fiksatsiyalangan segmentning funksiya belgilari va uning ikkinchi hosilasi mos kelmaydigan uchi;
• x - x m ildizi uchun taxminlar undan f (x) ning f "" (x) belgisiga to'g'ri kelmaydigan belgiga ega bo'lgan tomonida yotadi.

Takrorlashlar shu va oldingi iteratsiya bosqichi moduli abs(x m - x m - 1) da ildizlarning yaqinlik shartlari qondirilguncha davom ettirilishi mumkin.< e.

O'zgartirilgan usul

Akkordlar va tangenslarning kombinatsiyalangan usuli tenglamaning ildizlarini o'rnatishga imkon beradi, ularga turli tomonlardan yaqinlashadi. f(x) grafigi OX ni kesib o'tadigan bunday qiymat har bir usullarni alohida qo'llashdan ko'ra, yechimni ancha tezroq aniqlashtirish imkonini beradi.

Deylik, f(x)=0 ildizlarni topishimiz kerak, agar ular da mavjud bo'lsa. Yuqorida tavsiflangan har qanday usullardan foydalanishingiz mumkin. Biroq, ularning kombinatsiyasini sinash yaxshiroqdir, bu esa ildizning aniqligini sezilarli darajada oshiradi.

Biz ishni birinchi va ikkinchi hosilalarning ma'lum bir x nuqtasida turli xil belgilarga ega bo'lish shartiga mos keladigan dastlabki yaqinlashish bilan ko'rib chiqamiz.

Bunday sharoitda nochiziqli tenglamalarni tangens usulida yechish, agar x 0 =b bo'lsa, ortiqcha bo'lgan ildizni topishga imkon beradi va qo'zg'almas uchida b akkordlardan foydalanish usuli kamchilikka ega bo'lgan taxminiy ildizni topishga olib keladi.

Ishlatilgan formulalar:

Endi oraliqda kerakli ildiz x ni izlash kerak. Keyingi bosqichda siz ushbu segmentga birlashtirilgan usulni qo'llashingiz kerak. Shunday qilib, biz quyidagi shakl formulalarini olamiz:

Agar birinchi va ikkinchi hosilalar o'rtasida belgi farqi bo'lsa, unda shunga o'xshash tarzda bahslashtirib, ildizni aniqlashtirish uchun biz quyidagi rekursiv formulalarni olamiz:

Shart sifatida hisoblangan tengsizlik | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Agar yuqoridagi tengsizlik rost boʻlsa, unda chiziqli boʻlmagan tenglamaning maʼlum oraliqdagi ildizi maʼlum bir iterativ bosqichda topilgan yechimlar orasida aynan oʻrtada joylashgan nuqta sifatida qabul qilinadi.

Kombinatsiyalangan usul TURBO PASCAL muhitida osonlik bilan amalga oshiriladi. Kuchli istak bilan siz Excel dasturida jadval usulidan foydalangan holda barcha hisob-kitoblarni bajarishga harakat qilishingiz mumkin.

Ikkinchi holda, muammoni akkordlar yordamida hal qilish uchun va Isaak Nyuton tomonidan taklif qilingan usul uchun alohida-alohida bir nechta ustunlar tanlanadi.

Bunday holda, har bir satr ikkita usul uchun ma'lum bir iterativ bosqichda hisob-kitoblarni yozish uchun ishlatiladi. Keyin, yechim maydonining chap qismida, faol ish sahifasida, har bir usul uchun keyingi iteratsiya bosqichining qiymatlaridagi farq modulini hisoblash natijasi kiritilgan ustun ajratiladi. Yana bir shart bajarilgan yoki bajarilmaganligini aniqlash uchun foydalaniladigan "IF" mantiqiy konstruktsiyasining hisoblash formulasi bo'yicha hisoblar natijalarini kiritish uchun ishlatilishi mumkin.

Endi siz murakkab tenglamalarni qanday echishni bilasiz. Tangens usuli, siz allaqachon ko'rganingizdek, Paskalda ham, Excelda ham juda sodda tarzda amalga oshiriladi. Shuning uchun, formulalar yordamida yechish qiyin yoki imkonsiz bo'lgan tenglamaning ildizlarini har doim o'rnatishingiz mumkin.

Hamma odamlar tabiatan bilimga intiladilar. (Aristotel. Metafizika)

Raqamli usullar: Nochiziqli tenglamalarni yechish

Tenglamalarni yechish muammolari amaliyotda doimo yuzaga keladi, masalan, iqtisodda, biznesni rivojlantirishda, foyda qachon ma'lum bir qiymatga yetganini bilishni xohlaysiz, tibbiyotda, dorilarning ta'sirini o'rganayotganda, konsentratsiyani qachon bilish muhimdir. moddaning ma'lum darajaga yetishi va hokazo.

Optimallashtirish masalalarida ko'pincha funktsiya hosilasi 0 ga aylanadigan nuqtalarni aniqlash kerak, bu zaruriy shartdir. mahalliy ekstremum.

Statistikada, eng kichik kvadratlar usuli yoki maksimal ehtimollik usuli yordamida hisob-kitoblarni tuzishda, shuningdek, chiziqli bo'lmagan tenglamalar va tenglamalar tizimini echishga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, echimlarni topish bilan bog'liq muammolarning butun sinfi mavjud chiziqli bo'lmagan tenglamalar, masalan, tenglamalar yoki tenglamalar va boshqalar.

Eng oddiy holatda bizda segmentda aniqlangan funksiya mavjud ( a, b) va ma'lum qiymatlarni olish.

Har bir qiymat x bu segmentdan biz raqamga mos kelishimiz mumkin , bu funktsional qaramlik, matematikaning asosiy tushunchasi.

Biz shunday qiymatni topishimiz kerakki, unda bundaylar funktsiyaning ildizlari deb ataladi

Vizual ravishda biz funktsiya grafigining kesishish nuqtasini aniqlashimiz kerakabscissa o'qi bilan.

Bisektsiya usuli

Tenglamaning ildizlarini topishning eng oddiy usuli ikkiga bo'linish usuli yoki dixotomiya.

Bu usul intuitivdir va muammoni hal qilishda hamma shunga o'xshash tarzda harakat qiladi.

Algoritm quyidagicha.

Aytaylik, biz ikkita nuqtani topdik va shunga o'xshash va bor har xil belgilar, keyin bu nuqtalar orasida funktsiyaning kamida bitta ildizi mavjud.

Segmentni yarmiga bo'ling va kiriting o'rtada nuqta.

Keyin ham , yoki .

Keling, oxiridagi qiymatlar turli belgilarga ega bo'lgan segmentning yarmini qoldiraylik. Endi biz bu segmentni yana yarmiga bo'lamiz va kerakli aniqlikka erishish uchun uning chegaralarida funktsiya turli belgilarga ega bo'lgan qismini va hokazolarni qoldiramiz.

Shubhasiz, biz funktsiyaning ildizi joylashgan maydonni asta-sekin toraytiramiz va shuning uchun uni ma'lum darajada aniqlik bilan aniqlaymiz.

Ta'riflangan algoritm har qanday uzluksiz funksiya uchun qo'llanilishini unutmang.

Biseksiya usulining afzalliklari uning yuqori ishonchliligi va soddaligini o'z ichiga oladi.

Usulning nochorligi shundaki, uni qo'llashni boshlashdan oldin funktsiyaning qiymatlari turli belgilarga ega bo'lgan ikkita nuqtani topish kerak. Ko'rinib turibdiki, usul juft ko'paytmali ildizlarga taalluqli emas, shuningdek, murakkab ildizlar va tenglamalar tizimlari uchun umumlashtirib bo'lmaydi.

Usulning yaqinlashish tartibi chiziqli bo'lib, har bir qadamda aniqlik ikki barobar ortadi, qancha takrorlash amalga oshirilsa, ildiz shunchalik aniq aniqlanadi.

Nyuton usuli: nazariy asoslar

Nyutonning klassik usuli yoki tangenslar if tenglamaning ildiziga qandaydir yaqinlik bo'lishida yotadi , keyin keyingi yaqinlashish nuqtada chizilgan funksiyaga teginishning ildizi sifatida aniqlanadi.

Nuqtadagi funktsiyaga teginish tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Tangens tenglamada va ni qo'ying.

U holda Nyuton usulidagi ketma-ket hisoblar algoritmi quyidagicha:

Tangens usulining yaqinlashuvi kvadratik, yaqinlashish tartibi 2 ga teng.

Shunday qilib, Nyutonning tangens usulining yaqinlashuvi juda tezdir.

Ushbu ajoyib haqiqatni eslang!

Hech qanday o'zgarishsiz, usul murakkab holatga umumlashtiriladi.

Agar ildiz ikkinchi ko'plikning ildizi yoki undan yuqori bo'lsa, u holda yaqinlashish tartibi pasayadi va chiziqli bo'ladi.

1-mashq. Tangenslar usulidan foydalanib, (0, 2) oraliqda tenglamaning yechimini toping.

2-mashq. Tangenslar usulidan foydalanib, (1, 3) segmentdagi tenglamaning yechimini toping.

Nyuton usulining kamchiliklari uning joylashishini o'z ichiga oladi, chunki u shart bajarilgan taqdirdagina ixtiyoriy boshlang'ich yaqinlashish uchun birlashishi kafolatlanadi. , aks holda faqat ildizning ba'zi qo'shnilarida konvergentsiya mavjud.

Nyuton usulining kamchiligi har bir bosqichda hosilalarni hisoblash zaruriyatidir.

Nyuton usulini ingl

Agar tenglama bo'lsa Nyuton usuli (tangens usuli) qo'llaniladi f(x) = 0 ildizga ega va quyidagi shartlar bajariladi:

1) funktsiya y= f(x) uchun belgilangan va uzluksizdir;

2) f(a)· f(b) < 0 (funksiya segmentning oxirida turli belgilarning qiymatlarini oladi [ a; b]);

3) hosilalar f"(x) va f""(x) segmentdagi belgini saqlang [ a; b] (masalan, funktsiya f(x) segmentida yo ortadi yoki kamayadi [ a; b], konveksning yo'nalishini saqlab qolgan holda);

Usulning asosiy g'oyasi quyidagicha: intervalda [ a; b] shunday raqam tanlanadi x 0 , qaysi ostida f(x 0 ) bilan bir xil belgiga ega f"" (x 0 ), ya'ni shart f(x 0 )· f"" (x) > 0 . Shunday qilib, abscissali nuqta tanlanadi x 0 , bu erda egri chiziqqa teginish y= f(x) segmentida [ a; b] o‘qni kesib o‘tadi ho'kiz. Bir nuqta uchun x 0 Birinchidan, segmentning uchidan birini tanlash qulay.

Muayyan misolda Nyuton usulini ko'rib chiqing.

Bizga ortib borayotgan funksiya berilsin y \u003d f (x) \u003d x 2 -2,(0;2) oraliqda uzluksiz va ega f"(x) = 2 x > 0 va f "" (x) = 2 > 0 .

Rasm1 . f(x)=x 2 -2

Tangens tenglama umumiy ko'rinish vakillikka ega:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

Bizning holatda: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). x 0 nuqtasi sifatida nuqtani tanlang B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaga tangens chizamiz y = f(x) B 1 nuqtasida va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x 1. Birinchi tangens tenglamasini olamiz: y-2=2 2(x-2), y=4x-6.

Ox: x 1 =

Rasm2. Birinchi iteratsiya natijasi

y=f(x) ho'kiz nuqta orqali x 1, biz bir nuqtaga erishamiz B 2 =(1,5; 0,25). Funksiyaga yana tangens chizing y = f(x) nuqtada B 2 va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x2.

Ikkinchi tangens tenglamasi: y-0.25=2*1.5(x-1.5), y = 3 x - 4.25.

Tangens va o'qning kesishish nuqtasi Ox: x 2 =.

Rasm3. Nyuton usulining ikkinchi iteratsiyasi

Keyin funksiyaning kesishish nuqtasini topamiz y=f(x) va o'qga perpendikulyar ho'kiz x 2 nuqta orqali biz B 3 nuqtasini olamiz va hokazo.

Rasm4. Tangens usulining uchinchi bosqichi

Ildizning birinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

= 1.5.

Ildizning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

=

Ildizning uchinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Shunday qilib , i-ildizning yaqinlashishi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Hisob-kitoblar javobda kerak bo'lgan o'nli kasrlar mos kelguncha yoki belgilangan aniqlikka erishilgunga qadar - tengsizlik bajarilgunga qadar amalga oshiriladi. | xi- xi-1 | < e.

Bizning holatda, uchinchi bosqichda olingan taxminiylikni kalkulyatorda hisoblangan haqiqiy javob bilan taqqoslaylik:

Shakl 5. Kalkulyatorda hisoblangan 2 ning ildizi

Ko'rib turganingizdek, uchinchi bosqichda biz 0,000002 dan kam xatoga yo'l qo'ydik.

Shunday qilib, "kvadrat ildiz 2" qiymatining qiymatini har qanday aniqlik darajasi bilan hisoblash mumkin. Bu ajoyib usul Nyuton tomonidan ixtiro qilingan va juda murakkab tenglamalarning ildizlarini topish imkonini beradi.

Nyuton usuli: C++ ilovasi

Ushbu maqolada biz C++ da konsol ilovasini yozish orqali tenglamalar ildizlarini hisoblash jarayonini avtomatlashtiramiz. Biz uni Visual C++ 2010 Express da ishlab chiqamiz, bu bepul va juda qulay C++ dasturlash muhiti.

Keling, Visual C++ 2010 Express dan boshlaylik. Dasturning boshlang'ich oynasi paydo bo'ladi. Chap burchakda "Loyiha yaratish" tugmasini bosing.

Guruch. bitta. bosh sahifa Visual C++ 2010 Express

Ko'rsatilgan menyuda "Win32 Console Application" ni tanlang, "Newton_Method" ilovasining nomini kiriting.

Guruch. 2. Loyiha yarating

// Newton_method.cpp: konsol ilovasi uchun kirish nuqtasini belgilaydi # "stdafx.h" ni o'z ichiga oladi #o'z ichiga oladi std nom maydonidan foydalanish; float f(double x) //f(x) = x^2-2 funksiya qiymatini qaytaradi float df(float x) //hosilning qiymatini qaytaradi float d2f(float x) // ikkinchi hosilaviy qiymat int _tmain (int argc, _TCHAR* argv) int exit = 0, i=0;//exit va loop o'zgaruvchilari double x0,xn;// ildiz uchun hisoblangan taxminlar double a, b, eps;// segment chegaralari va kerakli aniqlik cout<<"Please input \n=>"; cin>>a>>b; // ildizni qidiradigan segment chegaralarini kiriting cout<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cin>>eps; // kerakli hisoblash aniqligini kiriting agar (a > b) // agar foydalanuvchi segment chegaralarini aralashtirib yuborsa, ularni almashtiring agar (f(a)*f(b)>0) // agar funksiyaning segment chetlaridagi belgilari bir xil bo‘lsa, u holda ildiz yo‘q. cout<<"\nError! No roots in this interval\n"; agar (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // boshlanish nuqtasini tanlash uchun f(x0)*d2f(x0)>0 ni belgilang? xn = x0-f(x0)/df(x0); // birinchi yaqinlikni sanash cout<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // kerakli aniqlikka erishgunimizcha hisoblashni davom ettiramiz xn = x0-f(x0)/df(x0); // to'g'ridan-to'g'ri Nyuton formulasi cout<<++i<<"-th iteration = "< cout<<"\nRoot = "< cout<<"\nExit?=>"; ) while (chiqish!=1); // foydalanuvchi chiqishga kirguncha = 1

Keling, bu qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Ekranning yuqori chap burchagidagi yashil uchburchakni bosing yoki F5 tugmasini bosing.

Agar kompilyatsiya xatosi yuzaga kelsa, "LNK1123 xatosi: COFFga o'zgartirilmagan: fayl noto'g'ri yoki buzilgan" bo'lsa, bu birinchi xizmat paketi 1ni o'rnatish orqali hal qilinadi yoki loyiha sozlamalarida Xususiyatlar -> Bog'lovchi, qo'shimcha ulanishni o'chirib qo'ying.

Guruch. 4. Loyihani kompilyatsiya qilish xatosini yechish

Biz funktsiyaning ildizlarini qidiramiz f(x) =x2-2.

Birinchidan, dasturni "noto'g'ri" kiritilgan ma'lumotlarda sinab ko'raylik. Segmentda ildiz yo'q, dasturimiz xato xabarini berishi kerak.

Bizda dastur oynasi mavjud:

Guruch. 5. Kirish ma'lumotlarini kiritish

Biz 3 va 5 segmentning chegaralarini kiritamiz va aniqlik 0,05 ga teng. Dastur, kerak bo'lganidek, ushbu segmentda ildiz yo'qligi haqida xato xabari berdi.

Guruch. 6. Xato "Ushbu segmentda ildiz yo'q!"

Biz hali ketmoqchi emasmiz, shuning uchun "Chiqish?" "0" kiriting.

Endi dasturni to'g'ri kiritilgan ma'lumotlarda sinab ko'raylik. Keling, segmentni va 0,0001 aniqligini kiritamiz.

Guruch. 7. Ildizni kerakli aniqlik bilan hisoblash

Ko'rib turganimizdek, kerakli aniqlikka 4-iteratsiyada allaqachon erishilgan.

Ilovadan chiqish uchun "Chiqish?" => 1.

Sekant usuli

Hosilni hisoblashdan qochish uchun Nyuton usulini hosilani oldingi ikkita nuqtadan hisoblangan taxminiy qiymat bilan almashtirish orqali soddalashtirish mumkin:

Iterativ jarayon quyidagicha ko'rinadi:

Bu ikki bosqichli iterativ jarayon, chunki u keyingi taxminiylikni topish uchun oldingi ikkitasidan foydalanadi.

Sekant usulining yaqinlashish tartibi tangens usulidan past va bitta ildiz holatida tengdir.

Ushbu ajoyib qiymat oltin nisbat deb ataladi:

Biz buni qulaylik uchun faraz qilib tasdiqlaymiz.

Shunday qilib, yuqori tartibli cheksiz kichiklarga qadar

Qolgan atamani olib tashlasak, biz takrorlanish munosabatini olamiz, uning yechimi tabiiy ravishda shaklda izlanadi.

O'zgartirishdan keyin bizda: va

Konvergentsiya uchun u ijobiy bo'lishi kerak, shuning uchun .

Hosilni bilish shart emasligi sababli, sekant usulida bir xil miqdordagi hisob-kitoblar bilan (konvergentsiyaning pastki tartibiga qaramay) tangens usuliga qaraganda ko'proq aniqlikka erishish mumkin.

E'tibor bering, ildiz yaqinida kichik raqamga bo'linish kerak va bu aniqlikni yo'qotishiga olib keladi (ayniqsa, bir nechta ildizlar bo'lsa), shuning uchun nisbatan kichikni tanlab, bajarilgunga qadar hisob-kitoblarni amalga oshiradi. va qo'shni yaqinlashishlar orasidagi farq moduli kamayguncha ularni davom ettiring.

O'sish boshlanishi bilan hisob-kitoblar to'xtatiladi va oxirgi takrorlash ishlatilmaydi.

Takrorlashlar tugashini aniqlashning ushbu tartibi texnika deb ataladi Harvik.

Parabola usuli

Uch bosqichli usulni ko'rib chiqing, unda yaqinlik uchta oldingi nuqta bilan aniqlanadi va .

Buning uchun sekant usuliga o'xshab funktsiyani va nuqtalardan o'tuvchi interpolyatsiya parabolasi bilan almashtiramiz.

Nyuton shaklida u quyidagicha ko'rinadi:

Nuqta moduli boʻyicha nuqtaga yaqinroq boʻlgan ushbu koʻphadning ildizlari sifatida aniqlanadi.

Parabola usulining yaqinlashish tartibi sekant usulidan yuqori, lekin Nyuton usulidan past.

Oldindan ko'rib chiqilgan usullardan muhim farq shundaki, agar real uchun haqiqiy bo'lsa va boshlang'ich yaqinlashishlar haqiqiy deb tanlangan bo'lsa ham, parabola usuli asl muammoning murakkab ildiziga olib kelishi mumkin.

Bu usul yuqori darajali polinomlarning ildizlarini topish uchun juda foydali.

Oddiy iteratsiya usuli

Tenglamalarning yechimlarini topish masalasini ildizlarni topish masalasi sifatida shakllantirish mumkin: , yoki qo'zg'almas nuqtani topish masalasi.

Bo'lsin va - siqilish: (xususan, bu - siqilish, ko'rish oson, shuni anglatadi).

Banach teoremasiga ko'ra, yagona sobit nuqta mavjud

Buni oddiy iterativ protseduraning chegarasi sifatida topish mumkin

bu erda dastlabki yaqinlashish oraliqdagi ixtiyoriy nuqtadir.

Agar funktsiyani differentsiallash mumkin bo'lsa, unda qulay siqish mezoni raqam hisoblanadi. Haqiqatan ham, Lagrange teoremasi bo'yicha

Shunday qilib, lotin birdan kichik bo'lsa, u qisqarishdir.

Vaziyat muhim ahamiyatga ega, chunki, masalan, ustida bo'lsa, hosila nolga teng bo'lsa-da, hech qanday sobit nuqta yo'q. Konvergentsiya tezligi ning qiymatiga bog'liq. Qanchalik kichik bo'lsa, konvergentsiya shunchalik tez bo'ladi.

Taxminan bilan bir xil. P. atamasi baʼzan yaqinlashuvchi obʼyekt (masalan, boshlangʻich P.) maʼnosida ham qoʻllaniladi ... Matematik entsiklopediya

Nyuton usuli- Nyuton usuli, Nyuton algoritmi (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton tomonidan taklif qilingan ... ... Vikipediya

Bir tangens usuli

Gauss-Nyuton usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Nyuton-Rafson usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Nyuton-Rafson usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Tangens usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Tangent usuli (Nyuton usuli)- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Tangens usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.

Tenglamalarni sonli yechish- va ularning tizimlari tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizi yoki ildizlarini taxminiy aniqlashdan iborat bo'lib, aniq qiymatni hisoblash imkonsiz yoki juda ko'p vaqt talab qiladigan hollarda qo'llaniladi. Mundarija 1 Muammo bayoni 2 Raqamli usullar ... Vikipediya

Ketma-ket yaqinlashish usuli- yechimga yaqinlashadigan va takroriy ravishda quriladigan shunday yaqinlashuvlar ketma-ketligidan foydalangan holda matematik muammolarni hal qilish usuli (ya'ni, har bir yangi yaqinlashish avvalgisiga qarab hisoblanadi; dastlabki yaqinlashish ... ... da tanlanadi. Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

f(x)=0 tenglamaning ildizi segmentda ajratilsin, f’(x) ning birinchi va ikkinchi hosilalari va f""(x) xn uchun uzluksiz va doimiy ishorali.

Ildizni aniqlashtirishning qaysidir bosqichida x n ildiziga keyingi yaqinlik olinsin (tanlansin) . Keyin h n tuzatish yordamida keyingi yaqinlik olingan deb faraz qilaylik , ildizning aniq qiymatiga olib keladi

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Hisoblash h n kichik qiymat, biz f(x n + h n) ni Teylor qatori sifatida ifodalaymiz va o'zimizni chiziqli atamalar bilan cheklaymiz.

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

f(x) = f(x n + h n) = 0 ekanligini hisobga olsak, f(x n) + h n f ’(x n) » 0 ni olamiz.

Demak, h n "- f (x n) / f'(x n). Qiymatni almashtiring h n(1.2.3-6) da va ildizning aniq qiymati o'rniga x yana bir taxminni olamiz

Formula (1.2.3-8) ma'lum sharoitlarda ildizning aniq qiymatiga yaqinlashadigan x 1, x 2, x 3 ... yaqinlashuvlar ketma-ketligini olish imkonini beradi. x, ya'ni

Nyuton usulining geometrik talqini quyidagicha
(1.2.3-6-rasm). Biz b segmentining o'ng uchini dastlabki taxminiy x 0 sifatida olamiz va y \u003d f (x) funktsiyasi grafigidagi mos keladigan B 0 nuqtasida biz tangensni quramiz. Tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasi yangi, aniqroq x 1 yaqinlik sifatida qabul qilinadi. Ushbu protsedurani bir necha marta takrorlash bizga x 0 , x 1 , x 2 yaqinlashuvlar ketma-ketligini olish imkonini beradi. , . . ., bu ildizning aniq qiymatiga intiladi x.

Nyuton usulining hisoblash formulasini (1.2.3-8) geometrik konstruktsiyadan olish mumkin. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakda x 0 B 0 x 1 oyoq
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. B 0 nuqtasi funksiya grafigida ekanligini hisobga olsak f(x), va gipotenuza f (x) grafigiga B 0 nuqtada teginish orqali hosil bo‘ladi, biz hosil bo‘lamiz.

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Bu formula n-chi yaqinlik uchun (1.2.3-8) bilan mos keladi.

1.2.3-6-rasmdan ko'rinib turibdiki, a nuqtani dastlabki yaqinlashish sifatida tanlash keyingi x 1 yaqinlashish ildiz ajratilgan segmentdan tashqarida bo'lishiga olib kelishi mumkin. x. Bunday holda, jarayonning yaqinlashishi kafolatlanmaydi. Umumiy holda, dastlabki yaqinlashuvni tanlash quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: dastlabki yaqinlashish uchun shunday x 0 n nuqtani olish kerak, bunda f (x 0) × f '' (x 0) > 0, ya'ni funksiya belgilari va uning ikkinchi hosilasi mos keladi.

Nyuton usulining yaqinlashuv shartlari quyidagi teoremada tuzilgan.

Agar tenglamaning ildizi segmentda ajratilsa, va f'(x 0) va f''(x) noldan farq qiladi va belgilarini saqlab qoladi xo, agar biz boshlang'ich yaqinlashish sifatida bunday nuqtani tanlasak x 0 O , nima f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , keyin tenglamaning ildizi f(x)=0 har qanday darajadagi aniqlik bilan hisoblash mumkin.

Nyuton usulining xatolik bahosi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

(1.2.3-11)

eng kichik qiymat qayerda da

Eng yuqori qiymat da

Hisoblash jarayoni tugatiladi, agar ,

belgilangan aniqlik qayerda.

Bundan tashqari, Nyuton usulida ildizni tozalashda quyidagi iboralar berilgan aniqlikka erishish uchun shart bo'lishi mumkin:

Nyuton usuli algoritmining sxemasi rasmda ko'rsatilgan. 1.2.3-7.

Dastlabki f(x) tenglamaning chap tomoni va uning algoritmdagi hosilasi f’(x) alohida dasturiy modullar sifatida tuzilgan.

Guruch. 1.2.3-7. Nyuton usulining algoritm diagrammasi

1.2.3-3-misol x-ln(x+2) = 0 tenglamaning ildizlarini Nyuton usuli yordamida aniqlang, bu tenglamaning ildizlari x 1 n[-1,9;-1,1] segmentlarda ajratilgan bo'lsa. va x 2 n [-0,9;2 ].

Birinchi hosila f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) segmentlarning har birida o'z belgisini saqlab qoladi:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 da xO [-0,9; 2].

Ikkinchi hosila f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 har qanday x uchun.

Shunday qilib, konvergentsiya shartlari qondiriladi. Ruxsat etilgan qiymatlarning butun diapazonida f "" (x)> 0 bo'lgani uchun, dastlabki yaqinlashish uchun ildizni aniqlashtirish uchun x 1 x 0 \u003d -1,9 ni tanlang (chunki f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Biz taxminlar ketma-ketligini olamiz:

Hisob-kitoblarni davom ettirib, biz birinchi to'rtta yaqinlashuvning quyidagi ketma-ketligini olamiz: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . f(x) funksiyaning x=-1,8414 nuqtadagi qiymati f(-1,8414)=-0,00003 ga teng. .

Ildizni aniqlashtirish uchun x 2 n[-0,9;2] dastlabki taxminiy 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) ni tanlaymiz. X 0 = 2 ga asoslanib, biz taxminlar ketma-ketligini olamiz: 2,0;1,1817; 1,1462; 1.1461. f(x) funksiyaning x=1,1461 nuqtadagi qiymati f(1,1461)= -0,00006 ga teng.

Nyuton usuli yaqinlashuvning yuqori tezligiga ega, lekin har bir bosqichda u nafaqat funksiya qiymatini, balki uning hosilasini ham hisoblashni talab qiladi.

akkord usuli

Akkord usulining geometrik talqini quyidagicha
(1.2.3-8-rasm).

A va B nuqtalar orqali to'g'ri chiziq kesmasini o'tkazamiz. Keyingi x 1 yaqinlik akkordning 0x o'qi bilan kesishish nuqtasining abtsissasidir. To'g'ri chiziqli segmentning tenglamasini tuzamiz:

y=0 ni qo‘yib, x=x 1 qiymatini topamiz (boshqa taxminiy):

Ildizga keyingi yaqinlashuvni olish uchun biz hisoblash jarayonini takrorlaymiz - x 2 :

Bizning holatda (1.2.11-rasm) va akkord usulining hisoblash formulasi o'xshash bo'ladi

Bu formula b nuqta qo'zg'almas nuqta sifatida qabul qilinganda to'g'ri bo'ladi va a nuqta boshlang'ich yaqinlashish vazifasini bajaradi.

Boshqa ishni ko'rib chiqing (1.2.3-9-rasm), qachon .

Bu holat uchun to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega

Keyingi taxminan x 1 y = 0 da

Keyin bu holat uchun akkordlar usulining rekursiv formulasi shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, akkordlar usulida qo'zg'almas nuqta uchun f (x)∙f¢¢ (x)>0 sharti bajariladigan segmentning oxirini tanlang.

Shunday qilib, agar a nuqta qo'zg'almas nuqta sifatida qabul qilinsa , u holda x 0 = b boshlang'ich yaqinlashish vazifasini bajaradi va aksincha.

Akkordlar formulasi yordamida f(x)=0 tenglamaning ildizini hisoblashni ta’minlovchi yetarli shartlar tangenslar usuli (Nyuton usuli) bilan bir xil bo‘ladi, lekin dastlabki yaqinlashish o‘rniga qo‘zg‘almas nuqta tanlanadi. . Akkord usuli Nyuton usulining modifikatsiyasi hisoblanadi. Farqi shundaki, Nyuton usulida keyingi yaqinlashish tangensning 0X o‘qi bilan kesishish nuqtasi bo‘lsa, akkordlar usulida esa akkordning 0X o‘qi bilan kesishish nuqtasi – yaqinlashuvlar dan ildizga yaqinlashadi. turli tomonlar.

Akkord usulining xatosini baholash ifoda bilan aniqlanadi

(1.2.3-15)

Akkordlar usuli bilan takrorlash jarayonini tugatish sharti

(1.2.3-16)

Agar M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

1.2.3-4-misol. 10 -4 aniqlik bilan segmentga ajratilgan e x - 3x = 0 tenglamaning ildizini ko'rsating.

Konvergentsiya shartini tekshiramiz:

Shuning uchun, a=0 sobit nuqta sifatida tanlanishi kerak va x 0 \u003d 1 boshlang'ich taxminiy sifatida qabul qilinishi kerak, chunki f (0) \u003d 1> 0 va f (0) * f "(0)> 0 .