Kreslo" oliy matematika»

To'ldiruvchi: Matveev F.I.

Tekshirildi: Burlova L.V.

Ulan-Ude, 2002

1. Integrallashning sonli usullari

2. Simpson formulasini chiqarish

3.Geometrik tasvir

4. Integratsiya bosqichini tanlash

5. Misollar

1. Integrallashning sonli usullari

Raqamli integrasiya muammosi integralni hisoblashdan iborat

integrandning bir qator qiymatlari orqali.

Jadvalda berilgan, integrallari olinmagan funksiyalar uchun sonli integratsiya masalalarini yechish kerak. elementar funktsiyalar, va hokazo. Faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqing.

Integrallashuvchi funksiya o‘rniga interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz. Integratsiyani interpolyatsiya polinomi bilan almashtirishga asoslangan usullar ko'phad parametrlari bo'yicha natijaning to'g'riligini baholash yoki berilgan aniqlik uchun ushbu parametrlarni tanlash imkonini beradi.

Raqamli usullarni integratsiyaga yaqinlashtirish usuliga ko'ra shartli ravishda guruhlash mumkin.

Nyuton-Kotes usullari funktsiyani yaqinlashtirishga asoslangan

darajali polinom. Bu sinfning algoritmi faqat polinom darajasida farqlanadi. Qoidaga ko'ra, yaqinlashuvchi ko'phadning tugunlari teng darajada bog'langan.

Spline integratsiya usullari funktsiyani yaqinlashtirishga asoslangan

spline-bo'lakli polinom.

Eng yuqori algebraik aniqlik usullari (Gauss usuli) berilgan (tanlangan) tugunlar soni uchun minimal integratsiya xatosini ta'minlaydigan maxsus tanlangan teng bo'lmagan tugunlardan foydalanadi.

Monte-Karlo usullari ko'pincha bir nechta integrallarni hisoblashda qo'llaniladi, tugunlar tasodifiy tanlanadi, javob ehtimollikdir.

umumiy xato kesish xatosi

yaxlitlash xatosi

Tanlangan usuldan qat’i nazar, sonli integrasiya jarayonida integralning taxminiy qiymatini hisoblash va xatolikni baholash kerak. n-raqam ortishi bilan xatolik kamayadi

segment bo'limlari

. Biroq, bu yaxlitlash xatosini oshiradi.

qisman segmentlar bo'yicha hisoblangan integrallarning qiymatlarini yig'ish orqali.

Kesish xatosi integralning xususiyatlariga va uzunligiga bog'liq

qisman kesish.

2. Simpson formulasini chiqarish

Agar har bir juft segment uchun

ikkinchi darajali ko'phadni tuzamiz, keyin uni integrallaymiz va integralning qo'shimchalilik xususiyatidan foydalanamiz, keyin Simpson formulasini olamiz. Intervaldagi integralni ko'rib chiqing. Ushbu integratsiyani nuqtalarda mos keladigan ikkinchi darajali Lagrange interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Keling, integratsiya qilaylik

:

va Simpson formulasi deb ataladi.

Integral uchun olingan

qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.

Keling, Simpson formulasi bo'yicha integratsiya xatosini baholaylik. Biz buni taxmin qilamiz

oraliqda uzluksiz hosilalar mavjud. Farqni tuzing

O'rtacha qiymat teoremasi allaqachon ushbu ikkita integralning har biriga qo'llanilishi mumkin, chunki

uzluksiz va funksiya birinchi integrasiya oralig‘ida manfiy emas, ikkinchisida esa ijobiy emas (ya’ni bu intervallarning har birida ishorani o‘zgartirmaydi). Shunung uchun:

(biz o'rtacha qiymat teoremasidan foydalandik, chunki

- uzluksiz funksiya; ).

farqlash

ikki marta va keyin o'rtacha qiymat teoremasini qo'llagan holda, biz uchun boshqa ifodani olamiz, bu erda

Ikkala taxmindan ham

shundan kelib chiqadiki, Simpson formulasi ko'pi bilan uchta darajali ko'phadlar uchun aniq. Masalan, Simpson formulasini quyidagicha yozamiz: , .

Agar segment

integratsiya juda katta bo'lsa, u teng qismlarga bo'linadi (farz etilsa), shundan so'ng Simpson formulasi qo'shni segmentlarning har bir juftiga , ,... qo'llaniladi, ya'ni:

Biz Simpson formulasini yozamiz umumiy ko'rinish.

Oliy matematika kafedrasi

To'ldiruvchi: Matveev F.I.

Tekshirildi: Burlova L.V.

Ulan-Ude, 2002

1. Integrallashning sonli usullari

2. Simpson formulasini chiqarish

3.Geometrik tasvir

4. Integratsiya bosqichini tanlash

5. Misollar

1. Integrallashning sonli usullari

Raqamli integrasiya muammosi integralni hisoblashdan iborat

Integrandning bir qator qiymatlari orqali.

Jadvalda berilgan funksiyalar, elementar funksiyalarda integrali olinmagan funksiya va hokazolar uchun sonli integrasiya masalalarini yechish kerak. Faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqing.

Integrallashuvchi funksiya o‘rniga interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz. Integratsiyani interpolyatsiya polinomi bilan almashtirishga asoslangan usullar ko'phad parametrlari bo'yicha natijaning to'g'riligini baholash yoki berilgan aniqlik uchun ushbu parametrlarni tanlash imkonini beradi.

Raqamli usullarni integratsiyaga yaqinlashtirish usuliga ko'ra shartli ravishda guruhlash mumkin.

Nyuton-Kotes usullari funktsiyani darajali ko'phad bilan yaqinlashtirishga asoslangan. Bu sinfning algoritmi faqat polinom darajasida farqlanadi. Qoidaga ko'ra, yaqinlashuvchi ko'phadning tugunlari teng darajada bog'langan.

Spline integrallash usullari funktsiyani splayn-bo'lakli ko'phad bilan yaqinlashtirishga asoslangan.

Eng yuqori algebraik aniqlik usullari (Gauss usuli) berilgan (tanlangan) tugunlar soni uchun minimal integratsiya xatosini ta'minlaydigan maxsus tanlangan teng bo'lmagan tugunlardan foydalanadi.

Monte-Karlo usullari ko'pincha bir nechta integrallarni hisoblashda qo'llaniladi, tugunlar tasodifiy tanlanadi, javob ehtimollikdir.

umumiy xato

kesish xatosi

yaxlitlash xatosi

Tanlangan usuldan qat’i nazar, sonli integrasiya jarayonida integralning taxminiy qiymatini hisoblash va xatolikni baholash kerak. n-raqam ortishi bilan xatolik kamayadi

segmentning bo'linishi. Biroq, bu yaxlitlash xatosini oshiradi.

qisman segmentlar bo'yicha hisoblangan integrallarning qiymatlarini yig'ish orqali.

Kesish xatosi integralning xususiyatlariga va qisman segment uzunligiga bog'liq.

2. Simpson formulasini chiqarish

Agar har bir juft segment uchun ikkinchi darajali ko‘phad tuzib, keyin uni integrallab, integralning qo‘shiluvchanlik xususiyatidan foydalansak, Simpson formulasini olamiz.

Intervaldagi integralni ko'rib chiqing. Ushbu integratsiyani nuqtalarda mos keladigan ikkinchi darajali Lagrange interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Keling, integratsiya qilaylik:

va Simpson formulasi deb ataladi.

Integral uchun olingan qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tadigan parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.

Keling, Simpson formulasi bo'yicha integratsiya xatosini baholaylik. y ning intervalda uzluksiz hosilalari bor deb faraz qilamiz . Farqni tuzing

O'rtacha qiymat teoremasi ushbu ikkita integralning har biriga allaqachon qo'llanilishi mumkin, chunki funktsiya uzluksiz yoqilgan va funktsiya birinchi integratsiya oralig'ida manfiy emas, ikkinchisida esa ijobiy emas (ya'ni, u belgini o'zgartirmaydi). bu intervallarning har biri). Shunung uchun:

(biz o'rtacha qiymat teoremasidan foydalandik, chunki uzluksiz funktsiya; ).

Ikki marta farqlash va keyin o'rtacha qiymat teoremasini qo'llash orqali biz boshqa ifodani olamiz:

, qayerda

Ikkala taxmindan kelib chiqadiki, Simpson formulasi eng ko'p uchta darajali ko'phadlar uchun aniqdir. Masalan, Simpson formulasini quyidagicha yozamiz:

Agar integratsiya segmenti juda katta bo'lsa, u teng qismlarga bo'linadi (farz etilsa), shundan so'ng qo'shni segmentlarning har bir juftiga, ,..., Simpson formulasini qo'llang, xususan:

Simpson formulasini umumiy shaklda yozamiz:

Simpson formulasining xatosi - to'rtinchi tartibli usul:

, (3)

Chunki Simpson usuli juda yuqori bo'lmasa ham, yuqori aniqlikni olish imkonini beradi. Aks holda, ikkinchi tartibli usul ko'proq aniqlik berishi mumkin.

Masalan, funktsiya uchun trapezoid shakli for aniq natijani beradi, Simpson formulasi bo'yicha esa biz olamiz.

3. Geometrik illyustratsiya

Uzunligi 2 soat bo'lgan segmentda uchta nuqtadan o'tuvchi parabola qurilgan, . OX o'qi va to'g'ri chiziqlar orasiga o'ralgan parabola ostidagi maydon integralga teng qabul qilinadi.

Simpson formulasini qo'llashning o'ziga xos xususiyati integratsiya segmentining bo'limlari sonining juft bo'lishidir.

Agar bo'linish segmentlari soni toq bo'lsa, unda birinchi uchta segment uchun integratsiyani taxmin qilish uchun birinchi to'rtta nuqtadan o'tadigan uchinchi darajali parabola yordamida formulani qo'llash kerak.

(4)

Bu Simpsonning "sakkizindan uch" formulasi.

Integratsiyaning ixtiyoriy intervali uchun (4) formulani "davom etish" mumkin; qisman segmentlar soni uchta (nuqta) karrali bo'lishi kerak.

, m=2,3,... (5)

butun qismi

Siz yuqori darajadagi Nyuton-Kotes formulalarini olishingiz mumkin:

(6)

Bo'lim segmentlari soni;

Amaldagi polinom darajasi;

Nuqtadagi th tartibli hosilasi;

Bo'lingan qadam.

1-jadvalda koeffitsientlar keltirilgan. Har bir qator k-darajali polinomni qurish uchun bo'shliq tugunlarining bir to'plamiga mos keladi. Ushbu sxemani ko'proq to'plamlar uchun ishlatish uchun (masalan, k=2 va n=6 bilan) koeffitsientlarni "davom etish" va keyin ularni qo'shish kerak.

1-jadval:

Trapetsiya va Simpson formulalarining xatosini baholash algoritmi quyidagicha yozilishi mumkin: (7),

qayerda - integrallash usuli va xossalariga bog'liq koeffitsient;

h - integratsiya bosqichi;

p - usulning tartibi.

Runge qoidasi h va kh qadamlar bilan integralni ikki marta hisoblash orqali xatoni hisoblash uchun ishlatiladi.

(8) - posteriori baho. U holda Iref.= +Ro (9), integralning aniqlangan qiymati .

Agar usulning tartibi noma'lum bo'lsa, I ni uchinchi marta o'sish bilan hisoblash kerak, ya'ni:

uchta tenglama tizimidan:

dan noma'lum I, A va p biz olamiz:

(10) dan kelib chiqadi (11)

Shunday qilib, zarur bo'lgan ko'p marta qo'llanilgan qo'sh hisoblash usuli berilgan aniqlik darajasi bilan integralni hisoblash imkonini beradi. Kerakli miqdordagi bo'limlarni tanlash avtomatik ravishda amalga oshiriladi. Bunday holda, ushbu usullarning algoritmlarini o'zgartirmasdan, tegishli integratsiya usullarining kichik dasturlariga bir nechta qo'ng'iroqlardan foydalanish mumkin. Shu bilan birga, teng masofadagi tugunlardan foydalanadigan usullar uchun integratsiya oralig'ining oldingi ko'p bo'limlari davomida to'plangan integral yig'indilaridan foydalangan holda algoritmlarni o'zgartirish va integralni hisoblash sonini ikki baravar kamaytirish mumkin. Integralning ikkita taxminiy qiymati va trapezoid usulida qadamlar bilan hisoblangan va , munosabat bilan bog'langan:

Xuddi shunday, va qadamlar bilan formula bo'yicha hisoblangan integrallar uchun munosabatlar o'rinlidir:

,

(13)

4. Integratsiya bosqichini tanlash

Integratsiya bosqichini tanlash uchun siz qolgan atama ifodasidan foydalanishingiz mumkin. Masalan, Simpson formulasining qolgan qismini olaylik:

Agar ê ê bo'lsa, u holda ê ê .

Integrasiya usulining aniqligi e ni hisobga olib, oxirgi tengsizlikdan mos qadamni aniqlaymiz.

, .

Biroq, bu usul baholashni talab qiladi (bu amalda har doim ham mumkin emas). Shuning uchun ular aniqlik bahosini aniqlash uchun boshqa usullardan foydalanadilar, bu esa hisob-kitoblar jarayonida kerakli qadam h ni tanlash imkonini beradi.

Keling, ushbu usullardan birini ko'rib chiqaylik. Bo'lsin

,

qadamli integralning taxminiy qiymati qayerda. Segmentni ikkita teng qismga bo'linib, qadamni yarmiga kamaytiring va ().

Faraz qilaylik, bu juda tez o'zgarmaydi, shuning uchun u deyarli doimiy bo'ladi: . Keyin Va , qayerda , ya'ni .

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, agar , ya'ni, agar , va kerakli aniqlik bo'lsa, u holda bosqich integralni etarli aniqlik bilan hisoblash uchun mos keladi. Agar bo'lsa, u holda hisoblash bir qadam bilan takrorlanadi va keyin taqqoslanadi va hokazo. Bu qoida Runge qoidasi deb ataladi.

Biroq, Runge qoidasini qo'llashda, hisoblash xatosining kattaligini hisobga olish kerak: pasayganda, integralni hisoblashda mutlaq xato ortadi (qaramlik teskari proportsionaldir) va etarlicha kichik qiymatlar uchun , u usul xatosidan kattaroq bo'lishi mumkin. Agar u dan oshsa, bu qadam uchun Runge qoidasini qo'llash mumkin emas va kerakli aniqlikka erishib bo'lmaydi. Bunday hollarda qiymatini oshirish kerak.

Runge qoidasini ishlab chiqishda siz aslida degan taxmindan foydalandingiz. Agar faqat qiymatlar jadvali mavjud bo'lsa, unda "doimiylik" tekshiruvi to'g'ridan-to'g'ri jadvalga muvofiq amalga oshirilishi mumkin. turli qismlar integrallash oralig'i xossalariga qarab, integrandning hisob-kitoblari soni kamayadi.

Integral qiymatlarini aniqlashtirishning yana bir sxemasi Eytnen jarayonidir. Integral qadamlar bilan hisoblanadi va . Qiymatlarni hisoblash. Keyin (14).

Simpson usulining aniqligi o'lchovi sifatida quyidagi qiymat olinadi:

5. Misollar

1-misol Jadvalda berilgan bo'lsa, Simpson formulasi yordamida integralni hisoblang. Xatoni taxmin qiling.

3-jadval

Yechish: va integrali uchun (1) formula bo‘yicha hisoblang.

Runge qoidasiga ko'ra, biz Qabul qilamiz.

2-misol Integralni hisoblash .

Yechim: Bizda bor. Demak, h==0,1. Hisoblash natijalari 4-jadvalda keltirilgan.

4-jadval

Simpson formulasi yordamida integralni hisoblash

		y0=1,00000; -0,329573ê3. Simpson usuli xatosi uchun hisob-kitoblar: =0,1 uchun £ 0,0000017, =0,05 uchun £ 0,0000002. Yaxlitlash xatosi Simpson formulasi uchun bunday aniq natijani buzmasligi uchun barcha hisob-kitoblar oltita kasr bilan amalga oshirildi. Yakuniy natijalar:

Trapetsiya usulida aniq integralni topish uchun egri chiziqli trapetsiyaning maydoni ham n ga bo'linadi. to'rtburchaklar trapezoid balandliklari h va asoslari y 1 , y 2 , y 3 ,..y n bilan, bu erda n to'rtburchak trapetsiyaning soni. Integral son jihatdan to'rtburchaklar trapetsiyalarning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi (4-rasm).

Guruch. 4

n - bo'linishlar soni

Trapetsiya formulasining xatosi raqam bilan baholanadi

Trapetsiya formulasining xatosi to'rtburchaklar formulasining xatosidan ko'ra o'sish bilan tezroq kamayadi. Shuning uchun trapezoid formulasi to'rtburchaklar usulidan ko'ra ko'proq aniqlik olish imkonini beradi.

Simpson formulasi

Agar har bir juft segment uchun ikkinchi darajali ko‘phad tuzib, uni segmentga integrallab, integralning qo‘shiluvchanlik xususiyatidan foydalansak, Simpson formulasini olamiz.

Simpsonning aniq integralni hisoblash usulida butun integrallash oralig'i teng uzunlikdagi h=(b-a)/n kichik oraliqlarga bo'linadi. Bo'lim segmentlari soni juft sondir. So‘ngra har bir qo‘shni kichik intervallar juftida f(x) subintegral funksiyasi ikkinchi darajali Lagranj ko‘phadiga almashtiriladi (5-rasm).

Guruch. besh Segmentdagi y=f(x) funksiya 2-tartibli ko‘phad bilan almashtiriladi

Intervaldagi integralni ko'rib chiqing. Ushbu integratsiyani nuqtalarda y= ga to‘g‘ri keladigan ikkinchi darajali Lagrange interpolyatsiya ko‘phadiga almashtiramiz:

Intervalda integrallashamiz:

Biz o'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritamiz:

O'zgartirish formulalarini hisobga olgan holda,

Integratsiyalashgandan so'ng biz Simpson formulasini olamiz:

Integral uchun olingan qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.Segmentda Simpson formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Parabola formulasida f (x) funksiyaning x 1, x 3, ..., x 2n-1 toq bo‘linish nuqtalaridagi qiymati 4, x 2, x 4, ... juft nuqtalarida koeffitsientga ega. , x 2n-2 - koeffitsient 2 va ikkita chegara nuqtasida x 0 =a, x n =b - koeffitsient 1.

Simpson formulasining geometrik ma'nosi: segmentdagi f(x) funksiya grafigi ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoni taxminan parabolalar ostida yotgan figuralar maydonlarining yig'indisi bilan almashtiriladi.

Agar f(x) funksiya to'rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lsa, Simpson formulasi xatosining mutlaq qiymati dan ortiq emas.

qaerda M - eng yuqori qiymat segmentida. n 4 n 2 dan tezroq o'sganligi sababli, Simpson formulasining xatosi trapetsiya formulasining xatosidan ancha tezroq n ortishi bilan kamayadi.

Biz integralni hisoblaymiz

Ushbu integralni hisoblash oson:

Keling, 10 ga teng n ni olaylik, h=0,1, bo'linish nuqtalaridagi integratsiya qiymatlarini, shuningdek yarim butun nuqtalarni hisoblaymiz.

O'rta to'rtburchaklar formulasiga ko'ra, biz I to'g'ri = 0,785606 (xato 0,027%), trapezoid formula bo'yicha I tuzoq = 0,784981 (xato taxminan 0,054. O'ng va chap to'rtburchaklar usulidan foydalanganda, xato 3% dan ortiq.

Taxminiy formulalarning aniqligini solishtirish uchun biz yana bir bor integralni hisoblaymiz

lekin endi n = 4 uchun Simpson formulasi bo'yicha. Biz segmentni x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 nuqtalari bilan to'rtta teng qismga ajratamiz va taxminan qiymatlarni hisoblaymiz. f (x) \u003d 1 / ( 1+x) funktsiyasining ushbu nuqtalarda: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Simpson formulasiga ko'ra, biz olamiz

Keling, olingan natijaning xatosini taxmin qilaylik. f(x)=1/(1+x) integrali uchun bizda quyidagilar mavjud: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , shundan , segmentda shunday bo'ladi. Demak, M=24 qabul qilishimiz mumkin, natijada xatolik 24/(2880 4 4)=0,0004 dan oshmaydi. Taxminiy qiymatni aniq qiymat bilan taqqoslab, biz Simpson formulasi bo'yicha olingan natijaning mutlaq xatosi 0,00011 dan kam degan xulosaga kelamiz. Bu yuqorida keltirilgan xato bahosiga mos keladi va bundan tashqari, Simpson formulasi trapezoid formulasidan ancha aniqroq ekanligini ko'rsatadi. Shuning uchun aniq integrallarni taxminiy hisoblash uchun Simpson formulasi trapetsiya formulasiga qaraganda tez-tez ishlatiladi.

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

10-sinfda men matematikadan profil imtihonini topshirishim kerakmi, deb o'ylayman. Qaror qabul qilish Topshiriqlardan foydalanish, Men ko'p yuzli va inqilob jismlarining hajmini topish bo'yicha topshiriqlarga duch keldim, garchi bular 11-sinf dasturidagi vazifalardir. Bu savolga qiziqib, men buni xilma-xillik tufayli bilib oldim geometrik shakllar jismlar, maydonlar va hajmni topish uchun juda ko'p formulalar mavjud (har bir rasm va har bir tananing o'z formulasi bor). Geometriyadagi formulalarni hisobga olgan holda, men juda ko'p sonli formulalar raqamlarning maydonlari va hajmlari bilan bog'liqligiga amin bo'ldim. Yassi figuralarning maydonlari bo'yicha o'n ikkidan ortiq va fazoviy jismlarning hajmlari bo'yicha o'ndan ortiq bunday formulalar mavjud.

Va men hayron bo'ldim savol: geometrik shakllar va jismlarning maydoni va hajmini topish uchun shunday universal formula bormi?

Men ushbu loyihaning mavzusini ko'rib chiqaman muvofiq nafaqat talabalar, balki kattalar orasida ham, chunki vaqt o'tishi bilan maktab o'quv dasturi unutiladi va hajmni topish uchun boshqa ko'plab va eslab qolish qiyin bo'lgan formulalarni birlashtirgan bunday formula borligini kam odam biladi.

Muammo

Geometriyani o'qitishga almashtirishga imkon beradigan universal formulani kiritish kerak ko'p miqdorda tekislik figuralari maydonlari va fazoviy jismlarning hajmlari uchun formulalar.

Gipoteza

XYIII asrda ingliz matematigi Tomas Simpson pastki, yuqori va o'rta asoslarning maydonlarini hisoblash yo'li bilan tekis figuralarning ma'lum sohalari va fazoviy jismlarning hajmlarini topish formulasini chiqardi.

O'ylaymanki, ushbu universal formula yuqoridagi barcha formulalarni almashtirishga imkon beradi va ularni eslab qolishni osonlashtiradi.

Ishning maqsadi: universal Simpson formulasi maktab geometriya kursida o'rganilgan maydon va hajmlarning barcha formulalarini almashtirishi mumkinligini va u nafaqat amaliyotda, balki imtihonlarda, shu jumladan imtihonda ham qo'llanilishi mumkinligini isbotlash.

Ish vazifalari:

Stereometriyaning geometrik jismlarining asosiy xarakteristikalarini o'rganish: prizmalar, piramidalar, konuslar, silindrlar, sharlar;

Mavzu bo'yicha mavjud adabiyotlarni ko'rib chiqing.

Umumjahon formuladan foydalanib, barcha raqamlar va jismlar uchun maydonlar va hajmlar uchun formulalar hosil qiling.

Olingan formulalarni darslikda keltirilgan formulalar bilan solishtiring.

O'rta maktab o'quvchilarini ushbu formula bilan tanishtiring va anketa yordamida imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda undan foydalanish qulaymi yoki yo'qligini aniqlang.

Mening ishimning amaliy ahamiyati: Ushbu ish natijalari maktab amaliyotida, ya'ni geometriya va algebra bo'yicha sinfda qo'llanilishi mumkin. , imtihonni tayyorlash va topshirishda.

1-bob Qisqacha xarakteristikalar geometrik jismlarning xossalari

Maktab geometriya kursi planimetriya va qattiq geometriyaga bo'linadi. 7-9-sinflarda men tekislikdagi figuralarning xususiyatlarini, jumladan, ularning maydonlarini topish formulalarini o'rgandim (1-2-ilovalar).

10-sinfda fazodagi figuralarning xossalari o‘rganiladigan geometriya-stereometriya bo‘limini o‘rganishni boshladim. Ishni yozishda geometrik jismlar va ularning sirtlarini ko'rib chiqdim. Volumetrik geometrik jismlar ko'p yuzli va inqilob jismlariga bo'linadi.

Ko'p yuzli- ko'pburchaklardan tashkil topgan va ba'zilarini chegaralovchi sirt geometrik jism.

Inqilobning qattiq moddalari- o'z o'qi atrofida aylanish natijasida olingan geometrik jismlar. Inqilob tanasi: silindr, konus, to'p.

Ko'p yuzlilar qavariq yoki qavariq bo'lmagan. Konveks polihedra - har bir yuz tekisligining bir tomonida joylashgan. Konveks bo'lmagan polihedra - kamida bitta yuzning tekisligining har ikki tomonida joylashgan.

Piramida

Parallelepiped

2-bob

Tomas Simpson(1710 yil 20 avgust - 1761 yil 14 may) - ingliz matematigi. 1746 yilda Simpson London Qirollik jamiyati a'zosi, undan oldin esa 1717 yilda Londonda tashkil etilgan matematika jamiyati a'zosi etib saylangan. 1758 yilda Shvetsiya Qirollik Fanlar akademiyasining chet ellik a'zosi etib saylandi. Vulvichdagi Qirollik harbiy akademiyasining professori etib tayinlangan Simpson boshlang'ich matematika darsliklarini tuzdi. Geometriyaning maxsus boʻlimlarida elementar geometriya, muntazam koʻp yuzli, sirtlarni oʻlchash, jismlar hajmlari, nihoyat, aralash masalalar yordamida yechilgan eng katta va eng kichik miqdorlarga oid masalalar koʻrib chiqiladi.

Ajoyib formula mavjud; Bundan tashqari: u nafaqat silindr, to'liq konus va kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun, balki barcha turdagi prizmalar, to'liq va kesilgan piramidalar va hatto to'p uchun, shuningdek, maydonlarni hisoblash uchun javob beradi. samolyot raqamlari. Mana bu formula matematikada Simpson formulasi sifatida tanilgan:

bu erda b 1 - pastki poydevorning maydoni (uzunligi).

b 2 - o'rta poydevorning maydoni (uzunligi).

b 3 - yuqori poydevorning maydoni (uzunligi).

2.1 Simpson formulasini tekis figuralarning maydonlari uchun formulalarni chiqarishda qo'llash.

Bizning universal formulamiz. b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, keyin biz olamiz:

Javob: S \u003d hb 1

Chiqish. Darhaqiqat, parallelogrammning maydoni poydevor va balandlikning mahsulotiga teng.

Universal formula.

ABCD trapezoid bo'lganligi sababli, b 2 uning o'rta chizig'idir, ya'ni

Keyin biz olamiz:

Chiqish. Darhaqiqat, trapezoidning maydoni balandlikning ikki poydevorining yarmiga teng.

Uchburchak, to'rtburchak, kvadrat va romb maydonlari uchun formulalar uchun shunga o'xshash dalillarni (3-4-ilovalar) amalga oshirib, men universal Simpson formulasi quyidagi kabi tekis figuralarning maydonlarini hisoblash uchun mos degan xulosaga keldim: parallelogram , trapetsiya, uchburchak, kvadrat, romb, to'rtburchak.

2.2. Simpson formulasini fazoviy jismlar hajmlari uchun formulalarni chiqarishda qo'llash.

b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 bo'lgani uchun, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: V=b 1 soat

Ed tomonidan geometriya darsligida taklif qilingan dalil. 6-ilovada L.S.Atanasyan.

Chiqish. Darhaqiqat, prizmaning hajmi poydevor va balandlikning maydoniga teng. Xuddi shunday, silindr hajmining formulasini olish isboti amalga oshiriladi (5-ilova).

Yechim: b 1 \u003d 0 bo'lgani uchun, lekin, keyin biz olamiz:

Ed tomonidan geometriya darsligida taklif qilingan dalil. 9-ilovada L.S.Atanasyan.

Chiqish. Haqiqatan ham, konusning hajmi poydevor va balandlikning maydoni ko'paytmasining uchdan biriga teng. Xuddi shunday, piramida hajmi uchun formulaning kelib chiqishini isbotlash amalga oshiriladi (Ilova). 5)

Keyin biz olamiz:

Chiqish. Olingan formula darslikda taklif qilingan formulaga to'liq mos keladi

Masala 6. To'pning hajmi.

Berilgan: to'p

b 3 - yuqori poydevorning maydoni

Toping: Vball.

(11-rasm. Koptok)

b 1 \u003d b 3 \u003d 0 bo'lgani uchun, h \u003d 2R

Keyin biz olamiz:

Geometriya darsligida taklif qilingan dalil ed. 10-ilovada L.S.Atanasyan

Xulosa: 11-sinfda o'rganilgan barcha fazoviy jismlarning hajmlari uchun formulalar universal Simpson formulasi yordamida ham osonlik bilan chiqariladi.

2.3 Formulaning amaliy qo'llanilishi

Mening tadqiqotimdagi keyingi qadam amaliy foydalanish(11-12-ilovalarga qarang)

Chiqish. Ikki usulda topilgan geometrik jismlarning har bir modeli uchun hajmlar teng bo'lib chiqdi. Simpson formulasi piramida, silindr, shar, kub va konus kabi jismlar uchun universaldir.

Menda qanday geometrik jismga o'xshashligini so'ramasdan, daraxt tanasining hajmini taxminan hisoblashingiz mumkin bo'lgan formula bor: silindr, to'liq konus yoki kesilgan konus. Har xil turdagi yog'ochlarning zichligini bilib, siz uzumdagi daraxtning og'irligini hisoblashingiz mumkin. Men bu muammoni ildizning hajmini uning uzunligi o'rtasida joylashgan diametriga teng bo'lgan silindrning hajmi sifatida hisoblash orqali hal qildim: natija, ammo, ba'zan 12% ga kam baholanadi. Ko'p xatosiz, ildizdagi daraxtning hajmini ko'krak balandligidagi daraxtning diametriga teng diametrli bir xil balandlikdagi silindrning yarmi hajmini olish mumkin.

Bizga ma'lum bo'lgan formulalar bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, men tokdagi daraxt tanasining hajmini hisoblab chiqdim (13-ilovaga qarang).

Chiqish. Butun tadqiqotdan xulosa qilish mumkinki, menda daraxt tanasining hajmini taxminan hisoblashingiz mumkin bo'lgan formulaga egaman va har xil turdagi yog'ochlarning zichligini bilib, uzumdagi daraxtning og'irligini aniqlashingiz mumkin.

3-bob

3.1 Tadqiqot va so'rov

11-sinf o'quvchilari orasida men tadqiqot o'tkazdim (13-ilovaga qarang).

Tadqiqotning maqsadi: talabalar 10 daqiqada takrorlanmasdan takrorlashlari mumkin bo'lgan formulalar sonini aniqlash, ya'ni. "qoldiq" formulalar hajmi.

Natijalar quyidagicha edi (14-ilovaga qarang):

Qayta ishlab chiqarilgan formulalarning eng ko'p soni - 41, eng kichigi - 5. Formulalar soni cheksiz vaqt ichida 500 ga etishi mumkinligini hisobga olsak, men o'quvchilar maktabda o'rganilgan juda ko'p formulalarni eslay olmaydi degan xulosaga keldim. Qayta ishlab chiqarilgan formulalar o'rganilgan formulalar umumiy sonining atigi 8,2% ni tashkil qiladi. Ko'pincha talabalar algebra formulalarini (trigonometriya formulalari, logarifmik formulalar, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, ildiz formulalari) takrorlaydilar. kvadrat tenglama, hosilalari); geometriyadan (tekis figuralarning maydonlari formulalari, fazoviy jismlarning ayrim hajmlari); fizikada bir nechta formulalar (formula kinetik energiya, tortishish, ishqalanish va MKT); informatika fanida () Bu tabiiy edi, chunki. Boshqa fanlarga qaraganda matematikada ko'proq formulalar mavjud.

Natijalarni ko'rib, men bunday past natijaning sabablarini aniqlashga qaror qildim. Men 11-sinf o'quvchilari o'rtasida so'rov o'tkazdim (14-15-ilovalarga qarang), unda quyidagi savollarga javob berish so'ralgan:

anketa savollari.

Sizningcha, maktab bitiruvchisi nechta formulani bilishi kerak?

A) chayqalish

B) tushunish

B) assotsiatsiyalar usuli

D) boshqa

Natijalar quyidagicha edi (15-ilovaga qarang).

Savol 1. 60 dan 250 gacha formulalar

2-savol. Olingan javoblardan xulosa qilishimiz mumkinki, 11-sinf o'quvchilari formulalarni yodlashda ularni tushunishga harakat qiladilar yoki yodlashdan foydalanadilar.

3-savol. haqida talabalar fikri bu masala tarqoq, garchi diagrammada ular asosan "ha" deb javob berishgan, ya'ni. talabalar yodlash kerak bo'lgan formulalar soni o'rtacha talabaning xotira darajasiga to'g'ri keladi deb hisoblashadi.

4-savol.11-sinf o‘quvchilarining deyarli barchasi ko‘p formulalar o‘rniga faqat bitta universal formuladan foydalanishni xohlaydi.

3.2 Sinov

Endi men Simpson formulasi haqiqatan ham universal ekanligini bilaman va uni hayotda qo'llash juda mumkin. Lekin bu haqiqatan ham kerakmi? Bu savolga javob berish uchun men 11-sinfda formulani taqdim etdim, keyin uni sinab ko'rdim (16-17-ilovalarga qarang) va quyidagi natijalarga erishdim:

Test №1

23% barcha formulalarni eslab qolishlari qiyinligini tan oldi.

17% ular uchun barcha formulalarni, jumladan Simpson formulasini o'rganish qiyin emasligini aytdi.

Talabalarning 60% ba'zi geometrik jismlar uchun Simpson formulasidan foydalangan va bu ularga muammolarni hal qilishda yordam bergan.

Test №2

100% Simpson formulasini eslab qolish osonligini aytadi.

0% buni eslab qolishda biroz qiynalayotganini tan oldi.

Test №3

76% kelajakda ushbu formulani qo'llaydi.

24% bunga muhtoj emasligini tan oldi.

Test №4

82% Simpson formulasini kiritish kerak deb hisoblaydi maktab o'quv dasturi.

0% formula maktab o'quv dasturiga kiritilmasligi kerak deb hisoblaydi.

18% formula maktab o'quv dasturiga kiritilishi kerak, lekin faqat ixtisoslashtirilgan sinflarda.

Test №5

35% bir vaqtning o'zida bir nechta geometrik jismlarning hajmini aniqlash uchun bitta formulani eslab qolish ancha oson deb hisoblaydi.

59% barcha formulalarni, shu jumladan Simpson formulasini eslab qolish kerak deb hisoblaydi, chunki siz qanday shartlar berilishini hech qachon bilmaysiz.

6% faqat maktab o'quv dasturiga kiritilgan formulalarni eslab qolish kifoya deb hisoblaydi.

Ushbu formuladan muammolarni, shu jumladan imtihonni hal qilishda ham qo'llanilishi mumkin . Men 11-sinfda berilgan va o'quvchilar qiyinchiliksiz hal qilgan vazifalarga misollar keltiraman:

Vazifa 1 Balandligi 18 sm bo'lgan muntazam olti burchakli prizma poydevor radiusi 4 sm bo'lgan silindrga chizilgan. Prizma hajmini toping.

Vazifa 2 Tsilindrga balandligi 24 sm va asos tomoni 5 sm bo'lgan muntazam to'rtburchak piramida yozilgan. Tsilindrning hajmini toping.

Chiqish:

Xulosa

Maktabda o'qish davomida talabalar turli fanlardan juda ko'p formulalarni bilishlari kerak. Men o'tkazgan so'rov shuni ko'rsatdiki, hamma ham bu formulalarni eslay olmaydi. Men muammoga duch keldim: geometriyani o'qitishga universal formulani kiritish kerak, bu tekis figuralarning maydonlari va fazoviy jismlarning hajmlari uchun ko'p sonli formulalarni almashtirishga imkon beradi, ya'ni ko'p maqsadlar uchun mos formula, turli funktsiyalarni bajarish.

Men ingliz matematigi Tomas Simpsonning formulasi deb faraz qildim

raqamlar sohalari va jismlar hajmlari uchun formulalarni bitta formula bilan almashtirishga imkon beradi.

Men o'z oldimga maqsad qo'ydim: universal Simpson formulasi maktab geometriya kursidagi barcha o'rganilgan maydon va hajm formulalarini almashtirishi mumkinligini isbotlash. Men bu maqsadni bir nechta vazifalarda yoritganman.

Ishim natijasida men Simpson formulasi jismlar hajmlari bo'yicha teoremalarni ishlatmasdan osongina va tez isbotlash imkonini berishiga amin bo'ldim. aniq integral.

Formulalarni yodlash va chiqarish ishini engillashtirish uchun men "Raqamlar maydoni" mavzusini o'rganishdan oldin o'qituvchiga talabalarni Simpson formulasi bilan tanishtirishni va o'rganilayotgan formulalarni mustaqil ravishda chiqarishni taklif qilishni taklif qilaman. Darslikda taklif qilingan isbotdan o‘qituvchi darsga qo‘shimcha material sifatida yoki uy vazifasi sifatida foydalanishi mumkin.

Endi, o'rmon bo'ylab yurib, siz har qanday daraxtning hajmini aniqlashga qiziqasiz. Unda qancha borligini hisoblang kub metr yog'och va shu bilan birga uni torting - masalan, bitta aravada bunday magistralni olib ketish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash.

Menda qanday geometrik jismga o'xshashligini so'ramasdan, daraxt tanasining hajmini taxminan hisoblashingiz mumkin bo'lgan formula bor: silindr, to'liq konus yoki kesilgan konus.

Ishimni foydali deb bilaman, chunki Men maktabda o'rganilgan maydonlar va hajmlar uchun barcha formulalarni oldim.

So'rov natijalariga ko'ra, Simpson formulasini eslab qolish juda oson va uni maktab o'quv dasturiga kiritish kerakligiga amin bo'ldim.

Ushbu formuladan imtihonlarda, shu jumladan imtihonda ham foydalanish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

Ya.I.Perelman. Qiziqarli algebra. Qiziqarli geometriya. - M., "AST", 1999 yil.

CD-ROM. Kiril va Metyusning buyuk entsiklopediyasi, 2002 yil.

L.S. Atanasyan va boshqalar Geometriya 10-11. Ta'lim muassasalari uchun darslik, - M., "Prosveshchenie", 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

1-ilova

Geometrik jismlar xossalarining qisqacha tavsifi

Uchburchak

2-ilova

To'rtburchak

3-ilova

b 3 =0, chunki yuqori asos nuqtadir.

Chunki b 2 - uchburchakda o'rta chiziq, keyin biz olamiz:

Chiqish. Darhaqiqat, uchburchakning maydoni poydevor va balandlikning yarmiga teng.

Yechish: - universal formula.

ABCD kvadrat bo'lgani uchun, keyin b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d h, keyin biz olamiz

4-ilova

Chiqish. Darhaqiqat, kvadratning maydoni uning tomonining kvadratiga teng.

Yechish: - universal formula.

ABCD to'rtburchak bo'lgani uchun, keyin b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, keyin biz olamiz:

Javob: S=hb 1 .

Chiqish. Darhaqiqat, to'rtburchakning maydoni ikkita qo'shni tomonga teng.

Yechish: - universal formula.

b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, keyin biz olamiz:

5-ilova

Masala 2. Silindrning hajmi.

Berilgan: silindr

b 1 - pastki poydevorning maydoni:

b 2 - o'rtacha uchastka maydoni:

b 3 - yuqori poydevorning maydoni.

Toping: Vsilindr

(22-rasm. Silindr)

Chunki b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, keyin biz olamiz:

Javob: V=b 1 soat

Ed tomonidan geometriya darsligida taklif qilingan dalil. 7-ilovada L.S.Atanasyan.

Chiqish. Darhaqiqat, silindrning hajmi taglik va balandlikning maydoniga teng.

Yechim: b 3 \u003d 0 bo'lgani uchun, lekin, keyin biz olamiz:

Javob: Ed tomonidan geometriya darsligida taklif qilingan dalil. 8-ilovada L.S.Atanasyan.

6-ilova

7-ilova

8-ilova

9-ilova

10-ilova

11-ilova

Vazifa raqami 1. Biz odatdagi formuladan foydalanib, kub modelining hajmini hisoblaymiz. Buning uchun biz kub modelining chetini o'lchaymiz: a \u003d 10,5 sm.V \u003d a 3 \u003d 1157,625 sm 3

Vazifa raqami 2. Oddiy olti burchakli piramida modelining hajmini odatdagi formuladan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun biz modelning balandligi h = 17,2 sm va taglikning yon tomonini o'lchaymiz a = 6,5 sm.

Vazifa raqami 3. Biz odatdagi formuladan foydalanib, silindr modelining hajmini hisoblaymiz. Buning uchun biz modelning balandligi h = 20,4 sm va asosning radiusi R = 14 sm ni o'lchaymiz.

12-ilova

	Biz S \u003d p * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 sm 2 ni hisoblaymiz, V \u003d S * h \u003d 3,14 * 196 * 20,4 \u003d 12554,976 sm 3 Simpson formulasi yordamida model hajmini hisoblaymiz V = h/6 (S pastki taglik + S yuqori taglik + 4S o'rta qism):
Yuqori, pastki poydevor va o'rta qismning joylari bir-biriga teng S \u003d p * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 \u003d 615,44 sm 2, h \u003d 20,4 sm. V \u003d 20,4 / 6 * (20,4 + 20,4) \u003d 12554,976 sm 3
Vazifa raqami 4. Biz odatdagi formuladan foydalanib, konus modelining hajmini hisoblaymiz. Buning uchun biz modelning balandligi h = 21 sm va asosning radiusi R = 6 sm ni o'lchaymiz.
Vazifa raqami 5. Biz odatdagi formuladan foydalanib, to'p modelining hajmini hisoblaymiz. Buning uchun biz to'pning radiusini o'lchaymiz R = 7 sm.

13-ilova

Qayinni hisoblash:

Aspen uchun hisoblash.

Qarag'ay uchun hisoblash.

14-ilova

"Qaldiq" formulalari doirasini aniqlash" tadqiqoti natijalari

Diagramma 1. "Qaldiq" formulalar sonini aniqlash.

Diagramma 2. Formulalar ko'rsatilgan mavzular.

15-ilova

Formulalarni eslab qolish uchun qanday usuldan foydalanasiz?

A) chayqalish

B) tushunish

B) assotsiatsiyalar usuli

D) boshqa

Diagramma 3. Formulalarni yodlash usullari

Sizningcha, yodlash kerak bo'lgan formulalar soni o'rtacha o'quvchining xotira darajasiga mos keladimi?

Diagramma 4. Formulalar sonining o'rtacha o'quvchi xotirasi darajasiga muvofiqligi

Ko'p formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun har qanday universal formuladan foydalanish kerak deb o'ylaysizmi?

Diagramma 5. Universal formulaga bo'lgan ehtiyoj

16-ilova

17-ilova

Simpson formulasini qurish uchun biz birinchi navbatda quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: yuqoridan y \u003d Ax 2 + Bx + C parabola grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning S maydonini, chapdan x \u003d to'g'ri chiziq bilan hisoblang. - h, o'ngdan x \u003d h to'g'ri chiziq bo'ylab va pastdan [-h segmenti bilan; h]. Parabola uchta nuqtadan o'tadi (8-rasm): D (-h; y 0) E (0; y 1) va F (h; y 2) va x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Binobarin,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

U holda S maydoni integralga teng:

Bu maydonni h, y 0, y 1 va y 2 ko‘rinishlarida ifodalaymiz. Buning uchun A, B, C parabolaning koeffitsientlarini hisoblaymiz. Parabola D, E va F nuqtalardan o'tish shartidan kelib chiqib, bizda:

Bu sistemani yechish orqali biz quyidagilarga erishamiz: C = y 1 ; A=

Ushbu A va C qiymatlarini (3) ga almashtirib, biz kerakli maydonni olamiz

Endi integralni hisoblash uchun Simpson formulasini chiqarishga murojaat qilaylik

Buning uchun biz integratsiya segmentini 2n uzunlikdagi teng qismlarga ajratamiz

Bo'linish nuqtalarida (4-rasm) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Biz f integralining qiymatlarini hisoblaymiz: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de yi = f(xi), xi = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Segmentda integralni (x 0; y 0), (x 1; y 1) va (x 2; y 2) nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan almashtiramiz va x dan integralning taxminiy qiymatini hisoblaymiz. 0 dan x 2 gacha, biz formuladan foydalanamiz (4 ). Keyin (4-rasmdagi soyali maydon):

Xuddi shunday, biz topamiz:

................................................

Olingan tengliklarni qo'shib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Formula (5) deyiladi Simpsonning umumlashtirilgan formulasi yoki parabola formulasi, chunki uni chiqarishda 2h uzunlikdagi qisman segmentdagi integratsiya grafigi parabola yoyi bilan almashtiriladi.

Ishga topshiriq:

1. O'qituvchi ko'rsatmasi bo'yicha yoki dan variantiga muvofiq jadvallar 4 ta vazifa (Ilovaga qarang) shartlarni - integratsiyani, integratsiya chegaralarini olish.

2. Dastur va dasturning oqim sxemasini tuzing, unda quyidagilar zarur:

Aniq integralni, integrasiyaning quyi va yuqori chegaralarini hisoblashning aniqligini talab qilish;

Berilgan integralni usullar bilan hisoblang: 1,4,7, 10… variantlari uchun - o'ng, 2,5,8,… variantlari uchun - o'rtacha; 2,5,8,… variantlari uchun - chap to'rtburchaklar. Belgilangan hisoblash aniqligiga erishiladigan integratsiya diapazonining bo'limlari sonini chiqaring;

Berilgan integralni trapetsiya usuli (juft variantlar uchun) va Simpson usuli (toq variantlar uchun) yordamida hisoblang.

Belgilangan hisoblash aniqligiga erishiladigan integratsiya diapazonining bo'limlari sonini chiqaring;

Argumentning berilgan qiymati uchun boshqaruv funksiyasining qiymatlarini chiqaring va integralning hisoblangan qiymatlari bilan solishtiring. Xulosa qilmoq.

test savollari

1. Aniq integral deb nimaga aytiladi?

2. Nima uchun aniq integrallarni hisoblashda analitik usullar bilan bir qatorda sonli usullardan foydalaniladi.

3. Aniq integrallarni hisoblashning asosiy son usullarining mohiyati nimadan iborat.

4. Aniq integralni sonli usullar bilan hisoblashning to’g’riligiga bo’limlar sonining ta’siri.

5. Berilgan aniqlik bilan har qanday usulda integral qanday hisoblanadi?